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Interacción ElectromagnéticaTeoría Clásica

Interacción ElectromagnéticaTeoría Clásica

Joan Costa QuintanaProfesor Titular de Física Aplicada

Departamento de FísicaUniversidad Autónoma de Barcelona

Fernando López AguilarCatedrático de Física Aplicada

Departamento de FísicaUniversidad Autónoma de Barcelona

Interacción electromagnética. Teoría clásica

Copyright © Joan Costa Quintana

Copyright © Fernando López Aguilar

Fotografía de la cubierta: Agradecemos al STScI y la NASA por la fotografía de la cubierta. http://hubblesite.org/

Esta edición Editorial Reverté, S. A., 2007

Propiedad de: EDITORIAL REVERTÉ, S. A. Loreto, 13-15, Local B 08029 Barcelona Tel: (34) 93 419 33 36 [email protected] www.reverte.com

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#1282

Edición en papel: ISBN 978-84-291-3058-4 Edición e-book (PDF):

ISBN 978-84-291-9282-7

A Beatriz, Teresa y Daniel.JCQ

A Sergio, Idoia, Eva y Fernando, ya la memoria de Conchita.FLA

Prefacio

En este libro se estudia y analiza la interaccion electromagnetica desde unpunto de vista clasico. Esta interaccion es la que se produce entre partıculascon carga electrica, ya sea en reposo, en movimiento uniforme o movimientoacelerado. Durante el estudio de este libro es posible que los calculos ma-tematicos necesarios para encontrar la solucion de las ecuaciones que rigenla dinamica de la interaccion electromagnetica hagan perder de vista la co-nexion con la realidad y con sus aplicaciones practicas. Por ello, para que ellector se haga una idea de la importancia del conocimiento de la evolucionespacio-temporal del campo electromagnetico, nos parece conveniente comen-tar de manera breve los fenomenos inducidos directa o indirectamente porese campo, fenomenos que afectan de manera fundamental tanto a la propiaconstitucion de la materia como a hechos tan simples y cotidianos como en-cender un televisor, hablar por un telefono movil o calentar un desayuno enun horno de microondas. Antes de especializarse en alguna de las numero-sas ramas del saber que se fundamentan en el electromagnetismo es precisohacer un estudio global y analıtico del campo electromagnetico. Las activida-des profesionales que requieren conocimientos del campo electromagnetico sonmuchas y variadas, las cuales no se podran dominar completamente si no seconocen las ecuaciones de Maxwell, es decir, las ecuaciones fundamentales quedeterminan el comportamiento clasico de la interaccion electromagnetica. Noobstante, debemos decir que el hecho de dominar muy bien estas ecuacionesde evolucion no significa que necesariamente se tenga soltura suficiente a lahora de aplicarlas en todas la areas de conocimiento donde intervienen. Unintento sencillo y no exhaustivo de clasificacion de las areas de influencia delelectromagnetismo podrıa ser el siguiente.

vii

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1. En relacion con las diversas ramas de la ciencia

Es una de las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza.

En la escala espacial correspondiente a la corteza electronica delos atomos es la interaccion fundamental mas importante, ya quedetermina la energıa de los electrones y la espectroscopia de losatomos.

Las moleculas son el resultado de la union de los atomos, y la fuerzade esa union es de origen electromagnetico; por lo tanto, la quımicay la bioquımica se basan, en ultima instancia, en la interaccionelectromagnetica.

Todos los procesos biologicos tienen lugar gracias a la interaccionentre macromoleculas cuyas estructuras se sostienen por fuerzaselectromagneticas.

Los materiales solidos tambien se forman gracias a la existencia defuerzas electromagneticas entre los atomos que los componen. Elhecho de que un edificio soporte su peso se debe a la existencia delos campos electromagneticos entre las moleculas de los materialescon los que esta construido.

Si bien hay disciplinas que han construido su identidad de forma in-dependiente del estudio de la interaccion electromagnetica en sı mis-ma, como la optica (que versa sobre el campo electromagnetico enel intervalo de frecuencias del espectro visible), la electronica, etc.,estas lo han hecho mas en virtud de la extension y progreso que hanalcanzado sus aplicaciones que por la existencia de otros principiosrectores de su desarrollo epistemologico.

La bioelectricidad y el biomagnetismo estudian la relacion de loscampos electrico y magnetico con los seres vivos. Como ejemplospodemos citar el estudio del potenciales electricos en el corazony en el cerebro humano (electrocardiograma y electroencefalogra-ma) o los efectos de los campos de baja frecuencia (lıneas de altatension y telefonıa movil) sobre la salud de las personas. En ocasio-nes, el conocimiento del electromagnetismo permite detectar cier-tas actitudes, a veces fraudulentas, de algunas pseudociencias que,aprovechandose de la ignorancia de mucha gente sobre el campoelectromagnetico, proponen remedios “magicos” para todo tipo deenfermedades y disfunciones con el fin de obtener pingues bene-ficios economicos, como es el caso, por ejemplo, de las supuestaspropiedades magneticas y de capacidad de memoria del agua.

