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INTERPRETACION FISICA DE LOS NUMEROS CUANTICOS 12 de agosto de 2008
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR . Lic. José Moreno Vega.
FACULTAD DE EDUCACION. Matemática, Física e Informática
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INTERPRETACION FISICA DE LOS NUMEROS CUANTICOS EL NUMERO CUANTICO ORBITAL l Si el electrón se mueve alrededor de un circulo con radio r , la magnitud de su cantidad de movimiento angular con respecto al centro del circulo es igual a L = mvr.La dirección de L es perpendicular al plano del circulo y esta definida por la regla de la mano derecha. De acuerdo con la física clásica, la magnitud de L puede tener cualquier valor. Sin embargo, el modelo de Bohr del hidrogeno postula que
serán múltiplos de ; esto es : n . Es necesario modificar este modelo, ya que predice(de manera incorrecta) que el estado base del hidrogeno tiene L =1 . Además, si en el modelo de Bohr se considera a L = 0 , nos vemos obligados a aceptar la imagen del electrón como una partícula que oscila en línea recta a través del núcleo, lo cual es una situación físicamente imposible. Estas dificultades se resuelven con el modelo cuántico mecánico del átomo, aunque debemos olvidar la representación mental de un electrón que gira en una trayectoria circular bien definida pesar de la ausencia de esta representación, el átomo posee de hecho una cantidad de movimiento angular y la seguiremos llamando cantidad de movimiento angular orbital. De acuerdo con la mecánica cuántica, un átomo en un estado cuyo numero cuántico principal n puede tomar los siguientes valores discretos de la magnitud de la cantidad de movimiento angular orbital1
VALORES PERMITIDOS DE l ..1 llL l = 0,1,2, . . . , n-1
Calcule la magnitud de la cantidad de movimiento angular orbital de un electrón en un estado p de hidrogeno. Solución Para l = 1 para un estado p
..1 llL = .111 = sJ.1049,1.2 34
EL NUMERO CUANTICO MAGNETICO ORBITAL ml
Debido a que la cantidad de movimiento angular es un vector, su dirección debe especificarse. Suponga que colocamos el átomo de hidrogeno en un campo magnético .Según la mecánica cuántica, existen direcciones discretas permitidas para un vector del momento
magnético con respecto al vector del campo magnético B.
1 La ecuación es un resultado directo de la solución matemática de la ecuación de Schrodinger y la aplicación de las
condiciones limite angulares.
EJEMPLO 1 : Calculo de L para un estado p
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Debido a que el momento magnético m del átomo puede relacionarse con el vector de la
cantidad de movimiento angular L , las direcciones discretas de nos llevan a que la dirección de L esta cuantizada. Esta cuantizacion significa que Lz ( la proyección de L a lo largo del eje de la z) puede asumir solo valores discretas. El numero cuántico orbital magnético ml define los valores permitidos del componente z de la cantidad de movimiento angular orbital, de acuerdo a :
.lz mL
Modelo vectorial para l = 2 Proyecciones permitidas de la cantidad de movimiento angular orbita L .
Se puede demostrar que L no apunta en una dirección especifica, a pesar de que su componente z esta fijo. Si se conociera el valor exacto de de L , entonces los tres componentes Lx , Ly , Lz ; podrían definirse, lo que es inconsistente con el principio de incertidumbre. ¿Cómo se puede definir la magnitud y el componente z de un vector, sin definir completamente dicho vector? Para responder lo anterior, podemos imaginar que L debe yacer en cualquier parte de la superficie de un cono que forma un ángulo con el eje de las z.
De la figura, vemos que
también esta cuantizada y que sus valores están definidos mediante la relación;
1cos
ll
m
L
L lz
Observe que ml nunca es mayor que l , y por lo tanto ,
nunca puede ser igual a cero.
Imagine el átomo de hidrogeno en el estado l = 3.Calcule la magnitud de L , los valores
permitidos de Lz , y los ángulos correspondientes que L forma con el eje de las z.
