introducciÓ a la geometria euclidiana apunts per a una filosofia de …fgraell/llista de quaderns...

56
1 F. GRAELL I DENIEL INTRODUCCIÓ A LA GEOMETRIA EUCLIDIANA APUNTS PER A UNA FILOSOFIA DE L’ESPAI _______________________ QUADERNS DE FILOSOFIA 36

Upload: others

Post on 23-Apr-2020

3 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

1

F GRAELL I DENIEL

INTRODUCCIOacute A LA GEOMETRIA EUCLIDIANA APUNTS PER A UNA FILOSOFIA DE LrsquoESPAI

_______________________

QUADERNS DE FILOSOFIA

36

2

3

F GRAELL I DENIEL

INTRODUCCIOacute A LA GEOMETRIA EUCLIDIANA APUNTS PER A UNA FILOSOFIA DE LrsquoESPAI

36

QUADERNS DE FILOSOFIA ________________________

Barcelona 2013

4

________________________________________________________ 1ordf edicioacute gener de 2013 FGraell i Deniel ISBN 978-84-938454-5-2 wwwxteccat~fgraell E-mail fgraellxteccat La web permet de baixar la cogravepia drsquoun qualsevol quadern editat Podeu fer uacutes de lrsquoadreccedila electrogravenica per a qualsevol correspondegravencia amb Quaderns de Filosofia __________________________________________________________

5

CONTINGUT

Presentacioacute 7 I DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR 9

1 La percepcioacuteel pensament de lrsquoespai 9 2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa 9 3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes 10 4 Lrsquoespai entre les coses 11 5 Lrsquoespai intern del cos propi 11 6 On soacuten espacialment les coses 13 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai 13 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit 15 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome 16 10 No hi ha un espai antropologravegic 18 11 Un espai mer pensament 19 II SOBRE LES DIMENSIONS 21 1 Les dimensions de lrsquoespai natural 21 2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural 22 III ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave 25 1 El punt 25 2 La liacutenia 27 3 La superfiacutecie 27 4 El liacutemit la figura i el cercle 29 5 Llur paper en la geometria euclidiana 30 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits 32 7 Geometria i natura 34 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 36

6

IV LA CERTESA GEOMEgraveTRICA 39 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetrica 39 2 Meacutes sobre els principis 44 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius 46 4 La transitivitat de la igualtat 48 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill 52

7

Presentacioacute

Lrsquoestudi dels principis de la geometria euclidiana i del tarannagrave del raonament que li eacutes propi era una de les fites que perseguia Logravegica llenguatge i matemagravetica obra que ja era una resultant de redaccions anteriors La nova presentacioacute drsquoara no fa meacutes doncs que actualitzar aquell treball en manlleva parts en reordena aixograve o allograve agravedhuc ofereix algun punt de mira potser passat per alt Sobretot el treball es mostra molt meacutes segur perquegrave els anys han permegraves de repassar lrsquohoritzoacute on srsquoha de colmiddotlocar un escrit com aquest i perquegrave a poc a poc sembla que es podran anar aconseguint els propogravesits dels punts de patida drsquoun estil de pensament amb tota la provisionalitat i la fragilitat que es vulgui En efecte les disciplines matemagravetiques mereixen que se les considerin un dels exponents privilegiats drsquoallograve que es pot fer Car poques coses deuen provocar tanta admiracioacute com lrsquoingent treball que ha ocasionat el descabdellament paulatiacute de les diferents branques el seu arrodoniment i la construccioacute drsquoun edifici amb un ordre sorprenentment ben trobat La qual cosa provoca que un hom srsquoadoni de dos fenogravemens rellevants el primer la circumstagravencia que hi ha implicats una munioacute drsquoindividus que han contribuiumlt amb el seu esforccedil al progreacutes de la ciegravencia que hi han pensat un nombre infinit drsquohores i que els uns han fet i refet el que drsquoaltres hi aportaven Hi ha un pogravesit de vida humana que mena sens dubte a tota classe de mostres drsquoagraiumlment El segon fenomen es troba relligat a aquest la incomparablement meacutes dificultat de fer filosofia de la ciegravencia cap altra branca mostra haver de repensar tan pogravesit intelmiddotlectual humagrave com aquesta Eacutes meacutes al costat del que srsquoha abastat en nom de la ciegravencia la filosofia de la ciegravencia una ocupacioacute que deu molt al tarannagrave drsquoun individu sembla ridiacutecula si no ilmiddotlusograveriament prepotent I en alguna accepcioacute lrsquoesforccedil no vinculat a una disciplina rigorosa sembla superflu i banal Aquestes meditacions com drsquoaltres drsquoaquest caire passaran mentre lrsquohome aniragrave conreant nous camps drsquoaquesta disciplina sigui la geometria o qualsevol altra branca iquestVal la pena doncs lrsquoesforccedil de comprendre una tal activitat Siacute mentre hi hagi alguacute

8

que es meravelli del compromiacutes de tants i tants eacutessers humans en els diferents sabers i mentre es pregunti com ha estat possible afer que duu a una pregunta final quegrave eacutes lrsquohome

9

I

DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR

Ha drsquohaver-hi alguna manera drsquoanar des de la percepcioacute dels tragravefecs quotidians a lrsquoespai geomegravetric o si meacutes no drsquoencalccedilar el que hi duu amb el ben entegraves que no es pot pretendre que no srsquohagi apregraves a parlar de lrsquoespai i a pensar-lo

1 Hi ha una percepcioacutepensament de lrsquoespai

En efecte lrsquouacutes del mot lsquoespairsquo quan no se surt drsquoun cert agravembit dels usos quotidians dels mots lliura una significacioacute caracteriacutestica en lrsquoocupacioacute intencional que percep lrsquoespai No cal insistir doncs si sersquol percep o sersquol pensa perquegrave no hi ha sembla espai percebut que no sigui ategraves intencionalment i eacutes difiacutecil que un hom srsquoocupi en pensaments drsquoespai al marge que hi hagi un univers perceptiu Quan srsquoafirma que la realitat natural eacutes espacial srsquohi constata en qualsevol cas una manifestacioacute del domini de significacions es pensa aixiacute i es parla aixiacute al marge i tot drsquouna qualsevol representacioacute I enmig de tot aixograve la contemplacioacute dels cels desvetlla profunditats i llunyanies

2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa

Es pot estudiar com es va lliurant lrsquoespai i de dar-ne algunes precisions Un hom agafa un petit elefant drsquoivori a la magrave Si prova de fer-ho amb els ulls tancats hi ha una experiegravencia concreta que es pot anomenar un espai tagravectil fornit de les notes lliurades pels moviments dels dits per la distancia que hi ha entre el potze i els altres dits per la pressioacute sobre la pell per la resistegravencia que hi fa per la duresa etc El que srsquoanomena lrsquoespai tagravectil esdeveacute una experiegravencia uacutenica que engloba allograve que es va assenyalant i drsquoaltres afers perograve prou meacutes organitzats i conjuntats del que una qualevol descripcioacute podria dir-ne En obrir els ulls tot manteacute un aspecte de normalitat la talla drsquoivori segueix oferint un espai tagravectil que ara tambeacute eacutes visual Siacute allograve

10

que srsquoesmenta com a visual eacutes inseparable drsquouna tensioacute visual dels mateixos moviments dels ulls etc per tant de la circumstagravencia que atendre visualment quelcom demana una adaptacioacute Tanmateix aquiacute lrsquoencaix de tot (aspectes tagravectils estrictament visuals motors etc) es fa amb una efectivitat prou feixuga de seguir intelmiddotlectualment Sembla dificil de negar que el tracte amb lrsquoefefantet no pugui reenviar per meacutes vaga que sigui la referegravencia a lrsquoaprenentatge Des que un hom neix apregraven molt a tocar a engrapar a moure el seu cos a veure els afers a bellugar-se de moltes maneres a coordinar visioacute motricitat i afer tagravectil etc Perograve una conducta especiacutefica no reenvia a res i de fet no informa de res meacutes No hi ha un resseguiment drsquoun cas concret que contingui tal qual cap tros drsquohistograveria drsquouna vida

3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes

Fer avinent que hi ha un aspecte espacial no es fa sense intencioacute La talla drsquoivori no esdeveacute espacial perquegrave un hom ho faci notar perograve un tal factor necessita que lrsquoatenguin per a fer-se ressaltar Totes les explicitacions possibles no soacuten meacutes que dedicacions intencionals La mateixa intencioacute de parlar de lrsquoespai remet a molts altres aspectes per exemple lrsquoespai no es diferencia del contingut de la percepcioacute que un hom en teacute de lrsquoelefantet meacutes enllagrave de la modificacioacute intencional que suposa Nrsquoeacutes un altre nom pel fet que tambeacute hi ha coses planes per exemple etc Per tant es pot admetre que lrsquohome sempre sap on eacutes i que apunta un espai per un exercici intencional Es pot admetre aixiacute mateix que lrsquoespai de lrsquoelefant remet a quelcom absolut sense referegravencia a lrsquoaprenentatge Tot i aixograve srsquoha anotat la quantitat drsquoinformacioacute tagravectil motora i visual que srsquohi troba compromesa i que permet de tenir aquest espai concret Quan un hom no rumia no es troba ocupat intencionalment drsquouna manera expliacutecita etc perquegrave estagrave mirant quelcom atenent un afer etc no es manteacute una ocupacioacute intencional per exemple de lrsquoespai drsquoaquest elefantet En aquest sentit es podria dir que una certa mirada perceptiva no seria intencional (una altra mirada ho seria aquella que medita sobre el fet perceptiu la que pondera allograve que es percep etc) Perograve aixograve sembla un

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

2

3

F GRAELL I DENIEL

INTRODUCCIOacute A LA GEOMETRIA EUCLIDIANA APUNTS PER A UNA FILOSOFIA DE LrsquoESPAI

36

QUADERNS DE FILOSOFIA ________________________

Barcelona 2013

4

________________________________________________________ 1ordf edicioacute gener de 2013 FGraell i Deniel ISBN 978-84-938454-5-2 wwwxteccat~fgraell E-mail fgraellxteccat La web permet de baixar la cogravepia drsquoun qualsevol quadern editat Podeu fer uacutes de lrsquoadreccedila electrogravenica per a qualsevol correspondegravencia amb Quaderns de Filosofia __________________________________________________________

5

CONTINGUT

Presentacioacute 7 I DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR 9

1 La percepcioacuteel pensament de lrsquoespai 9 2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa 9 3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes 10 4 Lrsquoespai entre les coses 11 5 Lrsquoespai intern del cos propi 11 6 On soacuten espacialment les coses 13 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai 13 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit 15 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome 16 10 No hi ha un espai antropologravegic 18 11 Un espai mer pensament 19 II SOBRE LES DIMENSIONS 21 1 Les dimensions de lrsquoespai natural 21 2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural 22 III ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave 25 1 El punt 25 2 La liacutenia 27 3 La superfiacutecie 27 4 El liacutemit la figura i el cercle 29 5 Llur paper en la geometria euclidiana 30 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits 32 7 Geometria i natura 34 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 36

6

IV LA CERTESA GEOMEgraveTRICA 39 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetrica 39 2 Meacutes sobre els principis 44 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius 46 4 La transitivitat de la igualtat 48 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill 52

7

Presentacioacute

Lrsquoestudi dels principis de la geometria euclidiana i del tarannagrave del raonament que li eacutes propi era una de les fites que perseguia Logravegica llenguatge i matemagravetica obra que ja era una resultant de redaccions anteriors La nova presentacioacute drsquoara no fa meacutes doncs que actualitzar aquell treball en manlleva parts en reordena aixograve o allograve agravedhuc ofereix algun punt de mira potser passat per alt Sobretot el treball es mostra molt meacutes segur perquegrave els anys han permegraves de repassar lrsquohoritzoacute on srsquoha de colmiddotlocar un escrit com aquest i perquegrave a poc a poc sembla que es podran anar aconseguint els propogravesits dels punts de patida drsquoun estil de pensament amb tota la provisionalitat i la fragilitat que es vulgui En efecte les disciplines matemagravetiques mereixen que se les considerin un dels exponents privilegiats drsquoallograve que es pot fer Car poques coses deuen provocar tanta admiracioacute com lrsquoingent treball que ha ocasionat el descabdellament paulatiacute de les diferents branques el seu arrodoniment i la construccioacute drsquoun edifici amb un ordre sorprenentment ben trobat La qual cosa provoca que un hom srsquoadoni de dos fenogravemens rellevants el primer la circumstagravencia que hi ha implicats una munioacute drsquoindividus que han contribuiumlt amb el seu esforccedil al progreacutes de la ciegravencia que hi han pensat un nombre infinit drsquohores i que els uns han fet i refet el que drsquoaltres hi aportaven Hi ha un pogravesit de vida humana que mena sens dubte a tota classe de mostres drsquoagraiumlment El segon fenomen es troba relligat a aquest la incomparablement meacutes dificultat de fer filosofia de la ciegravencia cap altra branca mostra haver de repensar tan pogravesit intelmiddotlectual humagrave com aquesta Eacutes meacutes al costat del que srsquoha abastat en nom de la ciegravencia la filosofia de la ciegravencia una ocupacioacute que deu molt al tarannagrave drsquoun individu sembla ridiacutecula si no ilmiddotlusograveriament prepotent I en alguna accepcioacute lrsquoesforccedil no vinculat a una disciplina rigorosa sembla superflu i banal Aquestes meditacions com drsquoaltres drsquoaquest caire passaran mentre lrsquohome aniragrave conreant nous camps drsquoaquesta disciplina sigui la geometria o qualsevol altra branca iquestVal la pena doncs lrsquoesforccedil de comprendre una tal activitat Siacute mentre hi hagi alguacute

8

que es meravelli del compromiacutes de tants i tants eacutessers humans en els diferents sabers i mentre es pregunti com ha estat possible afer que duu a una pregunta final quegrave eacutes lrsquohome

9

I

DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR

Ha drsquohaver-hi alguna manera drsquoanar des de la percepcioacute dels tragravefecs quotidians a lrsquoespai geomegravetric o si meacutes no drsquoencalccedilar el que hi duu amb el ben entegraves que no es pot pretendre que no srsquohagi apregraves a parlar de lrsquoespai i a pensar-lo

1 Hi ha una percepcioacutepensament de lrsquoespai

En efecte lrsquouacutes del mot lsquoespairsquo quan no se surt drsquoun cert agravembit dels usos quotidians dels mots lliura una significacioacute caracteriacutestica en lrsquoocupacioacute intencional que percep lrsquoespai No cal insistir doncs si sersquol percep o sersquol pensa perquegrave no hi ha sembla espai percebut que no sigui ategraves intencionalment i eacutes difiacutecil que un hom srsquoocupi en pensaments drsquoespai al marge que hi hagi un univers perceptiu Quan srsquoafirma que la realitat natural eacutes espacial srsquohi constata en qualsevol cas una manifestacioacute del domini de significacions es pensa aixiacute i es parla aixiacute al marge i tot drsquouna qualsevol representacioacute I enmig de tot aixograve la contemplacioacute dels cels desvetlla profunditats i llunyanies

2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa

Es pot estudiar com es va lliurant lrsquoespai i de dar-ne algunes precisions Un hom agafa un petit elefant drsquoivori a la magrave Si prova de fer-ho amb els ulls tancats hi ha una experiegravencia concreta que es pot anomenar un espai tagravectil fornit de les notes lliurades pels moviments dels dits per la distancia que hi ha entre el potze i els altres dits per la pressioacute sobre la pell per la resistegravencia que hi fa per la duresa etc El que srsquoanomena lrsquoespai tagravectil esdeveacute una experiegravencia uacutenica que engloba allograve que es va assenyalant i drsquoaltres afers perograve prou meacutes organitzats i conjuntats del que una qualevol descripcioacute podria dir-ne En obrir els ulls tot manteacute un aspecte de normalitat la talla drsquoivori segueix oferint un espai tagravectil que ara tambeacute eacutes visual Siacute allograve

10

que srsquoesmenta com a visual eacutes inseparable drsquouna tensioacute visual dels mateixos moviments dels ulls etc per tant de la circumstagravencia que atendre visualment quelcom demana una adaptacioacute Tanmateix aquiacute lrsquoencaix de tot (aspectes tagravectils estrictament visuals motors etc) es fa amb una efectivitat prou feixuga de seguir intelmiddotlectualment Sembla dificil de negar que el tracte amb lrsquoefefantet no pugui reenviar per meacutes vaga que sigui la referegravencia a lrsquoaprenentatge Des que un hom neix apregraven molt a tocar a engrapar a moure el seu cos a veure els afers a bellugar-se de moltes maneres a coordinar visioacute motricitat i afer tagravectil etc Perograve una conducta especiacutefica no reenvia a res i de fet no informa de res meacutes No hi ha un resseguiment drsquoun cas concret que contingui tal qual cap tros drsquohistograveria drsquouna vida

3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes

Fer avinent que hi ha un aspecte espacial no es fa sense intencioacute La talla drsquoivori no esdeveacute espacial perquegrave un hom ho faci notar perograve un tal factor necessita que lrsquoatenguin per a fer-se ressaltar Totes les explicitacions possibles no soacuten meacutes que dedicacions intencionals La mateixa intencioacute de parlar de lrsquoespai remet a molts altres aspectes per exemple lrsquoespai no es diferencia del contingut de la percepcioacute que un hom en teacute de lrsquoelefantet meacutes enllagrave de la modificacioacute intencional que suposa Nrsquoeacutes un altre nom pel fet que tambeacute hi ha coses planes per exemple etc Per tant es pot admetre que lrsquohome sempre sap on eacutes i que apunta un espai per un exercici intencional Es pot admetre aixiacute mateix que lrsquoespai de lrsquoelefant remet a quelcom absolut sense referegravencia a lrsquoaprenentatge Tot i aixograve srsquoha anotat la quantitat drsquoinformacioacute tagravectil motora i visual que srsquohi troba compromesa i que permet de tenir aquest espai concret Quan un hom no rumia no es troba ocupat intencionalment drsquouna manera expliacutecita etc perquegrave estagrave mirant quelcom atenent un afer etc no es manteacute una ocupacioacute intencional per exemple de lrsquoespai drsquoaquest elefantet En aquest sentit es podria dir que una certa mirada perceptiva no seria intencional (una altra mirada ho seria aquella que medita sobre el fet perceptiu la que pondera allograve que es percep etc) Perograve aixograve sembla un

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

3

F GRAELL I DENIEL

INTRODUCCIOacute A LA GEOMETRIA EUCLIDIANA APUNTS PER A UNA FILOSOFIA DE LrsquoESPAI

36

QUADERNS DE FILOSOFIA ________________________

Barcelona 2013

4

________________________________________________________ 1ordf edicioacute gener de 2013 FGraell i Deniel ISBN 978-84-938454-5-2 wwwxteccat~fgraell E-mail fgraellxteccat La web permet de baixar la cogravepia drsquoun qualsevol quadern editat Podeu fer uacutes de lrsquoadreccedila electrogravenica per a qualsevol correspondegravencia amb Quaderns de Filosofia __________________________________________________________

5

CONTINGUT

Presentacioacute 7 I DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR 9

1 La percepcioacuteel pensament de lrsquoespai 9 2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa 9 3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes 10 4 Lrsquoespai entre les coses 11 5 Lrsquoespai intern del cos propi 11 6 On soacuten espacialment les coses 13 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai 13 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit 15 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome 16 10 No hi ha un espai antropologravegic 18 11 Un espai mer pensament 19 II SOBRE LES DIMENSIONS 21 1 Les dimensions de lrsquoespai natural 21 2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural 22 III ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave 25 1 El punt 25 2 La liacutenia 27 3 La superfiacutecie 27 4 El liacutemit la figura i el cercle 29 5 Llur paper en la geometria euclidiana 30 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits 32 7 Geometria i natura 34 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 36

6

IV LA CERTESA GEOMEgraveTRICA 39 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetrica 39 2 Meacutes sobre els principis 44 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius 46 4 La transitivitat de la igualtat 48 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill 52

7

Presentacioacute

Lrsquoestudi dels principis de la geometria euclidiana i del tarannagrave del raonament que li eacutes propi era una de les fites que perseguia Logravegica llenguatge i matemagravetica obra que ja era una resultant de redaccions anteriors La nova presentacioacute drsquoara no fa meacutes doncs que actualitzar aquell treball en manlleva parts en reordena aixograve o allograve agravedhuc ofereix algun punt de mira potser passat per alt Sobretot el treball es mostra molt meacutes segur perquegrave els anys han permegraves de repassar lrsquohoritzoacute on srsquoha de colmiddotlocar un escrit com aquest i perquegrave a poc a poc sembla que es podran anar aconseguint els propogravesits dels punts de patida drsquoun estil de pensament amb tota la provisionalitat i la fragilitat que es vulgui En efecte les disciplines matemagravetiques mereixen que se les considerin un dels exponents privilegiats drsquoallograve que es pot fer Car poques coses deuen provocar tanta admiracioacute com lrsquoingent treball que ha ocasionat el descabdellament paulatiacute de les diferents branques el seu arrodoniment i la construccioacute drsquoun edifici amb un ordre sorprenentment ben trobat La qual cosa provoca que un hom srsquoadoni de dos fenogravemens rellevants el primer la circumstagravencia que hi ha implicats una munioacute drsquoindividus que han contribuiumlt amb el seu esforccedil al progreacutes de la ciegravencia que hi han pensat un nombre infinit drsquohores i que els uns han fet i refet el que drsquoaltres hi aportaven Hi ha un pogravesit de vida humana que mena sens dubte a tota classe de mostres drsquoagraiumlment El segon fenomen es troba relligat a aquest la incomparablement meacutes dificultat de fer filosofia de la ciegravencia cap altra branca mostra haver de repensar tan pogravesit intelmiddotlectual humagrave com aquesta Eacutes meacutes al costat del que srsquoha abastat en nom de la ciegravencia la filosofia de la ciegravencia una ocupacioacute que deu molt al tarannagrave drsquoun individu sembla ridiacutecula si no ilmiddotlusograveriament prepotent I en alguna accepcioacute lrsquoesforccedil no vinculat a una disciplina rigorosa sembla superflu i banal Aquestes meditacions com drsquoaltres drsquoaquest caire passaran mentre lrsquohome aniragrave conreant nous camps drsquoaquesta disciplina sigui la geometria o qualsevol altra branca iquestVal la pena doncs lrsquoesforccedil de comprendre una tal activitat Siacute mentre hi hagi alguacute

8

que es meravelli del compromiacutes de tants i tants eacutessers humans en els diferents sabers i mentre es pregunti com ha estat possible afer que duu a una pregunta final quegrave eacutes lrsquohome

