Matemáticas Financieras Con el propósito de aportar herramientas prácticas que faciliten nuestra labor diaria en la información que suministramos a nuestros clientes, se ha diseñado la presente cartilla. Contiene conceptos y casos reales sobre matemática financieras aplicada a nuestra labor.

La matemática financieras es una rama de la matemática general, que nos ayuda a calcular el valor del dinero en el tiempo. Son aplicaciones sencillas de las matemáticas para el mundo de los negocios.

Interés Simple

Conceptos Básicos de Matemáticas Financieras

CONTENIDO

En esta unidad estudiaremos

El concepto de interés y tasa de

interés I,i

El concepto de interés simple Is

El concepto de interés compuesto

vencido Icv

CONCEPTOS BÁSICOS DE MATEMÁTICAS

FINANCIERAS

Concepto de interés y tasa de interés

El dinero

Es un activo que posee una característica muy especial tiene la capacidad de generar más dinero en la medida que transcurre el tiempo.

El interés

Por tanto es el precio del dinero prestado o del crédito obtenido que produce una suma determinada a un porcentaje y en un tiempo dado.

Generalmente, y para efectos de abreviar, simbolizamos al

Interés con la letra "I" y siempre su resultado se expresa en

pesos ($).

La tasa de interés

Es el valor relativo o porcentual del interés.

Generalmente la tasa de Interés se expresa con la letra "i" y

en términos porcentuales "%".

Para efecto de los ejercicios a desarrollarse, en adelante utilizaremos los

siguientes conceptos Básicos:

Capital

Es el dinero que se invierte o se pide prestado hoy, lo

simbolizaremos así: C

Monto

Es el valor futuro de un capital que se invierte o se pide prestado.

Hoy en un tiempo determinado. Lo simbolizaremos así: M

Tiempo

Es el lapso de tiempo en días, meses, trimestres, años, etc., de una inversión o de un préstamo obtenido. Lo simbolizamos con

la letra t

Ejercicio:

Un cliente consignó en una cuenta de ahorros $50.000, al término de un año recibió

$68.000. Cual fue el Interés recibido y a que tasa de interés corresponda?

C= $50.000

M= $68.000

T= 1 año

I=?

i=?

Si el monto recibido al año fue de $68.000 y el capital que ahorró el cliente fue de

$50.000, la diferencia nos arroja el Interés que en el año generó el capital.

I = M - C

I = $ 68.000 - $50.000

I= $ 18.000

Por una regla de tres simple determinamos la tasa de interés que equivale al capital

ahorrado y al monto devengado al final del año, así:

$18.000 x 100%

$50.000 100%

$18.000 i

$50.000

Si,

i = = 36%

i = 36%

Del ejemplo anterior se deduce que la tasa de retorno es el valor de recuperación de

una inversión, medida en términos porcentuales.

Ejemplo

Un comerciante adquirió para su negocio un equipo que costó $4'000.000 y recibe

por esa inversión $140.000 mensuales Cual será la tasa de retorno de su inversión?

$140.000 i

Si, $4'000.000 100%

$140.000 x 100%

I = $140.000 Mensuales

i = ?

$4'000.000

C = $4'000.000

i = = 3.5%

Tasa de retorno = 3.5%

Ejemplo

1. Un ahorrador colocó en una cuenta de ahorros $3'200.000. Al cabo de 12 meses

recibió al cancelar su cuenta $3'722.000. ¿Qué interés ganó? y ¿a qué tasa le

pagaron su ahorro?

C = 3'200.000

M= 3'722.000

t = 12 meses

I = ?

i = ?

I= $ 3'722.000 - 3'200.000= $ 522.000

$522.000 i

Si, $3'200.000 100%

$522.000 x 100%$3'200.000

i = =16.31%

2. Un industrial adquirió equipos por $26'300.000 y espera recibir por la producción de

los nuevos equipos $540.000 mensuales. Cual será la tasa de retorno mensual?

$540.000 i

Si, $326'300.000 100%

$540.000 x 100%$26'300.000

i = = 2.05%

Tasa interna de retomo mensual = 2.05%

Ejercicios propuestos de interés y tasa de interés

1. Una persona invirtió en un Certificado a Término $1'500.000, al finalizar el plazo

pactado recibió $1.740.000.

¿Cuál fue el interés recibido y a qué tasa de interés le pagaron en los 6

meses?

2. El propietario de una papelería adquirió una fotocopiadora por $2';000.000 y espera

percibir $2.700.000 e ingresos de fotocopias $70.000 mensuales.

¿Cuál será su tasa de retomo mensual?

Concepto de interés simple.

Interés simple

Es el valor que gana una suma de dinero en determinado tiempo, cuando sólo el capital o principal devenga intereses. Dicho de otra manera, es el que se obtiene del capital pero sin que los intereses se capitalicen.