Solución
Parte (a) ..1 llL ..133 L 32L
Parte (b) Como l = 3 ml = -3 , -2 , -1 ,0 , 1, 2 , 3
EJEMPLO 2 : Cuantizacion espacial para el hidrogeno
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.lz mL 3 ,2 ,1 ,0 ,1,2,3 zL
Parte (c) 1cos
ll
m
L
L lz
32cos lz m
L
L
Reemplazando los valores permitidos de ml obtenemos :
0000000 150 ;125 ;107 ;90 ;2,73 ;8,54 ;30
EL NUMERO CUANTICO MAGNETICO DE ESPIN ms
Los tres números cuánticos n , l , ml se generan al aplicar las condiciones limite a las soluciones de la ecuación de schrodinger. Ahora consideremos el espín del electrón , el cual no proviene de la ecuación de schrodinger. La necesidad de este nuevo número cuántico surge debido a una propiedad observada en el espectro de ciertos gases, como el valor del sodio. Donde se revela que la línea es, de hecho dos líneas muy juntas llamadas dobletes.(efecto Zeeman)
El efecto Zeeman El "efecto Zeeman" es el desdoblamiento de las rayas espectrales debido a la presencia de un fuerte campo magnético, Zeeman fue un estudiante de la universidad de Leiden en 1890,seis años después por proposición de Lorentz, investigo el efecto de un campo magnético sobre una fuente de luz y encontró que cada línea del espectro de la luz emitida se partía en varias líneas y este efecto lleva su nombre.
Pieter Zeeman (n. Zonnemaire, Holanda, 25 de mayo de 1865
- † Ámsterdam, 9 de octubre de 1943) fue un físico neerlandés galardonado con el Premio Nobel de Física del año 1902.
El 1890 consiguió licenciarse y se convirtió en asistente de Lorentz.
Einstein visito a Pieter Zeeman en Ámsterdam, con su amigo Paul Ehrenfest alrededor de 1920
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Gracias a su descubrimiento se le ofreció un plaza docente en la universidad de Ámsterdam en 1897, ganando en 1900 la cátedra de física de esa misma universidad.
Pieter Zeeman murió el 9 de octubre de 1943 en Ámsterdam.
En el efecto Zeeman, un campo magnético actúa sobre la emisión de luz por parte de un átomo, este, en ausencia de todo campo magnético, emite determinados colores o frecuencias, irradia un espectro más complicado al colocarlo en un campo magnético. Cada una de las líneas espectrales, o cada una de las frecuencias individuales irradiadas por ese átomo, se divide en dos, tres o aun más. La división es, comúnmente, muy débil y su observación exige de aparatos más sensibles; pero existe y para explicarla hace falta la teoría cuántica.
EL EFECTO Podemos, ahora, referirnos a la teoría cuántica y al efecto de un campo magnético sobre la luz emitida por un átomo. Sabemos que para hacer girar un pequeño imán en un campo magnético, se necesita realizar cierto trabajo(gastar cierta energía). Una aguja imantada tiende a colocarse paralela al campo. Si tratamos de hacerla girar, debemos empujarla y aumentar su energía en una cantidad que depende de cuánto la hagamos girar. Empero, como según la teoría cuántica las orientaciones de los imanes magnéticos son limitadas (por ejemplo, en su estado de energía mínima el átomo de hidrogeno puede tener solo dos),
cabe esperar que el campo magnético divida el estado de energía mínima en dos, correspondientes a la energía del átomo cuando su imantación es paralela o anti paralela al campo. Como el campo magnético escinde los niveles energéticos, las frecuencias irradiadas por los saltos a estos niveles y desde ellos, se multiplicaran en cantidad; de aquí el efecto Zeeman. Foto tomada por Zeeman,en la parte superior aparece la línea sin ser afectada por el campo magnético y en la inferior la división de la misma por efecto del mismo.