9

I

DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR

Ha drsquohaver-hi alguna manera drsquoanar des de la percepcioacute dels tragravefecs quotidians a lrsquoespai geomegravetric o si meacutes no drsquoencalccedilar el que hi duu amb el ben entegraves que no es pot pretendre que no srsquohagi apregraves a parlar de lrsquoespai i a pensar-lo

1 Hi ha una percepcioacutepensament de lrsquoespai

En efecte lrsquouacutes del mot lsquoespairsquo quan no se surt drsquoun cert agravembit dels usos quotidians dels mots lliura una significacioacute caracteriacutestica en lrsquoocupacioacute intencional que percep lrsquoespai No cal insistir doncs si sersquol percep o sersquol pensa perquegrave no hi ha sembla espai percebut que no sigui ategraves intencionalment i eacutes difiacutecil que un hom srsquoocupi en pensaments drsquoespai al marge que hi hagi un univers perceptiu Quan srsquoafirma que la realitat natural eacutes espacial srsquohi constata en qualsevol cas una manifestacioacute del domini de significacions es pensa aixiacute i es parla aixiacute al marge i tot drsquouna qualsevol representacioacute I enmig de tot aixograve la contemplacioacute dels cels desvetlla profunditats i llunyanies

2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa

Es pot estudiar com es va lliurant lrsquoespai i de dar-ne algunes precisions Un hom agafa un petit elefant drsquoivori a la magrave Si prova de fer-ho amb els ulls tancats hi ha una experiegravencia concreta que es pot anomenar un espai tagravectil fornit de les notes lliurades pels moviments dels dits per la distancia que hi ha entre el potze i els altres dits per la pressioacute sobre la pell per la resistegravencia que hi fa per la duresa etc El que srsquoanomena lrsquoespai tagravectil esdeveacute una experiegravencia uacutenica que engloba allograve que es va assenyalant i drsquoaltres afers perograve prou meacutes organitzats i conjuntats del que una qualevol descripcioacute podria dir-ne En obrir els ulls tot manteacute un aspecte de normalitat la talla drsquoivori segueix oferint un espai tagravectil que ara tambeacute eacutes visual Siacute allograve

10

que srsquoesmenta com a visual eacutes inseparable drsquouna tensioacute visual dels mateixos moviments dels ulls etc per tant de la circumstagravencia que atendre visualment quelcom demana una adaptacioacute Tanmateix aquiacute lrsquoencaix de tot (aspectes tagravectils estrictament visuals motors etc) es fa amb una efectivitat prou feixuga de seguir intelmiddotlectualment Sembla dificil de negar que el tracte amb lrsquoefefantet no pugui reenviar per meacutes vaga que sigui la referegravencia a lrsquoaprenentatge Des que un hom neix apregraven molt a tocar a engrapar a moure el seu cos a veure els afers a bellugar-se de moltes maneres a coordinar visioacute motricitat i afer tagravectil etc Perograve una conducta especiacutefica no reenvia a res i de fet no informa de res meacutes No hi ha un resseguiment drsquoun cas concret que contingui tal qual cap tros drsquohistograveria drsquouna vida

3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes

Fer avinent que hi ha un aspecte espacial no es fa sense intencioacute La talla drsquoivori no esdeveacute espacial perquegrave un hom ho faci notar perograve un tal factor necessita que lrsquoatenguin per a fer-se ressaltar Totes les explicitacions possibles no soacuten meacutes que dedicacions intencionals La mateixa intencioacute de parlar de lrsquoespai remet a molts altres aspectes per exemple lrsquoespai no es diferencia del contingut de la percepcioacute que un hom en teacute de lrsquoelefantet meacutes enllagrave de la modificacioacute intencional que suposa Nrsquoeacutes un altre nom pel fet que tambeacute hi ha coses planes per exemple etc Per tant es pot admetre que lrsquohome sempre sap on eacutes i que apunta un espai per un exercici intencional Es pot admetre aixiacute mateix que lrsquoespai de lrsquoelefant remet a quelcom absolut sense referegravencia a lrsquoaprenentatge Tot i aixograve srsquoha anotat la quantitat drsquoinformacioacute tagravectil motora i visual que srsquohi troba compromesa i que permet de tenir aquest espai concret Quan un hom no rumia no es troba ocupat intencionalment drsquouna manera expliacutecita etc perquegrave estagrave mirant quelcom atenent un afer etc no es manteacute una ocupacioacute intencional per exemple de lrsquoespai drsquoaquest elefantet En aquest sentit es podria dir que una certa mirada perceptiva no seria intencional (una altra mirada ho seria aquella que medita sobre el fet perceptiu la que pondera allograve que es percep etc) Perograve aixograve sembla un

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

4

________________________________________________________ 1ordf edicioacute gener de 2013 FGraell i Deniel ISBN 978-84-938454-5-2 wwwxteccat~fgraell E-mail fgraellxteccat La web permet de baixar la cogravepia drsquoun qualsevol quadern editat Podeu fer uacutes de lrsquoadreccedila electrogravenica per a qualsevol correspondegravencia amb Quaderns de Filosofia __________________________________________________________

5

CONTINGUT

Presentacioacute 7 I DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR 9

1 La percepcioacuteel pensament de lrsquoespai 9 2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa 9 3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes 10 4 Lrsquoespai entre les coses 11 5 Lrsquoespai intern del cos propi 11 6 On soacuten espacialment les coses 13 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai 13 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit 15 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome 16 10 No hi ha un espai antropologravegic 18 11 Un espai mer pensament 19 II SOBRE LES DIMENSIONS 21 1 Les dimensions de lrsquoespai natural 21 2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural 22 III ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave 25 1 El punt 25 2 La liacutenia 27 3 La superfiacutecie 27 4 El liacutemit la figura i el cercle 29 5 Llur paper en la geometria euclidiana 30 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits 32 7 Geometria i natura 34 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 36

6

IV LA CERTESA GEOMEgraveTRICA 39 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetrica 39 2 Meacutes sobre els principis 44 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius 46 4 La transitivitat de la igualtat 48 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill 52

7

Presentacioacute

Lrsquoestudi dels principis de la geometria euclidiana i del tarannagrave del raonament que li eacutes propi era una de les fites que perseguia Logravegica llenguatge i matemagravetica obra que ja era una resultant de redaccions anteriors La nova presentacioacute drsquoara no fa meacutes doncs que actualitzar aquell treball en manlleva parts en reordena aixograve o allograve agravedhuc ofereix algun punt de mira potser passat per alt Sobretot el treball es mostra molt meacutes segur perquegrave els anys han permegraves de repassar lrsquohoritzoacute on srsquoha de colmiddotlocar un escrit com aquest i perquegrave a poc a poc sembla que es podran anar aconseguint els propogravesits dels punts de patida drsquoun estil de pensament amb tota la provisionalitat i la fragilitat que es vulgui En efecte les disciplines matemagravetiques mereixen que se les considerin un dels exponents privilegiats drsquoallograve que es pot fer Car poques coses deuen provocar tanta admiracioacute com lrsquoingent treball que ha ocasionat el descabdellament paulatiacute de les diferents branques el seu arrodoniment i la construccioacute drsquoun edifici amb un ordre sorprenentment ben trobat La qual cosa provoca que un hom srsquoadoni de dos fenogravemens rellevants el primer la circumstagravencia que hi ha implicats una munioacute drsquoindividus que han contribuiumlt amb el seu esforccedil al progreacutes de la ciegravencia que hi han pensat un nombre infinit drsquohores i que els uns han fet i refet el que drsquoaltres hi aportaven Hi ha un pogravesit de vida humana que mena sens dubte a tota classe de mostres drsquoagraiumlment El segon fenomen es troba relligat a aquest la incomparablement meacutes dificultat de fer filosofia de la ciegravencia cap altra branca mostra haver de repensar tan pogravesit intelmiddotlectual humagrave com aquesta Eacutes meacutes al costat del que srsquoha abastat en nom de la ciegravencia la filosofia de la ciegravencia una ocupacioacute que deu molt al tarannagrave drsquoun individu sembla ridiacutecula si no ilmiddotlusograveriament prepotent I en alguna accepcioacute lrsquoesforccedil no vinculat a una disciplina rigorosa sembla superflu i banal Aquestes meditacions com drsquoaltres drsquoaquest caire passaran mentre lrsquohome aniragrave conreant nous camps drsquoaquesta disciplina sigui la geometria o qualsevol altra branca iquestVal la pena doncs lrsquoesforccedil de comprendre una tal activitat Siacute mentre hi hagi alguacute

8

que es meravelli del compromiacutes de tants i tants eacutessers humans en els diferents sabers i mentre es pregunti com ha estat possible afer que duu a una pregunta final quegrave eacutes lrsquohome

9

I

DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR

Ha drsquohaver-hi alguna manera drsquoanar des de la percepcioacute dels tragravefecs quotidians a lrsquoespai geomegravetric o si meacutes no drsquoencalccedilar el que hi duu amb el ben entegraves que no es pot pretendre que no srsquohagi apregraves a parlar de lrsquoespai i a pensar-lo

1 Hi ha una percepcioacutepensament de lrsquoespai

En efecte lrsquouacutes del mot lsquoespairsquo quan no se surt drsquoun cert agravembit dels usos quotidians dels mots lliura una significacioacute caracteriacutestica en lrsquoocupacioacute intencional que percep lrsquoespai No cal insistir doncs si sersquol percep o sersquol pensa perquegrave no hi ha sembla espai percebut que no sigui ategraves intencionalment i eacutes difiacutecil que un hom srsquoocupi en pensaments drsquoespai al marge que hi hagi un univers perceptiu Quan srsquoafirma que la realitat natural eacutes espacial srsquohi constata en qualsevol cas una manifestacioacute del domini de significacions es pensa aixiacute i es parla aixiacute al marge i tot drsquouna qualsevol representacioacute I enmig de tot aixograve la contemplacioacute dels cels desvetlla profunditats i llunyanies

2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa

Es pot estudiar com es va lliurant lrsquoespai i de dar-ne algunes precisions Un hom agafa un petit elefant drsquoivori a la magrave Si prova de fer-ho amb els ulls tancats hi ha una experiegravencia concreta que es pot anomenar un espai tagravectil fornit de les notes lliurades pels moviments dels dits per la distancia que hi ha entre el potze i els altres dits per la pressioacute sobre la pell per la resistegravencia que hi fa per la duresa etc El que srsquoanomena lrsquoespai tagravectil esdeveacute una experiegravencia uacutenica que engloba allograve que es va assenyalant i drsquoaltres afers perograve prou meacutes organitzats i conjuntats del que una qualevol descripcioacute podria dir-ne En obrir els ulls tot manteacute un aspecte de normalitat la talla drsquoivori segueix oferint un espai tagravectil que ara tambeacute eacutes visual Siacute allograve

10

que srsquoesmenta com a visual eacutes inseparable drsquouna tensioacute visual dels mateixos moviments dels ulls etc per tant de la circumstagravencia que atendre visualment quelcom demana una adaptacioacute Tanmateix aquiacute lrsquoencaix de tot (aspectes tagravectils estrictament visuals motors etc) es fa amb una efectivitat prou feixuga de seguir intelmiddotlectualment Sembla dificil de negar que el tracte amb lrsquoefefantet no pugui reenviar per meacutes vaga que sigui la referegravencia a lrsquoaprenentatge Des que un hom neix apregraven molt a tocar a engrapar a moure el seu cos a veure els afers a bellugar-se de moltes maneres a coordinar visioacute motricitat i afer tagravectil etc Perograve una conducta especiacutefica no reenvia a res i de fet no informa de res meacutes No hi ha un resseguiment drsquoun cas concret que contingui tal qual cap tros drsquohistograveria drsquouna vida

3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes

Fer avinent que hi ha un aspecte espacial no es fa sense intencioacute La talla drsquoivori no esdeveacute espacial perquegrave un hom ho faci notar perograve un tal factor necessita que lrsquoatenguin per a fer-se ressaltar Totes les explicitacions possibles no soacuten meacutes que dedicacions intencionals La mateixa intencioacute de parlar de lrsquoespai remet a molts altres aspectes per exemple lrsquoespai no es diferencia del contingut de la percepcioacute que un hom en teacute de lrsquoelefantet meacutes enllagrave de la modificacioacute intencional que suposa Nrsquoeacutes un altre nom pel fet que tambeacute hi ha coses planes per exemple etc Per tant es pot admetre que lrsquohome sempre sap on eacutes i que apunta un espai per un exercici intencional Es pot admetre aixiacute mateix que lrsquoespai de lrsquoelefant remet a quelcom absolut sense referegravencia a lrsquoaprenentatge Tot i aixograve srsquoha anotat la quantitat drsquoinformacioacute tagravectil motora i visual que srsquohi troba compromesa i que permet de tenir aquest espai concret Quan un hom no rumia no es troba ocupat intencionalment drsquouna manera expliacutecita etc perquegrave estagrave mirant quelcom atenent un afer etc no es manteacute una ocupacioacute intencional per exemple de lrsquoespai drsquoaquest elefantet En aquest sentit es podria dir que una certa mirada perceptiva no seria intencional (una altra mirada ho seria aquella que medita sobre el fet perceptiu la que pondera allograve que es percep etc) Perograve aixograve sembla un

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

5

CONTINGUT

Presentacioacute 7 I DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR 9

1 La percepcioacuteel pensament de lrsquoespai 9 2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa 9 3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes 10 4 Lrsquoespai entre les coses 11 5 Lrsquoespai intern del cos propi 11 6 On soacuten espacialment les coses 13 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai 13 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit 15 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome 16 10 No hi ha un espai antropologravegic 18 11 Un espai mer pensament 19 II SOBRE LES DIMENSIONS 21 1 Les dimensions de lrsquoespai natural 21 2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural 22 III ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave 25 1 El punt 25 2 La liacutenia 27 3 La superfiacutecie 27 4 El liacutemit la figura i el cercle 29 5 Llur paper en la geometria euclidiana 30 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits 32 7 Geometria i natura 34 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 36

6

IV LA CERTESA GEOMEgraveTRICA 39 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetrica 39 2 Meacutes sobre els principis 44 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius 46 4 La transitivitat de la igualtat 48 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill 52

7

Presentacioacute

Lrsquoestudi dels principis de la geometria euclidiana i del tarannagrave del raonament que li eacutes propi era una de les fites que perseguia Logravegica llenguatge i matemagravetica obra que ja era una resultant de redaccions anteriors La nova presentacioacute drsquoara no fa meacutes doncs que actualitzar aquell treball en manlleva parts en reordena aixograve o allograve agravedhuc ofereix algun punt de mira potser passat per alt Sobretot el treball es mostra molt meacutes segur perquegrave els anys han permegraves de repassar lrsquohoritzoacute on srsquoha de colmiddotlocar un escrit com aquest i perquegrave a poc a poc sembla que es podran anar aconseguint els propogravesits dels punts de patida drsquoun estil de pensament amb tota la provisionalitat i la fragilitat que es vulgui En efecte les disciplines matemagravetiques mereixen que se les considerin un dels exponents privilegiats drsquoallograve que es pot fer Car poques coses deuen provocar tanta admiracioacute com lrsquoingent treball que ha ocasionat el descabdellament paulatiacute de les diferents branques el seu arrodoniment i la construccioacute drsquoun edifici amb un ordre sorprenentment ben trobat La qual cosa provoca que un hom srsquoadoni de dos fenogravemens rellevants el primer la circumstagravencia que hi ha implicats una munioacute drsquoindividus que han contribuiumlt amb el seu esforccedil al progreacutes de la ciegravencia que hi han pensat un nombre infinit drsquohores i que els uns han fet i refet el que drsquoaltres hi aportaven Hi ha un pogravesit de vida humana que mena sens dubte a tota classe de mostres drsquoagraiumlment El segon fenomen es troba relligat a aquest la incomparablement meacutes dificultat de fer filosofia de la ciegravencia cap altra branca mostra haver de repensar tan pogravesit intelmiddotlectual humagrave com aquesta Eacutes meacutes al costat del que srsquoha abastat en nom de la ciegravencia la filosofia de la ciegravencia una ocupacioacute que deu molt al tarannagrave drsquoun individu sembla ridiacutecula si no ilmiddotlusograveriament prepotent I en alguna accepcioacute lrsquoesforccedil no vinculat a una disciplina rigorosa sembla superflu i banal Aquestes meditacions com drsquoaltres drsquoaquest caire passaran mentre lrsquohome aniragrave conreant nous camps drsquoaquesta disciplina sigui la geometria o qualsevol altra branca iquestVal la pena doncs lrsquoesforccedil de comprendre una tal activitat Siacute mentre hi hagi alguacute

8

que es meravelli del compromiacutes de tants i tants eacutessers humans en els diferents sabers i mentre es pregunti com ha estat possible afer que duu a una pregunta final quegrave eacutes lrsquohome

9

I

DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR

Ha drsquohaver-hi alguna manera drsquoanar des de la percepcioacute dels tragravefecs quotidians a lrsquoespai geomegravetric o si meacutes no drsquoencalccedilar el que hi duu amb el ben entegraves que no es pot pretendre que no srsquohagi apregraves a parlar de lrsquoespai i a pensar-lo

1 Hi ha una percepcioacutepensament de lrsquoespai

En efecte lrsquouacutes del mot lsquoespairsquo quan no se surt drsquoun cert agravembit dels usos quotidians dels mots lliura una significacioacute caracteriacutestica en lrsquoocupacioacute intencional que percep lrsquoespai No cal insistir doncs si sersquol percep o sersquol pensa perquegrave no hi ha sembla espai percebut que no sigui ategraves intencionalment i eacutes difiacutecil que un hom srsquoocupi en pensaments drsquoespai al marge que hi hagi un univers perceptiu Quan srsquoafirma que la realitat natural eacutes espacial srsquohi constata en qualsevol cas una manifestacioacute del domini de significacions es pensa aixiacute i es parla aixiacute al marge i tot drsquouna qualsevol representacioacute I enmig de tot aixograve la contemplacioacute dels cels desvetlla profunditats i llunyanies

2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa

Es pot estudiar com es va lliurant lrsquoespai i de dar-ne algunes precisions Un hom agafa un petit elefant drsquoivori a la magrave Si prova de fer-ho amb els ulls tancats hi ha una experiegravencia concreta que es pot anomenar un espai tagravectil fornit de les notes lliurades pels moviments dels dits per la distancia que hi ha entre el potze i els altres dits per la pressioacute sobre la pell per la resistegravencia que hi fa per la duresa etc El que srsquoanomena lrsquoespai tagravectil esdeveacute una experiegravencia uacutenica que engloba allograve que es va assenyalant i drsquoaltres afers perograve prou meacutes organitzats i conjuntats del que una qualevol descripcioacute podria dir-ne En obrir els ulls tot manteacute un aspecte de normalitat la talla drsquoivori segueix oferint un espai tagravectil que ara tambeacute eacutes visual Siacute allograve

10

que srsquoesmenta com a visual eacutes inseparable drsquouna tensioacute visual dels mateixos moviments dels ulls etc per tant de la circumstagravencia que atendre visualment quelcom demana una adaptacioacute Tanmateix aquiacute lrsquoencaix de tot (aspectes tagravectils estrictament visuals motors etc) es fa amb una efectivitat prou feixuga de seguir intelmiddotlectualment Sembla dificil de negar que el tracte amb lrsquoefefantet no pugui reenviar per meacutes vaga que sigui la referegravencia a lrsquoaprenentatge Des que un hom neix apregraven molt a tocar a engrapar a moure el seu cos a veure els afers a bellugar-se de moltes maneres a coordinar visioacute motricitat i afer tagravectil etc Perograve una conducta especiacutefica no reenvia a res i de fet no informa de res meacutes No hi ha un resseguiment drsquoun cas concret que contingui tal qual cap tros drsquohistograveria drsquouna vida

3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes

Fer avinent que hi ha un aspecte espacial no es fa sense intencioacute La talla drsquoivori no esdeveacute espacial perquegrave un hom ho faci notar perograve un tal factor necessita que lrsquoatenguin per a fer-se ressaltar Totes les explicitacions possibles no soacuten meacutes que dedicacions intencionals La mateixa intencioacute de parlar de lrsquoespai remet a molts altres aspectes per exemple lrsquoespai no es diferencia del contingut de la percepcioacute que un hom en teacute de lrsquoelefantet meacutes enllagrave de la modificacioacute intencional que suposa Nrsquoeacutes un altre nom pel fet que tambeacute hi ha coses planes per exemple etc Per tant es pot admetre que lrsquohome sempre sap on eacutes i que apunta un espai per un exercici intencional Es pot admetre aixiacute mateix que lrsquoespai de lrsquoelefant remet a quelcom absolut sense referegravencia a lrsquoaprenentatge Tot i aixograve srsquoha anotat la quantitat drsquoinformacioacute tagravectil motora i visual que srsquohi troba compromesa i que permet de tenir aquest espai concret Quan un hom no rumia no es troba ocupat intencionalment drsquouna manera expliacutecita etc perquegrave estagrave mirant quelcom atenent un afer etc no es manteacute una ocupacioacute intencional per exemple de lrsquoespai drsquoaquest elefantet En aquest sentit es podria dir que una certa mirada perceptiva no seria intencional (una altra mirada ho seria aquella que medita sobre el fet perceptiu la que pondera allograve que es percep etc) Perograve aixograve sembla un

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

6

IV LA CERTESA GEOMEgraveTRICA 39 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetrica 39 2 Meacutes sobre els principis 44 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius 46 4 La transitivitat de la igualtat 48 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill 52

