introducción a la simulación y a la teoría de colas · catedrático de universidad del área de...

220
Introducción a la Simulación y a la Teoría de Colas

Upload: others

Post on 01-Sep-2020

0 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación

y a la Teoría de Colas

Page 2: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 3: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación

y a la Teoría de Colas

Ricardo Cao Abad

Área de Estadística e Investigación Operativa

Departamento de Matemáticas, Facultad de Informática

Universidade da Coruña

Page 4: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN Y A LA TEORÍA DE COLASNo está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informá-tico, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecá-nico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito delos titulares del Copyright.

DERECHOS RESERVADOS © 2002, respecto a la primera edición en español, por NETBIBLO, S.L. Avda. Manuel Azaña, 56, 3º A15011 A Coruña (España)

http://[email protected]

ISBN: 84-9745-017-5Deposito Legal: C-1867-2002

Editor: Carlos IglesiasDiseño: Artia>DLF · Jose DelaFuenteCompuesto en: Centerprint, S.L. · Eduardo BóvedaImpreso en: Josman Press

IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN.

Ficha de catalogación bibliográfica

Introducción a la simulación y a la teoría de colas • 1º EdiciónRicardo Cao Abad

NETBIBLO, S.L., A Coruña, 2002

ISBN: 84-9745-017-5

Materia: Matemáticas computacionales: 519.6

Formato: 17 x 24 • Páginas: 224

Page 5: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

AUTOR

Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la Universidade da Coruña (UDC). Enlos últimos años ha impartido diversas asignaturas de Simulación y Teoría de Colasen las distintas titulaciones de la Facultad de Informática de la UDC.

Doctor en Matemáticas por la Universidad de Santiago de Compostela,Ricardo Cao es autor de otros seis libros y más de una treintena de artículos de in-vestigación en revistas de prestigio internacional como The Annals of Statistics,Journal of the American Statistical Association, Technometrics, ScandinavianJournal of Statistics, Journal of Econometrics, Test, Canadian Journal ofStatistics, Computational Statistics and Data Analysis y Journal of StatisticalPlanning and Inference, entre muchas otras.

Ha sido vocal del Consejo Académico de Estadística de la Sociedad de Es-tadística e Investigación Operativa (SEIO), es miembro fundador de la SociedadeGalega para a Promoción da Estatística e da Investigación de Operacións (SGA-PEIO) y miembro de la Sociedad Bernoulli y de la Sociedad Española de Biome-tría. Asimismo es Editor Asociado de la revista Test desde 1996.

Para más información: http://www.udc.es/dep/mate/ricardo/homepage.htm

Page 6: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 7: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

������ �����

� �� ����� ���������� �

� ������������ �� ����� �

��� ������� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ����� ����� �� ���� � ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� � ����� �� ������ � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� ������ � ������� ��� � �� ����� �� � � � � � � � � � � � � ��

��! ����� � � �� ���� � � ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � ��

� ��������� �� �� ���� ������������� ������ �� �� ����� �

��� "��� ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� #��� � � � ������ � �� $����� �� � �%���� ���&

������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� '(� � � �� ��� �� � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� '(� � � )�*��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!

��� '(� � ���$����� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!

����� +����� ��� ���$����� ��� � � ��� ��� �� � � � � � � � �,

����� +����� ��� ���$����� ��� � ��$��� ���$���� � � &

�� ���� � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,

��! '� � �� - �� � �� ��� � � �� $����� �� � �%����

������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��!�� �� ������ �* &��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��!�� �� ������ � .����$���/&�� ���/ � � � � � � � � � � � ��

��!�� �� ������ �� ������ �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��!�� ������ � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��!�! �� ������ � ������� ��� � � � � � � � � � � � � � � � ��

��!�0 �� ������ �� ��1�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��!�, �� ������ � �� ���*� ���� ��� � � � � � � � � � � � ��

��!�2 �� ������ � ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��!�� �� ������ � )���$&3�� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��!��� �* &��� �� � ���� �* &��� �� � � � � � � � � � � � � � � ��

��0 ����� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

!"����� ���#����� �� �� ����� �� #��$�� �������� ��

��� �� �(� � � ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,

����� ������ � ������� ��� �� �(� � � ���� �� � � � � ��

11

131515161718

1921

2122222324

25

262727282929293131313132

333537

Page 8: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

����� 4�$��� � ��� ��� 5�� ��� �� ������ ��� �� �(�&

� � ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� "���� �� ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� �� �(� � � ������ �� ���*�6� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� �7� ��� � �� ��$�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ����� �� � �� �� � ��� � �� � � � � � � � � � � � � � � �0

��� ����� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2

% !"����� ���#����� �� �� ����� �� #��$�� �������� %�

��� �� �(� � � �� ���8����� �� ���� � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� �7� ��� � �� ��$�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ������� ���� � �� 8��� �� ���� � � � � � � � � � � � � �,

��� 4�$�� �� ��� � �� ������ � ��� �� 9����� � :�/���� � � �2

��� �� �(� � � �� ���� $�-� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !�

��� '(� � � ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !!

��! ����� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !,

& !"����� �����'(��� �� �� ����� �� ������$������� ���)

$�� &�

!�� ; � ��� ��� ��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !�

!���� )� � ��� �� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � !�

!���� )� � ��� �� � ����*� � � � � � � � � � � � � � � � � � 0�

!���� )� � ��� �� �������� �� � � � � � � � � � � � � � � � � 0�

!���� )� � ��� ��� +���� � �����$ � � � � � � � � � � � � 0�

!���! )� � ��� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0�

!���0 )� � ��� �� �* &��� �� � � #����� � � � � � � � � � 0!

!���, )� � ��� �� � � < *��&��� ���� � � � � � � � � � � � 0!

!���2 )� � ��� �� � � �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � 00

!���� )� � ��� �� � =� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � 00

!����� )� � ��� �� ��$- �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0,

!����� )� � ��� �� � #���� � � � � � � � � � � � � � � � � � 0,

!�� ; � ��� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 0,

!���� )� � ��� �� �� 8���� ���� � � � � � � � � � � � � � 0,

!���� )� � ��� �� � ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � 02

!���� )� � ��� �� � #� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � 02

!���� )� � ��� �� $���(� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � 0�

!���! )� � ��� �� � ��� �� ��$� �� � � � � � � � � � � � � � ,�

!�� ����� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,�

* �� ����� �� ������$������� ����� �������� �

0�� '(� � � �� � ��� ��� ��� � ��� � � � � � � � � � � � � � ,�

0�� �� �(� � � ������ ��>���*�6� � � � � � � � � � � � � � � � � � ,0

0�� '(� � � �� 7��� �� � � 5��� � � � � � � � � � � � � � � � � ,,

37383941414446

4951545658636567

6971717273737577777878797979798080818282

85879091

Page 9: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

0�� '(� � ����-7�� ���� ����� �� � ��� �� ������ ��� &

��� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2�

0�! ����� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2�

� +���,� �� �-���� ����� �� �� ����� .&

,�� ; 8����� � � � � � � ��� �� ����� ����� �� ���� � � � � � � 2!

,�� � ����� �� �� �� � ��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � 20

,�� � ����� �� ��� ����� � ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � 20

,�� ?(�� �� � �� ��� �� � �� ��� ��6� � � � � � � � � � � � � � � � 2,

,���� @%���� ������ � ������ � � � � � � � � � � � � � � � � 2,

,���� ��� ���� �� ( �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 22

,���� ��� 7��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 22

,�! #������� � ��� � 6�� �� � ���� ��� � � � � � � � � � � � � � ��

,�0 ����� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�� /���' �� 0�� �

. ������������ /���' �� 0�� �&

2�� A��B� * �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!

2�� ����� � � �� ���� � ?���-� � ���� � � � � � � � � � � � � �0

� 1������� $����� ��$�� �������� ������������ ��

��� @�� �� � ������ ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,

��� �������- �� � ���� � � � 5�� ��� � ��� 7��� �� ������ �&

��� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �2

��� #����� � �����C �� ������ � #� �� � � � � � � � � � � � � � ��

��� #����� � ��� � ��� � ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

�� 0�������� 2������ �� /���' �� 0�� ���

���� ;��� �� �� �� ��� � ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � ��,

���� ?��� ����$-� � ���� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

���� <������ � ) �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

���� 4�$��� ���� � � � ������� � �� � ��� ��� �������&

� �� � $���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

���! ����� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��0

�� !����� ��� ��� �� �2� 3 ���#���� �� ���� 4������ ���

���� �� �� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��,

���� �� �� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

���� �� �� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��,

���� �� �� ��� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

���! �� �� ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��2

���0 �� �� ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���

���, �� �� ��� �������� ��� ������ � � � � � � � � � � � � � � ���

���2 �� �� ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��0

9497

99101102102103103104104105106

109

111113114

115117

118119122

127129131133

134137

139141147152158163165168171

Page 10: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

���� ����� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��,

�� 5���� �� ��� �&&

���� "��� ��� �� � �� �� � � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!!

���� A� � � D��1�� �� ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �!0

���� A� � � D��1�� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �0�

���� E�� �� ��� � ���� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �00

������ ���� �� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �00

������ A� � ���� �-�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �0,

������ ���� �� �� � ��� ���5��� � � � � � � � � � � � � � � � � � �02

���! ����� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,�

� 0�� ��� ������$������� �$������ �� �2� 3 ���#���� ���

���� �� �� ��� '>+>� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �,,

���� 4���� ��� �� �� ��� ����� �� � � � � � � � � � � � � � � � � �2�

���� ����� � � ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �20

�% 6�$��2��' �.�

172

179181182186192192193194197

203205211214

217

Page 11: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

PARTE I

SIMULACIÓN ESTOCÁSTICA

Page 12: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 13: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la simulación

1

Page 14: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 15: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la simulación 15

�� �

��� ������� � �����

�� �������� �� �� � ���� ��� ������� � �������� ����������� �� ��������

����� �� ������ �� � �������� � ������ � �� ��� ��� � ������ �� ������

���� ���� �� ��������� ����������� ��� ��� �������� � ������������ �����

������ ���������� �� ���������� �� �� ����� ������� � �� ����� �����

�� ��� �������� �� ���������� ������������� � ��� ������� ������������� �

! ������ ��������" �� �������� �� ������� �������� ���� ���� ��� �����

����� ����������� � �� ���#������ �� #�������� �� � ������ ��� ������

��� ��������� ��� ��������� ��� ��������� � �� #���� � ������� � ���

��������� ��� ���������� ���� ������

$�����������" �� �������� �� ��� ��������� ��� �� ������� �������

����� ���������� ��� ������������� ���%����� ����� �� ������ ��������� ����

������� ������� �� ��� �� ����������� ����������� ���� ��� �� ��������

�� ��������� ��������� � �� ��������� ��#���������" �� ������� �� ����������

�����" ���� � ! ����� ������������ ����� �������� ���%���� � �� ������� ��

�� ����������� ���������� � ������� � �� ���#������ �� ���������� ��

�� ������ ������� ���������

��� ������������� ���� � ����������

�� ������������ ������� ����� �� �������� ����� ���� ������ ������

�����&

� � ����� ��� ����

� ��� �������

� � �������� ��� ������� �� ������������

� � ����� � �� ���� ������������� ����� ����� ������

� ����� �������� ��������� �� ������������ #�����

'����� ���� ���� �� ������ ����� ����� ������ �� ������ �� ��������

�� � ������ ��� ������� ����� �� �����%����� �� ����������� �� ������ ��� ��

�������� �� ��� ������� ��� ���������� � ��������� �� ������� �� � ������

� ������ �� ��� ����� ���������� ��� ������� ���� ��� �� ������� ����������

Page 16: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

16

��� ���������� ��������� � �����������

�� ��� �� �� ������%�� � ������" �� ������� �������� ���� ��� �������

������ �� �������� ���%�������� �� �������� ��� �� ������ ! ���� �� ��� ����

�������" �� ������ �� ������ �� ����� �� �������� ����� �� ������ � !

���� �������� ����� ���������� � �� �������� ��� ���������� ����� ����� ��

���������� )������ � �� ��� ������� �� ������� �� ��� ������������ ��������

��� ��������� �� �������� ����� �#����� �� ������ ���������� ������

� �� ����� ����� �� ��� ��������� ������������ �� ��� ������������

������� � �������� � � ��� �� ���� �� ������������ � ����� ��� �

�� ����� ��� ���� � ��� ����������� � ��� ������ �� �������� ���

���� �� ����� ��� ��� ���������� � ����� �������� � � ��� ��� ���������

��� � ������� �� �� �� �� �� � ������ �� ����� ��� ����� �� ������

��� � � � ������ ��� � ��� � ������� ��� ������������ �� ����� ���

������ ���� �� ������ � � � �������� ��� ������� �������� ��

� � ��� ����

�� � � ����� � �� ����� ��� �� ����� ������������ � ��� � �

���!� "�#� �� �����$ � �������� � �� ���� � �� � ��� �� �� ��� ��

����� ��� ������� � � �� ���� � ��� �� ����%

� �� � �� �

��

���

���

��

� ����

�� ������ ��� ���������� � ����� �&���� ��������� � ��������! ����

���� �� ����' ������ ��� ��� ����������� � ���� ������� � � ������$

��������� �� �� �� �� ������� �� �� � ���� � �� ����� ��� �����

�� ����� �$ � ��� ����� ��� ��� ���$ �� �������� ��� ��� ��� ��

������#� � �� �������� ��� �� ���������$ � ����� �� ����� ��� ������� �

������ �� �� �������� �$ ��� �����$ ������� � �� ����� ��� ����������

������ ������ ���� (������ �������� � �� � ����� �)#� �� �������

�� �������� *��$ ��� #����$ �� �� ����� �� ��� ����� ������������ � ���

� ���$ � ����� �� ���� �� ���� � �� ����� ��� ������ � ����� ����

�� ��� ��� +������� �� ������� �� �� ��� �� �������� ��� ����

�� ����� ��� ���� �� �������$ � �� ��� ��� �$ ��� ��� � �� ����� ��

�������� �$ ������ ��������� ���� ����� �,� �� �����

������� �������� � ������� #���% �� #������ ����� ��� ����� ����

����� �� ��� ��� ��� ����������! -���� � � �&��� � ���� ����

� ��� �� �&��� � �� � ��������� �� � ������ � #������ � ��

./ ������� ���������� 01����� ������ #����2 3 ���� ��� �� �����

���� ��� ��� � ��� ����� �� ������� ��� ��� �������� � ���� ����

��� � �� ����� � �� ������������� �� ��� � �����$ ��� ������$ �� ����� ���

������� � ���� ����� ��� ����� � � ����� ��� ������� � ����� �

4��5��!� 6�� $ ��� �����$ ������� ��� �������� ��� ������ �����

�� ���� � �������� ��� ����� � �� ���� ���� ����' ������ � ����������

Page 17: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la simulación 17

� �� ����� ��������� �� ���� �&��� � ������� �������� � ��������� ��

������� � ����� �� �����

��� ������� � ������������� �� �� ����������

��� � ��

+� ! ����� � ��� ��� �� �������� ���%���� � ����� �������� � �����

,� -���� ������ ������ �� �������� ���%�������� �� �������� ���� �����

�������� �� ���������� � ��������

(� .� �� ����� ����������� ���� �� ��� ������ �� ��������

*� -���� �� ��������� ����������� ����� �� ������� ���� ��� ��� �����

������������ ������������

/� ! �������� � ��� ��� �� ������������ ����� �� ������� �� �������

���� � �����

0� !� �� �������� � �������� ��� ��������� ��� �������� � �� �������

���������������

+� �� ��������� �� � ��� ������ ����� ��� �� ����� ��� ����������

,� $����������� �� ������ ����� ��������� � ��������� ���������� ����

������

(� '������ ��#%��� ������ �� ������� �� �� ��������" ������������ � ��

�������� � �� ������� ��� ������ #���������

��������� ����� ��� ����7�� ��������� �� � ���� � �,� � ��� ������

* � "! -� � ������� ��� ������ ��� ���� ����� ������� �� �����������

������� � �� ����� � ������ � ����� ������ � � 89 �� � * � :/ ��

� "� 3�� �� ������ -���� � ������� � � � ������, � ������� �

������ � ���� ��� ���� ��������� �� ��� � ��� �� ��� ������������ �

���!� 3����� �� ������ ��� ��� ����� ��� ��� ����� � �� ����������

�� ��� � ������� ������ ����� � ����� � �� -� ����� � ��� �� ���

������������ � ���� � ���� �� � ������ � * � "$ ��� �������$ ������ ��

��������� ����� �� ��� � �������� �� ��#� ���������$ ��� �������������

� ����� ��� ��� � ��� ���� ����� ������ * � "!� ;����������� ��

���� � ��������� ��������� � �� ����� ���� � -� � ����� �������$ �����

� ����� �����$ ���� ��� �� ����� �� ���� ��� � ��� ����! �� ����

��������� � ����� �� ���� ��� �� ����� � ��7� ����� � �� ���� ��� ���

Page 18: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

18

�������� ������� � �� ������ ��� ������ � ��� ��� ���� � < �� ��� ���

� � ����� * � = �� ��� ��� � � ����� "$ � ����� � ��� �������$ ������

������ ���$ � �� ������� 0� �� ����� � �,� ������ �������2$ ��������

� � � ����� -���� � � ���� �� ������ �� ������� >� � �� ��������

� )�#� �� ��������� � ������ ��� � �� �������

��+ ��������� �� �� ��� �� ����������

1 �� ����� ��� ������� �����" ��� �������� �� �������� ��� �� ���� �� ���

���������&

+� !������ �� ��� � ����� ��� ���������� �� ������� �� 2����� �����

������������ � �� �������� ��� ��" ������� ������ ����� � ��� ���

�������� ������������� .� �������� ��� � ����� ������������ ������

������� � ������ �������� �� ���������� � ����������� �� ������

�����%������� 3���� �� ���� �� ���� �� ��� ��#������ ������� �����%��

����� ���� ��������� �� ������� �� �� �������� �� 2����� �����������

,� 4 ����� ���������� �� �������� �� �������� �� ������������� �����

���& �������� ��� � ����� �� ������ � �� �������� ��������

(� 4 ����� ���������� �� �������� �� ������������� ���������� 1��% ��

��������� �� � ���� �� �� ����#������ ������ ��� �2������ ������

���� � ������ �� ���������� ����� " ���������� ������� � ������� ��

5�6��" �� � ���� �� �� ����� ��%� � �� � ���� �� �����������

*� � ������ �� � ���� �����%7��� �� �������� ���� ��� �������������

��������� � ������� ��� �����������

/� �� ����� ������ � �� �������� �� ������������� ����������������"

�������� ������ � ����� �������� � ��������������� ����� ��

���� ��������� �� �� ����� �������������

0� 1����� ��������� ��������� ����� �� ����8� �� ����������� �� �����

����" �������� �������� ����� � ��� � ����� �� ������� �� �� ���

������

Page 19: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Generación de númerospseudoaleatorios uniformes en (0,1)

2

Page 20: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 21: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) 21

�� �

��� $����������

-��� ����� ��� � ����� �� �������� �� ���� � �� ����������� �� ������

2����� ���������� �� ���������� ���� ��� 5���� �� ��� ���������� �� ���

���������� ��� 2����� ���������� �� ����%� ��� ������������� ���������

����� ������%��" ������� � �� ��������� � ������� ! �� ���������� �����

2����� �� �������� ��� �������� � �� ������ ���������������� ��

���" � ��������" ����� ��� 2����� �� �� ������ ��� �� ����� �� ��������

���� � ������ ��� �������" ������� �������� ! ��������� ����" ���� ��������

�� 2����� ���������������� �%������� ��������� ���� ����������� ����

�� �� ������� �� �� ������� ����� �� ����� ����������� �� �� ���� ���

����� ,��������� ��������� �� �� -�������� �� �.����� ��������������

9��� ����� �������� �� �������� � �������� �� 2����� ���������������� ���

���� �����#���� ��� ��������� �����%������ ��� ���������� � ���� �������& ���

�� ������������ ���� ��������� �� ������ � ��� �� ������ " ��� �� ����������

����� ��� ������� � ����������������" �� ���� �� �����:��" �� �������� ��

����� ��������" ��� � ��� �� ����� �� ������ � �� ���� �� ����� ����� �� ����

������������ � �� �� ;��������6�.����6 � 3���� ������ ����� ���������

�����%7��� ��� ����� �� ������ � �� ��� ����� ������ �� ��� �������� ����������

!��� ����� ���������� �� �������� ��� ��<�� � �� ��� �������������

1����� �� ����� ����������� �� ���� �����%����� ������ ����� ����������

��������������� ��� � ����� ����� ��������� � �� �������� ������

���������� ���� ���� � � �� ����� ���

+� 9������� �������� ���2 �� ���������� ���� ���

,� 9���� ��� ��������� �� ������������ � ���������� ��� �����������

(� =�� �� ������ ������� ��� ������������ � ������ �� �� ��������

*� 3��� �� ������� �� ����� �� ����� ���� �� ������

/� )����� ������� � ���� ����������

0� >����� ���� ��������

Page 22: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

22

��� (/��� �� ��� ��������� ������

!� ������ � �� @���� � ���� #������������ ��� ���� � ���������

+� .� ���� � 2���� ����� ������" ��" ������� �������" �� �� ��#����

,� .� ����� �� ��������" �������� � 2���� �� �� ��#��� �����������"

�����" �� ����� � �� ��������� �

(� .� �������� �� �� 2���� ����� #������ ��� ��� �� ��#��� ���������

*� .� ����� �� �������� �� � �� ������ �� ������� ������� ����� ����� ����

��� ��������

/� $������� �� �������� ��� 2����� � ���

����

" �� � �� �������� ��� ���

������� � ?��� � � � � �� � ����� 1�����%

�� � ���� ��

�� ��� ��� �� � � �

�� �������

�� � ��� ��

�� �������� �� � �� �

�� � �������

�� � ��� ��

�� ��� ���� �� � � � �

�� ��������

3 ��� �����$ ��� �&���� �������������� � ��� �� ���

� � ������ � � �� � � � ����� � � ����

� � ����� � � ��� �

��������$ � ����$ �� � � �$ ��� ������� ��� ������ �� � ��$ �

�����

�� � �� ��

�� ���� ���� �� � � � �

�� ����������

�� � ���� ��

�� ���� ����� �� � � �� �

�� ���������

�� � ���� ��

�� ��������� �� � ���� �

�� ����������

�� � ���� ��

�� ��������� �� � ��� �

�� ����������

� � ����

*�� ���$ ��� � � ��$ ��� ������ ���� �� � � �����,� � �� ���� �

����� ���'����� ��� ���� � ������� � � �� ���� ��� �� ����� �� ���

������

��� (/��� �� '�0���

!� � ���� ������� � ��� ��������� �����&

+� .� ���� ���� ������� � 2���� �����" ��" �� � ��#����

Page 23: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) 23

,� .� ����� ���� �����" " �� � ��#���� .���� ������� � � ��

(� .� ������� �� � " 2���� ��" � �� ����" �� � ��#����

*� .� ������ ��� � ��#��� �� �� ��������� �� �� � � �� 2���� #������ ���

��� � ��#��� �������� �� �� ����� �� ��� #���� ���� � ��#��� �� �� ���������"

���� ����� � ���

/� .� ������ ���� ������� ����� ����� ���� ��� ���������

0� .� �������� ��� ������� � ���

����

������� � ?������ � � �$ � � �$ �� � ���� � � �$ � �����

�� � ���� �� � � ������ ���� �� � ����

�� � ���� �� � � ������� ����� �� � �� �

�� � �� � �� � � ��� � � �� � � ���

�� � ��� �� � � ��� ��� ���� �� � �

�� � � �� � � ���� ��� � � ���

�� � ��� �� � � ������� ����� �� � ����

3 ��� �����

� � ������ � � ������ � � ���� � � � �����

� � �� � � � �����

?������ � � ��� � � � � � � � � �$ ��� �� �� � ���� � � ��$ �

��� ��� � ������� � ��� �� � ������� � ��� � �� ��� � �� ������ ���

� ��� ���� �� �������� � �� ������% �� ����� ��� � ������� ���������

?������ ���� �$ �� �� �� ��$ � ��� ����� � ����� ����$ � �� � ��

����� �������� � �� �������!�

��� (/���� ���-����������

.� ���� � �� ���� �� ��������� �� �������� ����� �� ��� 2������ � ������

�������� � �������� �� ����� �� ������� ��� � ����� 7�� � -������������

�� ��� �� � ���� ���������� ������ ��� ������� ���� �����&

+� !����� � 2���� ����� �������� ���������� � ������ �� �� ����

�� ������ ��� �� �� � ���� � ����� ��� 2����� ������" � � " ����� ���

� � � � � � � � �

,� $���� �� ������� ��" � ����� ����� ������ ��� ������ � � �� � �

Page 24: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

24

(� >����� �� #���� ���������

�� � ������ � ����

���� � � �� �� � � �

*� C������� ��� ������� � �

��

" � � �� �� � � �

C���� ��� ����������� ����������� �� �� ���� � �� �������� � �� ������

�� ������ �� ����� ����� ���� �� � ����� �� ���� ��� ��������� ����

������ �� � ������� � ������� ��� ���� � ���������� ����7���� ��

��������� ��������� -���� ������� � � �� �������� �� ���� ����������

���������������

������� � (�������� �� ������� ������ ��� �� � $ � � �$ � �%

�� � ������ � �����

?������ ��� ������ ��� ������ � � � � �����%

�� � � �� � � �� � � � � �

�� � � �� � � �� � � �� � � � � �

� ������� � ��� � �������� . � = ��� ��������

(�������� � ����� � � � � ��� �� � ������ � ����� � ���$

�� � � �� � � �� � � �� � �� � � � � �

�� � � �� � � �� � � �� � � �� � � � � �

���� ����� � ��� ��� � �������� ������

@������� �#���� � ����� ����� � ��� ������� � � � � � �$ �

��� �� � ������ � ����� $ � ���� �

�� � � �� � � �� � � �� � � �� � �

�� � � �� � �� � � � � � � � �

�� � � �� � �� � � �� � � �� � �

�� � � �� � � �� � � � � � � � �

�� � �� � �������� A$ � � � �,���� ����� �������

����� 2���������� ���-���������� �� ����� � ����

1����� �� ��� ����������� �����%������ ��������� ���� ��������� ��������" ��

������ ��������� ���� ��� ���������� ������������ ����� �� �� ����� �

��� �������� ������� �� �� �� ��������� ��� �� ����� ��� �������� ��� ������

Page 25: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) 25

��" ����� ����" ��� ������� � ! �� �������� ������� �� ������� �� ����� �����

� ��� ������ �� 2���� �� ������ �� ���� ����� ��� ������� � �������

! ������" �� ��7� �� ������� ��� ����� �� ���%��� �� � �������� ��

2����� ���������������� ��#�����" ���� �� ���� 2���� ����� ��������"

�" ��� ������ ��� ������ � �� ������ ��� ��� ��� � �� ���� ���� � �

��� �� � �� � � � ! �� ���� �� � �������� ���������� ����� �� ������ �����

���� �� ���%��� �� � !��� �� ��% ������ � ���� ���� �� ���������� �� ��

#��� �%���� ��� ������� �������" ����� 1�%" �����" ��� ����" ��� �� ������

���� ����� � �� ������ �� ��� �� ���� ��� ���� �� ������ �%��������� � ������

�� �� -�� ��� ������� �������� ���� ��� �� �� ��� ������ �� �� � � � � � �"

������ �� ����� ���" � �� ���� ����� � �� ���������� ���� ����� ��

�������� � �� ������� 3���� �� ��� #���� ��������� ��� �� � ��������

���������� ���� ����� ������ ���� ������ ������ �� �� �������" ������ ��

���� ���� ��������� �����

� ��������� ��� ����� ���� ������������ �� ����������� ���� ������� ���

���������� �� � �������� ���������� ���� ��� ���� ���%��� ������ ��

�� 3������ �� ;��� �+B0B �

������ !"���#$ ��� �������� ���� ���� ��� � ������ � ��' ����

���� � �� ������� ������ ��� �� ���,����� $ � � $ ���� ������

�,���� ��� � � !�

+� � �� ������ ���� �% ����� ������ �� � � � �

,� � � � �� �2������ �� ����� ��� #������� ������ �� ����� � � ���� �"

���� ���� � #����� ����� �� �

(� .� �� �2������ �� �" ������ � � � ����� �� �� �� ��� ����� �

����� � � � ���� � �

1 �� ��� ��� 3������ �� ;���" �� #���� ����� ����� ����� ��� �� �������

�� ��� ���������� ��� ������� ������� ��%� ���%��� ������

����� 2���������� ���-���������� �� ��-���� ���-����� � ���������� �� ������

! ���������� ������� �� ��� ���2 ������ � ��

� �� � �" ����

� ������ ��� ����8� �� ������� ��%�������� ���� �� ����� ����� ������

������� � �� �������� � �� ����� ����� ��� � � ! ��������" ���� �� �"

� �� ��� ������ ����� �� ������ ��������� ����� � � ���� �� ������ � �

������� E�������F �� ������� �� �������� �� ����� �� �� ������ ���� ���

������� � �� �������� ����������� �� ��� �� ���" �� �������� ����� �

� ��� ����� ���������� �� � ����" ��� ���� �������� ��������������� � ��"

���

" � � � �� �������" �������� ����������� � 2���� ���� � � ���� ���

��7��� ��� ����� ������ �� ����� � � � �2������ �� � ��� !��� �� ����

Page 26: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

26

���� ����� ��� �� ����� ��� ������� �� �������� �� �������� ����� � �����

����� ��� ���� ��� ����7������� �� ����������� �� ��� �� ������� ��������

������ � ���� �

! ��� ���������� �� � ��

������� ������������ #���� �������� ���

��������� ��� 3������ �� ;��� �� #���� ����� ��� �������� 1�%" �� ���

�� ������� �� �" �� 2��� #����� ����� �� �� � �" ��� ���� �� �������

������ �������� � ��� ��� ������ 9��� � � � �� ���� ��� �� �2������

�� � �" ��� ���� �� ������� ������ ����� ��� � � � ����� �� ���� 9��

2�����" �� ���� ��� ��� �� � �� 2��� #����� ����� �� " �� ������ ������

�����%� ��� �� � #���� ���" �� ���� �� �� ���������� �� ��� ��� �2������ ��

�� ! ������" �� � ��" �� � � �" �� �������� ���������� ���� ���%���

������ �� � ��� �% �� ����� � � � �� � �" ����� � � 2���� �������

1����� ���������� ���������� � �������� �� ������ ��� ���� �� (0

���� ���������� � ��� ���������

� ���

� � ��� � � �

� ���

� � ���

� �

3���� ����� ���� ���� ���%��� ������ �� ����� � ��� ���� ��

�� �

>���� ���������� ������������ ���� ������ ��� � �� ���� �� (, ����

� ������ ������� � ����������� ��� ��� ��� � ��� �� ����� � �� ������ ��

� ���

� � ����� �� � ��������

� ��� � � � � ��� � � 19�" G4.� � .G49�HG

� ��� � � � � ��������� � � 1����� $>'3'1@

� ���

� � ����� �� � � 1���� � C����� �+B?*

1���� ��� �� ������� ���� ���%��� ������" ��� ����� �� ���� ��� ��������

!� ������� - ����� �@GI ����� � �������� ���������� �� 2�����

���������������� �� *A ����& �� �������� .�� ���������� �� � ��" � �

����� �� � � � ��� �� ������� �� ��������� ������� �� ������� ��������

����������� ���� �������� � ����� �� (, ���� ��� ���������� � ��� (,

���� ��� ����7������� �� �� ������ �� *A ���� � ��� +0 ���� �� ���� ���� ��

���� ������� ���������� �� �� 2���� �������� +(D?D� ��� ���������� �

� �� ����� ����7��� ��� �� ������� ����� ����� ������ ��� -� ��� �������

��� ��#���� ���� ����� ��������� �#���� � �������� �� ���%��� ������ ��

��� � ��" �� � � �" �� ����� � � � ������ � � � ��

��+ (������ ����4����� �� �� ������� �� �� -��

������� �� �.����� ���������

�� �����%� �� ��� ��������� �����%������ ���� �������� �� ������� �� � ����

����� �� 2����� ���������� �� ���� � ����� �������� ������������ �� ���2

Page 27: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) 27

������ �� ��� �������� �������� ��� �� � ���� � ������ �� �������� � ���

�������� �� ������������" ���������� � ������ � �� ���������� � ��� ���

! ���� ����� ��� ����� �� ����� ���������� � � �������� �� ���� ����

�������� � �� ��� �� ������� ��� #��������� ���������" ��" �� ������� �����

�������" �� ��� ����������" ��" ������� �� �����%�����

� �

��

���

��� � ����

��

��� �������" ��������������" �� ���������� ��

���" ���� �� �������� ���

��� �� ��������� 1 �������� ���������� ������ �� ��� ��������� ���

�����������

��+�� �� ������� �0����������

9��� �������� � �����" �� �������� ������� �� �������� ��� �� � � ����������

��� ���������� �� �� ����� ������� � C� ��� #���� �� ��������� �� ����

���� ���������� �� ����������� ����

���

��" ���� � � �� �� � � � � �� C� ���� #����"

����� � �� ������� � ��� 2����" �" �� �������" ��� ��� � � � � ��" �������

�� �������� ������������ ��� #��������� ���������� � ���� �������� � ���

��#��������� �� ��� ��������� ��� ��

� ������� �� �����%����� �� 9��� ���

�� ���������� ��

��� ��� �� ���������� �������� � �� ��� �����%����� � ��%

�� �������� ����� ��������� ����� ������� �� ������ �%��� �� ��� �� � �

���� ���� ��

��+�� �� ������� �� 5����-���6�������6

.� ���� � �� ������� �� �� ������ ����������� ���� �� #��� �� ����������

������ �� ��� � �" �� � � ��� ��" � ���� ���� � �� ���������� ���%���� �� ��

������� �������" ���� ���

�� ��� �

���� � �

��� � ��� ���

!��� ����������� �� ������� ������� �� �����%�����

�� � ���

���

��� ���� � ���� �

���� ���������� ��� � �� ;��������6 ���� ���������

Page 28: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

28

��+�� �� ������� ��� ������������

-������ � 7��� � ����� ��������" � " � ����������� ��� ������� ��������"

��� ��� � � � � ��" �� �� #���� �� ������" ���� ��� ����� �� ����� ����� ��

�� C� ���� #���� �� ������� �� ������ �� ������ ���������� ����� �������

���� ����������� ���� � � � � 1���� �� ������� ����� � ������������ �

����������� ���� �� �� 2����" �" ���������� �� ������� � ������ ����� ��� ��

�������� �� ������� �� ����� ��� ������ ���� � � � � >��������" ���� ���

�������� �� ������������ � ���������� � ��� ��" ���� ������� ����� ���� � �

� ���� �� ����� ������������ �� �������� � ���� ������� �" ��� ����"

������� ������� �������� �� ���������� �� ������������ �� �� C� ���� #����

������� �������� ��� ������� ���������� �� ��� ��������������

� �� ��� � � �� �� � �� � � � �

���� �������� ��� #��������� ��������� �� ���� ����� � ��#�������� �� ���

���������� �%� �� �����%����� �������������

!����� ������ ��������� ������ �� � " ��% ���� �����8�� �������� ���

��������&

��� ��� � � � ��� �� ��� � � �% � � �% � � � % � � � % � � ���

&���� ��� �� ���� � ���� �� � ������ ��'� ����� �

!��� �������� � ��������� ����������� ���� � ����� ���� � �� ����������

�� ��������

! ����� �����" ��� �������������� �� ��� ������ ���� ����� ���

� �� � �� � ��������� � �� � �� � ��������

� �� � � � ��� ���� � �� � � � ���������

� �� � � � ������� �� � �� � ��� � ��� ���

� �� � ��� � �������� � �� � ��� � ������ ��

� �� � ��� � �������� � �� � ��� � ���� ��

� �� � ��� � ��������� � �� � ��� � ���������

� �� � �� � ��������� � �� � �� � ������� �

� �� � � � � ������� � �� � ��� � ��������

��������� � � ��

3����� ��� �������%�� ��� ��� �������������� �������������� ���� �����&

� ��� � � � � � � ��������� � ��� � � � ��� � ���� ���

� ��� � � � �� � ������� � �� � � � ��� � ���������

� ��� � � � � � � ���������� � �� � ��� � ��������

Page 29: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) 29

��+�� �������� �� ����

C���� ��� 2����� � � � ����� ��� � � � � � � �" ��� ��������� �� ������

����� �� �������" ���� ���� ����� �������" ��" �� �� ������ � � �� � �"

������" � ��� ����" � � �� � ���� �������� � ! ����� ���������" ��

������������ �� ��� �������� � � �� � � � � � � �� �� ��� �������� � �����

����� �� ������� �� � �� ����� �� ��� �������� �� �� �� � � ��� ���

"

� � �� �� �� � � � ���� ���������� � �� ���������� ���� ����� � C� ����

����� ��������� �� ���� ������������ � ��� ������ �����������

��� ��������� ��� ���������� �� � � � �� ����� � ��� ��������� ���������&

�� ���� �� � �# � � �� � ���� �

-������ � ����� � � � � � � ����

�� ���� �� � �# � ����� � ���� �

-��������� �� ���� � � ��� � � � ��

�� ���� ��� ������ �����

=�� � �� ��� ��� �� ������ � � ��� � � � ����

��+�+ �� ������� �� �����������

C��� �� ������ �� 2����� ���������������� ������� �� �������� ����

���� �� � ������� ������������ -��� �� �� ��� ������� ����� �������� ��

���������� �� ��� � � �������� ���������� �� ���� � �������� 1�����" �� ��� ��

�������� ��������" ���� ������� ������� �������� �� ����� ������������&

�� !� ���� ������� � �������� �� ��� 2���� �� ������� � �������� ���

#��������� ���������� �� ���� ������� ������� �� ��� ��������� �������

�� ���� ������������� ��� ��������� ��� ������ �� � � �" �" ��

��+�9 �� ������� ��� �:��

! � ������ ������ �� ������� ���� � �� �������� ��� ������������ ��

� � ��� 1 ������ �� ���% ��� ������ #����� �� ������&

(�)�� �

.� ���� ������� ��������� �� ���� ������ �" ���� ���� ��" �� ��������

���� �� ��� ��������� ������������� �� ��&

Page 30: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

30

+� � ����� ����� �� ������ ���� ����� ��������������" �

,� � ����� ����� �� ������ ������ ����� � ���� ������� ������� �� ���

� � �

(� � ����� �� ������ ���� ����� � ���� ������� �� ������ ��� � �� �

*� � ����� �� ������ ���� ����� � ����� ��� �������� ������� �� ��� ����

�� � �� �

/� � ����� �� ������ ��� �����" ���� ������� �� ������ ����� ��� ����� �

� ������ ����� ��#����� ������� �� ��� ��� � ��� �

0� � ����� �� ������ ��� ����� � ����� ���� �������� ������� �� ��� ����

�� � ��� �

?� ��� ���� ������ ��� ������� �� ����� �������� � ���! �

:��� �� �������� �� ������������ � ������ � �� � ��� ��" ����� ����������

��� �������������� �� ����� �����������&

� � � � ������� � � �� � ������� � � ��� � ���� ��

� � ��� � ������ � � ���� � ������ � � ���� � �������

� � ���!� � �������

!� #������� ��� ��� ������ � � �� ������ � �� ���� ��

������� �� ���� ������������" �� ���" � ���� ��������" �� ��������� ��������

�� � � ������%� � ��� ������ � ��� �" �� �����" � � �������

(�)��

1��� ����� ������� �������� �� ���� ������� �� ���� ������ ����� �

�� ���� ������� ���� ��7���� ��� �������%�� ���2 �� 2���� �� ������

�������� �� ���� ��� ���� ����������� 1�%

� �+ ����� ��#������ � ������� � �, ������ ��#������� � �������

� �( ������ ��#������� � ������ � �* ������ ��#������� � �������

� �/ ������ ��#������� � �������

���������� #����������� � ������� ��� ��� �������� ������������

(�)�� �

1 ����� �� �������� ������� �� ������ ������� ! ��� ����"

� � � � ������ � � �� � ������ � � ��� � �����

� � ��� � ������ � � ���� � ������

����� ����� ������� �������� �� ������� ��� ��� �������� �������%���

Page 31: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Generación de números pseudoaleatorios uniformes en (0,1) 31

��+�; �� ������� �� ��� ���0�� ����������

!� ������� ��� ���������� �� �����7��� ��� ��� ���������� ! � ����� ����

������" �� ���� � ��� ��������� �� ��� ������ ��������� ��� ������� � ��

������ �� 2����� �����������

��+�< �� ������� �� ���� ��������

�� ���� ������� � 7��� � ������ � � � ��������� ��� ������ �� ������"

����� ����� ����� ������� ��������� � �������� �� ������� ������������ ���

�������� ���� �������%�� ��� �������� ����� ��� �� ����� ��� �� � � ��� �� � � � �� �

1�% �� ������ �� ����������� ���� �� #��������� ���������� � ����� �������%��

� ��� ���������" ������� ����� ��

�� �� ��������� ��� #�������� ��� � �"

�� ���

��+�= �� ������� �� '���-�>��

-������ � 7��� � ����� ��������" " �������� ��� ���������������� �����

������&

" ��� �

��

������� � �� ����� � ����

������ � ��

�" ������� �� �����" ������ �� �����%�����

� � � ��� ��

��

���

" ����

�� �"

���" ���� �� �������� �� ����������" �� ���������� �������������� ���2

�� ��

����

��+��? �0���������� ����� �0����������

3���� ��� ��������� ��������� �� �� �������� ����� �� ����������� �� �� ���

������� �� �� 2��� ������� !� �����" �� ���� � 2����" � ����������

����� " �� ������� �������� ��� �� �������� � �� ������� �� �������� ����

����� �� �����%����� � ����������� �� �� ���� ��%���� �� �� ������������

���� ������� �� �� ������ � ������� �� �������� �����������" ������" �������

������ � ! �������� ���� ����� ��� ������ �� ��������� �� � ��� 2����

�� �������" �������� � ���� �� �� ����� ��� �����%����� �" � ��� ��������

Page 32: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

32

��� �� �������� �� �������� ��� ���� �� �������� �� ����� ����� 7����

���������� � � ���� � � ���� " � ��� ����������� ��������" �� ���

��" �� �������� ��� �������� ���� ��������� �� ������ �� �� ���������� ���

�����%����� � �� ������������ ������7���� ���� �� �������� ����

��9 ���������� �������

+� !������� �� ���%��� ��� �������� ����������& ��� � ����� �� �

��� ��� �������� � � �����������

,� J3��� ������� ������ ��� ��������� ����������K

�� ��� � ���� � �� ��� �

�� ��� � ����� ��� �

�� ��� � ���� � �� ��� ��

�� ��� � ��� � �� ��� ��

(� C�� � �������� ���������� �����" �� ���%��� ������" ����� ������

�� A ����� L����#%����� �� ������������ ��������� ���� ������� �� �����

����" ������ ��� ������ �������� ������� �������� ���2 �� ���������

������� �����������

*� C��� �� �������� ���������� ��7��� ���

��� � ��� � ����� ���

�� �

���

���� � � �� �� � � �

���� ������ ��������� �� +0 ����" J�� �� ����� ������K J)��� �� �����

����������� �����%������K L����7��� ��� ����������� .� � �� ��" ��������

���� ��������" ���� ��� ����� ����8� �� �������" ��� ��� �� �����

�������

/� J!� ������� ���#������ � �������� ���������� �� ���%��� ������ �

���� ���� ���%��� ��� �� �����K '����� �� ����������

0� J!� �� ����� ����� �� �������� �������� ���������� �� 2����� �����

������������K

�� � ������� � ����� ����"

� �

��

" � � �� �� � � �

L����7��� �� ���������� 3����� ���� ������� �� � ��" J�2��� ���� ��

����� �����K

Page 33: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para lasimulación de variables contínuas

3

Page 34: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 35: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables contínuas 35

�� �

! �� ��� ����� �� ������� ��� �� ��� � ����� �������� ���� ������� ����

���������� �������& �� � ���� �� ������ � �� �� ��������H�������� 1��

��� �� ���������� � ��� 2���� �� ��������" �� ��� ��� �� ���������� ���

�� ����� ������� ���� ������� ��������%������� ! ����� ����� �� ���������

�� ����������� �� ���2 � ���� �� ������� �� 2����� ����������������

��#����� � �D"+ �

��� �� �/��� �� ���������

!� �� � ���� �������� ��� ��������� ���� ������� ������������� ��������

3���� � ����� �� ����� ���� � ���� �� 4��������� !��� ������ � ��

�������� ��������� �������

������ * !�� �������+�$ �� � ��� ������� �������� �� ��� ��� � ����

����� ��� � $ ������� ��������� ����� �$ �� ������� �������� � � � ���$

������������ � �� �������� ������ �� ������ ��� ��� � �������� ���$ ���

�������� ��� ���� ���� (��� ��� �� ��$ �� �

� � ��� �� ���� � �� �������

���

��� ��� ��� ��� � �������� ��� � �� ����� �������� ��� � �� � �!�

,������ ��+�� C������ ��� # �� #��� �� ���������� �� � � ����

� ����� � ��� ��" �� ����

# �� � � �$ � � � � �� ��� � � � �

�� � �

����

�� �

��

����

�� �

9�� ���� ����� �� ����� ��� # �� � � �� � � � # �� � � �� � �" �� �� ����

# �� �� #��� �� ���������� �� �� � ��� ��� �� ������ ����� �� �������" ��

���" �� ��� � ���������

� � ���

�� ���� � ���

��� �

������ � ���������� � ��� ���

!� ��������� ������� �� ��� �� �������� ��������� �� ���� ���� �������

��������� �������� ������ �� #��� �� ���������� � ���������&

&�������� !�-���� �� �������+�$

� � � ��� � � � ��� ���

�� � ���� � � � ���

����

Page 36: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

36

������� . 3�� �� ���������$ ������ � � ������ � ��������$ ���� �������

�� �������� ��� ����� ��� � ���,���� % & ��

�� ��� ��� � ������� � ��� ��� �%� �

' ��� �

�%�

����� � � �

� �� � � �

� �� ��� ��� � �������� ���%

� ��� �

��� ���� �� � � �

� �� � � �

� � ������� �������� � � �������� ������ +������ �

� � ���

�� � � ��� � � �� ���� �

� �� � ���� � � � �

�� ��� �

%

(��� ��� �� ��$ � ��������� ����

�� ������� � � � ��� ���

�� ����� � � ��� ��� ��

%

�� ��������� ������� ��� �������� � ����� � ,� ��� �� � ����� �

���� � � � � ������� � �&��� �������� ������ � � ���� �� �� �� � ��

������ �� ������ ��� �� ��

� � ��� �� ���� � ����

� � ��� �� �$ ��� �����$

� ����

� � ��� �� ���� ������ ���������� ��� �� +��� - -� � �����

�-���� ���� ������� � ,� ���� ����� ��� ��� �� -�������! � �� �

������ �� ���� �&��� � � � �� �������$ ������ � �'��� ��� ������

��� ������� ( � � �

�$ � �������, ����� �� ���� ��� � ����� � ����� �

�������� �� ����� � ���������� ��� �������� ��� ��� �������� � ��� �,� �,����

� ��� ���!� �� ����� ��� ������ ������' ��� �� ��������� ������%

� ����� ( � ���%�

�� ������� � � � ��� ���

�� ����� � � ( � ���

�� ������� ��� ����� ��� ������ ���� ���� �� ��������

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

U

1 2 3 4 5X

G���������� ���7�� ��� ��������� �� �������

Page 37: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables contínuas 37

����� ������� � ������������� ��� �/��� �� ���������

�� ������ ��� ��������� ��� � ���� �� ������ �� ���" � ������" ��

��������� � ��������� ���������� ������� @� ������� �� � ���� �������

������ �����������

�������������� ��� �-���� �� �������+�

+� ! �������� �� #��� �� ���������� � ���� �� ������� ����%����

���� ������� ���� �� ���������� ����� �

,� 1 �����" �2 ������ �� ������� ����%���� ���� � ���" �� ���������

�������� � � �� ������ � ��� � ��� �����" ������� �� �������

����%���� ���� ���

�� �

(� 12 ����� ������� ������� � � ���

��" ����� ������� ��� ���� ������

�� ��� ���������� � ������� �� ��� ������� �� ��������

*� !� ������� �� ��� ���������� �������� �����" � �����" ���������

������� �� ��� �� ������������� �� �� ���������� � ������ � ���

����� ����������� �� �� ������ !� ������ ����� ��������� �������

�� ��������� �� � ����� �� ����� ���� �� �������� ���������� �� ��

������ � ��� � � !� ����� �������� �������� ��� ���� ������� �� ��

�������� �� �������� �� �������� �� ������ ���� ��� ��� �� �����

������ � ���� 2���� ��������� ��� ���� ��� ���������� ��� ��� ���

�������� ������ ���� �� ������� ����� �������� ��� �� ����� �

����� "�-���� ������������� @�� ����� ��������� �� �� �/��� �� ���������

1 �������� �� ������ ������ ������������� ��� �� ����� ������� #�����

���� ������� �� � ���� �� ������� .� ������ �� #���� ������7���� ���

� ���� ��� ���� ��� ������ ������ �������� ���������� ���� � ���� �� ���� �

�� ������� �� �� ��������� �

�������������� ��� �-���� �� �������+�

Page 38: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

38

@����� �

�������� ��� �

�����

$����

������7����

��� �%� �% & �

%����

"