Para resolver este dilema Samuel Goudsmit y George Uhlenbeck. Siguiendo una sugerencia hecha por el físico austriaco Wolfgang Pauli, propusieron el número cuántico de espín. La bomba atómica alemana. Noviembre de 1944. Bajo la denominación clave de Misión Alsos, un comando de inteligencia militar dirigido por el científico Samuel Goudsmit entra en la universidad de Strasburgo, con la esperanza de encontrar a los principales técnicos que llevan a cabo las investigaciones nazis sobre energía nuclear. Tras semanas de búsqueda en las principales ciudades francesas y Alemanas, Goudsmit finaliza su misión con éxito apresando a más de veinte científicos Alemanes. En la lista figuran varios premios Nobel y personajes de la talla de Werner Heisenberg, uno de los padres de la física cuántica. Después de meticulosos interrogatorios, visitas a diversos laboratorios y un análisis exhaustivo de varios documentos nazis, Goudsmit llega a la conclusión de que Alemania no sólo no posee el arma atómica, sino que sus científicos siempre estuvieron muy atrasados en ese sentido. Goudsmit seleccionó, según su opinión, a los diez científicos mas relevantes
Goudsmit, Samuel
Abraham
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del grupo, que comenzaron un largo peregrinaje por media Europa como "prisioneros" de guerra, deteniéndose brevemente en Bélgica y Francia para acabar finalmente en una espaciosa casa de campo inglesa en Farm Hall (cerca de Cambridge). Todo ocurrió dentro de la denominada Operación Epsilon, cuyo objeto era el que los soviéticos (principalmente) y los franceses, no tuvieran acceso al grupo de científicos Alemanes. Farm Hall y la Operación Epsilon Lo que sucedió en Farm Hall desde el momento de su llegada, hasta la fecha en que fueron liberados (diciembre 1945) y devueltos a Alemania la totalidad de los científicos apresados, cayó en el más tupido de los secretos. Lo cierto es que, aunque bien acomodada, la casa estaba abarrotada de micrófonos y aparatos de escucha, aparte de poseer unas excepcionales medidas de seguridad (existía un guarda militar para cada preso). Uno de los detenidos en Farm Hall era Otto Hahn, quien en 1938 y junto a Strassman inauguró la carrera por la bomba atómica al realizar la primera fisión nuclear de uranio y torio, dándole así a Alemania el liderazgo en el campo nuclear; anecdóticamente Hahn recibiría el premio Nobel por dichas investigaciones en el 44 mientras estaba detenido en Farm Hall, y años después desarrollaría proyectos nucleares en la España franquista para la J.E.N. (Junta de energia nuclear). Por su parte Heisenberg, en una conferencia realizada en Copenhague en el 43, dejaba claro que los nazis no sólo conocían el potencial de una desintegración nuclear en cadena del uranio-235 (base de una bomba atómica), sino que habían desarrollado reactores nucleares propios, necesarios para la obtención del uranio enriquecido y el plutonio que sirven de material para una bomba atómica. Ademas, Goudsmit cometió un grave error, creyendo que toda la investigación nuclear nazi se centraba en el equipo formado por Heisenberg, Hahn y von Weizsäcker (que diseño reactores nucleares), dejando fuera de los detenidos a importantes investigadores como Fritz Bopp (ayudante de Paul Harteck) que era el más dinámico personaje del proyecto uranio, ya que bajo su dirección, se desarrollaron nuevos métodos para producir agua pesada, se construyeron reactores nucleares y se separaron isótopos de uranio. George Eugene Uhlenbeck (6 de diciembre de 1900, Batavia, Indias Orientales Holandesas – 31 de octubre de 1988, Boulder_(Colorado)) fue un físico teórico neerlandés-estadounidense. El introdujó el concepto del spin, que postula que los electrones giran sobre un eje, con Samuel Abraham Goudsmit, por lo cual fueron galardonados con la Medalla Max Planck en 1964. Uhlenbeck tambien fue premiado con la Medalla Lorentz en 1970 y el Premio Wolf en Física en 1979.
