introducciÓ a la fiabilitat i disponibilitat de sistemes · prof. lídia montero - notes curs...

FIB FIB MODELS DE LA INVESTIGACIO MODELS DE LA INVESTIGACIO OPERATIVA per lOPERATIVA per l’’ANANÀÀLISI DE LISI DE

SISTEMES (MIOAS)SISTEMES (MIOAS)

INTRODUCCIÓ A LA FIABILITAT I DISPONIBILITAT DE SISTEMES

Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 2

Font: K.S. Trivedi

Panoràmica…

EinesEines AplicacionsAplicacions

TeoriaTeoria Métodes de Modelatge i resolució quantitativa: RBD,FTREE, CTMC, NHCTMC, etc.

SHARPE SPNP SREPT SRA

Sistemes Real-timeXarxes d’OrdinadorsXarxes WirelessEmpreses:GE, HP, Ericsson, IBM EMC,Lucent, Motorola,.

Llibres


Comportament de Falles en Components i InterfíciesLa Falla pot caracteritzar-se per:

Taxa constant de falles.

Taxa de falles dependent del temps.

Tipus, distribució de les arribades de falles, procediments de reparació/recuperació i distribucions de llurs demores.

Mesures: Fiabilitat (Reliability), Disponibilitat (Availability), MTTF, Downtime, etc.

Baix Nivell (chip level) Nivell de Sistema (CPU-I/O, multiprocés) Nivell de Xarxes de Comunicació.

Mesures o models (simulació o analítics) Models analítics : RBD, FTREE, CTMC,etc.


Definició de Fiabilitat (Reliability)

Les recomanacions E.800 de la InternationalTelecommunications Union (ITU-T) defineix la Fiabilitat:

La habilitat d’una component per realitzar una funció requerida sota condicions prefixades per un cert interval de temps.

En la definició, una component pot ser una placa de circuits o element de la placa, una estació de transmissióamb varis moduls, etc. La definició inclou també la component de software dels sistemes.


La Disponibilitat està molt lligada a la Fiabilitat i també es defineix en la recomanació ITU-T E.800 :

“La habilitat d’una component per trobar-se en un estat per realitzar una determinada funció en un instant concret del temps o dins d’un interval de temps, si els recursos externs li són subministrats."

Una important diferència entre fiabilitat i disponibilitat rauen que la fiabilitat es refereix a un estat operatiu lliure de falles durant un interval i disponibilitat es refereix a un estat operatiu lliure de falles en un instant concret, habitualment quan s’accedeix al dispositiu o sistema per primer cop.

Definició de Disponibilitat (Availability)


Demandes d’Alta Fiabilitat/Disponibilitat

Aplicacions Tradicionals(llarga vida/vida crítica)

Missions espaials, control d’avions, defensa, plantes nuclears.

Noves Aplicacions(no de llarga vida/no vida crítica)

Operacions bancàries, reserves d’avions, comerçelectrònic, telecomunicacions, servidors webs, etc.

Aplicacions científiques(no-critica)


Font: Trivedi (2003)

Motivació de Alta Fiabilitat/Disponibilitat


Mesures lligades al bonFuncionament d’un Sistema

Probabilitat de sistema operatiu durant un interval sense requerir reparacions

Fracció del temps en que el sistema ésoperatiu

Capacitat del sistema per funcionar en situacions anormals

Funcionament del Sistema sota reparacions i falles

Fiabilitat

Disponibilitat

Survivability

Performability


Definicions BàsiquesFiabilitat R(t) :

X : V.a. Temps fins la fallida d’un sistema

F(t): : FunciFuncióó de de distribucidistribucióó del del tempstemps de vidade vida

Temps Mig fins a la fallida del sistema (MTTF-Mean Time To Failure)

f(t): FunciFuncióó densitatdensitat del del tempstemps de vidade vida

( ) ( ) ( )tFtXPtR −=>= 1 ( ) ( )tftR −=⇒ '

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∞∞∞∞∞

=+=−==Ε=00000

'' dttRdttRttRdtttRdtttfXMTTF


DisponibilitatDisponibilitat Instantània (puntual) A(t): A(t) = P (sistema operatiu a l’instant t) Sigui H(t) la convolució de F i G:

g(t): funció densitat del temps de reparació del sistema

Aleshores:

Disponibilitat Inst., , Fiabilitat

( ) dxxgxtFtHt

)()(0

−= ∫

∫ −+=t

xdHxtAtRtA0

)()()()(

)()( tRtA ≥

Definicions Bàsiques


Primera fallida i reparació a instant x<t OPERATIU al final interval (x,t), prob:

Disponibilitat

Primera reparació complertada aquí

Cap fallida a (0,t), prob: R(t)Sistema és operatiua l’instant t

∫ −t

xdHxtA0

)()(

0 x t

x + dx


MTTR: Temps Mig de Reparació (Mean Time toRepair)

Y: V.a. Temps de Reparació del Sistema

Disponibilitat i Fiabilitat estan relacionades, però són conceptes differents.