7

Presentacioacute

Lrsquoestudi dels principis de la geometria euclidiana i del tarannagrave del raonament que li eacutes propi era una de les fites que perseguia Logravegica llenguatge i matemagravetica obra que ja era una resultant de redaccions anteriors La nova presentacioacute drsquoara no fa meacutes doncs que actualitzar aquell treball en manlleva parts en reordena aixograve o allograve agravedhuc ofereix algun punt de mira potser passat per alt Sobretot el treball es mostra molt meacutes segur perquegrave els anys han permegraves de repassar lrsquohoritzoacute on srsquoha de colmiddotlocar un escrit com aquest i perquegrave a poc a poc sembla que es podran anar aconseguint els propogravesits dels punts de patida drsquoun estil de pensament amb tota la provisionalitat i la fragilitat que es vulgui En efecte les disciplines matemagravetiques mereixen que se les considerin un dels exponents privilegiats drsquoallograve que es pot fer Car poques coses deuen provocar tanta admiracioacute com lrsquoingent treball que ha ocasionat el descabdellament paulatiacute de les diferents branques el seu arrodoniment i la construccioacute drsquoun edifici amb un ordre sorprenentment ben trobat La qual cosa provoca que un hom srsquoadoni de dos fenogravemens rellevants el primer la circumstagravencia que hi ha implicats una munioacute drsquoindividus que han contribuiumlt amb el seu esforccedil al progreacutes de la ciegravencia que hi han pensat un nombre infinit drsquohores i que els uns han fet i refet el que drsquoaltres hi aportaven Hi ha un pogravesit de vida humana que mena sens dubte a tota classe de mostres drsquoagraiumlment El segon fenomen es troba relligat a aquest la incomparablement meacutes dificultat de fer filosofia de la ciegravencia cap altra branca mostra haver de repensar tan pogravesit intelmiddotlectual humagrave com aquesta Eacutes meacutes al costat del que srsquoha abastat en nom de la ciegravencia la filosofia de la ciegravencia una ocupacioacute que deu molt al tarannagrave drsquoun individu sembla ridiacutecula si no ilmiddotlusograveriament prepotent I en alguna accepcioacute lrsquoesforccedil no vinculat a una disciplina rigorosa sembla superflu i banal Aquestes meditacions com drsquoaltres drsquoaquest caire passaran mentre lrsquohome aniragrave conreant nous camps drsquoaquesta disciplina sigui la geometria o qualsevol altra branca iquestVal la pena doncs lrsquoesforccedil de comprendre una tal activitat Siacute mentre hi hagi alguacute

8

que es meravelli del compromiacutes de tants i tants eacutessers humans en els diferents sabers i mentre es pregunti com ha estat possible afer que duu a una pregunta final quegrave eacutes lrsquohome

9

I

DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR

Ha drsquohaver-hi alguna manera drsquoanar des de la percepcioacute dels tragravefecs quotidians a lrsquoespai geomegravetric o si meacutes no drsquoencalccedilar el que hi duu amb el ben entegraves que no es pot pretendre que no srsquohagi apregraves a parlar de lrsquoespai i a pensar-lo

1 Hi ha una percepcioacutepensament de lrsquoespai

En efecte lrsquouacutes del mot lsquoespairsquo quan no se surt drsquoun cert agravembit dels usos quotidians dels mots lliura una significacioacute caracteriacutestica en lrsquoocupacioacute intencional que percep lrsquoespai No cal insistir doncs si sersquol percep o sersquol pensa perquegrave no hi ha sembla espai percebut que no sigui ategraves intencionalment i eacutes difiacutecil que un hom srsquoocupi en pensaments drsquoespai al marge que hi hagi un univers perceptiu Quan srsquoafirma que la realitat natural eacutes espacial srsquohi constata en qualsevol cas una manifestacioacute del domini de significacions es pensa aixiacute i es parla aixiacute al marge i tot drsquouna qualsevol representacioacute I enmig de tot aixograve la contemplacioacute dels cels desvetlla profunditats i llunyanies

2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa

Es pot estudiar com es va lliurant lrsquoespai i de dar-ne algunes precisions Un hom agafa un petit elefant drsquoivori a la magrave Si prova de fer-ho amb els ulls tancats hi ha una experiegravencia concreta que es pot anomenar un espai tagravectil fornit de les notes lliurades pels moviments dels dits per la distancia que hi ha entre el potze i els altres dits per la pressioacute sobre la pell per la resistegravencia que hi fa per la duresa etc El que srsquoanomena lrsquoespai tagravectil esdeveacute una experiegravencia uacutenica que engloba allograve que es va assenyalant i drsquoaltres afers perograve prou meacutes organitzats i conjuntats del que una qualevol descripcioacute podria dir-ne En obrir els ulls tot manteacute un aspecte de normalitat la talla drsquoivori segueix oferint un espai tagravectil que ara tambeacute eacutes visual Siacute allograve

10

que srsquoesmenta com a visual eacutes inseparable drsquouna tensioacute visual dels mateixos moviments dels ulls etc per tant de la circumstagravencia que atendre visualment quelcom demana una adaptacioacute Tanmateix aquiacute lrsquoencaix de tot (aspectes tagravectils estrictament visuals motors etc) es fa amb una efectivitat prou feixuga de seguir intelmiddotlectualment Sembla dificil de negar que el tracte amb lrsquoefefantet no pugui reenviar per meacutes vaga que sigui la referegravencia a lrsquoaprenentatge Des que un hom neix apregraven molt a tocar a engrapar a moure el seu cos a veure els afers a bellugar-se de moltes maneres a coordinar visioacute motricitat i afer tagravectil etc Perograve una conducta especiacutefica no reenvia a res i de fet no informa de res meacutes No hi ha un resseguiment drsquoun cas concret que contingui tal qual cap tros drsquohistograveria drsquouna vida

3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes

Fer avinent que hi ha un aspecte espacial no es fa sense intencioacute La talla drsquoivori no esdeveacute espacial perquegrave un hom ho faci notar perograve un tal factor necessita que lrsquoatenguin per a fer-se ressaltar Totes les explicitacions possibles no soacuten meacutes que dedicacions intencionals La mateixa intencioacute de parlar de lrsquoespai remet a molts altres aspectes per exemple lrsquoespai no es diferencia del contingut de la percepcioacute que un hom en teacute de lrsquoelefantet meacutes enllagrave de la modificacioacute intencional que suposa Nrsquoeacutes un altre nom pel fet que tambeacute hi ha coses planes per exemple etc Per tant es pot admetre que lrsquohome sempre sap on eacutes i que apunta un espai per un exercici intencional Es pot admetre aixiacute mateix que lrsquoespai de lrsquoelefant remet a quelcom absolut sense referegravencia a lrsquoaprenentatge Tot i aixograve srsquoha anotat la quantitat drsquoinformacioacute tagravectil motora i visual que srsquohi troba compromesa i que permet de tenir aquest espai concret Quan un hom no rumia no es troba ocupat intencionalment drsquouna manera expliacutecita etc perquegrave estagrave mirant quelcom atenent un afer etc no es manteacute una ocupacioacute intencional per exemple de lrsquoespai drsquoaquest elefantet En aquest sentit es podria dir que una certa mirada perceptiva no seria intencional (una altra mirada ho seria aquella que medita sobre el fet perceptiu la que pondera allograve que es percep etc) Perograve aixograve sembla un

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

7

Presentacioacute

Lrsquoestudi dels principis de la geometria euclidiana i del tarannagrave del raonament que li eacutes propi era una de les fites que perseguia Logravegica llenguatge i matemagravetica obra que ja era una resultant de redaccions anteriors La nova presentacioacute drsquoara no fa meacutes doncs que actualitzar aquell treball en manlleva parts en reordena aixograve o allograve agravedhuc ofereix algun punt de mira potser passat per alt Sobretot el treball es mostra molt meacutes segur perquegrave els anys han permegraves de repassar lrsquohoritzoacute on srsquoha de colmiddotlocar un escrit com aquest i perquegrave a poc a poc sembla que es podran anar aconseguint els propogravesits dels punts de patida drsquoun estil de pensament amb tota la provisionalitat i la fragilitat que es vulgui En efecte les disciplines matemagravetiques mereixen que se les considerin un dels exponents privilegiats drsquoallograve que es pot fer Car poques coses deuen provocar tanta admiracioacute com lrsquoingent treball que ha ocasionat el descabdellament paulatiacute de les diferents branques el seu arrodoniment i la construccioacute drsquoun edifici amb un ordre sorprenentment ben trobat La qual cosa provoca que un hom srsquoadoni de dos fenogravemens rellevants el primer la circumstagravencia que hi ha implicats una munioacute drsquoindividus que han contribuiumlt amb el seu esforccedil al progreacutes de la ciegravencia que hi han pensat un nombre infinit drsquohores i que els uns han fet i refet el que drsquoaltres hi aportaven Hi ha un pogravesit de vida humana que mena sens dubte a tota classe de mostres drsquoagraiumlment El segon fenomen es troba relligat a aquest la incomparablement meacutes dificultat de fer filosofia de la ciegravencia cap altra branca mostra haver de repensar tan pogravesit intelmiddotlectual humagrave com aquesta Eacutes meacutes al costat del que srsquoha abastat en nom de la ciegravencia la filosofia de la ciegravencia una ocupacioacute que deu molt al tarannagrave drsquoun individu sembla ridiacutecula si no ilmiddotlusograveriament prepotent I en alguna accepcioacute lrsquoesforccedil no vinculat a una disciplina rigorosa sembla superflu i banal Aquestes meditacions com drsquoaltres drsquoaquest caire passaran mentre lrsquohome aniragrave conreant nous camps drsquoaquesta disciplina sigui la geometria o qualsevol altra branca iquestVal la pena doncs lrsquoesforccedil de comprendre una tal activitat Siacute mentre hi hagi alguacute

8

que es meravelli del compromiacutes de tants i tants eacutessers humans en els diferents sabers i mentre es pregunti com ha estat possible afer que duu a una pregunta final quegrave eacutes lrsquohome

9

I

DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR

Ha drsquohaver-hi alguna manera drsquoanar des de la percepcioacute dels tragravefecs quotidians a lrsquoespai geomegravetric o si meacutes no drsquoencalccedilar el que hi duu amb el ben entegraves que no es pot pretendre que no srsquohagi apregraves a parlar de lrsquoespai i a pensar-lo

1 Hi ha una percepcioacutepensament de lrsquoespai

En efecte lrsquouacutes del mot lsquoespairsquo quan no se surt drsquoun cert agravembit dels usos quotidians dels mots lliura una significacioacute caracteriacutestica en lrsquoocupacioacute intencional que percep lrsquoespai No cal insistir doncs si sersquol percep o sersquol pensa perquegrave no hi ha sembla espai percebut que no sigui ategraves intencionalment i eacutes difiacutecil que un hom srsquoocupi en pensaments drsquoespai al marge que hi hagi un univers perceptiu Quan srsquoafirma que la realitat natural eacutes espacial srsquohi constata en qualsevol cas una manifestacioacute del domini de significacions es pensa aixiacute i es parla aixiacute al marge i tot drsquouna qualsevol representacioacute I enmig de tot aixograve la contemplacioacute dels cels desvetlla profunditats i llunyanies

2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa

Es pot estudiar com es va lliurant lrsquoespai i de dar-ne algunes precisions Un hom agafa un petit elefant drsquoivori a la magrave Si prova de fer-ho amb els ulls tancats hi ha una experiegravencia concreta que es pot anomenar un espai tagravectil fornit de les notes lliurades pels moviments dels dits per la distancia que hi ha entre el potze i els altres dits per la pressioacute sobre la pell per la resistegravencia que hi fa per la duresa etc El que srsquoanomena lrsquoespai tagravectil esdeveacute una experiegravencia uacutenica que engloba allograve que es va assenyalant i drsquoaltres afers perograve prou meacutes organitzats i conjuntats del que una qualevol descripcioacute podria dir-ne En obrir els ulls tot manteacute un aspecte de normalitat la talla drsquoivori segueix oferint un espai tagravectil que ara tambeacute eacutes visual Siacute allograve

10

que srsquoesmenta com a visual eacutes inseparable drsquouna tensioacute visual dels mateixos moviments dels ulls etc per tant de la circumstagravencia que atendre visualment quelcom demana una adaptacioacute Tanmateix aquiacute lrsquoencaix de tot (aspectes tagravectils estrictament visuals motors etc) es fa amb una efectivitat prou feixuga de seguir intelmiddotlectualment Sembla dificil de negar que el tracte amb lrsquoefefantet no pugui reenviar per meacutes vaga que sigui la referegravencia a lrsquoaprenentatge Des que un hom neix apregraven molt a tocar a engrapar a moure el seu cos a veure els afers a bellugar-se de moltes maneres a coordinar visioacute motricitat i afer tagravectil etc Perograve una conducta especiacutefica no reenvia a res i de fet no informa de res meacutes No hi ha un resseguiment drsquoun cas concret que contingui tal qual cap tros drsquohistograveria drsquouna vida

3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes

Fer avinent que hi ha un aspecte espacial no es fa sense intencioacute La talla drsquoivori no esdeveacute espacial perquegrave un hom ho faci notar perograve un tal factor necessita que lrsquoatenguin per a fer-se ressaltar Totes les explicitacions possibles no soacuten meacutes que dedicacions intencionals La mateixa intencioacute de parlar de lrsquoespai remet a molts altres aspectes per exemple lrsquoespai no es diferencia del contingut de la percepcioacute que un hom en teacute de lrsquoelefantet meacutes enllagrave de la modificacioacute intencional que suposa Nrsquoeacutes un altre nom pel fet que tambeacute hi ha coses planes per exemple etc Per tant es pot admetre que lrsquohome sempre sap on eacutes i que apunta un espai per un exercici intencional Es pot admetre aixiacute mateix que lrsquoespai de lrsquoelefant remet a quelcom absolut sense referegravencia a lrsquoaprenentatge Tot i aixograve srsquoha anotat la quantitat drsquoinformacioacute tagravectil motora i visual que srsquohi troba compromesa i que permet de tenir aquest espai concret Quan un hom no rumia no es troba ocupat intencionalment drsquouna manera expliacutecita etc perquegrave estagrave mirant quelcom atenent un afer etc no es manteacute una ocupacioacute intencional per exemple de lrsquoespai drsquoaquest elefantet En aquest sentit es podria dir que una certa mirada perceptiva no seria intencional (una altra mirada ho seria aquella que medita sobre el fet perceptiu la que pondera allograve que es percep etc) Perograve aixograve sembla un

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

8

que es meravelli del compromiacutes de tants i tants eacutessers humans en els diferents sabers i mentre es pregunti com ha estat possible afer que duu a una pregunta final quegrave eacutes lrsquohome

9

I

DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR

Ha drsquohaver-hi alguna manera drsquoanar des de la percepcioacute dels tragravefecs quotidians a lrsquoespai geomegravetric o si meacutes no drsquoencalccedilar el que hi duu amb el ben entegraves que no es pot pretendre que no srsquohagi apregraves a parlar de lrsquoespai i a pensar-lo

1 Hi ha una percepcioacutepensament de lrsquoespai

En efecte lrsquouacutes del mot lsquoespairsquo quan no se surt drsquoun cert agravembit dels usos quotidians dels mots lliura una significacioacute caracteriacutestica en lrsquoocupacioacute intencional que percep lrsquoespai No cal insistir doncs si sersquol percep o sersquol pensa perquegrave no hi ha sembla espai percebut que no sigui ategraves intencionalment i eacutes difiacutecil que un hom srsquoocupi en pensaments drsquoespai al marge que hi hagi un univers perceptiu Quan srsquoafirma que la realitat natural eacutes espacial srsquohi constata en qualsevol cas una manifestacioacute del domini de significacions es pensa aixiacute i es parla aixiacute al marge i tot drsquouna qualsevol representacioacute I enmig de tot aixograve la contemplacioacute dels cels desvetlla profunditats i llunyanies

2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa

Es pot estudiar com es va lliurant lrsquoespai i de dar-ne algunes precisions Un hom agafa un petit elefant drsquoivori a la magrave Si prova de fer-ho amb els ulls tancats hi ha una experiegravencia concreta que es pot anomenar un espai tagravectil fornit de les notes lliurades pels moviments dels dits per la distancia que hi ha entre el potze i els altres dits per la pressioacute sobre la pell per la resistegravencia que hi fa per la duresa etc El que srsquoanomena lrsquoespai tagravectil esdeveacute una experiegravencia uacutenica que engloba allograve que es va assenyalant i drsquoaltres afers perograve prou meacutes organitzats i conjuntats del que una qualevol descripcioacute podria dir-ne En obrir els ulls tot manteacute un aspecte de normalitat la talla drsquoivori segueix oferint un espai tagravectil que ara tambeacute eacutes visual Siacute allograve

10

que srsquoesmenta com a visual eacutes inseparable drsquouna tensioacute visual dels mateixos moviments dels ulls etc per tant de la circumstagravencia que atendre visualment quelcom demana una adaptacioacute Tanmateix aquiacute lrsquoencaix de tot (aspectes tagravectils estrictament visuals motors etc) es fa amb una efectivitat prou feixuga de seguir intelmiddotlectualment Sembla dificil de negar que el tracte amb lrsquoefefantet no pugui reenviar per meacutes vaga que sigui la referegravencia a lrsquoaprenentatge Des que un hom neix apregraven molt a tocar a engrapar a moure el seu cos a veure els afers a bellugar-se de moltes maneres a coordinar visioacute motricitat i afer tagravectil etc Perograve una conducta especiacutefica no reenvia a res i de fet no informa de res meacutes No hi ha un resseguiment drsquoun cas concret que contingui tal qual cap tros drsquohistograveria drsquouna vida

3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes

Fer avinent que hi ha un aspecte espacial no es fa sense intencioacute La talla drsquoivori no esdeveacute espacial perquegrave un hom ho faci notar perograve un tal factor necessita que lrsquoatenguin per a fer-se ressaltar Totes les explicitacions possibles no soacuten meacutes que dedicacions intencionals La mateixa intencioacute de parlar de lrsquoespai remet a molts altres aspectes per exemple lrsquoespai no es diferencia del contingut de la percepcioacute que un hom en teacute de lrsquoelefantet meacutes enllagrave de la modificacioacute intencional que suposa Nrsquoeacutes un altre nom pel fet que tambeacute hi ha coses planes per exemple etc Per tant es pot admetre que lrsquohome sempre sap on eacutes i que apunta un espai per un exercici intencional Es pot admetre aixiacute mateix que lrsquoespai de lrsquoelefant remet a quelcom absolut sense referegravencia a lrsquoaprenentatge Tot i aixograve srsquoha anotat la quantitat drsquoinformacioacute tagravectil motora i visual que srsquohi troba compromesa i que permet de tenir aquest espai concret Quan un hom no rumia no es troba ocupat intencionalment drsquouna manera expliacutecita etc perquegrave estagrave mirant quelcom atenent un afer etc no es manteacute una ocupacioacute intencional per exemple de lrsquoespai drsquoaquest elefantet En aquest sentit es podria dir que una certa mirada perceptiva no seria intencional (una altra mirada ho seria aquella que medita sobre el fet perceptiu la que pondera allograve que es percep etc) Perograve aixograve sembla un

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

9

I

DE LrsquoESPAI QUOTIDIAgrave A LrsquoESPAI PUR

Ha drsquohaver-hi alguna manera drsquoanar des de la percepcioacute dels tragravefecs quotidians a lrsquoespai geomegravetric o si meacutes no drsquoencalccedilar el que hi duu amb el ben entegraves que no es pot pretendre que no srsquohagi apregraves a parlar de lrsquoespai i a pensar-lo

1 Hi ha una percepcioacutepensament de lrsquoespai

En efecte lrsquouacutes del mot lsquoespairsquo quan no se surt drsquoun cert agravembit dels usos quotidians dels mots lliura una significacioacute caracteriacutestica en lrsquoocupacioacute intencional que percep lrsquoespai No cal insistir doncs si sersquol percep o sersquol pensa perquegrave no hi ha sembla espai percebut que no sigui ategraves intencionalment i eacutes difiacutecil que un hom srsquoocupi en pensaments drsquoespai al marge que hi hagi un univers perceptiu Quan srsquoafirma que la realitat natural eacutes espacial srsquohi constata en qualsevol cas una manifestacioacute del domini de significacions es pensa aixiacute i es parla aixiacute al marge i tot drsquouna qualsevol representacioacute I enmig de tot aixograve la contemplacioacute dels cels desvetlla profunditats i llunyanies

2 Lrsquoespai de quelcom que srsquoagafa

Es pot estudiar com es va lliurant lrsquoespai i de dar-ne algunes precisions Un hom agafa un petit elefant drsquoivori a la magrave Si prova de fer-ho amb els ulls tancats hi ha una experiegravencia concreta que es pot anomenar un espai tagravectil fornit de les notes lliurades pels moviments dels dits per la distancia que hi ha entre el potze i els altres dits per la pressioacute sobre la pell per la resistegravencia que hi fa per la duresa etc El que srsquoanomena lrsquoespai tagravectil esdeveacute una experiegravencia uacutenica que engloba allograve que es va assenyalant i drsquoaltres afers perograve prou meacutes organitzats i conjuntats del que una qualevol descripcioacute podria dir-ne En obrir els ulls tot manteacute un aspecte de normalitat la talla drsquoivori segueix oferint un espai tagravectil que ara tambeacute eacutes visual Siacute allograve

10

que srsquoesmenta com a visual eacutes inseparable drsquouna tensioacute visual dels mateixos moviments dels ulls etc per tant de la circumstagravencia que atendre visualment quelcom demana una adaptacioacute Tanmateix aquiacute lrsquoencaix de tot (aspectes tagravectils estrictament visuals motors etc) es fa amb una efectivitat prou feixuga de seguir intelmiddotlectualment Sembla dificil de negar que el tracte amb lrsquoefefantet no pugui reenviar per meacutes vaga que sigui la referegravencia a lrsquoaprenentatge Des que un hom neix apregraven molt a tocar a engrapar a moure el seu cos a veure els afers a bellugar-se de moltes maneres a coordinar visioacute motricitat i afer tagravectil etc Perograve una conducta especiacutefica no reenvia a res i de fet no informa de res meacutes No hi ha un resseguiment drsquoun cas concret que contingui tal qual cap tros drsquohistograveria drsquouna vida

3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes

Fer avinent que hi ha un aspecte espacial no es fa sense intencioacute La talla drsquoivori no esdeveacute espacial perquegrave un hom ho faci notar perograve un tal factor necessita que lrsquoatenguin per a fer-se ressaltar Totes les explicitacions possibles no soacuten meacutes que dedicacions intencionals La mateixa intencioacute de parlar de lrsquoespai remet a molts altres aspectes per exemple lrsquoespai no es diferencia del contingut de la percepcioacute que un hom en teacute de lrsquoelefantet meacutes enllagrave de la modificacioacute intencional que suposa Nrsquoeacutes un altre nom pel fet que tambeacute hi ha coses planes per exemple etc Per tant es pot admetre que lrsquohome sempre sap on eacutes i que apunta un espai per un exercici intencional Es pot admetre aixiacute mateix que lrsquoespai de lrsquoelefant remet a quelcom absolut sense referegravencia a lrsquoaprenentatge Tot i aixograve srsquoha anotat la quantitat drsquoinformacioacute tagravectil motora i visual que srsquohi troba compromesa i que permet de tenir aquest espai concret Quan un hom no rumia no es troba ocupat intencionalment drsquouna manera expliacutecita etc perquegrave estagrave mirant quelcom atenent un afer etc no es manteacute una ocupacioacute intencional per exemple de lrsquoespai drsquoaquest elefantet En aquest sentit es podria dir que una certa mirada perceptiva no seria intencional (una altra mirada ho seria aquella que medita sobre el fet perceptiu la que pondera allograve que es percep etc) Perograve aixograve sembla un