Uhlenbeck dice:
Yo era un estudiante muy obediente, muy obediente. Siempre he trabajado muy regular y siempre me fue muy bien en clase. Yo
desde luego no es claro hasta los últimos años en la escuela
secundaria lo que iba a hacer.
Sin embargo, como con tanta gente, fue influenciado por un excelente maestro de escuela. En su último par de años en la escuela de su profesor de física
encarecidamente a él, le dio textos sobre el diferencial y el cálculo integral y sugirió que éste estudiante leer textos sobre matemáticas y física. Uno de los
libros que le hizo entusiastas de la física fue Lorentz 's Conferencias sobre Física, que leyó en la Biblioteca Real de La Haya.
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En enero de 1925 Pauli propuso que el electrón se debe dar un nuevo cuarto
número cuántico que se encontraba a medio entero. Esta fue una de las pistas que llevaron Uhlenbeck para llegar a la idea de espín de electrón. Escribió (ver
por ejemplo):
... Que se me ocurrió que, puesto que (yo había aprendido)
cuántica cada número corresponde a un grado de libertad de los electrones, Pauli 's cuarto número cuántico debe significar que el
electrón tenía un grado adicional de la libertad -- en otras palabras, el electrón debe Ser rotatoria.
Para describir este nuevo número cuántico es conveniente (pero técnicamente incorrecto) pensar en el electrón como si estuviera girando alrededor de su eje mientras orbita alrededor del núcleo. El Espín de un electrón puede ser (a) hacia arriba o (b) hacia abajo en relación con el eje de las z especificados. EL Espín jamás podrá estar alineado con el eje. En presencia de un campo magnético, la energía del electrón es ligeramente diferente para las dos direcciones del espín, y esta diferencia es la que causa el doblete de sodio. En 1921, Otto Stern y Walter Gerlach realizaron un experimento que demostró la cuantizacioon espacial
Otto Stern (n. Sohrau, 17 de febrero de 1888 - † Berkeley,
17 de agosto de 1969). Físico alemán, nacionalizado estadounidense.
En sus labores de investigación, calculó el momento magnético del átomo de plata.
También, halló para el momento magnético del protón un valor 2,5 veces mayor que el predicho por la teoría de Paul Dirac.
Fue galardonado en 1943 con el premio Nobel de Física por sus estudios sobre los haces moleculares, las propiedades magnéticas de los átomos y el descubrimiento del momento magnético del protón en una serie de experimentos realizados en colaboración con Walther Gerlach conocidos popularmente como experimento de Stern y Gerlach.
Otto Stern
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"Las fotografías muestran que el haz de átomos de plata, en un campo magnético inhomogéneo, se desdobla en dos haces en la dirección de la inhomogeneidad, uno atraído hacia el polo de filo de cuchillo y el otro repelido[...] Esto verifica experimentalmente la cuantización espacial en un campo magnético." Así informan del experimento que realizaron en 1922 Otto Stern (1888-1969) y Walter Gerlach (1900- ), usando el dispositivo experimental que se ve en el esquema: en el horno O se produce un gas de plata, que se colima pasándolo por las rendijas S1 y S2; luego cruza por el campo del imán, que es inhomogéneo, para finalmente colectarlo en la placa fotográfica P.