[ ] ∫∞

==0

)( dtttgYEMTTR

Disponibilitat


Es pot demostrar que en règim estacionari la Disponibilitat és :

També: fracció de downtime = 1-Ass

MTTRMTTFMTTFASS +

=

Disponibilitat


Dependability (terme genèric per Fiabilitat):

Fiabilitat (terme matemàtic): R(t), MTTF.Disponibilitat: Estacionari, Transitori.Downtime

És operatiu, i durant quant de temps?''

Rendiment-Performance:

Throughput, Temps de Resposta, etc. Donat que funciona, quant de bé treballa?''

MESURES A AVALUAR


Basades en mesures

Més acurades, més cares.

No sempre són possibles o efectives durant el disseny.

Tècniques estadístiques d’extraordinària importància.

Model-Based

METODOLOGIES PER AVALUAR


Cadenes de Markov

Métodes Combinatoris com RDBs són fàcils,

però per modelar interaccions complicades

entre components, cal usar altres models com

les Cadenes de Markov o més generals, els

state space models.


Fiabilitat: Diagrames de Blocs

(RBDs)


La necessitat de Modelització dels Fenòmens Aleatoris

Fenòmens Aleatoris en l’entorn informàtic:Arribades de processos (jobs). Temps d’execució dels processos (jobs). Requeriments de memòria Cache (jobs). Falles o reparacions de components o recursos.

Com es quantifica l’aleatorietat? Usant Models Probabilistes.

Com Estimar els Quantificadors? Usant tècniques estadístiques.


Modelització de Fenòmens Aleatoris

Mesures: Dades

AnàlisiEstadístic

Model de Probabilitat

(PM)

Input Output Validation

Outputsdel Model

Parametresd’Entrada del Model


Fiabilitat: Diagrames de Blocs (RDB)Models de tipus Combinatori (non-state space model ).Cada component del sistema es representa com un bloc. Arquitectura del Sistema representada per la connexiódels blocs:

Blocs que són tots necessaris per funcionar es connecten en sèrie. Blocs en que només és necessari un per funcionar es connecten en paral.lel.Quan almenys k de n blocs han d’estar operatius perque el sistema sigui operatiu: estructura k-of-n.

Falles individuals de les components s’assumeixen independents. Són possibles els RBD serie-paral.lel amb independènciaestadística en la fiabilitat de les components.


Fiabilitat: Diagrames de Blocs Sèrie-Paral.lel(RBDs)


Sistemes en Sèrie

Sistemes en sèrie: n components estadísticamentindependents.

Succés “ Component i-èssima està operativa” : Ei .

Sigui, Ri= P(Ei), llavor la fiabilitat del sistema sèrie és :

Per simplificar la fiabilitat és simplement una probabilitat, posteriorment es tractarà com a funció del temps.

( )

ciaindependèn perEPEPEPEEEPoperatiuésSistemaPR

n

n

S

,

)()...()()...(

""

21

21

⋅=∩∩∩=

=


Simplement, LLEI DEL PRODUCTE DE FIABILITATS,aplicable a sistemes en sèrie de componentsindependents.

Si Rs< min {R1, , Rn}, i.e., el sistema és més feble que la seva component més feble.

∏=

=n

iis RR

1

R1 R2 Rn

Sistemes en Sèrie


Sistema amb n components independents en

paral.lel .

El Sistema falla (no és operatiu) sii totes les n components fallen.

Ei= "component i és operativa"

Ep= “sistema en paral.lel de n components és

operatiu”.

Rp= P(Ep).

Sistemes en Paral.lel


Aleshores,

"" fallencomponentsnTotes=____

2

__

1 ... nEEE III=

)...()(____

2

__

1

__

np EEEPEP III=

)( ...)()(____

2

__

1 nEPEPEP=

"." fallalelparalsistemaElEp =



Sistema en paral.lel de componentsindependents segueix LA LLEI DEL PRODUCTE DE ‘NO FIABILITATS’ (UNRELIABILITIES)

R1

Rn

. . .

. . .

( )∏=

−−=n

iip RR

1

11



Sistema serie-paral.lel : n etapes en serie, onl’etapa i té ni components en paral.lel.

Per i=1,...n, R ij= Rj, ni≥ j ≥ 1Fiabilitat del Sistema serie-paral.lel és:

( )( )∏=

−−=n

i

nisp

iRR1

11

Sistemes en Sèrie-Paral.lel


Exemple: 2 Controladors de Canal i 3 Canals de Veu

control

control

veu

veu

veu

Exemple: Sistema en Sèrie-Paral.lel


Cada canal de control té fiabilitat Rc

Cada canal de veu té fiabilitat Rv

El Sistema és operatiu si com a mínim un canal

de control i com a mínim un canal de veu són

operatius.

Fiabilitat del Sistema:

( )( ) ( )( )32 1111 vcp RRR −−−−=



Exemple Sistema Sèrie-Paral.lel

El sistema és operatiu si hi ha com a mínim un camí amb components operatives entre a i b.

