intro parte3

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Modelado de sistemas discretos Los sistemas discretos se modelan mediante ecuaciones en diferencias : Evolución de una determinada variable del sistema a partir de valores iniciales, valores pasados de la misma y de otras variables del sistema y señales de entrada. Equivalentes a las ecuaciones diferenciales para los sistemas continuos.

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Modelado de sistemas discretos

• Los sistemas discretos se modelan mediante ecuaciones en diferencias:

– Evolución de una determinada variable del sistema a partir de valores iniciales, valores pasados de la misma y de otras variables del sistema y señales de entrada.

– Equivalentes a las ecuaciones diferenciales para los sistemas continuos.

• Secuencias: Definición: Un conjunto numerado de elementos en donde se hace

corresponder a cada número entero el valor de modelos elementos del conjunto de valores de la señal de tiempo discreto.

Una secuencia se representa como {Xk}, donde K es el entero asociado a cada elemento e indica el orden de ubicación relativa de ese elemento dentro de la secuencia, K puede ser positiva o negativa.

Se escoge el índice 0 para indicar el elemento que se encuentra ubicado en el origen de referencia y que define la frontera entre los valores positivos y negativos del índice K.

Ejemplo:

{ } { }3,2,1,012 ,, XXXXXXX K −−=

De igual forma también se puede expresar colocando los elementos en el orden en que se encuentran en la secuencia.

Puede también especificarse

xk

3

6

8

9

10

{ } { },...8,6,4,1,0=KX

{ } { }xk=

−− 610983 21012,,,,

3− 2− 1−0

1 2 3K

• Secuencia impulso unitario:

Secuencia escalón unitario:

( )

≠→=→

=00

01

k

kkα 1

0

( )kα

( )

<→≥→

=00

01

k

kkµ

( )kµ

1 2 3

0

1

• Secuencia exponencial:

2−

( ) ∞≤≤−∞→= kkX ak

( )kX

10 << a 01 <<− a

( )kX

2− 1− 1 20

k 01− 1

2

( )kX

1>a1−<a

( )kX

1−1

2k

0 0k

22− 2−1−

1

● Secuencia Sinosoidad

SenkCoskejk +=

La transformada Z es el equivalente para sistemas discretos de la transformada de Laplace.

Permite transformar representaciones de sistemas del dominio temporal al dominio frecuencial.

Aplicaciones:

– Solución de ecuaciones diferenciales.

– Funciones de transferencia.

• Simulación, estabilidad.

Transformada Z

Definición:

Transformada Z

k

k k zxzX −∞

=∑=0

)(

donde {xk; k=0...∞ } es una secuencia discreta de valores, con xk=0 ∀ k<=0.

– También es aplicable al caso en que xk sea el resultado de muestrear una señal continua xk=f(kT).

• Algunas transformadas básicas:

– Escalón:

– Rampa: 2)1()(}...0;{}{

−=∞==

z

TzzFkkTfk

10 1

11)(}1,...,1,1{}{ −

−∞

= −=== ∑ z

zzFf k

kk

– Exponencial:aT

akTk ez

zzFkef −

−=∞== )(}...0;{}{

– Exponencial general:

rz

zzFkrf k

k −=∞== )(}...0;{}{

– Parábola:

3

22

)1(

)1()(}...0;){(}{

−+=∞==

z

zzTzFkkTfk

Propiedades fundamentales:

– Linealidad:

)(}{ 11 zXzxZ n

−− =

– Traslación temporal:

)()1(}{ 1

1zXzlimxlim

zn

n

→∞→−=

• Esta propiedad permite transformar las ecuaciones en diferencias en expresiones algebraicas.

– Teorema del valor final:

[ ] )()( zbYzaXbyaxZ nn +=+

– Convolución temporal:

• El producto en el plano complejo se transforma en una suma de convolución en el tiempo.

−= ∑

=

k

n

nTkTgnTfZzGzF0

)()()()(

Relación con la transformada de Laplace.

– Suponiendo muestreo ideal, se puede representar un conjunto de muestras en forma de señal continua:

∑∞

=

−=

=

0

)()( donde

)()()(*

k

kTttm

tmtftf

δ

siendo T el periodo de muestreo y δ(t) la función impulso (que verifica : ∫-∞

∞g(t)δ(t-a) dt = g(a) ).