�� � � �

�� ���� ��� ��� ��

%

����

%

-�����

) �� � ���

� �!���

)

!��

�)

�� �

��!��)�

3�������� � ��� ��

���

"

�� � � � � �

���

��

��

��

���

��� �

��

���

��

9����� ��� * & �

�*

� �

"

�� � � *

��

�*

*

��� ����

*

���

M������ �%� � & �

�%�

������ ���

"

�� � � �

�� �� ���� �� �� ��� ���

���

%

�� �������

%

����� $�������� ���������

-��� �� ����� �����������" � ����� � ��� ��� � �� ������� ��������

�� �� ������� ����%���� ���� � ��� � � ��� ��� � �� ����� ������ �� ��

�� ������" ����� ������� ��� ������� ���������� �������� ��� ��������

������������ ��� �� #��� ���

��� 1 �������� �� ������� �� �������

���� �������� ��� >��� � !��� ���� �� ����� ��������

!���� ������� �������� �� #��� ��������

� �+� �

��� �� +

���� �� +

���� �� +

� �

����� ��� �

��

���

����

� � ��� �

��

���

*���

" ��

�� � ������������� �� � ��

�� � ������������ �� � ����������������

�� � ������������������ *� � ��� ���������

*� � �������� � *� � ��������������

*� � ����������� *� � �������������

�� ���������� ������� � �������� � ��� � � ����� �� ���

�� ���� ���

������� �� � ��������

�� ��� �� �� � �

�� ����

����� 9��� �� ���

���� ����

����

���� ��� ������ �� �� ������������ �� � � �����

�� ���������� � ��

������������

Page 39: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables contínuas 39

&�������� �� /��# 0 �� ��

� � � ��� � � � ��� �� �

�� �� � � �����

� � & �� �����

����� � ���� � � �

�� �� � � ��� ����� � ��� � � � � ��� �� ���� ��� � � � �� ��� �

�� � ���� � ��

��� �� �/��� �� �������� ���0�A�

!� � � ���� �������� ���������� �� �� ������ ��� ���� �������� �� ����

� ���" ����� �� ��������� �� #����� ����%���� ���� � ��� � ��� ��#%��� ��

�������� � ��� � " �% �� ������� �� �� ������� ����#���������� �������

���� �� #��� �� ������� ' ���� !� � ���� ���� ������ � �� ��������

��������� �������

������ 1 !�� ���� ����2���# 3�$ ��� ��� ������� �������� �� ����

��� � ������� ' � �� � ���� ������� ��������$ ��������� � �� ����

����$ �� �������� ��� � ��� ��� ����� �$ ���� ��� & �$ �� ������� ������

��� ������������ ��� � � � ' ���� ��� �������� ��� ������� � � � ����

� ���� ,� � ���� � , � ' ��� � 1 ���� ����$ �� ���� ��� ��� ���

� ������� ' $ �� � ��� �������� ���$ � ��� �������� ��� ������� ���� �

��#���� $ ���� �$ �� ������ �������$ �$ � ��� ������� ��������

������������� �� ��� ��� � ������� ' �

!� ������� ������� ��������� �� ����������� ���� �� �������� �� �����

����� ������������� � �� �������� �� ��������� ������������� �� ����

������� ��#���� ����� �� �������#� �� � ' ��� ��� ������ �� ����� ���

���� ��� ����� ��� ������ �� �� ���7�� �� �' ���� ��� ����� ��� ��� >I �

�� ���� ��� ��������� ��������� � �������� �� ���%����� � �� ������� ����

������� ������� �� ��� ���� �� ������������� ������������� � ����� ����� ��

������� ��������� 9��� ������� ������� �� ��� ���������� ����������� ��

��� ����� �� ������� � ������ ������� ���������� � ���� ������� ��������

�" #���� �� ��������

.������ ��� �� ����� ������� �� ���������� �� ������� ' � ��� �

�� #������� ������� ��� �� � ���� �� ������� -���� ���� ���� ����������"

�� ������� �" #���� �� �������" �� #���� ��� ������ ������ ������� & � ���

���

' ��� � � � ��� " ���� ���� � � ��

C�7���� ��� �������#�� �� ' � �� � �&

� � ���� ,� �� � , � ' ��� �

�� � ���� ,� �� � , � � � ��� �

Page 40: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

40

)������ � �� ������ �������" �� ���� ��� � � ���

C��� ��� �� ������� � �� #���� �� �������" ����� ��������� �� ������� �����

��� ������� �� ��������H������� ���� ������� �� �������� ��������� �����

�������" ��� $ �" �� ���������� ��#���� ����� ��� 1������� �� ���

��� ������� �� ��� $ � ��� ��������� � � �� ����� �� �������� �������

����� �� ���������� ��#���� ����� � � 3 �������� ������� �������

�7����� ��� �� ���������� ���������� ��� $ � � �� ����

�� ��#���� �����

� � $������� �� ������ ����� ��� ������� ������� ������ �� �������� ��

������� ' �� ��� ��� ����� �� ������� �������� ��� ��� ��������

C� #���� ��� ���������" �� � ���� ������%� �� ��� ��������� �����&

+� )����� � ����� � �� ������� ��

,� �������� �� ������� ���� ������� � ��� ��� $ � �� ���������� ���

#���� � ���

(� -�������� �� ��� $ � � � � � ���� �7������� ����� � � � � ! ����

�������� ������ �� ���� +�

!� ��� �� ������� ��� $ � �� ������ ���������� �������� � � � ��� �� �

��7���� $ � � � � � �� �� 1�����" �� ������ ��� $ � � � ��� ��� ���

��������� � �� 2����� ���� �������� � $ � ' �� �� 3����� ���� ���� �

����� �� ��������� ��������%� ���� ������

&�������� �� ���� ��+�2���# 3�

� � � ���

�� � � ��� � � � ��� �� � � ��� � ������ ��

�� ����� �� � � � � �� � � ' �� � �

�� � ���� � � � ��

������� �4 !������ ��� ��� � � �� �� ������ �� ���� ��$ �� ' ���

��� ��� � ������� ������� �� ������ � �� �������� ����� ��� *� �

� ��$ ���' ��� �� � � ��� *�! � ��� ����� � �� & � ��� � ' ��� � �

�� � � ��$ ' � � ����� ����������!� �� �� ��� ��� ������ ���

������� �������� �$ �� � ��� � ��� *�� �� � ��$ ������� � � �*� �� �

������ � ���� �

� ��� �

��

�� �� � � ��� *�

� �� � �� ��� *�

� ��� � ' ��� � � ��

�� � � � ���$ �� � ��� *�� *�� ���$ � ���������

������ ��� ����%

�� �������

���� ������� �� - � � ��� ���

���� ����� � � �� �*� ��- �

�� ����� ��� � � � � ' �� ��

�� ����� � � ��

Page 41: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables contínuas 41

����� �D������� ��� ��-�����

C��� ��� �� ��������� �� ��������H������� ������ ��� ����� +�, � 2����

��������� �� �����" ���� ��������� �����" �� ����� #����" �� �7������ ���

������ ! ������ �����" ������ ������������ ������ ���� �� ������� ���

�� �� �������� � �� ���������� 1�%" ������ �� ����� �� ��� ' ��� � � � ���" ��

����

� �

' ��� .� �

� ��� .� � �

����� � �� 9���� ����������� ������ ��� �� � � ������ ' � � ���%� ���

������� �������������� � �� ����� ���������� �������� ����� � � ������

�� ������������ ���� �" ��� ����" �� � �� #���� �� ������� ��������� #���� ��

���%� ' � 1�% ����" �� ���� & ��

�� ���������� ��� ������� � �� ���� , ��� ��������� �� � � � � �� � �

' �� �� �� ������������ �� �������� �� ���� ������ ��

� �

���� � � �

���� � ���

�' ��� .�� � � ��� .�

C� ��� �� ������ �� ������������ �� �������& / ����

�� !� N��� ��� ���������

�� ��������� � �� 2���� �� ����������� �� ��� ����� +�, ����� ����� ������ �

����� �� ' ����� ( �� �� �������� ���������" 0 " �� ���������� ���� �����

�������� ��� ���� �� 2���� �� ������� ��������� ����� ������ �� ������

���� � ! ����� ������������ �� 2���� ����� �� ����������� �� ��� �����

+�, ��

! �0� �

� �

����� ����� ������������ ���� �� 2���� ����� �� ������������ ���������

�� �� ����������� �� ��� ����� +�," � �� ����� �� ��������� ��� �� ��� �� ����

���� ������ ����� ������ � ����� �������� �� �� �������� �� !� �����"

��� ����" ��� ����� ��� ������ � + ��� �� ����� �� ��� �7����� ���� ��

����������

��������� ���� 3�� �� ��������� ���� ������� �� ��� ��� � ������� ����

��� ' ��� ��

�����

�� ��� �� �� � � ��� ��$ �� � ���� ���� �������� ��

' �� ���

����� �������� ��

�� ��� 7���� �� ������� � �� ����� ��� �� ����� ����� �� ���� ����������

��� ��� �� ������ �� ������� �� ��� �����8� 2���� ���� ��� ����7��

Page 42: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

42

' ��� � � � ���" �� �����& �� ��

� ��" ���� ���� � ��� ������� �� � ���� �� ��

������ �� �� ' �

C� ���� #����" �� �� ��������� ��� ' ��� �� � � � ��� �� � � ������

� ���

��� ����

' ���

� ���

1�% ����" �� ���� ����� ������� ��� ������ ���� ������ ��

��� � ���

��� ����

' ���

� ���

������� �� !5���� ��+� �� � ���� � ���� ��� � ����� �6������� �$

� ����� � ������� �� �������� ��� ������ ��,����$ ��� ��� ��� � �������

��� ���� ���

' ��� �

��)

���

� $ ���� ���� � � �$

������ � ��� ���B� -���$ ���������� ��� ������� �������� �� ���� ����

�� ��� � ���,���� . � �������� ��� � ����� !� ���� &����� �������� ��� �

�� ��� ���� �� �������� �������� � ������� ��� �������� ��� ����� ���

� ���,���� . � ���� �������� �� ����� �������� � ������� �� ����������

������ �� ��� ��� � ������� ��� ���� ���

� ��� �

�����

$ ���� ���� � � ��

*��� �� �������� ��� ���� ����� ��� ��� �������� ������ � ��

������� ������� ���� �������$ ������ ��� �� ���� �� ���� �� ��� ���

� �������� ���%

# ��� �

��

� �1� .1 �

� ��

��

���.1 �

���

�� � � ���

��

���.1�

��

����.1 � �� �

����

�� � � �

� ���� �� ��� ����� � ������ � �������� ���� ����� � ���������

�� ������� - � � ��� ���

�� �� - � ��� �������� � � �� �- � ���� ����� � � � �� � ��� - ��

�� ����� ��

6�� ���� ���� � ������ � �� ������� � ����� �� � ' � - -� �����

��� ���� �� � �� ���! �$ ��� �����$ � ����� ������ ���� ��,

��� � ���

���

' ���

� ���

� ���

���

����

���

������

��

)

���

����� ��

��

)

����

���� ��

Page 43: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables contínuas 43

���� 2 ��� � ���

�� ���� 3��� � ��� ��� ��� � ������� �$ ������� � ����

�� � �� ��� � ����� ���� ������ � � ��� � �� ����� � � � �$ ������,

� ������ �� �,���� �������� � � �������� �����%

� & � � 2���� � ��� �� 2

����� � ��"

�� & �� 2���� � � � � � �

2����� � ��

3 ��� �����$ 2 �� ���� �� �,���� ������� � � � � � ���� � ������ � �����

� � � ��� 1����� �, �� �������� � ����� ��� �,����� ��������� ��� ���

��������� � � ������ � � � ������ � �� ��� ���!� (������������$

��� �

��

)

�� ��

��

)

����

���

)

�� �����

(��� ��� �� �� � ��������� ��� ���� �� ������� ����%

�� �������

���� ������� �� - � � ��� ���

���� �� - � ��� ����� � � �� �- � ���� ����� � � � �� � ��� - ��

�� ����� ��� � � ���

�� �� �� �

� ��

�� ����� � � ��

�� ���� ��� � -�� � �������� ���� � ���� �� -�� � ��� ��� � � -���

���� � �

� � �� �� �

' �� �

���

)

�)

���

���

� �� �

�� � � ���

���

� �� ���

��

3��� � � �&��� ���� � ���� ���� � ��� ����� .�= -���� � � �����

�� ����� �������� ���� � � �� ���� � �� ������������ � � ��� ��� � �

���� = � � � �� �

��� �� ���$ ��� � ��� � � ��������� � �������

' ����

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-4 -2 2 4x

C�������� ����� ������� ������ ���������

� ����� ��������� �������� ������ ������

Page 44: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

44

����� �������� �� �� �������� �������� �

-��� �� �� �������� �����������" � ������� ��������� ��� �N��� � ��

�7������ ��� � ���� �� ��������H������� �� �� ����� �� �� ������� � -���

���� �� ������� �������� � ������� ��� ������ �� #���� ��� �� ��������� ���

�� ��� �7����� �������" �� ������� �� ����� ��� ������ ��������� ����������

���%� ������� ��������� ��� ����� ���� �������� � � ���� �7������

! ������" ����� ��� �������� ��� �� #���� �� � � �� �� ' " ��� �����8� ��

�� �%��� �������� ���� �������� ��� �� ���7�� �� �� ����� ��� ����� ��

�� �� ' � C� ����� #�����" �� �������� �� ������� �� ������� �������� � ���

�#����� � ������ �� ���� �������" � ���� ������� 4���� �����" ���� ��

������ ������� � � ' " ��� �� ������������ �2��� ���� �� ����������� ���

���������" ���� �� ' ��� ��#%��� �� �������" � ������� ����� ���� � �� ������

' ��� ��� ���%� ����� �� ��#%��� �� ������� �

�� ������ ��������� �� �������� �� ������ �� #��� �� �������

��������" �" �������� ������� � ����� ������ #������ ����� ����� �� ���������

��� ������� � ������ �� #����� ���� ��� ��� ���� ����� ��� �� ������

������� � �� �� ' & ����3 � # " ������� �� ����� �� ����� ���� ����

������� �� ��� #������&

� � ����

' ���

�� ���

�" 7������" ������ �� ����� ����� ��� ���������" 3�" � �� ������ �� �#�����

�� ���� ������� � &

�� � �$�

�������

' ���

�� ���

O����� � ��������

������� � �������� � � ��� �������� �� ���� ����� ��� � ���,����

% & � ��� ������� �������� � � ������ � � ��� ��� � -��� ���� �������

�� ������ ��,����� �� ������� ���� ����� ��� �� �� ������� ��� � �

#���� ������� � � ��� � � � � ���,���� ����� % � �� �� �� ���

����� �� ������� �

�� ��� �

%

������

$ ���� ���� � � ��

�������� ��� ������ ����� � ���� � ��� % � �$ ���������� ��������$

�� ��������� ���� ������� ��� �������� ��� ������ � ������ � �������� �

� �������%

�� ������� - � � ��� ���

�� �� - � ��� ����� � ��

��� �- � ���� ����� � � � �

��� � ��� - ��

�� ����� ��

Page 45: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables contínuas 45

�� �������� � ������ � �#�� ����� � %$ � �������� � ' �� �� ��

���������$ ����� �� ����

�� � �$�

���

���

���

' ���

�� ���

� �$�

���

���

���

����

���

�������

��,������� � �� ����� ���� � ��� % � �$ � ���

� � ���

���

����

���

�������

%

��

)

���

������ ��

%

��

)

����

����� ��

���� 2���� � ��

�� % ���� 3 ����� �������� ������� � ��� ��� ���

������� � 2�

�� ���� �� �,���� �������� � ��� ������ � � �%$ �����

�� -� ����� �,���� 2���%� �

��

�� (��� ��� �� ��$

� �

%

��

)

��� ���

��

%

��

)

*-��� ����� � ������ %� ��� � ��� �$���� �%

.�

.%

��

)

%�

��

� %� ���

%�

��

)

��

�%�

� �

%�

.��

.%�

��

)

�%�

��

�%�

� �

�� �

��

� �%�%�

� ���

�%�

� �

��%

%�

��

)

��

�%�

� %�

� �%�

� �%

%�

��

)

��

�%�

� %�

� �%

%�

.�

.%

� � � % � �$ �� � % & �

.��

.%�

�������

� �

���

)

& �$ ���� % � � � �� ����� � �������

3 ��� � ��� � �� �#�� ���� ����� ���$ ��� ������� ��������

� � ���������$ � �� ����������� � % � �� ���� �� �� ����� � � #� ��

�� �������$ ��� ���$ � ��������� �,� ' ��� �� ������� �������� ����

����� ���! � � ������ � �� -� #� � ���

0

5

10

15

20

25

0.5 1 1.5 2 2.5 3

)��7�� �� � #���� � %

Page 46: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

46

��� ���������� �������

+� C�� � ��������� ���� ������� �� �������� ��������� ������ �� �������

'��� �

���

��

��

� �$ � � ��

���������" �� #���� ��������" �� �������� �� �� ��������� �� �����

����� ��� -������ �� �7�������

,� C��� �� �������� ��������� ������ �� #��� �� �������

'��� �

������ �� �� � � ��� ��

� � ���� ����

��� � ��������� ���� ������� ������� �� �� ������ 1������ �� �7������

�� ����� ����������

(� 1� ���������� �� ����� �������� �� ����� ���" ����� �� �����" ��

����%����� �" �� �������� �� ���� ������� �� ����� ��� �%����� �������

��� �� �������� ��������� ������ �� #��� �� ������� ���� ���

'��� � ���" �� � � � � �� C������� � ���������" �� ��� ������� �������"

���� ������� �� �������� �� ����� �� �� ����� � ��������� ���������

*� !� ������ �� ��������� �� ��� ����� �� ������ �� � �������� ��

#�������� �� �� �������� �� #��� �� ���������� ���� ��� � ��� �

� � �� � �����

" �� � � � � ���� � ���� ����� C�� � ���������" �� ���

��������� �������" ���� ������� ������� �� ����� ������ �� ����������

/� �� ������� �� ������������ �� �� �������� ��������� ���� ���� ���

'��� �

����

�� �� �

����� � � �

� � ���� ����

!������ � ��������� ���� ������� ������� ���������� �� ����� ����

������� � ������� �� �7�������

0� C��� �� #��� �� ������� '��� ���������

�� �� � � ��� �� � ���� � ��

�����" �������� � ��������� ��� ������� ������� ������� �� �� ������

?� !� ������ �� �8�� ���� ��� ���������� 7������ � �� ������� �� ��

�������� ��������� �� ������� ���� ���

'��� �

������ ������� ��������

��� � � ��� ���

� �� � �� ��� ���

C�� � ���������" �� ��� ������� �������" ��� ������� ������� ������� ��

��� ��������� -������ �� ����� �� �7������ �� ����� ��������� #����

Page 47: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables contínuas 47

� ����� ����������� �������� ���� �������� �� ����� 7� ��������� �

�������� ���������� �� ���������� � � �" � �� � � ���� �

������� �� � �" ������� ���� ������� ���� ����������" ��� ����� ���

��������� ��������� C�������� � � ���� ���� ������� �� 2���� ��

���������� ���������� ����� �� ���� ����� ����� �� ����� �8���

A� !� ������" � �����������" �� ��������� �� ������� �� �� ��8�� ����

����� �� ���� � � ������� �� ������������ ����� ����������� ��

�������� ��������� �� #��� �� ���������� ���� ��� � ��� �

��

� � ���

C�� � ���������" �� ��� ��������� � ������ �������" ���� ������� �������

�� ����� ������ �� ���������� -������� �� �7������ ������������ ���

� ���� �� �� ��� ��������� ������� ���� ������� �� ���������� �����

������

B� !� 2���� �� ����� ������� ������ ��� ������ � ������� ��� ���� 1

�� � ����������� ���� ����� ��������� �� �� �������� �� #��� ��

����������&

� ��� �

���

����

� � ����

�� � � �

� � ���� ����

.� ����&

�� C�� � ��������� ���� ������� ����� ���������

�� .� ���� ���� ���� �� ��������� ��� ���� : �� ������ �� ���������

���� ���������� ���

��

�" �������� � ��������� ���� ���������"

��� ��������" �� ������������ �� ��� � ������� �� ���� : ���

��� ��������� ��� �� �� ���� 1�

Page 48: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 49: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para lasimulación de variables discretas

4

Page 50: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 51: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables discretas 51

�� �

! �� ��� ����� �� ������� ������ � ����� �������� ���� ������� ���������

����� ���������� ! �������" �� ��������� �� � ���� �� �� ����#������

������ � �� ����� ������� � �� ����������� ������" �� � ���� �� ��� ������

��%� � ��� � ����� �� �����������

!� �������� ��� �� ����� ����� �� ������� �� �������� ��������� �������

��" �" ��� ���� ��� ������� ��" ��" � � � " �� �� � � " �� �������������� �� �

� �� � ���" � � �� �� � � � � � �� � � � � ����������� �������" ����������

�� �������" ������� � �������� �� ������ �� ������� �� �������� ��������� 4

��� ���� ��� ������� �� �� � � � � � �� � � �� ��� ������ �������������� ��" � �

�� �� � � � � � �� � � � !��� �� ���������� ��� ��� �� �� �������� ��������

������� �� ����7���� � ����������" ���� ���"

5 % � � ��

�� 5 ���� � �"

����� � �� ������ �� ������� ��� ���� �� �������� ��������� ��

��� �� �/��� �� �� ����E�������� ������

!��� � ���� �� �� �������� ��� � ���� �� ������ ������� ���� �� ����

������ � ������������� ���������� ! ������ ����� ������ ����� �� � ����

�� ������ � �� ��������� ����������� � ���� �����

C��� �� �������� �������� ��������" �� #��� �� ���������� ���� ����

���

� ��� �

����

��" �� � ��

.� ������� ���� ��������� ��� ��� ������� ��� ���� �� �������� �� ����

�������� � �� ��8������ �� ���� 7���� ! ���� �������� �� ������%�

������� �� �� ����" �� �� ������ � ��% ������������� C� ���� #����

����%����& �� � �� � � � � � ��� ! ���� ���� �� ����� ��� �� ���������

���� ��� �� ������� �� ������ � �� ������ �� ��� �� �������� ��������� � ���

���� ��� ��� ������� � ����" � ��� � ���" � � � " � ��� � �� � � � �� ��� �����" ���

����" �������� � � ������� ���� ���������� � ��� ���

Page 52: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

52

��������� ����� 3������� �� �������� ��� � � ����

C� �� ����� #����" ���� �� �������� � � � ��� ��" ������� ����� ���

������ ��� ���

��� ���� �� ����� ���������� ��� �� C� ����� ���

� ����

��7��� �� #���� 2��� ���� ��� #������ �� ���������� ��������� � ����

������" ���� ���� ���� ���� � ��� �� � ��� ��2 � ��� ��� � ��� � � ����

� 2���� 7��� �� �7��� �������� �� � ��� �� �� ���� ��� ������ ����

� �������� �� ������� ���� � ��������� � ��� � � 1 ����� �� ���� �����

��7���� �� ������� #��� ������ �� ������ ����������� �� �� ����������

���������� � � ������ ��

� �� � $�& �� � ��� ��� � � � � ��� �� �

!� ����� ��� ���� #��� ������� ���� ��7��� � ��� ����� � ��� ���������"

� � ���

!� �������� ������� �� � ��������� ��� ��������� �� ������� �� ������

� ���������� � ��� ��� � � �� ����������

������ �� !�� �������+� ����� ��3 � $ ��� ��� ������� �������� ��

��� ��� � �������� ��� � � �� ��� ��� ������ �� (�������� ��� �������

��������$ � $ �� �������� ��� � ��� ��$ ���� �$ �� ������� � ��� ��� �� ����

�� �������� ��� � ��

,������ ��+�� .�� # �� #��� �� ���������� �� � ���� C��� � � �"

�� ����

# ��� � � �� ��� � �� � � �$�& �, � ��� �,� � � � ��

� � �� ��� � �� �

� ��

. � � ��� �

1 ������ ��� ������� �� ������ ����������� ����� �������� � ���������

������ ���� ������� ��������� ���������� �� ������������ ��������� !� ��

������� ��������� �� ����#������ ������ � �� ������ ������������

&�������� �� �� ��'��� ��+� �� ����

� � � ��� � � � ��� ���

�� � ���� � � � � ����

�� ����� ��7������ � �� ����������� ��� ��������� ������ � �� �������

��

� ��� � $�& �� � ��� ��� � � � $�&

���

���

���

�� � �

� ��" ��� ���

��

���

�� � � &

����

���

���

3��� �� �������� ������" ��� ����" � ������� �� �����" �" �� �� ��������"

4" ��� ������ ��� ���������" ���� �� ���� �� #��� �� ���������� ������ �

Page 53: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables discretas 53

������ ��� ������� ��� �� ����� �� � � !��� ����� ����� �������� ������� ��

�2������ ���������" ��������� �� �������� ���������&

&�������� �� �� ��'��� ��+� �� ���� ��� �7����� �������� �

� � � ��� � � � ��� ���

�� ��� � 4 � � � 6 � ���

�� � ����� � & 6 ��� �

��� 4 � 4 � � � 6 � 6 � ���

�� � ���� � � � ���

.� �� ����� ������ � ��� 2���� �� ������� �� �� �������� � ���� �� ��

��� �������� ����� �������� ��� �7����� �������� ���������� ��� ���������

6� �

��

����� �� #���� ���������& 6� � ��" 6� � 6��� � �� ���� � � �� �� � � � � �

� ����� �� ��������� � & 6� � �� ���� ( ��� ��������� �������� C� ����

#���� �� ����� �� ��� ����%� ��� �������� ����������� �� ��� ������ ����� ��

�������������� �� ������� �������� ������� �� ��

������� �� !5���� ��+� �� � ����������+� �� (������$ ?��� ��� ���

�����$ �$ �� �������� ��� � 6������ � ���,���� %$ � ���� ��� ������

�� � �$ �� � �$ � � � �� �������������

�� � � �� � ��� � � �� � � � �� �

���%���

�� � ���

$ � � �� �� � � �

�� �� ��� � ��������� � �������� �� �&���� � �� ��� ��� ���� ���

�� ������� � � � ��� ���

�� ����� 4 � � � 6 � ����

�� �������� � & 6 �����

���� 4 � 4 � � � 6 � 6 ��������

������

�� ����� � � 4 � ��

3���� � � �� ����� � ������ ��� ������ � �� ������� ������ �

����� � ��� ������ � ��� ���� �$ � � ������� �#����� � ��������� ����

����� �� � ��%

�� ������� � � � ��� ���

�� ����� 4 � � � 6 � ����

�� �������� � & 6 �����

���� 4 � 4 � � � 6 � 6 ������

���

�� ����� � � 4�

6�� &�����$ ������ � ���� � ��� ������������� ���� �� ����� �

����� � ������

� �� � �� �

���%�

��

%

���%���

�� � ���

%

� �� � � � �� $

� ���� ������' �� ��� ,� ���� � ���� � � � ���� <�. �� ���������

����� ����� �

�� ������� � � � ��� ���

�� ����� 4 � �� � � ���

� 6 � ��

Page 54: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

54

�� �������� � & 6 �����

���� 4 � 4 � �� � ��

�� � 6 � 6 � ��

�� ����� � � 4�

����� �D������� ��� ��-�����

C��� �� #���� ��� ��������� ������ ���� ������� �� ���������� �������� ���

����� �� � ���� �� �� ����#������ ������ ��������� �2������ ���������"

�� #���� ������ ��� �� 2���� �� ������������� �� �� #���� � & 6 �� ����

�������� ����� � 4" �� ����� �� �� �������� ��� ������ ��� ���������� -��� ��

����� �� 4 �� ��������� � ������� �� ���� ������� ��� ���������" �� ������

�� �� �7������ ��� ����� ���� �� 2���� ����� �� ������������ ��� ���� ("

�� �����"

! �4� �

� ��

������ �� � ���� � 2���� 7��� �� �� ���������

������ �� � ���� � �7���� �������

'������ ���� ������� ���" ���� � ������ �� 2��� #���� �� ��������� ���

������� ��� ���� �� �������� � ������" ����� ����� ���2 ���������� ���

�#����� � ���� 2���� ����� �� ������������ � �� ���� ( ��� ���������

��� �� ���������� ������� ���� ������� � �� ���� �� ������ �� #���� ��������

��� ������� ��� ���� �� �������� �

!� ����� ��� ��� ����� ����������� � ���� ����������� �� � ���� ��

����#������ ������ �������� ����������� ����� �� �������� �" �� ���

��� ��������� � �� #��� ������ � �� ��� �� ���������� ��� �� #���� ���

�������� ��� �������� ������� �� �� ���������" ���� ����� � �� �������� ��

���������" 4" � ����� �� �������� ������� �� ����� �������� ���� �������������

��������� ��� ������� �� � ������� 5��

" �� ������ ��� ���������� � #��� ��

������7�����

������� �� (�������� �� ������� �������� ��� ��� � �� �������� ��� ���

�� ���

� �� � �� � ���$ � �� � �� � ���$ � �� � � � ���

3'�����

5 % ��� �� � ��� �� �

5 ��� � �$ 5 ��� � �$ 5 �� � �

��� �� � �$ �� � �$ �� � !

� ��� �� ������� 4 �� �������� ���

� �4 � �� � ���$ � �4 � �� � ���$ � �4 � �� � ���

Page 55: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables discretas 55

�$ ��� �����$ �� ���� ! �4� � � � ��� � � � ��� � � � ��� � �� ��

��$ ��� � ��������$ �'����� � �������

7 % ��� �� � ��� �� �

7 ��� � �$ 5 ��� � �$ 5 �� � �

��� ���

� $ ���� �$ �

��� �!

� ��� �

� �4�� �� � ���$ � �4

�� �� � ���$ � �4

�� �� � ���

� ��� ! �4�� � � � ����� � ����� � ��� � �� �� � ������$ ��� �����$ ��� ! �4

��

� ��������� ������� � ! �4� �$ ��� �� �����$ ��� � ������ �������$

���� ��� 7$ ������ ���� �� ��������� �,� ' ��� � � ���� ��� � �������

��������$ 5�

-��� ������ ��������� ��� ������� �������" � ���������� ���� ���� �����

����� ������ ��� ��� ��������� ��� �� �� � ��� ������� ��� ���� �����

������������� 1�%" ���� �� �������� ������������� �� ���������� �������" 4"

�� ���� �� ������������ ��" ��" � � � " ��" �� ����� ���������� �� �� ���� ���

5 ��� � �� ����������" ����� �� ���� �� �� �� ����� ��� ����� �� ����� ���

����� �� � �� ������� ������ �� ��� � ������� ��" ��" � � � " ��� C���� ��

���� #����" �� ���������� 5 ������ �� %���� � �� ����� � �� ����� ������������"

��P �� %���� � �� �� ������ ����� ������������ � ��% �������������

�� ��������� ������� ������� �� #���� ����������� .������ �� ������

���" 4" �������� � � ���������� ������� ��� 5" ���� ��7���� !� �����" ��

����� �� � ���������� 7 ����7���� ��� ������ � ��� �� %����� � � � �����

��� 7 ��� � 7 ��� � ������ �� � ��� 1 ������ �� ���� ���������� �� ��7� ����

����" �" �� �� #����

� ��� �

���

7 ��� �� � �� � � � �� �

7 ��� �� � � �

7 ��� �� � � �

9��������� ��� #�������� ��� �� 2���� ����� �� ������������ ��������

� ���� ���������� �� ���� ��� �� ��� �� �������&

! �4�� �

��

���

� ��� �� �

��

�����������

� ��� �� � � ��� �� � � ��� ��

��

�����������

7 ��� �� � 7 ��� �� � 7 ��� ��

��

���

7 ��� �� � 7 ��� �� � 7 ��� �� � 7 ��� �� � 7 ��� ��

� ! �4�� � �7 ���� 7 ���� ��� � ��� � ! �4�� �

Page 56: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

56

-� ���� �� ��������� ��� � ���������� ��� � ������������ � ����

���������� � ��� �������������� ����%� ��� �������� �� � ����� �� �����

�%��� �� 2���� ����� �� ������������ ��� ��������� ��� ���� �����

-��� ����������" ��� ����������� ������ ���� �������� ��� �������� ���

�������� ����������� ����� ��� ��������������" �� �����"

���� ��

� ���� ��

� � � � � ���� ��

>�������� ����� ������� ������ ����������� ������ �� ��� ������� ����

������ �� ����� ���������������

-���� �� �������� � ������� ���� � 2���� 7��� �� �������& ��" ��"

� � � " ��" �� ���������� �� � ���� �� �� ����#������ ������ �� �2������

�������� �������" �� ��� ���������� ��� � &

����

�����" � �� ��������

��������� � &

��

����� � � ���� ������� �� #���� " �� ��� �������� �� ��

�������� �� �#������ ��� ���������� 9�� ��� ������ �� 2���� ����� ��

������������ ���%� ��������&

����

���

��� � ��� �� ���

3��� �� ����� ����������� ������ �� �� ������ ����� ��� ���������� �����

����� ������ ����� ������������ ���� ��� ������� �� ��� ��� 2������ �������

����

������� � (��������� �� ������� �������� ��� ��� �� ������� ���

� �� � �� � ����$ � �� � �� � ���$ � �� � �� � ����$

� �� � � � ����$ � �� � � � �����

�� ��#���� � ������ � ���� �� ������� � � � ��� �� �� � � �� ��� ���

� ������� ��� ���� �� ��������� � �������� ���������� � �� ������

�,�� � �

7 % � �� �

���� ���

7 ��� � �$ 7 ��� � �$ 7 ��� � �$

7 �� � �$ 7 � � � ��

�� �&��� � ������ ���� � � ��������� ��� ���� � �� ������� � ���

������� ��� ���$ 4�$ �� �������� ���

� �4� � �� � ����$ � �4� � �� � ���$ � �4� � �� � ����$

� �4� � �� � ����$ � �4� � �� � ����

Page 57: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables discretas 57

6�� �����$ � �&��� ���� � ������ ���� �� ��������� �

! �4�� � ���� � � � ��� � � � ���� � � � ����� � ����� � � � �� �

�� ������� ������ ����

5 % � �� �

���� ���

5 ��� � �$ 5 ��� � �$ 5 ��� � �$

5 �� � �$ 5 � � � ��

��� �&��� ���� � ������ ���� ��� ���� ���

! �4�� � ��� � � � ���� � � � ���� � � � ����� � ����� � � � �� �

� �#��� ��������� � ����� �� ������ � ���������� ��� ������ ��,��

���� ��� ������� �������� � �� ���� ��� �� � �$ �� � �$ �� � $ �� �

� �� � ��

����� � ����� ������ �� �� E������ ������

! �������� �� � ���� �� �� ����#������ ������ ����� ���������� ��������

��������� ������" ������� �������� ��������" �� ������� ������� �� ����� ��

�� #��� ������ � ��������� � " � � ������ �� ��������� �%��� �����

���� �� ����� �� �2������ � �� ��� �� �� ��������� ��� �������������� �

O����� ������ ���������

������� �* !� ����������+� ���'���� ������� �� ��� �� � � � � � $ �� ��

��� �� ���� � ������������ ��� ���� ���

�� �

$ ���� � � �� �� � � � ��

3 ��� ����� � ���

��

���

�� � � &

����

���

�� ��

� � &

� � �

� � � �� & � � ��

����� ���� �� ��#���� '���� � ������� ������ ���� � � ��� ��� � � � � ���

� !$

��� &����� ���� ��� ����� � � & �� � � � � �$ � �� ��$ � �� �����

� � � ����� �$ ����� ��� �� ���� ���� � ��

3 ��� �����$ � ��������� ������%

�� ������� � � � ��� ���

�� ����� � � ����� ��

�$ ��������$ � �� ��������� ������� ' ����

Page 58: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

58

������� �. !� ����������+� ����-���� $ �� �������� ��� ������� � ��

������ � �&��� � ��� ���� ���� �� ����� ����� � ��� �� ������� ����

� ������������

� �� � �� � � ��� ���

$ � � �� �� � � �

6��� �� ����� � ���� �� ������� �� ��� ��� � �������� ��� ��� ���� ���

� ��� �

��

���

� ��� ���

� ��� ����

� �

�� �� �

� �� ��� ����

(��� ��� �� �� � ���

� ��� � � & � �� � �� � �� ��� ����

� � & �� ��� ���

� ��� ���

& �� � � ��� ����

� � �� ��� �� & �� ��� �� � �� � �� �� ��� ��

� � �

�� ��� ��

�� ��� ��� � � �

���� ��� ��� &����� �$ ����� ���� �� �&��� ��'���� ��� ������� �

������ � � � ������������ ��!$ ����� �

� �

��� ��� ��

�� ��� ��

��

�� ��������� ��� ���� � �� ������� �����%

�� ������� � � � ��� ���

�� ����� � �

��� �� �

�� ����

��

�$ �-������� ���� ����$

� ����� � � �� �� ��� ���

�� ������� � � � ��� ���

�� ����� � � �� �����

�� ������� ��� ����� ��� ������ ���� ���� ��� ����������

��� "�-������ ������� �� ������ ��������� G��

����� �� B�6����

! ��� ���������� �� �2������ ��������� ������ � ���� � �� ���" � #���

��� ��������� �� �� ��������� �� &

��

����� �� ������ �� �� ����� � ����

��� ���� � �� � ��� �� ������� �� � �� � ���������� ������� ���� ���

�������� �� � ����� & � � !��� #���� �� �������� ����� � �� ������ �� �

2��� ����� �� �� ������ � &

��

����� �� #�����

Page 59: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables discretas 59

�� #���� ��� ������ �� �������� ������� � �������� �� ���� ����

�� ����� �� � �� ������ ���� �� �������������� � ������ ���� ��� �������

�� ������� �������� �� ������������ �� � 2��� ������� ���� �� �����

���2 �� ��������� �� �� ����������

������� �1 (�������� �� ������� �������� �$ ���� ���

� �� � �� � ����� � �� � �� � ���� � �� � �� � �����

� �� � � � ����� � �� � � � �����

�� � ��$ �������� �� � �$ �� � �$ �� � �$ �� � $ �� � $ � ��� �

�� � ����$ �� � ���$ �� � ����$ �� � ����$ �� � ����� �� ��������� � �&����

� �� ��� ��� ��� ���� ���� ���� ��� �� '���� ��#�����

3��� 0 ���� � � �&��� � ������ ���� ���� ����� ��� � ��� ������

���������� �� �� ��� ! �0� � � � ������ � ����� � ������ � ����� � ����� �

�� �� *��,�$ ������ �, �� �� � ��� ������ �� ��������� � �� � �

������� ��� ������ � ����� � ��� ������������� �������� ��������

� ����� � � ��� ��� ��� �� �&��� ���� � ������ ���� ����� �

! �0�� � � � ��� � � � ���� � � � ���� � � � ����� � ����� � �� � �

'���������� ���7�� ��� ��������� � #���� �� ����� �� 5�6���

�� ������� ��� �� ������ � �� ������� ������� �� � ������ �� J� �����

���%� ���2 ���� ���� �� �2������ � #���� �� ����� ������ ������ �� ����

����� ��� �� ��������� ��� � ���� ��� ��� ������������ ���� ���������

� ����� ��� ����� ��� �������� � ���� 2���� ����� �� ������������K

!� �������� ����� ��������� �� #���� ���������� � � ����� �� �������

��������

� ����� � �� ��� ��� � ���#� �������� � �� ��� ������ � ��� �������

������� ��%� �� ��� ����� ��� ���� ���� ����� ���� �� ���� � ����� ������

��� ���� � ��� ��� ����� ����� ���������� �� ���� ��� �� �������� �����

�� ����� ���� ! ������ ���� ������������� ��� ���� ���" ������� ��

Page 60: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

60

��%�" �� ���� �� ���������� ���� ���� ��� ���� �� ��� ��� � ���� �����

�� ��� � ���� ����� �� �������� ���� ��������� � ����� ��� ������ !

