intro parte3
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Modelado de sistemas discretos
• Los sistemas discretos se modelan mediante ecuaciones en diferencias:
– Evolución de una determinada variable del sistema a partir de valores iniciales, valores pasados de la misma y de otras variables del sistema y señales de entrada.
– Equivalentes a las ecuaciones diferenciales para los sistemas continuos.
• Secuencias: Definición: Un conjunto numerado de elementos en donde se hace
corresponder a cada número entero el valor de modelos elementos del conjunto de valores de la señal de tiempo discreto.
Una secuencia se representa como {Xk}, donde K es el entero asociado a cada elemento e indica el orden de ubicación relativa de ese elemento dentro de la secuencia, K puede ser positiva o negativa.
Se escoge el índice 0 para indicar el elemento que se encuentra ubicado en el origen de referencia y que define la frontera entre los valores positivos y negativos del índice K.
Ejemplo:
{ } { }3,2,1,012 ,, XXXXXXX K −−=
De igual forma también se puede expresar colocando los elementos en el orden en que se encuentran en la secuencia.
Puede también especificarse
xk
3
6
8
9
10
{ } { },...8,6,4,1,0=KX
{ } { }xk=
−− 610983 21012,,,,
3− 2− 1−0
1 2 3K
• Secuencia impulso unitario:
Secuencia escalón unitario:
( )
≠→=→
=00
01
k
kkα 1
0
( )kα
( )
<→≥→
=00
01
k
kkµ
( )kµ
1 2 3
0
1
La transformada Z es el equivalente para sistemas discretos de la transformada de Laplace.
Permite transformar representaciones de sistemas del dominio temporal al dominio frecuencial.
Aplicaciones:
– Solución de ecuaciones diferenciales.
– Funciones de transferencia.
• Simulación, estabilidad.
Transformada Z
Definición:
Transformada Z
k
k k zxzX −∞
=∑=0
)(
donde {xk; k=0...∞ } es una secuencia discreta de valores, con xk=0 ∀ k<=0.
– También es aplicable al caso en que xk sea el resultado de muestrear una señal continua xk=f(kT).
• Algunas transformadas básicas:
– Escalón:
– Rampa: 2)1()(}...0;{}{
−=∞==
z
TzzFkkTfk
10 1
11)(}1,...,1,1{}{ −
−∞
= −=== ∑ z
zzFf k
kk
– Exponencial:aT
akTk ez
zzFkef −
−
−=∞== )(}...0;{}{
– Exponencial general:
rz
zzFkrf k
k −=∞== )(}...0;{}{
– Parábola:
3
22
)1(
)1()(}...0;){(}{
−+=∞==
z
zzTzFkkTfk
Propiedades fundamentales:
– Linealidad:
)(}{ 11 zXzxZ n
−− =
– Traslación temporal:
)()1(}{ 1
1zXzlimxlim
zn
n
−
→∞→−=
• Esta propiedad permite transformar las ecuaciones en diferencias en expresiones algebraicas.
– Teorema del valor final:
[ ] )()( zbYzaXbyaxZ nn +=+
– Convolución temporal:
• El producto en el plano complejo se transforma en una suma de convolución en el tiempo.
−= ∑
=
k
n
nTkTgnTfZzGzF0
)()()()(
Relación con la transformada de Laplace.
– Suponiendo muestreo ideal, se puede representar un conjunto de muestras en forma de señal continua:
∑∞
=
−=
=
0
)()( donde
)()()(*
k
kTttm
tmtftf
δ
siendo T el periodo de muestreo y δ(t) la función impulso (que verifica : ∫-∞
∞g(t)δ(t-a) dt = g(a) ).
– Si aplicamos la transformada de Laplace a la señal continua f* tenemos:
F*(s) = ∫-∞∞ [Σ∞
k=0 f(t) δ(t-kT)] e-st dt = Σ∞k=0 (esT)-k f(kT)
– Comparando con la expresión de la transformada Z, tenemos la relación entre las variables complejas s y z:
z=esT
– Siempre que se pueda suponer muestreo ideal, es posible emplear la siguiente aproximación
F(z) = F*(s)esT
=z
– Fórmula alternativa: Si se expresa F* como una integral de convolución, se puede utilizar
G(z) = ∑ Residuos{ F(s) z/(z-esT) } en todos los polos de F(s)
donde, para un polo simple dado si de una función F(s), el residuo correspondiente se calcula como lims→si { (s-si) F(s) }.
Permite volver a la representación en el dominio temporal.
Transformada Z inversa
)}({}{ 1 zXZxk−=
– La recuperación de la señal continua original a partir de las muestras no es posible con total exactitud (no unicidad).
• Si el periodo de muestreo ha sido elegido adecuadamente, la incertidumbre es menor.
Tablas de transformadas.
– Para funciones sencillas.
Métodos de obtención
• Descomposición en fracciones simples.
– Dado que las expresiones de las transformadas Z elementales poseen siempre una z en el numerador, se realiza la descomposición de F(z)/z.
– Cada fracción resultante se multiplica por z y se reemplaza por su equivalente temporal.
– Ejemplo: Tomando como periodo de muestreo T=10, obtener la transformada inversa de
)1.0)(1(
1)(
−−=
zzzF
1.01)1.0)(1(
1)(
−+
−+=
−−=
z
c
z
b
z
a
zzzz
zF
9.0
30
9.0
2110
−=== cba
1.09.0
30
19.0
2110)(
−−
−+=
z
z
z
zzF
• Los dos primeros términos tienen antitransformadas inmediatas. Para el tercero resulta
23.010
1.0ln1.010 =
−=⇒== −− aee aaT
– La secuencia resultante es
kTs ekTukTkTf 23.0
9.0
30)(
9.0
21)(10)( −−+= δ
• O simplemente, prescindiendo de T
ks kukkf 1.0
9.0
30)(
9.0
21)(10)( −+= δ
Expansión en series de potencias.
– Cuando F(z) es un cociente de polinomios reales en z, puede realizarse una “división larga”. Los coeficientes de dicha división son los valores de la secuencia temporal {fk}.
– Ejemplo:
1.0
1
1)(
−−=
zz
zzF
1
11
2
1.01.1
11.01.1
1.01.1
−
−−
−=+−−
+−
z
zzz
zzz
21
221
21
11.011.1
1.111.021.11.1
1.01.11.01.1
−−
−−−
−
−=+−−
+−−
zz
zzz
zzz
32
3321
221
111.0111.1
11.1111.0221.111.1
1.01.111.011.1
−−
−−−−
−−
−=+−−
+−−
zz
zzzz
zzzz
– Función de transferencia discreta.
• Transformada Z de la secuencia ponderatriz.
• Relación entre las transformadas Z de la señal de salida y entrada a un sistema.
– Estabilidad.
• Para que un sistema discreto sea estable, sus raíces deben estar ubicadas en el interior del círculo unidad.
1acotada zponderatrisecuencia ...
...))...((
)()(
2211
2
2
1
1
1
<⇒<++=
−+
−=
−−=
ikkk
k
n
pMfpApAf
pz
zA
pz
zA
pzpz
zNzF
• Criterios de estabilidad: Routh, Jury.
Aproximación discreta de una planta continua
• Supongamos un esquema de bloqueador de orden cero, planta continua y muestreador.
G(s)uk yku(t) y(t)
– La señal de salida del bloqueador puede ponerse como
∏∑ −= ∞
=)()(
0nTtutu
n n
– El efecto del primer pulso de entrada sobre la salida es
−
= −−− sTe
s
sGLu
s
sGLuty
)()()( 1
01
00
T
u0
u0
-u0
= +T