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2. En relacion con las aplicaciones tecnicas

Con el desarrollo de la tecnica, actualmente tiene mucha impor-tancia la comunicacion a larga distancia mediante ondas electro-magneticas, como es el caso de la radio, la telefonıa sin hilos, latelevision, etc. No obstante, tambien tiene una gran importancia lacomunicacion a traves de cables: telefono, fax, television por cable,comunicacion entre ordenadores, etc. La transmision de informa-cion desde un emisor con objeto de que sea recogida por un numeroilimitado de receptores se hace por medio de antenas, cuyos tiposy propiedades pueden variar en funcion de las caracterısticas dela informacion transmitida (distancia de la transmision, potencia,direccionalidad, frecuencia de la senal, etc.).

En el siglo XXI es indispensable el suministro electrico, tanto parauso domestico (luz, electrodomesticos, etc.) como industrial o detransporte. Cuando la red electrica deja de suministrar potenciadurante algunas horas, las alteraciones que se producen en la vidadiaria de los ciudadanos son innumerables.

En el campo de la salud podemos mencionar numerosos aparatosque utilizan el campo electromagnetico. Estos aparatos se utilizantanto para detectar senales biologicas (electrocardiograma, elec-troencefalograma, etc.) como para realizar exploraciones clınicas(rayos X, resonancia magnetica nuclear, endoscopios, etc.), e in-cluso como metodos terapeuticos (rayos gamma, magnetoterapia,laser, aceleradores, etc.), que hoy en dıa son indispensables en loscentros hospitalarios. Algunas tecnicas (como la ecografıa, por ejem-plo) no utilizan el campo electromagnetico de una manera directae inmediata pero sı lo hacen de una manera indirecta: en la propiageneracion de los ultrasonidos y en el tratamiento de las imagenessuministradas.

Algunas otras aplicaciones son: aparatos opticos, hornos de micro-ondas domesticos e industriales, laseres para todo tipo de usos,sistemas para la navegacion (brujula, radar, satelites de navega-cion, etc.), investigacion cientıfica con campos magneticos extraor-dinariamente intensos para obtener recintos inmateriales en los queconcentrar gases a altısimas temperaturas con objeto de obtener lafusion nuclear controlada (proyecto ITER), etc.

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3. En relacion con la vida cotidiana

Sin la radiacion electromagnetica a frecuencias opticas que nos llegadel Sol no habrıa vida en la Tierra, al menos en su forma actual.

Sin la proteccion del campo magnetico de la Tierra probablemen-te tampoco existirıan las formas de vida que hoy conocemos. Hayquien especula con la posibilidad de que la desaparicion de los di-nosaurios se debio a la anulacion del campo magnetico de la Tierracomo consecuencia de sus inversiones periodicas, lo cual favore-cio cambios cromosomicos que esta especie no pudo resistir.

La comunicacion visual entre humanos y con el entorno ocupa unlugar destacado en toda civilizacion. Las otras formas de comunica-cion (las que no se basan directamente en las ondas electromagneti-cas) son subsidiarias, como la auditiva, o casi inexistentes, como eltacto, el olfato y el gusto. En algunos animales predominan otrossentidos, como la presion en los peces, el sonido (que tambien espresion) en los murcielagos y el olfato en las serpientes, pero enlos seres humanos predomina claramente el sentido de la vista quefunciona gracias al campo electromagnetico a frecuencias opticas.

Las comunicaciones con todo lo que esta mas alla de la superficiede la Tierra son posibles casi exclusivamente gracias a las ondaselectromagneticas. Pensemos en la contemplacion de las estrellas,en la observacion del Universo con telescopios opticos o con radio-telescopios, en la comunicacion con los satelites artificiales o conlas naves exploradoras del sistema solar, o incluso en los proyectosque intentan comunicar con civilizaciones extraterrestres. Casi to-da la informacion que nos llega del exterior de la Tierra procede defotones; la informacion procedente de otras partıculas (neutrinos,viento solar, parte de los rayos cosmicos, etc.) es muy pequena.

Contenido del libro

El libro se basa en la experiencia adquirida por ambos autores durante los masde 28 anos que estan dedicados a la ensenanza de esta materia, entre otras,a nivel de primero y segundo ciclo universitario. Pretende ser un complemen-to en la formacion basica para estudiantes de Ingenierıa Superior y TecnicaElectricas, Electronicas, Informaticas, Industriales y de Telecomunicaciones,

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y como no, para estudiantes de Ciencias Fısicas (en dos asignaturas tronca-les, Electromagnetismo y Electrodinamica Clasica). Puede servir tambien paraestudiantes de Quımica y Geofısica.