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

10

que srsquoesmenta com a visual eacutes inseparable drsquouna tensioacute visual dels mateixos moviments dels ulls etc per tant de la circumstagravencia que atendre visualment quelcom demana una adaptacioacute Tanmateix aquiacute lrsquoencaix de tot (aspectes tagravectils estrictament visuals motors etc) es fa amb una efectivitat prou feixuga de seguir intelmiddotlectualment Sembla dificil de negar que el tracte amb lrsquoefefantet no pugui reenviar per meacutes vaga que sigui la referegravencia a lrsquoaprenentatge Des que un hom neix apregraven molt a tocar a engrapar a moure el seu cos a veure els afers a bellugar-se de moltes maneres a coordinar visioacute motricitat i afer tagravectil etc Perograve una conducta especiacutefica no reenvia a res i de fet no informa de res meacutes No hi ha un resseguiment drsquoun cas concret que contingui tal qual cap tros drsquohistograveria drsquouna vida

3 La intencioacute en fa ressaltar els aspectes

Fer avinent que hi ha un aspecte espacial no es fa sense intencioacute La talla drsquoivori no esdeveacute espacial perquegrave un hom ho faci notar perograve un tal factor necessita que lrsquoatenguin per a fer-se ressaltar Totes les explicitacions possibles no soacuten meacutes que dedicacions intencionals La mateixa intencioacute de parlar de lrsquoespai remet a molts altres aspectes per exemple lrsquoespai no es diferencia del contingut de la percepcioacute que un hom en teacute de lrsquoelefantet meacutes enllagrave de la modificacioacute intencional que suposa Nrsquoeacutes un altre nom pel fet que tambeacute hi ha coses planes per exemple etc Per tant es pot admetre que lrsquohome sempre sap on eacutes i que apunta un espai per un exercici intencional Es pot admetre aixiacute mateix que lrsquoespai de lrsquoelefant remet a quelcom absolut sense referegravencia a lrsquoaprenentatge Tot i aixograve srsquoha anotat la quantitat drsquoinformacioacute tagravectil motora i visual que srsquohi troba compromesa i que permet de tenir aquest espai concret Quan un hom no rumia no es troba ocupat intencionalment drsquouna manera expliacutecita etc perquegrave estagrave mirant quelcom atenent un afer etc no es manteacute una ocupacioacute intencional per exemple de lrsquoespai drsquoaquest elefantet En aquest sentit es podria dir que una certa mirada perceptiva no seria intencional (una altra mirada ho seria aquella que medita sobre el fet perceptiu la que pondera allograve que es percep etc) Perograve aixograve sembla un

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

11

engany un hom no deixaria mai els aspecte intencionals malgrat que en uns llocs srsquohi trobaria impliacutecitament en drsquoaltres expliacutecitament En efecte no srsquoatendria quelcom sense fer drsquoaixograve una tasca per a lrsquoocupacioacute que en conjunt sap quegrave fa i on eacutes

4 Lrsquoespai entre les coses

La magrave que sapropa cap a lrsquoelefantet drsquoivori pot determinar molt versemblantment un espai tagravectil i motor ndash que es diferencia de lespai tagravectil i motor de lrsquoelefantet Endemeacutes hi ha arreu un espai visual lrsquoelefant en teacute en la seva compacticitat i solidesa perograve es ressegueix lespai visual per allograve que hi ha de visual i de motor hi ha el pas de lrsquoelefant a la taula o de lrsquoelefant a la paret daquiacute a la finestra al carrer al cel entre el cos propi i lrsquoelefant la relacioacute despai es va determinant cabdalment per les coses que hi ha enmig com la relacioacute despai entre la finestra i el carrer es determina sobretot pels obstacles que hi ha ndash per aixograve el cel estagrave en un lloc bastant indeterminat (per meacutes que hi apareixen les aus el fums els nuacutevols lhoritzoacute etc que hi orienten) indubtablement lespai teacute moltes dimensions des del cos propi perograve se les ha de resseguir quan srsquoafirma que no hi ha res al costat de lrsquoelefant aquest res eacutes precisament incapacitat de notar-hi quelcom a nivell visual (versemblantment hi resta perograve una indicacioacute motora hi ha un tal espai visual) les quatre parets el sostre i el terra individuen un espai des de la relacioacute que introdueixen ells mateixos Eacutes clar que lespai no sols eacutes quelcom visual una impossibilitat visual no lleva la caracteritzacioacute tagravectil i motora tambeacute es toca lespai se lensuma se lescolta etc i per aixograve lespai teacute dimensions visuals tagravectils i motores i en qualsevol cas es toca sensuma sescolta No existeix duna manera no merament linguumliacutestica un espai buit perquegrave fora la pura indeterminacioacute quelcom que hauria de donar-se sense donar-se 5 Lrsquoespai intern del cos propi Per aixograve mentre que tota la informacioacute tagravectil o la que es rep per les sensacions musculars i articulars estagravetiques i cinemagravetiques sintegren en lexperiegravencia per la qual per exemple srsquoeacutes capaccedil dindividuar un espai

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

12

extern el cos propi extern espacial pot complementar-se amb les sensacions internes cinegravetiques i estagravetiques caracteriacutestiques de cada part del cos (se sap dun espai extern entre daltres motius per aquesta dimensioacute cinegravetica i estagravetica perograve respecte al cos propi extern una gran part daquelles dades soacuten meres sensacions) amb la capacitat tagravectil de cada part del cos (se sap que la cama teacute un espai extern perquegrave se la veu i se la toca perograve laquolespai internraquo de la cama laquolomplenraquo tambeacute les sensacions tagravectils de la cama que no entren pas en la individuacioacute externa de la cama) en un espai corporal que conteacute doncs un laquoespai internraquo que segurament sols es pot apuntar des del cos com un tot extern-intern (per exemple des de lespai de la cama com un tot) minus parlant en conjunt les qualitats tagravectils de les coses externes i degut al seu propi contingut o informen individuades conjuntament amb afers visuals per exemple dafers externs o se les teacute com a mers fets o se les inclou en la individuacioacute del cos intern i quelcom paralmiddotlel caldria dir de les sensacions cinestegravesiques i estagravetiques dels membres No ha destranyar doncs que un hom localitzi unes tals passions quan estagrave disposat a fer-ho en tant que esdeveniments del cos intern per tant en un espai intern (i malgrat que hagi apregraves aquest a partir del conjunt de lespai del cos propi) Es localitzen doncs les sensacions tagravectils musculars gustatives etc es pot gaudir si es vol dun laquoespai internraquo i es diferencien les unes de les altres Al costat seu hi ha tot un material intern prou elements del qual es troben sovint laquoa la seva maneraraquo en lexperiegravencia de cada dia perograve que laquoinformenraquo constantment de laquolinteriorraquo del cos Malgrat que sols lestudi ho permet anotar hi ha tota una gamma sensible passional que un hom eacutes capaccedil de situar amb una certa precisioacute en el conjunt del cos i de classificar dacord amb les diferencies sensibles al costat de les sensacions dels membres hi ha el seguiment possibles del proceacutes digestiu a tot el llarg del seu trajecte els vaivens de lexpiracioacute i de la inspiracioacute i de llurs avatars amb una informacioacute conjunta prou especiacutefica els batecs del cor llurs alteracions de ritme un hom srsquoadona dels ogravergans sexuals eacutes capaccedil dapercebre el pols en les venes etc

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

13

6 On soacuten espacialment les coses

Siacute eacutes clar srsquoha hagut drsquoaprendre el domini del cos (sense oblidar doncs els moviments dels ulls) de saber on srsquoeacutes perograve tot aixograve ja estagrave integrat en un saber que no sersquon deriva meacutes que com a precedent Drsquoaquiacute que un hom sagravepiga aixiacute mateix la distagravencia que el separa de la cartolina blava impliacutecitament quan no en fa quumlestioacute expliacutecitament quan hi para esment i sap de lrsquoespai que els separa etc Lrsquoafirmacioacute que tot aixograve soacuten impressions mirades subjectives etc es fa xerrameca quan impedeix drsquoassumir lrsquoobjectivitat de la informacioacute la circumstagravencia que no es tracta drsquouna recreacioacute personal com si les noves perceptives fossin infundades si srsquoexplicaria lrsquooriginalitat del saber espacial a partir de la coordinacioacute visual i motora al capdavall una resultant comportamental de cap de les maneres no srsquoha de bandejar la realitat de la distagravencia on eacutes la cartolina blava lrsquoespai que hi ha que eacutes aquiacute existent Alguacute diragrave que assegut a la seva taula sols pot incloure en el seu mirar a la cartolina blava la tensioacute dels seus ulls i rostre el saber del conjunt estagravetic del seu cos i de les especiacutefiques alteracions del seus membres aquiacute estant que srsquoescandalitzaragrave soacuten dades drsquouna saviesa corporal que no sembla pas que pugui distanciar del seu cos quan les admet a tall de dades psiacutequiques Perograve permetirsquos que es digui que pot haver-hi seriosos dubtes que les coses vagin tal i com es preteacuten quan es mira la cartolina blava el terra de la cambra els estris que hi teacute etc un hom sap on soacuten les coses i on ocorren els esdeveniments perquegrave sap dirigir la mirada i enfocar aixograve o allograve Lrsquoobjectivitat i la naturalitat de la informacioacute perceptiva de tot aixograve la circumstagravencia que aquesta eacutes lrsquouacutenica manera de donar-se distagravencies i espais de segur que vindrien corroborades des de lrsquoestudi fiacutesic i neurofisiologravegic on srsquohi palesaria lrsquoadaptacioacute de lrsquoull i del mirar de lrsquoorganisme viu cap a la llum reflectida de les diferents coses i esdeveniments a diverses distagravencies de tal manera que no hi hauria cap arbitrarietat 7 Lrsquoobjectivitat de lrsquoespai Insisteixirsquos una mica en tot aixograve Un hom passeja pel carrer a poc a poc va deixant enrera trams de voravia els seus arbres els vianants que

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

14

xerren en grups mentre se li van apropant drsquoaltres aparadors i porteries el cel les faccedilanes de les cases del fons la calccedilada etc van fent de marc que es modifica aquiacute un poc alliacute gens i imperceptiblement Pensa en la complicacioacute general que ha drsquohaver-hi entre el seu cos i lrsquoentorn perograve aixiacute mateix entre les diferents parts del seu cos medita sobre la influegravencia de la gravitacioacute en tot aixograve que el seu cos pesa i srsquoestintola damunt dels peus srsquoadona de la interrelacioacute entre els moviments dels seus ulls i la seva marxa etc Se li imposa arreu la realitat dels edificis dels altres homes del mobiliari urbagrave etc aquiacute no sap imaginar-se de cap de les maneres que hagi de comprendre les certeses presents per drsquoaltres experiegravencies el camiacute que estagrave fent i que li permet parlar i tot drsquoespai (hi ha un espai) li estagrave lliurant una informacioacute absoluta on no sap veure cap rastre drsquoun passat en lrsquoaccepcioacute que el sentit que estigui tenint ara hagi de remetre a moltes experiegravencies Per conseguumlent tota lrsquoexploracioacute fiacutesica i neurofisiologravegica que hi pugui haver aquiacute lrsquoenfocament ocular la mobilitat dels globus dels ulls el sistema nervioacutes que li informa del moviment dels membres de lrsquoestat del seu cos els nervis que regeixen lrsquoestat dels muacutesculs el sistema de lrsquoequilibri corporal i de la correccioacute de posicions les interdependegravencies fiacutesiques entre lrsquoentorn i el cos del tall de la gravitacioacute el contacte de lrsquoaire amb la pell etc tot aixograve que es pot estimar (quan no srsquooblida que sols teacute sentit pel patroacute de lrsquoexperiegravencia perceptiva progravepia) com el correlat fiacutesic i neurofisiologravegic de lrsquoesdeveniment perceptiu no faria sinoacute confirmar a la seva manera la interrelacioacute entre cos i medi i que eacutes la manera com hi ha consciegravencia drsquoun medi i nrsquohi ha consciegravencia humana Drsquoaquiacute que la distagravencia on es troben les coses i lrsquoespai en conjunt siguin afers objectius en tant que eacutes la manera drsquoobjectivar-se drsquoafers que soacuten opacs un perllongament de la influegravencia drsquoaquests afers en eacutessers vius i racionals i que eacutes clar lrsquoentorn fiacutesic no tingui les objectivitats que hi percep un eacutesser viu i racional quan teoritza a partir del moacuten natural per a assajar de comprendre el moacuten al marge de ser percebut per un eacutesser viu i racional minus malgrat que sols ho pugui fer amb els paragravemetres que ha apregraves del moacuten natural quan admet que no nrsquohi ha pas cap meacutes No es nega que srsquohagi hagut drsquoaprendre des de nens a percebre malgrat que es bandeja drsquoassumir que la resultant de tot aixograve contingui ni poc ni molt cap referegravencia al passat talment com la conduccioacute encertada

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

15

drsquoun cotxe no conteacute cap dels errors dels inicis en el domini del volant Tampoc no es pot rebutjar que arreu hi ha una familiaritat perceptiva per la qual un hom sap quegrave toca qui troba quegrave fa etc perograve aquiacute no hi ha res que trenqui lrsquoabsolutesa del proceacutes i la remissioacute a condicions de memograveria es fa des drsquoaquiacute i motivada per aixograve Eacutes meacutes un hom podria considerar que les bases neurofisiologravegiques que explicarien la memograveria no farien meacutes que reblar la muacutetua implicacioacute entre el cos i lrsquoentorn per tant que el moacuten familiar li eacutes aixiacute perquegrave no eacutes pas la primera vegada que el veu i que el seu cos conserva quelcom codificat de la muacutetua implicacioacute en les plurals experiegravencies En general cal dir que les mil motivacions explicatives que hi ha de lrsquoexperiegravencia perceptiva no invaliden ni poc ni molt llur informacioacute absoluta la naturalitat de les dades la realitat de les coses i els esdeveniments etc i fet i fet les explicacions fiacutesiques i neurofisiologravegiques tambeacute srsquohaurien drsquoentendre com a explicacions motivades a partir de lrsquoexperiegravencia perceptiva etc 8 Lrsquoespai com a obra de lrsquoesperit Lrsquoespai no eacutes certament una forma de la sensibilitat o una qualsevol altre requisit unitari drsquouna multiplicitat Totes les maneres que srsquohan dat drsquouna defensa de lrsquoespai a tall de quelcom que es deu al cap i a la fi a les forces de lrsquoesperit humagrave ho fan com a correlat drsquoun altre afer mal resolt lrsquoexistegravencia drsquouna pluralitat elemental les sensacions per exemple menesteroses drsquoestructures unitagraveries La desfiguracioacute del que soacuten les sensacions que es troben meacutes aviat com a resultat drsquouna anagravelisi fa que esdevinguin sense ser portadores de la realitat de les coses fiacutesiques que siguin mers fenogravemens sense fons La sensacioacute ja no diu res del que deu el degravebit pel qual un hom srsquoadona que no srsquoinventa res desapareix per lrsquoart drsquouna desatencioacute Per tant o hi ha un arronsament drsquoespatlles o es regla lrsquoobjecte a partir del que hi exigeix la raoacute Sembla que fou Merleau-Ponty que digueacute que les filosofies del concepte i de la constitucioacute formal de lrsquoobjecte necessiten les tesis dels seus oponents quan fan de les sensacions meres pluralitats fenomegraveniques

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

16

Ocorre que no sembla haver-hi experiegravencia perceptiva que no reflecteixi alhora un degravebit (hi ha una realitat que se sap per aquella experiegravencia mateixa) i que no sigui intencional per conseguumlent amb pensament expliacutecit o impliacutecit Les filosofies de lrsquoesperit han ategraves malament la percepcioacute i per aixograve els ha semblant que calia una conceptualitzacioacute del que eacutes immediat cosa que es complementa amb la circumstagravencia drsquoaplatanar la percepcioacute i de fer-la una entitat rara un afer imaginat Un hom no deixa de meravellar-se que srsquohagi trasbalsat lrsquoespai real i la seva objectivitat fins al punt de dominar-lo a partir drsquouna condicioacute de la sensibiliat o de la raoacute tant se val Car sembla gairebeacute impossible el bandeig de paisatges i llum de mars i vents drsquoallograve que eacutes el que deu gaudir de la meacutes gran certesa per a lrsquohome a favor drsquouna quimegraverica laquoveritat objectivaraquo malgrat que un hom pugui fer valer la seva comoditat (eacutes a la magrave) i la seva eficagravecia (regla tota experiegravencia possible)1 9 Lrsquoespai natural de lrsquohome Cal retenir que lrsquoespai concret no sembla res fora drsquouna experiegravencia que pot ser multifocal (a traveacutes del tacte del moviment de la visioacute o del que sigui) polimograverfica i poliacutecroma i que la intencioacute explicita Srsquoadmet que el cos propi forma part drsquoaquestat realitat natural que hi teacute doncs un espai Drsquoaquiacute que no sigui estrany que tot allograve que fa referegravencia a on soacuten les coses srsquohagi drsquoincardinar en un context O que se sagravepiga on eacutes quelcom que es veu i que no eacutes a la magrave malgrat que les condicions de saber-ho no srsquohi trobin en un tal saber (es remet a lrsquoaprenentatge a les moltes interrelacions visuals tagravectils motores amb les coses a la coordinacioacute etc) Ara beacute la multifocalitat de lrsquoespai a traveacutes dels sentits i dels moviments la polimorficitat per allograve divers que troba agravedhuc la policromia de colors de diversitat de tactes etc no han de llevar que eacutes precisament aixiacute que hi ha un espai natural 1 La geometria no podria corroborar al seu nivell lrsquoexistegravencia transcendental drsquoun espai i una intrepretacioacute meacutes encertada de la validesa drsquoaquella ciegravencia no permetria de reblar afers aprioriacutesticsTanmateix sembla preferible ara de no entrar-hi meacutes

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

17

Lrsquoespai natural eacutes una experiegravencia holiacutestica un tot bigarrat bastit de multiplicitats eacutes lrsquoespai que es veu de molts colors que es toca que rep lrsquoalegrave que mostra les coses que les deixa resseguir quan un hom tanca els ulls etc No hi ha un espai natural fora drsquoaquet espai lrsquohome troba aquiacute la seva realitat Tanmateix quegrave vol dir una realitat anomenada espaiiquestPer ventura cal identificar espai i cosa Quegrave eacutes al cap i a la fi lrsquoespai Versemblantment foacutera molt meacutes encertat drsquoidentificar espai i realitat natural de tal manera que un hom hagueacutes de concloure que hi ha espai natural farcit de multiplicitats de tota mena que tambeacute srsquoanomena natura o cosmos o univers o el que sigui Ocorre que es doacutena la circumstagravencia que lrsquounivers es lliura precisament tal i com ho fa Tanmateix un hom lleva de lrsquounivers el que eacutes tal qual per retrotreure-li una distorcioacute la que fa de lrsquoespai preferent lrsquoespai geomegravetric (una simplificacioacute com es veuragrave meacutes avall) i llavors lrsquounivers ja no eacutes el seu espai Tot i aixograve lrsquoespai natural lrsquounivers teacute totes les prerrogatives eacutes el lloc de tots els aprenentatges i derivacions Lrsquoespai natural eacutes doncs el mateix que la realitat (natural) que lrsquounivers malgrat les intencions diverses a lrsquohora de dir-ho car es parla de realitat (natural) perquegrave no eacutes res imaginari drsquounivers perquegrave fa una sola cosa etc Per quegrave llavors es parla drsquoespai natural Versemblantment per lrsquoexperiegravencia holiacutestica que hi ha de la natura dins de la qual tenen lloc uns qualssevol exercicis motrius exercicis que la reforcen en el que eacutes Eacutes a dir per lrsquoexperiegravencia per la qual hi ha paisatges i per la qual un hom abraccedila coses o es capbussa dins de lrsquoaigua del mar per la qual el capvespre srsquoilmiddotlumina amb infinits colors per la qual un hom srsquoorienta en la foscor o segueix un perfum etc Lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai eacutes un fet primer aquell pel qual hi ha realitat que es diu espacial per tot el que possibilita i alhora el reforccedila Drsquoaquiacute que es necessitin molts mots perquegrave la intencioacute vol expressar quelcom de la mateixa experiegravencia I lrsquoesment drsquoaquesta experiegravencia del que hi ha amb el tiacutetol drsquolaquoespairaquo deu fer que aquest tiacutetol sigui un dels meacutes difiacutecils drsquoexplicar perquegrave es teacute la intencioacute drsquoexplicitar quelcom intern del que hi ha aquiacute i que no srsquooposa a res meacutes del seu nivell

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

18

Car no hi hauria res que no fos espacial Un qualsevol pensament provindria del moacuten i es descabdellaria en el moacuten i ahora ocorreria que el pensament podria pensar sense una intencioacute expliacutecita de pensar el moacuten eacutes a dir foacutera capaccedil de mantenir una objectivitat boirosament referida a les altres coses En aquest sentit lrsquoespacialitat srsquooposaria relativament (i mai no exclusivament) al pensament perquegrave en efecte un hom no srsquoabocaria constantment a la natura laquoes retrotrauriaraquo a les infinites formes de pensar Per aixograve quegrave eacutes lrsquoespai demana en el fons que es justifiqui un principi lrsquounivers no pot ser definit la realitat (natural) no eacutes deduiumlda lrsquoespai natural no eacutes quelcom a trobar aquiacute o allagrave Quegrave eacutes lrsquoespai ho revela lrsquoexperiegravencia que obre els ulls al cosmos que abraccedila lrsquoaire que prem fort el peu sobre el terra etc lrsquoexperiegravencia del que hi ha

10 No hi ha un espai antropologravegic

Progravepiament parlant no hi ha cap espai antropologravegic a distingir drsquoun espai natural Lrsquoespai que es troba a magrave no revela tant afers distingibles per una caracteriacutestica rellevant com aspectes circumstancials drsquoun cos que es troba entre drsquoaltres cossos i coses Drsquouna manera o drsquouna altra tot lrsquoespai concret que es percep passa per les peripegravecies drsquoun cos que es mou que veu que toca i que de vegades no pot fer meacutes que rumiar la distagravencia que mai no ha recorregut etc La peculiaritat drsquoun espai antropologravegic diferent del natural comuacute proveacute de lrsquoassumpcioacute dels aspectes tagravectils i motors especialment perograve potser tambeacute els visuals i tot quan un hom en fa ocupacions esmussades de tal manera que srsquoentreteacute exageradament en els elements que farien de lrsquoespai natural un espai viscut que manteacute una provisionalitat de lrsquoocupacioacute En drsquoaltres paraules aquests espais de la vivegravencia i de la significacioacute esdevenen recreacions a partir drsquoalgun tipus de reduccioacute drsquoἐποχή de lrsquoexperimentacioacute drsquoalgun dubte del manteniment drsquouna quumlestioacute oberta drsquouna interrogacioacute mentre un hom estima errograveniament que des drsquoalguns drsquoaquests estats es pot arribar al de la consciegravencia no torbada per aixograve

