Muchos problemas importantes en cálculo dependen de la determinación de la recta tangente a una curva dada, en un punto específico de la misma. Si consideramos la gráfica de una circunferencia, la recta tangente en punto P de está curva se define como la recta que corta la circunferencia únicamente en el punto P ver la figura 1. Para cualquier otra curva la recta que debería ser la recta tangente en el punto P, corta la curva en otro punto Q; ver figura 2

Veamos esas figuras

Recta tangente

Punto de tangencia

Figura 1

Q

P

Figura 2

P

Recta secante

Consideremos una función f continua en “a” .Para definir la pendiente de la tangente a la gráfica de f en el punto . Consideremos a I un intervalo abierto que contiene al número “a” en el cual f está definida . Sea otro punto sobre la gráfica de f tal que también está en I y sea S la recta que pasa por los puntos P y Q es decir, S es una recta secante.

Veamos la gráfica

)(, afaP

)(, hafhaQ

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Podemos observar en la gráfica que h denota una variación en el valor de “a” cuando x cambia de “a” a a+h y puede ser positiva o negativa, esa variación se llama incremento de x .

La recta secante que pasa por los puntos P y Q de la gráfica su pendiente está dada por:

Siempre que la recta no sea vertical

Acuérdate de la definición de pendientehafhafmPQ

)()(

Para dos puntos cualesquiera en una recta R digamos 111 , yxP 22,2

yxP

La pendiente está dada por : 12

12 xxyymR

Observación :

Si entonces no existe pendiente (Rectas Verticales)

Si entonces la pendiente es cero (Rectas Horizontales)

21 xx

21 yy

Ahora si imaginamos el punto P como un punto fijo y el punto Q moviéndose a lo largo de la curva en dirección hacia P ( Q se aproxima a P ).

Lo que estamos diciendo es que el valor de h se aproxima a cero . Mientras esto sucede, la recta secante gira sobre el punto fijo P y el ángulo tiende a ser . La posición límite de la recta secante es la que deseamos sea la recta tangente a la curva en el punto P. Este análisis nos lleva a la definición de recta tangente.

Veamos entonces la definición de Recta tangente

Supongamos que la función f es continua en “a”; entonces la recta tangente a la gráfica de f en el punto es:

)(, afaP

hafhaf

hlímtm

)()(0

si este límite existe

La recta si

1.-

2.-1xx

h

afhafhlím )()(0

h

afhafhlím )()(0

y

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto.

)(' aftm