Ri= P ( Component i operativa )

R = P ( Sistema operatiu ) = 1 - (1 - R1R4) (1 - R3R5)

a

1 4

53

b


Trobeu la fiabilitat del següent sistema:

Assumir independència mútua entre els blocs

C

A BD

C

C

ED

( )( ) ( )( ) EDCBAsp RRRRRR 23 1111 −−−−=



Sistemes mésGenerals:

Non-Series-Parallel Systems


1

5

4

3

2S T

Diagrames de Fiabilitat Pont:RBD-Bridge

Ex: Xarxa telefònicaamb routing alternatiuentre S i P.


Enumeració dels estats (Taula booleana)

Diagrames Binaris de Decissió: BDD (Binary Decision

Diagram)

Factorització o condicionament : Si sistema és simple.

Veiem-ho en l’exemple.

Sistema funciona si totes les components d’almenys un camí ho

fan.

Sigui el succés Xi: “Component i operativa”. Ri =P(Xi).

Metodes d’Anàlisi per Non-Series-Parallel RBDs


En l’exemple: primer cal trobar els camins (routes):

Sigui el succés X: “Sistema és operatiu”, definit com a unió de

successos no disjunts, però pel TPT es pot factoritzar:

Metodes d’Anàlisi per Non-Series-Parallel RBDs

( ) ( ) ( ) ( )53524241 XXXXXXXXX ∩∪∩∪∩∪∩=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )

( ) ( )( )53412

542

25341254

2222

2222

111|111|

11111111||||

RRRRXXPRRXXPOn

RRRRRRRRRXXPRXXP

XPXXPXPXXPXP

−−−=−−−=

−−−−+−−−=−+=

+=


Exemple de la Regla de Bayes

Diagrama d’un Canal de Transmissió Binari .

T0 = 0 es transmet T1= 1 es transmetR0= 0 es rep R1= 1 es rep

To

R1

Ro

T1

P(Ro|To)

P(Ro|T1)

P(R1|To)

P(R1|T1)

Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 37Copyright ? 2003 by K.S. Trivedi 37

Dades: P (To) = 0.45 P (Ro|To) = 0.92 P (R1|T1) = 0.95

Calculeu: P (Ro), P(R1) P (T1|R1), P(To|Ro) P (‘Error’)



P(“Error”) = P(T1∩R0) +P(T0∩R1)

=P(R0|T1) P(T1) + P(R1|T0) P(T0)

P (T1|R1) = (P (R1|T1). P (T1))/P (R1) = 0.95x0.55/0.5585 = 0.9355

P (T0|R0) = (P (R0|T0). P (T0))/P (R0) = 0.98x0.45/0.4415 = 0.9988


P(R0|T0)

P(R1|T1)

P(R1|T

0)

P(R0|T1)

T0

T1 R1

R0


Sistemes k-de-n en RBDsSistema consistent en n components independents .

Sistema és operatiu quan k o més components són

operatives.

Sistema k-of-n Idèntic: Cada component té la

mateixa distribució de falles i/o temps de reparació. Si k=1 sistema amb redundància en paral.lel.

Si k=n sistema en sèrie.


Exemple Sistema Triplex 2-de-3Sistema consistent en 3 components independents .

Sistem és operatiu quan 2 o més components són

operatives. Fiabilitat de cada component R.

Sigui RTMR, la fiabilitat del Triplex (model Bin(n=3,p=R)

( ) ( )( ) 32

3

2

333|2

13

1

RRR

RRRRi

iiiTMR

+−==

−== ∑=

−

K


Fiabilitat/Disponibilitat funció del temps


Fiabilitat com a Funció del Temps

Fiabilitat R(t): Prob. de no tenir cap falla en (0,t). Sigui X v.a. temps de vida d’una component.

Sigui N0= Nb.total de components (fix); Sigui Ns(t)= Nb.supervivents; Nf(t)= Nb.falles a t.


Equivalència:

Fiabilitat.

Funció distribució de probabilitat complementària.

Funció de Supervivència:

R(t) = 1 -F(t)

Definicions


Taxa de Falles o Taxa de Risc(Failure Rate o Hazard Rate)

Risc instantani: h(t) (#falles/unitat_temps)

Cas particular exponencial X - EXP( λ). Aleshores taxa de falles (risc) és independent del temps:

És l’única distribució contínua amb taxa de falles (risc) constant (CFR) .


Funció de Risc (Hazard Rate) i fdp

h(t) ∆t = prob.condicional sistema falli a (t, t + ∆t] donat que ha sobreviscut fins l’instant t.

f(t) ∆t = prob.absoluta que sistema falli a (t, t + ∆t].Analogia amb el que seria:

Probabilitat que algú mori entre els 90 i 91, donat que ha viscut fins els 90 anys.Probabilitat que algú mori entre els 90 i 91 anys.