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

19

11 Un espai mer pensament

Lrsquoesment de lrsquoespai natural comporta srsquoha observat meacutes amunt una intencioacute Aquesta srsquoocupa aquiacute intencionalment de quelcom concret (aquesta talla drsquoivori) lrsquoespai fiacutesic eacutes multiforme La intencioacute ocupada per un espai perograve eacutes capaccedil de pensar-lo al marge i tot de quelcom concret eacutes a dir srsquoocupa del mer espai al marge drsquouna qualsevol concrecioacute Aquest espai pensa lrsquoespai natural en lrsquoaccepcioacute que la significacioacute de quegrave disposa no teacute sentit al marge de lrsquoespai natural precisament perquegrave srsquoocupa de quelcom que en principi no cal suposar aliegrave a la intencioacute per la qual hi ha aquell espai natural En drsquoaltres paraules lrsquoespai com a mer espai fa respecte de lrsquoespai natural el que laquolrsquohomeraquo fa respecte dels homes amb carn i ossos Eacutes una generalitzacioacute que per tant no gaudeix de cap dels trets pels quals hi ha un espai natural Aquell espai eacutes mer pensament Precisament aquesta direccioacute dels afers permet doncs de copsar un espai sense cap concrecioacute de meditar lrsquoespai com a mer espai espai en el sentit que no es concretitza en res (i tambeacute ho fa en tot) i sersquol pot pensar com es vulgui i amb els trets que li siguin adients o incloure-hi tot allograve amb quegrave no sigui incompatible Per exemple permet de titllar-lo de pur perquegrave no es troba caracteritzat per cap tret que reveli un afer qualitatiu o natural permet tractar-lo drsquoun espai ideal perquegrave no teacute existegravencia fora del pensament es pot avaluar drsquoabstracte quan sersquol pensa al marge de lrsquoespai natural Tot i aixograve no podria ser adjectivat drsquohomogeni per exemple sense pensar lrsquoespai natural des de lrsquoespai mer penament un mer pensament no conteacute res a diferenciar o a no diferenciar Es diu doncs homogeni no perquegrave sersquol pensi tal qual sinoacute perquegrave sersquol pensa com el pensament drsquoun espai natural que es percep o que srsquoimagina gragravecies a la qual cosa es defensa que no hi ha res que pugui diferenciar el mer espai pensat Paralmiddotlelament es diu infinit o indeterminat perquegrave el mer espai no pot tenir cap qualitat o quantitat de lrsquoespai natural no eacutes verd perograve tampoc no teacute unes dimensions (per tant una circumscripcioacute) El mer espai pensa la mera determinacioacute que pot ser comuna a molts espais concrets (verds o vermells grans o petits) i que per aixograve mateix no eacutes

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

20

una concreta forma o modalitat Per tant lrsquoespai merament pensat eacutes aliegrave a colors i a dimensions (i circumscripcions) Si sersquol pensa en lrsquohoritzoacute de lrsquoespai natural o de la imaginacioacute el fet de no acceptar liacutemit esdeveacute al cap i a la fi el reflex drsquoun mer pensament que ignora tot el liacutemit que acompanya una reiteracioacute tantes vegades com es vulgui drsquoun espai imaginat Tanmateix aquesta ilmiddotlimitacioacute es deu al mateix comportament drsquoun pensament ideal en contrast amb un afer representatiu Qualsevol espai perceptiu eacutes sempre limitat i la negacioacute drsquoaixograve sols ho pensa eacutes pensament linguumliacutestic Certament no hi hauria manera de fer geometria amb un espai que eacutes mer pensament Llavors caldragrave de resseguir com srsquohi introdueixen les entitats caracteriacutestiques del tipus del punt de la liacutenia del pla i del sogravelid drsquoacord amb les estipulacions necessagraveries que bandegen els inconvenients o les circumstagravencies engavanyadores etc

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

21

II

SOBRE LES DIMENSIONS

Lrsquoespai es considera a partir dels diferents espais perograve tambeacute pot permetre un estudi de les seves peculiaritats en una direccioacute diferent a partir drsquoallograve que a meacutes a meacutes srsquohi ofereix per a ser singularitzat

1 Les dimensions de lrsquoespai natural

Lrsquoespai que hi ha entre la paret i el cos propi permet que la magrave que srsquohi apropa al mur blanc vagi experimentant bagravesicament un espai tagravectil i motor abans drsquoarribar-hi Fet i fet el braccedil pot mourersquos cap a tots els llocs que rodegen un individu i va experimentant els camins de lrsquoespai que poden ser infinits Els moviments del braccedil els moviments del cos que camina a la dreta o a lrsquoesquerra cap endavant o cap endarrera que puja o baixa palesen el nombre indefinit de solcs que hi ha en lrsquoespai Els camins els solcs les dimencions etc soacuten doncs maneres de copsar una forma de fer experiegravencia del moviment espacial des del cos Tenen indestriablement una significacioacute motora quan sersquols pensa un hom sap quegrave diu Quan es defensa que lrsquoespai (natural o geomegravetric) teacute tres dimensions es refereix que hi ha com a magravexim tres dimensions que soacuten octogonals les unes a les altres i es comprova que eacutes aixiacute pel fet de poder agafar un hom la dimensioacute que vugui per a iniciar-ho iquestEs pot identificar dimensioacute i espai Eacutes obvi que a traveacutes de la dimensioacute un hom estagrave experimentant lrsquoespai que va lliurant aquest moviment o aquesta percepcioacute Nogensmenys no esdevenen expressions equivalents pel fet que lrsquoespai de la dimensioacute no esgota lrsquoespai del conjunt perceptiu de quegrave es gaudeix en un moment el tragravensit cap a la dreta no impedeix de percebre el paisatge el cantoacute oposat els dalts i els baixos etc La dimensioacute accentua una perspectiva espacial eacutes espai que srsquoexperimenta aixiacute motorament i eficaccedilment perograve no exhaureix lrsquoespacialitat de lrsquoexperiegravencia

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

22

Per tant una qualsevol dimensioacute eacutes espacial perograve aixograve se sap quan srsquoexplicita lrsquoespacialitat drsquoallograve que es va recorrent o pensant com a dimensioacute La dimensioacute ho eacutes pel fet de ser espacial i es diu drsquoun espai que no eacutes sols el de la dimencioacute Lrsquoespai per exemple exemplifica una al costat drsquouna altra dimensions o lrsquoespai que es veu i que es toca amb tot el cos permet dins seu que es pensi una dimensioacute o que es penetri amb la magrave etc iquestEs pot dir que les dimensions es despleguen seguint la rectitud Versemblantment hi ha una confluegravencia de significats procedents de contextos diversos anar recte seguir recte etc fan que un hom vagi en una dimensioacute com ho fan les liacutenies traccedilades als camps i a les parets etc Ben mirat laquorecteraquo deu voler dir laquoque segueix la mateixa dimensioacuteraquo i per aixograve laquorectitudraquo i laquodimensioacuteraquo no serien expressions intercanviables La rectitud es mantindria en la mateixa dimensioacute la dimensioacute aixograve no ho esmentaria Semblantment lrsquoespai permet parlar de la llargada lrsquoamplada i el gruix que segueixen dimensions de lrsquoespai perograve que tambeacute aquiacute mantenen una confluegravencia de significacions que no lleva llur peculiaritat car mantenen un significat de magnitud (quelcom en tant que teacute meacutes o menys) en una mateixa dimensioacute Per conseguumlent la llargada lrsquoamplada i el gruix soacuten dimensions soacuten les tres dimensions de lrsquoespai en lrsquoaccepcioacute que soacuten les possibles octogonals i inclouen respectivament una significacioacute de magnitud

2 Pel cap alt la reversibilitat forma part de lrsquoespai natural

Lrsquoespai natural permet la reversibilitat dels moviments Hi podria neacuteixer doncs la quumlestioacute si les operacions reversibles ajuden a entendre el contingut espacial o eacutes meacutes aviat el cas que siguin afers que es derivin de lrsquoadquisioacute pregravevia de la nocio drsquoespai Els fets semblen apuntar una altra vegada que les aplicacions drsquoun esquema com la reversibilitat es defensen sovint per a unes concepcions pregraveviament antropologravegiques de lrsquoespai que despreacutes serien superades per unes estructures objectives o si meacutes no que tendeixen a objectivar la nocioacute drsquoespai

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

23

Fet i fet sembla que la circumstagravencia de voler fer engendrar lrsquoespai des de la reversibilitat i des de les operacions corresponents voldria una reduccioacute de lrsquoespai i fer-ne una resultant drsquoaitals operacions de manera que tendiria a fer aflorar una objectivitat a partir drsquouns capteniments maldestres i temptejadors Tanmateix no sembla haver-hi cap consciegravencia drsquooperacions en un doble sentit drsquoun lloc a un altre i drsquoaquest al primer per a copsar una qualsevol circumstagravencia de lrsquoespai malgrat que un hom sersquon guardaria prou de negar que no pugui concebre aquest tipus drsquooperacions i fins i tot que els anars i venirs de tot tipus no hagin contribuiumlt a adquirir un espai natural a tiacutetol drsquouna incorporacioacute meacutes Ara beacute lrsquoespai natural no seria en conjunt una colla de camins que es poden refer tot i admetre que srsquohi poden refer les marxes que un hom hagi empregraves Lrsquoespai natural foacutera el de la natura en persona alliacute on eacutes el cos propi Es tractaria de quelcom compacte sense fissures sense esquemes sense liacutenies de significacions (malgrat que srsquohi poguessin trobar les que es vulgueacutes) que repondria meacutes aviat al fet que un hom nrsquoha tingut tractes amb tot el seu cos amb totes les parts i els ogravergans del cos i que nrsquohi manteacute La totalitat en quegrave es lliura lrsquoespai natural srsquoaveacute amb la globalitat de lrsquoexperiegravencia que en teacute el cos que sols inexpertament i inhagravebilment es trosseja drsquoacord amb els sentits i les diverses motricitats quan eacutes el conjunt del cos que srsquohi troba compromegraves Allograve que es lliura en lrsquoocupacioacute supera per tots costats el que els afanys classificadors io esquematitzadors proporcionen En efecte des drsquoun grup de desplaccedilaments o des drsquouna reversibilitat elemental sembla poder-se circumscriure un espai perograve no el conjunt de lrsquoespai natural i meacutes aviat es podria creure que troben el seu sentit drsquoespai dins drsquoallograve que precisament no descriuen de lrsquoespai En conjunt lrsquoespai no eacutes un seguit de direccions com no eacutes un munt de liacutenies (les unes i les altres foren afers espacials de lrsquoespai) meacutes avait un hom teacute experiegravencia de lrsquoespai quan camina i abraccedila lrsquoaire quan salta i inspira fortament etc Parlant en general lrsquoespai eacutes una experiegravencia global Certament que hi ha una coheregravencia en els grups de desplaccedilaments perograve aixograve sols avala que hi ha en conjunt coheregravencia espacial

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

24

El nen no gaudeix de pensament abans dels dos anys Tanmateix semblaria que no hauria de projectar-srsquohi allograve que no caldria mantenir per a lrsquoadult Per tant el nen aprendria tambeacute holiacutesticament en un tot drsquoespaiespais que va fent emergir meacutes i meacutes una espacialitat objectiva Per exemple el moviment insegur del braccedil del nen menor de dos anys lliuraria una direccioacute foacutera una experiegravencia espacial tactilomotora focalitzada direccionalment perograve si hi hauria una experiegravencia espacial en lrsquoaccepcioacute drsquouna aventura real aquesta es trobaria dins drsquouna experiegravencia espacial protagonitzada per tot el seu cos etc Lrsquoespaiespais pragravectics no cal sembla prejutjar-los drsquoacord amb algun criteri massa prefigurat bastaria que en cap moment no es perdeacutes de vista la globalitat de lrsquoexperiegravencia de lrsquoespai i la necessitat de focalitzar-lo en cada gest i mirada aprenent quelcom no pensat perograve que es palesa en les conductes fins a adquirir una intelmiddotligegravencia pragravectica Pel cap baix es tracta drsquoarribar a la conclusioacute que la circumstagravencia drsquohaver de refer un camiacute per a tornar al punt drsquoorigen deu ser una resultant que permet remetre al fet que hi ha hagut un aprenentage pel fet obvi que el nadoacute no sap on eacutes Malgrat aixograve la remissioacute no hauria de llevar que al cap i a la fi la necessitat de refer el camiacute proveacute de la mateixa condicioacute de lrsquoespai natural al costat del fet que la pedra llanccedilada cau lluny si un hom sersquon va de casa seva no hi eacutes a casa i ha de tornar-sersquon seguint els camins que hi menen Aixograve no eacutes una resultant drsquouna operacioacute meacutes o menys formal o drsquouna condicioacute meacutes o menys aprioriacutestica sinoacute allograve que lrsquohome ha drsquoaprendre (i versemblantment un qualsevol animal) que si meacutes no revela com eacutes la natura mentre que es fa impossible una qualsevol discriminacioacute entre el que un hom deu en lrsquoexperiegravencia i les condicions subjectives que hi imposa Si la mirada a lrsquounivers deu tenir sempre condicions subjectives (sense home no hi hauria univers conscient) el cosmos no eacutes tal qual interessant per aixograve sinoacute pel fet de saber quegrave srsquohi manifesta I arreu la realitat regalima que hi devem el que srsquohi contempla

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

25

III

ESPAI NATURAL I ESPAI EUCLIDIAgrave

Ara falta drsquointroduir els ens estrictament geomegravetrics es discuteix despreacutes si soacuten idealitats o no i com srsquoha de copsar en conjunt llur paper en la geometria la qual cosa duu a repensar les relacions que hi ha entre aquesta disciplina i la natura

1 El punt

Les definicions de punt de liacutenia etc semblen deutores de les dEuclides o deuen suposar-la duna manera directa o indirecta Si meacutes no cal reconegraveixer la seva genialitat si tenia com a rerafons devitar la divisioacute ad libitum duna cosa contiacutenua la radicalitat de la definicioacute hauria deixat sense recurs al possible oponent i eacutes possible que pressuposi un transfons meacutes o menys platogravenic Pel cap baix no sembla pas que cap dels nostres contemporanis pugui creure que una definicioacute del tall de la drsquoEuclides (o els seus substituts) pugui assumir-se altrament que amb una validesa funcional o que valgui meacutes enllagrave dun (savi) registre car laquola partraquo sembla quelcom que estagrave en un tot de manera que un tot i una part soacuten termes correlatius laquoSense partsraquo doncs refusaria lrsquouacutes de laquopartraquo essent difiacutecil que hi hagi un individu que no pugui tenir parts no hi hauria manera de tenir quelcom sense parts per aixograve el punt tindria una definicioacute linguumliacutestica en la mesura que se la convertiacutes en un afer representatiu la definicioacute convidaria a reiterar lanagravelisi de parts Es tracta per tant dun registre que va beacute que eacutes uacutetil i per aixograve se ladmet mentre que no hi ha aquiacute cap altre pensament que no sigui el linguumliacutestic Aixograve vol dir que a efectes pragravectics un punt foacutera quelcom suficientment petit que permeti que sersquol consideri com a sense parts en daltres paraules el punt geomegravetric eficient tindria sempre algun contingut mentre que el punt linguumliacutestic seria un registre Potser eacutes important de fer notar que no hi hauria el meacutes miacutenim augment de coneixement en la definicioacute geomegravetrica drsquoun punt laquosense partsraquo respecte de la nocioacute de punt com allograve que serveix drsquoorigen o de final de marca etc eacutes a dir de senyal de lloc Perquegrave un punt sense

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

26

parts foacutera quelcom no sols irrepresentable sinoacute imposible de pensar quan es penseacutes quegrave eacutes un punt sense parts meacutes enllagrave de pensar-ho mentre es diu Perquegrave un hom ho pensa quan ho formula siacute Tanmateix un punt sense parts no sols no existiria enlloc sinoacute que foacutera impensable meacutes enllagrave drsquoun tal fer-ho veure Per tant un punt sense parts no seria cap abstraccioacute ni cap idealitat pel simple motiu que el seu mer pensament cauria en el no-res Una qualsevol defincioacute del tall de lrsquoeuclidiana seria una convencioacute linguumliacutestica que evitaria la casuiacutestica i la criacutetica Una definicioacute funcional que un hom assumeix tant meacutes que sap que una qualsevol mesura pot ser tan petita com es desitgi de fer-la Malgrat aixograve no srsquohi guanya res drsquoestimar el punt el liacutemit drsquoun decreixement pel simple motiu que no es va enlloc talment com si un hom aneacutes en un tren per una via que srsquoacaba no haver-hi via eacutes incompatible amb la via no haver-hi dimensioacute no teacute res a veure amb cap dimensioacute Eacutes una estipulacioacute enmig drsquoun discurs talment com zero no eacutes cap nombre estrictament parlant no tindria res a veure amb els nombres si no fos perquegrave se lrsquoha incorporat en aquest univers una vegada meacutes com una convencioacute funcional Lrsquoassumpcioacute del punt com a liacutemit foacutera una convencioacute funcional Notirsquos doncs que no estagrave en quumlestioacute que no es pugui considerar el punt com a liacutemit sinoacute com sersquol pot pensar Fet i fet un qualsevol liacutemit pressuposa un salt srsquohi arriba per mitjagrave drsquouna irracionalitat no es pot pensar des drsquoallograve de la qual cosa eacutes liacutemit El punt esdeveacute liacutemit en la mateixa accepcioacute i ara es defensa que arriba a quelcom que es fa mera convencioacute perquegrave no hi ha punts sense parts en cap lloc No es tracta de no usar-lo funcionalment com a liacutemit sinoacute drsquouna discussioacute de lrsquoabast drsquouna definicioacute Aixiacute com el zero sols eacutes interessant com a liacutemit perquegrave hi ha els nombre aixiacute el punt manteacute el seu interegraves perquegrave hi ha dimensions i cossos La qual cosa lleva tota idealitat en el punt i fa lliurar com srsquoapunta meacutes avall una colla drsquoestipulacions per a la reglamentacio de dibuixos i maquetes i per a disciplinar el pensament geomegravetric El punt se lrsquoha apregraves del coneixement perceptiu se nrsquoha assenyalat en les maquetes dibuixat en els gragravefics de manera que tota la

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

27

significacioacute no paradoxal que conteacute remet a una praxi concreta en relacioacute amb la meditacioacute de coses i amb la reproduccioacute en gragravefics 2 La liacutenia Les possibles definicions del tipus euclidiagrave de liacutenia continuen les convencions i els eacutes vagravelid el que srsquoha dit dalt sobre el punt Llur caragravecter convencional es fa patent aixiacute mateix en el fet que assumint que es desplega en una dimensioacute sense amplada ni gruix hauria de semblar que aquesta caracteriacutestica dimensioacute es fa drsquoacord amb un camiacute recte Perograve no eacutes el cas les liacutenies soacuten rectes corbes trencades (per tant hi ha dimensions diferents) certament podria defensar-se que una qualsevol drsquoaquestes liacutenies gaudeix del criteri que nomeacutes teacute una dimensioacute (la que va seguint precisament a cada moment) tot excloent-ne drsquoaltres tanmateix aixograve reblaria segurament la funcionalitat de la definicioacute de liacutenia perquegrave no impediria de concloure que eacutes impossible de pensar-hi quelcom sense dir-ho o de representar-se quelcom que sols srsquooferiacutes amb una tal dimensioacute independentment de com ho fes 3 La superfiacutecie Les definicions possibles de superfiacutecie soacuten aixiacute mateix convencionals i funcionals Convencionals perquegrave tal qual no es poden pensar sense uacutes linguumliacutestic ni es poden representar serien estipulacions linguumliacutestiques funcionals perquegrave pressuposen que se les enteacuten i que no es vol saber res de cap superfiacutecie raonablement gruixuda Car en una accepcioacute la superfiacutece no tindria res a veure a no tenir una tercera dimensioacute si meacutes no totes les superfiacutecies corbes fan difiacutecil drsquoassumir que un hom no es mogui espacialment La superfiacutecie srsquooposaria meacutes aviat a la part interna de quelcom la superfiacutecie del terra amaga dins quelcom el forat ho mostra etc en conjunt els afer palesen el seu exterior la superfiacutecie que en general sempre eacutes espacial la magrave topa amb la superfiacutecie de la taula que es ressegueix pels costats i per sota com agafa el guix per fora abans de trencar-lo per la meitat i veure-hi per dins dins i fora soacuten maneres dinagravemiques de tractar les coses

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

28

segons allograve que es pot tocar i veure i allograve que estagrave ocult que no es troba ara a lrsquoabast En una altra accepcioacute quan un hom srsquoaproxima a la superfiacutecie des de la llargada i lrsquoamplada ho fa aixiacute mateix desafortunadament perquegrave una llargada i una amplada es diuen de magnituds que es mantenen rectes i com a miacutenim aixograve eacutes impossible en el cas de superfiacutecies corbes etc Malgrat aixograve srsquoenteacuten que es vulgui assenyalar la capa meacutes prima possible drsquouna qualsevol cosa pel simple motiu que no es vol considerar res meacutes es trobi en un pla o en un sogravelid En aquesta accepcioacute un hom voldria tenir en compte dues dimensions fent abstraccioacute del gruix i obviant que no podrien ser sempre rectes foacutera quelcom que sols es podria dir i meacutes enllagrave no es podria pensar meacutes ni representar Es pot entendre la intencioacute que teacute (no parar compte drsquoun gruix drsquoun interior etc) malgrat el caragravecter problemagravetic de la definicioacute Car si no sembla que es pugui acceptar fagravecilment que una superfiacutecie sigui allograve que sols teacute llargada i amplada i que meacutes aviat les superfiacutecies semblen coses (si es vol coses espacials) que srsquooposen als seus interiors les comandes que siguin laquopures superfiacuteciesraquo segons els supogravesits de la liacutenia i del punt eacutes a dir que qualsevol liacutenia que continguin no sols sigui en qualsevol tros laquosense ampladaraquo sinoacute tambeacute laquosense gruixraquo (ie sense interior) que se subsumeixen al final en el fet que el tros considerat sigui un punt laquosense partsraquo si meacutes no tenen una eficaccedil utilitat a lhora de lestudi dels dibuixos i maquetes La concepcioacute geomegravetrica de superfiacutecie doncs es mou tambeacute en un doble nivell mentre es considera les superfiacutecies en els treballs tal i com es pot fer de fet se les formula dacord amb els trets de les liacutenies i dels punts que contenen i formulacioacute que srsquoobteacute aixiacute mateix de manera convencional2 2Adverteixis que lrsquouacutes de direccioacute (en una de les seves accepcions) teacute en compte la reversibilitat de la diferegravencia espacial (hi estan implicats sobretot el camp visual tagravectil i motor) daquiacute que luacutes del mot direccioacute no se circumscriu pas a allograve que srsquoenteacuten per dimensioacute Drsquoaltra banda es parla de sentits per la doble marxa reversible drsquouna direccioacute i el mateix mot lsquodireccioacutersquo es pot usar com lsquosentitrsquo etc