– Si aplicamos la transformada de Laplace a la señal continua f* tenemos:

F*(s) = ∫-∞∞ [Σ∞

k=0 f(t) δ(t-kT)] e-st dt = Σ∞k=0 (esT)-k f(kT)

– Comparando con la expresión de la transformada Z, tenemos la relación entre las variables complejas s y z:

z=esT

– Siempre que se pueda suponer muestreo ideal, es posible emplear la siguiente aproximación

F(z) = F*(s)esT

=z

– Fórmula alternativa: Si se expresa F* como una integral de convolución, se puede utilizar

G(z) = ∑ Residuos{ F(s) z/(z-esT) } en todos los polos de F(s)

donde, para un polo simple dado si de una función F(s), el residuo correspondiente se calcula como lims→si { (s-si) F(s) }.

Permite volver a la representación en el dominio temporal.

Transformada Z inversa

)}({}{ 1 zXZxk−=

– La recuperación de la señal continua original a partir de las muestras no es posible con total exactitud (no unicidad).

• Si el periodo de muestreo ha sido elegido adecuadamente, la incertidumbre es menor.

Tablas de transformadas.

– Para funciones sencillas.

Métodos de obtención

• Descomposición en fracciones simples.

– Dado que las expresiones de las transformadas Z elementales poseen siempre una z en el numerador, se realiza la descomposición de F(z)/z.

– Cada fracción resultante se multiplica por z y se reemplaza por su equivalente temporal.

– Ejemplo: Tomando como periodo de muestreo T=10, obtener la transformada inversa de

)1.0)(1(

1)(

−−=

zzzF

1.01)1.0)(1(

1)(

−+

−+=

−−=

z

c

z

b

z

a

zzzz

zF

9.0

30

9.0

2110

−=== cba

1.09.0

30

19.0

2110)(

−−

−+=

z

z

z

zzF

• Los dos primeros términos tienen antitransformadas inmediatas. Para el tercero resulta

23.010

1.0ln1.010 =

−=⇒== −− aee aaT

– La secuencia resultante es

kTs ekTukTkTf 23.0

9.0

30)(

9.0

21)(10)( −−+= δ

• O simplemente, prescindiendo de T

ks kukkf 1.0

9.0

30)(

9.0

21)(10)( −+= δ

Expansión en series de potencias.

– Cuando F(z) es un cociente de polinomios reales en z, puede realizarse una “división larga”. Los coeficientes de dicha división son los valores de la secuencia temporal {fk}.

– Ejemplo:

1.0

1

1)(

−−=

zz

zzF

1

11

2

1.01.1

11.01.1

1.01.1

−−

−=+−−

+−

z

zzz

zzz

21

221

21

11.011.1

1.111.021.11.1

1.01.11.01.1

−−

−−−

−=+−−

+−−

zz

zzz

zzz

32

3321

221

111.0111.1

11.1111.0221.111.1

1.01.111.011.1

−−

−−−−

−−

−=+−−

+−−

zz

zzzz

zzzz

– La secuencia resultante es

{ } { },11.1,1.1,1,0=kf

– Función de transferencia discreta.

• Transformada Z de la secuencia ponderatriz.

• Relación entre las transformadas Z de la señal de salida y entrada a un sistema.

– Estabilidad.

• Para que un sistema discreto sea estable, sus raíces deben estar ubicadas en el interior del círculo unidad.

1acotada zponderatrisecuencia ...

...))...((

)()(

2211

2

2

1

1

1

<⇒<++=

−+

−=

−−=

ikkk

k

n

pMfpApAf

pz

zA

pz

zA

pzpz

zNzF

• Criterios de estabilidad: Routh, Jury.

Aproximación discreta de una planta continua

• Supongamos un esquema de bloqueador de orden cero, planta continua y muestreador.

G(s)uk yku(t) y(t)

– La señal de salida del bloqueador puede ponerse como

∏∑ −= ∞

=)()(

0nTtutu

n n

– El efecto del primer pulso de entrada sobre la salida es

= −−− sTe

s

sGLu

s

sGLuty

)()()( 1

01

00

T

u0

u0

-u0

= +T

– Trasladado al plano Z

−= −−

s

sGLZzuzY

)()1()( 11

00

– Extendiendo a toda la secuencia de entrada

[ ]

−= −−−∞

=∑ s

sGLZzzuzY k

k k

)()1()( 11

0

– La expresión final queda

−== −−

s

sGLZz

zU

zYzG

)()1(

)(

)()( 11