)(1)(

)()()(

tFtf

tRtfth

−==


Fiabilitat a partir de la Funció de Ris c

En general, la fiabilitat R(t) es pot relacionar sempre amb la funció de risc, només cal aplicar càlcul simple,

( )

−= ∫

tdxxhtR

0)(exp


Distribucions de Temps de Falla

Relacions

1)(log)(

)(1)(1)(

1)(11)(

)()(')('1

0

0

0

)(

)(

0

)(

tRdtd

duuf

tfetFduuf

etRduuf

ethtRtF

e

t

duuh

t

duuht

duuh

t

t

t

−

∫−

∫−−

∫−

∫

∫∫

∞

−∞

−

−

f(t) F(t)

f(t)

F(t)

R(t)

R(t)

h(t)

h(t) ))(1()('tF

tF−


DFR IFR

Decreasing failurerate

Increasing fail. rate

h(t)

t

CFR (useful life)

(burn-in-period) (wear-out-phase)

Fase DFR : RodatgeFase CFR: Operació Normal Fase IFR : Fatiga

Exemple de Corva de Risc


Usada per modelar la fatiga per envelliment de components (fdp amb cua molt llarga)

Fiabilitat: Distribució Weibull pot modelar comportaments DFR (α < 1), CFR (α = 1) i IFR (α >1).

α és el paràmetre de forma i λ és el paràmetre d’escala.

Distribució Weibull

( ) 0 ≥= − tetR tαλ

αλtetF −−=1)(


ExempleTemps de Vida, X : Distribuit Weibull ambObservació: 15% components duren 90 hrs, però fallen abans de les 100 hrs.,

Trobar el paràmetre d’escala λ per la distr. Weibull :

Resolent


Funció de risc amb temps de vida Weibullsegons valors de α i λ = 1

5.0


Distribució Weibull amb 3 paràmetres

Versió més complexe de la Weibull emprada per acotar el rang de valors de la v.a. (θ,+∞):

S’afegeix el paràmetre de posició θ.


Funció de Risc en Posta en Marxa

Anomenada sovint fase de mortalitat infantil o fase d’increment de la fiabilitat o fase de decreixement del risc (Fase DFR). Causada per defectes no detectats de hardware/software a resoldre durant la posta en marxa del producte. Ex: Calderescalefacció. Cal considerar-las específicament, doncs si s’usan taxes de falles estacionàries pot conduir a important errors de predicció. Pot modelar-se amb una Weibull (DFR).


Taxa de falles inferior que en la Fase de posta en marxa. Taxa de falles constant (CFR) o potvariable.Temps entre falles exponencialmentdistribuït sol modelar-se habitualment.

Funció de Risc en Estacionari (SteadyState


Taxa de falles s’incrementa ràpidament amb l’edat (Fase IFR). Els equips electrònics ben qualificats no mostren fatiga durant el temps de vida indicatpel fabricant. ( Ex. Motorola). Aplicable a sistemes mecànics (coixinet). Model (IFR) Weibull pot usar-se per modelar el comportament.

Periode de Vellesa


Model Weibull truncat

Fase de Posta en Marxa modelada per WeibullDFR i Fase Estacionària per una exponencial.

0 2,190 4,380 6,570 8,760 10,950 13,140 15,330 17,520Operating Times (hrs)

Failu

re-R

ate

Mul

tiplie

r

7

6

5

4

Models per Taxes de Falles


La incorporació de taxes de falla variables amb el temps en els modelsde disponibilitat pot fer-se de diferents maneres. La manera més senzilla consisteix en aproximar la distribució contínuaper una funció decreixent esglaonada (discreta).

2,190 4,380 6,570 10,950 13,140 15,330 17,520Operating Times (hrs)

Failu

re-R

ate

Mul

tiplie

r

7

6

5

4

3

2

8,7600

h1

h2hSS



En l’exemple anterior:

L’aproximació pot refinar-se incrementant el nb d’etapes.

hhhth

ss

W

===

2

1)(

760,8760,8380,4380,40

≥<≤<≤

ttt



Model HipoExponencial (HIPOEXP)

HipoExp: Vàries fases Exponencials en sèrie. HipoExp de 2-fases notada com HiPO(λ1, λ2). Les funcions de densitat, distribució i risc són:

HipoExp és de tipus IFR.Temps de servei d’un disc pot modelar-se com una HipoExp de 3 Fases donat que el temps total és la suma del temps de cerca, latència i transferència.


HipoExp(1,5)

HipoExp(1,5) F. Densitat HipoExp(1,5) F. Distribució

Model HipoExponencial (HIPOEXP)


Distribució ErlangCas particular HIPOEXP: Totes les fases tenen idènticparàmetre.


Distribució Erlang: funció densitat


Distribució Erlang: funció distribució


Funció densitat de probabilitat és,

La distribució gamma pot modelar els 3 tipus de comportament en risc de falles DFR, CFR i IFR. α = 1: CFR

α <1 : DFR

α >1 : IFR

Gamma amb α = n/2 i λ = 1/2 és una v.a. chi-quadrat amb n graus de llibertat.El paràmetre de forma és α i d’escala és λ .