����� ��������� �� �� ���#� �� 7��� ����� �� ���� � 2���� 7��� �� ����

���� ��� �������� ��� ��%� � � 2���� 7��� �� ���������� ��� �����" ��

���� �� � ���� �� � ���� � � � �� � ���� ��� ��%� � C���� 2���� �� �������

���#������ ��� ���� 1������� ������� ��� ������ ��� ����� ��� ����"

������� ��� ���������" ���� ���������� ��� ����� �� ����� ������� ��������

!� �������� ��� �� ��������" ������ � � ����� �� ������� �������"

������� � ����� � ���� ��� �� � � � � � �� �������������� ����������� ��" ��"

� � � " ��" ������� � ����� ������ ��� ���� ����������� ���� ���������

��� �� � � � � � � ���#�������� ����������� .�" .�" � � � " .�" �� ��� #���� ��� ��

������� �� #���

��

���

.����

-� ���� #��������" ��� �������������� ��������� � ��� ���� ��������� ��

����������� �� � � �� � ����

1� ������ �� �������� ����� ����� �� �� �� ����� �� ��� ������ ��� ����

���� �� ������� " ������� #���� ���������� �� ��� �� �� ������� ��� ���������

�����������&

+� !����� �� ���� ��� ���� ��������� �� ���#����� ������� !� �����

��� �� ��� �� ������ ���#������ �� �������� 9�� ��� � ����� ������"

��� ��� �� �� ���� � ������ ��� �� �� �� ����� ���#������ �" ���

����" ����� ��������

,� ��� ��� ���� �� ������������ ��� �����8� ��� ����� ����� �� ����

������ � �� ���#������ ������� C� � ��� ��% ����%� � ��� ��

������ ���#������ �� ������������ ����� ��� �� �� ���� ��� ������

�� �� ���� ���#������� 9�������� ����� ���� �������%����

���� ���� ����� � �� ��� �� #��� ��� �������� ���%� �����

(� .������ ������ ���2 ����� ����� � �� ��� ��� ��� ���� �� ��� �����8�

������������ �� ������� �� �� ������� ��� �� ���#������ ������ �

:���� ��������� � ����� ����� �� �� ��� ����� ���� �� �� ����

������ ���#������ �� ���������� ������ � � ���� �� ��� ��� ���� �

������ � #���� ������� �������� �� ��������� ���� �� �� �����

� �� ������ ��� ����� !��� ������� � ������ �� #��� ��� �������� �"

��� ����" �� ���� ����� ������%��" � �� ��� ���� ��� ���� �� �% ��

�������" ����� �� ������

*� $������� ��� ��� ���� � ��� ��� �� ��7��� �� �������� ������� ����

��������� �������� ��������� ��� �� ��� ���� �� ��������� ���

� � �� �� ��� ����� � ���������� � ��� �� ���� �� ��� ����������

����� �������� " �� ����� ��������� �� ����� ���� ��� ������� �������

Page 61: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables discretas 61

#�������� ���� �� �������� �� � ��� ������� ���� � �� ����������

����� ��" ��" � � � " ����" ����� ��� C��� ��� � �� ������� �� E#���F ��

����� ����" �� ��� �� ���� �� ������� �� #��� ��� �������� � �� �����

���� � ��" �� ������ ��� ���� ����� �������� � #���� ����� ����� ��

��� �� �� � ���� ���������" ��������%� �� ��������� �� ���� ����� ���

�" �� ���� ����%� ��� E��������F �������� � ������� ��������� ���

������ �� �������� � � ����� �� � ���� ��������� ����� �� � � � �

�� � �� �� ���� ��������� � ����� �� ������� �� #��� ��� ��������

� ���������� ���� � ��� !��� ����� ��������%� � ����� �� �� #���

��� �������� ���� ��� �� �� �������" �� ���� ��������� �� �����������

�� ��� ��

.������� ��� ������ ��������� ������� ������%� � ����� ����� �� ��

�������� #����&

+� 1�������� ��� ��� ���� �� �������������� ��� �����8�� � � ���

��� �� ������������ ����� � �� ���� �� ��� �� ������ ! ���� ��

������� ��� ���������� ���������������

,� ! �� ����� ��������� ��� � ��� ���� ���������� ���� � �� ����

+" ��������� ���� ����� 7������ �� � �������� ���� ������� �� ���

��� ���� ���������" ���� ������ �� ��������

!� ����� ������ ����� ��% ������%�� �� ������ ����� �� 5�6���

������� 4 1������ � #���� �������� �� ���� ���� ����� ������

����� ��� ������� ������ � �� ������� �� �! �� ��� ��� ����� ��������

������

����� � � �

������������� ���� ��� ���� ���� ����

*��$ � �� � ���� ��� �� ������������ ��� ���� ����� � �� � �� � �����

3 ��� ����� � �� ��� ���� �� ���� � ��� ����%

����� ��� � �

������������� ���� ��� ���� ����

����� ��� � � �

������������� ���� ��� ����

����� ��� � ��� �

������������� ���� ����

3 ��� �����$ � ,���� � >�C��� ��� ���� ��� �� ������ '���� ��#�����

Page 62: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

62

(�� �� ��� � ��������� ������ ���������� � �� ����� ���� ��� � ��

������ '�����

�� ����� �,� �������� ��� � ������ ���%

�� ������� � � � ��� ���

�� �� � & ���� ��������

���� ���!��

���� �� � & ��� �������� ����� � � �� �� ���� ���� ����� � � ��

���� "��������

� ���� �����

���� ���!��

��#� �� � & ���� �������� ����� � � � �� ���� ����

��#��� ���!��

��#��� �� � & ���� �������� ����� � � � ���� ����� � � ��

��#��� "��������

��$� "��������

Q���� �� 5�6���

!������ ��� ����������

Page 63: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables discretas 63

� ��������� ������ ���� �������� �� ����� �� 5�6�� ����� ������� �

���� �� ���������� �� ��������

.������ ��� �������������� �������� �� #���� ����������& �� � �� �

� � � � ��" �� ���� ����� ������� �7��������� ����� ���������� ���� �� ����<�

����� .�� ��" ��" � � � " �� ��� ������� ��� ���� �� �������� �� ���������� ��

��������� �� ��� ��������������� !� ��������� ��������%� ��� �������� ����&

� !� �� ��� ��������� � ���� ��� � �� "��#�

� � �� � � � � � � ��� � � ��� �"

���� � ��" ���� �� � ��" � � � " ����� �� � ���

�� � �� � � � ����� �� � ��� �

��� $��#���� ��� ��� %���#�� � # ���� � � ���� ��& � � ��

���� ��� � ' "�(�)*� � ��+��(�)*��

���� ,�� ���� � � � ���� �� � ��� � � �� �� �� � ���

���-�-������ � � ��� � ���� � �� /�

$�������� �� ��������� ������ ��� ������� ��� �����" ���� � � �� �� � � � � � �

�� �� ���� � � � � ����" ���� ��� %����� ��� �� � � � � ��� ��������� ��� ����

������ � ��� ���� � � � � ���� �� ��� ���� ���������" � �����" ���������

� ��� �������� ���#R�S � '����R�S �� ���������� ��� ����� �� 5�6���

9��� ������� ������� ������� �� � ���� ������ � �� ����� �� 5�6��

������� �������� ���� �����&

� � � ��� � � � ��� ���

�� ��� � � � �� ��

�� � � ���

��� 5 �' "�(�). " ���+��(�S" � ��(5)�

���� �� � & � ����� � ��� �

����� � � ". � � � � ��

$� ���� ���� ��� �

������ � � 5�

�� ����� �� � � ��

/� ��� � � � ������

��� �� �/��� �� �� ���� -�4�

!� ����� �������� ������������ ��� � ���� �� �� ����#������ ������

������� � ������� �� %���� � ��� ������

��

����� � � &

����

������ -��� ��

�� �� ����� � ��� ��� 2������ �������� ������ ������������� ���� ��� ������

���� ����� � �� ����� �������� ������������ !� � ���� �� �� ����� ��%� ���

����� � ����� ��� �� �� ������� �� ������� �� �� #��� ������ ���� �����

�� ���� ������������� �#�������� ��������� ������� �� � ���� �� ������

����������� ���� �������� �� ������ �� 2���� �� ������������ ���������

� �� ���� �� ��������� �� ������

��

����� � � &

����

������

Page 64: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

64

-���� ���� �� �������� ��������� �� ���������� �������� � ���� �� ����

��������� ���� ��� ��" � � �� �� � � � � � � ��#%��� ��� ����� ������������ ��

����� �������������� ���� � �� ���� ���� ��� ��� ������� ��� ���� �� #���

�� ���������� & /� �

��

������ -��� �� �� ����� �����������" �����

������� ���� ���������� �� #���� ��������� ����� ������ �������� ���������� &

/� � �" /� � /��� � ��" � � �� �� � � � � �� C��� �� �������� ��������� 4" ��������

�� ���������� ������� �� � ���� �� ���� ��� � ���� ������� � �������� �

������������ �������������� �������� � ��� �� �� �� #���� 8� � ����

���

�� ����

� � �� �� � � � � � � ����� ��7��

�� � ���

��

�/� �

�" ���� � � �� �� � � � � �"

�������� �� � � �� �� ������ ������� �� ���%�

�� �����" ���� ���� �������� �� �������� �� ����� ��� ���� ��� %���� �����

��� ��� �� ���� ��������� �� �������������� ����� � �� ���� ��� �� �������

�������� �� ����� ���������

������� � ?����� ��� #���� �� �������� ��� ��� ��� ���� ��� �� �

����$ �� � ����$ �� � ���$ �� � ���$ �� � ���� � �� � ����� � ��� �

/� � ����$ /� � ���$ /� � ����$ /� � ����$ /� � �� � /� � �� ��� ������ �

�� ����� ���� ���

�� � �$ �� � �$ �� � �$ �� � �$ �� � �$ �� � ��

1 �� ���� �� ������� �� � ���� �� �� ����#������ ������" ���� �� �����

�� � " �� �������� �������� � ���� �� ��� ��������� 8� �� ��%��" ����� ��

����� � � ���� � �� �� 2��� ��� ����� ��� �����" �� ��� �������� ����

%����" �� ������ �� ����� ��� %���� 4 � �������� C���� ����� ���� �� � � �� ��

������ ��� � & /��� ! ���� �������� ��������� ������� �� ������ %����

� � ��� �� ��� �� � � � � �" ���� �� ���� �� ������ � & /� � ����� ����� 4 � ����

&�������� �� ����� ��+� ���� ��� �� � �� ��8

� � � ��� � � � ��� ���

�� ��� � � � ����� ��

�� ��� � � � ���

�� � ����� � � /� ��� � � � � � ��

/� � ���� � 4 � � � ��

9�� �� �����" ��� ������� �� �� ����� ��%� ����� ���������� #�������� ��

#���� ������ ���2 �� �������� ���������&

&�������� �� �9����� �� � � �� ��8

� � �� � � � ����� �� � ��� � �� � ��

�� ��� � 6 � ��

�� � �� � � � ����� �� � ��� �

��� 6 � 6 � ��

���� � � ��6�� �

���� �� � �

Page 65: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables discretas 65

�� � �� � � � ����� �� � ��� � �� � ��� ������ ����

1���� ��� ������ �� ��� ����� + � * ��� ��������� ����� ��������� �����

� �� ����� �� ����� � � � � �� �������� ������� ��������� �����������

�� � �� �" ������� �� �������

-���� �� ����� � ��� � �� �������� 8�" �� ����� ��� �� 2���� ����� ��

������������ � �� ���� * ��� ��������� �� ���� � ����� ��� + ��� �� 2����

�� ������� /� ������������ �� �������� 8�� ��������� ���� �����" �� ��������

��� 2���� �� ������������ �0 ����� �������� �������

! �0� ��

��

���

�� � � �� '/� � 8� � � � �

��

���

� �� '/� � 8�

� � �

� �� '/� � ��� �� � � �

�� �

� ��

! ������" �� � ���� �� ��������� ���� ������ ��%� �� �������� �����

� ���� ����� ��� ������������ ����� � � � ! ��� ���� �� �������� ��� �� ��

������ � ������������" ������� ������ �� 2���� ����� �� ������������

������� ! �0� � � ��

�� )������ � ���� ��������" ���� ��������� �� �

2���� ���������� �� �������� �������" ����� ���������� ������ ��%� �� �

2���� ��� �������� �� �������� �� #���� ��� �� ����� � ����� ���������

������� � ���" � �� ���" �� 2���� ����� �� ������������ ��� ������� ���

� ����� ��������� 1�%" ��� �������" ���� �� �������� �������� �� �������

�� �������� ������� ����%���� �������� �� ����� ��%� �� ��� ����� ��������

����� ��� � ����� ��������� � ������� �������� ��� �� 2���� �����

�� ������������ �����%� ������� ��� ����

��� (/���� �� ����������

�� ���� ������ �� ���� ���� �� � ����� ������� � ����� ��� �� �� ���������

�� ������ �������� ���� #��� �� ���������� �� ������� �� ������ ������

��� �� ��������� ��� ������� � �� #��� �� ���������� �� �� �������� ����

����� ��� �� ����� ��������

.������" �� � ����� �� ����������" ��� �� ����� ������� �� �������� 4"

��� ���� ��� ������� �" �" � � � " �" �� �������������� ��" ��" � � � " ��� ! ����

����" �� #��� �� ���������� �� 4 ���� ���� ���

� ��� �

���

���

.������" ������" ��� ������ ���� �������� ��������� ������" �� #���

�� ���������� # ��� � ������� ������� �� � �� � �� � �� � � � � � ���� �

�� � �" ����� ��� � ��� � � ���� � �� � # ���� � # ������" � � �� �� � � � � ��

!��� 2����� ������ ���� � ��������� ��� �� ������������ �� ��� �� ��������

Page 66: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

66

������ ����� � �� �������� ������ ��� ������� �� �� ������������ �� �� ���

�� �������� �������� ������� ���� �� ����� ��

.� �� ���������� ������ �� #���� �� �������" ���������� ��������� ���

���� ������� �� �� ����� � ����� ����#�������� � ������� �� �� �������� 4�

&�������� �� ����� ��+� ��� ����� ������

� � � ��� � ��� ������-����� #�

�� $�������� � ����� � ��� �� ���� � � � ���

�� � ���� � 4 � ��

!� � ���� �� ���� ������������ ������ ����� �� ����� �� � ����� ��������

�� #���� �������� � ������ ��� ����� �� � � �� �� ��� ����� � ��� ��� ����

�� ��% �� �� ����� # ��� � � � ��� ������� �� � �" � � �� �� � � � � � ��" ������"

�7���� ������� �� �� ���� #���� � ! ���� ���� �� ��������� �������&

&�������� �� ����� ��+� ��� ����� ������ � � ��� �����

� � � ��� � ��� ������-����� #�

�� ��� � � � �� �� ��

�� � ���� � 4 � ��

������� !����� ��+� �� � ����-���� ��� ����� ������$ �� ����

� ������������ � �� �������� ��� ������� � �

� �� � �� � � �4 � � � �� � � ��� ���

$ � � �� �� � � �

(�������� ��� ������� �������� ������� �������� �� ����� ���$ � ���

��� ��� � �������� ��� ���� ���

# ��� �

��� ���� �� � � �

� �� � � �

*-��� ���$

# ����# ��� �� � �� ���� ���� ��� ����

�� �

�� ���� � ����

� ��� ����

��� ���

��

��� ���

� ����

����

� � ��� �����

����� � ������ � � �� ���� 3 ��� ����� � ���

# ����# ��� �� � � �� � �� �� � � �4 � �� � ��

� � ��������� ���������%

� ����� ( � �� ��� ���

�� ������� � � � ��� ���

�� ����� � � ( � ����

�� ����� � � �� ��

��� � � ����� ��������� � � ������ ���������� ����� �����,���

��� ��� �� ���� ��� ����� � ����� � �� ��� ��� ������ ���� �� ���������

��� ������� ��

Page 67: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos universales para la generación de variables discretas 67

��+ ���������� �������

+� -���� �� ������� �� ���������� �� ������ � �� ����� ����������

�� 2���� �� ��������� ��������� ���� �������� ������� �� ��������

���������"�" ��� ����� ����� ��� ������� +" ," (" * � /" �� ��������������

�� � ����� �� � ����� �� � ����� �� � ����� �� � ��� �

9��� ������� ����� �������� �� ��� �� ���������&

� � � ��� 0. ��� ������-����� 0�1.�

�� �� 0�*1� ����� � ��� � 2*. ����

��� �� 0�*1��� ����� � ��� � 2*�. ����

��� �� 0�*1�3� ����� � ��� � 2*�. ����

��� �� 0�*1�4 ����� � ��� � 2*�. ���� ��� � 2*/�

�� � ���� � 2�

J-��� �� �� 2���� ����� �� ������������ ���� ������� � ����� ��

�K -������� � ��������� ������ � � ����� ������ ������ J-���

�� ����� �� 2���� ����� �� ������������K C�� � ��������� ������

� �� � ���� �� �� ����� ��%�� -�������" ����� � ���� ����" �� �����

����� �� �������������

,� !� 2���� �� �������� �� �������� ������� � �� ������ �� ������� ��

�� �������� ���������" �" �� ���������� ���� ���&

� �� � �� � ����� � �� � �� � ����� � �� � �� � ����

� �� � �� � ����� � �� � �� � ��� � � �� � �� � �����

� �� � �� � �����

C�� � ��������� ���� ������� ���� �������� ������� �2������ � #����

�� ����� �� 5�6��� -������� �� 2���� ����� �� ������������ ����

������� ���� ����� �� �� ���������� J-��� �� �� ���� ���� ����� 2����

����� �� ������������ � ���� �� ���� �� � ���� �� �� ����� ��%�K

9��� ���� 2����� � ����" �������� �� ����� ������ ��� 2���� ����� ��

�������������

(� !� 2���� �� ����� ��� �� ������� �� ����� �� � ������� �#��������

������ � ��� �� �� �������� ���������" �" �� ���������� ���� ���

� �� � �� � ��� " � �� � �� � ����" � �� � �� � ��� " � �� � �� �

��� " � �� � �� � ��� � � �� � �� � ����� C�� � ��������� ����

������� ���� �������� ������� �2������ � #���� �� ����� �� 5�6���

-������� �� 2���� ����� �� ������������ ���� ������� ���� ����� ��

�� �������� �� J=� ������� �� ������ ���� ���� � ���� �� ��������

� ��������� �� �� ����������� ������� �� � ���� ���������

����� � �� ����� ������� ���� � �� ��� ���������� ��� �7����� K

Page 68: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

68

*� !� ����� �� ����� ��� ����� ���������� �� ����� ����������� � �

������� �� ���� ���� ����� ����������� ������� �� �������� ���������"

�" ��� ����� ����� ��� ������� D" +" (" * � ?" �� ��������������&

�� � ���� �� � ����� �� � ����� �� � ����� �� � ��� �

C���� �� � �������� ������ �� �������� �� ������ ������ ����� ���

������ �����" ���� ���� ����� �������" � 2��� 2���� �������������

��� ���� ��� !������ ����������" ���� ��� 7" ������� � �� ���������

�� � ����� �� 5�6�� � � �� � ���� �� ��� ������ ��%�� !������� ��

�7������ �� ����� ���������� � �����������

/� -���� ���� �� �������� ��������� ��������" �" 2���� �� #����� ��������

� �� ��������� �� ������ �� � ������ �#��������" ��� ���� �� ��������

���� �� ������������&

� D + , ( * / 0 ?

� �� � �� ���� ���� ���� ���� ��� ���� ���� ����

-������� �� ����� ��%� �" �������� � ����" ��� � ��������� ����

������� ���� ��������� J-��� �� �� 2���� ����� ������ �� ������������

���� ������ � ����� ������� ��� ���������K

0� C��� ��� �������� � ��������� ��� ������� ������� �� �������� �������

��� ��� ��������� �������" ������� � � ���� ���� ��������� ��� �����

���� �� ������������ �� ��� � � �8� ���� ��� �� (D #����� � ��

��������� �� ������� 9������ �� ������� ���%���� �� �� ������� ����

����� J.��%� ������� ������ ���������� �� ���� �� ������������ �� ��

�������� ��������� 2���� �� #����� ������K

Page 69: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos específicos para la simulaciónde distribuciones notables

5

Page 70: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 71: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables 71

+� �

! ���� ���%���� �� ��������� ���������� �����%7��� ���� ������� ������ ��

��� ������������� �� ������������ ��� ����������� �� �����%� �� ����� ��

����������� �� ��� � ����� �������� �� ���������" ����� �� ����� ������

���������� C��������� ��� ����������" �� ��� �������� ��� � ����� ���

���������� �� �������� �� ��� ������" �������� ��� ��� ������� � �����

�� ������������� � ��� ��������� ����������

+�� &������������ ��������

+���� '� ����������� ������

!� ����� ��� ������ �������� ���� ����� ������� �� ����� �������" �" ��

��� �� ���������� ������ 0 �9� :�" �� ���������� �����������" ����� ��������

�� ������� 9� :��

:-���� �� ;�6<:=����

.� ���� � �� �������� ���������� C���� ��� ��������� ���������� ���������

��� !�

� ��� ��� � ��

� � ��� ��" ��� ���������

��! ��� �)� �

��! �� �)� ��

0 ��� �� ������������

&�������� �� ;�6<:=����

� � � ��� �� - � � ��� ���

�� ��� � ;� �

��� ��� � ;� � �)- �

�� � ���� � �� �;� ���;�. �� �;� �� ;��

:-���� ��� �

C� ���� �� � � ���� ���� #������� ������ ������� � �� ���������

��� �� �� �� ���������� ���������� � ������ ������ �� � ��� �� ���������

����#������� �� ����� ��#������ .� ����� ������� �� ��� �� ��� �� �����

������ ������� �� ��� 2��� � �� ���������� �� ����� ����������

C���� ��� ��������� ����������� -� � -�" �� ���������� � ���� ��"

������ �� ���������� ����������

�-�

��� �� �-

�� -

��

-�

�� -

� -�

��� �� �-

�� -

��

-�

�� -

������!

�!

���

Page 72: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

72

�� �� 0�

���

��

�� �

� �

���

&�������� ��� �

� � � ��� ��� �� � � ��� ���

�� ��� � -� � ��� � �. -� � ��� � � � ; � -�

�� -

��

�� �� ; & � ����� � ���� � � �

�� ��� � $ �

��� ��"

"�

/� � ���� � �� � -�$ . �� � -�$ �

:-���� ��� ������ >���� � ��� ?8����

.� #������� ������" ���� �� ������ ����� �����" �� �� 3������ -�����

��� �%����� C���� ��������� ���������� ��" ��" � � � " ��" ����������� � ��

���������� ����������" �� ���� ���

� � 9

#���

��

��

��

����� � ! ����

� - �" ����

0 ��� �� "

�� � �� ��7��������� ������

!��� ������� ����� ��������� ���� ������� �� 0 ��� �� ������ ���������

�� ���� ���������� ��� #���� �� �������� !� ���� ��� �������� �� ������

�� � ��

� � ��� �� � � � �� ���� ����������� �� ������� � C� ���� #����" ��

�������� �������� ������� ���� ����������� ���������� 0 ��� ��"

� � 9

#��

���

��

��

���

����� �

��

��

���

���

�� � ��

&�������� � � �� �� �� �>?

� � � ��� ��� ��� � � � � ��� � � ��� ���

�� � ���� � � � �� � �� � � � �� ��� � ��

+���� '� ����������� �� ����0�

!��� ���������� ����� ��7����" �� #���� ������" ��������� �� ��� �����

������& 9 �� �� ���������� � : �� �� ������� .� #��� �� ������� ����

���� ���

' ��� �

:

)

�:�� ��� 9�

�� " ���� ���� � � ��

� ������� ������� ������� ������ �� #��� �� ����������&

� ��� �

)

� �!��

��� 9

:

��

"

Page 73: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables 73

�� ���� ������� ���������� �� � ���� �� ������� -� ����������� ���

������� � ��� �� ���������� ���� �� ��������� �� �� ��������� �� ���� ���

�� ������� � ��� �� � � � ��� �� ������ !��)

�� � �

��

� !��)� " �����

��������� � ��������� ���������� ��� �7����� ����� �� ���� �� �����

������������&

� � � ��� � � � ��� ���

�� � ���� � � � : !�� �)�� � 9�

+���� '� ����������� ����������

.� ������ ��������� �� � ���� �� ������ �� �� ������7���� ��� �� ��

���� �����������&

1� ��� � ( � � �

��

� � � ��� � � � ��� ���

�� � ���� � � � ( � ����

+���� '�� ������������� -���� � �� �����-

�� ���������� �����" ( ��� ��" ������ �� ��� ����������& � & �" ���������

�� ������" � � & �" ��������� �� #����� �� ���������� �� !���� � �� ���

��� �� ��������������� �� �� ����� �� ���� � ��� � � �� �� #��� ��

������� �� �� ( ��� �� ���� ���� ���

' ��� �

�� ��� ���

����� �

�� � � �

� �� � � �

���� � ��� �� �� �� 2��� ������� ������� ���� ��� �� #��� ������� ��� ��

#��� �� �������� !� ����� ���" �� ��� �� ��� � ��� �� � �" �� ���� ���

' ��� � �� 9��� ���

�' ��� .� � �" �� �� ����7�����&

� �

' ��� .� �

� ��� �������� �.� �

� ��� ��

�,

���

��$.,

� ��� ��

��

,�����$., � � ��� ��

( ���

��

"

���� �� ��7� ( ��� �

� �

��������.�" ��� �� �� ������� #��� ����� ��

!����� 1 ������ �� ���� �� ������� �� ���� � ��� �� �

� ��" �" ��� ����" ��

������� �� �� ����� ������� ���

' ��� �

� �������� �

�� � � �

� �� � � �

Page 74: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

74

9���� ����������� �� ������ ��������� ���� ( ��� �� ��� ��� ����� ��

�������� ��� ������" ������ � ����

� .+ � ���.�� 1�%" �� ����"

( ��� �

�������.� �

�����

�����

� ���

��� ������

�����

�.�

� ��� ��

�������.� � ��� �� ( ��� �� �

!��� ������� ������� �� ������� �� ( ��� �� ���� � ��� � � ��� ��" �� ���

( ��� � ��� �� ��� �� � � � ��� ���� ( ��� ���� �

C��� ��� ( ��� �

� �

����.� � �" �� #����� ������� �� ������7�� ����� � � �"

���� ����� � ( ��� � ��� ��� 9�� ���� ������ �� ���� ��� �� #��� �����

�� !���� ��������� �� ��� �� #�������� �� � 2���� � ��������� ����� ����

��������� 1�����" ����� � � � �� ������� �� �� ����� ��

' ��� �

���

� ��� � � �

� �� � � �

�� ����� ( ��� ���

� ��� ����

�� ��������� ��� ��������� �� �� ���������� ����� �� �� �������

��������� �� ���������������" ��� �7��� ��� �� �� ������ �� ��� ���������

���������� �����������" ��

� ( ��� ��� � ��

� ( ��� ���" ������ �� ���� ��

����� ����� �� �� �����& ��$�

� ( ��� �� � ���� !��� ��������� �� �����

����������" ��� ������ � �� ���� �� ��������� 2���� 7��� �� ���������

����� ����������� �� ������ ���������" �" ���������� ! ������ �� ����"

�� � �� �����" ����� ��" ��" � � � " �� ��������� ����������� �� ���������

��� ��� ��" �� ��� �� �� ����� ( ��� �� �� ���� ��� �� ����"

��

�����" ����

���������� ( ��� ��� -��� ����������" �� ���������� �� !���� �� �����

������� #�������� ���� ���� �� �����������&

&�������� ������������ �� ����� ��+� �� � ��� ��

� � �� � � � ����� � ��� �

�� � � ��� �� � � ��� ���

��� ��� � �� � � �� �

�� � ���� � � �

��

������

!��� ��������� ����� ���������� ���������������� ��7���� ����������

�� ����� ( � ��

� ��������� � 2��� ��������� �� ����� �� � ������� � ����

����� � �

��

���

�� �

� ��

�� �

!�

������� 1�% �� ����&

&�������� ������������ �� ����� ��+� �� � ��� �� ������3 ��

1� ��� � ( � ��

� ��� � 6 � ��

�� � �� � � � ����� � ��� �

��� � � ��� � � � ��� ���

���� ��� � 6 � 6 � ��

�� � ���� � � � ( � ��6�

Page 75: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables 75

��� ���������� ��������� ��� �� ������� ���� � �����" ����� ������ ���

����� �� � �� ������ 9�� ����� �� ��� ������� � �� #���� ������������

-��� ���������� ������ ����� ���������� ��� ����������� ��� ����� �����

�� ���� � ��� � � ��� ������ O������ �� ��������� �� 3���<������ �+B?A

���� ������� �� ( ��� ��� .� ����� �� � ��������� �� ��������H�������" ���

��� �� ������ �� � &�

�� ��� ��� ���� ������� �������� �� ����� ���������

������� � �� � � �� ��������� �� ������ ���� ���

% �

3

� �

���� �

9��� �� ����������� ��� ��������� ���� ��7���� �� #���

� ��� �

�����3 � ���

3 ��� ��

�������

���

����

��� ��� ���� ��� �� �3 � ��

3

��

&�������� �� � ��) � ��

� � � ��� �. ��-� 5��� ����� ��� # ��� �� � � ����� %�

�� �� � � � ����� � ���� � � �

�� � � ��� � � � ��� ���

�� �� � � � ��� ����� � � ���� � �. ���� ���� � � �

9��� ������� �� (��� �� �� � � ����������" �������� �� ����� �� ��� ��

��

� ( ��� �� ������ $ � ���

� ( ��� ��� 1�� ���� ������� ������� $ ���2

�� ( ��� �� � ����� ����� � ��

+���+ '� ����������� ���

C���� ��� ��������� ���������� $�

� (��� �� � <�

� ( ��� /�" �����������" ��

���� ��� �� ��������

� �

$

$ � <

���� ���������� � ��� /�" ���� �� ���������� � � /� 9���� ����������� ��� �

�� ��7��� ����%� ������� ������ ��������� �� ������������� $�

� ( ��� ��

� <�

� (��� /�" �� ��� �� ���������� �� �� � ��������� � ������ ��� �

�������� �� #��� �� ������� �� �� � ��� /� ���� ���� ���

' ��� �

���

����

��� ��%��

� ��� /�

�� � � ��� ��

� � ���� ����

����� � ��� /� �

��

�����

��� ��%��.��

!����� �������� �� ���������� ���� ������� �� ���������� � ��� /�� 9�����

�������" �� ��� ������� �� ����� �� �� ��� �� ������" � ������ �� �� ����������

Page 76: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

76

�����" ���� ���������� �� �� ������ ��7���� !� ��������� �� $�� �+B0(

�� �������� ���� ������� �� ���������� ���� ����� �� / � � � �� �������

�����8���

&�������� �� @�6

� � � ��� ��� ��� � � � � ��%�� � � ��� ���

�� 6�� ������& � �� � � �� � � � � � � �%����

�� � ���� � � � � ���

!� ����� ��� ���� ��������� ����� �������� ��� ���� �� ����� �� ��� ���

���������� �� ������� ����� ����� ��� ������� ������ ��#����� ���� ���

������ � ����� �������� �� �� ���� � 1�����" � #��� �� ���� �� ��� ���

����������" � /" ��� �����" ��������� ��� �7�����" � �� ���� ," �������

� ������ ��� �� �����" ����� �� ������ �����" � ��% ������������" � ������

�� �������� ��� �� ����� ! ��������� ����" �� ����� ��� � �� ��������

����� ����� ��� ������� �� ��������" ��� �� ��� ������� �� ��� ����� ��

����� �� �����

� � ���� ������ ����� � / � ��� ������ �� �� ���� ��� �� ���������

�� LT�< �+B0* �

&�������� �� AB#�)

� � � ����

�� � � ��� �� - � � ��� ���

��� ��� � $ � �

. < � -

� . 6 � $ � <�

�� ����� �� 6 � ��

�� ��� � � ��

&�

!� � ���� ������� ������������� ��7����� ���� � / ������� ��� +�

!��� �� ������ � ��� �� ������ 6 � � ��� ���� , ����� ������ ����%���� �

����7������ 9�� ���� ������" �� ��������� �� LT�< ��� �� ����������� ����

� � � � / � �� -��� ������� � ���� ����� ������ �� ��������� �� -��� �+B?A

��� �� ������� ��� ����� �� ���������� ���� ����� ����� ��� �7������

&�������� �� >#���

1�� ��� � � � �� /�

1��� �� �$� ��� /� � � ����� � ��� � � ��

��� ��%�. � ���� ���� ��� �

� �

����

��%���

1��� ��� � = � ���

��

� � � ��� ��� �� � � ��� ���

�� ��� � - � � � ��

� �

�� �

� ; � � � �! �

�� �� � � ��

��

%"

� =- � �� � � �� ��

���� ����� � ���� � � �

�� � ���� � � �"

%"�

Page 77: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables 77

+���9 '� ����������� �0���������� �� ,������

C���� ��������� ���������� <�� <�� � � � � <� ����������� � �� ����������

���2 0 ��� ��" �� �������� � �

��

���<�

��� ���� �� ���������� ������������

�� � ������ �� ��������" ���� ��

�� .� #��� �� ������� ���� ���� ���

' ��� �

������

� (

��

� " ���� ���� � � ��

-��� ����������" ��

� (

��

���

�� ��� ���������� ������ ���� �� ����������

����� �� ���������� � ���� ����� 1�����" ������ � �� ��������������� ��

�������� �� ���� ��� (

��

���

��

� (

��

��

"�

#�� (

��

���

�" ����� � � ���

���" ����� ���� 2����� ����������" (

��

���

�" �� ��� �������� �� �� �����

�������� C� ���� #����" �� ���� �� �������� ��������� ���� �� �������� ��

�� ������������&

&�������� ������������ � � ����� � � �#�<�� �� ��

1� ��� � �

"�

#�

� ��� � 6 � ��

�� � �� � � � ����� ��� �

��� � � ��� � � � ��� ���

���� ��� � 6 � 6 � ��

�� ��� � � � �� ��6�

�� �� � � �#��� ��� �

��� � � ��� < � 0 ��� ���

���� ��� � � � � � <��

/� � ���� � ��

C� ����� #�����" �� � �� ����� �� ����������� ���� �� ��������� �� 3���<��

������

+���; '� ����������� � �� F��0�����������

C���� ��� ��������� ���������� $�

� ��

�� $�

� ��

������������" �� ��������

��������� ��7��� ���

� �

��

��

�� ���� �� ���������� � �� .������ �� �� $����� �� � � ������ �� ��������

����� � .� ������� ��

' ��� �

��

��

��

���

��

���

���

� ��

" ���� ���� � � �"

Page 78: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

78

��� �������� � �� �� �� ����� 1����� �� ����� ��������� � ���� � �� �����

������ �� ������� �� �� ������������ ����� ���������� �� �� ��7��� "

����� ����� ��������� ������� �� ��� �� �� ���������� �����

&�������� �� ����� ��+� �� � � �� �-� �� � ���

� � � ��� < � �

��

���

��

�� ��� � � ��'

� ��'��

+���< '� ����������� 1 �� �����

C���� ��� ��������� ����������� $�

� 0 ��� �� � $�

� ��

�" �� �������� �������

���

� �

$����

�� ���� ��� ���� ���������� 1 �� .����� �� � ������ �� �������� �1� � ��

#��� �� ������� �� �� 1� ��

' ��� �

(

���

(

��

���)

�� �

��

�����

" ���� ���� � � ��

3����� � ����� �� ������%� �� ���� ���������� � �� ������ �� �� � ��

.������& �1��� �

� ����" ����� ��������� #�������� �� 1 �� .������

&�������� �� ����� ��+� �� � 1 �� 5������ � ���� �� � �

� � � ��� � � � ��� �� � < � �����

�� �� � � ��� ����� � � ���� � � �

�<. ���� � ���� � � � �

�<�

+���= '� ����������� �� H������

�� ���������� �� M������" ; �%� ��" �� �� ����������� �� �� ����������

��� ���� .� #��� �� ������� �� ������������ ��

' ��� � �%�

������ ���

" ���� ���� � � ��

-��� �� ��"; �%� ���

� ��� �%�� !��� ���������� �� ������� ����� � 7��������

� ������� �� ������������ ���� ��������� �� ������ �� ���� �� �� ��������

� �� � ��� ����� 9���� ��������� #�������� ������� �� � ���� �� ������

���������� �����������

&�������� �� �������+� � � ����� � � ����������+� �� C������

� � � ��� � � � ��� ���

�� � ���� � � � � �� �

��

Page 79: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables 79

+����? '� ����������� ��-4����

!� �� ��� ���� ��� #��� �� ����������&

� ��� �

� � ��

���

" �� � �"

����� � � � � * & �� 9���� ��������� #�������� ������� �� � ���� ��

�������

&�������� � � ����� � � ����������+� ���8���� ���� ��� �������+�

� � � ��� � � � ��� ���

�� � ���� � � � �� * ����

� �

��

+����� '� ����������� �� ,����

3��� �������� � ������� ���� �� !����%�" ���� � �������� ����� ����

��������� ������������� �� ������ .� ������� ���� ���� ���

' ��� �

��*

� �

�� � � *

� �� � � *

-��� ����������" �� #��� �� ���������� �������

� ��� �

�� �� � � *

����

�� � � *

�" ��� ����" �� ��������� ������� ������� �� ����� ��������� ���

��������� ��&

&�������� �� �������+� � � ����� � � ����������+� �� ( ����

� � � ��� � � � ��� ���

�� � ���� � � ��

+�� &������������ ��������

+���� '� ����������� ���E���� �������

C��� � ������ 7��� �� 0 �������� ��� � ����� �� ���������� �����

������ �� ������ ��� �� � � � � 0 �� ���������� ��#���� �������� � �����

������ �� ������������ ����� ����� ������ �� �� ��7��� ��� � �� � �� �

(" ���� � � �� �� � � � � 0 � 3��� �� � ���� �� ������ ���������� ����%���

������ �� #��� ������ ���� �� �� ���������� �� ����� �� ��������

����������

Page 80: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

80

&�������� � � ����� � � ����������+� ���'���� �������

�� ��� �� � � � � 0

� � � ��� � � � ��� ���

�� � ���� � � � �0 � ��� ��

+���� '� ����������� ��������

�� ���������� ������� �� ������ � � ������������ �� ���� �" � ��� ��" ��

��7� ���� �� 2���� �� ����� � � ������� �� �����" �����������" � ���

��� �� ������������ �� ���� �� �� .� ���� �� ������������ ��

� �� � �� �

��

���

�� � �����

" ���� � � �� �� � � � � ��

9���� ��������� � ������ �� �� ��7���&

� ��� � 6 � ��

�� � � ��� � � � �

��� � � ��� � � � ��� ���

���� �� � � � ����� � ��� � 6 � 6 � ��

�� � ���� � � � 6�

!��� � ���� �� ������������� ���� ����� � �� �����" ��� ���" � ���

����" ������� ��� �������� �������� �� � ���� �� �� ����� ��%��

+���� '� ����������� �� ,������

�� �������� ��������� ��������" �" ���� ���������� �� 9����� �� ���������

% & � �� �� ���� �� ������������ ���� ���� ���

� �� � �� �

���%�

��

" ���� � � �� �� � � �

�� ���������� �� 9����� ����� ��������� ������� �� � ���� �� �� ����#���

���� ������ �� �2������ ���������� 3���� ����� ��������� �������

��� �� �� ������ ��� ������ �� �� ���������� ���������� 1�%" ����� ���

������� ���������� ��" ��" � � � " ��" � � � ����������� � �� ���������� ��� �%�"

�� �������� ��������� �����" �" ��� ����7��

)�

���

�� � � �

)��

���

��"

���7���� � � � �� �� & � ���� ���������� 9����%��

Page 81: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables 81

��� ��������� ���������� �� ����� ���������" ��������� ������� �� �� ��

��#����" ������� �� � � �� �

�� ! ������ �� ����" �� ����

)�

���

�� � � �

)��

���

�� � �

)�

���

����

%

� � � �

)��

���

����

%

��

�)!���

��

%

� � � �

��

�)�!���

��

%

� ��

�)$

���

��

�� �% & ��

�)�$

���

��

��

)$

���

�� � ���&

)�$

���

���

1�%" ����� ���������� �� �������� ���������&

&�������� �� ����� ��+� �� � (������ �� ��� �� � �6������� �

� ��� � � � � � 6 � ���

�� � � ���

��� � � ��� � � � ��� ���

���� ��� � � � � � � � 6 � 6 � ��

�� ����� �� � � ����

�� ��� � � � 6�

3��� ���� ��������� ���� �� �� �� ����#������ ������ ���� �� ����

������ �� ��� ��� ��7������ ����� % �� ������ ! ��� ����" ����� ��

���������� �� 9����� ���� � 2���� �7��� �� �������� ����������" �� ����

#�������� ��������� �� � ���� �� �� ����� ��%�" �������� ����� ��� �7����

������� � ������ �� �� � �������� !��� ��������� � �� �2������ ������

���� ����� �� �������� ������� ��� �� 2����� �� �� ������ C� ���� #���� ��

������ ��� ��������������� �� �7������ ��� � �����

+���� '� ����������� -���/����

.� ���� �� ������������ ��

� �� � �� � � � ��� ���

" ���� � � �� �� � � �

1����� �� ����� ��������� � ������ �� �� ��7��� �2���� �� #������� ����

��� ������ ���� ����� ����� ������� ��� ����������� -��� �� �� �� �

�� ������" �� ��������� ��� ������� ��� ���� � ���� �� ���������� �� ������

� �� ������� ����%���� �� �� #��� �������

&�������� �� ����� ������ � � � ����������+� ����-����

1� ��� � ( � � �

�� �����

� � � ��� � � � ��� ���

�� ��� � � � ( � ����

�� � ���� � � � �� ��

Page 82: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

82

+���+ '� ����������� �������� ��-����

-��� �� ������" �� ���������� ������� �������" �0 �"� ��" ��������� ��

���� ������ 9���� ������������ ���� �� 2���� �� #������� ���� ��� "� ����

����� .� #��� �� ���� �� ������������ ��

� �� � �� �

��� " � �

��*

��� ���

" ���� � � �� �� � � �

C����� � �� ��������������� � �� ��������� "" ����� ��������� ���� ����

�� " ��������� ���� ������" ����� ���� ��������� ����� ��� ��� ������� �

������ �� ��������� �� " �� �������� !����� ����� � � ���� �����%7��

������ � �� ���������

����

� 9��� �$ � " $�

� (

��

�� �� "

�� �

� �0 �"� �� �

&�������� ��������� � � � ����� � � ������ � ��� ���

� ��#���� ( � (

��

���� "

�� ��#���� � �7����(��

�� � ���� � ��

+�� ���������� �������

+� J9���%� ����7����� �� ��������� ���� ���� ������ �� ��������� +" ����

������ � �� ���� (" ���� ������� �� �7������" �� #���� ��� �� �������

����� ���� ��������� ����������� �� ��������� ,K J-��K

,� � �������� �������� ���������" �� ����" ������ ��������� �� �����

��� ��������� ������������� �� � ��������� C����� � ����" � �����

������ �� �����" �� ������������ �� ��� �� �������� �� ������� � ��

2��� ������� �� ��� ADU� .������� ��� ��� �������� ���������� ���

�������� ���2� �� #���� ����������" ���� � �������� �� �����"

J��� ����%� ��������� �� �������� �&��� � # � ���� -���� � �

�� �� � �����K J9���%� ������� �� ������� ������� �� ��� �� � ����

2���� ��������������� ��#���� ��� ���� ����� � ������� �� �� ��������

�� ���� �K

(� �� ���������" ������ ��� ��������� ���� ��� ���������� � ��� �������

����������� ���������� ��� � ������� �� � ����������� �� �#�������

��" ����� ����������� ���� ���� ��� ������ ��� �� ������� ����� �

E�����F �� �������� ������ � �������� ��-��5��� ��� � ��� ������ ��

��������� ��� ������� ��� �� ������� ��� ������ � ������ ������

Page 83: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Métodos específicos para la simulación de distribuciones notables 83

� ������� � .������� ��� �� �-��5��� ��� �� �������� ���2 ��

���������� ( ��� �� � ��� ���� �� ����� � ������� �� ��� �� �����

�� ����� ��� � �������� �%���� ���" �� ����&

�� C������� � ��������� ���� ������� �� �������� ��������� ��

�� -������ �� �7������ ��� ��������� ���������

*� ! �� ����������� �� �#�������� ��� ��������� ������� ��� ���� �����������

9��� ���� ���������" �� ������������ �� ��������� �������� �� �� �

+DU�

�� 5����� � ��������� ���� ������� �� �������� E2���� �� ����������

���������� ��� �����������F�

�� !������ � ���������" ���� �� ����� 7" ��������� � ��� 2����

��������� ��#���� � ��� ��" ��� ���� ����� �� �� �������� � ��������

/� �� #����� �� ������ �� ���� ��� �� ��� ���� ��������� ��� ���������

������� ���� ������� �� �� �������� ������ �� #��� �� �������&

' ��� �

����� ��� ��

�� � � ��� ��

� � ���� ����

�� >����� � ��������� ���� ������� �� #����� �� ������ �� ����

���� �� �� ����������

�� -������ �� �7������ ��� ��������� ��� �������� ��������

�� J!� ������� ������� � ��������� ���� �� ��� ������� �� ������

�� 2���� �� 2����� ���������� ��#����� ��������� ���� �������

� ����� �� �� #����� �� ������ �� �������K ! ���� �7�������"

�������� ����

Page 84: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 85: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Simulación de distribucionesmultidimensionales

6

Page 86: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 87: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Simulación de distribuciones multidimensionales 87

9� �

�� �������� �� �������� ������������� � ���� ��� � � � � �+� ��� ���� ������

���������� ���� � �� ����� ������� �������� ! ������" � ������� ��

������ �������� ��� ���� �����������" �2���" �� ��� ��������� ��� ����

��� �� ������ �� �����������" ������ ������� ������� ���� �� �� ��

���������� ������� ������� ��� � ����� ������� ��� ������� ��������� ����

���� �������� � � �������

! �� ����� ����� �� ��� ����� �� ���� �" ��� ��������� ��� ������ �������

��� �� ���������� � �� � ���� ������� � �� ������� 1 �������� �� ����

������ � ����� �������� ���� �� �������� �� ������������� �������������

�����

9�� (/��� �� ��� ������������� �������������

.������ � ������ ��������� .����������" �� ���������� ������� C��

���� ��� ' ���� ��� � � � � ��� �� #��� �� ������� ������ � ����� ���� ��

������� ������� �������" '� ����" � ��� ��������� ��������� �����������

'� �������" '� ������� ���" � � � " '+ ��+���� ��� � � � � �+���� )������ � �� ����� ���

��������" ����������� � #������ �� �������" �� ����

' ���� ��� � � � � ��� � '� ���� � '� ������� � '� ������� ��� � � � '+ ��+���� ��� � � � � �+���

�" ���� ����������" ����� ����� �� �������� ��������� ������&

� � � ��� �� ��� � ������ '��

�� � �� � � � ����� . + � ��� �� ��� � ������

'� ������ ��� � � � � ������

�� � ���� �

��� � ���� ��� � � � � �+��

!� �������� ��������� ��� �� � ���� ����������� �������� �� ������

���� ������ �� ��� ��������� �� �� ��������� �" ������" �� ������ �� �������

��� � ����� �������� ! ��� ���� �� ���������%� �� ������� ��� �� ���� ��

������������� 1�% ����" �� �������� ��������� ���� ����� ������� �� � ����

�� ��� ������������� ����������� �� ������ � ����� ������� �� ����������

������� �� �� � ��� ������������� ����������� ��� ���������� ��� � � � � ����

���� � � �� �� � � � � .�

������� � ?�������� � ��� �� ��������� ���� ������� �� �������� ��� ����

��� ������������ ��� � ������ � ��� �������� ���� ���� �������� (�����

Page 88: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

88

����� ���

0�

��9�

9�

��

�:�

�:��

:�� :�

���

��� ��� ��������� � �� �������� ��� ������$ ������, ���� ������� �� ���������

���

0�

���

��

�:�

�:��

:�� :�

��

� ���� ������ � � ���

�9�

9�

��

3��� � ��

� 0 ��� :��$ � ��� �

'� ���� �

:�

��)

���

����

�:�

��

*��,�

' ���� ��� � ' ���� � �

�)

��! �)�

���

��

����

)�����

��

(���

)��

��! �)�

�:�

��:��

�:�� :�

��

:�

�:�

�� :�

��

�:�

��:��

�:�� :�

�$

� ��� �

����

)����� �

:�

���

�� �:������ � :

���

� �:�

�:�

�� :�

���

�$ ��� �����$

'� ������� �

' ���� ���

'� ����

:�

��)

�)

:�

�:�

�� :�

��

���

��

�:�

���

�� �:������ � :

���

� �:�

�:�

�� :�

���

���

�:�

��

��)

�#�

�#�

��#�

��

#�

���

��:�

�:�

���

�� �:

�:������ � :

���

�� �:

�:�

�� :�

����

�:�

��:�

�:�

�� :�

���

��)

�#�

�#�

��#�

��

#�

���

����:

�:������ � :

���

�� :

����

�:�

��:�

�:�

�� :�

���

��)

�#�

�#�

��#�

��

#�

���

%&�

��#������

#�

� ��

��

#�

����

#�

�#�

�#�

��#�

��

#�

'(

��)

�#�

�#�

��#�

��

#�

���

%)&�

��� �

#����

#�

�#�

�#�

��#�

��

#�

'*( $

Page 89: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Simulación de distribuciones multidimensionales 89

� � �� ������� � ��� 0

�#��

#�

���

�#�

�#�

��#�

��

#�

�� �����$ � ��� � ��

���

��

��

� 0�

���

��

�:�

�:��

:�� :�

��$

���� � ��

� 0 ��� :�� � �����

� 0

�#��

#�

���

�#�

�#�

��#�

��

#�

� *��$ � ���������

� ������ ��� ���������� � ��� �������� �����%

�� ������� <�� <� � 0 ��� �� ��%����%�������

�� ����� $� � :�<��

�� ����� $� �#��

#�

$� � <�

�#�

�#�

��#�

��

#�

�� ����� �� � $� � 9�� �� � $� � 9

��

#� �����

��� � ���� ���

������� � !? ����������+� ���'���� �� �� �8����� ���� ���$ � �����

� �� �������� ��� ������������ ������� ��� ������� � ������� � �� -�

�� ���

� � ����� ��� � ��

���

�� �

�� � �

�� ��� ��� � ������� ��� ����$ ��� �����$ ���

' ���� ��� �

��

��� ���� ��� � �

� �� ���� ��� �� �

�� ������� �������� � �� ������ ������� ������

'� ���� �

�����

������

)

.�� �

�� ��

)

�� �� � ���� �� $

� � ��$

'� ���� �

��

�� ��

��� �� � ���� ��

� �� �� �� ���� ��

*��,�

'� ������� �

' ���� ���

'� ����

�����

�� ��

$ �� �� �

+�

��� ��

��

��� ��

,

������� �� � ���� ���� � ��� ���� � �

�����

� �

+�

�����

��

�����

,�

����� � �� � ���� ���

Page 90: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

90

@�������$ � ��������� ������%

�� ������� �� ��� %����%�% '� ���� ��

�� ��

����������

�� ������� �� ��� %����%�% �

-�

����

��

����

.�

�� �����

��� � ���� ���

6��� � ���� . ��� ���������$ ��� #����$ � ������ � � ��� ���B� -���$

��� � ����� � ��� ������� � ����� �'���� � �� �������� � ������

9�� �� �/��� �� ��������I���0�A�

�� ���� ������ ��� � ���� �� ��������H������� �� ��������� ���� �������

��������� ���������� ��7���� � ��������� ������� �� ��� � � � ! ����������

����� ������ ���� ������� �������� ���������� �� �+� .� �������" � ����

�������" ������� ����� ��� ��#%��� ������� �� ������� �������� ��������

�" ������������" �������� ��� �� 2���� ����� �� ������������ ��� � ����

�� ������ ����� �� ��� �%����� �� �7������ ��������� ����� �� ������

�� �������� O����� � �������

������� � ������ ��� � ������ ���������� ������������ ���� �� D��

���E �������� .�����������

�+ �

/���� ��� � � � � �+� ��

�� �

�� � � �� ��

+� �

0�

3������� ��� -+ ���$ � D������E �� �����! � �� ���� .����������� �

����� � � �����$ �� � ����� " ���' � -+ �"� � "+-+ ���!$ � ���%

' ���� ��� � � � � �+� �

��

!� ��

�� ���� ��� � � � � �+� � �+

� �� ���� ��� � � � � �+� �� �+

6��� ������� ������ � �+$ �� ������� ' $ ������ �������� ��� �������

�������� �� � ��� �

����� �� ���� ��

� � � ���� ��

� �

����� ��

+

$ ����

���

� ���� ��� � � � � �+� �

��

��

�� �� � ���� ��$ ���� ���� � � �� �� � � � � .