Walter Gerlach nació en Munich, Alemania, en 1889. Un brillante científico, Gerlach era uno de los líderes mundiales en cifras en el campo de la física por el estallido de la
Segunda Guerra Mundial. Gerlach fue el principal coordinador de la investigación nuclear en el Instituto Kaiser Wilhelm de Química. Sin embargo, en colaboración con Werner Heisenberg y Carl von Weizsacker y Karl Wirtz Gerlach y su equipo fueron incapaces de desarrollar una bomba atómica. En abril de 1945, las fuerzas aliadas detenido científicos alemanes como Gerlach, Otto Hahn, Werner Heisenberg y Carl von Weizsacker, Max von Laue y Karl Wirtz. Estos hombres fueron tomadas ahora a Inglaterra donde fueron interrogados para ver si había descubierto cómo hacer que las armas atómicas. Walter Gerlach murió en 1979. Experimento de Stern y Gerlach El experimento de Stern y Gerlach, nombrado así en honor de los físicos alemanes Otto Stern y Walther Gerlach, es un famoso experimento realizado por primera vez en 1922 sobre la deflexión de partículas, y que ayudó a sentar las bases experimentales de la mecánica cuántica. Puede utilizarse para ilustrar que los electrones y átomos tienen propiedades cuánticas intrínsecas, que las medidas afectan a las propiedades de las partículas medidas y que los estados cuánticos son necesariamente descritos por medio de números complejos
Walter Gerlach
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El experimento de Stern-Gerlach consistía en enviar un haz de partículas de plata a través de un campo magnético inhomogéneo. El campo magnético crecía en intensidad en la dirección perpendicular a la que se envía el haz. El espín de los diferentes átomos fuerza a las partículas de espín positivo +1/2 a ser desviada hacia arriba y a las partículas de espín opuesto -1/2 a ser desviadas en el sentido contrario siendo capaz por lo tanto de medir el momento magnético de las partículas.
En el caso clásico no cuántico una partícula cualquiera con un momento magnético entrará en el campo magnético con su momento magnético orientado al azar. El efecto del campo magnético sobre tales partículas clásicas ocasionaría que fueran desviadas también en sentidos opuestos pero dependiendo el grado de deflexión del ángulo inicial entre el momento magnético y el campo magnético al que se somete el haz. Por lo tanto algunas partículas serían desviadas fuertemente, otras de manera más débil y progresivamente se irían encontrando partículas desviadas en ambas direcciones cubriendo todo el espectro de intensidades posibles.
Sin embargo, el experimento de Stern-Gerlach pone de manifiesto que esto no es así y se observa que todas las partículas son desviadas o bien hacia arriba o bien abajo pero ambos
grupos con la misma intensidad. Las partículas tienen o bien espín o , sin valores intermedios.
El momento magnético m del átomo puede medirse mediante esta experiencia y es igual en módulo al magnetón de Bohr mB.
El experimento de Stern-Gerlach fue realizado en Fráncfort del Meno en 1922 por Otto Stern y Walther Gerlach. En aquella época Stern era ayudante de investigación de Max Born en el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Fráncfort y Gerlach era un ayudante de investigación en el Instituto de Física Experimental de la misma universidad. Stern había sido el primer estudiante de doctorado de Albert Einstein durante su estancia en Praga.
En 1929 , Paul Dirac demostró que este cuarto numero cuántico se origina en las
propiedades relativisticas del electrón. Demostró que el espín del electrón puede describirse
como un solo numero cuántico s cuyo valor puede ser 2
1s .
Debido a que el electrón es una forma de momento angular, debe seguir las mismas reglas que el momento angular orbital.
Magnitud del momento angular del espin de un electrón: 2
31 ssS
También el componente z : 2
1. sz mS
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El momento angular del espín S muestra cuantizacion espacial. Esta figura representa las dos orientaciones permitidas del vector del momento angular del espín S y el momento
magnético de espín espin para una partícula de espín 2
1 , como lo es el electrón.
El momento magnético del espín espin Sm
e
e
espin
Debido a que : 2
1. sz mS
e
zespinm
e
2,
Esta cantidad: em
e
2
es el magnetón de Bohr : TJB /1027,9 24
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Paul Adrien Maurice Dirac, OM, FRS (8 de agosto de 1902 - 20 de octubre de 1984) fue
un físico inglés pionero en la física cuántica.