Distribució Gamma


α = 1: CFRα <1 : DFR α >1 : IFR

Distribució Gamma: funció de risc


Distribució Gamma: funció densitat


Alternància d’etapes Exp( ) idèntiques : model Hiperexponencial.

Temps de CPU pot modelar-se per HiperExp.

Model HiperExponencial (HIPEREXP)


Hiper Exponencial Vs. Exponencial CDF

Distribució del temps de CPU mesurat millormodelatge HiperExp( ) que EXP( ).


Modela taxes de falles més complexes que els casos simples CFR, IFR, DFR.

Per, κ > 1, la taxa de falles creix amb t ; després decreix amb el temps. Emprada en models d’increment de la fiabilitat del software.

Distribució Log-logistica

λ param. escala

Κ param.forma


Distribució Log-logistica: funció de risc


Forma de campana en la fdp. Teorema Central del Límit: suma de gran nombre de valors mútuament independents de distribucióqualsevol tendeix a una llei normal.

Funció de risc h(t) amb comportament IFR Distribució adecuada per modelar les falles al final de la vida útil, en presència de fatiga.

Distribució Normal (Gaussiana)


h(t) ésIFR

Distribució Normal : Funció de Risc


Exemple distribució normal

X: V.a. Temps de vida en fase de fatiga d’un subsistem - N(m=105,s=106) (in hores)

Calculeu R9,000(500) i R11,000(500)

Doncs i


De manera semblant,

Exemple distr. normal (cont.)

Doncs i


Distribució Pareto

Coneguda com la llei de potència o long-tailed distribution. Molt emprada en la modelització de:

Temps de CPU consumit per una petició. Tamany d’arxius Web en els servidors internet. Nombre bytes de dades en els FTPs bursts. Thinking time d’un editor Web.


Funció densitat de probabilitat:

Funció distribució de probabilitat

I funció de risc:

0,,,)( 1 >≥= −− kkxxkxf αα αα

Distribució Pareto


V.a. Pareto: F. Distribució


V.a. Pareto: F. Densitat


Teorema: pdf per una transformació de X v.a. (font K.S.Trivedi)


Distribució per Y = Φ(X) = eX, si X - N(µ, σ2)

V.a. Y té una distribució log-normal.

Exemple: pdf per una transformacióde X v.a.

llavors


Fiabilitat/Disponibilitatfunció del temps: estadístics d’ordre,

k de n i TMR


Definicions (estadístics d’ordre): k de n

X1,X2,..., Xn v.a. iid (independents i identicamentdistribuïdes) funció distribució F i densitat f.SiguinY1 ,Y2,...,Yn v.a. obtingudes per permutaciódel conjunt X1,X2,..., Xn de manera que responena una ordenació creixent.

És a dir:

Y1= min{X1,X2,..., Xn } i

Yn= max{X1,X2,..., Xn }


La v.a. Yk s’anomena ESTADÍSTIC D’ORDRE k-èssim.

Si Xi és el temps de vida de la i-èssimacomponent en un sistema de n components. Llavors:

Y1 és el temps total de vida del sistema sèrie.

Yn és el temps de vida del sistema paràl.lel.

Yn-k+1 és el temps de vida del sistema k de n.



Per derivar la funció distribució de Yk, cal remarcar que

exactament j de les v.a. Xi's prenen valors a (-∞ ,y] i

(n-j) en (y, ∞) és (n Bernoulli proves, i.i.d. i p=F(y)):

∞<<∞−−

=

∞<<∞−−

∑=

−

−

yyFyFyF

yyFyF

n

kj

jnjn

jY

jnjn

j

k,)](1[)()(

hence

)](1[)(


llavors


Fiabilitat de sistemes k de n .

Sistemes Sèrie :

Sistemes Paral.lel:

Mínim de n v.a. EXP és un cas particular de Y1 = min{X1,…,Xn} on Xi~EXP(λi) i per tant, Y1~EXP(Σ λi)

Aleshores la llei exponencial és tancada per la composició en sèrie, però no per la composició en paral.lel.

Aplicacions dels estadístics d’ordre

nparallel

i

n

i

nseries

jnjn

kj

njkofn

tRtR

tRortRtR

tRtRtR

)](1[1)(

)()]([)(

)](1[)]()[()(

1

−−=

Π=

−=

=

−

=∑


Distribució del Temps de Vida d’un Sistema serie on i th component té distribució temps de vida ~ EXP(λi)

És EXP(λs) amb



Llavors el sistema sèrie és CFR (constant failure rate). I el sistema paral.lel de n components i.i.d.:



Cas particular interessant d’estudiar és el sistema amb Redundància Modular Triple (n = 3 and k = 2).

Y2 modelitza el tempsfins que la 2a component falla i d’aquí:

)(2)(3)( 32 tRtRtRTMR −=

R(t)

R(t)

R(t)

Voter

Redundància Modular Triple (TMR)


Si la fiabilidad d’una component individual varia segons la funció:

llavors: tt

TMR eetR λλ 32 23)( −− −=

tetR λ−=)(

Redundància Modular Triple (TMR) (cont.)