� � ���� ���

�� ������� ������ ���� �� ������� ��� �� ������ � � ��� ���B� -��� �

� ������ ��

��� ���

' ���� �

� ���� �

!� ��

��

�+

-+ ���

� �� ���� ��� � � ��� ��� ��

����

� '

����

� ������ �

�+

-+ ���

�+�������

����

-+ ���

�,�

����

$

Page 91: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Simulación de distribuciones multidimensionales 91

�$ �� � � �� �����$ ��������

����

� �,

����

� 3��� � � �&��� ������

��� � ��, � � �������� ��� �� � � ��� ��� ���� ���� ������ ���� � � �$ ���

���� ��� ����� � � �������

����

� �,

����

$ � � ��$ � �

��� � �+$ �

� ��$ � � ���'�

��

�� �

�� � � �� � �

+� ��

6�� ���� ����$ �� ������ ��� � � � �

����� ��

+

��� -� �� ��������

��� ������ �� � � ����� ��� ���� ��� � � �� �� � � � � .$ �� � ��� �����

���� ��� ����������� (��� � ����� � � � ����)�� � �� ���$ �

��������� ���%

�� ������� -�� -�� � � � � -+ � � ��� �� ��%����%�������

�� &��� � � �� �� � � � � . ����� �� � �-� � ��

�� �� ��

�� �

�� � � �� � �

+& � �������� ���� �� ���� ��

�� �����

��� � ���� ��� � � � � �+�

������ ��� �������� �� D������E � ��� D����E .�����������%

-+ �"� �

�11�11�

)+��"+

�.����

�� . � ���

�� �

���)��

��"+

� � � � � � � � .�� . � �����

��� ��� � � �&��� ���� � ���� ���� � ��� ����� .�< �� ���������$

� ��� ���� ��� �� ������� ���

!� ��

$ ��� -� �� ������� ������

*��$ �� . � � � ��� � ���$ �� . � � � ��� � �� �$ �� . � � ���� �

� ���� � ���� . � �� ������ � ����� � � �� ����� � -� � �

��������� �� ��������� ���� � �������� ���

9�� (/���� �� ����D������ � ��@�����

! �� ���� �� ��� �� #��� �� ���������� .���������� ��� �������� ������

� ����� ��� ������� ������� �� �������� �� ����� �������� �� ������� ��

������� �� �������� ��������� �������� ������������ !���� � ����� ��

�������� ���� � ����� �� ���������� � ����7���� � �� ���� ������ �������

� �������� �� #��� 7 ��� ����7��� ��� �������� .������� ��� ������

���� ���� ������� �� �������� ��������" ������� ����������� � ���� �� �

2���� ����� � ������� ��#������

.�������� ��� ������ �� �������� ����������� �������� ������� ����

�� �� ����� ��������� ���� ������� ������ � ��������� !� ���������

�� ��� �� ��� ���� ������� �� ������ ��������� ��

� �

����

� ���� �� ��� � � ��� �� �� � � � �

Page 92: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

92

.� ������� �� ��7�� �� #��� ���������" 7 % � �

�� �" ��� �������

��������� ��� ����� �� �������

�� ����������� ������� ������� � ��������

7 ��� �� �

��� �� ��� � � ��

� �"

��� ���������� �� � ���������� �� ��� �������� �� ����

�� �� #���� ����

��� �� �������� 7�����

!��������� ���� ��� 7

C� ���� #����" 7 ����� ����� �� �������� ����#������" � � 7 ���� ���"

�� ���� �� ������������

� ,�

�%� � �� � �� � � �7 ������� � �� � �

�������� � 7

�����

��% �

)��)��

��� ��

'������ ��������" ��� ����" ������ �� ���� �� ������������ �� �� ��������

�������� ����������� �" � ������ �� �� ���� �� ������������ �� �� ��������

������� ���� ���� C� ����� #�����" ������� ���� � ����� ��� ���� ��� ����

��� ���������� � �� �������� � � ������ ��������" �� #��� 7 ���� �����

��������� �� #���� �������

1�% ���� ���� ������� �� �������� ���� ��� ������� �������� ������� ��

�� ��� ���������� �������� ���� ������� � ��������� � ����� ����� ����

��� ��������� ��� ������� �� �� #���� 7��

���� -� �� #��� 7 ��������

����������� ������� �������� �� #���� ������ �� ������� O��������

-���������� � � �" �� ����� ��� �� � 7

����� ���� ����7���

7 ��� �� � � ���� �� ��� � � ��

� � � ��

Page 93: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Simulación de distribuciones multidimensionales 93

C������ ����� � � �� �" ���� ������� ��� �� � 7��

��� ����� �� ������ �

� �" ������ ���������" �� � � �� ����� ���

� ��� ��

� � � ��

C������ ������ ������� �� 2��� � ��� ������

� ��� ��

� � �� ��� ��

� � �

� ��� �� � � ��� ��

��� �� ��� ��

-��� ������ ��� � ��� �� � ��� �� ��� �� � ��� ��

" �� ���� ��� ���

����� � �� �� ����7���

��

� �� � ��� ���

�� �����

����

�� � � � �

����

��

C���� �� ���� ����" �� ���� ��� � �� �� ��� ����� �

����

�� �

����

��

:���� ������ �������� �� �������� ���

����� ���� �������� ������� �� ��

1�%" ��

����

������

�� �

& �� ������ � �

����

��� �" � ���� ��������"

� �

����

�� $������� �� �������

� � � �� ��� ��

� � � �� ��

������� (�� �����$ ��� � ��� ������� �� ���� ����������$ � �����

7��

����� (�� ������ ��������� � �

"�� � ��

#�

"�� � ��

#�

"���

#�

��� ������� � �� ���� �� ������ � �� � �� � �� � �� � � � ��$ �� �� ���

� � �� *��,� � � ��� � �

�� � � � � ��� � �� *�� ��� � ����� 7

������ �

��� ��$ � ��� �� �� �� � � ��� ������� � �� '���� ��������

.� ������� ���� ���� �� ������� �� 7��

��� �� ��� ������� !� ����� ���

��������� �� ������ � �� �������� �� �� �������� ����������� ��

1���� � ��������� �� ������� � ����" ������ �������� ��� �� �������

���������� ���� ���� �� #������ �� ����7���� � ���+

� 3���� �� #�������

������� �� ������ �� ��� #��� ����������� �������� #��� �� ������7�

���� ��� �� ����� �������� �7����������

-���� �� �������� ��������� �� ���� � 2���� 7��� �� ������� ������

����� ����������� ���� � � � " ���� ������� #��� �� ����7����" ���

������� ��

7 ��� �� � �� � �� �� �"

Page 94: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

94

���� ������ ���� ���� ���

7��

��� �

���

� � �

�� ���� �� � ��

��

!���� #������ �� ����7���� � ������7���� �� ������������� � ���+

���������� �� ���� � ��� �� ������ ������������ ���� � 2���� 7��� �� ��������

9�� (/���� ����4D��� ��� ������� �� ��������

���� ������ �����������

C��� � ��������9 � �9

�� 9

�� � � � � 9

+��

� �+� �� ������ ��7��� ��������

)�

%)))&

:�� :�� � � � :�+

:�� :�� � � � :�+

���

���

� � ����

:+� :+� � � � :++

'***(

�� ���������� ����� .���������� �� ���� ����������" �������������

0+ ���9 �)�" �� �� ��� ���� ������� ���� ���

' ���� � � ��)�

�+����! �)�

�������

��

���� ���

9 ��

)��

���� ���

9 �

��

-���� �� ������ ) �� �������&

) �

%)))&

:�

�� � � � �

� :�

�� � � �

���

���

� � ����

� � � � � :�

+

'***( �

�� ������ #��������

' ���� � � ��)�

�+��

�+$

���

:�

�����

���

%))))&�

���� ���

9 ��

%))))&

#�

� � � � �

��

#�

� � � �

���

���

� � ����

� � � � � �

#�

'****(

���� ���

9 �

'****(

� ��)��+��

�+$

���

:���

����

��

+�

��

��� � 9���

:�

+$

���

��

:�

��)

���

��

��� � 9���

�:�

���

+$

���

>-��#�

���� "

Page 95: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Simulación de distribuciones multidimensionales 95

����� >-��#�

�� #��� �� ������� �� �� 0 �9�� :��� C� ���� #����" �����

�� ������ ) ���� ������� ��� �� ������ �� ������������������� �� �� �����

.���������� �� �������" ������ ��� ��������� �� ����������� �

������� ������� ������� �� 0+ ���9 �)� ������� �� �������� ���������&

� ��#���� <�� <�� � � � � <+ � 0 ��� �� ��� � ��� �� ��

�� 7��� � � �� �� � � � � . ��� � �� � 9�� :�<��

�� � ���� �

��� � ���� ��� � � � � �+�

�� ��������� ��� ������� ��� 2��� ���� ������� �� ���������� 0+ ���9 �)�

�� ) ���������� �� �� ���������

(��������+� * �����

� 0+ ���9 �)� � � ��� ������ � �������� � .$

� ����� �,����$ �� � � .$ ���� ���$ � �

���

� 0� � � ��9 � � ) � ���

C��� �� �������� ������������

� 0+ ���9 �)�" ������

���

��

��� � ��

9�

0+

���� �)

� 1�����" ���� �� ������ ��7��� ��������" )" ������ �� ������

�������� ? ��� �����" ��� ��� ?��

� ?� �� #���� ��� �� ������ * � ?

�)?

�� �������� C� �����" ? �� �� ������ �� ������ �� ���� ���� ��� �� ������

�������� � �� ������������� �������� ����� ��� �� ������ ������� * ��

����� �� �� ������ �� ������� ) �

��� ������� �� �� ������ ? �� ����������� ��� ������������ ���������

����������� �� �� ����� ������� �� �� ������ )" �� �����" . ��������

��������� �����������"���� �

���� � � � � �

���+ " ����� ���

����

����� � � ���� ����

� � �� �� � � � � � � ������

����� � � �� � �� �" ����7���� ������ ��� �%� � � ���

��� ) � ���� � %����� ������� �� ��� � ���������� � 1����� ��� �����������

%�" %�" � � � " %+ ���� �� ����� ��������� �� ����������� ��� �������� �� ��

������� �� �� ������ *�

9������� �� �� ����������<

� 0+

���� � 4+

�#�������� ��������� � ����

��� �� <�" <�" � � � " <+ � 0 ��� �� ����������� " �� ���� ��� *���

��<

0+

���� �*

" �����

*���

%)))&

%���

�� � � � �

� %���

�� � � �

���

���

� � ����

� � � � � %���

+

'***( �

1����" ������������ ��� �� ��������� ��� �� ������ ?" �� ����

?*���

��<

� 0+

���� �?*?

� 0+

���� �)

$�������" ����� ����� �� ��������9 ���� ������

��� �

��9 �?*

�����<

� 0+ ���9 �)� �

Page 96: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

96

�� ��� ������������ �� ������ )" �� ����������� %�" %�" � � � " %+ � ��������

����� ��������� ����� ��� ��� ������� �� �� ������ ?" �� ��������� ��������%�

���� �����&

� ��#���� <�� <�� � � � � <+ � 0 ��� �� ��� � ��� �� ��

�� 7��� � � �� �� � � � � . ��� � $� �

�%�<��

�� � ���� �

��� �

��9 �?

��$ �

������� . 3�� �� ��������� ���� ������� �� �������� ���

0�

���

��

����� ����

���� ����

���

6��� � ������ ��� ���������� � ����� ���� � ) �������� ��! �)� %4� �

�$ � � ��$

��������� % ����

���� ����� %

���� � � � ������ %� ������ %�� �������

� �

� %�

� �%� � � � � % �

���

�� � � � �

$

� ��� ��� ���� ���� %� � � � %� � �� 6��� � ������ ���������� �

������ � ������������ � ��� ���������� �� ����� �,� � ������ ���

������� �)� %�4���� �

��� ���� � � �� � ��������� �� ���� ��� � ������

����� � �$ � � �� ��

�� �

�� �� *��$ ������

)� %�4 �

������ ����

���� �����

�� �����

��� ��

��

�$ ����

�)� %�4���� �

��� � �� � �

��$ ��� ��� ��

�� �

�� �$ � ���

��

��

�� �$ ���� �� �

� �� � ��

������� � ���� ��� �� �������� ����� � �����!F

)� %�4 �

����� ����

���� ����

�� ����

� ���

��� ��

�$ ����

�)� %�4���� �

��� � �� �

��$ ��� ��� ��

�� �

�� �$ � ���

��

��

��

�� �$ ���� �� �

� �� �

3 ��� �����$ �� ������ ? ������$ ��� ����� ������������$

? �

��

��

��

���� ��

��� ���

��

*-���

��$ � *

�����< �

� �� �

��

��<�

<�

��

� ��<���<�

Page 97: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Simulación de distribuciones multidimensionales 97

� '������$

��� �

��9 �?

��$ �

�� � ���$� � ��$�

�� ��$� � ���$�

��

*��$ � ��������� ���������

�� ������� <�� <� � 0 ��� �� ��%����%�������

�� ����� $� �

��<� � $� �

��<��

�� '(����� �� � � � ���$� � ��$� � �� � �� ��$� � ���$��

�� �����

��� � ���� ���

9�+ ���������� �������

+� �� ��#������ � ������ �� � � ������ �� ���� �$ �� � ������ ��

+? ��������" ���������� � ���� ��� �� �� �������� � �� ����� ��

�������" ����� �������� �� �������� ���������" ���$ �" �� #��� ��

������� ���� ���

' ��� ,� �

��

��

��� ���� ,

��� �� � � ���� �� � , � ���� ��

� � ���� ����

.������ ����� ���������� ����������� ������� �� � ���� �� �����

������������ ��������� ���� ������� �������� �� �� ��� �������

��������� J-��� �� �� �7������ ��� ���������K J!����� ���2 ����

� ���� ���������� ���� ������� ���� ����������K C��" ��� ���������"

�� ���� � ��� ������� ����� �� ������

,� C�� �� #�������� ������ �� � ��������� �� ������ ���� �� ����

������� ������������

(� �� �������� ��������� ����������� ���$ �" ��� ��������� �� 2����

�� �������� �� � ������� �#�������� � �� 2���� �� ������������ ���

.1G �������� �� ��������� ������������ " ���� �� �������� ���� ��

������������&

� �� � �� $ � �� � � � � � � � � � � � � � � �

� � � ���� ���� ���� ���� ����

� � � ��� ��� ���� ���� �

� � � ���� ���� ���� ���� �

C�� � ��������� ���� ������� �� ��� �� ��������� ���$ �� -������ ��

�7������ ��� � ����� J9���%� ��������� ����� �7������ �� ����������

������� �������� �� �������� �K

Page 98: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 99: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Diseño de experimentosde simulación

7

Page 100: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 101: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Diseño de experimentos de simulación 101

;� �

! �� ������� ���%���� �� �������� ������ �� ��� ��������� ��� ����������

� �� ���� �� ����8�� � ������� �� ��������� ! ������ ����� �� ����� ��

���7���� ��� ����������� � ��#������� ���� �� �������� � �� ������������

����� �� ������� ����� 3���� �� �������� ������ ������������ ����� ��

�������� �������� � �������" ��#��������" ����� �� ��� 2�����" ���� ��

�������� ��� ������ � ��� ������� .� �������� ������ � ����� �� ������

�� �� �� ������� � �� ������� ���� ����� �������� ��� ��������� �� �������

������ � ��������� ��� ������������ ������� � �� �������� ��������

;�� &�E�������� � ���������� ��� �� ���������

����� ����

-��� �� �� ��7� � �� ������ ����" �� �������� �� �� � ���� ���������

� �� ��������� �� ����������� �� �������� ����� � ������ ������%�� �

������ �� � ������� ����� 1 ������ �� ���� ��7��� �� ����� ��� �� ��������

��������� �� ��� ������� �� � ����� �����%������ ���� ������ ��� ��������

��������� � ���� ������� ��� ���������� �������� ��� �� ������������

����7���� ���������" ��������� �� ��7���" ��������� �� ��������" ���� �

9�� ���� ����" ����� �7������ ���" � ������" � ����� � �� ��������� ��

� ����� �����%������ �� ��� ������� � �� ������ ������������ ����� �� �������

�����

!��� ��� ��#������� ���� �������� ��� ���������&

+� �� ��������� �� � ����� �� �������� ������" ��������� �� �����

����� �� ��7��� � ��������� �� �������� �� ���� ���� #������� � ��

�������� ��� � �� ������������ ����� �� ��� �� ��� ������ ��

��� ���������� ���� �� ������ �� �� �������� � �� �������� �" ���

����" � �� �������� ����� �#������ ����� �����" ����� �% ����� ��� ��

������" ��� ����" �� ����� #����" �� ������������� ��� ��������

,� �� �������� ����� ����� � ��� ����� ��� ������� �� � ����� ��

������� � ����������� !��� �� ������ � ���" � �� ������� �� ��

��������" �� #������� �������� � ����%����� 2���� �� ���������

����� ��� ��� �� ����� ���������" ��� ������� � ��� ���� ������"

���� ��� �� �� ��� �������� � �� ������������ �����

(� �� ������������ �� �� �������� �� ��� ���� ������� �� ������� ��������

�������� ����������� ����� ��� ������ �������� ��������� �����������

Page 102: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

102

��������� �� ����� ������� � �� ��������" ������������ ����7�

���� � !��� ������� ��� �� ����� ���� �������� �� ����� ���������

������������� ���������� � ����� �� ����� �����������" �� �� ���

�������� ������ � �7������ ����� �� ���� �� �������� �� ��������� ��

2����� ���������� ������" ����� �� �� ����� �� � ����� �� �������

�� �� ������� �

;�� ���������� �� ��� � ��� ����

�� �������� �� ���� �������� �� � �� ������ � ����� ��2 ����� �� �����

����� ��� ������ ������� ��� �� ������� �� �� ������ �� �� �� ��� ���������

���������� ��� ������� ! �� �������� �������� ������� ��� ������� ����

����� �������� ����������� ��� ��� ������ ��������� ��� ����" ������� ���

���� �� ��� ���������� � �� �������� �������" �������� � ������� �����

�� ����7����� 1�����" �� ����� ������������ �� �� �������� �������� ��

������� ��� ���������

�� �������� �������� �� ��� ��� #����������� � �����%����� ���� ����

������ �� ������������� ����������� �� �������� � ����� �����%������ ������

������ ���� ����8�� ���������� 7���� ������������� ��� �������� �������"

���� ������� ��������� �

! �� �������� �������" ��������� �� ����� �� �� �������� ��� ����

����� ������� ��� ��� ��� �� ������ � ������� ��� ��������� � �� �������

!��� �������" � ������" � ����� ����� ������������ � ��������� �� �����

�������� � ���������� !����� ��� ������ ����� �� �������� �������&

�� �������� ������" � �� ��� �� ����� ��� �� ������� ������ �� ������

����������� � �� �������� ��������" ���� �� ���� ��� ������� �� �������

� ������� ������� �� ������ ���������� �� ��� �� ��� ������ ���� �� ���

� �� ������ ���� �� ������ �� ������� �� ������" ������� ��� � �� ������

�� ��������� C���� �� �� �������� �������� ������������� �� �������� ���

������ � �� �������� ��� �������

;�� ���������� �� ������ � �� ������

-� �� ����� �� �������� ��� ������" � ��%����" ��������� �� ���� ��

�������� ������� �������� � �� ���� �� ������� �� �������� ������ ���� �

���� ����� �� ��������� ��� �������� ������ �� ����� � !��� ������� �� ������

��� �� �������� ������������ ���� �� ����� ������ ������& ����� ������

�� ��� �������� ������� � � #����� �������� � ���� �� ����� �� �� ��� ��

��������

Page 103: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Diseño de experimentos de simulación 103

�� �������� ��� ������" � ��%����" ������� � �� 7����#%� ���������

��#������ .� ����� �� ������� �� ������� ���� ��������� � �� ������ �����

�� ����� �����8�� ��������� �� ������ �� ������� @" 7��" �������� �����

� ��� ������ �� ����� ���" � �� ����" � ��� ������ ����� �����������

! ������" �� �������� ��� ������ �� ������ � �� ��� ��#%��� ������

������" ���� �� ����� ��� ������ ������� ��� �� �������� ��� �������

.� ������� ���� 2����� �� ������ ����� �� 2��� ����������� #������� � ��

�������� ������� �������

;�� !/������ �� ��������� �� �� ������A�

!����� � ��#% �� � ����� ��������� � ������� �� ������� � � ������� ��

�������� � ��� � ������ �� ���������� 1����� �� ����� �� �� ��� �� 2�����

���������� ������" �� ��������� �� ��������� ���� �����" �� �������7����" ��

��� �� ��������� �� ������" �� � ���� L��<<�#�" ��� � ����� �� ����������

���������� ���� ����� �� � ���� ��������� " ���� ! �� ��� ����� ������������

��� ���� �������� � ����� ����8����� ! ������ ������ ���� � ����� ���

�� �� �� ��� ��������� �� �� �������� �� ����������� ������� �� ������������"

� ������ �������� ����� � ����� �� ������� �� �� �������� V���� ��

���������� ��������� ����� �� �������� ������� �#����� ����������" ��

��� �������� ��������" ��� ����� ��������� �������

;���� .����� ��������� �������

.������ ��� �� ����� �������� ��� ����������� �������� ������� 0 �������

����� �� � ���������� �� ��������" �� ��� ������ �� �� ������� ��� ����

���� �� ����� �� ������& ��" ��" � � � " �( " ���� �� ������� � $�" $�" � � � " $( "

���� �� ������� ����� ��� ������ 2����� ���������� ��� ����� ���������

��� �������� �� �� ����� ������� � ��� ��������� �� ������ �� �� ��������"

�� ���� ��� ��+ ���� $�� & �� .� �� ������ ������� �� ��#������ �� ��� ������

�� ���� �������� �� ������ ���� ����� �����������& ! ����! �$ � � ! �� � $ �

����� ������ � � $ ��

(

�(

������ � $��" ���� ������� ���� ���� ���

- �"

�� � $

��

0�

(�

���

- �" ��� � $�� �

0

- �" ��� � $��

0

�- �" ���� � - �" �$��� ���+ ���� $���

��

0

�- �" ���� � - �" �$��� "

Page 104: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

104

��� �� �� ������� ��� ����%���$ � ���� �� ����� ����� �������� ������

������ ���� ���� ����������� !��� ��������� ��� �� ��� ��������" � �#�����

�� ������� �� ������� �� �� ��������" �� ��� �� 2����� ���������� �������

!��� ����� �� ��� ������� � �����%����� ����� �� ����8� � ���������

�� �� ��������� �� ��� ���������� ������� �� ������ �� ��� ��������

�������� ���������" � ����� �� �� ��������� �� �������� ������������

;���� ��������� ���/����

.������ ����� ��� �� ����� ������� �� ��������� �� �� 2��� ����������

��� ���������� �� ���� ���� ���������� � C������ �� 0 �����������

�� �� ��������" �������� 0 ������� �� ����� ��" ��" � � � " �( " ������

����� � ������� �� ����� ! ��� ������ ������� � ��

(

�(

������ -��

�� �� ������" ���� ��� ��� �� � ��������� ��������" �� ������� �����

������� ������� - �"

��

�� .� ��� ��������� �� ����������� �� ���� ���

- �"

��

��

(�

�(

���- �" ����" ������� ���" � ������" �� ����

- �"

��

��

0�

�(�

���

- �" ���� � �

��

�������.�

��+ �������

��

�� #���� �� �������� ���� 2����� ������� ���� ������� �� ������� ��� ���

������� ������� � ����� ��� ���� �������� �� %���� ����� ��� ��������

���� ��������� �� �� �������� �� %���� �������� ������ ����������� ��

��� ����� � �� #���� ��� ������� �� �������� ���� ����� �� ������� �� � ����

�� ������ ���� ������� ��� �� ������� � ����� � ����� � � � ��� �� ����

������� ����� � �� ����� � � � ���� ������� ���" �� �������� ���� ����" ����

� � �� �� � � � �(

���� 0 �� ��� � !� ������������ �� ���� ��� ���������� ��

����� � ����� �� �������� �������� ��� �� �������

;���� �����D������

! �������� ������ ������� �� ������� � �������� ��������" ��� ����� ��

�� �������" ������ 2���� �� ������������ �� ���� ������� ������������ � ��

������������ �� ���� �� � O����� � ��������

������� 1 !�������� ���� ��D� �� �� �� �6������� �$ �������� �

������� ������� ����������� ����' ��� ��� ����������� ���� �������

��� �� �� �!� 3��� ��� ������ � ����7� ./ � ��� ����� ��� �� ���������

��� ��� ��� � ��� ������ �� ���� ����� ����� ��� � � ��� � ������

� ������� � ����' ���$ ��� � ���������� ��� ��� � �� -� ���� �

.!� �� �������� ����� �$ ��� ���� ����$ ����� ������ ����$ � �� �

Page 105: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Diseño de experimentos de simulación 105

�� ����� ��� ���� ������$ �� ��������� � �� ������ � ./ ����� ����

��� ��� �� � �� ������� ������ ?����� ��� �������$ ��� #����$ � ��

:/G � ������ �����$ � ������� 8/G � ������ ���������! � � ./G �

������ �,� ������ ���� ��� �������� ����

(��� � ��������� � �������� ����������! ���� ������� �� ��� ��� �

�� ������� � � � ��� ���

�� ����� � � � ����

�� ����� � ���������� � � ��������� 8$ : � . ������$ �� �������$ �

��� ��� � ��� ��� ������� ������ � ���� � � ����� ��$ � � ����� ���$

� � ����� ����$ � � ������ � � � ��� ���� ���� � �� � ������� 3��� �$

� ���� ����$ ��������� ��� ������ ��� ��� � � � � ��� � � ��� ��$ �� -�� ����

� ��� ������� � ��� ������ ���� � ��� ������� ��� ��� ������ ����

�� �� ��� � ����! ��� ����� � ��� �� ������ � � -���� ������ � �

� ����� � ��� � ��� ��� ��������� ����� � ��� � � ������ ��� ��

����� ���� � �� ����� � ������� : ������ � � � ���/����

� � ����� �� ����

� ����� ������$ 8 ������ � � � ���/���/��

� � ����� ���� ���� � ������ � ���

� � � �����/��

� � ��� ���� ���� � �� ��� �� ��������� �� ��� ������' � ���

���� ��� ����%

�� ������� �� � � ��� �� ���� � � �� �� � � � � ���

�� �� � � � �������� ����� �� � ��� � �� � ����

�� �� � � � � �������� ����� �� � ��� � �� � ����

�� �� � � �� �������� ����� �� � ��� � ���

#� ��%� � � � ����� �� %����� �� � � �����

H� � ���� �� ������ � - �" ���� � ��������� �� � � �� �� �� �$ - �" ���� �

���� ��� �� � � �� �� � � � - �" ����� � �� (��� ��� �� ��$

- �"

��

��

���

���

���

- �" ���� � �������

� � ������� ���� � .$ � � �� �������� � � ��� � ������ ��������

����� �� ������' ����

;�+ ,�������� �� �������A����� � ����������

1���� ��������� ����� ��������� � �� �������� �������� ��� �������

��� �� ������������ ���� ����������� �� �� ����� �� ���" � ��������"

�� ������� ��������� � �� ������ �� ��� #���� ��� ���� �� ����������

����������� ��� �� ����� �� ������� ���� ��� ����� ��� ��� ������� � ���

��������� �������� �� ��� ��� �� ������� �� ��������� ! ��� ���� �������

�������� �� ��������� �� ������ ���%��� �� ������ ��������� ���%���

�� ������������ ������ �� ���� ��� ���������� �������� ���� ��� ���������

Page 106: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

106

�� ������ �� �������� � ���� 2��� ������ �� �������� ��� �� ���������� ��

���������� �� �������������

������� �4 ���������� � ������� ����� � ������ ���%

�� � �� � �� � ����� � ��� � A�

���� ���� �� �� ���������$ ��$ ������ � ��� .= ���� � � ��� 1$ ����

A� � �� ���� �������� �� �������� ��� 0 ��� ��� 6�� ����� �$ � ��

����� ��� ���$ � �� ��� � ����� � �� ���� ��� ��� ��� �� �����������

� �� ����� � ������� �� ����� ��������$ ������� ���� �� �� ����� ���

�#��� � ������ �,� �������� ��#� �� �������� ��� ��� ������� ��� #����

�� � ���!$ � ���������� � � � ������� � ��� ���� ��� ��� ��������

�� ���� ����� � �� ����� ������ ��� ��������� 6�� #����$ ��������� �

��� A� ���� �� � ���� �� � ����$ ������ ��� ������� ��7��

� ��� ��� �� � ����� ���!$ � �������� �� ������� �� ���� � ������%

�� � ���$ �� � �$ �� � ����$ �� � ���$ �� � ���$ �� � ����$ � � � ��

������ � ��������� ��� ���� �� -� ���� �� � ������ � �� ����� ��� ���

�,� � ��� � ���

��� ��������� �� ��������� �� �������� ��������� ��� ����� �� ���

#����������� ��� ���� � ������� �� �������� ������� ��� ��������

��������� �� ������ �� �� �������� �� ����������� ! �� ������� �������

�� ����� ��� ���� ����� �� ������ �� ���� ������� �� ���� � �� ����� ����

������" ����� ���� ��� � ���� ������ � !��� �#���� #������������ � ��

������� �� ��� ����������� ������%��� �� ������������ �� ��� ������� ��

#���� �� ������ ���� �#���� ���%� ��������� ������������ �� ��� ������ �

������� ������������ ������ ����� �� ����� ��� �� ��������� �� �����

��� � ��� � ! ��������" ��� ��� ������ ���� �#���� �� ����� �� ������� ��

������� ��� ��������� ���������� >��������" ���� ���� �� �� ������ �

����� �� ����������

;�9 ���������� �������

+� -���� ���� �� ��������� �������� � �� ��������� (" ��������� � ��

���� (� .� ������������� �� ������ �������� �� #���� ��� ��� ��������

������� � ������ �� ����� ��� ������������ ��� �����" �� ��� ���� ��

������ �������� ���� ���� ����� " J��� �� ����%� ������� ����� ���

��������� �� ����� �� +D ��������K

,� �� ���� �������� ����� ���� *D ������� � �� ����� �� ��

��������� !� ������ �������� ���� �������� ����� �������� � ��

����� ������ �� ����� �� �������� ��������� �� ����� �� (D �������

Page 107: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Diseño de experimentos de simulación 107

���������%� ��� ��������� ����� �������� �� ����������& 0 ���� ��"

0 ���� ��" ( ��� ���" ���� � .� � ������ �� ��������� �� �������� � *D

�������" ��� ��������� ��� �� ������� �� ������� ����� ��� ��

��� ���� ���� ������� C�� � ��������� ��� ������� �������� � ���

��������� �������� J���� �� �� ������������ �� ��� �� �������� ���

����� ���� ��� �������K" J���� �� �� ������������ �� ��� ��� ��� ��

���� ������ ��������K

(� !� 2���� �� �������� �� �� ���������� ���������� ��� �� ���

����� ���7������ ���� ���������� �� 9����� �� ���������� ( � ,�

.������� ��� �� ������ ������ �� �� �� �������� ���� ���������

�� 0 ��� ���� � ��� �� ���������� �� �� ��������" �������� �� ������

������� �� ��� � �%� ������� �� ������ � ��� �����#����� .�������

�� � ����� �� ���� ����� ��� ���� <��� �� �� � ������ � �� ����

������ �� ��� ����� ��� ���� <��� �� �� �������� ��� ������� � �

�������� ���� #���� �� ���������� " ��� � ��������� ���� �������� ���

� ������ ������ ������� � ������� �� ��������� � ������� �������

#������

*� ! �� ����� ����������" �� ������ ��� ����� �� �������� � ������

� �� ������ ����������� ����� ��� ���� �� ����� ������� ����� ��

���������� ��������� �� ����� +D �������� !� ������ �� �������

��� ������ �� ������ ����������� �� ���� �������� �� ������ �

�� ���������� (��� ���� -��� ��� ��� �� ���� �������� ����� � ��

#��� �� ��������� � �� ������ ���� �������" ����� ����� �� ����%� � ����

���� �� �������� �������� C�� � ���������" �� ��� ������� �������"

���� ����� ��������� ������� �������� �� ��������� �� ������ ��� ��

������ ����������� ������� �������� �� ������� �� �� ���� ������

L����7��� �� #���������� �� ����� ����������

/� �� ������ ������� ����� �� ���� �� ������� ��������� �� ���������

�� ��� ��� �� ������ � C���� � �� #���������" ��� ����� �� ���� ��

���� � ���� ������ ��� ��� ������ ����� ��� ����� � ��� ����� ����

������ �� ����������� � .������� ��� �� ����� ��� ���� �� ����� ����

���� �� ��������� � �� ���������� ��#���� � �� ����� �� ���� �� �����

���" ��������� ������������� � ��������� ��� ������ ��� ��������� ��

��� ��� ������ � ��� ��� �� ����� ���� �����

Page 108: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 109: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

PARTE II

TEORÍA DE COLAS

Page 110: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 111: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la teoría de colas

8

Page 112: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 113: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la teoría de colas 113

<� �!�%37" &� �%'"�

�� ����%� �� ����� �� �� ���������" ����� �� �� G��������� >��������" ���

���� ��� ������ �� ������� � ������� �� ���������� � ��� ��� ������ ����

��� ������ ������ ��������" �� ��� #���� ��� ����� �������� � ����� ���

�����#���� ������������" ��� �� ���� �� ������� ��������

3�� � ���� ����� ������ � �� ��7��� �������" �� ������ �� ��������

�� �� ����%� �� ����� �� �����& ����� ��� ������� ���� ��� �������� � ��������

�������� �����������" ������� ���� ��� ���������� ����������� ���������

�#���������" ������� ���� ����� ��������� � ����� ��� ���%����� ��� �������

��� �� ������ � ������� ���� ���������� ��������� � ������� �#������

�� � �������� W��" � ���� � �� ������" ���� ������ ������

<�� 3���L� 0�������

5�����������" ��� �������� �������� ��� �������� � ��� ������ � �� ����%�

�� ����� ������ ������� 3������7�� � G�����%� �� 3��������������� ��

��� ������� �� ������������������ �� � 1�;� !����" ���� � +BDB ������

�� ����� � ������������� � ��� ������ ���� ������ ��� !���� ��� ��� ��

����� �������� �� �� -����8%� 3���#��� C���� � -������� � �� �������

#�� �� �������� �� � ����� ��������� � ����%� �� ������������ �� �������

�� �� ��������� �� 2���� ����� �� �%��� ����#���� � �� ���������"

������ � ����� �� #�������� �� ��� �������� � �� �������

��� ����������� �� �� ����%� �� ����� � �� ����#�%� �������� ����� � ��

!����� ! +B,?" !�-� 4���� ������ *��� � ��� � �� ����� � �� ��������

����� � �������� � ����� ������ ��" �������" � +B,A" �� 6����������� � ���

���� � ;�������" ��� 3�-� $��� 1 ��������� �� ��� �8�� (D" $� 9�������<

������ �������� ��������� ����� �� ���� �� �������� ���������� � ���������

������������ 3���� " ��� ��� ����" ��� ����������� �� �� ������� ���� 1�@�

;��������� � 1�X� ;�������" ��% ���� -�C� -�������" � $�����" � -�

9���" � .�����" ��������� ���������� ����������� � �� ����%��

1 ����� �� ��� � �������� ��� ������� �� �� ����%�" ��� ����������� #����

��� �������" ���� ������� ����� ���������� � ������ �� ��� �8�� /D" �����

���� � ���������� ��� 2���� �� �������� ����� �� ����� ! �� ���������� ���

����������� �� �� ����%� �� ����� � ��� ������ �� �� G#��������" ��� 3������

���������� �" � ������" ��� ����� �������%�� ���� � �2 ����� �������

� ���� ����%� �����������

Page 114: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

114

<�� ��������� �� �� ��� �� ���4� �� �����

��� �������� �� ����%� �� ����� ��� �� ������� � ��� ��������� ���%����� ��

��� ���������&

+� !������ �� ��� ����������� ��������%������ ��� ���������� ���� �� ����

������� �� ��� ����� �� �������� � ��������� �����������& ������

�������� ����� �������� ������������" �� ������� �� 9����� � �������� ��

�������� � �������

,� G�������� � �� ����%� �� �����& ����������� ��� �������� ��� �������

�� �� ����" ������������ �� ���������%� ��������" ��������� ������

����������� �� ���� � �� ��� ������������� ��������� � ����� � ����

��� #������ �� �������

(� ��� ������� �� ����� ��� ���������� �� ����� �� ������� � �� ��������

�����������& 4H4H+" 4H4H�" 4H4H+H;" 4H4H�H;" 4H4H+H�H5"

4H4H.H�H5 ��� � �� ��������� � 4H4H��

*� ��� ����� �� ����� ����" �������� ���� ��������" �� ���������� �����

����� ���� ��� ��������� � ���� ��� �������� ��� �� �� ���� �

/� 1����� ���������� ����� ��� �������� ��������� �� ����� ����� ��

�������� �� ������������� ���� �� ��� ������� !��� ������ �� �������

�������� �� ������� �������� �� � ��� ��������" ���� �� 4H)H+" �

������ ������ ����� ��� ��������� ��� ������� �� ���� � �������

���������

Page 115: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Nociones básicas sobreprocesos estocásticos

9

Page 116: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 117: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Nociones básicas sobre procesos estocásticos 117

=� �

=�� ����� �� ������ ���� ����

,�D����+� �� �� ��� �� ��� ,��� � �� � �,� � ��� �� ��� � ��������

��������� � ��������� ��� �� �1� �1 � � $ � ���$ ����1 � � $ � ������

��� ��� �� � �� � ��$ ��� �� � ��� ������� ������� �� % + � �$ �����

���� �'����� ���� � ����� ��� �� � ������������ +� �� ��� ��#����$ !$ �

� � � � ����� ������ ����� ��� �������� � ��� ��� ��� �� � ����

���$ ������� � � ��#���� � ���� �$ � $ � ������� ��� �� � �������

��&� ��� ��#����� ! � � ��� '����� � ��'����� ��������! � �������$ ��

����$ �� �������� � -�����, � ��� ��� ��� ,��� �� �� ��� �� � ������

��� ��� � ������� � � ����� ��� ��� � ��������

1����� �������� ������� �� �������� ������������ ��& �� �������� �������

��� ����% �� ������ �� %����� ���� � 2��� ������� " � ������ ��������� ��

�������� ��������� ��������������� �� �� ���� �� ������� �� ������� �� 7��� "

� �� ������ �� ��������� ���������� ������ � � � " ���� ������ -��� ��

�����" �� ����� ������ ��� ������� �� �� ����� �� ������� �� ������� �� �

������ �7����

!������� �� ���������� ������ ��� ����%� ����������� ������� ��������

������������ �� ��� ���������&

+� !� ������ �� ��������� � � ������� �#�������� �������������" ���2

�� ���� ��� �%�� 1��% �� ������� �� ������� ����%� ��� ! � ����� � �� ��

������� � � ��� ���" ��� ���� �� ������%� �� � ������� ����������� �

������ ������ � �� ������� �� ������� �������

,� !� 2���� �� ��������� ��������� � � �������� ���2 �� ������ ���

�%�� C� ����" � � ��� ���" ������� ��� ����� ! � ��� �� �� � � � � .�

����� ���� �� � ������� ����������� � ������ ������ � �� ������� ��

������� ���������

(� !� ������ �� -9� �� � �������� �������� � �������� ���2 �� �%� ���

�8�� .� ����� �� � ������� ����������� � ������ �������� � �� �������

�� ������� ������" ���� � � ��� �� � � � � ��� � ! � ������ 3���� "

���������" �� �� �������� �������� ������ (0/�����������

$����� � ������� ��� ������� ��������" B � +" �� #��� �0 % � � !" ���

� ���� 1 � � �� ���� ����������� �0 �1� � �� �B� �� ������ �����������" �

��������� �������� ��� �������" ���� �� ������ ��� ���� �� ������ ��������

B� ! ���� ������" � ������� ����������� ����� ����� ��7����" �� #����

Page 118: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

118

����������" ���� �� 2��� E�������� ��������F ���� ��� ���� ������� � ��

������ �� ��� #������ �� � � !" � � ���� % � � ! �

=�� �������4����� � ��������� @�� ����

����D��� �� ������ ���� ����

,�D����+� � � ������� ��� ��� � ����� � �� ��� �� ��� ,��� �

��� �� � �� ���� � ��� �'���� ���

�1� � ! ���� $ �1 � � �

,�D����+� �� �� ��� ��� � ���� ���������� � �� ��� �� ��� �� � ���

���� � ���$ � � � � �$ ���� ���

�C� 1� � ��+ ��1���� � ! ���1 � �C�� ��� � �1��� $ ���� ����� C� 1 � � �

C����� � �� ������%� �� �� ���������" ���� #��� �� ��� �����" �� �����"

�C� 1� � �1� C� ���� ����� C� 1 � � �

,�D����+� �� �� ��� �� ��� ,��� � ��� �� � �� �������� ��� �������

� ��� ������� � ���� � ���������! �� ���' �

+� .� #��� �� ������ �� �������" ����" �1� � " �1 � � �

,� �� #��� �� �������������� �� #��� �������� �� �� ��#������ ��

������� �� ������" �� �����" �C� 1� � = �1� C��

,�D����+� �� �� ��� �� ��� ,��� � ��� �� � �� ������� ��� �������

� ��� ������� � ������ ���� ��! �� ���� ������ � � �$ ��������

�������� ���' ���� 1� � 1� � � � � � 1� � ������ ����� ��� 7$ ��� �

1� � 7 � � ���� � � �� �� � � � � �$ � ���' � � �� ������� ������������

������ ����

� � � � � �����

��� �� ����� �������� ��� � ������������ �

����� ���

� � � � � ���� �

1 ������ �� ���� ��7��� �� ���� ���" � ����������" ���� ������� ��������

���� #��������� ����������� ����7�� �1

� �� ���� ����� C� 1 � � ��� ����� ���

������������� ��������� �� ��� ��������� ��� ������� �� ������� � �� �������

������� ���

�C� � ! ��1� � ! ���� � �1� " ���� ����� C� 1 � � �

Page 119: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Nociones básicas sobre procesos estocásticos 119

1�����" �������� ���� � � � � 7 � �C" �� ��������� �� ��������������

#�����" �� ���� ���

��1�����

� ���� ���1�

�" ��� ���� �C� 1� � ��� 1� C� � = �1� C�� ! ������ �� ���� �� ����

����" �� ���� ��� ���� ������� #��������� ����������� ����� �� � �������

������������

�� ��������� ��� ��������� ��� ����� ����7��� � ������� �����������

�� �� ������� ��������� �� 4��<���

,�D����+� � �� ��� �� ��� ,��� � ��� �� $ � �� ���5������ ��$ ����

������ � � � � �������� �������� 1� � 1� � � � � � 1� � � $ � ���' � ��

������� �������� � �������� ���%

����)�

��)�

��/// �)�

���

� ����)�

���

! � ����� ���������" �� ��������� �� 4��<�� �� ������� ������� ���"

������� �� �������" �� ���������� �� ������������ �� �������� ������� #������

��� ������� ������ ������� ��� ����� ��� ������� � � �� ������� ��� �������

� �� �������

! �� ��� ����� �� ���������� � �� ������� �� ������ �������� ����������

���" � ������ ������ � �� ������� �� ������� ��������" ��� ���� �� ��������

���� � ��� �� �������� ���� ����������� ���� �� ����%� �� ������

=�� ,������� �� �����M �� ������ �� ,������

,�D����+� �* �� ��� �� ��� ,��� � � ����� ������� � �� ��� �� �

������ ��� ���$ �0� �������$ � �� � ����� �� ���' � ��� �������� ���

�������%

.� 0� � ��

=� 0� ���� &�� ���� ������ ����� �� ���������

<� �� C � 1 ���� � 01 �B� � 0� �B� ���� ���� B � +�

1����� ���������� ��������� ��� ����� ����������� ������� ��������

�� ����� ��

+� !� 2���� �� �������� ������� � � �������� ����� � ������ 1�

,� !� 2���� �� �������� ����#���� ��������� ��� �� �7��� �� ������� ��

�������� ����� � ������ 1�

Page 120: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

120

(� !� 2���� �� ������� �� ��#�W��� ������� � � ������� �#�������� �����

� ������ 1�

! ������" ����� �7������ ��� ��� �������� �� ����� ����� ���� ���������

�� 2���� �� ���������� �� � ������ #���� ������� ����� � ����� ��

������� �7���� � 1 � � ����� � ������ 1�

,�D����+� �. 3��� �� ��� �� � �����$ �0��1 � � $ � �� � � �� ����

�� � 6������ � ���,���� � ���������! % & �$ �� ���' � ��� ��������

���������%

.� �� ��� �� ��� �� ������ ����������$ � � ��$ �� � ���� ����

����� � � 1� � 1� � � � � � 1�$ ���� �$ ��� �������� ��������� 0���0��$

0�� �0��$� � � $ 0�� �0���� � �������� ��� �&���� � � ���� ���

� ��� ��������� �1�� 1��$ �1�� 1��$� � � $�1���� 1��! ��� �����������

=� �� ��� �� ��� �� ������ ��� ��������$ � � ��$ 0���01��

� 0��

01 ���� ����� C � 1 � 7 �����������

<� �� ������������ � � � � �������� ��� 7� � � �� ����� ��� � ��

��� �� �� ������ � � �0� � �� � %7� � �7�� �� ������ �� ������

������� ��� ����� � �,���� ���� ������ �������� � �������� 7�

:� �� ������������ � � -��� ��� � �,� � ���� ��� � � ����� ��������

��� 7� � � �0� � �� � � �7�� 3 ����$ ��� � ������ =$ ��� ��������

� �,���� ���� ������ �������� � �������� 7�

-��� ���������� �� ��� ��� 2������ ������� �� �� ��7���" �� ����

� �0� � �� � � � %7 � � �7�� 9�� ���� �����" �� 2���� ����� �� ����������

��� #���� � � �������� �� ������� 7" ���� ���� ���

! �0�� �0�� � ! �0�� � � � ��� %7� � �7�� � � � �%7� � �7�� � � �7�

� %7� � �7� "

�� �� ��� �� 2���� ����� �� ���������� ��� ����� �� ������ ��

! �0�� �0��

7

%7� � �7�

7

� %�

� �7�

7

"

���� �%����" ����� 7 � �

�� %� 1�%" �� ��������� ��� ������� �� 9�����"

%" ����� ������������ ���� �� 2���� ����� �� ���������� ��� #���� ���

����� �� ������ ��� ��% �� ����� �� �������� �

.���������� �� ������� ������ ���������� ������� ���������� ���� ��

������� �� 9������ -��� ���������� �� ��� ������ �� ����" ���� �����

�����" ��� �� ���������� �� � ������� �� 9����� ����� ������������� ��

#���� 2��� ��� ��� ������� ����������

Page 121: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Nociones básicas sobre procesos estocásticos 121