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

29

Al cap i a la fi el que interessa eacutes lrsquoestudi de les relacions de les magnituds i llur quantificacioacute per aixograve es basteixen aproximacions funcionals (i convencionals) que hi menin sense meacutes problemes 4 El liacutemit la figura i el cercle Circumscriguirsquos lrsquoexemple al que diu Elements en efecte EuclI def 13 usa el terme ὅρος el mot es podria traduir per laquoliacutenia divisograveriaraquo laquopartioacuteraquo sens dubte un terme de camp en els seus oriacutegens perograve que en afers geomegravetrics potser val la pena de traduir en conjunt per laquoliacutemitraquo el liacutemit eacutes doncs quelcom ben patent del camp dels dibuixos de les coses de les maquetes El fet de reservar en geometria el mot laquofiguraraquo per a allograve que estagrave contingut per algun liacutemit o liacutemits (cfEuclI def 16) seria una estipulacioacute amb un fonament prou comprensible les nostres coses geomegravetriques (triangles quadrats cubs etc) estan limitades pels nostres punts liacutenies superfiacutecies geomegravetrics Per tant es tracta de dibuixar amb tanta cura com es vulgui figures de tot tipus mentre un hom pensa que el liacutemit sols teacute una llargada i el pla llargada i amplada Es manipula quelcom representatiu mentre srsquoestipula drsquoacord amb una comanda linguumliacutestica Prenguirsquos un afer ben quotidiagrave en prou jocs infantils cal fer un cercle que eacutes el lloc on els nens se salven mitjanccedilant una canya que grata el terra mentre el nen gira sobre ell mateix el nen repassa acabada la feina que la distagravencia entre un punt i els seus peus sigui igual ndash o la consideri igual ndash a la que hi ha entre els seus peus i un altre punt del solc punts que marquen el liacutemit del cercle perquegrave si en mantenir la canya ferma creu ndash canya i cos fent un tot ndash que pot conservar la distagravencia entre la punta daquella i els seus peus en construir el cercle no sols no ha tingut la seguretat de no modificar significativament aquella distagravencia tant com ha durat el moviment sinoacute que tampoc no ha pogut determinar la igualtat de distagravencies mentre ha durat el gir no ha pogut avaluar la igualtat de distagravencies entre dos punts presos del solc i el seu cos la construccioacute val per si mateixa i el reconeixement meacutes aviat pot trobar-se en la previsioacute i en la resultant Quegrave eacutes doncs un cercle per al nen Sens dubte alguna cosa que teacute liacutemits els quals des dalliacute i des daquell altre

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

30

lloc equidisten dell podent repetir la comparacioacute de distagravencies fins que sen trobi satisfet minus per tant el cercle com a tal eacutes una figura on un hom relaciona distagravencies des dell fins al liacutemit que sestimen iguals Els nostres cercles soacuten com els cercles dels nens es teacute per iguals les distagravencies des dun centre al liacutemit i les sospites que el cercle no era exacte rauen a descobrir que no hi havia ben beacute radis iguals perograve la igualtat al cap i a la fi eacutes lrsquoestimacioacute drsquouna relacioacute i per aixograve els nostres cercles soacuten sols els de dibuixos amb meacutes cura Eacutes clar que es pensa tot drsquoacord amb les estipulacions i no hi fa res que els esbossos siguin imperfectes quan un hom ja ho ha formulat idealment la definicioacute dEuclI def 15 manteacute que hi ha una liacutenia que fa de liacutemit que hi ha una igualtat (tambeacute idealitzada) i eacutes certament paradigmagravetica com a definicioacute car es presenta el cercle des drsquoun altre punt de mira (laquofigura planaraquo) i sersquon fa un estudi analiacutetic La definicioacute generalitza doncs com srsquohan de trobar les relacions de les distagravencies entre els punts del liacutemit i el centre Per tant generalitza una experiegravencia ordinagraveria amb una nocioacute drsquoigualtat com a avaluacioacute drsquouna relacioacute i es transfereix aixograve a un laquototsraquo (de representacioacute impossible amb puresa geomegravetrica un punt minus sense parts minus esdeveacute quelcom sols pensable linguumliacutesticament per aixograve ho eacutes el laquototsraquo dels de la circumferegravencia) 5 Llur paper en la geometria euclidiana

Eacutes fagravecil dadonar-se que la geometria euclidiana sembla la resultant de lactivitat de lhome en muacuteltiples accepcions una aportacioacute primera seria la de construir liacutenies i marcar punts (independentment de com srsquoanomenessin) per tant la duna manipulacioacute natural en els camps i en les coses i la dun estudi de llurs relacions tot incloent-hi les superfiacutecies i els sogravelids (aquestes coses) que hi estan limitats La reproduccioacute de liacutenies i de punts a escala dels papers perllongaria aquella activitat unes tals liacutenies serien models en laccepcioacute que sembla haver-hi una equivalegravencia amb les dun camp de conreu per exemple i perquegrave srsquoestudien les relacions en les reproduccions La construccioacute de liacutenies i de punts minus coses minus sembla lliurar loportunitat de circumscriure afers i llavors srsquoestudien les relacions entre liacutenies i punts i aquells

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

31

trossos reals de tal manera que srsquoimpliquen coses que no soacuten liacutenies i punts en les construccions de liacutenies i de punts minus i a linreveacutes es basteix tambeacute liacutenies i punts a partir de consideracions de coses que no ho soacuten Fixirsquos que limportant paper de les liacutenies i dels punts sencaminaria a trobar relacions digualtat (independentment del grau dinspeccioacute) i dequivalegravencia (on la igualtat tingueacutes un paper important) en aquelles mateixes entre aquelles en les coses que delimiten o entre aquestes Sembla doncs un treball des duna seleccioacute amb uns propogravesits i per aixograve seria un simplificacioacute dels casos a trobar en la natura o en una reproduccioacute perograve no eacutes un estudi no natural el quadrat eacutes blanc (quan sersquol dibuixa en un paper) verd (damunt del prat) etc el fet de parlar dun quadrat sense esmentar-ne el color el tacte etc no lleva que minus fora de nomeacutes definir-lo minus no en posseeixi car eacutes un individu Per aixograve es podria tenir la geometria dels inicis com un exercici inspector-habitual notirsquos que es faria des duna seleccioacute limportant paper de la igualtat el fet que com a geometria no li interessaria la relacioacute qualitativa (entre aquest blanc i el seu tacte o entre aquest blanc i aquest altre blanc) i la circumstagravencia que bascula entre la inspeccioacute i la conducta apresa mentre totes les coses podrien rebre un estudi des de paragravemetres geomegravetrics o des dels seus models geomegravetrics com sigui que arreu hi ha equivalegravencia no deixaria de ser cert que aquesta racionalitat geomegravetrica eacutes la racionalitat de la natura o dels seus equivalents reproductius Certament i a mesura que augmenta el criticisme no es consideraria que la liacutenia pogueacutes tenir un gruix considerable i fins i tot se suggeriria que no teacute amplada ni gruix perograve una tal cosa hauria estat meacutes un escruacutepol criacutetic que una quumlestioacute de fet a nosaltres no ens importaria la quantitat en amplada dallograve que es discrimina en la superfiacutecie del paper etc Alhora aquest escruacutepol menaria a bastir la geometria dacord amb tres supogravesits (1) que els punts serien sense parts les liacutenies sense amplada i gruix les superfiacutecies sense gruix i per tant les entitats geomegravetriques no tindrien existegravencia natural sinoacute que esdevindrien ens de raoacute (2) que es projecta en lestudi analiacutetic i detallat (trobant sovint imperfeccions i defectes) la valoracioacute de la conducta apresa i confiada drsquouns tals ens (3) que la reiteracioacute dels esquemes numegraverics sobre una

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

32

mateixa magnitud permetent laquoun compte (i pel pensament drsquouna reiteracioacute) infinitraquo lafer reblaria la necessitat de (1) i corroboraria al seu nivell lanaturalitat de tots els ens geomegravetrics Perograve (1) essent una negacioacute impossible de representar (i impensable minus fora de fer-ho veure en lrsquouacutes linguumliacutestic minus quan se la medita) (2) recaient en allograve que el motiva i (3) servint sols com un mitjagrave a partir de reiteracions que soacuten sols esquemes numegraverics la geometria euclidiana fins i tot animada per lrsquoanaturalitat i per idealitats3 i fent uacutes de les segraveries numegraveriques no hauria pogut orientar-se i descabdellar-se meacutes que seguint els casos possibles per a lhome I sens dubte el treball reiterat de construccioacute de liacutenies i de punts i de demostracioacute de relacions ha precedit a qualsevol assaig de presentacioacute deductiva llavors aquesta afegeix la nova marca de lactivitat de lhome en voler pautar les passes de la demostracioacute i de la construccioacute 6 Els ens geomegravetrics com a liacutemits Dalt ja es digueacute que el punt pot considerar-se un liacutemit en una dimensioacute o en general drsquoun segment La liacutenia foacutera llavors en conjunt el liacutemit drsquouna superfiacutecie i aquesta el liacutemit drsquoun sogravelid Eacutes a dir pot estimar-se que el punt la liacutenia i la superfiacutecie soacuten liacutemits no sols en lrsquoaccepcioacute que 3 Els ens geomegravetrics presos drsquoacord amb les definicions no es poden estimar ideals perquegrave suggereixen quelcom no sols impossible de representar sinoacute agravedhuc de pensar quan un hom pensa curosament el que srsquohi formula Per tant aquiacute no hi pot haver idea Tanmateix hi ha una idealitzacioacute perquegrave un hom sap quegrave eacutes un punt una liacutenia una superfiacutecie un sogravelid agravedhuc al marge de les definicions euclidianes o drsquouna quasevol representacioacute amb lrsquoafegit que aquest saber ha drsquoestilitzar-se tant com sigui necessari en el cas de voler-ho atendre amb meacutes cautela (i hi ha unes definicions que se li ofereixen) o representar-sersquol i tot En aquesta accepcioacute tota la geometria eacutes un domini idealitzat pels punts per les liacutenies per les superfiacutecies i pels sogravelids Aquesta aparent paradoxa no eacutes meacutes que la resultant del contrast que hi ha entre un programa que srsquoha de fer amb unes pretensions de caragravecter linguumliacutestic a partir de definicions per exemple i la construccioacute drsquouna geometria sobre el paper que actua drsquoacord amb paragravemetres efectius i amb un pensament que no bandeja les pretensions inicials

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

33

les liacutenies i les superfiacutecies limiten superfiacutecies i sogravelids respectivament sinoacute tambeacute en aquella que soacuten la resultant drsquoun decreixement constant en la dimensioacute o en les dimensions Perquegrave de liacutemits geomegravetrics nrsquohi ha molts el poliacutegon inserit en la circumsferegravencia tendeix a coincidir-hi mentre creix indefinidament el nombre de costats lrsquoelmiddotlipse tendeix a ser una liacutenia mentre acreix constantment la seva excentricitat o a fer-se una circumferegravencia quan tendeix a zero etc Els liacutemits geomegravetrics com tots els liacutemits matemagravetics retenen un punt drsquoirracionalitat perquegrave el pas del limitat al liacutemit esdeveacute sempre un salt impossible de resseguir i de fet un hom assumeix el liacutemit no pas perquegrave pensi que eacutes allograve on duu conclusivament el limitat sinoacute perquegrave assumeix lrsquoindiscerniment entre liacutemit i limitat en lrsquoaccepcioacute que pot admetre una diferegravencia teograverica tan petita com vulgui El punt la liacutenia i la superfiacutecie podrien ser doncs uns liacutemits meacutes drsquoaquesta mena Ocorre que ho foren com ho eacutes el zero perograve zero ho eacutes en lrsquoaccepcioacute que entre el decreixement numegraveric que es proposa i el no-res sembla haver-hi un discerniment tegraveoric tan petit com convingui O si es vol aixiacute perquegrave el decreixement numegraveric pot ser tan petit com es vulgui Eacutes a dir zero significa laquono-resraquo La utilitat magravexima de zero no lleva que si nomeacutes es parleacutes de zero un hom no podria comptar res Per tant lrsquounivers numegraveric eacutes el dels nombre on zero gaudeix drsquoun paper prou rellevant Un cub de quatre centriacutemetres drsquoaresta permet raonar que un vegravertex eacutes el liacutemit numegraveric i geomegravetric considerat des de les tres arestes que hi convergeixen Perograve aixiacute com el zero numegraveric drsquoaresta teacute alguna utilitat perquegrave hi ha un nombre de centiacutemetres (zero significa laquoinexistentraquo) aixiacute el vegravertex a tall de punt sols pot ser uacutetil perquegrave hi ha arestes les arestes ho soacuten perquegrave hi ha cares i les unes i les altres ho soacuten perquegrave hi ha un cub (punt significa laquosense partsraquo liacutenia laquosols en llargadaraquo superfiacutecie laquosols en llargada i ampladaraquo) En drsquoaltres paraules des del zero no hi ha nombre i des del punt la liacutenia i la superfiacutecie no hi podria haver poliacuteedre El punt la liacutenia i la superfiacutecie tal i com han estat definides fan com el zero el nombre no surt de zero la geometria no surt drsquoaquells ens geomegravetrics Perograve el zero esdeveacute uacutetil en tots sentits i les definicions de

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

34

punt de liacutenia i de superfiacutecie ho soacuten perquegrave acompanyen la concreta representacioacute geomegravetrica i el raonament corresponent iquestDefensaragrave doncs alguacute que el liacutemit numegraveric no limita exactament el limitatiquestNo soacuten aquells ens geomegravetrics exactament el liacutemit on duu allograve que limiten La resposta ha de ser clara i concisa no no ho soacuten exactament perquegrave no hi poden dur Ocorre que no hi ha possibilitat teograverica de discernir-hi una quantitat segons la qual diferirien liacutemit i limitat ja sigui discreta o continua Aixograve no eacutes res meacutes que la consequumlegravencia drsquoun proceacutes que eacutes la comanda drsquouna reiteracioacute en el decreixement quantitatiu Es podria formular aixiacute no hi ha exactitud per coincidegravencia de liacutemit i limitat perograve siacute que nrsquohi ha una de funcional lrsquoexactitud funcional pressuposa la indiscernibilitat quantitativa de liacutemit i limitat en tots els casos (es parlaria potser drsquouna exactitud procedimental) 7 Geometria i natura La geometria euclidiana que es pensa en els gragravefics i en les maquetes estudiaria liacutenies i punts i ponderaria les seves relacions despreacutes hi inclouria les relacions amb les coses que liacutenies i punts discriminen i com a activitat reiterada tot aixograve faria un cert embalum amb lafegit que les definicions negatives de punt de liacutenia i de superfiacutecie el contrast entre la valoracioacute quotidiana i els defectes de les nostres construccions i la possibilitat de reiterar indefinidament lanagravelisi numegraverica afectarien danaturalitat un tal estudi i faria prendre tota mena de precaucions tant en el mateix estudi com en les definicions dels ens geomegravetrics resultants de tal manera que lesperit destar treballant amb afers no naturals romandria arreu gragravecies precisament a les mateixes precaucions nocionals i al conseguumlent escruacutepol en les consideracions que inspeccionen gragravefics i maquetes Tanmateix iquesthi hauria alguna manera de dir que la natura eacutes geomegravetrica Una resposta faria doncs siacute i no depenent de lrsquoabast del mot laquogeomegravetricraquo Car en una primera accepcioacute la geometria euclidiana se separaria de la natura sols pels equivalents reproductius la natura es diria geomegravetrica perquegrave se la pensa des de liacutenies i des de punts que

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

35

directament o a traveacutes del model gragravefic possibiliten relacions digualtat i dequivalegravencia Eacutes a dir els gragravefics i les maquetes faciliten per les seves dimensions una raoacute que en principi podria resseguir-se en prou elements i cossos naturals mateixos i que en drsquoaltres casos foacutera molt difiacutecil o impossible La necessitat de models gragravefics per a pensar afers naturals no implicaria doncs en principi una anaturalitat i eacutes en aqueta accepcioacute que la natura podria estimar-se geomegravetrica Llavors ho foacutera no perquegrave directament o a traveacutes del model gragravefic srsquohi superposeacutes quelcom (hom individua el cos dun home perograve podria considerar les relacions de simetria respecte de les seves parts mitjanes) sinoacute que una tal racionalitat geomegravetrica revelaria lespontaneiumltat de la reflexioacute sense que hi hagueacutes daltra anaturalitat Per dir-ho aixiacute no seria lhome qui superposaria una tal geometria directament o a traveacutes drsquoun model a la natura sinoacute que foacutera la natura la que es deixaria pensar geomegravetricament o que es deixaria modelar gragraveficament lhome sols decidiria a partir de quina part estudia directament o a traveacutes del model la natura i per aixograve es podria defensar que aquesta geometria esdevindria un altre nom per a la natura en la mesura que se la penseacutes des dunes parts definides i que la disciplina geomegravetrica foacutera llavors la dels models i maquetes equivalents amb la resta de la geometria En qualsevol cas la geometria convida pels seus oriacutegens a un genuiacute exercici que estudia mesures de la natura (sigui o no un equivalent reproductiu) un tal exercici no seria la de tota la natura perquegrave per meacutes que no la podria evitar no li interessaria la caracteriacutestica qualitativa En una segona accepcioacute una tal geometria (comenccedilant per la grega) eacutes una raoacute habituada que treballa aixiacute des dels primers moments per tant no eacutes un estudi de la natura (sigui o no el dun equivalent reproductiu) en la mesura que hi ha una habituacioacute (una obvietat) Perograve alhora eacutes cert tambeacute que la racionalitzacioacute daquestes obvietats la confirmaria com a nexe natural de les coses dels punt i de les liacutenies i que faria reintroduir els nombre no pas com un fet primagravericament ageomegravetric i anatural sinoacute com la resultants de lactivitat geomegravetrica i natural de lhome que ha de menester per aixograve dels nombres abans que lestudi aritmegravetic sembli aliegrave a aquests afers gragravecies a nous hagravebits a les reiteracions sobre si mateix i a la

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

36

necessitat (hi ha un abast finit) de parar atencioacute al propi cagravelcul numegraveric i a les seves igualtats (deixant ara les dificultats inherents drsquoirracionals de liacutemits numegraverics etc) I en una tercera accepcioacute certament aquesta geometria no seria un fet natural en la mesura que no es creu que srsquohi pugui trobar els punts les liacutenies i les superfiacutecies que les coses de la natura inclosos els dibuixos i les maquetes soacuten incapaccedilos de reflectir no sols la perfeccioacute duna igualtat sinoacute fins i tot allograve que srsquoenteacuten per ens geomegravetrics encara que srsquohagi dadmetre que no se la podria descabdellar com a disciplina sense el suport de dibuixos i de maquetes En aquesta accepcioacute la geometria idealitzaria perquegrave persegueix quelcom perfecte que no existeix representativament mentre ho fa consistir tot en sogravelids superfiacutecies liacutenies i punts que han drsquoavenir-se a una definicioacute drsquoens geomegravetrics i que no poden formar part de la natura Daltra banda minus i per damunt daquesta tercera accepcioacute minus que lobjecte originari duna tal geometria es trobeacutes en lestudi de liacutenies i de punts a partir dels quals srsquoestudien les coses no llevaria no sols la raoacute habituada que saccepta per laprenentatge (i perquegrave en qualsevol moment es podria comprovar) sinoacute tampoc luacutes linguumliacutestic dallograve que ja srsquoha apregraves i les propies recreacions a partir dels aprenentatges i dels usos linguumliacutestics aixiacute com laritmegravetica es recrea sobre si mateixa a partir dels aprenentatges que srsquohan fet res no forccedila sembla que no hi hagi quelcom semblant en la geometria que estudiem el domini de les relacions dels cossos i del llenguatge en serien les condicions4 8 Espai geomegravetric espai natural i mer espai 1 La geometria es dedica a estudiar cossos a partir de punts i de liacutenies independentment de llur concepcioacute iquestHi ha un espai geomegravetric La resposta torna a ser afirmativa o negativa tot depenent del que srsquoentengui per espai geomegravetric (euclidiagrave aquiacute)

4 Valgui el cas el fet que hi hagi espais geomegravetrics no euclidians cf per exemple el nostre escrit Logravegica llenguatge i matemagravetica Anthropos Barcelona 1993 (Estudis de Filosofia 8) pagravegs 327-348

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

37

Car lrsquohome no abandona mai el seu espai natural i la nocioacute drsquoespai (per tant mer pensament linguumliacutestic) forma part del seu repertori diari Fet i fet no cal estudiar geometria euclidiana per a trobar-se en lrsquoespai natural o per a pensar lrsquoespai en general La dialegravectica entre lrsquoun espai o lrsquoaltre eacutes la que hi ha entre un qualsevol afer perceptiu i la nocioacute general corresponent Per tant una primera geometria acriacutetica no tindria inconvenient a resseguir cossos naturals i a estudiar-los des de punts liacutenies i superfiacutecies de fer-ne reproduccions que servissin de models drsquoafigurar-se relacions i cossos agravedhuc de significar-ho tot o el que pugui a partir del concepte drsquoespai A un hom no li hauria calgut fins aquiacute de fer renuacutenica drsquoestar meditant un afer a propogravesit de lrsquoespai natural com els llibres drsquoanatomia decriuen el cos humagrave etc malgrat de trobar-se a nivell general aixiacute les relacions pensades des drsquoun model o una reproduccioacute no farien meacutes que engreixar-se significativament del que lrsquoactuacioacute humana ha posat en relleu en les coses naturals etc En drsquoaltres paraules lrsquoespai geomegravetric no foacutera res meacutes que el seguit sense solucioacute de continuiumltat entre lrsquoespai natural i el seu pensament pel fet que es treballa les relacions entre els cossos i dels cossos La circumstagravencia de lrsquoaparicioacute drsquouna actitud criacutetica (el punt sense parts etc) lrsquoadquisioacute drsquohagravebits la troballa dels liacutemits la presentacioacute deductiva dels teoremes i de les construccions etc no semblen alterar subtantivament aquest estat de les coses lrsquoespai geomegravetric un afer a cavall entre lrsquoespai natural i la nocioacute drsquoespai entoma tota mena de precaucions que no destorben la coheregravencia drsquoaquell espai natural i pensat Les cures intelmiddotlectuals no esvaeixen lrsquoespai natural ni esborren un espai pensat a nivell general sinoacute que ponderen els afers els defineixen els relacionen els compten els dedueixen etc amb un tal rerafons Lrsquoespai geomegravetric (euclidiagrave) esdevindria doncs lrsquoespai natural i pensat en tant que hi ha una disciplina que vol reglar-ho des de punts liacutenies i superfiacutecies on es compta quan conveacute i seguint comandes i recomenacions I no hi hauria drsquoaltre espai geomegravetric que el que es derivaria del natural i pensat

