INTERPOLACIÓNDIFERENCIA-FINITA

(NEWTON)

NEWTON

Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente entonces; el 4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire.

matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época.

Cuando los datos están tabulados de forma que la diferencia entre dos valores consecutivos del vector de abscisas es constante, o sea, sus valores son equidistantes. Quiere decir cuando la distancia h entre dos argumentos consecutivos cualesquiera, es la misma a lo largo de la tabla, el polinomio de Newton en diferencias divididas puede expresarse con mas sencillez.

INTERPOLACIÓN-NEWTON

Aproximación polinomio de Newton, el cual se expresa como:

𝑝𝑛 (𝑥 )=∑𝑖=0

𝑛

𝑎𝑖∏𝑖=0

𝑘− 1

(𝑥−𝑥 𝑖)

Para este propósito se introduce un parámetro , “s” definido en:

¿CÓMO SABER QUE ES INTERPOLACIÓN DE NEWTON FINITAS?

Cuando la distancia h entre dos argumentos ()

consecutivos cualesquiera, es la misma a lo largo de la tabla

ANÁLISIS DE ECUACIÓN

¿ 𝑓 [𝑥0 ]+𝑠 𝛥 𝑓 [𝑥0 ]+𝑠 (𝑠−1)2!

𝛥2 𝑓 [𝑥0 ]+…+𝑠 (𝑠−1 ) (𝑠−2 )…(𝑠− (𝑛−1 ))

𝑛 !𝛥𝑛 𝑓 [𝑥0 ]

INTERPOLACIÓN DE NEWTON EN DIFERENCIAS FINITAS

DEMOSTRACION DE LA ECUACIONLa ecuación de polinomios de forma general lineal es:

Luego dependiendo del orden cada uno de los coeficientes y las incógnitas se hacen cero 0:

En donde las evaluaciones de la función entre corchetes son diferencias divididas finitas.Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita se representa generalmente como:

La segunda diferencia dividida finita, que representa la diferencia de dos primeras diferencias divididas finitas, se expresa generalmente como:

De manera similar, la n-ésima diferencia dividida finita es:

Estas diferencias se usan para evaluar los coeficientes de la ecuación (12), los cuales se sustituyen en la ecuación (11), para obtener el polinomio de interpolación:

𝑓 [𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑗 ]=∆𝑛− 1𝑏

∆𝑛𝑏=∆𝑛−1𝑏

𝑓 [2]= ∆2𝑏h22!

𝑓 [𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑗 ,.. ]𝑦 𝑛=∆𝑛 𝑦0h𝑛𝑛 !

De forma general con el delta obtenemos

Para dos índices

De forma general para cada indice

LA FORMULA GENERAL ES:

……..

Tabla de calculo de cada uno de los índices

Aplicando la formula General

Estructura y Algoritmo del Programa

PROGRAMA DIFERENCIAS FINITAS (NEWTON)

CONSTRUCCIÓN DE LA TABLA

x y

60 0.63

40 1.36

80 2.18

… …

X X

Tabla MATLAB

y …

0.63 0.73 0.09 -0.09 0.21.36 0.82 0 0.11 1.142.18 0.82 0.11 1.26 -2.53…. … … … …x X X X X

Tabla Delta

MATLAB

INTERFAZ GRAFICA MATLAB NEWTON (FINITAS)