������ �1 �� �0��1 � � �� ��� �� � 6������ � ���,���� %� ����� �

�� ������� �������� 0� ��� �������� ��� � 6������ � ���,���� %1� �� �����

��������$ ��� �������� ���� ��������� �� ��� �� ��� � 6�������

������ �4 �� �0��1 � � �� ��� �� � 6������ � ���,���� % � ���

� � 1� � 1� � 1� � � � � ��� ������ ���������! � � ���� �� �� ������

� ������ � � ��$ ��� ������ 1 � � � ���' �� � 01 � 0� ���� ����

C � 1! � ������� ��� ������ ��� � ���� ��� D � � 1� � 1�$ D � � 1� � 1�$ � � �

F ���� � ��� �������� ��������� D � ��� �������� ���������� �������

���� ������������$ �� �������� ��� ����� ��� � ���,���� %� 1 ���� ��

���$ �� �0��1 � � � �� ��� �� � ����� � ��� ������ ��� � ���� ���$

D �$ �'����� ��� ����$ ��� �������� ���������� ������ ���� ����

���������$ �� �������� ��� ����� ��� � ���,���� %$ ���� � �0��1 � �

� �� ��� �� � 6������ � ���,���� %�

!��� ��������� �� ��� 2��� ���� ������� �� ������� �� 9����� �� ��� ���

�������� � ��������� ����� �� �� ������ ��� ������� ������� �� ���������

�� ���������� 3���� " ���� �� �� ��������� �������" �� �� ����� ���� �

������ ���� ������7�� ���������� �� ������� �� �������� �������������� �����

����� � �������� �� 9������ � ������� �� ���� �� ����� ��� � �� ����������

��� ������� ���������

������ �� (�������� �0��1 � � $ �� ��� �� � 6������ � ���,���� %$

���� � ��� � ��� � � � �������� ��� *� �� * & �! � -� ���� �� �����

��� � ���� ��� ����� �$ �� ������� �������� $ $ �'���� ��� � �������

�� ��� �� �������� ��� *� � � � � -� ���� �� � ���� ��$ ���� ���

�������� ��� � ��� *��

,������ ��+�� .�� 1 � ��� *�� -��������� # �1�" �� #��� �� ����������

�� �� �������� $ � ���� ���� 1&

# �1� � � �$ � 1� � �

�0� �0 � ��

(��(���

�� �

�0�� � ��

(���

��

� �0�� � �� 0�� � ��

� �0�� � ��

� �0�� � �� 0�� �0�� � ��

� �0�� � ��

� �0�� � �� � � �0�� �0�� � ��

� �0�� � ��

� �0�� � �� � ��0�� � �� � � �

� �0�� � ��

��������

� �� ���

�����������

� ������

��

��������

� �� ���

��

��� �� ����

% �1� ��

��� �� �

% �*� ���

1� �

*� �"

��� �� �� #����� �� �� #��� �� ���������� �� �� � ��� *��

Page 122: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

122

=�� ,������� �� ��������� � �����

!� ������� �� 9����� ��" � ������" ��� �������� �� ����� �� 2��� ���� ���

������� ���������� � ��� ��� �� �������� �� ����������� �� 2���� �� �������

���� �� ������ #���� �� ��������� � �� ������� ����� � ������ 1�

!����� ����� �������� ��� ��������" �������� �� �������� � ������" ���

�������� �� ����������� �� ��� ����� 2���� ����� �������� ���� �������"

�� �� ������� ����������� �� 2���� �� ��������� � �� �������" ���� ���

��� �� ������� �� ������ � ��� �������� �� �������� � ������" ������

�� ���������� �� ������� �� 9����� � �� ������ ���� ��������" �����

�� ��� �������� ��� �� ����� �� �������� ��� ��� ����� �� ��������� �

������� ����� ������� ��� 2���� �� ��������� �� �� ������� ����� ���

�#���������� ������ � ��� ���������� �� ����� ����� �

,�D����+� � (�������� �� ��� �� ��� ,��� � �0��1 � � �� ��� �� �

������ ��� ���% ! � ��� �� �� � � � � �������� � � ��� �� �� ��� ��

������ � ������ � � � ����� � ����� !� � � ������� 1 �����

0� � �� � ���, � � ��� �� ��� ,��� � � � �� ������ � ���� �� �����

�� ����� � �&���� �� �������� �%��� � �� �� � � � � �9��� � �� �� � � �

�������� ����� � �� ������ � � ����$ ��� �������! ���� � � ��

��' �� ��� �������� ����������

.� ��� ������ � ����� ��������� ��� � !� � !� � ��� !� � !��� � �

!��$ ���� � � ��

=� �� � ������ � � ����� � ����� !� � � ������� 1$ ���� �$ ��

������������ � � ��� 1 � 1 � 7 ��� � ����� !�� � %�7 � � �7� �$

�� � � �$ �� ������������ � � ��� � !��� � 9�7� � �7��

<� �� ������������ � � � ���� �,� � �� ����� � � �������� � �����

��� 1 � 1� 7 � � �7��

-��� �� �� ����� ����" �� ���� �� ���� ��� �� ������� �� 9����� ��

� ���� ���������� �� �� ��7��� ������� �� ��� ��� ��������� ��� ��� �����

�� ������ �� ����� ���� � ��� ��� ����� �� �������� �� �����������

������� � %�

1 ��������" ���������� �� ������� ���2 ���� �� ��������� �� ����

������� �� ������������ �� � ������� �� �������� � ������ ��" �� ����"

��� ������������� ��������� � C������� ��� �� �1� �� ������������ �� ���

�� ������� �� ������� � �� ������ !� � �� ������ 1" ��������������"

�� �1� � � �0� � ��� )������ � �� ����� �� ��� �������������� �������" �������

�������� #�������� �� ������������ �� ��� �� ������� ��� � �� ������ !� � ��

������ 1�7" � � ����� �� �������������� �� ��� �� ������� ��� � ��������

Page 123: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Nociones básicas sobre procesos estocásticos 123

�������� ������� � �� ������ 1� 1�%" �� � � �" �� ����

�� �1� 7� � � �0�� � �� � �

�0�� � ��

(�����

�� �0� � �� ��

��

�0�� � ��

(���

�� �0� � ��

��

�0�� � ��

(����

�� �0� � �� ��

��

����������������

�0�� � ��

(���

�� �0� � �

� ���� �1� �%���7� � �7��

��� �1� ��� %�7� � �7�� ��� 9�7� � �7��

���� �1�

�9��7� � �7�

��

��

����������������

�� �1� � �7�

� ���� �1�%���7� �� �1� ��� %�7� 9�7� � ��� �1�9��7� � �7� �

-��� ���������� �� ����"

�� �1� 7�� �� �1�

7

� %������� �1�� �%� � 9���� �1� � 9

����� �1� �

� �7�

7

�" ��%"

����1� �

.�� �1�

.1

� �$�

���

�� �1� 7�� �� �1�

7

� %������� �1�� �%� � 9���� �1� � 9

����� �1� � �$�

���

� �7�

7

� %������� �1�� �%� � 9���� �1� � 9

����� �1� �

C� #���� ��������� ������ ����� �������� �� ���� � � �" �������� ���

�������� ��������� ��#��������� �� ������&

����1� � %������� �1�� �%� � 9

���� �1� � 9

����� �1� �� � � � �

����1� � �%��� �1� � 9

��� �1� �

.������� ��� � �� ����� �� ������� �� ������� �� ������� � ������ !�

��� �����" � 1 � �" � ��� ��������� � �� ������� " �� ���� ��� ���������

�������� �� ��� � � � �� ��� � � ���� ���� � � ��

! ������" ��� ��������� �� ������ ���� � �� ��� ��� � ������� ��

�7���� ��������� ��#��������� ������� �� ��#%����� �� ��������� C� �����

#����� ��� ������ ����� ������������ � ��� ��� �� �������� �� ��� ��������

1�%" �� 9�� � ���� ���� � � �� �� � � � � %� � % ���� ���� � � �� �� � � � ��� �����"

���� �� ������� �� 9����� " ��� ��������� �� ������ ������� ������������

��������&

����1� � %���� �1�� %�� �1� �� � � � �

����1� � �%�� �1�

Page 124: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

124

� ����� �������� �� �������� ��7������ ��� �� ������ ��

�� �1� �

����

�%1��

��

" �1 � ��

C� �����" ���� � � �" �� ������ ��#������� ����1� � �%�� �1� �� ��� #���� ��

��������" ����� �� ������ ������ �� �� #���� �� �1� � �����

�����������

�� ������� � � ������ �� ��� ��������� ��������" � ���� ���� �� ��� � � �

����������" � �� ���� ������ ��� ������ � ��

-���� �� ������� ����������� �� �������� � ������ �� �����������" ���

#������ �� �1� �� �������� ��" ��� � ������ �� 1" �" ��� ����" ��

������� �� ��������� ��#��������� �� ������ �� �������� � � ������� ��

�7���� ��������� �������&

� � %������� � �%� � 9�� �� � 9

����� �� � � � �

� � �%��� � 9���"

��� ����� ����� ���������� ����

�%� � 9�� �� � %������� � 9

����� �� � � � �

%��� � 9����

�� #���� �������� �� ���������� ����� ��������� �������� �� ���� �����

�������� ���� � ������" ���2 �� ����� ����� �� �� ��������� 9���

���� ������� ������" �" �� ������� �� �� ��������� ��������� �� ������������

�� ����� ������ ������������ ��� �� ���� �� ��� ����� �������������� � #�����

�� ����� �� ���� ������ ����� ���� �������� ��� � ����� �� �� ������� �� ����

������ �� ������ ������� �� ���� �� �� �������������� �� �������� �������

����� ��� ������ �� ����� ������ �� ������ � � � 2��� �������" �������������

��� ��� ����� �������������� � ����� ��������

1�%" �� � � �" � �� � ���� �� �� ��������� �� ���������� �� ��� �� ���� ��

��� ����� %�" ��� ���������� �� ����� �� ��� �� �������� � �������� �����

�� ������� ���� � ������ � �������" ��� ����" � ��� � 9�" ������������� �

��� �� �������� �� ������ ����� ��� � ��������� � �� ������� �������"

��������������" � �� ������� �� � � � ��������� � -���� � � � ��

���������� ������� �� ������ ����� � �� ������ � 9�" ��� � ������� ����

� ����� ����� ������� �� �� ��� � ��������� � �� �������� 9��� ��� � �����

�� �� �������" ����� � � �" �� ����� ������ �� ������ � ��������� ��� ������

��� �� ���� ���� ���� ����� � ��������" �� ���� %��� � ��� ��� ������

� � � �������� ��� ���� �� ������" �� ���� 9��

� >��������" �� � � �"

� ��������� �� � ���� ������������� � �� ��

! ���� ���� � �� ��� �� ������� �� �������� � ������ �� �����������"

������� ������� ������� �������� ��� ��������� �� ������� 1�%" ������ ��

������ ������������� � � � � �� ����� �������� ��" ��������

�� �

%�

9�

���

Page 125: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Nociones básicas sobre procesos estocásticos 125

1�����" ����� �������� ��� ������ �� ����������� �� ���� �������

���� ��������� %���� �&

�� �

%���

9�

�����

! �#����" �� ������� �� ������ ���� � � �� .���������� ������ ���� � �

���� ����� ���� �� �� ��������� �� ������ �� ������ �� ����" �� ����

�%� � 9�� ��

9�

%�������

9�

9�����

9�

"

���" ������� � �� �������� �� ������" ����� ���������� ����

�%�

9�

� �

��� � �� �

9�����

9�

"

�" �� ��� �� �� �����"

%�

9�

�� �

9�����

9�

"

�� ����" ������7���� ��� � ����� 9�" � ��������� ��� �� ����� �

%�

9��

�� � ���"

��� �� �� ������� ��� �� ����%� ����������

C� ���� #���� �� ����

�� �

%�

9�

���

�� �

%�

9�

�� �

%�%�

9�9�

���

�" � ������

�� �

%���%��� � � �%�

9�9��� � � �9�

��" ���� ���� � � �� �� � � �

C���� �� ���� #����" ��7����

� �

%���%��� � � �%�

9�9��� � � �9�

" �� � �� �� � � �

�� ���� ��� �� � � � �� ���� ���� � � �� �� � � � 1���� ���" ���� ��� �� ��

�� ���� �� ������������" �� ����7��

� �

��

���

�� �

�� �

��

���

���"

�� �� ���� �� �

� �

��

����

"

Page 126: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

126

������� ���

��

���� ��� !��� 2����� �� �� ������� ������ �� ������ �����

�������" ��� ���� � ������ ����� ��� ���� ��� ������ � ������� �� �������

�� � ������ ����������� �� ����� �� �������� �%� ��� � ����� �� ������

�9� ��� �� �� ��������� ���

��

���� � �� 1����� ����� ����������� ���

���� ������ �� ����� ��7����� �� ��� �������� ���� ��� �� ������� ���

������������

Page 127: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Conceptos generalesde la teoría de colas

10

Page 128: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 129: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Conceptos generales de la teoría de colas 129

�?� �

5���� �� ������ ����� ��������� �������� ����������� �� �������� ��������

����� ��� ���� ������ ���� �� ������� �� ����� �� ������� ���� �������� �

������� �� �������� ����������� ! ���� ���%���� ������� �� ���������

�� ������� �� ����" ���������� �����" ������������ �� ���������%� �����

�� ��� ������������ � �� �������� ���%���� � ������� ������ �����������

����������" ���� �� ��� ������������� ��������� � ����� ��� ����� ���

�������� � ��� ������� �� ����� ��������� ���� ���� �������� ��������

��������� �� ������ ��������� �� ���� � � �� ���� ���� �������� #������

�� ������ �

�?�� &��������� ��� ������ �� ��� ����

! ������ �������� � �� ���� ����" � #���� ��� ���2 �� �� #������

�� ����� � �%��� �� ������� !��� ����� ������� ����� �� ������ ���� �� �

�������� �� �������� � �� ��������� ��� ������ ���� ��� ����� ��������� !�������

������ �� ��� ������� ��& ��� ������ �� ��� �%�� �� ���������" ��� ����#����"

�� ����� �� �� ���������" ��� ������� �����������" �� ����� � ������� �

� �������������� ���������" �� ����%� �� ���������� ������ � ���� ���� ��

�������� ��� ���� ��� ��������� ��� � �������� � ����" ����

3����%� ��� #��������" �� ����" �� ��� ���������� �� ������ � �� �������

�� �� �#��������" ��� ���������������� �" � ������" ��� ����� �������%���

1�%" ��� �������" ��� �������� ������� � � �������� ���� ������� #����

����� �� ������ ������� � �� ��������" �� �#������ ����������" � ���� �

�� ������" � � �������� W�� ����� ��������� �� ������ ������ � �������

� �� ��� � � �� �������� ���������� �����" ������� ������� �� ��8�� �� �%���

�������� �� �� ������ �� �� ��� ������ ������ ��� #�� ���� ���� ���������

� ��� ������" ����

$����� ���� ��� ��� �� ����� �� ������� �� ����%����� ����� ����

������� ��������%������ ������ ��� �� ����� �� ������ �� ������� �� �� �����

! ����� ������ ������������� ��� ��������� ���������

@����� �� ���� � � ���� ��+� ������� �� !� � ������ �� ���������

�� ������������ ����� ����� ��� ����� ������ � ��������� �� �������� �

������� 9������ ����������� 7��� � �7���� 1���� �� ���� �� �7����

� �� ��������" �% ������� ���� �����8� ��� ������� �������� �� #���� ���

������� ������ ���������� � ��� ���" � ��������" �� ������� �� 7��� ����

��� ������ C���� �������� �� �7���� � ������� ����������� �����" �2

����� 7��� �� ������� ��������" �� 2���� �� �������� �� �� ����� ���

Page 130: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

130

�� 2���� �� ��������� ��� �� ���� ���������� �� ������ �������� ���������

���� � �#���� � �� #�������� �� �� ��� �� ������� �������� ����� �����

��������� �� ���������

>������� !� ���� �������� �� �� ������� �������� ��� �������� ���������

.������� ��� ��� ������� �� ������� �� ������� ����������� �� � � 1� �

1� � � � � " ���� ��������� ������ �� ���� �� ������������ ���2 �� ���� ��

#���� �� ������ ����� �������� �� ��� �������� �� ����� ���� ��#������ ���

������� ���� ��� �������� �� ��� ������� �����������& D� � 1� � 1���" 7����

�� ���������� �� ������������� @���������" ����� �� ������� ��������

�� �7��� �� ����� ��� �� ���������� �� ������������ �� ��� D� ���� ���� ��

������� ���������� �� ��� ������� ���� �������� � ������ ��� 2���� ��

������� ��� ��� � ������ �� ��������� �� ��������" ������� ��� � �� ����

�� ��� �� #���� �� ������ ��� 7���" �� ���������� �� ��� D� ������� ���2 ��

2���� �� ������� � ������� �� ��� ���������

> � ��� � �� � ��� � !� �� ������ 2���� �� ������� ��� ����� �����

������� ���� ����� �� ������� � ��� �������� � C� ����" ����� ��������

7��� � �7���� �� ��� �������" � �#����� �� ����������� � ��� ��������" ��

�������� �7���� 1���� �� ����� ��� � �� ����� ����� �� ��� ����� ������

�� ��������� �� �� ���� �� 7���" � �� �� ��� ��������� �� �������� �7���

�� �� ������������� ���������� ��� � ����� ����� ������� � �� ���� ���

������� ������� � ��� 2���� �%���� � �� �����

,�������� �� � ��� � !� �� ���� � �� ��� ��� ������� �� ������������

���� ��� ��������� ��� ���������� ��� ���������� ��&

+� �� ��������� $G$> �7��� � 7��� ��� " ����� ������� $-$. �7��� ����

7��� ������ & ���2 �� ���� �� ������ ������� �� ������ ��� ���� ����

��������

,� �� ��������� �G$> ����� � 7��� ��� " ����� ������� ���� �-$. �����

���� 7��� ������ � ����& ��� ������� � ������ ������� �� ������ ���

�� ������� �� 2������

(� �� '.. ������ �������� �# ������� " � .G'> �������� � ����� ����� "

��� ��������� � ��� ������� �� #���� ����������

*� �� ��������� '' ����� ���� " ���2 �� ���� �� ������ � �����8� ����

�� �� ������ �� �������� � ���� ������ �� #���� ���������� !��� ����

� ��������� � �������� ��� �������� �� #���� ����������� ���� ����� ���

������� � ������ �" ��� �������� ��� ���� ������ � ������ �������

������ ����� �� ������ �� �� �#�������� �

:�� ����� �� ��������� !� �� ������������ ��� �� ���� �� �� �������� � ���

������� ��� �� ��������� 9��� ��������� ��������� �� �������� �� ��������

������� ������ �� 2���� �� ���������� �� ����� �������� ��� ����� 2����

#���� ���������" �� ���������� �� ������������ ��� ����� � �� ���������� ��

������������ ��� ������ ��� �� ����� � ���� �������� ��� � ��������� ! ����

Page 131: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Conceptos generales de la teoría de colas 131

�� ��� ��� ���������� ���� ������� �������� ���� ��� �� �������� �� ����

������7��� �� ���������� ��� ������ �� �������� ���� ���� ���

? ��� " ���������� �����" �� �� ������ �� ������� ��� ���� ������" ��

����� ��� ������� ��� �� �� ���������� �� �������� ���� ��� �2 � �� ������

�� �������� �� ���������

�� ������ �� � ��� � �� �� ������ #������ ��� �� ���� � �� �������� ��

��������" ���� �� �� ��������� �� �� ����" ��� �� �� ��� �� ����� �� ��������

�� �� ������ �� �� ���� ������ ���� ����� �� �������� �� ���������

�?�� !��������-4� � �������

! �� �������� ������������ ��� ����������� ��������%������ �� ��� �������� ��

�������� � ������ ���� �� ������� �� ����� �� ���������� ��� ������ ����

�������� � ���������� ��� ������ �� �������� ���������� 1��� ����� ��

7��� �� ����� ��� ����� � �����

� �1�� C���� �� 2���� �� ������� � �� ������� � �� ������ 1� 0 �1� �� �

������� ����������� � ������ ������ � �� �������� �� ������� ���������

�% �1�� '�������� �� 2���� �� ������� � �� ���� � �� ������ 1�

�� �1�� !� �� ������������ �� ���" � �� ������ 1" �� ������� � �������

� �� �������� 1 ����� �#����� �� ����� ������� �� 2���� �� ������� � ��

������ ���� ���������� ����� 2���� �� ���� �

� C���� �� 2���� �� ���������� ��� �������� �� ���������

��� '�������� �� 2���� ����� �� �������� �� ������� �� �������" ��� �����

�� ������" ����� �� ��� � ������� � �� 3���� �� ������ ���� ��

�������� ���� �� �����������%� �� �� ���� �� ��������� ��0 �1� �� � �������

�� �������� � ������ � -���� ��� ����� �� ������� � ������ �� � ���

����� ����� ��� %� �� �������� ����� �������� % ����� ����� ��������

��� !� �� 2���� ����� �� ������� � ��� ��� �� ��� �������� �� ��������" ���

����� �� ������" ����� ��� � ������� � �� �������� !� #������� ��#������ �

��� 9����� ����� �� ��������� �� �������� ��" ����������" ����� �� �������� �

.� ����� ��� ���������� ���� �� ����� ���������� ��� ������ �� ��������"

����� �������� ��� 9 �� 2���� ����� �� ������� ��� ����� ������ ����

�������� ��� ����� �� ������� -��� ���������� �� ���� ��� 9�

� �9 ��

� � �� �� � � � � C � 9�� C9 ���� � � C�

�� !� �� ������� ������� �� ��������� ��� ������� � �������� �� ���7���

.� ��7�" ����

E �

%

C9

-���� ��� %� �� �������� � ����� ��� ���������� ���� �� ����� ���������

�� �� ������ �� ��������" % �� �� 2���� ����� �� ������� ��� ���� � ��

������� � C9 �� �� 2���� ����� �� ������� � ��� ��� ����� ��� �������� ��� C

Page 132: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

132

���������� ����� ����� ���� ��������� ! ����� ���������" E ��������� ��

#����� �� �������� ��� ������� ��� �� �������� ��� ��� �������� 1�%" �������

������" ������ �������� ��� �� ������" � ����� �����" ��� E � � � ������

����� ��� ������ � + ��� ��� E" ��� ���7�� �� �� �������� �� ������� ��

���� ������ ����� ����� ��� ����������" � ��� ������ ����� �� ��#��� ���

�������" ���� �� ������ �������� � 1���� �� ������� ��� E � ���� �������"

�� �������� ����� �� �������� �� ���7�� � !�����" � ���� � ��� ��������

������� �� !���� � �� ����%� �� ������

��� ������� �� ����� ��� ������������ � �� �������� ���%���� �� �����

������������� ! ����� ��� ������������� �� ������������ ��������� �� ���

�������� ������������ �0 �1� ���

� �0% �1� ���

� ������ �� �� ������ 1� !

����� ��������� ���� ���#���� ������ ��7�� ��� ��������� ��������&

�� !� �� �������� ��������� ��� ���������� �� 2���� �� ������� � �� ��������

�%� C���� �� �������� ��������� 2���� �� ������� � �� �����

�� !� �� ������������ �� ��� �� ������� � ������� � �� ������� �� �

�� �� � � � �

�� '�������� �� 2���� ����� �� ������� � �� �������" �� ����� ( � ! �0��

�%� =�� � �� ��� ��� �� 2���� ����� �� ������� � �� ����" � �� ��� �� ��

�����" (% � ! �0%��

�� !� �� �������� ��������� ��� �������� �� ������ ��� � ������ ���� � ��

��������

�%� '�������� �� ������ ��� � ������ ������ � �� �����

�� !� �� ������ ����� ��� � ������ ���� � �� �������" � ����������"

; � ! ����

�%� C���� �� ������ ����� �� ������ � �� ���� ���� � ������ �� �����

4�������������" ;% � ! ��%��

9��� �����7��� ��� ������� ����� �� �������� �� ����� ������� ������7��� ���

��������%������ ��� �������� ��� �������� ��� �� ������� 1�%" ;�����

�������� � +B/( �� ����� ���C ���� ������ ��� �� ���������� ��� ������

���� �������� �� �� ��� ���� " ��� � �� �� ���������� ��� ������ �� ��������

� ��� C �� �� 2���� �� ����������� 9������������ ���� ����� �� ������

���� ����� � �� ��� �������� � ������� �%��" ��������� � ������� ��

������� �� �� ���� �� �� ���������� ���C���?�<" ����&

�� �� ���������� ��� ������ ���� ��������� 1����� �� ��� ������������ ���

������ ���� ��� ������������� ���� �������� ��& � ���������� " � �������

��%����� " !� �!���� �� ������ ��������� � " � ���#���� " ( ������ �

# ����������� �� ���� " ���� ������

� �� �� ���������� ��� ������ �� ��������� .� ��� ��� ������ ������������

��� ��� ��������� ���� �

�� �� 2���� �� ���������� ��� �������� 9���� ��� � 2���� ����� ��������

�C � �� �� � � � � ��� C � ��

� �� �� ��������� �� �� ���� �� ������� ������ �� �� ����� � 3���� �

����� ��� � 2���� ����� ����� � ����� ��� ����" � ��� � � �" �� �

��� �%���� ���� �� ����� !� ����� �� � ����� ��������" �������� ��� ��#����

� � ��

Page 133: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Conceptos generales de la teoría de colas 133

� �� �� ����8� �� �� ������� ��������� 3���� ����� ��� 7��� � �7����

!��� 2����� ����� �� �� ��� �� ���� ��� ��#���� ����� �� ����� �� ?�

� �� �� ��������� � �� ����� 1����� ������������ ���� < �� $G$>" �G$>"

'.." 9' ���������� �� ����������� � )C ���������� ������ � .� ����� ���

��#���� �� ���� �� �������� < �� $G$>�

1�%" ��� �������" �� ����������������4�F ����� ��� �� ����� ���

������� �� �� ���� �� ������ ���� �������� �����������" ������ �� ��������

�������%����� ����� ������� �� ����� �� ����� ������ � ����� �������� � ����

������ " ��� , ���������� � �� �������� �� ��������" � ������ �%���� ���� ��

2���� �� ������� ��� ����� ����� � �� ���� �� ������" �� ������� ��������

�� ����� �� �7���� ������� � ��� ������� �� �������� ���2 �� ���������

$G$>� -��� ��� ���� 2������ ������� ��" � � $G$> �� ����������� ���

�������� ��� ��#����" �� ����� ������� ����%� ���������� ���� ������

>�� ����� ��� ���� ���� �� ������������ ��� �� ����� �������� �� ����� ���

���������� � ������ �� �� ���� �� ������� � ��� ������� ��� ��#����" �� ��� �

���� �������� �� ��������%� �����Y����� 1�%" �� ������ !�����������4�F"

� ����%� ���������� ���� !���������4�F ������ �% ���� !��������� "

�� ���" ����� �� ����� ��� � !�" � � � " C � � � < � �4�F" ���

����%���� �� �� � ���������� ������ � � � � ? � � � ��� ? � � �

� � ��

�?�� F������� �� '���

! ��� ������� �� ���������� ��� ������ ���� �������� � ���������� ���

�������� ��������� ���% ���� � ������ ����� ������� ��� �������� ��������

�������� �� ����7�� ������� #������ ��� �������� ��� 2����� ������ ��

�������" � �� ������� � � �� ����" �� ��� ������� ������ �� � ������� � ��

������� � � �� ����� !���� �� ��� �������� #������ �� �������

-���� ��� ����� �� ������� �� �������� ��� ����� %� � % ���� ����

� � �� �� � � � " �� ������� #����� �� ������ ��������� �� ��������

( � % �; "

������� ��� �� ������ �� ������� �������

(% � % �;%�

'������� ��� �� ������� �� ����� #�� ������� ��� ������ � +B0+" ���� ��

��������� ��#������ � ����� �� �� � ���� ������� � ������ #����� ��

�������

�� #���� �������� �� ������ �� ����� �� �� ������� �� ��� #������ ��

������ �� �� ��������� -���� ���� � ������ ��� ����� �� ������� ����� ������

C���� � �� � ������" ���� ����� ��; " ��� ������ ������ ������� ��� ��������

Page 134: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

134

-��� �� 2���� ����� �� ������� ��� ����� �� ������� ��� ����� �� ������

�� %" �� 2���� ����� �� ������� ��� ����� ������� ����� ��� ������ ������

� ������ ��� � �� ������� ����� ��� ���� �� � �� % �; � 9�� ���� �����"

�� ����� ��� ����� 2���� ����� �� ������� �� ����������� �� 2���� �����

�� ������� ��� ��� � �� ������� ����� � �� ������ ��� ���� ��� �������

������ ������ ����������" �� �����" (� � ���������� ������ �� ������ ����

�� ������ #����� �� ������

>��������" ��� #������ �� ������ � ����� ��� ������� �� ��� %� � ��

�������� �J�� ���%� % ������K " ���� �% ����� ������������ � ��� �������

�������&

( � % �; �

(% � % �;%"

����� % �

��

���

%����

>��� ������ ��������� �� ���� ���� ���� ��������� ; � ;% �� �� ����

���

; �;% �

9

.� ������� �� �������� ���� ���� � ����� ��� �� ������ ����� ��� �

������ ���� � �� ������� �; ������� �� �� ���� ��� ������ ����� � �� ����

�;% ��� �� ������ ����� ��� ����� � ��� ������� ���9" �� ��� 9 �� �� 2����

����� �� ������� ��� � �������� ����� ������ ��� ����� �� ������ �

�?�� "�-���� ��������� �������� �� ��� ����

���������� ���������� � -����

�� ���������� ( ��� �� ������ �� ��� ����������& � & �" ��������� �� ������"

� � & �" ��������� �� #����� !��� ����������" �� ���������� �� ������� �

�� ���%���� /" ��������� �� ���������" ������ ��� ( ��� ���

� ��� ����

! �� �������� ���7�� �� ������� ��� ��������� �� �� ( ��� ��" ��

( ��� �� � �� ( ��� �� � ��� ����

Page 135: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Conceptos generales de la teoría de colas 135

0

0.5

1

1.5

2

2 4 6 8x

C�������� �� �� (��� �� ������ ������ " �� (��� �� ������ ��������� �

�� (��� �� ������ � �����

! ������" �� ����� � �� ������� �� �� ����������

� ( ��� �� �� ! ��� �

� - �" ��� �

�� 1 �������� ������� ������ ����������� ����������

�� ����� ������������� � ������ �� ��� ������� �� ����� �� �������� � � � �

(��������+� �� �� ��

� ��� ���$ ���� �

� �� � � � ,1� & � �1 � � � 1� ,1� $

���� ���� 1 & ��

!��� ��������� ����� ��������� #�������� ��� ����� �� ��� �� #��� ��

������� �� �� ��������� ��� ������������ ���������� � ������

(��������+� �� !� ����� �� ������ �� � �6������� �$ �� ��

� ��� ���$

���� �

�� & 1� ,1�

���

�� � �� & 1� $ ���� ���� 1 & ��

���� ����� � �$ �� � ��� �������� ��� ����� ��� � ,1 & �$ ���� �

� �,1����

� � �

,������ ��+�� )������ � �� ��7��� �� ������������ ����������" ����

���� 1 & �" �� ����

�� & 1� ,1�

���

��

� �� & 1� ,1� � & ,1�

� �� & ,1�

� �� & 1� ,1�

� �� & ,1�

��� ����

�����

� ����

� � �� & 1� "

�� �� ��� ����� ���������� �� ������� �7������ >��� ����� ����������

�� �������� �� �������� ������� ��

�� �,1 & 1�

���

�� � �� & 1� "

Page 136: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

136

�� ���� ������� ������������ ��� � �,1����

� � �

�� ��������� �� ������� �� ������� �� �� ��������� ������ �������

���� �� ��������� �� 4��<�� �� ��� 2��� � ������� �� ����� �� ����������

��������� ���� �� ������ ���� �������� � ���� �� ������ �� ��������� 1�%" ��

������� ��� �� ������ ���� �� ������� �� ��� ������� ����������� �� ������� ��

���������" ����� �� ���� ������ ������ ������ ����� ��� ���� �� ������� ��

������� �� �����" �� ������ ��� ����� ���� ��� ������ �� �������� ����� ������

���������� ��������� �� �� ����� ���������� � ��������� ��������

���%� ������ ���� � ������ �� �������� ��� ���� ���������� ��������� �

(��������+� �� �� ���������� �������� ��������� ��

� ��� ����$ ��

��� ����$ � � � $ ��

� ��� ����$ ����������$ ���� �$ �� ������� ��������

�'���� ��� � � �$����� ��� � � � � �� ��� �������� ��� ��� �

��

�������

,������ ��+�� �� #��� �� ����������" � " �� �� �������� � ���� ����

���

� �1� � �� � �� & 1� � �� � ��$����� ��� � � � � �� & 1� �

� �� � ��� & 1� �� & 1� � � � � �� & 1� � ��

�$

���

� ��� & 1�

� ��

�$

���

�����

� �� ���

��

������

"

���" �#����������" �� �� #��� �� ���������� �� �� ��� �

��

�������

!��� ��������� ���� ���������� ����� �� ������� �� ����� #��������

� ������� �� ����� ��� ���� ���� � � � � 1�%" �� � � ������� ������ ��� C

���������� ���� �������� � ����� ����� ������� � �� ���������� ��� ������ ��

�������� �� ��� �9�" � ������ �� �� ������� �� ������� �� �� ���������" ���

������� �� �������� ��� ����� ���� ���� ������ �� ��������� �� ����������

��� �9� �" ������ �� ��������� �������� �� �%��� �� �����������" �� ������

��� ����� ����� ��� �� ������ ������ ����� ������� ��� �����" �� �� ����

������ �� �������� ����� �� ���������� ��� �C9��

(��������+� � �� �������� ��� ( ��� �� � ������ ���� �� ��� �� � �� ��

����� ���,����� �� ����� ��������$ ����� �������� ���������� ��

( ��� ���$ ��

� ( ��� ���$ � � � $ ��

� ( ��� ���$ �� ������� �������� � �

��

�����

��� �������� ��� ( ���

��

�������

�� �������� �� ���� ��������� � �� ������� �� ��� ����� �� �������� � ����

������ ����������� ���� ��� ��� �� �� ����� �� ��� �� ��������� �������"

� ����������" ������� ������� �� ���������� �� �� ���� �� ��������� ������

������ ����������� �� �� ����� ���������� 9�������������� �� ���������

������� ���� �� � �� � � � � � �� � � � � � �" �� ���� ��� �� ��" ��" � � � "

Page 137: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Conceptos generales de la teoría de colas 137

�� �� ��������� ���������� ����������� � �� ���������� �� ����" ��� ���"

������ � �

��

����� ���� ���������� ( ��� ��� ��� ��������� �� ����%�

���������� ��� ������� ����� ��� ����� �� ������� �� ������ �� ���� ����� ���

����� �� ��� ��� ����� ! ��� ���� � ����������%� �� ������ ��� ���������

���� �� ������� �� � ������ � �� ��� ��� ����� � ������� ����� � ��� ��

>��� �������� ��������� �� ���� ��������� � ����%� �� ����� �� �� �������

��� .������ ��� � � ����������C� � � � � ������ ����� �� ������� �����

�� ��� � ������� ����� ��� ������� �� & C � .� �������� ����� �� ����������

�� �� �������� ������ ��� �� ������ ������ � �� ����" � ��� ��� ��� ������

�� �� �������� #����� !� ������ ��� ������� � ����� ������� �� ������ ������

���� ���������� ��� �C9�" ���2 �� ������� � �� �� ��� ���������� ���

���� ������������ 1���� ���" ���� ��� �� ������ � ������ ������� � ���

������� �� �� ����� �������� ��C�� ������� ��� �������" ����� ��� ���������

�� ����� ���� ������� ���� ��� ������� �� ������� ��� ������� ��������� ����

�������� � �� ���������� ��� �C9�� 1�% �� 2����� ��������� �� �������

�7���� ��� �� �������� �� ������ ���� � ���� ���������� ( �C9� �� C� ���

�?�+ ���������� �������

+� ��������� ��� #������ �� ������ ��������" ���� � ������ ����C" ��

2���� ����� �� ���������� ���������

,� ! � ������ ����� �� 9 � � ������� ��� �����" ����� � ������ �

� ���������� ������ � �� ��� ��� ����� ��� ������� ���� ���� ��

���� �� �������� �� ��������� J-��� �� �� ������ ����� ��� �����������

����� ��� �� ������ ���� ������� ����� ������� ��� �������K

Page 138: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 139: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegaday servicio de tipo Poisson

11

Page 140: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 141: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 141

��� �

! ���� ���%���� ������������ ��� ������� ��� ���������� ���� �� ������� ��

�� ���� � �� ��� �� ����� ��� �� ���������� ��� ������ ���� �������� � ��

��� ������ �� �������� �� ������������ -���������� �� ���� � ���������

��� ��� ������� �����" ����C" �������" ����C��" ��������?"

����C���? ��� � �� ��������� � �� ������

���� �� �����������

-��� �� ����� ����� �� ����� � �� ��� �� ���������� ��� ������ ���� ���

�������� ����������� �� ������� �� ������� �� �� ��� �%�" ��������������

��� 2���� �� ������� ��� ���� ����� ��� �����" �� ���������� ��� ������

�� �������� �� ��� �9� � ��� ��� � ��������� ��� ������� ��� ��#���� �� ���

���� 2������ ���������� ����� ��� � ��� ��������� �������� �� 2���� ��

������� ��� ����� ����� � �� ����" ��� �� ������� �������� �� �7���

��� ��% ��� �� ���������� ��� ������ ���� �������� ��� ������� �� �����

��������� � ��� �� ��������� �� �� ���� �� $G$>�

3����� � ����� ���� ����" ������� �������� ������� ��� ����� �� �������

%� � %" ���� ���� � � �� �� � � �

� ��� ����� �� ��������

9�� 9" ���� ���� � � �� �� � � �

-��� ���������� �� ���� ���

� �

%���%��� � � �%�

9�9��� � � �9�

%�

9�

�%

9

��

� E�

" ���� � � �� �� � � �

-���

��

���� �

��

���E�

�� �� ����� ���� �����" ���� ��������� �� � ���

�% �E� � �" ��� ���� ��� E & �" �������� � E � �� !��� ������" E � �" �� ���

���� ���������� � ��� �� ������ ��� ������������ >��� #���� �� ���������� ��

% � 9" ��� ���� �� ����������� �������� �� ��� �� 2���� ����� �� �������

��� ���� � �� ������� ��� ����� �� ������ ��� ���� ��� �� 2���� �����

�� ������� ��� ����%� ��� �������� ��� �� �������� ��� ����� �� ������" �

���� �� ��� ��� ��������� ������������ ���� �� ������ �������� � �������

����� ��� � ������ ������� �

Page 142: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

142

! �� ��� ����� ���������� ��� �� ������� �� �� ���� �� ����������� ���

����� E � � � �� ������� ��� ������� �������� �� �� ���� �� �� ����� �� ��� �&

��

���

� �

��

���

E�

E

�� E

�" ��� �� ����"

�� �

� �

��

����

� �2

��2

� �� E�

1�����" ���� ��������� � � �" �� ���� �� � � � �� � ��� E� E� �������� ����

#����� 7�� ������ ���� � � � � 1�% ����" �� ���� �� ������������ �� ��

�������� E2���� �� ������� � �� �������F ��

� �0 � �� � �� � ��� E� E�" � � �� �� � � �

� ��%" 0 ���� ���������� ���� ����� �� ��������� � � E ������������� ��

����" �������� �� ���� ����� ���� �� 2���� �� #������� ���� ��� ������

���� � .������� ������� �� #����� ���� �� ����� �� �� ����������

���� �����" �� ��������%� �� #���� �������� �� ����� �� ( � ! �0�� 3����

������� ����� �� ������� �����������&

( � ! �0� �

��

���

� � �� �

��

���

� � ��� E� E� � ��� E� E

��

���

� � E����

!��� 2����� ����� �� ��� ���� ��� �� ����� ������� ���������� � ���� ������

�� #���� �� �������� �� ���� �� �� ��������� -���� ���� �� #��� ' ��� ���

�����" ��7��� ���� ��� � � ���� ��� C��� ��� ���� ���� � � ���� ��"

' ��� ���� ��7��� � ���� � �� �� ����� ���� ����� ���������" �� ���� ���

' ��� ��

���� 1�����" �� #��� ' ��� ����� ���������" ���� ����������� �

������ �� ���� ������� ��������" ���� � ���� � � ���� � �� ��7���

���� ����� �� ��������� 1�%" �� ������&

��

���

�����

� '���� �

� ��� ��� � ����

��� ���

��� ����

C� ���� ����" � ����������"

��

���

� � E��� �

��� E��

�" ��� ����"

( � ��� E� E�

��� E��

E

�� E�

%

9� %�

.� �����" ����" �� �� #��� �� E �� �� ��%���� �������� � E� ���

Page 143: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 143

0

2

4

6

8

10

0.2 0.4 0.6 0.8 1

( ���� #��� �� E

1���� (% ����� ���������� �� #���� �������" ����� ����� �������� �

������ �� (� O�������"

(% � ! �0%� �

��

���

� � � �0% � �� �

��

���

� � � �0% � ��

��

���

� � � �0 � �� �� �

��

���

� � ��� �

��

���

� � ���

��

���

� � �� � �� �

��

���

� �� �

��

���

��

��

���

� �� � ��� ��� � (� ��� ��� "

#����� ��� �� ������ ���� ��������� ������ �� �� #���� #�#��� � � � � !