Paul Dirac
Paul Adrien Maurice Dirac
Nacimiento 8 de agosto de 1902
Bristol, Reino Unido
Muerte 20 de octubre de 1984
Tallahassee, Florida EE. UU.
Residencia English- Swiss (to 1919)
English (after 1919)
Campo(s) Física
Instituciones Universidad de Cambridge
Universidad de Florida
Alma mater Universidad de Oxford
Conocido por Física Cuántica
Premios destacados Premio Nobel de Física (1933)
Biografía Paul Dirac nació en Bristol, Reino Unido. Su padre, Charles, fue un inmigrante del cantón suizo de Valais que enseñaba francés para poder sobrevivir. Su madre, originaria de Cornualles, era hija de marineros. Paul tenía una hermana pequeña y un hermano mayor. Su primera etapa familiar parece ser infeliz, por la inusual severidad y autoritarismo de su padre. Estudió en la Bishop Primary School y en el Merchant Venturers Technical College, una institución de la universidad de Bristol, que enfatizaba las ciencias modernas (algo inusual en la época, y a lo que Dirac estaría siempre agradecido). Se graduó en ingeniería de electricidad en la universidad de Bristol en 1921. Tras trabajar por poco tiempo como ingeniero, Dirac decidió que su verdadera vocación eran las matemáticas. Completó otra carrera en matemáticas en Bristol en 1923 y fue entonces recibido en la Universidad de Cambridge, donde desarrollaría la mayor parte de su carrera. Empezó a interesarse por la Teoría de la relatividad y el naciente campo de la física cuántica, y trabajó bajo la supervisión de Ralph Fowler. En 1926 desarrolló una versión de la mecánica cuántica en la que unía el trabajo previo de Werner Heisenberg y el de Erwin Schrödinger en un único modelo matemático que asocia
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cantidades medibles con operadores que actúan en el espacio vectorial de Hilbert y describe el estado físico del sistema. Por este trabajo recibió un doctorado en física por Cambridge. En 1928, trabajando en los spines no relativistas de Pauli, halló la ecuación de Dirac, una ecuación relativista que describe al electrón. Este trabajo permitió a Dirac predecir la existencia del positrón, la antipartícula del electrón, que interpretó para formular el mar de Dirac. El positrón fue observado por primera vez por Carl Anderson en 1932. Dirac contribuyó también a explicar el spin como un fenómeno relativista. El Principio de la Mecánica Cuántica de Dirac, publicada en 1930, se convirtió en uno de los libros de texto más comunes en la materia y aun hoy es utilizado. Introdujo la notación de Bra-ket y la función delta de Dirac. En 1931 Dirac mostró que la existencia de un único monopolo magnético en el Universo sería suficiente para explicar la cuantificación de la carga eléctrica. Esta propuesta recibió mucha atención pero hasta la fecha no hay ninguna prueba convincente de la existencia de monopolos. Paul Dirac compartió en 1933 el Premio Nobel de Física con Erwin Schrödinger "por el descubrimiento de nuevas teorías atómicas productivas." Dirac obtuvo la cátedra Lucasiana de matemáticas de la Universidad de Cambridge donde ejerció como profesor de 1932 a 1969. Dirac pasó los últimos años de su vida en la Florida State University ("Universidad Estatal de Florida") en Tallahassee, Florida. Allí murió en 1984, y en 1995 se colocó una placa en su honor en la Abadía de Westminster en Londres. Ideología Dirac era un ateo reconocido. Tras hablar con Dirac, Pauli dijo en sus crónicas: "Si entiendo correctamente a Dirac, él dice: no hay Dios, y Dirac es su profeta". Dirac era conocido entre sus colegas por su naturaleza precisa y taciturna.