RTMR(t) vs. t i R(t) vs. t.

Redundància Modular Triple (TMR) (cont.)


Un sistema amb n workstations i m servidors de fitxers.

Sistema és Operatiu amb k workstations i l file serversoperatius. Assumiu independència entre falles.Fiabilitat WS és Rw(t) i Fiabilitat FS és Rf(t)

,

Exemple:


Exemples Modelització de la Fiabilitat de Sistemes Informàtics

Sumes de v.a. exponencials apareixen de manera natural en sistemes:

Redundància Cold-standbyRedundància Warm-standbyRedundància Hot-standbyTriple Modular Redundancy (TMR-2 de 3) TMR/Simplex (després 1ª falla, actua simple)Redundància k-de-n


Cold standby (Redundància standby)

Temps de vida

Activa EXP(λ)Temps de vidaPasiva EXP(λ)

Hipòtesis: Detecció i Switching perfecte; Unitat Pasiva (Spare Unit) no falla.

EXP(λ) EXP(λ)

Temps de vida total Erlang de 2-Fases:

tettR λλ −+= )1()(

X Y


X i Y són EXP(λ) i independents.

Llavors , la fdpde la suma es pot calcular perconvolució i surtfdp 2-Erlang.

0,

)(

20

2

0

)(

>=

=

=

−

−

−−−

∫

∫

tte

dxe

dxeetf

t

tt

txtx

Z

λ

λ

λλ

λ

λ

λλ

Cold standby (Redundància standby)


Sistemes de 2 components

Amb temps de vida respectius modelatsper les v.a., X and Y, independents.

Sistema Sèrie (Z=min{X,Y}) Sistema Paral.lel (Z=max{X,Y}) Cold standby: Z=X+Y


Exemple de Sistema Standby

Sistema amb n-processadors: 2 modes1. Només 1 de n és actiu, els altres estan en cold

standby2. Tots n estan actius, treballen en paral.lel.

Llavors, Opció 2, treball paral.lel facilita méscapacitat, malgrat tot.


Sigui X1, X2, …, Xn els temps fins la falla dels nprocesadors. Després de l’instant Y1=min {X1, X2, …, Xn}, un process. ha fallat i els (n-1) restants no. Capacitat de càlcul és redueix al suprimir-se 1 process. Fins (n-1),

Ex. Sist. Standby:derivació del resultat


Pel diagrama, Cn és l’àrea sota la corba i es vol trobar la f.distribució per Cn.

Primer cal trobar la distribució per Yj+1-YjSi tots els temps de vida són EXP(λ), llavors, (Yj+1-Yj)~EXP[(n-j) λ]. Si Y0= 0,

Aleshores, després que j procs han fallat, les vides residuals són, W1, W2, …, Wn-j , cadascuna és EXP(λ) donat la propietat d’absència de memòria de les lleis exponencials.

(Yj+1-Yj)= min{X1, X2, …, Xn} )~EXP(nλ)



(Yj+1-Yj) bé donat per, Yj+1-Yj) = min{W1, W2, ?, Wn-j}

(Yj+1-Yj) ~ EXP[(n-j) λ] Llavors, (n-j) (Yj+1-Yj) ~ EXP(λ)

Llavors, Cn és la suma de n v.a. i.i.d., és a dir, Cnés una Erlang de n-fases. I per tant, la capacitat de càlcul total fins la falla té la mateixa distribució en ambdòs modes d’operació.



El primer event que pot succeir és que el proc. Actiu o

el Pasiu tinguin una falla. El temps fins l’event indicat és

min{EXP(λ),EXP(γ)} distribuït EXP(λ + γ).

Llavors degut a la propietat d’absència de memòria , el

temps de vida residual és també EXP(λ).

Aleshores, el temps de vida del sistema té una distr.

hipoexponencial amb paràmetres: λ1= λ + γ and λ2 = λ

.

Ex. Sist. Warmstart:derivació del resultat

Temps de vida Activa EXP(λ) Temps de vida Pasiva-Warm EXP(γ)

X Y


tt

txtx

Z

ee

dxeetf

12

21

12

21

21

21

0

)(21)(

λλ

λλ

λλλλ

λλλλ

λλ

−−

−−−

−+

−=

= ∫

X és EXP(λ1) i Y és EXP(λ2) i són independents λ1<> λ2

Llavors fZ(t) és,

Ex. Sist. Warmstart:derivació del resultat


Warm standbyAmb un Warm Standby és té:

Time-to-failure de la unitat Activa: EXP(λ) Time-to-failure de la Passiva-Warm (Spare Unit ) : EXP(γ)

Distribució hipoexponencial de 2 fases

EXP(λ+ γ) EXP(λ)


Hot standby

Amb Hot Spare es té:

Time-to-failure de la unitat Activa: EXP(λ) Time-to-failure de la unitat Passiva-Hot (Spare): EXP(λ)


EXP(2λ) EXP(λ)


TMR i TMR/simplexcom a hipoexponencials

EXP(3λ) EXP(λ)

EXP(3λ) EXP(2λ)

TMR/Simplex

TMR


Hipoexponencial: Cas general

Z = , on X1,X2, … , Xr són mútuament

independents

i Xi està exponencialment distribuïda amb paràmetre λi on

Llavors Z és una v.a hipoexponencial de r-fases.