������ ����" �� ���� #����� �� ������

(% � (� ��� ��� �

E

�� E� ��� ��� E�� �

E

�� E� E

E�

�� E�

%�

9 �9� %��

1������� ��� #������ �� ������ ����� �������� ���������� ���� ; �

;%&

; �

(

%

9� %�

;% �

(%

%

%

9 �9� %��

1�����" ����� ����������� #�������� ��� �� ����7�� �� ������; �;%��

-�

C� �����" ���� ������ ���� �� ��� ��� #������ �� ������ ������� �������� ��

����� �� ������������ ���� �� ��� ��������� (" (%" ; � ;%" ���� �� �������

.� �� ����� ���� ��� �#������ ����� �� ������ �� ������� � �� ���� �

� �� �������" ���� ���������� �� ���������� �� ������������ �� ��� ���������

Page 144: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

144

� � �%� !���� ������������� ��������� �������� �� ������������ �� ���������

������ �������� �� ������ �� ������� � �� ���� � � �� ��������

9���������� ����������� �� ������� �� �� #��� �� ���������� �� �"

��� ���������� ��� ; �1�� 9��� ���� ��������� �� ����� �� ��� ��������������

�������" ���������� �� 2����" 0 " �� ������� ��� ��� � �� ������� �����

����� �� ������ � ������ � ������ � ����� ��� ��(��

� ( �9� �� ��� C�

���� #����" ���� ���� 1 � �" �� ����

; �1� � � �� � 1� �

��

���

� �� � 1�(��

�� �0 � ��

��

���

��

9��

��

��

��-�.�

���

��

���

��

9��

��

��

��-�.�

����

%

9

��%

9

��

9

���

%

9

���-�

���

���

�%���

��

�.�

9

���

%

9

���-����

.� �

�9� %� �� -����.�

���� -����

������

� �� �� -����"

��� �� �� #��� �� ���������� �� �� ��������� �� ��������� 9� %� 1�%

����"

��

� ��� �9� %� �

!� �����" ��� ����" ��� ���� ������� �� ���� ����� �� ����� ������ �

������ ; ��

-���

�� #��� �� ���������� ��� ������ ��� � ������ ���� � �� ���� �����

�������� �� #���� ������� :���� ���������� ����� #��� � ��� � �����

�� �� #����&

;% �1� � � ��% � 1� � � ��% � �� � � �� ��% � 1�

� ������� �� ������ �� ����� ��� ������ ��������� ������ ���� �� ������� ��

; �1�� C� ��� #���� �� ������%�&

;% �1� �

���

��%

9

�� -����

�� 1 � �

� �� 1 � �

!��� #��� �� ���������� �� ��������� � 1 � �" ������� �� �����

;% ����;%

����� ��

%

9

� �� E � ���

Page 145: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 145

.� ����� ��� ���� �� �� �������� ��� �� ������ �� ������ � ��������& ���� ��

����� ���� �� ������������ �� � ���� ��� 1 & � ���� �� �������� ������

�� #��� �� ���������� ���� ���� -���

-�� -����

������� �* �� ��� ��� ��� � �����#� �� �� &�� � ��� ����� � # ����

��������� � � ����� ��, �� ���� �� &�� � ���� � �����#�! �� �����

� (6� � �������� ��� ����� ��� � ���� < �������� ��� ��������� �

������ ��&� ��� ��� ������ @;@+� ������� � ��� ������� � ��������� �

�� ��� ��� � ����� � ��&� �� ��� �� � 6������ �� ��� ��������� � .8

��������� ��� -���$ ��� ������� ����$ � ���%

.� 0(�,� � �� ������������ � � -��� �,� � ��� ��������� � ���� �

# � ��� ���,� �� � � ��, # ������!2

=� (�� ���� � ����� ���� � ����� ��� ��� � � ���� �� ��������

�� ������� -���� � � ������ �� # � ���� 0(�,� � �� ��� ��� ���

�� ����� � � ����� ���� � (6�2

<� (�� ���� �� ������������ � � � �������� ��� � � ������� �������

� # ��,����! �,� � ./ ��������

:� 0(�,� � � �&��� ���� � ��������� � ��,� � �� ���� � ������

� # �����2

8� +���� ��� �������� � ��� ��������� �������� ��������� � �-��� �

-� �� ������� �� ������ � ��������� -���� .A � �� -���$ ��� �������

�����

���� ���% �� ����� ������� � ��� ������ � ���� �� � � ��� ������

��� ������� ��� ���� � � � ����� � �� ����������� 3 - -�$ ������

��������� �� �� �� �' �� ����&� �����! � ����� � ����� ���� �� ��� ���

� �&��� � ����� � �� ����� ��� ���� ��� ��� ��'������ �� ������ � ���

����� �� ������� � �����#���� � -���� � ���

% � ��$

9

��

$ �� �� ��� 9 � ���

3 �� ���� E ���

��� ��� � � � � ����� � ��� ��������

.� �� �� �������� � ��� ���

� �0% & �� � � �0% � �� � � �0 � �� � �� � �0 � ��

� �� ��� � �� � �� � ���

� ����� E� ��� E� E� ��� E� E� � ��� E� E�

� ����� E� E�E� �� � E�

E� �

� �� ��� E�E� � �

E� �

� � � E� � � � E

� ����

� �� ����

Page 146: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

146

=� *�� � ���

; �

9� %�

��� ��

� ��� -���� � �� ��������

�� ��� ��� �� � ����� ���� � ���� ��$ ;1 ��

-$ �

;

;1

��

� �$

� � �� ��� ��� �� ��, � �� ��� ��� �� ����� ������� � �����

� � �� ����� � (6��

<� (��� � ��� ��� �������� ��� ��� �9� %� � ��� ��� ���� �

�� &

��

��

�� �

�� ��

� � ���

� �� �����

:� � ��� (%� (��� ;% �; � �

-�

�� �

���

��� (% � %;%$ ���� �

(% � ��

��

� ���� ��� ��� � �����

8� �� &�� � ����� �� � � �-��� % � �$ �� �� ��� E ��

��� �� � �$

� �0% & �� � �� �

� �� ����$

; �

��� �

� ��� -���� � �� �������$

�� &

��

��

�� �

����

� � �� �

� � �� ��� �

;% �

��

��

��

� (% � �

��

� �� ��� ����

(��� ��� ��� �������$ � ������ ��, ������� �,� �����������

�-����

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.2 0.4 0.6 0.8 1x

C��������� ��� ������ �� ����� �� ������ � �� ������� ���� �� ���� % � ��

Page 147: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 147

���� �� ����������C

!� �� ����������� ��� ������ ������� �� ���� � ��� ���� C �����������

.� ����� ���� �� �� ���� � �� ��� �� ���������� ��� ������ ���� ��������

����������� �� �� ��� �%�" �� ���������� ��� ������ �� �������� �� ��� �9�

� ��� C ����������� -��� � �� ���� �������" �� ������� �������� � ��

��������� �� �� ���� �� �7���� � �� ��������� �� �� ���� �� $G$>�

��� ����� �� ������� ���� ����� ���

%� � %" ���� ���� � � �� �� � � �

� ��� ����� �� ��������

9��

��9 �� � � �� �� � � � � C

C9 �� � � C� �� C� �� � � �

-� �� ����

� �

%���%��� � � �%�

9�9��� � � �9�

�1�1�

%�

��9�

�� � � �� �� � � � � C

%�

C�C��19�

�� � � C� �� C� �� � � �

9��� ������� ����� �� ������� �� ����������� ����� �������� �� ������

����� �� �� �����

��

���

� �

1���

���

%�

��9�

��

��1

%�

C�C��19�

1���

���

%�

��9�

%1

C�91

��

��1

E��1

"

���" � ������ ��� � ���� C� ����" �� ���� ����� �� ��� E �" ��� ����" ���

������� ������� ��� E � �� 1�% ���� �� ������� �� ����������� ������� ���

E � �" � �� ��� �� �� �����" ������� ��� % � C9� ! ��� ����" �� ���� �� �����

����� ��

��

���

� �

1���

���

%�

��9�

%1

C�91

��

��1

E��1

1���

���

%�

��9�

%1

C�91

�� E

1���

���

%�

��9�

%1

�C� ���91��

�C9� %�"

�� �� ���� �� ���� ���� ���

�� �

� �

��

����

� �

�1��

���

��

��-��

��

1����-��� 1-���

1 �� ���� �� ���������� �� ������� �� �� ���� ������ �������� �� ��

#����� ������� ����" �� C �� �������" ��� � ����� �� �� � �� ���������

Page 148: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

148

����� �������� ������� �� ���� E����N�WF� 1�����" �� ����������� ���

����� �� ���� ���������� ���%� ��� ��7����� ��� ����� ��������� ������

�������� �� �������������� 1�%" ��� �������" �� C � ���" � �� ��������� ��

� ��������%� �" ���" � ����� �� ���������� ����������� ����%� ��������

����� ��� �7��������� ����������� ��� �� � ���� � ��� ������� �

��� !��� ����� �������� ����� ����� ��������� � ��� �������� %�

� 9��

! ������" ������ ��� �7����� ��7�� � � � � �������� �� ������� ���������

� � ���

%���

9�

� ���

%

�9

" ���� � � �� �� � � � � C� �"

��� �� ������ �� �� ��7��� �� ��� �� 1����� �� � ������

1����-��� 1-���

��� ���������

��

��1� � ��� ���������� ��� �1" ����� ����� ����������

#�������� � ������ �� 1�� ������� �1 � 1���

1-���

3����� � ����� ���� �� �������" �� ����� � �� �������� #���� �� ������

����� �7��������� �� ������� �� ��&

�� �

��1��

���� � �1

" ����

� � �" � � ���

%

�9

" ���� � � �� �� � � � � C� �

� �1 � 1��

%

C9� %�

'������ #���� ������ �� ������� ����%���� ���� ��� ��&

�� � � � �� �

�1�1�

%�

��9��� �� � � �� �� � � � � C

%1

C�91E��1�� �� � � C� �� C� �� � � �

�����" �� ����" ����� #������ ������������ ����������� �� �� ���

������ �7������ ������������� -��� ���� �� ������� �� ��" ����� ���%

������� �������� ��� �7����������

�� ��� ��������� �� � �� �� ������ � ������� ��� ������� �� ��� �"

�� ������� �� ��� �� ���%� ��� �������� 1�%" �� � � �� �� � � � � C � �" �� ����

�� � � � �� �#����� ���" ����� ����� �� ������ ���� � � C" � �� ��� 2���

���� � �� �� ��������� ��� � ���� � � C � .� � � C ��� �� �� ����� ��������

������������� �� ��� �1�� ���� ��������� �

�� � � � �� �

%���

9�

��� � �� �

%���

9�

���� �

%

C9

���� � E � ����

���� ���� � � C� C� �� � � � 1�%" �� #���� ��������" �� ��������%� �

�������� ����������� �� � � � �� ���� � � �� �� � � � � C� � �

������������� �� � E � ���� ���� � � C� C� �� � � �

����� �� %���� ��� �� ������

Page 149: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 149

)������ � �� ������� ����%���� ������� ���� ��� ��" ����� ���������

#�������� �� ����� �� (%&

(% � ! �0%� � � � ��� � �� � � � �� �1� �

��

��1�

��� C� � ��

��

��1

��� C�%�

C�C��19��� �

%1

C�91��

��

��1

��� C� E��1 �

%1

C�91��

��

���

�E�

%1

��

C�91�

E

��� E��

%1�

��

�C� ���91��

�C9� %���

! �� ��������" ���� ��� �1 ���

1����-��� 1-���

" (% ����� ���������� �� #����

�7����� ������� �� �������

(% � �1

%��

C9� %�

1 ������ �� (% ����� �������� �� ����� �� ;% �3�

�" ������� �� ������

#����� �� ������� 1����" �� ������%� ; � ;% ��

-� ����� ( � %; � C�

����� #�����" �� ������� ������ ���������� ����%����� �� ����� ��������� �

� ����� �� %" 9" C � ��&

;% �

%1

��

�C� ���91��

�C9� %���

; �

%1

��

�C� ���91��

�C9� %���

9

"

( �

%1�

��

�C� ���91��

�C9� %���

%

9

"

��� � �� ����������� ���� � �� �������� ��� �� ����� ������� �� �������

�� �������� � ��� ���������� ����������

C� #���� ������ �� ���� ��� �����������" �� ����� ������ � ����������

���� ��� #������ �� ���������� ��� ������ ��� � ������ ���� � �� ���� �

Page 150: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

150

��� ������ ��� � ������ ���� � �� �������� .� ��� ���������&

;% �1� �

���

��%1

��

�C� ���91��

�C9� %��� 1-����

�� 1 � �

� �� 1 � �

! �� ����%

9

�� C� � �� ����

; �1� � � �

%� C9� 9;% ���

C9� %� 9��-�

%1

��

�C� ���91��

�C9� %� �C9� %� 9��� 1-����

"

�� 1 � � �� � ���� ����

������� ��� ��%

9

� C� � �� ������� ��

; �1� �

���

��

�� �

%1

��1

�C� ���91��

�C9� %�

���-�

�� 1 � �

� �� 1 � �

��� �������� ��� ������� � ��� ���������� ��������� �� �7���������

����������� � ������ �� �� �������� ������������ 1�%" ��� �������"

;% �1� � �� �1 � �� � �� 1-����

�� 1 � ��

)������ � ���� 2����� ������� ������� ��� ������� �������� �� ������������ ��

��� � ������ � ���� ��� ������� � �� ���� ��� �����" ��� ���� �����������

� ��� ������� &

� ��% � �� � � ��% � �� �;% ��� � �� �1 � �� � ��

��

��1

� � ��

� ��

��

��1

�� �

1���

���

�� � � �0 � C� �� "

���" ��� ���� �����" ������� ��������� ��������" ���� ���������� �� �� �����

�� ��� ����� ������ �� ������ � ������ ���� ���2 �������� ������ -���

����� ���������� � �� �������� 7����" �� ����� ��� �� ���7�� �� �� #���

;% �1� ���� ����� �� �� ; �1� �

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5t

$������ �� ���������� ��� ������ � �� ���� ������ ������ � ��� ������

� �� ������� ������ ���������

Page 151: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 151

������� �. (�� ���� ��� �������� ������ � ��� ��������� . � : �� &�����

#���� ��������� ��� ������ ����� ��� ���������� ��� ��� ��� � �����#�

�� ��� �������� ������ �� �� � �� -� #����� >����� ������� � �&���

���� ����� � ��� ��� � �� ��� ����

���� ���% +������� � ����� � �� ����� ����C �� C � �$ % � �� �

9 � ��$ �� �� ���$ E ���

� ���

�� �$ �����$ ��� �����$ � ����� ��� ��������

��� ��� ������� �������� ������ ����� �����$ ��������$ � �0% & �� �

(%� �� ����� ����� ����� -����� ��%

(��� � � �$ � � �

��

��

$ � � �

��

� � ���

��

� �� � �

��

� � ��� ��

��

$ ������%

�� �

���

���� � ��

������

��

��

� �� ����

*-���$

� �0% & �� � �� ��� � �� � �� � �� � �� � ���

� �� �� �� � � � � � � � � � ��

� ��

�� �

��

��

���

���

� ��

����

���

� �����

����

����

� �� ���� �

*��,�$

(% �

%1�

��

�C� ���91��

�C9� %��

���

��

� � ��� � �� � ��� ����

� �� ��� ��� ����

� ������ ��� ��� �� ����� � ��� � ��� ��� ������ � ������ �����

���� ��� �� �������� �,� � ������� �� &����� � � ��� �

( � %; � %

�;% �

9

�� (% �

%

9

��

��

��

� �� �� ��� ����

� ���� � ������� �� � ���� � �� ��� ����

Page 152: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

152

���� �� �������������

.� ����� �� � ������ ���� �� �����" �� ���������" ���� �� �%������ �

���� �� ����8� �� �� ����� !� �����" �� ���������� ��� ������ ���� ��� ������

�� �������� �� ������� �� ������� ����������� �� �� ��� �%�" �� ����������

��� ������ �� �������� �� ��� �9� � ��� ��� � ��������� 1����� �� 2���� ��

������� ��� ����� ����� � �� ���� �� ���� ����� �" �� ������� ��������

�� �7��� � �� ��������� �� $G$>� >��������" � ���� ������ �� ����� ��� ��

���� �� ��� � ������ ��� ����� ����� � �� ������� � �� ������" ��� �����

�� ���� �����

1 ������ �� ��� ������7������� ��������� �� ������ #�������� ��� �����

�� �������&

%� �

�% �� � � �� �� � � � � �

� �� � � � � �� � � �� � � �

������� ��� ��� ����� �� �������� �� �� ����� � ��� �� � �����"

9�� 9" ���� ���� � � �� �� � � �

5������ ��� �� ����� ����� �� ������ ������������ ��� �&

� �

�E�

�� � � �� �� � � � � � � �

� �� � � � � ��� � �� � � �

C��� ��� �� �����

��

���� ���� �� ��� � 2���� 7��� �� � �����

�������� �� ����" �� ����������� ��������� �� ���� ������ ������ ��

E� !��� ����� ������������ ���� ���" ��� ��� #������� ��� ��� �� ������� ��

������� �� ������� � ������ �� �� ��������� ��� �������� ���� ��� ��������"

�� ������ �������� � �� ����8� �� �� ���� #����� � �� ��������������" ����

�� ���� ��� ����%���� ������� �� ��� ������������ ���� �� ������ ���������

�� ������� �������� ��� ����� � �0 � � � �� � � �

�� ���� �� �� ����� �� ��� � �� �������� �� ���� 7��� � ����

��

���

� �

4��

���

E�

���

E4� � E

E� �

�� E �� �

� � � �� E � �

!��� �������" E �� � E � � ����� ��� ������� � �� ����� �� ����� ��� ��������

����������

> �� � �� �� ! ������ ����� ���������� ��&

�� �

� �

��

����

� �

E4� � E

E� �

E� �

E4� � �

Page 153: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 153

1���� ��� �� �� ������ #��������"

�� �

���

E� �

E4� � �

E�

�� � � �� �� � � � �� � �

� �� � � � � �� � � �� � � �

!� 2���� ����� �� ������� � �� ������� ����� ���������� � ������ �� ��

��7���&

( �

��

���

� � �� �

4��

���

� �E� �

E4� � �

E�

�E� �� E

E4� � �

4��

���

�E����

1���� ���" �������� ��� ������ ������ ��� ��� ������ � �� ����� ����

�������� �� ���� �� �� ����� ���������� � ���� �����" ������� ����� ��������

�� ���� �� � 2���� 7��� �� � ����� �� �� ������ 1�%" ��7����

' ��� �

4��

���

��

�4� � �

�� �

" ���� � �� �"

�� �������� ����

'���� �

4��

���

�����

�� � ���4�

��� �����4� � �

��� ���

�� � ���4� � �� � ���

4�� �

��� ���

C� ���� #����

4��

���

�E���

�� � �� E4� � �� � �� E

4�� �

�E� ���

�" ��� ����"

( �

�� E

�� E4���� � �� E

4� � �� � �� E4�

� E

��� E��

�� E

�� E4��E

��� E4�

�� �� � ��

�E4� � E4�

��� E��

�� E

�� E4��

2E

��� E4�

��� E��

��� � �� E

4���� E�

��� E��

3

E

�� E�

�� � �� E4�

�� E4��

! ������

( �

E

�� E�

�� � �� E4�

�� E4�"

Page 154: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

154

���� ������ ������ �� ����������� �� ����� �� ( ���� � ������

��� #������ �� ������ � �� ������ ���� ������� ������ ����� ������ ����

�������� ��� ����� ���� ��������� ������ �� ���� �� 9��� ���� ���� ��������

�������� %" �� ��� ����� ��� %� � �� ��������&

% �

��

���

%� � �� �

4�

���

% � �� � %

4�

���

�� � % ��� �4��

� %

���

E� �

E4� � �

E4�

�� %

E4� � �� �E� �� E

4�

E4� � �

%

�E4� � �

E4� � �

1 ������ �� ���� ������� �� ����

; �

(

%

�� E

�� E4���� � �� E

4� � �� � �� E4�

� E

��� E��

%

�E4� � �

E4� � �

�� E

�� E4���� � �� E

4� � �� � �� E4�

� E

% ��� E��

�� E

�� E4��E� E4� � �� � �� ��� E� E4�

% ��� E��

�� E

�� E4��

2E

��� E4�

% ��� E��

��� � �� ��� E� E4�

% ��� E��

3

E

% ��� E��

�� � �� E4�

% ��� E4���

9� %�

�� � �� E4�

% ��� E4��"

�����

; �

9� %�

�� � �� E4�

% ��� E4��"

���" �� ����" �� ��� �������� � �� ������ ���� �� ������������ 1 ������

�� ���� 2����� ������� � ������ � ����� ��� ;% �; � �

-" �� ����

;% �

%

9 �9� %��

�� � �� E4�

% ��� E4���

Page 155: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 155

$�������"

(% � %;% � %

�; �

9

�� (�

%

9

E

�� E�

�� � �� E4�

�� E4��

%

�E4� � �

E4� � �

9

E

�� E�

�� � �� E4�

�� E4��E

��� E4�

�� E4�

E

�� E�

�� � �� E4�

�� E4��E� E4� � E

4� � E4�

�� E4�

E

�� E�

�� � �� E4�

�� E4��E4�

�E� ��

�� E4��E

��� E4�

�� E4�

E

�� E� E�

�� � � � E� E4�

�� E4��

E�

�� E�

�� � � � E� E4�

�� E4�"

�����" � ������"

(% �

E�

�� E�

�� � � � E� E4�

�� E4�

�������" ���� 2�����" ���� ������ ������ �� ����������� �� #����� ����

(% � � ������ ������ >��������" �� �� �������� �� �������� ��� ������

��������� �(" (%" ; � ;% �� ��� �7����� ������ �� ����� �� % �" ��

��� ��������� �� �� ��� ������" ������ ��� ���� �������� ����������� �� ���

#������ �� ������ � �� ������ ���� ������� �������

1���� �� ������������� � ������ ������� ���� ���� ����������"

� �� ���� E � � ����� �� ���� ������� �� ����������� �� �������������

���� ����� ������� ������ � � ���� �� ���� ���� ����� ��� �� ����8�

������ ��������� ���� �� ���� �� ��� � ��� ����� � ! �#����" ��� ����������

��� �#���� ��� #������� ��������� ���� ��� ��" (" (%" ; � ;% ������� ��

��� ��� ������� � �� ������ 1�%" � �%���� �� �������"

�$�

4��(����4 �

E

�� E� �$�

4��

�� � �� E4�

�� E4�

E

�� E�

�$�4�� �� � �� E4�

E

�� E� (���"

�� ��� �� �%���� ��� �������� �� ���� ����������" ��� �������" �� ����� ��

�Z5[����� �

> �� � � �� ! ���� ���� ��� �������� ������� ������� ��� ��������� !� �����

�� �� ���� ���� ���

�� �

� �

��

����

� �� � �

� � �

-��� ������ � � E�� �" ���� � � �� �� � � � � � � �" ������

�� �

� � �

" ���� ���� � � �� �� � � � � � � �"

Page 156: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

156

�� �����" 0 ���� ���������� ��#���� �������� ����� �� ������ �� �������

���������

! ���� ����"

( �

4��

���

� � �� �

4��

���

� ��

� � �

� � �

�� � �� �� � ��

� � �

"

% �

��

���

%� � �� � %

4�

���

�� � % ��� �4�� � %

���

� � �

��

% �� � ��

� � �

"

; �

(

%

4�

� 4��

4�

� � �

�%

"

;% � ; ��

9

� � �

�%

��

%

�%

"

(% � %;% �

% �� � ��

� � �

��

�%

� �� � ��

� �� � ��

9��� ��������� ����� �� E ������ � ������� �� � " �� �� ����� ������ ���

#������ �� ���������� ��� ������ ��� � ������ ���� � �� ������� � ���

������ ��� � ������ ���� � �� ����" �� �������� ���������� ��7�� /�" ����

�� ������������ �� ��� ���� � ������� � �� ������� ����� ����� �� ����

������� �� ���� ����������� C������" ���� �������" ��� 0 �� 2���� ��

������� � �� ������� � ��� � �� ������ ��� #���� ���� ��� �� �������� ��

������� ��� �������� ������" ��� /� ��������� � �0 � ����

�� ����� ��

����� ' �1�(��

� ���� �� #��� �� ������� �� �� �������� � ���������� �

��� 0 � �" �� ����� ��� ' �1�(��

� ���������� � �� ������� �� �� ��� �%���

1�%" �������� �� ����� �� :����" �� ����&

/� � � �0 � ����

� �

' ���(��

� ���4

���' ���

(��� ��

%������

���4

���%��

�� ���

% � ��

% ��

4

�����

��

�� �4�" ���� � � �� �� � � � ��" ������� ���

/� � � ���� � � � � ��� � �� � � �

!� ���� �� ���� ��� ���� ������� ���� �� ����C ��������� �� ����

C � � " �� ����7�� ��� ��� ��������� � � 0 �� ����������� �" ��� ����

/� � � �0 � ����

� � � �0 � �� � ���

��� #������ �� ���������� �� ��� ��������� � � �% ���� ����� ���

; �1� � �� ��-�4�

���

/�

��

*��

�91�*

"�

" �� 1 � � �� ; �1� � � � ���� ����

;% �1� � �� ��-�4�

���

/�

����

*��

�91�*

"�

" �� 1 � � �� ;% �1� � � �� 1 � � "

Page 157: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 157

��������" � ��� ���������� ��������� ��� ����� 1 � � � " � �" � ��

��������� ��� �����" �� ����������� ���� �������� ���� �� 9���� ����

����� �� #���� ��� ������� ��� ;% ��� � � ��% � �� � /� � � �0 � ����

��

�� ����������� ������� �� ��� #������ ; �1� � ;% �1� ����� ��������

��� ���� ������ ���� �� �� ����2� � ������ ������� �� 1 � � �� ������� �

1�%" ���� � � ���" �� ����� ����� ��� ��������%� � �� ����������� �������

�� ; �1� ��������%� � � � � � � � � ��� ���� ���

�� ���� ���������� ���� ����

�������� �� �� #��� � � 1� ! ��������" ���� ����������� ����� ���

�������� ����%���� � � ����� �� �7������� C������ * �1� � -��

*��

6� �1� �

��

*��

-���

*��

��

*�� * �1�" �� ���� ��� 6� �1� � � �1� � � � ��� ��

����7�� ��� ��������� ��������� ����������

* �1� �

91

"

*�� �1� " ���� " � �� �� � � � ��

6� �1� � 6��� �1� � � �1� " ���� � � �� �� � � � ���

C� ���� #���� �� ������� �� ; �1� ����%� ����������� �� � 2��� �����"

���������� ���� � �� �������� ���������&

� ��� � � �. 6 � � � � � /��

�� � �� � � � ����� � � � ���

��� ��� � � �-�

�� 6 � 6 � �

���� ��� � � � � � /� � 6�

�� � ���� � ��� � ��-��

1��������� �� ����� �������� ���� �� ������� �7����� �� ;% �1��

!� ����� ��� �� ������ ������������ ��� ���������" #���� � �� ������

������ �������" �� ��� ������ 1�%" ���� �� ������� ������� �� � � ���"

���� ����������� ��������%�" �� ���" ��� ���������� ��� ����� ���� /+

����� ��� ������ ��� ��� ���� ��� � ���� ������� �

! ���� ������ �� � ����� ����������� �� ����7���� �� E ���� ��������

�� ���7�� �� �������2�� 1��% E � ����� ������������ ���� �� ������� ����

2���� ����� �� �������� �� ������� �� ������� ��� ����� �� ������ � ��

2���� ����� �� ������� � ��� ��� �� �������� ����%� ��������� �� ��� ��������

��� ����� �� ������" �� ��� ��� ���� � ������� ��������" ���� ����

�� 2������� ��������� �� 2���� ����� �� ������ �� �������" ��� ��� ��

�������� �#������� �� �������� C� �����" ��� ���� ������ E ����� ��� ����� �

����� ��� �" �2 ����� �� ������� ������������

!� ����� �� % �% ��������� �� 2���� ����� �� ������� �#������� �� �������

� �� ������� ��� ����� �� ������ �" ��%" �� ��������� �������� �� ���7��

����%� ������� � ���� � ��

E �

%

9

�111�111�

� 4��

4�

9

� � �

� � �

�� E � �

��2������

2�����

9

E4� � E

E4� � �

�� E �� �

��� �#���������� �% �� ������� ���� ��� ��

Page 158: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

158

���� �� ����������C��

.� ����� �� �� ������ ��� ������ ������� �� ���� � ��� ������ � 2����

����� ����������" C" �� ����������� ��� ����� �� ������� �� ���� �� ����� � ���

��� �����������" ������� ��� ��� �� �������� �� ���������� ������� � ���

�� � ����C&

%� �

�% �� � � �� �� � � � �� � C� �

� �� � � � � C�� � C� �� � � �

9�

��9 �� � � �� �� � � � � C

C9 �� � � C� �� C� �� � � �

-��� ���������� �� ������&

� �

�111�111�

%�

��9�

�� � � �� �� � � � � C

%�

C�C��19�

�� � � C� �� C� �� � � � �� � C

� �� � � � � C� �� � � C� �� � � �

C� ���� �� �����

��

���� ���� ��� � 2���� 7��� �� � ����� �������� ��

���� �" ��� ����" ������� �� ���������� 1�% ���� �� ������� �� �����������

������� ��������������� ��� ����� �� E � 9��� �������� �� ����������

������� �� �������" �� ��� ������� ������� ���� �� ���� �� �� �����&

��

���

� �

41�

���

� �

1���

���

%�

��9�

41�

��1

%�

C�C��19�

1���

���

%�

��9�

%1

C�91

41�

��1

E��1

�1111�1111�

1���

���

%�

��9�

%1

C�91��� E4�

�� E�� E �� �

1���

���

%�

��9�

%1

�� � ��

C�91

�� E � �

-��� ����������"

�� �

�11111111�11111111�

1���

���

%�

��9�

%1

C�91��� E4�

�� E

�� E �� �

1���

���

%�

��9�

%1

�� � ��

C�91

�� E � �

3�� � ���� �� �� ����� ���� �� ������ ����C" �� ����������� ���

����� �� ��� #������� ��������� � �� ����������� �� ����� ��� �7����� ��

Page 159: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 159

�������� ��� 1�%" �������� #������ ���������� ����� ���������� �� �������

�� �

��1��

���� � �1

" ����

� � �" � � ���

%

�9

" ���� � � �� �� � � � � C� �

����� �1 � 1��

E� E4�

�� E�� E �� � �

�1 � 1�� �� � �� �� E � ��

1 ������ �� ��" � ��� ���������� �� ������ ��� ������" ����� ��������

���������� ����%����� ���� ��� ��&

�� � � � �� �

�1�1�

%�

��9��� �� � � �� �� � � � � C

%1

C�91E��1�� �� � � C� �� C� �� � � � �� � C

@��������" ��� #������ ������������ ����������� � ������ �� ����� ������

����� �� ��� ���� �7������ � ������� ���#������ �������� �� #���� ������

� �� ����� ���� �� ����C�

'���������� ��� ������� �" ��������� ���� �� ����������� ��� �������

�7����� �� ��" ��� �� �� ������ �� ����� ��� �������& �� � � ���" ���� � �

�� �� � � � � C��� 9�� ���� �����" �� � � C" �� � ���� �� �� ������� �������������

�������� � �1�� ��� �� ���� ���������&

�� �

%���

9�

���� � E � ����" ���� ���� � � C� C� �� � � � �� � C

$����� ���" �2 ����� ������ ���� ���� ����� �� E" �� ���������� �� E � �"

���� ���� ��������� �41 � �41�� � � � � � �1 � �1�� ���� E � ��

��� ������ ��������� ������ �� ���� � �(" (%"; �;% ����� ����������

� ������ �� ��� ������� �� ��� �� ���� ���������� 9���������� �� �������

��� ������� �� �� �� (%" ��� �� ���� ������������ .� E �� �" � ������ �� ��

��������

4��

���

�����

�� � ���4� � �� � ���

4�� �

��� ���

Page 160: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

160

���������� � ��������� �� ���� �� �������" �� ����

(% �

14�

��1�

��� C� � �� �

14�

��1

��� C� �%�

C�C��19�� ��

%1

C�91� �� � E

14�

��1

��� C� � E��1�� �

%1

C�91� �� � E

4�

���

� � E���

%1

C�91� �� � E �

�E4� � �� � �� E

4� �

�E� ���

%1

� �� � E�� ��E

4� � �� � �� E4

C�91��� E�

��

9�� ���� �����" �� E � � ������

(% �

14�

��1�

��� C� � �� � �1��

14�

��1�

��� C�

� �1��

� �� � ��

%1��� �� � �� � ��

�C� ��� � � � 91���

! ������" �� ������� ����%���� ���� �� 2���� ����� �� ������� � ��

���� ��

(% �

�11�11�

%1

� �� � E�� ��E

4� � �� � �� E4

C�91��� E�

��� E �� �

%1��� �� � �� � ��

�C� ��� � � � 91���� E � �

� ���" ���� � ������� ����� ��� �7����� ���������� ���������� ��� ��������

�7������ ��������� ��� ������ "

(% �

�11�11�

�� ��E

4� � �� � �� E4

E�

��� E��

� �1�� �� E �� �

� �� � ��

� �1�� �� E � �

9��� ����� ������ �� ����� �� ��������� ������ ��������� ���� ��� #��

����� �� ������ � ��������" �����������" %&

% �

��

���

%� � �� � %

41���

���

�� � % ��� �41� "

��� �� �� ����������� � ���� ���� � ������� �7������ �� #����� ���

����%���� ���� ���� ����� ��

% � %

���

%1

C�91E4

��

�"

Page 161: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 161

��� �� ������7�� � % � %

���

%1��

�C� ���91����

��� E � �� C� ����" � ����

������ ������ � ������� ��� E � ��������� �� �������� �� ���7�� �#�������

!�� ����� ����� ���������� �������

E �

%

C9

� E

���

%1

C�91E4

��

�� E�

%1

C�91E4�

���

1 ������ �� ��� ������� �� (% � %" ���������� �� #���� �7�����" �����

������ ��� #������ �� ������ ���� ������&

;% �

(%

%

"

; � ;% �

9

"

( � %; �

! ���� ������ ������� ������� ���������� �� ���������� ��� ������ ���

� ������ ���� � �� �������" ����� � �� �� ���� �� ��� ������ ��� � ������

���� � �� ����&

;% �1� � �� ��1-�41���

��1

/�

��1�

*��

�C91�*

"�

" �� 1 � � �� ;% �1� � � �� 1 � � "

���� ��� /� ���� �� ����� ����7���� ��� � �� �������������" �� �����"

������������ �� ��� ���� � ������� � �� ������� ����� ����� �� ������� ��

���� ����������" � ���� ����� ���

/� �

��

�� �41" � � �� �� � � � �� � C� ��

��� ���������� ������ ����� �� #���� �� ���������� ��� #������ ; �1� �

;% �1� � � �������������" �� ������� ���� �� ����������� ��;% �1�

� ���� ������� 1�% �� ������� ����� ����� �� � � � " " � �� ������� ����

;% �1�" ����� ��������� � � ����� ������ ��������� �� � ���� ���������

������ � �� �� �������

� ���� ���������� �� ���� ������ �� �� ����C��" ��� �� �� �� ���

�������� ������� ��� ������ !����" � ��� ������� �� �� 3���%� �� -����"

���� ������� �� ������������ �� � �%��� �������� � �� ������ ����#���

��� ������ �� C �%���� ! �� ������ �� ��������� �� �� ���� �� � � �" ����

�� ����� ���" �� �� ������� ����� � �� ������ ����� ����� ��� �%��� ����

��������" � �������� � ������ ��� ��� ������ �� ��8�� �� �������� �

�� ��� �������� �� ����������� �� ��������� � ��� ������� -��� ����

���������� �� �� ����� � �� ������ ����C��" �� ���� ��� �� ������������ ��

Page 162: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

162

� �%��� �������� � �� ������ ���� ���� ���

�� �

%�

��9�

1�

���

%�

��9�

" ���� � � �� �� � � � � C"

��� �� �� #����� #����� �� !����" ���� ���� ��� ����� �� ������ ����

��������� ���������� ��� ������ �� ��������" �������� ������ ��� 9 �� ��

������ �� �� ����� �� ����� �����������

������� �1 (�������� �� ��� ��� � �����#� ��������� � ��� ��� &������

#����� � �������� � �&� ������ ��� ��� ������$ ���� � ������ ����

��� �� &�� � ��� �� � ��� � ����� (�� ���� ��� ��� �������� ������

� � &����� #�����

���� ���% �� ����� ���� � �� �-��� �� ����C�� �� C � �$ � � �$

% � �� � 9 � ��� �� ����� �����$ ������ ����� � � �0% & �� � �$ �� � �

����� ���� �� ��� � � � �� 6�� ���� ����$ ���� ��������� �������� �����

��� �������� �������� ���������� ���� � ,� ��� � ( � (%$ ���� � ����

-�� �� � ������ ������� � � ������ 0 � �� �� �� �� �! ���, �� �,� �,����

�� ������� ��� �����%

� � �$ � � �

��

��

$ � � �

��

� � ���

��

$

� � �

��

� � ���

��

� � � �

��

� � ���

���

$

����� � � � ���� � � �� �� � � � 3 ��� �����$

�� �

� ��

��

���

���

���

���

���

���

���

� �� �� �

���������� ���� �� �������%

( �

��

���

��� � �� �� � �� � �� � ���

���

���

��

� �

��

� �

��

� �

���

��

���

���

��

��

��

���

� �� ��� ��� ����

*�������$

(% � � � ��� � �� � �� � ��� � � � �� �

���

� �� ��� � ��� ����

� ������ ���� � � � ������ ��, ������� ���� ������ � ����� ��

����� � � �� ������ ��� � � ����7� � �� ��� ����� �� �&��� �����

� ����� � � ������ ���� ���� �� -� �&��� �� �� ��� ���������!�

Page 163: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 163

���+ �� ��������������?

!����������� ����� � ������ � �� ��� �� ������� �������� �� 7���" #�����

�� ��� ? ���������� C��� ��� ����� �� ����� ��� �� ���������� ��� ������

���� ��� �������� �� ������� ����������� �� ������� �������� �� ������

������� ��� � �� �������" �� #���� �������� �� ���� ���� � ����� ��

��������� ���" ���� ���� ������ ��� ����� �� ����� ��� �������" �� ����������

�� ������������ ��� ������ ��� #���� ���� ��� ������ � ����� � � �� ��

��� �%�� 3�� ���� ����� �� ���������� ����������" �� ������� � 2���

�������� ���� ������ ��� ������� ���2 �� ��������� $G$> � ��� � ���

�%���� ���� �� ����8� �� �� �����

! ������ �� �� ������� �� ������� �� �� ���������� ��������� � �� ��

������������ ��� �� ���� �� ���������� ��� �%��� �� ������ �����������

�����������" ������� ������ ���� ���� �� ���������� ��� ������ ��� #����

���� ��� �� ������ ������ ���� �� ������� ����� �� ��� � ������� �����

�� �� 1�%" �� 0 � �" �� 2���� �� ������� � �� ������� �������� ����

? � � � �� ������ ����� �� ������ ������ � �� ������� ���� �� �%��� ��

? � � ����������� �� ��������� %" ����������� ���� �%� .� ����� ���

���� �� �� ��� ��? � ��%�� C��� ��� ��� ������� �� �������� �� �����

�����������" �� ������� ����� ����������� ������� � ������� �� ��������

� ������ �� ����� �� �������

%� �

��? � ��% �� � � �� �� � � � � ?

� �� � � ?�? � �� � � �

� ����� �� ��������

9�� 9" �� � � �� �� � � �

1���� ����� ��������� �� ������� ����%���� ���� ��� �&

� �

���

?�

�? � ���E�

�� � � �� �� � � � � ?

� �� � � ? � �� ? � �� � � �

������� ����� ��� �7����� ������ �� ������� � ������� ���������

�� �

�5

����

" ����

� � �" � � �? � �� �� � E � ���" ���� � � �� �� � � � � ?

1�����" �� ����� �� �������������� �� ������� � ������ �� �� � � � ��" ����

� � �� �� � � � � ?" �� ��� �� � � �� � & ?� >�������� �� ������ �� �������

������������

Page 164: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

164

! ���� ���� � ������� ������� ������ �� #����� ����%���� �� ( (%"

���� �� ���� ��������� � ���������� � �� ����� ���� ����� � ���������� �

���� ������ 9�� ���� ������" ������� �������� �����������

( �

5�

���

� � ���

1�����"

% �

5�

���

%� � �� �

5�

���

�? � ��% � �� � % �

�5�

���

? � �� �

5�

���

� � ��

� % � �? � (� �

3����� ���� � ����� �� ����� � ���

; �

(

%

(

% � �? � (�

"

;% � ; ��

9

"

(% � %;%�

1�����" �� �������� �� ���7�� �#������ ��

E �

%

9

% � �? � (�

9

� E � �? � (� �

C�7���� ��� �������������� /� � � �0 � ����

�" ���� � ������� ����

������" �� ����

/� � � �0 � ����

� �

' ���(��

� ���5

���' ���

(��� ��

%������

���5

���%��

�� ���

�? � ��% � ���5

����? � �% � ��

�? � �� � ��

?

�5

����� �

�5

��� � ��

�? � �� � ��

? � (" ���� � � �� �� � � � � ? � �" ������� ���

/� � � ���� � � ?�? � �� � � �

!���� �������������� ������� � ��� ���������� ���� ; �1� � ;% �1�&

; �1� � �� ��-�5���

���

/�

��

*��

�91�*

"�

" �� 1 � � �� ; �1� � � � ���� ����

;% �1� � �� ��-�5���

���

/�

����

*��

�91�*

"�

" �� 1 � � �� ;% �1� � � �� 1 � � �

C� ����" ����� #������ �� ����� ���������� �� ����� ����� ��� �7�

����� �� �� ��� ����%� ������� � ������� �����" ������� � � 2��� ����� ��

�������� �����������

Page 165: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 165

���9 �� ����������C���?

)�������� �� ������� � � 2���� �����" C" ���������� �� ����������� 1� �����

��� � �����" �� ������� �������� �� 7���" �� ? �������� �" ��� ����" ��

���������� ��� ������ ���� ��� �������� �� ������� ����������� �� �������

�������� �� ������ ������� ��� � �� �������" ��������" �� ����" ���

���� ������ ��� ����� �� ����� ��� �������" ������ � ����� � � �� ���� �� �

������ ��������� �� ���������� ��� �%�� G���� ��� � �� ������ ������� ��

��������� �� $G$> � �� ��������� �� �� ���� ���������� ! ���� ������ �����

������ C � ?� !��� ���������" ������ �� ��� ������� ��������" � �����

���� � ����� �� ���������� ���� � ������ �� C & ? ����� ����������

������� �� 2���� �� ���������� ����� �?� C� ���� #����" ��������� ���� ("

(%" ; " ;%" � ��� ��" ���������� � ������ ��� ������ ����7����" ���%� ��� ����

��� ��� ���� �� ������ �������� 3� ��� ������ ��������� ���� �� 2����

����� �� ���������� �������� ��������%� ���2 �������� ��������� ���� ����

� ����� �� ��������� ����� �� C & ?�

��� ����������� ���������� ���� �� ��������������?" ����� ��� �����

�� ������� �� ���#�������� ������� �����" ��������" ���� ����������"

%� �

��? � ��% �� � � �� �� � � � � ?

� �� � � ?�? � �� � � �

9�� �� �����" ��� ����� �� �������� �� ����� ��� ���� ��� ������� ����C

����C��"

9��

��9 �� � � �� �� � � � � C

C9 �� � � C� C� �� � � �

�� ������� ����%���� ���� ��� �������� � ��

� �

�1111�1111�

?�

�? � ����%�

��9�

�� � � �� �� � � � � C

?�

�? � ����%1

C�91� E��1 �� � � C� C� �� � � � � ?

� �� � � ? � ��? � �� � � �

-������������ �� ������ �� ����������� �������� C� ����" ������� �����

��� �7����� � ������� ��������� �� ��� � ���� ������ ��&

�� �

�5

����

" ��

� � �" � � �? � �� �� �%

�9

� ���" �� � � �� �� � � � � C�

� � �? � �� �� � E � ���" ���� � � C� �� C� �� � � � � ?�

-��� ������� ��� ����� �������������� �� ������ ���� �� � � � ��" ����

� � �� �� � � � � ?" � �� � � �� � & ?�

Page 166: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

166

-��� ���� ������� ����� �� �����%� � �� ������ ������� �� C � � " �

������� ������ �� #����� ����%���� ���� ( (%� 1�%" �� ������� ��������

����

( �

5�

���

� � ��"

����������" ����� ��� � �� ������ �������" ��� % � %��? � (�� ��� #������

�� ������ � �� ������ ���� ������� ������ ������� ����� ������ ; " ;% �

(%� 3���� ����� �� �������� �� ���7�� �#������ �� E � E � �? � (��

�� ������� ���� ; �1�" � ���� ������" �� ��� ����������� .�������

���� �� ������ �� ��;% �1�" ��� ������ � ������� �� /� � � �0 � ����

� �

5��� ��

5�3�� � �� �� � � � � ? � � "

;% �1� � �� ��1-�5���

��1

/�

��1�

*��

�C91�*

"�

" �� 1 � � �� ;% �1� � � �� 1 � � �

-��� � �������� ���������" �� ������� ����� ����� ��� ������� �� ������

������ �� ;% �1� �� �������� � ����� ����������� ��� ����� �� � 2���

����� �� �������� �����������

������� �4 � ������ � �� ������ ������,�� � �� 8 ��� ���� � ���

���� ����� ��� ������� �� �� 5���$ �������� ������ � ����� �� ����

���� ��� ��� ���� � ��� �������� �� ������� 3���� � ��� ��� ������ �� ��

������ ��� �� 5��� �� � ����� � � ��� -��� '#� ���� ��� �� � � �� ���

�� ���� ����� � ��� ����� � -� ��������� � � ����� � ����� ���

��� � ��� � ���� ��� ���� ������ �� �� 5��� -���� � �� ���� �

������� � �������� � �� �������� ��� ����� ��� � ���� � = -����� 6��

�� ����$ �� ���� ��� �� ��� �� � �� 5��� ������� � �������� � �� ����

����� ��� ����� ��� � ���� 8 �������� *��,� ����� ��� ������� �

���� ����� ��� � ��� �������� � ��� �� � �� 5���$ ����� ���� ��

��� ��� � ���� �� ����� ������� ����� ���������� ��� ����� ��� �����

� ���%

.� (�� ���� �� ������������ � � ��� ��� ��� ���� � ����� ���� ����

��� �� �� 5����

=� 0(�,� � � �&��� ���� � ��� ���� ���������� ���� ��� ��������2

<� �� ������ � ����� ���� � ��� ��� ��� ��, ���� � ���� �� ��

������ � �� �� 5����

:� 03����� �� ��� ���# � ����� � ��������� ��� ������ � ����2

���� ���% � ����� � �� ����� ����C���?$ �� C � � ������� �

����!$ ? � � ��� ����!$�

�� � �

-�

��$ �������� � ����� � -�����

Page 167: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 167

3 ��� � ����� � % ��

�� 9 � ��� �� ����� ����� � �� ����,� ���

�������� � � � ����� ��%

� � �$ � � �

� � ��

��

��

$

� � �

� � ��

� � ���

�� � ���

$

� � �

� � ��

� � ���

��

���

$

� � �

� � ��

� � ���

��� � ���

���� �

$

� � �

� � ���

���� � � ��

������

� ���

�� �

� � � � � � � � � � �

� ��

���

��

����

�������

������

�������

������

������

�������

� ������

1�������� �������� ��� ��������%

.� � ����� � /� � /� � /�� (��� /� � 5��� ��

5�3� 6�������� �����

�� ����

? � ( � ��� � ��� � ��� � ��� � �� � �� ��� � �� � �� � �� � ��

������

�������

�� � � � � �

��

� � ��

� � ��

���

���� �

������

�������

�������

���� �

��������

�������

� �� $

�� �� ���

/� �

��� �� � �������������

� �

��������

�������

����

������

� �� ����$

/� �

��� �� � �������������

� �

���

��������

�������

������

� �� �� �� ����

$

/� �

��� �� � �������������

� �

������

��������

�������

������

� � � ��� ����

3 ����� � /� � /� � /� �������

�������

����

������� ���� ��� �

=� � ��� ? � ($ � �� �� �� ����� ��������%

? � ( � �� ��� �����

Page 168: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

168

<� �� ����� �����$ ������� �

% � % �? � (� �

���������

�������

�������

�������

� �� � ��

* ������ � �� ����� � �����

; �

(

%

�� ��������

�������

��������

�������

�� ��

�� � �

� �� �� -����

� ������� � ��� ��������

:� �� ������������ � � ��� ������ � ���� ��� ��� ����� �

���� ����� � � � �� �

� �� � � � ��� � �� � �� � ��� � ��

�� �

������

�������

�� �

��

��

�����

�������

� �� ���� � ���

�� ����� � ��� ��

*��$ � ��� � � ��� ���# � ����� � � � ��� ������ ��,

� ����� � �������� ������� �� ��- �� ������ � � -!�

���; �� ����������C���? ��� �������

!� �� ����7���� ��� ������ ������� ��� ������� � �� ���� �� ������ ��

������� ���%� ��� ���� � ������ � �� ������� ��������" �� ����� � ��

�������" �� � ���� ������ � ���� �������� �������� �������� " ��� � �

�������� � �� �������� � ����� !��� �� ���� � ���� ������ ���������

�����������

!� ������ ����C���? �� $ ��������� ����� ���������� � ����������

���� ��� ������� ���� ��������� ������ ���� �� �������� ����� �� ����� �

�� ������� �������� � ���� � �� ������� ����� �� ����%� ������������"

��� ����" �� ������� �� �������� �� �������� � !������� ������ �� ����

������� ����� ���

� ? ������� �� �� #�����%� ��� ���� #������� � �� ����� ��

������ �� �� ���� � ������� ������� ��� �� ? ������� ���� ���

������ ������ $ ������� �� �������� ��� �� �� ����%� ����� �� ������

� �� ����������� �� ? �������� �� ������� E�����������F" ��� ������ ��

� ����< �� ����� $ ������� ���" ���� � ����� �� ������ ���������

����� �� �� ��� ? ������� �� ����%� � �� �� ����� ������ ������

����� ���������

Page 169: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 169

C� #���� ������� � �� ��� �����%� � �� ������ �������" ���������� C �

$ �?" ����� �� ���� C & $ �? ����%� ��������" � ���� ����" �� ��� � �

�� ��� �� �� �� ���������

4������ ������ ��������� ��7������" ��� ����� �� �������� �� ������� �� ��

������� �������� ���� ����������� ������� � ? � %" ���� ����� �������

? ������� #���� ��� �������� 1 ������ ��� ���� 0 � $ ��" ��� ����� ���������

���� �� �� ���%� � �� ������ �� ���������� -��� ���������� �� ���� ����"

��� ����� �� ������� ��

%� �

���

?% �� � � �� �� � � � � $

�? � $ � ��% �� � � $� $ � �� � � � � $ �?

� �� � � $ �?�$ �? � �� � � �

��� ����� �� �������� �� ���������� ������� ��� � �� ������ �� ���������&

9��

��9 �� � � �� �� � � � � C

C9 �� � � C� C� �� � � �

!� �������� ������ ��� �� ������ �� ����������� ������� ��� ��� ���

��� � 2���� 7��� �� �������� � � ���� � 1�����" ����� ��������

���������� ����%����� �� ��� � ����������� ��� �����& �� C � $ "

� �

�1111111�1111111�

?�%�

��9�

�� � � �� �� � � � � C

?�%�

C�C��19�

�� � � C� C� �� � � � � $

?�?�%

�? � $ � ���C�C��19��� � � $� $ � �� � � � � $ �?

� �� � � $ �? � �� $ �? � �� � � �

� �� $ � C � $ �?"

� �

�11111111�11111111�

?�%�

��9�

�� � � �� �� � � � � $

?�?�%

�? � $ � �����9��� � � $� $ � �� � � � � C

?�?�%

�? � $ � ���C�C��19��� � � C� C� �� � � � � $ �?