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

38

2 Tornirsquos a repassar lrsquoafer des del punt de mira de la idealitzacioacute que procura la geometria Llavors sembla que un hom podria identificar espai geomegravetric i nocioacute drsquoespai car el primer usa el segon per a pensar espai Alhora srsquohi afegiria lrsquoespai natural si hi ha drsquohaver alguna representacioacute ja es parli del geomegravetric com de lrsquoespai en general La qual cosa duria a una obvietat que lrsquoespai geomegravetric eacutes el de la nocioacute drsquoespai i eacutes lrsquoespai de lrsquoespai natural i pel fet que hi ha un tractament especiacutefic Per aixograve no es podria reduir cogravemodament i maldestrament lrsquoespai geomegravetric a la nocioacute drsquoespai Lrsquoespai geomegravetric srsquohi diferencia per conseguumlent pel tractament que srsquohi fa Car la geometria idealitza lrsquouacutenic espai que es coneix (natural i mer pensament) en lrsquoaccepcioacute que el manteacute en una tensioacute idealitzadora a partir de les concepcions dels ens geomegravetrics En aquesta accepcioacute es distingiria del concepte drsquoespai i de lrsquoespai natural i li plauria de mourersquos procurant-los efectes desnaturalitzadors Lrsquoespai geomegravetric doncs foacutera una idealitzacioacute a partir de lrsquoespai natural i del seu pensament Versemblantment no manllevaria drsquoenlloc meacutes la forccedila significativa que teacute drsquoespai perograve lrsquoestrafaria i el pretendria sublimar en una tasca impossible de dur estrictament a terme Aixiacute lrsquoespai geomegravetric foacutera lrsquoespai natural i pensat i no el foacutera segons on es poseacutes lrsquoaccent Per aixograve tambeacute lrsquoespai geomegravetric podria contribuir a la seva manera a allograve que srsquoenteacuten per espai pur malgrat que mai no srsquohi podria identificar pel motiu que li cal finalment la representacioacute

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

39

IV

LA CERTESA GEOMEgraveTRICA

La geometria euclidiana palesa un grau considerable de certesa que proveacute del mateix contingut tractat Cal provar de dar-ne alguna aproximacioacute tant des del punt de mira de les habituacions demostratives com des de la perspectiva del seu origen consideracions que srsquohauran de perllongar en drsquoaltres llocs 1 Demostracioacute construccioacute i deduccioacute geomegravetriques El llibre I dels Elements conteacute si meacutes no un sistema de proposicions que remeten les unes a les altres i als principis Llavors es podria intentar de circumscriure luacutes dels mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo (laquoprova geomegravetricaraquo) o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo i lrsquouacutes de laquodeduccioacute geomegravetricaraquo Per exemple la demostracioacute sembla una raoacute habituada que srsquoocupa de punts de liacutenies de triangles etc i que arriba a aixograve o a allograve de manera que hi va havent un proceacutes singular srsquoafegiria que lrsquoocupacioacute que ho descabdella remet a allograve ja tractat per aixograve safirmaria que les demostracions soacuten tambeacute deduccions des de quelcom ja establert Respecte de les construccions caldria afegir alguna cosa de semblant el que es construeix remet a afers meacutes elementals o que ja srsquohan construiumlt en algun problema Notirsquos que en aquesta accepcioacute els mots laquodemostracioacute geomegravetricaraquo o laquoconstruccioacute geomegravetricaraquo servirien per a un proceacutes habitual que es caracteritza per seguir passes acceptades o suficientment apreses Drsquoon proveacute la certesa drsquouna prova o demostracioacute o drsquouna construccioacute Sens dubte del proceacutes habitual eacutes a dir del fet de seguir passes acceptades o suficientment apreses I la certesa drsquoaquestes passes poden remetre a drsquoaltres en les mateixes circumstagravencies etc Al final hi ha principis de tota mena alguns formulats (els axiomes etc) drsquoaltres impliacutecits drsquoaltres assumits com a obvis hi deu haver prescripcions que un hom ha establert (quegrave eacutes liacutenia i quegrave segment) trets que es consideren

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

40

vagravelids (un punt no teacute dimensions etc) etc Al cap i a la fi afers que han tingut la seva experiegravencia representativa o a cavall entre representacioacute i el seu pensament o sols pensat agravedhuc nomeacutes linguumliacutesticament tots els quals reben la seva certesa inicial des del que eacutes representatiu i des de la manera de pensar-ho per tant capaccedil de remetre drsquouna manera o drsquouna altra a la natura i al pensament Notirsquos aixiacute mateix que la geometria pressuposa un exercici teoricopragravectic pel fet que cal dibuixar construir maquetes lrsquouacutes de compassos etc Perograve des drsquoun altre punt de mira la demostracioacute (la prova) i la construccioacute palesant amb el seu exercici el proceacutes habitual cada passa que contenen seria el cas des duna validesa general i per aixograve cada passa constructiva i demostrativa sestimaria vagravelida dacord amb lesquema laquosi qualsevol eacutes tal o tal llavors aquest eacutes tal o talraquo les passes de la construccioacute i de la demostracioacute soacuten la conclusioacute o la consequumlegravencia5 dun esquema impliacutecit6 5 El mot laquoconsequumlegravenciaraquo tindria si meacutes no dos usos de primer serviria per a la

passa final duna raoacute habituada (laquoessent la liacutenia AB igual a la CD i la EF igual a la CD per conseguumlent la liacutenia AB eacutes igual a la EFraquo) que per tant es dedueix de les altres passes

Perograve tambeacute qualsevol passa que eacutes un altre moment respecte dels principis (tant en una accepcioacute estreta o considerant tambeacute principis daltres proposicions) per tant que sen dedueix eacutes tambeacute la seva consequumlegravencia qualsevol moment duna raoacute habituada esdevindria una consequumlegravencia dels principis

Car se suposa que la deduccioacute extreu quelcom drsquoalguna cosa establerta pregraveviament (la deduccioacute srsquooposaria a la induccioacute) minus no foacutera el cas drsquouna qualsevol demostracioacute Per exemple hi hauria deduccions immediates per oposicioacute les inferegravencies mediates de tota mena etc i nrsquohi hauria de tot allograve que un hom creu que srsquoextreu sense meacutes de premisses lliurades

La logravegica eacutes en efecte el regne de la deduccioacute malgrat que llavors cal escatir quegrave val aixograve (cf Resums de logravegica i llenguatge Quaderns de filosofia 27) i si alguns principis (per exemple el de la transivitat de la igualtat) hi soacuten equiparables o no

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

41

Aixiacute el mot laquodeduccioacuteraquo susaria per a processos habituals que remeten a les passes des dels principis (en una accepcioacute laxa del mot) i laquoconstruccioacuteraquo i laquodemostracioacuteraquo serien llavors processos racionals habituats que duen a una certa conclusioacute que se cercava i amb els trets dalt indicats Per tant srsquoaccepten aquelles conclusions que han tingut una prova io una construccioacute geomegravetrica perograve alhora srsquoaccepten les construccions i les proves geomegravetriques perquegrave srsquohan apregraves moltes coses i de vegades (com en totes les proposicions elementals) eacutes possible de seguir sense hagravebit les veritats de la conclusioacute o de les passes Els motius pels quals srsquoaccepten doncs les conclusions i les proposicions geomegravetriques soacuten coses complexes i remeten a la gegravenesi de lrsquoaprenentatge propi i de la histograveria de la geometria Sembla doncs que no hi ha cap inconvenient a lhora dadmetre que les demostracions i les construccions es dedueixen minus ho proven de fer si meacutes no minus a partir dallograve que sha aconseguit abans i que aquesta relacioacute introdueix una causalitat Tanmateix la relacioacute deixaria tal qual els termes i per aixograve les construccions i les demostracions (o proves) valdrien per si mateixes com a raoacute constructiva i raoacute demostrativa Tambeacute val la pena dobservar de bell nou que per exemple la igualtat entre els angles de la base dun triangle isogravesceles podria ser establerta a partir de la investigacioacute daquest triangle i de pensar el que

6 Es tractaria eacutes clar dels trets dun proceacutes habitual tant per a les passes constructives com per a les demostratives amb la significacioacute doncs duna generalitzacioacute daquiacute que si shaguessin establert mitjanccedilant proposicions anteriors que ho exemplifiquessin en un cas unes tals proposicions contindrien aixiacute mateix la generalitzacioacute que es plasmaria en el seu enunciat quan aixiacute convingueacutes i fos possible minus si shaguessin establert mitjanccedilant principis en conjunt com es diragrave meacutes avall el tret generalitzador o sexemplificaria en un cas o en el llenguatge dels enunciats de les proposicions o en els dels postulats etc Arreu hi hauria per conseguumlent la resultant conductual corresponent per on sembla palesar-se que lordenacioacute duna geometria des de principis sencamina meacutes aviat a una presentacioacute dels afers geomegravetrics des dallograve que cal saber o que cal dominar

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

42

es demana Perograve la geometria aspira a deduir les proposicions per aixograve hi hauria unes determinades construccions i demostracions Per tant sembla tractar-se meacutes duna exigegravencia que es demana el propi home (la de seguir uns tals camins constructius i demostratius) que un sine qua non de la racionalitat En el cas de lencert de tot aixograve es comprendria per quegrave prou geogravemetres posteriors a Euclides hagin tendit a creure que la deduccioacute es feia a partir de principis (les nocions comunes i els axiomes) i de les proposicions anteriors potser fins i tot a costa de les progravepies intencions dEuclides o dels sistematitzadors duna primera llista de fonaments Insisteixirsquos una construccioacute i una demostracioacute geomegravetriques serien de primer activitats habituals el fet de pautar-les dacord amb proposicions ja treballades sembla de vegades quelcom que forccedila meacutes aviat lhome que un afer necessari per a la racionalitat i tots els principis admesos semblen recollir i exemplificar quumlestions que cal saber que cal fer o que cal dominar al marge de les relacions deductives entre proposicions i a meacutes a meacutes daquestes relacions Si meacutes no les construccions i les demostracions valen absolutament perograve no deixa de ser cert que una discussioacute de principis seria prou uacutetil perquegrave cal saber i cal dominar allograve que eacutes elemental en les proposicions o allograve que hi eacutes necessari afers que mereixen sovint una discussioacute ad hoc Perograve les mateixes notes deixen ja entreveure que hom podria allargar indefinidament el nombre de principis de la geometria no sols es podria considerar principis qualsevol passa apresa tipus laquodues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre siraquo sinoacute prou coses a fer (laquoassenyalar un punt en una rectaraquo) qualsevol definicioacute prou assumptes que cal que dibuixos i maquetes satisfacin o circumstagravencies a trobar en la construccioacute de liacutenies i de figures (laquodues liacutenies rectes no tanquen un espairaquo laquodues liacutenies rectes que es tallen ho fan per un puntraquo la igualtat etc) les geometries en podrien recollir uns quants dacord amb allograve que es cregueacutes meacutes rellevant7 7La simplificacioacute de principis teacute un dels seus punts de suport en la creenccedila que uns principis soacuten equivalents a uns altres per exemple que el cinquegrave postulat dEuclides eacutes equivalent al postulat que per un punt exterior a una recta sols hi ha una paralmiddotlela o a qualsevol dels muacuteltiples postulats alternatius

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

43

Una sistematitzacioacute deductiva perfecta no sembla cap ideal perquegrave seria un impossible8 i cal tenir-la si meacutes no com un mitjagrave dordenacioacute ndash en qualsevol cas els principis sincardinen en aquestes necessitats els Elements no sembla que hagin fet una altra cosa malgrat que des davui es pugui exigir meacutes postulats que no srsquoadmeti algunes proposicions per ser ja postulats que srsquohagi afegit que la reduccioacute a labsurd revesteix en llenguatge deductiu afers que no reben amb aixograve cap prova (tot i les conviccions dun grec euclidiagrave o dun contemporani) i que avui srsquoestimi aixiacute mateix laxiomatitzacioacute com un mitjagrave de recerca de variants de formulacions generals etc Perograve tot plegat srsquoeacutes on srsquoera que la construccioacute i la demostracioacute serien racionalitats habituals que valen duna manera absoluta i que qualsevol ordenacioacute deductiva apunta casos ja admesos (o a admetre) que entren en aquella raoacute i per aixograve es pot forccedilar la marxa expositiva dacord amb una ordenacioacute deductiva Es pot entreveure que lafany daxiomatizar correctament la geometria proveacute del propi tarannagrave de construccioacute i de la demostracioacute en la mesura que parteixen minus i les descabdellen minus de passes acceptades o apreses mentre que en una accepcioacute la demostracioacute (o la prova) i la construccioacute esdeven independents duna axiomatitzacioacute (un treball posterior)

8Com el llibre I dels Elements exemplifica per al seu cas la seva ordenacioacute de proposicions no implica pas que tot el que es va treballant en cada demostracioacute pugui ser deduiumlt a partir daltres proposicions (i si es vol dels seus principis) eacutes clar que un hom podria anar introduint postulats a mesura que anessin apareguent novetats perograve lafer seria un incessant estira-i-arronsa entre el progreacutes de la disciplina i la formulacioacute de principis i del sistema deductiu per aixograve una accentuacioacute excessiva de laxiomatitzacioacute pot deixar eixorca una disciplina amb el ben entegraves que sempre saconsegueix a posteriori de qualsevol progreacutes En daltres paraules qualsevol sistema deductiu eacutes una presentacioacute de la disciplina i no teacute necessitat dexcloure que allograve que es va deduint no pugui contenir novetats respecte dallograve ja tractat el fet que hi hagi sistemes deductius meacutes perfectes teacute sens dubte el seu megraverit com en tindria el sistema que fos perfecte perograve cal no oblidar que la demostracioacute i la construccioacute valen el que soacuten i que lavenccedil en el domini de les relacions eacutes tan important com un bon sistema deductiu

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

44

2 Meacutes sobre els principis No eacutes aquiacute el lloc per a lrsquoestabliment dels principis de la geometria euclidiana Eacutes prou sabut que la capccedilalera del llibre I dels Elements conteacute les definicions9 els postulats i les nocions comunes que es creuen oportuns malgrat que srsquohagi discutit molt sobre el sentit drsquoaquests principis10 Sigui com sigui lrsquoaxiomatitzacioacute drsquouna geometria esdeveacute una tasca de la mateixa geometria Tampoc no cal ara escatir lrsquoabast drsquouna qualsevol afirmacioacute a propogravesit drsquoaquest principi o drsquoaquell altre i bastaragrave de circumscriurersquos a unes notes a propogravesit drsquoalgun aspecte que pot meregraveixer lrsquoatencioacute del lector Per exemple el recordatori que els principis drsquouna geometria euclidiana neixen de la necessitat de garantir certes coses drsquoassumir certs requisits drsquoapuntar afers que no calen de meacutes discussioacute amb el ben entegraves que un hom no estima convenient que siguin molts eacutes a dir de comptar amb tot allograve que no es demostra o construeix sinoacute que serveix per a demostrar o construir En aquesta accepcioacute podrien ser principis que hi hagi punts liacutenies superfiacutecies sogravelids o fins i tot drsquoaltres afers per exemple que hi hagi paralmiddotleles etc Allograve rellevant rau que tot el contingut de punts linies superfiacutecies i sogravelids srsquoha apregraves drsquouna pragravectica sovintejada en els afers i en els gragravefics que tot el que tenen de contingut proveacute de les ocupacions perceptives amb els pensaments que els soacuten propis El nombre de principis sembla poder perllogar-se amb totes les notes per a la construccioacute de liacutenies i punts per exemple ho serien que els extrems de les superfiacutecies siguin liacutenies (Def6) o que les liacutenies rectes que uneixen punts dun pla pertanyin a aquest pla Endemeacutes qualsevol estudi del pla o qualsevol estudi de les seves propietats a partir duns qualssevol punts i liacutenies o de llurs qualssevol relacions tambeacute esdevindrien 9 Tambeacute hi ha definicions en drsquoaltres llibres dels Elements 10 Un apunt sobre aixograve es troba a Logravegica llenguatge i matemagravetica pagravegs 271-279

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

45

segurament principis (per tant nhi podrien haver una munioacute de diferents depenent de lhabilitat de lestudioacutes) Alhora la determinacioacute de dos plans que es creuen en una recta (cfEuclXI3) de dues superfiacutecies en una liacutenia de dues liacutenies en un punt o que un punt divideix una liacutenia que una liacutenia divideix superfiacutecies i plans (la circumstagravencia que un pla o una superfiacutecie divideix lespai ie els sogravelids minus cfEuclXIDef2 minus teacute un particular punt dinteregraves a partir de les liacutenies i dels punts que srsquohi consideren cfEuclXIDefs3-7) el fet que una liacutenia creua el pla per un punt (cfEuclXI1) que dues rectes que es tallen estan en un pla (cfEuclXI2) tots els postulats dun qualsevol principi de continuiumltat etc adapten i estudien les liacutenies i els punts en les consideracions despai i mostrarien per tant luacutes de liacutenies i de punts etc Tambeacute es podria considerar principis drsquoaltres fets prou rellevants per exemple que entre dos punts sols hi ha una liacutenia recta que dues liacutenies rectes no poden tenir un segment comuacute etc En tots els casos no cal cercar lrsquoorigen de la seva admissioacute en un altre lloc que no sigui el de lrsquoexperiegravencia perceptiva (que inclou el seu pensament i que permet la seva idealitzacioacute en un proceacutes dialegravectic) La certesa de les afirmacions no rau sols o fonamentalment en la reiteracioacute i en la circumstagravencia que nrsquohi ha tractes des de petits sinoacute que es deu a la progravepia informacioacute que lliuren les relacions espacials les inspeccions espacials els recorreguts espacials i als pensaments que provoquen La certesa eacutes clar no podria provenir de cap espai abstacte en tant que aquest no es representatiu tal qual i el fet que se lrsquoassumeix significativament en les inspeccions perceptivesimaginatives amb els seus pensaments fins a la idealitzacioacute no lleva que la forccedila dels continguts geomegravetrics ragui precisament en tot aixograve Per tant un hom no pensa sols a nivell abstracte sinoacute tambeacute concret (amb una significacioacute general si es vol en tant que el cas estagrave en representacioacute drsquoun qualsevol cas) Car amb totes les precaucions que un hom vulgui un hom sols fa geomeria a partir de les consideracions drsquoun espai representatiu amb les preferegravencies les pautes les idealitats i les conveniegravencies que es vulgui i a partir drsquoaixograve o drsquoallograve Drsquoaltra banda en la creenccedila que hi ha postulats equivalents i en el fet de tenir un postulat o els seus equivalents com a indemostrables hi hauria una certa ambiguumlitat que es mouria a diferents nivells (1) perquegrave

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

46

sestaria parlant dacord amb un hagravebit racional en perjudici duna racionalitat menys habituada (lrsquoun seragrave indemostrable un altre equivalent demostrable a partir de lrsquoanterior) (2) perquegrave el propi tarannagrave de racionalitat habitual faria que hom no tingueacutes cura que deu meacutes als pensaments que li provoca la representacioacute del que voldria admetre (per exemple en les reduccions a labsurd)(en aquesta accepcioacute els enunciats valdrien com a postulats al marge drsquouna seva demostracioacute qualsevol) (3) perquegrave una axiomatitzacioacute sembla un assaig per circumscriure allograve que srsquoassumeix i allograve que es repeteix no lleva que el repetit eacutes un altre (eacutes a dir un hom no hauria de lliurar tanta forccedila als aspectes habituals de la prova que esvaiacutes el que conteacute en si mateixa) laxiomatitzacioacute tindria meacutes un caragravecter drsquoutilitat (hom apregraven coses que es repeteixen) que teograveric No sembla haver-hi estrictament parlant postulats equivalents i la indemostrabilitat drsquoun principi tindria un avalador en lexpressioacute demostrativa pels varis nivells dambiguumlitat dels punts anteriors altrament un hom srsquoadonaria que tant els principis com la mateixa racionalitat demostrativa tenen una originalitat progravepia eacutes a dir que caldria no exagerar el valor de la demostrabilitat ni de retruc el de la indemostrabilitat 3 iquestEn quina accepcioacute es diria que els principis de la geometria euclidiana soacuten inductius De primer provirsquos de circumscriure una mica quegrave srsquoenteacuten per induccioacute La mirada perceptiva involucra lrsquoocupacioacute en les coses mateixes Lrsquoelefantet drsquoivori que hi ha davant manteacute un hom capficat de manera que no pensa en aixograve o en allograve malgrat que no pot renunciar definitivament a admetre-hi quelcom intencional Sigui com sigui el capteniment perceptiu no eacutes sols lrsquoabsorcioacute de quelcom extern sinoacute que alhora gaudeix de tots els trets que el fan lrsquoexperiegravencia drsquouna subjectivitat Tanmateix cal no arrencar des de la relacioacute entre un objecte i un subjecte lrsquoexperiegravencia perceptiva de lrsquoelefantet permet un discurs drsquoacord amb els interessos de lrsquoocupacioacute respecte de lrsquoobjectivitat de lrsquoelefantet i respecte del fet que sols es doacutena en la forma drsquouna consciegravencia En efecte lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet estagrave del tot constituiumlda i mai no nrsquohi ha