Cuando Niels Bohr se quejaba de que no sabía cómo acabar una determinada frase en un artículo científico, Dirac le replicó: "A mí me enseñaron en la escuela que nunca se debe empezar una frase sin saber el final de la misma". Cuando visitó la U.R.S.S., fue invitado a una conferencia en filosofía de la física. Él simplemente se puso de pie y escribió en la pizarra: "Las leyes físicas deben tener la simplicidad y belleza de las matemáticas". Cuando en una ocasión le preguntaron sobre poesía, contestó: "en ciencia uno intenta decir a la gente, en una manera en que todos lo puedan entender, algo que nunca nadie supo antes. La poesía es exactamente lo contrario". Dirac era también reconocido por su modestia. Llamó a la ecuación de la evolución temporal de un operador mecano-cuántico, "la ecuación de movimiento de Heisenberg", cuando fue él el primero en escribirla. Para referirse a la estadística de Fermi-Dirac el siempre insistió en decir estadística de Fermi.
Dirac tenía solamente 31 años cuando compartió el premio Nobel con el físico austriaco Erwin Schrödinger, en 1933. Hablaba con fluidez francés e inglés, pero era taciturno en ambos idiomas. Por otra parte, su timidez llegó a ser legendaria. Por ejemplo, cuando fue informado que acababa de ganar el premio, Dirac le dijo a Rutherford, entonces jefe de
Enrico Fermi, Werner Heisenberg e Wolfgang Pauli
Paul Dirac & Werner Heisenberg
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Cavendish, que él no lo deseaba aceptar porque le tenía aversión a la publicidad. ¡Rutherford le contestó que el rechazo del premio le traería aún más publicidad! Dirac se retiró de Cambridge en 1969 y se cambió a la universidad del estado de la Florida en los EE.UU.. Murió en Tallahassee, Florida, el 20 de octubre de 1984.
23. Liste todos los conjuntos posibles de números cuánticos para electrones en (a) la
subcapa 3d y (b) la subcapa 3p Solución (a)
103d
n 3
l 2
ml 2 1 0 -1 -2
ms ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
Total : 10 estados
Solución (b)
63p
n 3
l 1
ml 1 0 -1
ms ↑↓ ↑↓ ↑↓
Total 6 estados 24. Calcule la cantidad de movimiento angular para un electrón en (a) el estado 4d y (b) el
estado 6f Solución (a)
.)1( llL cuando 4n l = 2 6.)12(2 L
Solución (b)
.)1( llL cuando 6n l = 3 12.)13(3 L
25. Si un electrón tiene un momento angular orbital igual a 4,714 x 10-34J.s. ¿Cuál es el numero cuántico orbital para el estado del electrón.
Solución
4
)1(20
)1()47,4(
)1(10055,1
10714,4
Re
.)1(
22
34
34
l
ll
ll
llJsx
Jsx
emplazando
llL
26. Un átomo de hidrogeno está en su quinto estado excitado, cuyo número cuántico principal es 6.El átomo emite un fotón con una longitud de onda de 1 090 nm. Determine el momento angular orbital máximo posible del electrón después de la emisión
Solución
El quinto estado excitado, para n = 6, tiene energía : eVn2
6,13 = eV
2)6(
6,13 = - 0,378eV
SOLUCIONARIO R.SERWAY – J. JEWETT FISICA. Tomo II. 6º Edición.2005. México. Cap. 20.Pág.689 Sección 20,6.
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También :
hcE reemplazo : eV
eV
Jm
JsE 14,1
)106,1)(101090(
)103)(10626,6(
199
834
Luego habría una diferencia de energía : -0,378eV – 1,14eV = -1,52 eV
Esta energía estaría en n = 3 , eV2)3(
6,13 = -1,51 eV
Si n = 3 , puede tener el máximo l = 2
Luego : .)1( llL
.)12(2 L =
.6L
27. ¿Cuántos conjuntos de números cuánticos son posibles para un electrón en el cual (a)
n=1 , (b) n = 2 , (c) n=3 , (d) n = 4, (e) n=5?. Verifique sus resultados para demostrar que están de acuerdo con la regla general de que el numero de conjuntos de números cuánticos para una capa es igual a 2n2?