∑=

r

iiX

1

EXP(λ1) EXP(λ2) EXP(λr)

jiperji ≠≠ λλ


EXP((n-1)λ) EXP((k-1)λ)EXP(kλ)EXP(nλ)

YnYn-k+2Yn-k+1Y2Y1

... ... EXP(λ)

Mínim, k de n unitats han de ser operatives

perquè el sistema global sigui operatiu. Aquí la

taxa de falles de cada unitat és λ.

Hipoexponencial: Temps devida del sistema k de n


EXP(nλ+(s-1) µ) EXP(nλ)

EXP(nλ+ µ)

EXP(nλ

+sµ)... ... EXP(kλ)

Mínim, k de n + s unitats han d’estar operatives perquè el

sistema sigui operatiu. Initicialment n unitats estan actives

i s unitats són warm spares. La taxa de falles d’una unitat

activa és λ i la taxa de falles d’una unitat spare és µ.

Sistema k de n amb Warm spares


Temps de Vida Esperat


Funció Distribució :

Funció Densitat:

Fiabilitat:

Funció de Risc (CFR): Taxa de falles constant.

Mean Time to Failure:

( ) 0 1 ≥−= − tetF tλ

( ) 0 t ≥= − tetf λλ

( ) 0 ≥= − ttR e tλ

( ) ( )( ) λ==tRtfth

λ1

=MTTF

Distribució Exponencial


Funció de Risc (Failure Rate):

IFR para DFR para

Esperança (MTTF):

Paràmetre de forma α i d’escala λ

1 >α 1 <α

+Γ

=

αλα 1111

][XE

( ) 0 1

)(

)(≥== − ttth

tR

tf αλα

Distribució Weibull


Distribució Hipoexponencial

Si X1,X2, . . . , Xn són v.a. exponencials, independents i idènticament distribuïdesamb paràmetres,

llavors és hipoexponencialamb paràmetres


Per tant emprant la propietat lineal de l’operador esperança matemàtica es té,

Distribució Hipoexponencial


La funció densitat de probabilitat és,

Llavors l’esperança esdevé,

Distribució Hiperexponencial


Per què usar transformadesen estadística ?

Una transformada és una funció que canvia la forma d’una relació matemàtica a una altra que permetaplicar regles algebraïques més simples.

Una transformada és una funció definida en un domini de funcions de variable t i que produeixuna nova funció de nova variable s.

f*(s) g*(s)

f(t) g(t)

Transformació


Transformada Tipus d’Equacions

Fourier Sinus, Cosinus

Laplace,

Laplace-Stieltjes

Exponencials, Equacions diferencials i integrals.

Funció Generatriu Transformada z

Sèries geomètriques, Equacions diferencials

Propietats de les transformades

Les transformades són operadors lineals. (a f + b g)*(s) = af*(s)+ bg*(s) a, b : constant Tipus de Transformades


Transformada de LaplaceLa Transformada de Laplace (LT) aplica una funciócontínua f(t) sobre una funció de variable complexe s.

La Transformada de Laplace de la fdp v.a. EXP(λ) és( ) ( )∫

∞ −=0

* dtetfsf st

( )

( ) ( ) ( )

( ) [ ]ss

es

dtess

dte

eEdteesf

ts

tsts

sXstt

+=−

+−

=⋅+

−=

+−+

−==

=⋅=

∞+−

∞ +−∞ +−

−−∞ −

∫∫

∫

λλ

λλ

λλ

λλ

λλ

λ

λ

λλ

λ

10

][*

0

00

0


Si f(x) és la fdp d’una distribució de temps de falla, llavors la transformada de Laplace F*(s) i R*(s) de les funcions distribució i fiabilitat respectivament són:

Exemple:s

sfsRιs

sfsF )(1)(,)()(*

**

* −==

sssssRι

sssF

ssfEXPX

+=

+=

+=

+=⇒

λλλλ

λλλ

1)(

)(*,)(

)(

)()(~

*

*

Transformada de Laplace


Càlcul del MTTF

R(t) = P(X > t), X: Temps de vida d’una component Temps de vida esperat o MTTF és

En general, moment kèssim és,

Es deriva usant integracion per parts i el fet que X és una v.a. no negativa.


Components en sèrie, component i téun temps de vida EXP(λi)

Aleshores el temps de vida del sistema és EXP amb paràmetreI per tant, la vida mitja del sistema és

MTTF =

Càlcul del MTTF d’un sistema sèrie


Sistema en paral.lel on Xi és v.a. temps de vida component iX = max{X1, X2, ..,Xn}

Si totes les Xis són EXP(λ), llavors,

Al creixer n, MTTF creix i la variança també.