El interés simple es igual al capital multiplicado por la tasa de Interés y por el tiempo de la inversión. Es decir :

I = C x i x tS

De la cual se pueden despejar cualquiera de sus variables:

i x tC = IS

C x ti =

IS

C x tt =

IS

Ejemplos

1. ¿Cual será el Interés simple producido por un capital de $ 1'700.000 a una tasa del

24% durante un año y cuál será su monto?

Is = ?

M = ?

C =$1'700.000

i = 24% + 24/1 00 = 0. 24

t= 1 año

I = C x i x t

I =$1'700.OOOxO.24 x 1

I = $ 408. 000

I= M-C

M = C+l

M = $ 1 "700.000+ 408. 000

M = $ 2'1 08. 000

2. El señor Ramírez prestó al señor Gómez $500.000. Al cabo de un año el señor

Gómez le devolvió al señor Ramírez $525.000., ¿A qué tasa de Interés simple se

hizo el préstamo y cuál fue el Interés ganado por el señor Ramírez?

Is = ?

C = $ 500. 000 i = ?

t = 1 año

M= $525.000

C x ti =

IS Is = $25.000

pero Is = $525.000 - $500.000

$500.000 x 1i =

$25.000= 0,05 = 5%

i= 5%

3. El sr. Guillermo prestó a el Sr. Francisco $600.000. Al cabo de cierto tiempo el Sr.

Francisco devolvió a don Guillermo $675.000. La tasa pactada por ellos fue del

36%. Averigüe el tiempo acordado en la operación.

I = $675.000 - $600.000 = $75.000

C = $600.000

i = 36%= 0,36

t = ?

M = $675.000

$600.000 x0,36t =

$75.000C x i

Is=

$216.000 $75.000

=

t = 0,3472 x 12 = 4,1664

t = 4,1664 meses aproximadamente

Haciendo la prueba obtendremos que

I = C x i x t

I = 600.000 x 0.36 x 4,1664 / 12=$ 74.995,20

Lo que da aproximadamente el Interés obtenido por don Guillermo.

De los ejemplos anteriores podemos observar que:

Se entenderá que la tasa dada i, es anual , mientras no se especifique otra cosa

Siempre la tasa de Interés debe expresarse en términos del tiempo de la inversión o

viceversa. Es decir, siempre se debe expresar el tiempo, t, en términos de la tasa de

interés.

De ahí que cuando la tasa de interés está expresada anualmente y el tiempo de la

inversión, sea diferente a un año, debemos expresar , t, en términos de año Por tanto

la fórmula de interés simple queda así:

Is = C x i x t/360 lnterés Comercial

Is = C x i x t/365 lnterés real año 365 días.

Es conveniente siempre expresar la tasa "i" en términos decimales, es decir i/1 00.

Ejemplos

1. Teniendo en cuenta un año de 365 días, ¿Cuál será el interés simple de un dinero

prestado de $100.000 a una tasa de interés del 24% en 60 días?

C= $1 00.000

Is = ?

i= 24%

t= 60 días

Is = C x i x t/365

Is = $1 00.000 x 0.24 x 60 / 365

ls=$3.945, 21

2. ¿Cuál será el interés simple de un préstamo de $100.000 a una tasa de Interés del

24% en 4 meses?

C= $100. 000

IS = ?

i= 24%

t= 4 meses

Como |||||el tiempo, t,está dado en meses, a t lo dividimos en 12 meses que tiene un

año, por tanto la fórmula se expresa así.

Is = $100,000 x 0.24 x 4/12

Is = $ 8.000

Recordemos que:

Cuando la tasa i, no se especifica, se entenderá que es anual.

Pero hay ocasiones en que i, puede expresarse mensualmente o de

otra manera. Observemos los siguientes ejemplos :

Ejemplos

1.

C = $200.000

i = 3% anual

t = 8 meses

I = C x i x t

I = $ 4.000

2.

C = $200.000

i = 3% bimensual

t = 8 meses

I = C x I X t

I = $200.000 x 0.03 x 8/2

I = $ 24.000

Ejercicios propuestos de interés simple

1. Una persona tiene tres alternativas para invertir $5'400.000, a Interés simple

comercial (años de 365 días):

ALTERNATIVA (a) ALTERNATIVA (b) ALTERNATIVA (c)

C=$5.400.000 C=$5.400.000 C=$5.400.000

i=4% mensual i=36% i= 6% bimestral

t=9 meses t=12 meses t=10 meses

Is =? Is =? Is =?

De acuerdo con las diferentes alternativas propuestas, elija cual es la mejor de ellas.

Cuál será el interés simple comercial ganado por una suma de $2'750.000, si la tasa

es del 36%, invertido a:

a) 90 días

b) 5 meses

c) 2 años