Solución
1n ; 2)1(22 2 sm
2n ; 8)2(28 2 sm
3n ; 18)3(218 2 sm
4n ; 32)4(232 2 sm
5n ; 50)5(250 2 sm
28. Determine todos los valores posibles de L , Lz , y para un electrón de hidrogeno en un estado 3d
Solución
.)1( llL 3n l = 2 6.)12(2 L
Como l = 2 ml = -2 , -1 ,0 , 1, 2
.lz mL ,2 ,1 ,0 ,1,2 zL
1cos
ll
m
L
L lz
6cos lz m
L
L
Reemplazando los valores permitidos de ml obtenemos : 00000 35,6 ;965, ;90 ;114 ;7,144
29. (a)Determine la densidad de masa de un protón, representándolo como una esfera solida de radio 1 x 10-15 m. (b) ¿Qué pasaría si? Considere un modelo clásico de un electrón como una esfera solida con la misma densidad que el protón. Determine su
radio.(c) Imagine que este electrón posee un momento angular de espín I= 2 en
razón de la rotación clásica alrededor del eje de la z. Determine la rapidez de un punto en el ecuador del electrón y (d) compare esta rapidez con la rapidez de la luz.
Solución
n 1 2 3
l 0 0 1 0 1 2
ml 0 0 1 0 -1 0 1 0 -1 2 1 0 -1 -2
ms ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
4
0 1 2 3
0 1 0 -1 2 1 0 -1 -2 3 2 1 0 -1 -2 -3
↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
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15
Parte (a)
Densidad Protón: v
m
317
15
27
/1099,3
)101(3
4
1067,1mkg
m
kg
v
m
esfera
p
Parte (b)
Volumen esfera: 3
3
4rV
3/1
4
3
em
r
Reemplazo datos :
3/1
317
31
/1099,3(4
)1011,9(3
mkg
kgr
= 8,17 x 10-17 m = 81,7 am
Parte (c)
Recordemos Momento de energía : 2
5
2mrI
21731 )1017,8)(1011,9(
5
2mkgI
263 .1043,2 mkgI
Pero : r
IvILz
2
Relacionado r
Iv
2
I
rv
2
smx
mkg
mv /1077,1
).1043,2(2
)1017,8( 12
263
17
v = 1,77 Tm/s Parte (c) Transformamos en términos de la velocidad de la luz:
3
8
12
109,5/103
/1077,1
sm
sm
c
v
v = 5,9 x 103 c
30. Un electrón está en la capa N. Determine el valor máximo del componente en z que su
cantidad de movimiento angular puede tener Solución Como un electrón se encuentra en la capa N n = 4
l = 0,1,2,3 ml = - l + l El valor máximo es : + 3
lz mL
3zL
31. El mesón tiene una carga de -e un numero cuántico de espín igual a 1, y una masa 1507 veces mayor que la del electrón. ¿Que pasaría si? Imagine que los electrones en
los átomos fueran reemplazados con mesones Haga una lista de los posibles
conjuntos de números cuánticos para mesones en la subcapa 3d. Solución
Subcapa 3d
n = 3 l = 2 ml = -2,-1,0.+1,+2
s = 1 ms = -1, 0, 1
n 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 l 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
ml -2 -2 -2 -1 -1 -1 0 0 0 +1 +1 +1 +2 +2 +2
s 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
ms -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1 -1 0 1
INTERPRETACION FISICA DE LOS NUMEROS CUANTICOS 12 de agosto de 2008
FISICA ATOMICA Y NUCLEAR . Lic. José Moreno Vega.
FACULTAD DE EDUCACION. Matemática, Física e Informática
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n = 3 ; l=2 ; ml =-2 ,-1, 0,1 ó 2 ; s =1; ms = -1 , 0 , ó 1 , para un total de 15 estados