� �� � � $ �? � �� $ �? � �� � � �

-��� � ������� ���������" �� ����� ��� �7����� �������� �������������

Page 170: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

170

����� ��������� 9��� ���� �� ���� � � �� 1�����"

.� C � $ " ����� � �

?%

�9

� ���" ���� � � �� �� � � � � C"

� � ? � E � ���" ���� � � C� �� C� �� � � � � $ "

� � �? � $ � �� �� � E � ���" �� � � $ � �� $ � �� � � � � $ �?�

.� $ � C � $ �?" ����� � �

?%

�9

� ���" ���� � � �� �� � � � � $ "

� �

�? � $ � �� ��%

�9

� ���" ���� � � $ � �� $ � �� � � � � C"

� � �? � $ � �� �� � E � ���" �� � � C� �� C� �� � � � � $ �?�

-� ����� ������� �� ��������%�

�� �

�5�

����

� �� ����� �� �������������� � ���� �� ������%� � ������ �� �� � � � ��"

���� � � �� �� � � � � $ �?� !� ����� �� ( ����� �� ���������� ����������� ��

�� ��7���" ( �

��5

���� � ��" ������� ���

% �

�5�

���

%� � �� �

����

���

?% � �� �

�5�

���

�? � $ � ��% � ��

� ?% �

����

���

�� �?% �

�5�

���

�� �

�5�

���

�$ � ��% � ��

� %

�? �

�5�

���

��� $ � � ��

��

)������ � ��� #������ �� ������ � �� ������ ���� ��� ������� ������ ��

������ � �� ������� � � �� ����" �� ������ #��������; " ;% � (%� 1�����"

�� �������� �� ���7�� �#������ �� E ��

1-� E �

�? �

��5

������ $ � � ��

�� ������� ���� ;% �1� ���� ���� ���

;% �1� � �� ��1-�5���

��1

/�

��1�

*��

�C91�*

"�

" �� 1 � � �� ;% �1� � � �� 1 � � "

�����

/� � � �0 � ����

� �

�11111111�11111111�

? � ��

? �

�5�

���

� � $ � � ��

�� � � �� �� � � � � $ � �

�? � $ � �� � ��

? �

�5�

���

� � $ � � ��

�� � � $� � � � � $ �? � �

Page 171: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 171

1� ����� ��� � ������� ���������� ;% �1� ����� ������������ �� �����

����� ��� �7����� ��� �� �� ����� ������ ��� ������� �� �������� 9�� ��

����� �� #��� �� ���������� ��� ������ �� � ������ � �� �������" ; �1�"

�� �� ������� ����� ��� ���������� � �� �����������

���< �� �����������

-��� �� ����� �����" �� ����� �� � ������ �� �7���� ����������" ����

������� ��� ������ ���� �������� ��� �%�" ���������� ��� ������ ��� ��������

��� �9�" �� �������� ���� �� ����" ������� �������� �7��� � ���������

$G$>� ! ��������" �� ����� �� ��� ���� �7���� ���������� ������� ��� ����

�� ��������� �� �� ���� ���� �� ��������� �� ���������� ������������ �� ��

��� ���������� ��������� � �� ��� ����� ���� ������ �� ��������� � 2����

�7��� �� ���������� �� ������� � �� ��� ���� ������ �� �� �������� � �% ����

��� 9�� ��� ������ ���� ������ �� ������" � ��������" ������ �� ��������

������ � �� �������������

.� �������� ������� �����" �� �������� ���" ���� ���� ������" 0% � �%

���� ��������� ���������� ��� ���� �� ����� ���� �� ������������ +" ����

��� ����� ������� ��� ������ � �� ���� ������ ���� ����������� � ���

�������� �" ���� ����������" (% � � � ;% � �� 9�� �� ������ ���� ������"

�� ���� ����� ��� ��

� ��� �9� �" � ����������" ; ��

-� 9�� 2�����" ��

������� #����� �� ������ �� ����� � ��� ( ��

-�

C� ����� � ���� ��� �������" ��� ����� �� ������� ��

%� � %" ���� ���� � � �� �� � � �

������� ��� ��� ����� �� �������� ���� ����� ���

9�� �9" ���� � � �� �� � � �

-��� ���������� �� ����"

� �

%�

��9�" �� � � �� �� � � �

C��� ��� �� �����

��

���

� �

��

���

��

-

��

�� ������� ���������" ������ �� ������ ������� ������ � ������ �����

�������� 1�����"

�� �

� �

��

����

��

���

��

���

��

� ���

� "

Page 172: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

172

������� ��� ��������� ���� ������������ ���� ���� ���

�� � � � �� �

���

��

-

��

" � � �� �� � � �

1 �� ����� �� ���� �� ������ ��� �� �������� ��������� 0 ���� ����������

�� 9����� �� ����������

-� ! ���������� �� ����� �� ( �

-" ��� � ���� ��

���%���� ���������� 9�� 2�����" �� �������� �� ���7�� ��" � ������ ��������"

����" ���� �� ��������� �� �������� �� �7������� ����� ��� �� ������� ��

������� �� ��������

���= ���������� �������

+� !� ������� �� �� ���� �� � �������� �� ������� �� ����2� � � ������

����� ������������ .� ���� ��� �� ��� ����� ��� �������� ��� �� �����

�� ��� �� ������ �������� ���� ����� ��� ��� �������� ��� ��� ���

��� ��������� !� 2���� ����� �� ������� ��� ����� ��� ���� �� ��

*D� .� ����&

�� J-��� �� �� ������������ �� ��� �� �������� �� ������� ��� ���%�K

�� J-��� �� �� ������ ����� ��� � ������ ������� ���� ����� �� ���

����� �� �� ���%���� ����� ��� ����� � �� ���������K

,� �� �������� ������� ������ �� ( ������� ������������ C� ��� � ����

�� �� ����� �� ���2 ������ �� ������ � �� ������� ���� �� #������ �����

��� �� �� ��� ��������� ������������� ���������� ���� ������ � ����

���� ����� ������� �������� �� ����%�� .� ���� ��� �� ������ ��� ����

���� ����� �������� ����� �� ���������� ��������� �� ����� �� +D

������" ������� ��� �� ���������� ��� ������ ��� � ������ ���� #��

������ ����� ��� �� ������ �� ����� �� ����� ��������� ���� ��

����� �� , ������ -�������&

�� �� ������������ �� ��� #����� ��� ���� ��������

�� !� 2���� ����� �� ������� ����������

�� !� ������ ����� ��� � ������ ���� ���������

�� .� � � ������ ���� #����� ��� ���� �������" J���� �� �� ������

����� ����� �� ������ ����%�K

(� 1 7 �� ������ �� ��%� ������ �� �������� � �� ���� �� �������" �

����� �� ������� ��������� �� �%���� ������ �� ���� �������� � ������

�� ������� � ��� ���������� �� ����� ��� ������� ��� �� ������� � ���

Page 173: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 173

������ ������ ���� �� ��������� $G$>� ��� �������� �� ��%� ���2

� ������� �� 9�����" � ��� �� * ��� ������ !� ������ �� -9� �� �

������� ����� �� ���������� ��������� �� ����� + ������ .� ����&

�� �� ������������ �� ��� � ������� ������ � ���� ��� ��������� ���

����� ��� �����

�� !� 2���� ����� �� �������� � ������ �� ������� � �����������

�� !� ������ ����� ��� ��������� ���� �� ������ � ���� �� � ����

���� � �� 7 �� �� ��������

�� !� ��������� �� ������ � �� ��� �� -9� ���� ��������

*� 1 �� ��������� ����#��� ����� ��������" ���2 � ������� �� 9�����"

� ��� �� * ��� ������ !� ������ ��� ������ �� 2��� ����#����� �

���������� ���� ������� ����� �� ���������� ��������� �� �����

�� +D �������� .������� ��� ��� �������� ��������� ������� �� ����

������ ���� ������� �� ������ � ������ ���� ��� �������� ���2 ��

���� �� �������" ��������&

�� !� 2���� ����� �� �������� � ������ ��� ���� � ����� ��� ���

�� ���� �������� �

�� �� ������������ �� ��� �� ������� ���� ��� ������� ��� �� �

����� ����� ��� ��� ������������

�� 1������� ����� ��� � �� ������� ������ �������� � ������

����� �� ����#����� ���� �������" �������� �� ������������ �� ���

�� ������� ��������� ������ �� ��8�� �� E���������F�

/� >����� �� #�����" �� ��� ������ �������" ���� �� ������� �� �� ������

������� �� ��� ���� ��� � ����� ��� � ������� � � ������ ������

0� �� ������ �� ������� �� ��� ������������" ���� �� �� ��� ������ ��

����� �� ������ 0D �������� ��� ����" �� �������� �� #���� ��� � �����

������� ��� �� ������� ��� � 2��� �������� � ���2 � �������� ����

�� �������� !� ������ �� �������� �� � ������� ����� � ����������

��������� � ������" ��� �������� ����� ���2 � ������� �� 9�����"

� ��� �� +DD ���� ����� .� ����&

�� �� ������������ �� ��� ��� ��� �� ���� �������� � �� �������

�� �� ������������ �� ��� ���� ���2 ���������� ������

�� !� 2���� ����� �� ������������ ���������

?� � ����������� �� �#�������� ����� �� / ��������� �� �������� -���

������ �� ����%�" ��� � ���� �����" �� ��� ���� (D �%��" ����� ��

������ ����� �� ������ ����%�" �� ���������� ���������� !� �����

������� ������ �� ��� ������� ���" � ���� �� ��� ��������" �����

Page 174: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

174

�������� ����� ����%��� !� ������ �� �������� ����� ���� �� �� ���

� ����� �� ���������" �� ����� �� ( �%��� -�������&

�� !� 2���� ����� �� ��������� #��������

�� !� ��������� �� ������ ��� ���� �� �� ��� � ����� ����� �������

� ����� ������ ����� � �� �������� �� ��� ����������

A� 1 �� -9� ����� ��������" � ��� �� / ��� �����" ��� �� ��������

����� �� ���� �� ��� �� ������� ��� ����� �� �� ������� � ��� ���������

� �� ���������� !� ������ ���� �� ������� �� ��� �������� �����������

�� �� ���������� ��������� � �� ������ �� ������� �� ��� ��������

����� �� ���������" ������ ���� ����� / ��������

�� J!� �� ������� �����������K J9�� �� K

�� J-���� ������ ���������" ��� � ���� �����" ����� ��� ����� �

������� � �� -9� ����� ��� ������ �� ����������K J=� ������

������ �� �� ������ ����� �� �������K

�� -������� �� ������������ �� ��� � ������� ��� ����� ����� ��� ����

������ �� ������ ������ � �� 2���� ����� �� �������� � ������

�� ������� � � ������� ���������� ������

B� 1 �� ������ ���#������� �� �� ����� �� �������� ����� �������

��� �� ������������ ��#��������� ���2 � ������� �� 9�����" �� �����

�� +D ��� ������ !� ������" � ������" �������� ���� ������ � ���� ��

���#����� ��� �������� �� �� ���������� ��������� �� ���������

+,� -���� � ���� �������� ����� � �� ������ ���#������� � ��

�� ���� �������" �������" ���2 �� ���� ��� �� ����������" ����� ���

����� ��� ���#������ 1 ��� �#����" �� ����� ��� �� ���� � ���� � ��

��� �� �� ��������� ��� ��������� ���� �� ��� ���#������ �� �� ���

7��������� ������ ���� ��� � ������ ������������� ��� ���������

����� ����������

�� J-��� �� �� ��������� �� ������ ������ �� ���� �� ���#������� ����

�����K

�� J-��� �� �� 2���� ����� �� ��������� � ���� �� ��� �� ����

#����� ����#������� � ��� �� ������ K

�� -������� �� ������ ����� ��� � �������� ���� � ���� �� �������

�� ���#����� ������ ��� ����� � ��� ��� ����� ��� ���� ���#�����

� �� ������������ �� ��� ���� � �������� �� ������ ��� �� �

����� � ���� ��� ��������

�� .� ����� �� ����� ��� �� ��� �� ������ ���� ��� ��������� ����

( ��������� � ��� ����� � �������� ��� ����� � �� �������

����� ��� ��������" �� ����%� � ���� ���� �� �� ����� �� �������

��" �������� �� ������������ �� ��� �� �������� ����� ����%��

Page 175: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 175

�� :��� �� �������� ��� �������� �������" J���� �� ����� �� ������

����� ����� �� ������� �� � �������� ����� �� ���#�����K

+D� � ����� �� ������� ������ �� * ��������� �� �������� C� ��� � �����

����� �� ��� ��������� ����� #���� �� �������� � �� �� ��� ��� ���%����

��� ������ ����� �� �� ������� �� �������� ������ �� ���� � #��

��������� ����� ������� .� ���� ��� �� ������ ��� ����� ����������

�� ��� �������� � ������� �� ������� ��� �������� ����� �� ���������

�� ��������� �� ����� �� +D ������" ������� ��� �� ����������

��� ������ ��� � �������� ���� #�������" ����� ��� ����� #���� ��

��������" �� ����� ��������� ���� �� ����� �� , ������ -�������&

�� �� ������������ �� ��� #����� ��� ������ ����������

�� !� 2���� ����� �� ��������� ����������

�� !� ������ ����� ��� �� ������ ���� ���������

�� .� � � ������ ���� #����� ��� ������ ���������" J���� �� ��

������ ����� ����� �� ������ ����%�K

�� -������� �� ��������� �� ������ ��� ���� ������� ������ � �������

����%���

++� � ������� �#�������� �� �� ���������� ������ �� ( �������� �� -C

��� #����� ����������������� @� �������" �� ��� � ����� ��

������� ���2 ����� �� ������� � ����� �� ����� � ���� �� #������ ����

�� ��� �� �� ��� ��������� �� �� ���������� ���� �� ���� ������� �����

� ���� ���� ����� ������� �������� �� ����%�� .� ���� ��� �� ������ ���

���� ������ ������� � ����� �������� ����� �� ���������� ������

���� �� ����� �� / ������" ������� ��� �� ���������� ��� ������ ���

� ������ ���� #������� ����� ��� �� ������� ���2 ����� �� �������

�� ����� ��������� ���� �� ����� �� + ����� -�������&

�� �� ������������ �� ��� #����� ��� ���� ���������

�� !� 2���� ����� �� �������� ����������

�� !� ������ ����� ��� � ������ ���� ���������

�� .� � � ������ ���� #����� ��� ��������" J���� �� �� ������

����� ����� �� ������ ����%�K

+,� -��� ��������� �� ������� 4>>@ �� ������� #������� � �

����� �� �������� 9�� ��������� �� �� ������� ��������� ������ (�,"

��� ������� ����� ������ #���� �� �������� ������������ ����� ���

�� � ���� �������� ������ � �������� #������� !� ������ ��� �����

�� ������ �� ������� � ��������� ����� �� ���������� ���������

�� ����� �� +D �%��� !� ������ �� �������� �� ����� ��������� �

�� ����� �� ���� ������ ��� ������� ��������� �� �������� ���2

�� ��������� $G$>� -�������&

Page 176: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

176

�� �� ������������ �� ��� ����� ������ ��� ���������

�� !� 2���� ����� �� ��������� #��������

�� -���� �� ������ �� ����%�" J������ ����� ����" ��� � ����

�����" ����� ��� ������ � #������K

�� .� ����� ��� ��������� ���� #�������" J���� �� �� ������������

�� ��� � �� ��������� �� ��� ������� *D ����� �� ����%� �����K

+(� � ���������� �� ������������ � �������� ������ �� ���� ������� ��

������������ �� ������ !� ������ ��� �� �� ����� ������� ��������

� #���������� ����� ��� �� ����%� ����� �� ���������� ���������

�� ����� +, �%��� ��� ������� ��������� �� ��������� ���� ���� ��

����%� ��� � � ����" �� ���� �� ����� � ������ ��������� �� �����

����� �%� �������� �� ����� ���� ���� ������ .� ����&

�� �� ������������ �� ��� �� � ���� ��� �����������

�� �� 2���� ����� �� ������� �� ������������ � #�����������

+*� 9�� ������ � �����" �� ��������� �� ��� ���������� ��� ������� ���

���� ���� �������� � ������ ��� ��� #���� ��� ��������� ������� ����

������ ����� �� ��� ��� ����� �������� ��� ��� ���������� � ����� ����

� ������" ������ �� ��� �� E�%�� �������F � ��� �������� ����� ���2

� ������� �� 9�����" � ��� �� 0 ��� �����" ����� +/ ������� ��

����� ��� ������ ��� ����� ���� ��������� � ���������� �� �������

� ����� ������ �� ���������� ���������� -�������&

�� !� ��������� �� ������ � ��� ���� ��������� ���� ��������

�� !� 2���� ����� �� �������� � �������

�� �� ������������ �� ��� �� ������� ������ �� ��8�� �� E�%�� ����

����F�

�� -������� ��� ���� ��������� ��������� ���� �� �������� �� ��� ���

������� �� ����������

+/� �� #�����%� ������ �� ������ ������� �� ������� �� �������� �� �����

�� ��� ��������� ��� ����� �� �� ����%� ��� ������� ����� ��������

�� ���������� ��� ������ ��� ��������� ����� ��� � �������� ������

�� � #������ ����� ��� �� ����%� �� ���������" �� ����� �� *D �%���

!� ������ �� �������� �� � �������� �� �� �������� ��������� ��

���������� ��������� � ����� +D �%��� .������ ��� ������ � 2���

� ���� ����� �� ������� ��� ����������" �� ����&

�� �� ������������ �� ��� �� � ���� ��� ��������

�� !� ��������� ����� �� ������ � �� ��� ����� ��� ������� �� ����

���� ���� ����������

Page 177: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Modelos con tasas de llegada y servicio de tipo Poisson 177

�� !� 2���� ����� �� ����%�� �� ������� � � ����

�� !� ������ ����� ��� ��������� ����� �� ����%� �� � ������ �����

�� ���������

�� !� 2���� ����� �� ������� #��������

+0� C�� �� #�����" �� ��� ������� �������" ���� �� ������� �� �� ����������

��� �� ��� ������ �������� ��� ������� � � ������ �� ����� ����C�

C�������� �� ������� �� ����� ��������

+?� �� ������ �� ������� �� ������ ������������ ������ �������� ��� ��

���������� � �� �� ��� ������������ ���2 �� ��������� $G$>� ��

������� �� �������� ������� � ������� ����������� �� 9����� �� ��

������� �� / �������� ��� ������ !� ������ �� -9� �� � �������

������� ������ �� ���� ���� �����������" ��������� �� ������ �� ���

���� ������ ������� �� ���� ����� �� ���������� ��������� �� �����

�� (D �������� .� �������&

�� J!� �� ������� �����������K J9�� �� K

�� J-��� �� �� 2���� ����� �� �������� ������� � �� ������K

�� J-���� ������ ��������� ����� ��� �� ��%� � ������� ����� ���

�� ������� ������ ������� ����� ���� K !��������� ���� �������

���� �� ������ ����� �� -9��

�� -������� �� 2���� ����� �� ������������ ���������

�� J-��� �� �� ������������ �� ���" �� ����� � �������" ��� �������

� ��� ��������� �� ������K

+A� 1 � ������ ���������� ��� � 2��� ������� ����� �������� ���2 �

������� �� 9����� � ��� �� +/ ��� ������ !� ������ �� ��� ��� ������"

��� ����� �� ���� ��������" �� �� ������� ��������� �� ����������

��������� � ����� �� ( ������� .� ����&

�� J!� �� ������� �����������K J9�� �� K

�� J-��� �� �� 2���� ����� �� �������� ������� ���� #���� ��� ������K

�� J-���� ������ ���������" ��� � ���� �����" ����� ��� � �������

�� ������ �� ������ ����� ��� ������ �� �������� � �� �����K

!��������� � ������ �� �� ������ ����� �� ��� ��� ������ ���

���� �������

�� -������� �� ������������ �� ��� �� ������ ��� �����������

�� J-���� ������ ������" ��� � ���� �����" ����� ��� � ������

����� �� ������ ����� ��� ������ �� ����������" ������� ��� � ��

������ �� �� ������� ��� �� ������ ������� ��� ��� ������ �

��� ��� �������� #����K

Page 178: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

178

+B� �� 2��� �%�� ����#��� �� ����� �� ������ �� �� �����8� ������

������ ��������" ���2 � ������� �� 9�����" � ��� �� / ��� ����

�� ��������� ������� �� ������� � �� ������ �� ��� �������� ��

�� ���������� ��������� �� �� ����� �� , ������� -���� ��

������� �� ������� � �� ������ � ��� �� �������� ���� ��������

����" ���� ���� ������� �������� � ������ ���� ��� �������" �����

��� �� ������ ���� ������� � ������" � ���� ���� ������ �� ��� ��

�%�� �������� -�������&

�� �� ������������ �� ��� �� ������� ��� ������� �� �������

�� �� ������������ �� ��� �� ������� ������� ����� � �������

�� �� ������������ �� ��� �� ������� �� ������ ��� ����� �� �%��

��������

�� J-���� �����%� �� ������������ ������ � �� �������� ������� ��

�������� ��� ������� � � ���%��� ���� ������������� � /

�������� ��� �����K

,D� 9��� �� ������� �� �� ���� �� �������� � ��������� ����������� ���� ��

��������� �������� ����C" ����C��" ����C���? �� ��������� �

����� ������� �� ������� ��� ������� ������ �� 2���� �����

�� ���������� �������� � � ����� �� ( � (%� ! �� ���� ������� ��

� ������ ����C��" �������� ����� ������� � #��� ��� 2����

�� ���������� � �� �������� �� ���7�� �#������� 9�� 2�����" � ������

�� �� ������� ��������" �����7��� ��� �� ������������ �� �������"

��������" �� � ������� ����C ����� �������� �#��������� �������

�������� & �� �

2�

Page 179: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas

12

Page 180: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 181: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 181

��� �

.� ��������� ���% ��� ������� ������� �� ����� �� ����� �������� � �������� ��

���������� ��� ������ �� �������� � ���������� ��� ������ ���� �������� ���

�� �� ���� ���������� 1����� �� ������� �� ��������� �� ��� ��� �������

��� ���� �������� �� �� �� ��� ����� ��� ������ �� ��� �� �����" �����

�������� � �� ������� �������������� ���7�����" � ��������� ���� ������� ����

�� �� ���� !���� ������� �� ����� � ��� �������� ����� �� L��<�� ��������� �

�������� � 3���� �� ��������� � �� ���%���� ����� ������� ������������ ��

����� �� ����� ���� ��� ����� � ����� ��� � �� ������� � ��� ����� ����������

�� ������

���� $���������� � ��� ����� �� �����

�� ��� �� ����� � �� ��� ��� �� ��� � �� ��� ���� ��� ���� ����������

��� �� ������� �� �� ����� .� �����" ��� ����" �� � ���#� �������� � ��

��� �� ����� �������� ���������� �� ������� ��� ���� �������� �� � ���

���� �� �� ���� ����� ���� ���� �� #���� ��� �������� ������ � �� 2���

���� ��������� �� ���� � ��� ��� ������� �������� � � ��� �� ������ � ����

�� ���������� ��� �� ���� �� ������� � �� ���������� �� ������������

���������

1� ����� ��� � ��� ������� �� �� 2��� ����" � ��� ����� �� ����� �����

����� ���������� �������� �� ������� ����� #���� ��� ������� ������ #����

�� �� ���" � ���� ���� � ������� �� ������� �������� ����� #���� �� �� ����

1 ��#������ �� ��� � ����" � ��� ����� �� ����� �% ���� ������ �� �������

���������� � ��� ��� � ��� �������� �� ������� ����� #���� �� �� ��� �

������� ����� #���� �� �� ���� !��� �� ����� � ��� �������� ����� ��������" ���

���� �� ������������ �� ��� �� 2���� ����� �� ������� � �� ��� �� 7�� � ��

2��� ��� ����������� �� ��� �� ������� �� �� ���� �������� � �

�� ������ �� �������� �� ������ 9�� �� �����" ��� ����� �������� �� ��������

� ��� �% �� ������� �������� �� ������� � ������� ����� #���� �� �� ����

-��� �� �������� �� �����������" ������� ��� �� �� � � � � �" ��� ����

��� #���� �� ��� ��� ����� ��� ��������� �� ��� ��� �������� ���� ����

�� ����� ��� #������� �� ��������� ��� ���������� �� ������� ������� �

������ ��� ����� � ������ ���� ������� �� �� ���� ��� ��� � ������ � �

��� �� � � � �� �� �������� ������������ �� ������� �� �� ���� �� ���������

���� ��� � � ��� �� � � � �� " �� ������������ ���� !����������" � ��� �����

�������� ����� �� ������� ��� ����� ������ ���� �� ����� ������� ��

���� C������ �� �� %���� � �� �������� �� �� ���" �� ������������ �� ��� �

Page 182: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

182

������ ������ �� ��� ����� ���� ������� ��� ��� � �� ������� ��� ��� �

����� ���������� � ������ �� ��� ��������� �������

��� � ��

4�

���

����

!��� ���� �� ������� �� ������� �� ������� �� ������� ��� ������� ��

���������� ��������� ���������� �� ��������

! �� ������� ���� �� �������" ��� �������������� �� ������� ��

������� �� ��� ���� � ����� �� ����� �������� �� #���� ���������&

� �

%)))))))&

��� ��� � � � ��� � � � ��4

��� ��� � � � ��� � � � ��4

���

���

� � ����

� � ����

��� ��� � � � ��� � � � ��4

���

���

� � ����

� � ����

�4� �4� � � � �4� � � � �44

'*******(

!��� �� �� ������� ������ �� ������� �� �� ����

@��������� ���������� ��� %� �� ���� �� ������ ����� #���� ��� ����

���� � �� ���� ��� ��� � � ��� �� � � � � � � 1������� 9�������� �� ����

�� �������� �� ���� �� �� ��� ���������� ��� ���������� ��� ��� �� C� ����

#����" ���� �� �������� �� ��� ��� ������� ���� �������� ����� #���� ��� ����

���� ��� �� ���������� ��������� �� ��������� % � ������� ��� ���

�� ������������ �� ��� ����� � ������ ���� �� ������� �� ���� � ���� � ���

��� �" �� ���� ��� �� ���������� ��� ������ ���� ��� ������� �����������

�� ������� �� ���������� ��� ��� � �� ����� ��������� � �� ���������

%� � % � ���� >�������� ��� ������� %� ����� ����� ������������ ����

�� 2���� ����� �� ������� ��� ���� �� �������" ��� �� ��� �" ��� �����

�� ������� !� 2���� �#������ �� �������� �� ������� �� ���������� ��� ��� �

���� ���������� �� #���� ��� ������� � �� ���� ��� ��� ����� �� �������

�� �� ����� ������ ���2����� *�� 9��� ������ �� ��#��� ���� ��� ���������

������� � ���� �����#� � �� ����� �� �������� � ��������� � #��� ��� 2����

�� ������� ��� ��� � �� ������� ��������������� �������� ��� %� � 9� "

��������� � ������ ����� 2������ ��� * ��

�� 9

��

�" �������� �������� ���� ���

����� �� �������� � ��������� �� ���������� ��� ��� �" ����� ��� � ������� �

����� �����������

���� 3���� �� #��:��� �������

�� ��� �� L��<�� ������� � �� ��� ��� �� ��� �� ����� ������� ��� �����"

� �� ��� ��� �������� �� ������� ����� #���� �� �� ��� � ������� �� ������� �

#���� �� �� ��� ��� ����7�� ��� ���� ����������� ���������&

Page 183: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 183

+� -��� ��� � � �� �� � � � �� ���� � �������� �� �������� ��������� �

C� ���������� �� ������ �� �������� �� �� ���� ����������" ���������

�� ��������� 9��

,� ��� ������� ��� ����� �� ��� � ����� #���� ��� ������� �� ���� ���2 �

������� �� 9����� �� �������� %�� !��� �������� � ����� ��� ��� �������

���� ��� �������� �� ������� ����������� ����� #���� ��� ������� �� ���

�" ����� �� ���������� ��������� �� ����� ����������

(� !� N��� �� ������� ����� �� ������� �� ���������� ��������� �������

����� !� �����" ���� ������ ��� ���� ������� ��� �������� �� ��������

��� ��� � �� ������������ � ��������� ���� ��� � �� ��������

����� ���" � ��� �� ���� ��� ������� ��� ���� ������ �� ������������

��� � ���

4

������ �

�� #���� �� ����� ������� ��� �������� ��������� �� ���� � � ��

��� �� L��<�� ������� ���� ���� ��� �� 3������ �� L��<�� ��� ������� �

�������

������ �� !������ �� A �)���$ (��������� ��� �� � I� 5��� �����

�� �� � ������ ����� �$ ��� ����� � ������ � ��� ���� � � �� ��

*�! ���' ��%

*� � %� �

4�

���

*����$ ���� � � �� �� � � ���

*��,�$ �������� ��� � ���� ��� � � � � �4� �� ������������ � � -��� �� ���

��� �� ����� � � ���� �$ �� ����� � � ���� �$ � � � $ �4 ����� �

� ���� �$ � �� *� � C�9�$ ���� � � �� �� � � � � �$ ���� � � ���%

� ���� ��� � � � � �4� � �� ���� � �� ���� � � � � � �4 ��4� $

����� �� ���� �� ������������ � � -��� �� ����� � � ���� �$ �� �����

��� �� � ���� � � ������ � �� ����� ����C� �������$ �� ���� � ������

*� � ���� � ���� �� 9�� 4,� �&�$ � ��������� � ��� ���� � �������$ �

�����$ ��� �� ��� �� ������ ������� ����������� � �� ���������C�

��������� � ��� ��,��

-��� ���������� ��� 3������ �� L��<�� ������� #���� ������ ��� ����

������� ��������� ������ �� ���� ����������� 9�� �����%� �� �� �����

�������" ���������� ���� ��������� ��� (�" (%��" ;� � ;%�� ����� �� ���

7��� �� ���������� ��� ��� �� 9��� ����� ���� � ��� ��������������

��������� ����� ���� �� ������� ����� �� ��� �������� �� ����� ( " (%� "

; � ;%� �

��� ����� � ������ ���� �������� ��������� ��� ������� �� L��<�� ����&

Page 184: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

184

+� �� ��� ������������ �� ���� �� ������ ����� �� �������� � ���� ����

������� �%� " �� ���� �� �������� �9� " �� 2���� �� ���������� �C� � ���

�������������� �� ������� ���� " ������� � �������� �� ������� �� �����

�����&

*� � %� �

4�

���

*����" ���� � � �� �� � � ��"

�" ��������������" � #���� ���������

��* �

��% � �

� ���* " � ����������"

�4 � � �

���* �

��% "

�����

��* �

%)))&

*�

*�

���

*4

'***( �

��% �

%)))&

%�

%�

���

%4

'***( �

�� ��������* � �4 � � ��

�����% �� ���������� ��� ����� ������� ��

������� � ���� ���������� ����� �� #���� � �� ���� ��� �

,� ��������� ��� ������� ��������� � �� ���� ������� ����� ��������

����� ��� ������� ��������� �� ���� ���������� �(�" (%��" ;� � ;%�� " ��

��� ��� ����������� ���� � ������ ����C�" ��� ��������" �� ����

�� ������� *� � ���� �� �������� 9��

(� C����� � �� ��������� ��� ������� ��� ��� �� ����� � � �� �������� ��

���������� ���������" ��� ���������� �� 2���� ����� �� ������� �

���� �� ��� � 2���� �� ������� � ���� � ���� �� ��� ����� ���������

������ ���������� ��� �� ���� ���&

( �

4�

���

(�" � (%� �

4�

���

(%���

9�� �� �����" ��� ������� ������ �� ��������� � �� ������� �� ����

�� ��� � �� ��������� � �� ���� ���� ���� �� ��� � �� �� �������

�� �������" ���� �� ����������� �� � ������ � �� ����� �� �� ��� �� �����

�� ���������� !������ ���� ��� �� ������� � �� ��� �� ������ ��

� ������ � �� ��� ���� ������ � ��� ���� �� ������������� ! ������

����� ����������� �� ���� �������� ������� ����� ������������ ��

������" ���� �� ������� � �� ��� �� ���������� ! ������ �����" �2

�������� ������ �� ���� ��� ���� ��� ��� ��� �� ������ �� �� 2����

�� ����� ��� �� ������ ��� ���� �� �� ��������� �� ������ ��� �� � �����

� ���� ���������� ������ � ���� ���� �% �� ������� �� �����& ;� ����

���� ��� ��� ���� ��� �� ��� � � �� #���� ��� ������� �� �������� ��

Page 185: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 185

�������� �� �������� ��� #������ �� ������ ������������ �� ������� ��

���� �� ���� 9��� ���� ��7���� % �

�4

���%�" ��� �� �� 2���� �����

�� ������� ��� ���� � �� ��� ��� ����� �� ������ ���� ���������

��� � ��������

; �

(

%

"

;%� �

(%�

%

O����� � ��������

������� � 3�� �������� ������,�� �� � ��� ��� ��� � �������� � �����

� =/ ��� ��� ��� ������ � ������ � </ ��� ��� ��� ������ � ������� ��

������ � ��� ��� ��� �� ��� �� � 6������� 3��� �� ����� ������$

� &�� � ��� ����� �� ������� . ��� ����� ��� ���� � .// ��� ���

��� ������ ������� � ������� � ��� ��� ��� ������ �� = ���� � ����

� ����� -���� =8$ ����� ��� ������ � ��� ���� ����� ����� � ���

� ����� �������� ������ ��� ��� ��� ��&� ��� ��� ������ @;@+ � �

����� �� ��� �� ��, � ����� � � ���� �� # � ��� � � ������� = ��

���� ���� ��� �� -�#� � � . �� ��� ������������ �� =8G$ ���������

�������� �� # � ��� � ���� ���� 6�� �� ����$ ��� ��� ��� � ��,�

��������� �� # � ��� � � ���� . ��� ���� ���� � � ����� �������

� �� =/G � ��� ����$ ������ ���� ��� �� �� ������� = �� ./G � ��� � �$

��������� �������� �� # � ��� � ��� ��������� (�� ���� � �&���

���� � ��� ��� � ��� ������� � � ����� ���� � ����� �� ��� �� �

���� �� �� ��� �� � ������� � # ������

���� ���% � ����� � ��� �� � I� 5��� ������ �� � � � �����$ ����

�� ��� -�� C� � � ������� � � ���� . � C� � � �������� � � �������

��� ����� � ������ � ���� �� � �&��� � ��� ��� ��� ������! ��� ����

�� ������ ��� %� � ��$ %� � ��$ 9�� ���$ 9

�� ��� ��� ������������� �

������ ��� � ���� ������ � ����� ���� �����$ � ����� ����� ���$ ���

� �

���� ���

���� �

��

6�������� � �������� � ������ � ����� � ������ ��� ����� � �����%

*� � �� � ��� � *� � ���� � *�

*� � �� � ��� � *�

����

*� � �� � ���*� � ���� ��� � ���*�� � �� � ���*� � �� � �����*�

� ��� � �����*�$

Page 186: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

186

�� �� ��� ���*� � ��� �$ ��� �����$ *� ���/�

�/���� ��� ��� 6�� ����

���� *� � �� � ���*� � ������ 6�������� ����� � ������ ��� ������

(� � (� ���������� ��� �������� ���������� ���� � ����� ����� �� *� �

��� �� � 9�� ��� � ���� � ���������� �� *� � ����� � 9

�� ��� (���

E��

��/ ��

���� �� ���� � � � E

��

��/��

� ��� �� �� � � �$ ���� � ����� �����

��� ��� ��������� 6�� �����$ � ��� �

(� �

E�

�� E�

�� ����

�� �� ����

� �� ���

6�� �� ����$ ���� � ���� =$

�� ��� �

� �

����

���

��-�

� �

�����-���

� �-

�� ��

� ���/��

���

��/���

�� � �����/���

� �� � � ���

(� �

*��

��� ���

��� ���9����

��9�� *��

��

*�

9�

������ � �� � � ���

�� �� � ��� �������

�����

��

� �����

*�� ��� -��$ ��� ������� ����$ �� �� ��� ��� � # � ��� � � ���! �

� ������� . � �� �� � � ������� =� (��� ��� �� �� ������� ( �

(� � (� � �� � ��� ��� � ���� � ���� � ������ �$ ������ �� ������

������� � ����� ���� ���� �� �� � �����

; �

(

%

�� �

��

� �� �� ��������

�� � ��$ � ����� ���� � ����� ��� ��� � �� ��� �� � ���� ��

������ ������,�� � ��� ��#����� ��� �� ������� ����! -���� � �� � ����

�� �� ��� �� ��, # ����� � �� �� ������� � �� � ��������

���� 3���� �� #��:��� ��������

�� ��� �� L��<�� ������� �� �� ��� �� ����� ������� �� � ���� � �������

�����" � �� ���� ���� � � �� �� � � � � � ���� C� ���������� � �� �������� ��

��������" ����� ����� ��� ��� ��� � �� ������ �� �������� �� ���������� �����

����� �� ��������� 9�� -��� � ��������� ��� �������" �� � ����� �������

� ������� �� ������� �� �� ���" ������� ����������� ������7��� �� 2���� ��

������� ����� �� �� ���" 0 " ��� ���������� ������� �������� 9�� ���� ���

����" ( � 0 � ��������� ���� ; � ;%� " ������ �� ������� �� ��������

Page 187: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 187

��������� ���% �� ��������� ��� �������������� �� ��� ���� �� ������� �

�� ��� � ���� � � �� �� � � � � �" ��� �� ������� ��� ������� ��� � >��������

���� �������������� �� �������� �� ���� ��� �� �� � �� � � � �� �4 � 0 �

��� �������������� �� ��� �������� ������� �� �� ��� ����� ���������� ���

����� �� �� �������� #�����&

������� ��� �

# �0�

4$

���

E��

�� ����

"

����

�� ��� �

��� �� � � C�

C��C��1��

�� � � C�

# �0� �

���� ���(

4$

���

E��

�� ����

"

����� E��

-�

� ��� *� ��������� ������ � ��� ��� �������

*� �

4�

���

*���� ���� � � �� �� � � � ���

!��� 2����� ������� �� �� ��� �� ������ � �� ������� �� L��<�� �����

��� ����� �� ������ %� �� ����� �� ��� ������ ����� �� ��� ����� ������� �

���� ������ 2��� ��� ��� �� ����� �� � ������� ����� �� � C� �����" ����

������� �� ������ ��� ������� ������� ����� 7��� �� ����� + ���������� ��

��� *� ���� ������� *� � � � �������� �� ������� ������� �� ���������� ��

��� ��������� ��������� ����� ��� ����� �

�� ����������� ������� �� # �0� ���2 �� #����� ������� ����� ������

��� ����������� ��7����� ����� 0 �� ����� �� ��� �� 2���� �� �������

�������� ��� ������� ���� ���� ���������� �� �� 2���� �� ������� � ��

������� �� # �0� ��

�(4��

(

�� 9��� ������ ����� ������� ������� ������ ��

#����� ��������� ��� ������� �� ������ ��

�� ��� �

���� � ��

�$

���

'� ����

�����

'� ��� �

E�

�� ���

" ���� � � �� �� � � � �� � � � �� �� �� � � � � 0 �

>�� ����� ��� ���� �������� �� ��������" ���� # �0� � �4 �0��

Page 188: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

188

�� ������������ ������ �� ������ #�������� ������ � �����&

�� ��� �

���� � ��

�$

���

'� ����

��

� ��

2�

���� � ������

���$

���

'� ����

3'� ����

��

� ��

'� ���� ���� ��� ��� �

��

���

'� ��� ���� ��� �� �

9�� ���� ����� ����� ����� ����������� ��� �� ��� � '� ���" �� ���� �������

������� � ������� �� ������ ���������� 1�����" ������� �������� �������

��� ��� �� ��� � � ���� ���� � �� �� � � � � ��

������� �� �� ������ ������,�� � ����� � : ��� ���� � �����#� �� �

����� ��� ��� 6��� ������ � �������� �� ������ -�� ��� ��� ��� � ���

����� # � ��� � ������ � ��� ��� ����� ��� �� �������� �� # � ���

� �� ��� �� � ��� � ��� ��� ���� ��� �� ��� ���� � �� ����� �

� ���� � # ���� � �� ������ ��� ��� � � ������ � ��� ����� ���� �� ��

������� ����� � � ��� ��� ������������� � � � ��� �� D-�#�E � ��� �

�� ��� ��� �$ ������� � � � ������ �� # � ��� �� -� � �� ��� ���

�%

������������ . = < :

. ���� ���� ���� ����

= ���� ���� ���� ����

< ���� ���� ���� ����

: ���� ���� ���� ����

� ��� � ��� �������� . � = ��� ����� ������ � ��� ��� � ��� ��� �

������ � ����� ��� �� ����� � ��� ���� �� �������� ��� ����� ��� �

��� ���� � 8 ��� ��� ��� ������� 6�� �� ����$ ��� ��� ���� < � : ���

����� ������� ������� � ���� ����� ��� ������� � ./ � .8 ��� ���

��� ������� (�� ���� �� ������������ � � ��� ������ � ��� ��� ��� ��� �

� ������� :� 0(�,� � � �&��� ���� � ��� ��� � � ������� :2 0(�,� �

� ����� ���� � ����� ��� ��� � ���� �� ��� �� �� ������� : -����

� ������ �� # � ���2

���� ���% ?����� � ���� ��� ����� �� #����$ � ��� ��������

������ ��� �� � I� 5��� ����� �� 0 � �$ � � �$ 9�

� �$ 9�

� �$

9�

� �� � 9�

� ��� ��� ����� ��� ��� ��� ��� � ��� ��� ��� ��� �

��,� D� �������E � ������ ������,�� �� 3��� �� ������ � $ � ����� �����

��������� � � ������ ��� *�� 6��� ��� ����� -����� ��� ���� ��� ��

Page 189: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 189

������%

*� � *���� � *���� � *���� � *����

*� � *���� � *���� � *���� � *����

*� � *���� � *���� � *���� � *����

*� � *���� � *���� � *���� � *����

� � ������ ��� � ��� �

*� � ����*� � ����*� � ����*� � ����*�

*� � ����*� � ����*� � ����*� � ����*�

*� � ����*� � ����*� � ����*� � ����*�

*� � ����*� � ����*� � ����*� � ����*�

?������$ ��� #����$ *� � �$ � ����� ��� � ��� ��'����� ���� ����

�� ������ -�������% *� � �������$ *� � ��������$ *� � � � *� �

�������� 3 ��� �����$ ������ � ���� ��� ��� ����� � ���� �� �

��� ��� ����� � ��� ��������� ��� ����$ � ������ ��� ������%

E�

�������

� �������

E�

��������

� ���������

E�

��

� �� �

E�

�������

��

� �� �� ���

6�� ���� ����$

�� ��� � �� ��� � ����

� �� ��� � �� ��� � � ��$

�� �� ���

'� ��� � ����E�

�$ ���� � � �� � � '� ��� � E

�$

���� � � �� �$ ����� � � � �$

������� � '� ��� � � ���� � � �� �� �� ��

�� ����� ����

�� ��� � '� ��� � �$ �� ��� � '� ��� � �������$

�� ��� � '� ��� �

����������

� �� ���� � ����

$

�� ��� � '� ��� �

����������

��

� � ������ ����

Page 190: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

190

*-��� ��� ���� � ���������$ � �������� ��� ������ �� ���%

�� ��� � �$ �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ���

� ������� � ��������� � ������ �$

�� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ���

� ������ � ����

� ��������� � ������� �

������������

� ������$

�� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ���

� ������� ����

� ��������� � ������ � ����

������������

� ������� �

��� ���������

��

� �������� ����

$

����$ ��� ������ �� ���%

�� ��� � �$ �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ���

� ������ � � ��� � �� ���� �$

�� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ���

� ������ � �� � � ������ � � ��� ���

� ��������$

�� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ���

� �������� ����

� ��� � ������ � ������

� ������ � � ������

� ���� ���� ����

@�������$

# ��� � �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ��� � '� ��� �� ���

� �� �� ���� ����

� ���� ��� � ��������

� ����� �����

� ������ � � ��� �� �����

� ��� � ����

�� �&��� ���� � ��� ��� � � ������� : ������

(� � � � ����� � � � ����� � � � ����� � � � �����

� ����� � � � ����� � � � �����$ �����

������ �

����������������(���

������������$ � � ��

����� � ����� � ����� � ����� � ����� � ����� � �����$

����� � ����� � ����� � �����$

����� � ������

Page 191: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 191

�� ����� � �� ���� ���� ./ ��������$ ������ ��� � ���� �� ����� �

��� ��� � ����%

������� ��� �

# �0�

4$

���

E��

�� ����

���� ��� ��

����� �����

������/// ���������� �����(��

������� ���

# �0�

E��

4

�4 ��4�

������/// ���������� �����(��

4��$

���

E��

�� ����

# �0�

'4 ��4� �4�� �0 � �4� �

����� � ������� # �0���

�� ������ � ��� � ��� �������� � ���� � �

,� ��� � # �0� � �4 �0�� �� ����� � �� ��� � ���� ����� �� ' �� ��

� ,� ��� � �� ��� ������� ���� �� � ����� ��� ./ �������������

���� ���������! ������ � ���� �������� �� � � ��� ,� ���� ���������

������ � -��� �#��� � &����� � ���� : ���� ��� ���� ���� �� ���!� ��

��� � � � ����� �� ���� ���� ������������� ��������� ���� ���� ����$

��������� �,� �� ���� �������� ��� ����� � ����� � � ���� � ������

��� � &����� �� ,� ��� ��������$ �� � � �-���� ��, ������ � �� �������

� ������ � ,� ��� � ��� �� ���� �� ������ ���$ ������ ��� �, �� �� ����

��� ������������� ��������� �������� �� ���� :%

����� �

'� ��� �� ���

# ���

���� ���� ����

��� � ����

� ��������

����� �

'� ��� �� ���

# ���

���� ��� � �������

��� � ����

� ����� ���$

����� �

'� ��� �� ���

# ���

����� �����

� ������ �

��� � ����

� ��������� ����

$

����� �

'� ��� �� ���

# ���

����� �����

��� � ����

� ��� � ����

*�� ���$ �� ������������ � � ��� ���&� ��� �� � � ������� : �

�� ����� � �� �������� � ��� ����

*��,�$ � �������� � ,� ��� �� �&��� ���� � ��� ��� � �� ��� ���

:%

(� � ����� ��� � � � ��������� ����

� � � ��� � ����

� ���������

Page 192: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

192

6��� �� ���� � ����� ���� � ���� �� ��� �� � � ������� �&��� :

������ �������� ��� �������� � �����$ �� ���$ ����� �� ���� ��������

� ����� *� �� ����� *��������� �� � -���� � ������� ��� � ��� ��'���

��� ���� ���� �� ����� �� ������ � �� ���� � ��� ���� ��� ����� �

������� �� ������� � � �� ���� ��� � ������� �� ��� ����� ��� � �

����� ��� �� � ��� *� ���� �,� ��� ������ � ��� ������ ������ � ��� *�

��������!� �� ������� ��� ������� �, ����� ���������� � � �&���

���� � ����� � ����� � �� ���� ����� *�! -� � �� ����� �� �&���

���� � ����� � ���� ������� � �� -� ����� *��� ���� ��� ���� ���

�� ���� : �������%

*� � � � ����� � 9�� ������ � ����� � ������

� �� ���� ��� ��� � �� ������� ��

��� �� � � ��

���

� �� � �� � ��� � �� � ���

*��� � �� ��� �� ������ � ������ ������$ ��� ��������� � ������

��� ����� � ������ �� ���� � ��� ����� � �� ��$ ��� �� �������� �

*� � *�$ ���� � � �� �� �� � � ���� & �$ �� �� ���

*�

*�

�� � ��

�� �����

� �� ������ � ���

*� � �� ������ � �� ����� � �� � � �$

*� � �� ������ � �������� � �� �����$

*� � �� ������ � � � �� �������

@�������$ �� ������� � ����� ���������� ���� ��� �� ���� : ����� ���

���� � ����� ���� � ������ �� � �� ��� �� � �� -� ����%

;� �

(�

*�

�� ������

�� � ��

� ������� ������� � �� ��������

���� %��� ������� �� ����� �� ���

-��� ����� ������������ �� ����� �� ����� ������������ ��� ����� � ����� � ���

����� ���������� �� ������

������ ����� �� �����

.� ����� �� �� ������� �� � ����� ��� �� ������ ��� � ����� �� ��� �����

��� ��� �� ������� �� ������ �� ������� ����� #���� ��� ������� � �� �������

Page 193: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 193

�� �����" ������� ���� �� ������ �� ����� ���� �� �������� ��� 2����� ���� -�

������ ���������%� �������" �� ���� ���

%� � % & �" %� � � �� � �� �� � � � ��"

��� �

�� �� � � �� �

� �� � �� �� �

C� �� ��� �� ������ ���

��� � �" �4� � �" ��� � � ���� � � �� �� � � � ��"