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

47

construccioacute genuiumlna hi ha degravebit que fa que no sigui quelcom drsquoun mateix drsquouna banda ndash nomeacutes apareix en la forma drsquouna subjectivitat drsquouna altra Lrsquoescissioacute en lrsquoexperiegravencia de lrsquoelefantet drsquoivori drsquoalgun alement en la direccioacute objectiva i en la subjectiva lliura com a resultants afers quimegraverics com sigui que no nrsquohi ha cap que no sigui capaccedil de remetre alhora a lrsquoaltra direccioacute La indestriabilitat essencial en la percepcioacute de quelcom no compromet eacutes clar lrsquoobjectivitat La percepcioacute eacutes la manera de conegraveixer els afers perceptius diguem-ne naturals i tot el que sersquon sap representativament drsquoaquests srsquoexperimenta en aquest nivell Ocorre que els afers percetius tambeacute es pensen Si la percepcioacute de quelcom eacutes la seva mateixa garantia (se sap que una oca eacutes blanca si se la percep aixiacute) tot el que conteacute el pensament dels afers perceptius sembla sensat de remetre-ho a la percepcioacute en persona malgrat que pensar quelcom srsquoofereix com una activitat original Es pot pensar en lrsquooca drsquouna qualsevol manera i no creure que srsquoestagrave convenccedilut que eacutes blanca per cap altra virtut que no sigui la seva percepcioacute El pensament que les oques soacuten blanques eacutes doncs inductiu en lrsquoaccepcioacute que el pes drsquoaquest contingut (quelcom original) srsquoaveacute amb el coneixement perceptiu que srsquoha tingut de les oques Perograve lrsquoindividu-oca perceptiu ja deu contenir impliacutecitament les condicions de pensar-lo (de fet es fa aixograve) i el seu pensament deu contenir les de fer-ne un saber general de tal manera que en tot plegat no deu haver-hi solucioacute de continuiumltat sinoacute domini intencional de lrsquoocupacioacute Sembla rellevant drsquoobservar doncs que la induccioacute no remet mai a una qualsevol experiegravencia sensorial ( = de sensacions) entesa com una resultant abstracta mai no fa present cap llei drsquoassociacioacute i sobretot no manlleva drsquoaixograve la seva generalitzabilitat ni un qualsevol general gegraveneric universal etc no trenca amb el moacuten perceptiu Lrsquoexperiegravencia perceptiva eacutes de quelcom que no es deu a lrsquoesforccedil propi (hi ha un degravebit) i alhora no nrsquohi ha que no tingui les condicions i la forma drsquouna subjectivitat11 La percepcioacute de quelcom ja conteacute els trets per ser admirada pel filogravesof que ho medita el pensament srsquoofereix com un agravembit privilegiat del conjunt drsquoafers Lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana srsquoofereix com un espectacle meravelloacutes als ulls que ho consideren sense banalitzar-lo ni sense copsar-lo a traveacutes de quimeres i deformitats

11 Cf Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute i Resums de logravegica i llenguatge (Quaderns de filosofia 12 i 27 respectivament)

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

48

Els principis de la geometria serien de caire inductiu en lrsquoaccepcioacute que tot el que es pensable positivament srsquoorigina en lrsquoexperiegravencia representativa Alhora la idealitzacioacute inherent al proceacutes dialegravectic degut a les definicions dels ens geomegravetrics bagravesics accentua el vessant subjectiu de lrsquoexperiegravencia no per a fer-la no inductiva sinoacute per a dur fins a un impossible el contingut inductiu Per aixograve els principis de la geometria contenen positivitat mentre sersquols pensa tambeacute negativament en un proceacutes sempre inacabat malgrat que un hom lrsquoestimi obvi i ho deixi estar Aquesta idealitzacioacute de lrsquoinductiu palesaria lrsquoespontaneiumltat de lrsquoocupacioacute Foacutera rellevant tanmateix des del punt de mira de la generalitzacioacute de no oposar resultant inductiva i saber de la percepcioacute com sigui que aquest suposa ja el pensament i aquest srsquoimbrica amb una significacioacute general de tal manera que lrsquoafirmacioacute de ser un contingut inductiu es resol amb el fet drsquoocoacuterrer en el pensament drsquouna experiegravencia perceptiva Estrictament parlant els principis de la geometria minus des del punt de mira de llur positivitat minus es troben com a resultants drsquouna experiegravencia perceptiva per aixograve inclouen el saber general que troben com a saber inductiu i la generalitzacioacute com a induccioacute Per tant caldria distingir entre lrsquoabast de les resultants inductives respecte de la representacioacute minus i el proceacutes dialegravectic de la idealitzacioacute per la qual un hom prova drsquoaprimar els continguts independentment de si ho considera un general o un particular En qualsevol cas semblaria que cal mantenir que tot contingut (amb positivitat) eacutes de caragravecter inductiu 4 La transitivitat de la igualtat Hempel va escriure laquoIlmiddotlustrem aquesta manera de veure la natura de les proposicions matemagravetiques prenent un altre exemple de veritat matemagravetica minus o millor logravegica minus citat frequumlentment o sigui la proposicioacute que sempre que a = b i b = c llavors a = c Amb quins fonaments safirma aquesta aixiacute anomenada transitivitat de la identitatiquesteacutes de natura empiacuterica i per tant si meacutes no desconfirmable per levidegravencia empiacuterica Suposem per exemple que a b c

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

49

soacuten tons de verd i que tot el que podem veure eacutes a = b i b = c perograve clarament a ne c Un tal fenomen passa de fet en certes condicions iquestel considerem una evidegravencia que desconfirma la proposicioacute en consideracioacute Eacutes indubtable que no arguiriacuteem que si a ne c eacutes impossible que a=b i b=c entre els termes duna daquestes uacuteltimes parelles si meacutes no hem dobtenir una diferegravencia malgrat que pugui ser sols subliminar I rebutjariacuteem la possibilitat duna desconfirmacioacute empiacuterica i la idea que una prova empiacuterica fos aquiacute rellevant sobre la base que la identitat eacutes una relacioacute transitiva en virtut de la seva definicioacute o en virtut dels postulats fonamentals que la governen Daquiacute que el principi en quumlestioacute sigui vertader a prioriraquo12 El text conteacute una versemblanccedila perquegrave hi ha una part que es manteacute ferma despreacutes de la criacutetica i una altra que no ho sembla poder fer La defensa de proposicions vertaderes a priori es basa en la circumstagravencia de no haver-nrsquohi confirmacioacute o rebuig experimental Una mirada distant ha drsquoestranyar-se sembla que hi pugui haver quelcom aixiacute com un saber a priori que introdueix predissenys biologravegics o alguna mena drsquoenginy mental singular o allograve que un hom pensi meacutes convenient de pressuposar-hi Ocorre que caldria decidir el meacutes de pressa possible si els usos formals del llenguatge soacuten primers o soacuten derivats eacutes a dir si soacuten una resultant dels usos no formals o no tan formals o un hom estima que soacuten un inici de pensament de manera que soacuten aquests usos els que regulen els altres usos En drsquoaltres paraules si soacuten primer dues coses (dues taronges dues ratlles dos homes etc) o la relacioacute drsquoigualtat (si es vol a traveacutes drsquoun llenguatge del tipus a=b) Si la gent no formada teacute meacutes aviat dificultat drsquoentendre un qualevol llenguatge formal si agraveldhuc en a=b hi ha una incomprensioacute bagravesica del que es diu si un hom hi lleva la connivegravencia sembla clar que lrsquoorigen dels usos del mot lsquoigualrsquo etc es troben en les relacions concretes entre coses

12 CGHempel On the nature of mathematical truth publicat a The American Mathematical Monthly vol52 (1945) pagravegs543-556 Recollit a Phylosophy of mathematics Cambridge University Press 1964 (2ordf 1983) a cagraverrec de PBenacerraf i HPutnam la cita es troba a pagraveg380

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

50

Perograve lrsquooriginalitat del tots els usos fa que els uns no es puguin explicar (en lrsquoaccepcioacute de substituir) pels altres allograve de quegrave informa a=b no ho pot lliurar cap altra igualtat entre fruites o entre homes La proposicioacute a=b gaudeix drsquoun valor absolut i tal qual no remet a res Pretendre que dos homes iguals dues monedes iguals etc pugui substituir a=b equival a no entendre que cada proposicioacute eacutes la seva progravepia garantia i que el que hi ha eacutes una coheregravencia drsquouns afers i uns altres que fa dir per exemple que lrsquoorigen es troba meacutes aviat en les observacions perceptives Aixograve inaugura la possiblitat de dos discursos lrsquoun que es mou a nivell perceptiu lrsquoaltre a nivell formal No hi ha cap dificultat a dir que dos bens soacuten iguals observar que un drsquoaquests sembla igual a un tercer i que un hom sigui capaccedil de notar algun detall que fa desigual el tercer i lrsquoaltre que quedava Perquegrave aquiacute laquoigualsraquo vol dir que sersquols percep iguals on laquoigualsraquo passa a ser un adjectiu per a una experiegravencia drsquoeacutessers naturals que srsquoofereixen a la mirada i no eacutes res meacutes els dos bens soacuten iguals com soacuten blancs o tacats grans o joves etc Fet i fet lrsquoexperiegravencia drsquoalguacute sense prejudicis formals valida que troba afers iguals i drsquoaltres iguals a uns i no iguals als altres i no passa res aquesta eacutes lrsquoexperiegravencia perceptiva que valora els afers drsquoacord amb el seu saber i que no hi troba cap incoheregravencia com sigui que eacutes meacutes aviat coherent ara estimar igualtats ara fer-ho com a desigualtats Qui percep no mana com srsquohan de percebre les relacions Drsquoaltra banda que de a=b i b=c un hom conclogui necessagraveriament que a=b no proveacute drsquoenlloc meacutes que de la significacioacute dels usos formals com sigui que a=b sols diu que hi ha dues coses iguals ho diu a nivell formal talment com en lrsquouacutes de lsquocoses igualsrsquo de tal manera que aquella transitivitat se circumscriu a dir que allograve que eacutes igual (a=b) i que seguix igual (a=c) ha de ser igual (b=c) o que si la igualtat segueix la igualtat resta la igualtat o potser alguna altra foacutermula meacutes encertada Un hom no pot rebutjar la transitivitat de la nocioacute drsquoigualtat pequegrave sempre es mou a nivell drsquouna igualtat formal En conclusioacute cal rebutjar que lrsquoexperiegravencia pugui invalidar la tansitivitat formal perquegrave es mouen a nivells diferents Perograve el principi

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

51

de la transitivitat no regla lrsquoexperiegravencia no pot substituir les avaluacions perceptives Cal bandejar qualsevol saber a priori La necessitat del principi no proveacute drsquoalgun privilegi determinat sinoacute de ser un punt drsquoarribada un final de camiacute que teacute un significat original i que llavors ja no permet per exemple algunes de les experiegravencies perceptives de quegrave es parlava tanca la porta a qualsevol significat que no sigui la drsquoallograve igual Llavors el caragravecter transitiu de la igualtat iquesteacutes un principi inductiu o no Siacute ho eacutes com sigui que no sembla que es pugui aprendre res que no passi per lrsquoexperiegravencia perceptiva i en conjunt humana Aquest principi inductiu eacutes general Tanmateix quegrave vol aportar aquiacute que sigui general Perquegrave no pot pas assumir de cap de les maneres la plasticitat de les coses perceptives El principi general bandeja tal qual una qualsevol concrecioacute perceptiva ignora un fet essencial de la natura com eacutes la diversitat en tots els ordres dels afers Eacutes formal per tant parla sols de laquocoses en generalraquo i de cap en particular Perograve quegrave poden tenir igual les coses en general Doncs no-res laquodues coses igualsraquo no tenen res drsquoigual sinoacute que lrsquoexpressioacute significa que es parla de la igualtat entre coses a nivell formal La formalitzacioacute fa impossible una distincioacute Aquiacute de les coses a banda de ser iguals no sersquon diu res meacutes Per aixograve dues coses iguals a una tercera soacuten iguals entre si allograve que eacutes igual i que eacutes igual duu a un tercer laquoque eacutes igualraquo Per tant srsquoassumeix el principi per experiegravencia i eacutes inductiu srsquoesdeveacute que es fa difiacutecil de mantenir com a principi allograve que lrsquoexperiegravencia de vegades no permet que no es noti desigualtats aquiacute i siacute que se les noti allagrave en les coses perceptives mateixes El principi de la transitivitat de la igualtat no ha de menester doncs de meacutes certesa La que proporciona a les ciegravencies formals es lliura al mateix nivell que la que lliuren els objectes de quegrave tracta (les igualtats numegraveriques) ndash a les que no soacuten formals com la geometria lliura el que la igualtat significa (dues liacutenies iguals) ndash etc Un hom es mou a nivell drsquouna certesa prou sogravelida amb les seves progravepies

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

52

habituacions i aixograve basta per a assumir el rigor i la consistegravencia dels discursos matemagravetics No es tracta que el discurs formal sigui capaccedil de substituir les aproximacions perceptives ni que hagi proveiumlt drsquoun llenguatge que srsquoescapoleix de les imperfeccions dels afers plagravestics Aquesta forma de veure-ho foacutera desencaminadora aquests llenguatges soacuten la manera que hi ha de pensar afers que srsquooriginen del moacuten natural i que srsquohi han drsquoencaminar drsquoalguna manera si han de ser uacutetils Tota la certesa de quegrave gaudeixen srsquoorigina del moacuten perceptiu malgrat que es manteacute a nivell formal tal i com es pot fer per aixograve en soacuten deutors per tots costats i poden reflectir al seu nivell quelcom que no es manteacute en allograve formal Per aixograve la transitivitat de la igualtat contribueix a la seva manera a la idealitzacioacute de la geometria Car es pensa en igualtats de tot tipus (segments costats etc) mentre es descabdella un qualsevol aspecte de la disciplina Eacutes a dir es mana que siguin iguals malgrat qualsevol representacioacute perograve aquesta comanda es comporta drsquouna manera paralmiddotlela a la de la definicioacute del punt que no teacute dimensions El mateix geogravemetra no sap doncs si dues respresentacions soacuten iguals tot i que forccedila que ho siguin certament no les fa efectivament iguals pel fet de pensar-ho i alhora el mer pensament formal eacutes incapaccedil de fer geometria euclidiana perquegrave li cal alguna representacioacute Hi ha doncs un nou proceacutes dialegravectic idealitzador i insuperable Allograve que ocorre eacutes la seva banalitzacioacute el proceacutes es fa obvi De bell nou se certifica que tot el que hi ha de positivitat eacutes de caire inductiu al costat drsquoun registre liacutemit tal qual sempre inabastable mentre es manteacute a nivell formal que srsquoesvaeix quan perd aquest estatus que es manteacute quan sersquol pensa amb representacioacute malgrat que no per la representacioacute en quegrave es pensa 5 Els principis de la geometria i John Stuart Mill Val la pena drsquoesmentar aquest autor britagravenic que va defensar eacutes cosa coneguda el caragravecter inductiu dels principis de la geometria Un hom se circumscriu certament a fer-ne un breu apunt a partir drsquouna tria aleatograveria per a copsar una mica el seu tremp

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

53

De primer notirsquos que el tractament que A system of logic13 fa de la induccioacute en matemagravetiques segueix el sentit quotidiagrave del mot laquoexperiegravenciaraquo i de la induccioacute al marge doncs de lrsquoepistemologia de lrsquoautor A propogravesit de les definicions dels Elements diu per exemple que no es pot concebre un punt sense dimensions una liacutenia sense amplada etc14 Srsquoafegeix que en les definicions srsquohi reteacute dels objectes allograve que srsquohi vol ressaltar ara perograve que no es pot pressuposar que no tenen els altres caragravecters15 Aquiacute tampoc no srsquohi para compte de les irregularitats de les deformacions dels petits errors16 Certament no corresponen als fets perograve se suposa que ho fan per a treurersquon les consequumlegravencies17 En aquesta accepcioacute unes tals suposicions soacuten hipogravetesis eacutes a dir veritats retocades i en aquesta proporcioacute allunyades del que eacutes vertader18 i llavors sols hi ha necessitat en lrsquoaccepcioacute del que srsquoextreu des drsquoaquiacute eacutes a dir drsquoallograve que es dedueix19 Fet i fet aquestes hipogravetesis soacuten fets reals amb alguna de les seves circumstagravencies exagerada (srsquoassumeix de ser del tot allograve a la qual cosa realment srsquoacosta molt) o omitida (a restaurar quan convingui)20 Si es passa als axiomes llavors encara accentua meacutes si pot ser el seu caragravecter inductiu i defensa que aquests primers principis no soacuten hipotegravetics sinoacute vertaders21 Soacuten veritats drsquoexperiegravencia generalitzacions a partir de lrsquoobservacioacute induccions a partir dels fets Els ha suggerit si meacutes no lrsquoexperiegravencia La verificacioacute permanent lliura una forta predisposicioacute a assumir-los i llur coneixement irreflexiu es va aprenent des de la infantesa meacutes tendra Lrsquoargument que no hi ha en lrsquoexperiegravencia liacutenies sense amplada etc i per tant que no poden ser induccions falla perquegrave desconeix la prova per aproximacioacute que teacute un cas extrem en la doctrina matemagravetica dels liacutemits22

13 A system of logic ratiocinative and inductive Collected works of John Stuart Mill (volVII i VIII) University of Toronto Press 1973-1974 14 Cf iacutedem pagraveg225 15 Cf iacutedem pagravegs225-226 16 Cf iacutedem pagravegs225-226 17 Cf iacutedem pagraveg226 18 Cf iacutedem pagraveg227 19 Cf iacutedem pagraveg227 20 Cf iacutedem pagravegs228-229 21 Cf iacutedem pagravegs229-230 22 Cf iacutedem pagravegs231-233

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

54

Drsquoaltra banda cal admetre que les propietats de la realitat estan representades fidelment en els diagrames imaginats com una liacutenia real per exemple pot estagrave representada per una altra per tant no se surt de lrsquoagravembit de la induccioacute Ultra aixograve Bain diu que lrsquoaprenentatge per experiegravencia drsquoalguns fets inclou que les seves nocions excloguin drsquoaltres possibilitats Apregraves el que eacutes un tot i una part el tot eacutes meacutes gran Apregraves quegrave eacutes una liacutenia recta per oposicioacute a una de corba o trencada no cal meacutes experiegravencia per a saber que dues liacutenies rectes no tanquen un espai etc El mateix coneixement que fa comprendre un primer principi basta per a verificar-lo23 Mill insisteix cal convegravencer-se que sols calen les lleis drsquoassociacioacute per a esvair la ilmiddotlusioacute que adscriu una peculiar necessitat a les induccions meacutes primerenques des de lrsquoexperiegravencia24 No costa drsquoadmetre la rellevagravencia de la posicioacute de lrsquoautor en tot aixograve com en drsquoaltres detalls (la necessitat i la certesa atribuiumlda a les matemagravetiques seria una ilmiddotlusioacute25 etc) Manteacute la geometria com una ciegravencia deductiva perquegrave srsquoapliquen els axiomes i algunes definicions que soacuten generalitzacions inductives a casos als quals no poden aplicar-se a primera vista i per tant es fa successivament (i genialment)26 etc

23 Cf iacutedem pagravegs232-236 24 Cf iacutedem pagravegs236-251 25 Cf iacutedem pagraveg224 26 Cf iacutedem pagravegs214-218

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

55

QUADERNS DE FILOSOFIA

1 Sobre lrsquouacutes del mot lsquoborsquo desembre 1997 2 Quegrave vol dir responsabilitat Amb un annex sobre la llibertat abril 1998 [2ordf edicioacute marccedil 2010 3ordf edicioacute octubre 2012] 3 Sobre les concepcions aritmetitzants dels nombres irracionals desembre 1998 4 En quina accepcioacute els grecs demostraren la incommensurabilitat febrer 1999 5 Del discurs teograveric juny 1999 [2ordf edicioacute marccedil 2012] 6 Dels temps i dels moviments elementals octubre 1999 7 Consideracions sobre el llenguatge del llibre X dels Elements febrer 2000 8 Sobre la subjectivitat maig 2000 9 Sobre el principi de la moralitat desembre 2000 [2ordf edicioacute setembre 2008 3ordf edicioacute juliol 2010 4ordf edicioacute octubre 2012] 10 Dotze notes a propogravesit de la causa i de lrsquoefecte marccedil 2001 11 La proporcioacute drsquoEgraveudox i la generalitzacioacute de la proporcioacute juny 2001 [2ordf edicioacute maig 2007] 12 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part primera La tesi de lrsquoactitud natural i la seva desconnexioacute desembre 2001 13 Propostes en ocasioacute del cos i de les passions novembre 2002 [2ordf edicioacute desembre de 2011] 14 Anotacions marginals als Principia Mathematica newtonians maig 2003 15 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica ( I ) maig 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 16 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (II) octubre 2004 [2ordf edicioacute gener 2010] 17 Lrsquooriginalitat del sagrat i la seva criacutetica (III) marccedil 2005 [2ordf edicioacute gener 2010] 18 Sobre lrsquouacutes linguumliacutestic en els liacutemits drsquoacord amb lrsquoobra de Cauchy desembre 2005 19 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part segona Consciegravencia i realitat natural abril 2006 20 Sobre la meditacioacute fenomenologravegica fonamental de Husserl Part tercera La regioacute de la consciegravencia pura i les reduccions transcendentals setembre 2006 21 La quumlestioacute nacional Nous esborranys per a avui gener 2007 [2ordf edicioacute maig 2010] 22 La llum i els colors Unes aproximacions elementals maig 2007 23 Introduccioacute a lrsquoestegravetica Esbossos drsquouna teoria de lrsquoart i de la bellesa octubre 2007 24 Apunts de lrsquouacutes linguumliacutestic per a la definicioacute dels diferencials i de les derivades en Cauchy i Weierstrass febrer 2008 25 La saviesa la fe i lrsquoinfinit juny 2008 26 A propogravesit de la poliacutetica la democragravecia i la justiacutecia febrer 2009 [2ordf edicioacute abril 2010] 27 Resums de logravegica i llenguatge maig 2009 28 El λόγος de la ciegravencia Indicacions preliminars des de lrsquoAlmagest octubre 2009 29 El llibre El Callat de Joan Vinyoli i el referent ontologravegic abril 2010

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013

56

30 Un exercici criacutetic a propogravesit de linconscient freudiagrave setembre 2010 31 La unitat i el nombre Una introduccioacute a lrsquoaritmegravetica abril 2011 32 La histograveria la bona nova i la conversioacute Una recerca de filosofia juny 2011 33 Una realitat anticipada la festa la promocioacute drsquoun siacute Una recerca de filosofia agost 2011 34 Notes de lectura de filosofia de la ciegravencia (Popper Lakatos Fayerabend) febrer 2012 35 Estudis sobre la comunicacioacute Llenguatge accioacute comunicativa i nous mitjans agost 2012 36 Introduccioacute a la geometria euclidiana Apunts per a una filosofia de lrsquoespai gener 2013