Càlcul del MTTF d’un sistema en paral.lel


Variació de la vida esperada segonsel grau de redundància en paral.lel amb risc de falla constant de λ=10-6


Redundància Standby

Sistema amb 1 component i (n-1) cold spares. Temps de vida del sistema,

Si totes les Xis són EXP(λ)


Redundància Modular Triple (TMR)

Si la fiabilidad individual d’una component ve donada perllavors:

Comparant amb la vida esperada per una component simple:

ttTMR eetR λλ 32 23)( −− −=

tetR λ−=)(

SimplexTMR MTTFMTTF =<=λλ1

65

TMR

tt

MTTF

dtedteXE

==

−= ∫∫∞

−∞

−

λ

λλ

65

23][0

3

0

2


TMR i TMR/simplexcom a hipoexponencials

EXP(3λ) EXP(λ)

EXP(3λ) EXP(2λ)

TMR/Simplex

TMR

λλλ 341

31

=+=MTTF

λλλ 65

21

31

=+=MTTF


Cold standby

Temps de Vida en estat Actiu

EXP(λ)

Temps de Vida en estat SpareEXP(λ)

Sota: Detecció & Switching perfectesSpare no falla

EXP(λ) EXP(λ)

Temps de Vida total és Erlang 2

,2 λ=MTTF

X Y

t

k

kt et

ktetR λλ λλ −

=

− +== ∑ )1(!)()(

1

0


Warm standby

λγλ11

++

=MTTF

tt

ttw

ee

eetR

λγλ

λγλ

γγλ

γλ

γλλγλ

γλλλ

−+−

−+−

++

−=

+−+

−+−

=

)(

)(

)()()(

∫∞

=0

)( dttRMTTF w


Warm standbyAmb un Warm de la unitat Passiva (Spare), és té:

Time-to-failure de la unitat Activa: EXP(λ) Time-to-failure de la unitat Spare EXP(γ)


EXP(λ+ γ) EXP(λ)


Hot standby

Amb Hot de la unitat Passiva (Spare), es té:

Time-to-failure de la unitat Activa: EXP(λ) Time-to-failure de la unitat Spare EXP(λ)


EXP(2λ) EXP(λ)


Hot standby

)2/(3212 λλλ

=−=MTTF

tt

ttw

ee

eetR

λλ

λλ

λλλ

λλλ

2

2

22

22

)(

−−

−−

−=−

−−

=

∫∞

=0

)( dttRMTTF w


Gràfics de Comparació:


Computer Network

Workstation 1 Workstation 2

File Server

Exemple: WFS (Trivedi)

Prof. Lídia Montero - Notes Curs 04-05 Q1 MIOAS-FIB- PART I: Fiabilitat i Disponibilitat 133Copyright ? 2003 by K.S. Trivedi 133

RBD pel Example WFS

Workstation 1

Workstation 2

File Server


Rw(t): Fiabilitat de la workstation

Rf (t): Fiabilitat del file-server

Fiabilitat del Sistema Rsys(t) :

Per qualsevol distribució el resultat és vàlid.

RBD for the WFS Example (cont.)

( ) ( )( ) ( )tRRwtR fsys t

−= −1 21


Assumint temps fins la falla exponencial: failure rate per workstationfailure rate per file-server

Temps de vida esperada pel sistema (MTTF) és

λλλλ fwfw

dttRMTTF+

−+

== ∫ ∞

20

12)(

tft eetR wλλ −−−−= ])1(1[)( 2

λw

λ f

RBD for the WFS Example (cont.)


Exercici 1

Per un sistema amb 2 componentsde redundància en paral.lel ambdistribució EXP( ) and EXP( ) cal determinar les expressions per:

Rp(t) MTTFp

1λ 2λ


Solució 1:

ttt eee

tRtRtRtRtR)(

2121

2121

)()()()()(λλλλ +−−− −+=

−+=

2121

111λλλλ +

−+=MTTF


Exercici 2 de Sistema Sèrie-Paral.lel

Exemple: 2 Canals de Control i 3 Canals de Veu

control

control

veu

veu

veu


Determineu la fòrmula pel cas que la fiabilitat del control i la veu siguin:

Deriveu expressions per la fiabilitat del sistema i pel temps mig fins la fallida del sistema.

Exercici 2 de Sistema Sèrie-Paral.lel

tv

tc

vc etRandetR λλ −− == )()( i


vcvcvc

vcvcvc

ttt

ttt

MTTF

eee

eeetRvcvcc

vvvc

λλλλλλ

λλλλλλ

λλλλλ

λλλλ

321

)(23

23

32

266

]33

266[)()2()(

2)(

+−

++

+−

++

+−

+=

−+−

+−=+−+−−

−−+−

Exercici 2 de Sistema Sèrie-Paral.lel: solució


Fiabilitat pel Sistema S-P Exercici 2

Font: K.S. Trivedi

introducciÓ a la fiabilitat i disponibilitat de sistemes · prof. lídia montero - notes curs...

Documents