��� � � ���� � � �� �� � � � �� � ��

1����� �� ���� ����" �� �������� �� �������� ��� ��� � ���� ��������� ��� C�

���������� �� �� ���� ��������� �� �������� � ��� �� 9�������� ��� �����

�� ������ ��� ������ �� �������� ��������� � �� ��������� �� �� ���� ��

����������

.� �����" ��� ����" �� �� ��� �� L��<�� ������� ��� ����������" � �� ����

�� �� ��������� �� 3������ �� L��<��� ��� ��������� ��� ������� �������

��� ����� �#������� �� ������� �� ������ �&

*� � %

*� � *�

���

*4 � *4��

�� �� ����

*� � *� � � � � � *4 � %"

�� ����� ��� �� ����� �������� ��� ������� �� ���� ��� ���� �� �� �������

�� ����������� �� ����� ����C� ����������� �� ���� �� ������ % � ����

�� �������� 9�� C��� ��� � ���� ���� �� N��� �� � ������ � ���� � �� �� ���

�� ���������" ����� �� ��� � ����� �� ��� �" �% ���� ������ ��� ��� �������

������ �� � ������ � �� ������� � � �� ���� �� ���� �� ��� ��������������

� ���� ����������� 4������������� ���� �� ������� � ���

; �

(

%

�4

���(�

%

4�

���

(�

%

4�

���

(�

*�

4�

���

;��

������ 3�� �� ����� �4�����

! ���� ���� �� ���� � ����������� �� �����" ���� ����C�" ���� � �� ����

�������" ���� ��������� �� #���� ��������� .� �����" ��� ����" �� �� ���

�� L��<�� ������� � �� ��� ���� ������ ��� ���� ������� ��� ��� � ���

� � �� �� � � � ���� �� ������ �� ��� ��� �� ������������ �� .� �� ������ ����

Page 194: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

194

������� ��� ��� � ������ �� �� ��� � �� ���� ������������� !� ��������

������7��� �� 2���� ����� �� ������� � �� ���" 0 " � � ������ �� ��� ����� ��

��������" 9�" ����� ��������� ��� �������� �������������� �� ���� �� 1�%" ��

������� �� ��������� ������� ����� �� �������&

*� � *4

*� � *�

���

*4 � *4��

�� ���� ������� ���

*� � *� � � � � � *4�� � *4 � "

����� �� ������� �������� �������������� �������� C� ���� �� ������ ���

E��

-�

� ����� ���������� ��� � ���� �� �� ������ ���� �� ��� �� L��<��

������� �� �����

! �� ���� ���������� � �� ��� ���� � ��� �������� � ���� ��� �C� � �

���� � � �� �� � � � � � � ��� ����� �� �������� �� ����� ��� ���� �������

�9�� 9

�� � � � � 9

4� 9 " �������� �� ������� � 9 �� ����%� ��� �����

��� E����� �� -��� �� ��� � � ���� ���� � � �� �� � � � � � � ���� � � �" �������

��� #���� ������ ��� �������������� �� ��� �������� ������� ��� �������" ��

��� ����� �� �������&

������� ��� �

# �0�

����

# �0� �

���� ���(

� �

�0 �� � �

0

��

! � ���� ���� ���" ����� �� ��� #���� ������ ��� �������������� ���������"

������� ��� ���� ��� ��� +&

������ �� �

���� ���(���

������� ��� �

# �0�

���� ���(���

�(���4��

(���

��(4��

(

� " ���� �� � �� �� � � � � 0 �

������ ����� �� ����� ��� ���@���

! ������ ���������� ��� ����� �� ����� ��� �� ������ ���� ���������

�������� ���� ������ � ����� ��� ������ ! ��� ���� ������� ����������� ���

����7��� ��������� �� ����������� ����� ���� �� #����� N��� �� �������

Page 195: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 195

��� �� �� ���� ����� �� ������� ��������� 3%�������� ���� ���� �� ������

����� ����� ����������� ������� ��� �������� E��������F ��� ������� �

��� ��������� ������ ��� #���� � ����� ������� �� ���� ���������� ��� ������

�� ��� ���� ��� �� ������� �� ���� �� ������ ��������" ������ ���������

�� �������� �� �������� �� ��� ���� ������ ����� ������� � �� ! ���� ����

�� ������� � � ����%����� ����� ������� ���#�������� ������� ������� �����

�� �������� ��� ��������� �� ������ �� �� ��� � �����������" �������� ��% ���

�������������� �� ��� ��#������ ������� ��� �������� O����� � ��������

-���� ���� � ������� #������ ��� ��� ����� �� ���� ������� � ������

C����� ��� % �� ���� �� ������� �� ������� ��� ����� �� ������ ����� #����

��� ������� �� ������ ��� �� ��� ������� ����� #���� �� ������ � ��� 9�

� 9���� ����� �� �������� ��� 2��� �������� ��� ��� + � ," ���������������

C��� ��� � ���� ��������� ����� ���� � ���� �� ��� ��� �����������"

����� � � ������ �� �� ������ �� �������� � �� ������� �� ����� � �������

��� �� �������� ��� ������ ���������� ���� �������" ���������� ���������

�� �������� ��� �������� C� ���� #���� ������� ��� ��� �� � ������ �� ����

��� �������" �� �� ��� �� ����� ��� ��� � ������� � �� ��� + � � ������� �

�� ��� ," ����%���� ��� �������&

��� �� � ��� �� � ��� �� � ��� �� �

-��� ������ �� ������� ��� ���� � ������ � �� ������ ���" �� �������"

���� ��������� �� 2��� �������� �� ����� ��� ��� ���� ������ �����" � ��

���" ���� � ������ ����� ���� � �� ������ ��� ������ �������� �

������ ��� ��� ���������� ��� �*� ��� 9�� �� �������� �����������" �� ��

��� �*� �� �� � ������ ��#����� �� ��� ���

1���� ����%���� �������� ���� � ���� ���� �� ������ �� ��� ���������

�� ������ ���� � ���� �� ���� �� � ������� �� �������� � ������ �����

������� ���������� ������� ��� ������� � �������� ���������� ����������� ��

�� ���� �� �������" ���� ���� ������� ������" �� ������������ �� ����� ������

������������ ��� �� ���� �� ��� ����� �������������� � #����� �� ����� �� ����

������ ����� ���� ������� �� �� ���� �� �� �������������� �� �������� �������

����� ��� ������ �� ����� ������ �� ������ � ������ �� � 2��� ������� "

������������� ��� ��� ����� �������������� � ����� �������� 1�% �� ������

%��� � 9����

�%� 9�� ��� � 9

���� � 9

����

9���� � %��� � 9

����

�9�� 9

�� ��� � %���

9���� � 9

����

C�7���� E�

��

-�

� E�

��

-�

� �������� �� ������ �� ��� ����� ���

Page 196: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

196

�������������� ���� + �� ����� �� �������� ������� �� ���������&

E���� � ���

�� � E�� E

���� � E

���� � E

����

E���� � E

�E���� � E

����

�E�� E

�� ��� � E

�E����

E���� � E

����

��� � ��� � ��� � ��� � ��� � �

1�% �� ������&

��� � E����

��� �

E�E�

E�� E

��� �

E�E�

E�� E

���

��� �

E�

E�

��� �

E�

E�� E

���

��� � E���� �

E�

E�

��� � E���� �

E�

�E�

E�� E

���

E�E�� E

�� E

�E�

E�� E

���

� � ��� � ��� � ��� � ��� � ���

�� � E

��

E�E�� E

�� E

�E�

E�� E

E�E�

E�� E

E�

E�� E

����

� � �

E�� E

�� E

�� �E

�E�� E

�� E

�E�� E

�E�

�� E

E�� E

���

C� ���� #����" ������� ��� � E�� E

��E

���E

�E�� E

�� E

�E�� E

�E�

�� E

�"

�� ����&

��� �

E�� E

��� �

E�E�� E

��� �

E�E�� E

�� E

�E�

��� �

E�E�

��� �

E�

! �� ���� ���������� � ��� ��� ���������� �� ����� ���� ���� �� �����

Page 197: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 197

��������� �� �������� �9�� 9

�� 9 ������" ������� E �

-�� ����&

��� �

� � �E� �E�

��� �

�E

� � �E� �E�

��� �

�E� E�

� � �E� �E�

��� �

E�

� � �E� �E�

��� �

E�

� � �E� �E�

1 ������ �� ����� ��������� ����� �������� �� #����� ���� �� 2���� �����

�� ������� � �� �������&

( � ���� � � ���� � ���� � � ���� � ���� �

�E� �E�

� � �E� �E��

-��� ����� �����" �� E ����� � ����" ����� 2���� ����� ����� � ����

����� ��� �� ������� � 9�� �� ��������" �� E � � ������ ( � �

�� �� ��

��������� �� ���� ����� �� ���" ����� �� ������ �� ������� ��� �����������

�������� �� ��������" �� ����� �� ��� ��� ����� �� �������� ��� ������� � �����

���������� ������� ���" ����� E� �" ��� ��

�� ��� ���� � ����� � �����

������� �� ������� ����� !� ������ ����� �� � ������ � ���� �� �������

����� �������� #�������� ������� �� #����� �� ������ ������������ 1�%"

% � % ���� � ���� � %

� � �E

� � �E� �E�

�" ��� ����"

; �

(

%

�E� �E�

% �� � �E�

�%� �9

�%9� �9��

���+ ���������� �������

+� 1� �������� � ���� �� �� ���� �� ���������� ����� 1-4! ����� ��������

��������� ���2 � ������� �� 9����� � ��� �� +0 ���� �%� �������

������� �� A ����� � ! �� ,/U �� ��� �����" ������ �� ���� �� ����%�

�������� ��� �� �������" ��� ���������� �� ��������� ����������� �����

����� � ������ ������������ �� �������� ������" ���� ���� ���������

��� �� �� ��� ������ ��������� �������� �� �#����� ! ��� ����" �� �����

�� �� �������� �� ��������� �� ����� �� * ������ ! �� ?/U �������

Page 198: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

198

�� ��� ����� ��� ���������� �� ��������� �� ����������� ���������

��� �� �� ��� ��� � ����� ��� ������ �������� � ����" ������ ������

���� ���� � ������ ���������" ����� ������� �� ������ ���� �� �

�� ����� �� A ���� ������ �������� 12 ��%" � ,/U �� ��� ��������

��� �� ��������� � �� �������� � ���� � ����� ���������� ���% � ��

�� �� ��7��������� �� �������� ������� -�������&

�� !� 2���� ����� �� �%�� ���������� ��� � ������� ������� �� ����

������� � ��� ����������

�� �� ����� ������� ��� ���� ���� �������� ���������� ��� ��

������� ����������� �� �������� �������

�� !� 2���� ����� �� ���������� ��������� ��� �� ������� � ��

�������� ������ � ������ �� ��� ���������

�� !� ��������� �� ������ ��� ���� ��������� ������ ���������� �

�� �������� � ���� � � �� �������� ������ ���������������

,� � ������� �#�������� ��%� ������� ��� �����" ���2 � ������� ��

9����� �� ��������� %" ������� � 2��� ��������� !� ������ ��� �����

� ����������� �� ������ � �������" �� ��������" ����� �� �������" ��

������ � �� ��������� �� ��������� 9� .� ����� ��� �� ������

������������" " �� ������ �� ���� ������������ ���������� � ����� ��

�����" ������� ��� � ���� ��������" �� ������ ������ � ����� ����

� �� �������� ���� ��� ������ ��������� .������ ��� �� ���������

� �� �������� �� $G$>" J���� ���� ��� �� ������ ���� ��� ���� �������

��� �����������K C�� �� �������" �� ��� ������� �������" � #���

�� %" 9 � " ���� �� 2���� ����� �� ������� ��� ������ � ���������

��������� �� ���������

(� � ������� �#�������� ���� ��������� ��� ��� ��������� �� �������

��������������� �� �����" ��������� ���� �%� 1 �� ������ + �����

�������� ��������� #���� ��� �������" � ��� �� % ��� ����� �� ������"

��% ���� ����� ����� ���������� �� �� ������ ,� -��� ��� ��� ��

������ �� ������� �� � ������� �� �� ������ +" �� ������������ ��

� BDU" ��� ����� � ���� ������� � �������� � �� ������ ,� ! ��

+DU �� ����� ��������" �� ������� ������ �� ����� ��� �������� E���

���F� -���� � ������� ����� �� ���� ����� �� ������� � �� ������

," ����� ����� ���� ���� � �� ������ + ��� ������������ �� � +DU �

���������� ������������ �� �� BDU �� ����� � .������ ��� �� ������

�� ������� �� ��� �������� �� ����� ������� �� ������ � �� ����

������� ��������� �� ��������� 9 � ��� �� ������ ���� �������� ��

��� �������� � �� ������ + �� ����� ��������� �� ��������� %" ��

����&

�� J9��� �� ������� �� E �� �� ������� �����������K

Page 199: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 199

�� 3����� E � �� " J���� �� �� 2���� ����� �� �������� ������� �

���� ������ �� �������K

�� ! ��� �������� ��� �������� ������� � ������ % � � ��������

��� �����" J���� �� �� ������ ����� ��� ��������� ����� ��� �����

� ������� � �� ������ + ����� ��� � � ����� ��� ����������� ��

�������K

*� �� ������ �� ������� ������ ��������� ���2 � ������� �� 9�����"

� ��� �� ,D ���� ����� ��� ������� �� -9� �� ��� �������� �����

�� ���������� ��������� �� ����� �� ��� ������� .� ���� ���" ��

7������ ���� �������" � � ,DU �� ��� ����� ��� ���� ���� ������� ����"

�� �� ����� ��������%������ ��� ��� �������� ��� ������ ����������� ��

������" � ��� �� �� ���������� �������� ��� �� ������ -�������

�� �� ������ ����� ��� ����� � ������� � ��� ����������

�� �� ������ ����� ��� ����� � ������� � ���� �� ���������� �����

����� ����" ����" ���� � ��� �����������

�� �� 2���� ����� �� �������� ��� ������ � ������� �� ����������

��������� �� ��� ���� ����� ��������� �

�� �� ������������ �� ��� � ������� ����� ���������� ����������� ��

�������

/� 1 �� ����" " �� ���� ����� ����� ������� ���2 �� ���� %�� C��

���� ������� �� �������� ��� � �������� � � ������ ��������� ��

���������� ��������� �� ��������� 9�� -��� ������ ��� ���� ������

�� ��� ������� �� ������ � �� ���� ����" �" �� ���� ������ ��

� �������� �� �������� �� � ��� �������� ��� ����� � ��� ��������

� ������ ��������� � �� ����� �� ������ 96

������� ��� ����� ��

������� J-����� �� ��� ��������� ���� ��� ������ �������������� �

���� �� ������� #������ ��� ����� �����K .������� ��� �� ������

�� ������ �� ������ �����������" �������� �� #��� �� %�" 9�" %6

� 96 �� ������ ����� ��� � ������ ������ � �� ������� �������

0� C�� ��������� �� ������� ��������� � ��� ������� �������� ��� �����

����� #���� ��� ������� ����2 � ������� �� 9����� � ��� �� 0 ����

����� ��� ����� � �� ������ + � A �������� ��� ����� � �� ������

,� !� ������ �� ������� �� ��� �������� � ���� ������ �� ������ �

�� ���������� ��������� �� ����� �� ( ������� ���� �� ������

+ � �� ��� ������� ���� �� ������ ,� -���� � ������� ������ ��

������� � �� ������ +" � � BDU �� ��� ����� ��� � ����� ��2

���� ������� ����" �� 0U �� ��� ����� ���� � ���� ������� ��� �� ��

�%� ������������� � �� ������ , � �� *U ������� �� ���� � ����

������� ��� �� ��������� � �� ������ +� 1��� �������� ������ �� ���

�������� ���������� � �� ������ ," ����� � B/U �� ������������ ��

Page 200: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

200

��� � �� ����� � ���� �������" � (U �� �� ��� �� ��%� � ����

������� � �� ������ + � � ,U �� �� ��� �� ���� � ���� ������� �

�������� � �� ������ ,� .� ����&

�� !� ������ ����� ��� ��������� ����� ��� � ������� �� ��%� � ��

������ , ����� ��� ������ �� ��������

�� !� 2���� ����� �� �������� � ���� �������

�� �� ������������ �� ���" ���� ��� ��� ���������" ���� ��� �� ������

�������� � ��������� �����������

�� C��� � ������� ������� �� ����" �������� �� ������ ����� ��� �����

����� ����� �� ������ � �� ������� ����� �� 7 �� �� �������

�� ����� ��� �������� ���" ����������� � ������������" #����

������� � ������ �� ��

?� -���� ���� �� ��� �� ����� �%����� #������ ��� ���� �����" �� �����" �

����� �� � ����� �� ��� #���� ��� ����� � ������ ���� ������� ��� ���

� �� � �� � ���� � �� ���� ��� ��� � � � � ��� ����� �� ������ ����

��� ��� �" �� �������� �� ��� �� ! �� ���� �� ��� ��� ���������

�� �������� � ����� ��� ���� ����� �� � 2��� �������� � �� ��� ��

������ �� �������� ��� ����� ��� ���������" ������� ��� ���������

�� ������ � �� ���� �� ��� ������ � ������� � ���� �� ���� -������� ���

�������������� �� ��� �������� ������� � �� ���� �� ��� ��� ����������

�� ��� ������������� ����������� �� ��� ����������� ������� �� ��������

#���� 9�� �� 9

�� �� 9

�� ��

A� 9�� � �����8� ������� �� ������������ �� ���� ���������� � ���

������� ����������� ��� �������� �� ���� ��� ����� � ��� ������

����� � ���� �������� ��� � 2��� ���������� � ������ �� ����

������� ���������� ��� ������� ������ �� ��������� �� �������

���� ���� �������� ���� ����� ��� �� �������� �����&

>������� + , (

3����� ����� �� ��������� ����� +D ,D (D

!� BDU �� ��� ����� ��� � ������� ������ �� ��� ��������� ��� ��

�������� +" �� ������ ����� �� �������� (" ������� ��� � ���� ���

������ ������ � ���������� � �� �������� +� �� �� ���� ������ �����

��� � ������� �� ��������� � �� �������� ," ������ � ��� ���������

�������� � �� ����� �������� ������� ��� ��� ����� ���� �� ����

������ ����� �� ������ �� �������� (� $�������" �� *DU �� ��� �����

��� � ������� �� ������� � �� �������� (" ������ � ����� ��������"

������� ���� �� 0DU ������� �� #���� ������������ ���� ��� ����� ���

����������� .� ����&

�� J-��� �� �� ������������ �� ��� ���� ���2 ������� �����������

� �� �������� +K

Page 201: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Redes de colas 201

�� -������� �� 2���� ����� �� �������� ����������� � �� ��������

(�

�� J-��� �� �� ������ ����� ��� ��������� ����� ��� ����� � ���

����� �� �������� ( ����� ��� ������ �� ���������� ��� ������

����������� K

B� � ������� �#�������� ����� �� ��� ��������� �� ������� ���������

�������� ��� ������� �� ��������� �� ��� �������� �� �� ����������

��������� � ����� �� 0 � +/ ������� ���� ��� ��������� + � , �������

��������� .� ���� ��� �� 0DU �� ��� �������� ���������� � �� �������

������ �� ������� � �� ������" ������������� �� ������� ������

� � ,DU �� ��� ����� � ������� ��������� ���������� ��� �������� �

�� ,DU �������� 9�� �� �����" ���� �� ���� ���� �������� ���������� �

�� ������ , �� ������� � �� ������ +" ����� �������� �� �������

� �� ��������� � �� ,DU ������� �� ��� ������ .������ ��� ��� ��������

�� �������� �� ������� ������� � ������� �� 9����� �� ����� ��

+,D �������� ��� ����" J�� �� ����� ���� ������������ ����� ������

�� �������� ���� ��� ��� ��������� ���� ��� �� 2���� ����� ����� ��

�������� � �� ������� ��� �%���K J-���� ���� ����� 2���� �����

�%���K J5��� ���� �%��� �� ������ ����� ����� � �� �������K J9��

�� K

+D� ! � ������� �#��������" ��� ����� �� ���� ��������� �� �������" ��

������ �� � �������� �� ��������� ��������� � �� ������� �������

�� �� ��� ��������� �� ����� �� E������� �� �������F � ��� ��������

�������� 1�%" ���� � �������� 7��" ������� �� ������� ������������

� �� ������ +" ����� �� ������� � �� ," �� ��� �������� �� �������

�� ������� � �� ������ (" ����� ���� � ���������� �� ���� � �� + �

��% ������������� C����� � ��� ��������%������ ��� ������� �� ���� ���

��� ��� ��������� � ����� ���������� ������������� � �� �����

������" ��������" �� 2����� � ������" � ��� ������ �� ������� ��

�������� >��������" ����� ��� ��������� �� ������� � ������

��� �������" �� ������� �� ���������� !� ������ �� ������� �� ����

�������� �� ��������� � �� ���������� ��������� �� ����� + ������"

���� ��� ��������� + � ," � , ������� ���� �� ������ ( ��� ����������

��� ���� � -�������&

�� �� ������������ �� ��� � ���� ��2 E�������� �� �������F � ��

������ +�

�� !� 2���� ����� �� E���������� �� �������F � �� ������ (�

�� !� ������ ����� ��� ��������� ����� ��� � E�������� �� �������F

����� � �� ������ ( ����� ��� ������ ��������� �� ��������

�� !� ������ ����� ��� ����� � E�������� �� �������F � ��� ��

������ �������� �� ���������� � �� ��������

Page 202: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

202

++� C�� ���������� �� � ����� �� ������� �� ����%� �� ����� #���������

9��� ���� ���������" �� ������ ����� �� ������ ����%� ���� ����������

��������� �� ����� �� +/ �%��� -��� ��� ��� �� �� ����� ���� #����

�� ��������" � � ?/U �� ��� ����� �� ����� ������� � � ���� ���

������ ����� �� �������" ����� �� ������ ��� ������" ��������� ��

����� �� 0 �%��� ! �� ,/U ������� �� ��� ����� �� ��������� �� ������

����������� � � �������� � ����" � �� ��� ��� � �������� ��� �����

� ������� �� ����%� � ������ ��������� �� ����� �� ( �%��� !

��������" ����� � �� ��� �� ��������� �������� ���� ���� �������� �

�� ����� �� �������" ������ �� ����������� �� �� ������� ����� �� �����

�� �������� �����%� �� ��� �������� ��� �� �������� � ����� J-��� �� ��

������������ �� ��� ��� ��� ���������� ��� #���� �� ��������K

Page 203: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio

13

Page 204: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 205: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 205

��� �

! ���� ���%���� �� ��������� ������ ���������� � ��� ��� �� ���������� ���

������ ���� �������� � �� ��� ������ �� �������� ���� �� ��� ���������� !

�� �������� �������� �������� ����� ������������� �� ������ � �� ������

���� ����" ���� �� ���� �� ����� �� ���������� �� ���� ��������� ���������

������� ��������� �� ������� ���� ������� ��� ������� �� ��� ���������� ��

������������� ��� �������� 1 �� ����� �� ���� ���� �� ���������� �� ���

� �� ������� �� �� �� ��� ������� ��� ������� ��� ������� �������" ��

��#��" �� ����� �� ���� �� �� ���� �� � ��� ��������" ������� ���� ����

����� ����������� � ������� �� �������� �� ���������� ������" #� -���

����# ���������� ������ ����� ��� �������� ����� ��� �������� �� �����

���� � ���� �� ���������� ���� ����� ��������� ��� ��������� � ���������

�� ����%� �� ����� ����� �� ��������� �� ��� �������� �� ��������������

���� �� ������ (I2I�

-��� �� ����� �����" �� ����� ��� ������� �� �� ���� �� � 2��� ��������"

�� ������ ���� �������� �� ������� ����������� �� ���������� ���������

� �� ������ �� �������� �� ���������� ����������" #� ! ���� �������" %

������� ����� �� ��������� �� �� ��������� ��� ���� ��� ������� ���� ���

�������� �� ������� ������������ !��� ����7�� ��� �� 2���� �� ������� ���

����� �� ������� ��� ����� �� ������ ���� ����� %� -��� �� ����������

# � ���� ����� ��� ���������" �� ��������� 9 ������ ����� � ����7��� ��

������ ��� ������ ����� �� ��������" �� �����

9 �

! �#�

G����������� ������ �� ������ ������� �� �� 2���� ����� �� �������

��� �� ����� �� ������ �� �������� ��� ����� �� ������ ������ ����� �

�������� ���������� �

! �� ��� ����� ���������� �� ������� ��� #������ ��� �� ������� ������

��� ������� �� ��� ���������� �� ���� � � � ������� ���� ����� 9��� ����"

���������� ����� �� �������� ��������� ��� ���������� �� E2���� �� �������

� �� ������� ����� �� �� ���� ������ �� ������F� C����� ��� � ��

2���� �� ������� ��� ����� ������ �� ������ �� �������� ��� �� ���� �������

'������ #���� ��������� ����� ��������� �� �� �������� #����&

��� � �� � � ���� � ��"

Page 206: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

206

����

� ���� �

�� �� �� & �

� �� �� � �

3����� ��������� � �� ������� ������� � �������� ��������������

�����" ( � ! ���� � ! ����� �� ����&

( � (� ! �� ����� � ! � ��� "

�� �� ����&

! �� ����� � ! � ��� � � ��� & �� �

!��� 2����� ������� ����� �������� ����� �� ���������� �� �� �������� �������

��� 6��" ��� ����� �� ������ �� �������� ��� ��� ��� ���� ������" ��� � ����

���� ���� ���������� ������" ��� ���������� ������ � �� ������� �&

! � ��� � !

-!

� ���&���

.�

!

� ���&�����

� �1� .1

%1� �1� .1 � %! �6��� �

%

9

�% E�

��� �������� ���%� ��������� �� �� ���������� �� 6�� #���� �������� � ������

�� ����� ������ � ����� ��������� ! ��������� ���� �� ��������� 7�� �� ���

�� ����� �� �� ������

9�� ���� �����" ������� �� �������� ��� � ����� �� �� ������� ��� �����

���� ��� �� �� � ��" �� ������&

��

��� �

�� � ����

� �

��� ���� ���� � ��� �� � �� ���� ��

� ��

�� � ���� �

��� ��� � ��� �� � �� ���� ���

3����� �� ���� ��������� � ������ � ����� �� ���������� ���� ��

� �� �� �����&

!

���

��

�� !

���

�� ! �� ����� �!

� �

��

�� �! ����

��! ����! � ���� �! �� �����! � ���

� !

���

�� E�!

� �

��

�� �(� �(E� �E

��������� ���� ��� �� �������������� �������� �

�(� �(E � E� �E�

�!

� �

��

�" �� �� ����

�( ��� E� � E� �E�

�!

� �

��

�� ��%

( �

E� �E��!

� �

��

� ��� E��

9��� ������� �� ������� ������� �� ( ������� ������ ���� ��� �������

�������� !

� �

��

�� � ����� �� ��������� ��������&

!

� �

��

�� - �" � ��� �! � ���

� - �" � ��� � E�

"

Page 207: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 207

����" � �� ���"

- �" � ��� � !

-- �"

� ���&���

.� - �"

-!

� ���&���

.

� ! �%6��� � - �" �%6��� � %

9

� %�

:�

&� E� %

:�

&"

����� :�

&�� ������� ��� ������ �� �������� ��� ����� :

&� - �" �#� � 1�%"

������� ������ � �� �������

!

� �

��

�� E� %

:�

&� E

"

��� �� ������� 7������ ������ �� ��� 2���� ����� �� ������� � �� ����

����&

( �

E� �E�� E� %

:�

&� E

� ��� E��

�E� �E�� E

�� %

:�

&

� ��� E�

� E�

E�� %

:�

&

� ��� E��

!��� 2����� �������&

( � E�

E�� %

:�

&

� ��� E�

�� �� ������� #����� �� 9�������<�;������� � � ������ �� ���� ����� �����

����; ";% � (% �� ��� ����� ����7������ ��� #������ �� ������ � �� ������

���� ������� ������ � �� ������� � � �� �����

!� ���� �� ���� ���" ���� ���� ����������" �� ������ �� �� �������

#����� ���� �� �����������" ����" � �� ���� # �� �� ���� ��� :�

&�

-�"

�� �� ����

(��� � E�

E�� E

� ��� E�� E�

E�

�� E�

E� E� � E�

�� E�

E

�� E�

>��������" �� ���������� # ��� ������� � ����� �� ( ���� �7���� 9

�� �� ���������� ��������� � �� ������

-���� ���������� ��� � " ���

���������� �� � �������� �� ������ ������� � ����� � ����� ������ !���

�� �������� ���� :�

&� � �" ��� ����

(�7�� � E�

E�

� ��� E��

�E� �E�� E

� ��� E��

E

�� E

���

E

"

��� � �� ���� �%���� �E � �� �����%� � ��� �� ����� ��� ������ ���� �

������

C� �� #����� �� 9�������<�;������� ����� ��������� ��� �� �#���� ��

�� ���������� ��� ������ �� �������� � �� 2���� ����� �� ������� � ��

������� ��� ����� �� ������ ����� ��� �7������� ������ 1�%" ��� �������"

Page 208: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

208

���������� ���� �� ������ �� ��������" 6" �� ���������� �������� �� ����

�� ������������ ����� �� ���� � ���� ���� ���� ��� �� ����� ����

-" ������&

� �6 � �� � �� �

�6 �

9�

�� �

�� � � ��� ��� !� ������� ��� ! �6� ��

-� 1�����"

!

�6���

9���� �

9��

"

�� �� ����

:�

&� - �" �6� �

9��

��

9

��

�� �

9��

C� ���� �����" �� #����� �� 9�������<�;������� �� ����� �

( � E�

E�� %

� ���

-��

� ��� E�� E�

E�

�� �

���

� ��� E�� E�

E�

� ��� E� �

��� �� �� ������� ��� ����� � � ����� �� �� C���� � ����� � �����"

�2 ���������� ������� 7��� �� % � 9" �� 2���� ����� �� ������� � �

������� ��#�� ����� ��� �� ������� ���� �� ����� �� ��� ��� ������ ��

���������� ��� ������ �� �������� ��7��������� ���#�������� ��� ����� ��

������� ��7��������� ����� � !��� �����" �� ��� ���" � ��� ������

����������� ��� ����� ���� �� ������7��� ������������� �� ����������

��� ������ �� ���������

-��� �� �� �����" �� ������ �� �� #����� ���� ( � � ��������#��

������ �� ���� ������� ���������� 3����%� ��� �� �� �� ������� �� ��� ������

��������� �� ��� �������� ������� ��� ������� � �2 ���� ���� ��� #������ ��

���������� ; �1� � ;% �1�� C������ ��� �� ���� ������ �� ��� ��������

��� ���

9���� ����������� ��� ��� �������������� �� ��� �������� ������� ��� ��

������ ��� �������� ������� �� �7���� ���������&

�� � ���� �

���

���

�������" ���� � � �� �� �� � � �

�����

�� � � � � � �� �

���

� �

����

����

��� �1� .1 � �� ���� ������

��

����

� �1���

��/�

�� 6 �� �������� ��

/�& ���� �� ������������

Page 209: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 209

C��� ��� � ������ �������� ������� ��#%��� �������� �� ������� ����� ����

����� � ��� #������ ��������%������ ���� ������� �� ������� �� ���� �������

� ��7��

� �G� �

��

���

��G�

� � �G� �

��

���

��G�

"

��� ���� ����������� � ���� � �� �� ��������

� �G� �

��� E� �� � G�� �G�

� �G�� G�

C��� ��� ��� �������� �� �� ����������� ��� ����� � ���� ��7������ �

������ �� �� ���������� ��� ������ �� �������� � ������ ����� �� ��� ���������

���� ��� �������� ��� ���������� � ����� �� ��� #������ ��������%������ � ���

��������� ��������� � �� ���� ����

� ��� � ��" � ��� � ��

����� � ��" �

���� � ��

������ � ���" �

����� � ���

���

� ��

��� � ����" � ��

��� � ����

���

������� ������� #������ ��� ������� �� ������� �� ��� ��� O����� �

��������

������� �� 3��� �� ����� �����$ �� ���� ��� �������� ���� ��� ������

�������� � � ����� � � �������

���� ���% *� �� ������� �� �������� ��� �� ���� �� � ���

�6 �

9

�� �

�$ ��� �����$

�� �

��� �

�%�

-

��

��2E�

��

$ ���� ���� � � �� �� �� � � �

3 ��� � ���� �

� �G� �

��

���

��G�

��

���

��2E�

��

G�

� ��2

��

���

�EG��

��

� ��2�28

� �2 8���

Page 210: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

210

���������� ��� ������� ������

� �G� �

��� E� �� � G� �2 8���

�2 8��� � G

� ��� E��� G

�� G��2 8����

�� ����� ����

�� � � ��� � �� E�

� �G� � ��� E��� G

�� G��2 8����

���G� � ��� E�

�� � ��2 8���

G�E� �

�2 8��� � GE��2 8���

��� G��2 8�����

�� � ����� � ��� E� ��2 � �� �

����G� � ��� E� ��2 8���

�� �GE� G

�E�� �E� GE� � �

�2 8����G�E� � � � �GE� G�E��

��� � G��2 8���

��

�� �

������

��� E� �2 ��� � ��2 � �E�

� ��� E� �2 ��� � �2 � E� �

(�� ,� ���� ��#���� ��� ���������� � ��� �����

�� �

����

���

��

��� E� �2 ��E� �E�� ��

�2 � ��2 � ��E�

2�

� ��� E� �2�E�

E�

� ��2 � �2 ��E� ��

��

�� �

� ��

���

��

��� E� �2 ��E�2 � ����2 � ��E

� � �E�� �E

��2 � ��

�2E� ���

�2�

��

� ��� E� �2��E�

2 � ��2 ��

E� �

E�

� �E�

�2 � ��

�2

E� ��2

��

3 - -�$ ��� ��������� ��� ���� ��� �� ������� ������� �����

�� � ��� E�

���2

����

���

���������2

2��E�

���

��� ����

��E������

��� �� ���

3�$

���� � � �� �� �� � � �

1���� � �� ������� ������� �� ���� ������ �� #����� ������ ����

����� ��� �� � ��� ������� ������� �� ������� ������� ���� �� #���

� �G� ���� � �� ������� �������� C� ����� ����� �� #���� ����� ����� �� ���

����� ������ � 2���� 7��� �� �� ���� �������� ���� ����� �� ��������

Page 211: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 211

��� ������ ��� �� #���� �� ���������� �� ������� #��������� ������������

����� �������� �� �� �������

� �G� �

��� E� ��� G�� �G�

� �G�� G

� �� �������� ������ ��������� ��������� � G � �� -� ���� �� ��� ����

����� ���������� �� ��� ��������� �� � � ����� �� ��� ��� � � � � ��� 1�%" ���

�������&

� ��� �

��� E� ��� ��� ���

� ���� �

��� E� ��

��

� �� E"

�� �� ���� �� ���� ���

�� � � ��� � �� E

���� ��������� ������ ��#��� 1�����

���G� � ��� E�

��� �G� � ��� G�� ��G�� �� �G�� G� � ��� G�� �G� ��

��G�� ��

�� �G�� G��

�" ��� ����"

����� � ��� E� ���� ��� � ��� ���

����� ��

� ��� ��� ��� ������� �� �� ���� ��

��

� ��� E����� � ��� �� � �� ��� � ��

��

� ��� E����

�� ��

��

� ��� E�

��

��

9������ ������ ��� �� ��������� �� �� ����������� �� ������� ���� ����

�� ������

���� "���������� ������� ����������

-��� ����� ����� � �� ���� �� � ������ ��#�� �� �������� ���%���� ��

� ������ �� ����� ����� ����������� ����� ����� �� ���������� ��� ������

���� �������� � �� ��� ������ �� �������� � �� ������������ �� ��������

���������� �� ���������� ��� ������� �������" �� #���� ����������" ���

������� �� ��� ��������� ��� ������������ �� ������� � ����� ��������

-��� �������" �� #��� ������ � �� �������� �� � �������� �������

�������� �� �� ���������� �� �� ��������� !��� ������� � ������7��� ���

� ��� ��� ��� ������� �� �� ���� ��

��

����� � ��� E� ���� ��� � ��� ���

����� �� ���� ��

� ��� E����� � ��� �� � �� ��� � ��

��

� ��� E����

�� ��

��

� ��� E�

��

��

� �

��

Page 212: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

212

��������� �������� ���������� ��� ������ ����� �� ������� ���� � ��� �����

����� ��� ������ ���� ������ ! �������� �� #��� �� ���������� �� ���

��������� �� #�������� �������������� � ��� ��� �� �� �������� �� ������

������%�� ���� � ����� ! ���� ������" �� ����%� �� ����� �� ����������� ��

��������� ��� ����� �� ��������� ���������� ������ � ��� ��� ������ ������

���� ��� � ��������� 1�%" ��� ����" ���������� ��� �� �������� �� �� ��

��������� ���� � ������ �� ����%� �� ����� � ��� �� �� ������7���� �� ���

������������� ��� ������ ���� �������� � ��� ������ �� ��������� >��������

���� 2����� �� �� �������� �� ������������ ���� ������ ��� �� ���� �� ����

��� ��������� ��� ������� ���� �� ����� �� ������� �� ����� ���������� @�

�� ����� ���� ���" ������� ��� �� ������ ����� ���������� �� #���� ���%���

�� ���� ������� � ����C���? ��� ���� ���#������ � �� ���������� ���

��������" ���� �� �� ������ ������� C� ����� #�����" � ������ �����

������ ���� ��� �� #���� �� ������������� ����� �������� ���%���� � ����

#������� � ���� ��� ������� � �� ������ ����� �� ���������� ��� ��������

������� ��� 2����

9��� 7��� ��� �����" ����������� � ������ �� ����� ��� ������� ����

���� �� ��� � ��������� ��� ��� ����������� ������ ����� ����� �� ��

���������� ���%���� ���� ����������� 9������ � �� ���� �� � 2��� ������

���" ��������� �� ����� ���� ������� � �� ���� � #���� �� ������ ����������

.�������� ���" � ���� � ������������ ������" ����� �������� ��� ��

#���� �������� �� ��������� ��� ������� ���� �������� �� �� ���������� ��

M������" ; ��� ��" ��� �� �� ����������� �� �� ���������� ��� ���� .�

#��� �� ������� �� ������������ ��

' ��� � ���

������ ���

" ���� ���� � � ��

-��� �� ��" ; ��� ���

� ��� ���" ���� ������� ���������� ��� � ����

��� ������� ��� ������� ���� �������� �� ������ ������ ��������� � ��

; ����� ������ C� #���� ��������" ���� ��� �������� �������� ����� ������� �

�� ������� �� ��� �� ������ � ������ ��� ������ �� �������� ����� ��

� ��� �� .� �����" ��� ����" �� � ������ ;�������

9��� ������� ������� �������� ������������� �� ��� ��������� ��

���� � ������� �������� ��� �������� ����&

+� .����� ���������� ��� � ��� ��2 ������ � �� ������� ����� 0 � � �

,� .������ ����7�������� �� ������ ��� ������� � ������ �� ������ ������

��� ������� � �� ���������� ; ����� ����� �

(� �� ��� ������ ���������� ����� ������ � �� �������� ����7���� ���

�������" ���������� �� 2���� �� ������� ��� ������� �0 � � " ������"

������� �� ��������� �� ������� �� 2����� ���������� ���2 ��

� ��� �" �� ����� ��� ������ ��� ������%� � ������� �������� � ����� ������

� ����� �� ������ ��� ����������%� ����� �� ������� �� ������� ���

������ ������ ����2 �� ; ����� ����� �

Page 213: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 213

*� -������� ����� ������� ���� ����� ���� �� ����� ����� �������� ����

� ����� ���������� �� ������ �� ��� ������ ��� ��� ���� ������ �

/� .� �� ��� ������ ���� �� ��� ����� �� ���� ������ ������ �� ���%�

0 � �" ������������ �� ������ ������ �� ���� �� ������ � ������ �

�� �������� 1����� �����%���� ������� �� ������ ����� �� ������� ���

������ ������ � ������ �� ��������

0� ! �� ���� �� ��� �� ���� �� ��� ������� ��� ���� * #���� �� �� ��������"

�� ����������%� 0 ������ �� ����� � � ������ � ����� �� ������ ���

���� �� ���� �� ������ � ������ � �� �������� ����� ����%� ��� �����

���������� �� ��� ����� �� ������ ����� �� ������� ��� ������ ������ �

������� �� ��������

?� .��2 �� ������� ������� �� �������%� ��� �������� �� ����� �������

�� ������� � ��� ������� �� �������� �� �������" ������ � ����� ��

��������� �������� �� ��� �� �� ������ �� ������� ������� �� � ������

�� ������� �� ������� ����� �� ��� ���� � ���� ������� ��� ��� ����

����� ������� ������ �� �������� �� �� ���� ��������%� ��� ��� ������

� ����� �����" ���������� �� ������ ����� �� �������� ��������

-��� �� ����� ��� � ��� ����� ���������" �� �������� �� ���� ���������

��� ������� �������� ��� ������ ��������%� �� ������������ �� �� �����

�� ��������� ��� �� ���� ���� �� ������ ��� ������� � ���� ������& ��

2���� �� ������� � �� �������" �� ������ ��� #���� ���� ��� �� �������� ��

�������� ������� � �� ������ ��� ����� ���� ������� �� �������� ��� ������ ���

���� ����� ������� ��� �� ���� ����� ����� � ���������" ���� ����������

���� �������� ���� �������� �������� ��� ���������� ������ � ��� ��������

���������" ��� ��������� ������ ������� ���������� ��� ���� ��� �������������

������7������

1�%" � ���� ���� ��� ������� ����� � �%���� �� �������" ����� ������ ��

� ���� �� ������ ���� ������� #�������� ��� ������������� ; ����� ����� �

� ��� �� 9��� ���� ����� ������ ����������� ��� #������ �� ����������&

� ��� �

' �1� .1 �

���

1����� ���

.1 �

-��� ���

.���

���

� �� �� ����

� �� � � �" ���� �� M������"

�� �� ����" � ��� � �� �� �/� ������

� �� � � �" ���� �� ; ����� ����� �

# ��� �

� �1� .1 �

.1

�� �

� �� � � ��� �" ���� �� � ��� �

Page 214: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Introducción a la Simulación y a la Teoría de ColasRicardo Cao Abad

214

� ����� ������� ��� ����������� �������&

� ��� � , � �� �� �/� ������

� , � �� �/� ��

����

� �� ,

� � ���� � ���/��

� �� ��� ,� � ��� � � � �� �� ��� ,���

� � � �� � �� �� ��� ,���

� ���

�,� � �� � ��� ��� ,���

"

# ��� � , ��� �

� , � � � �, � � � #��

�,� � �, � ��

$�������" ��� ���������� ���� ������� ����� ������������� ���%�&

&�������� �� �������+� � � ����� � � ����������+� ; ����� �����

� � � ��� � � � ��� ���

�� � ���� � � � �� � ��� ��� ����

&�������� �� �������+� � � ����� � � ����������+� � ��� �

� � � ��� � � � ��� ���

�� � ���� � $ � �� � ��

4������ �� �������� �� �������� ���� �� �������� ��� ������ ���%�

������� ������ ������������� ���� ��� ��������� �� ���� �� 1�%" ��� �����

���" �� ������������ �� ��� ������� , ������� � �� ������� �� ���������%�

������� �� #����� ��� ������ �������� � �� ��� �� ������� ����7���� ����

��� 2���� �� �������� !� ������ ����� ��� � ������ ���� � �� ���� �����

����������� ������� �������� ��������� �� �������� �� ��� ������� � ��

���� �� ��� ������� ��� �� ������ ��� �� ���������

���� ���������� �������

+� 3����� ���� 7��� ��� ����� �� ������� � �������� � � ��������#��"

J���� �� �� ���������� ��� ������ �� �������� ��� ���������� � ����

2���� ����� �� ������� � �� �������K J=� ������ ������ ����� �����

�%��� �� �� ������������� � � ������ �����K

,� 1 �� ��������� ����#��� ����� ��������" ���2 � ������� �� 9�����"

� ��� �� * ��� ������ !� ������ ��� ������ �� 2��� ����#����� �

���������� ���� ������� ����� �� ���������� �������� �� ��� �������

�� / �������" �� �������������

�� +/ ������� �� ������������

��

.������� ��� ��� �������� ��������� ������� �� ��������� ���� ������

�� �� ������ � ������ ���� ��� �������� ���2 �� ���� �� �������"

��������&

�� !� 2���� ����� �� �������� � ������ ��������� �� ��� ����

�������� �� ����#����� �

Page 215: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Colas con distribuciones arbitrarias de llegada y servicio 215

�� �� ������������ �� ��� ���� ��� �� �� ������� �������� � ���

������� ��� �� ����#������

(� C��� � ������ ��( �/ � 9� /� ��" ������ �� ����� ��� 2���� ����� ��

������� � �� ������� ���� #��� �� �� ���� �� ��������" %" � ��� ���

���������� ����������� � �� ���������� ��� ��������" 9 � /� C��� ���

�� ����� �� �� ���������� �� �������� ��%

- %�

-" �������� ��� ������� ���

�� ������ ���� �� ������� ����������� �������" �� �������� � �� ��

� ������ ����� ��� ���� �� �������� % � ���� �� ��������� 9 " ���2

��� ������� �� / & �� J1 ��� ������� ����� ����� ������� � ��� �����

�������� �/ � �

� / � � K

Page 216: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 217: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Bibliografía

14

Page 218: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la
Page 219: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la

Bibliografía 219

��� �

1���" 1�>� �+BBD � 6����������$ �������� � ��� ����� �-��� J��- ������

� �� ����� ������� 1������� 9�����

1�����" 4� '� � )���%� C��" !� �+BB0 � ������ ��� � ��,����� � ������

��� ,��� ��� 4�)��W�5����

:������" 9�" $��" :� �� � .������ �� !� �+BBD � * ���� �� ����������� .�������

O������

:����" :�C� �+BB0 � *� ������� ���� �� ����� �-���� 1�����

C������" �� �+BA0 � H���������� ������ ������ ��������� .�������O������

)�����" !� � 9������" )� �+BA? � ;������ ���� �� ����� ��J��5�� M�����

)����" L�!� �+BBA � 1����� ����� �������� ��� 4��� (���� ��-����

.�������O������

)����" C� � 5�����" -�4� �+BA/ � @���������� �� ����� �-���� M�����

;����" \�1� � C���W��� !�L� �+BB+ � 4���� �������� �� ������ ��� K6��

����������� -������� .����� 9�����

;������<" �� �+B?/ � L����� ������� M���� ;% ?-���� M�����

;������<" �� �+B?/ � L����� ������� M���� ;;% (������ ����� �������

M�����

��W" 1�4� � ;����" M�C� �+BB+ � ����������$ ������� ��� ��������� 4�)��W�

5����

4����" L� �+BB+ � ��� -���� ����� �� ����� �-���� 1������� 9�����

4�������" >�" )���<�" !�" 9���" -� � .������" $� �+BBA � ���������� ����

-���� �� .�������O������

@����" '� �+BB/ � 6����������$ ��� -���� ��� ���$ ��� ����� �-��� % �-

���-���� � �� ������ ������� ��������� .�������O������

'���" .� 4� �+BBB � ������ ���� 9������ 5����

.����" 3��� �+BA( � ������ �� ����� �-��� J��- ����� ������� C�����

3������" ;�.� �+BA, � 6���������� ��� �������� � J��- ����������$ ����� �-���

��� ������ � �� ����� ������� 9������ 5����

O� C��<" @�4� �+BB( � L����� ��J��5� ��� ����� � ������ * ������

������ -� M�����

Page 220: Introducción a la simulación y a la teoría de colas · Catedrático de Universidad del área de Estadística e Investigación Opera-tiva en el Departamento de Matemáticas de la