Aunque existen textos que tratan de estas materias, no suelen ajustarse deforma completa a los programas de las asignaturas que se explican en loscentros universitarios y por tanto los alumnos suelen demandar que se lesproporcione apuntes de los contenidos exigidos en los currıcula de sus planesde estudios. Esta pensado como libro de texto y guıa del alumno.

El libro toma como base lo estudiado en un primer curso tanto de Ingenierıacomo en Ciencias Fısicas y se ajusta a los conocimientos de Matematicas quelos alumnos tienen cuando van a iniciar el segundo curso. La idea fundamentalde este libro es el de conducirles a una situacion de comprension y asimila-cion de esta parte fundamental de la Fısica que les permita abordar cualquierespecialidad que tenga relacion con la dinamica de partıculas cargadas.

El contenido del libro puede dividirse en cuatro partes:

I) Capıtulos 1 a 7.- Introduccion al campo electromagnetico, empezandopor la electrostatica y acabando en las ecuaciones de Maxwell.

En el capıtulo 1 se estudian elementos de calculo vectorial y otras herra-mientas matematicas. Se pone especial enfasis en el concepto de gradien-te, divergencia y rotacional, ya que se utilizan continuamente en todoel resto del libro. A continuacion, capıtulo 2, analizamos la interaccionentre cargas en reposo. Introducimos el concepto de campo electrico apartir de la fuerza de Coulomb, tanto para el caso de cargas puntua-les como de distribuciones de carga. Determinamos las propiedades delcampo electrostatico desde el punto de vista de los conceptos de diver-gencia y rotacional. Tambien explicamos diferentes maneras de calcularel campo electrico en el vacıo y en un sistema de conductores. Final-mente tratamos la energıa electrica de una distribucion de cargas. En elcapıtulo 3 ampliamos el estudio del campo electrico en el caso de mediosmateriales no conductores, es decir, dielectricos, y ponemos enfasis enlos conceptos de campo macroscopico y microscopico, ası como en lasdiferentes escalas espaciales en las que estan definidos dichos campos.

En los capıtulos 4 y 5 se sigue un paralelismo con los dos capıtulosanteriores para analizar las interacciones y fuerzas entre corrientes esta-cionarias (campo magnetico), en lugar de la interaccion entre cargas enreposo (campo electrico). Partimos del principio de conservacion de la

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carga para llegar a la ecuacion de continuidad y la definicion de corrientesestacionarias. Luego analizamos las fuerzas sobre cargas en movimientoa velocidades pequenas frente a la de la luz en el vacıo. De esta fuerza yde la expresion de la fuerza de Lorentz se deduce el concepto de campomagnetico, y a continuacion se estudian las propiedades de este campocon las herramientas matematicas del capıtulo primero. En el capıtulo 5presentamos el desarrollo multipolar del potencial vector dentro de unmaterial con comportamiento magnetico, e introducimos el concepto decorrientes de imanacion o corrientes equivalentes. Finalmente estudiamoslos diferentes comportamientos magneticos de la materia.

Hasta el capıtulo 5 los campos electricos y magneticos se estudian deforma independiente del tiempo, y en el capıtulo 6 damos un nuevo pasoadelante considerando los campos B y E con evolucion espacio-temporal.Iniciamos el tema con el estudio de los fenomenos de induccion mediantela ley del flujo e inductancia entre circuitos. Analizamos las diferenteslimitaciones o excepciones de dicha ley, explicando las causas de estecomportamiento excepcional. Despues damos expresiones para la energıamagnetica, en analogıa a lo que se hizo en el capıtulo 3 en relacion conla energıa electrica.

Las corrientes estacionarias dan lugar a un campo magnetico determi-nado segun la ley de Biot y Savart (campo magnetico estatico o mag-netostatico), sin embargo estas expresiones no son validas en el caso decorrientes no continuas. Con la ayuda del principio de conservacion dela carga explicamos como Maxwell establecio la corriente de desplaza-miento que de forma coherente servıa para determinar los campos deinduccion magnetica para el caso de corrientes no estacionarias. Conello, y con una generalizacion de la ley de Ampere y Gauss para sis-temas de cargas en movimiento, se presentan las ecuaciones locales delcampo electromagnetico que propuso Maxwell y que actualmente aunse utilizan para sistemas macroscopicos. En el capıtulo 7 estudiamos to-do esto, y, ademas, tambien demostramos el teorema de conservacionde la energıa en sistemas electromagneticos, o teorema de Poynting, ydeterminamos los momentos lineales y angulares del campo.

II) Capıtulos 8 a 11.- Desarrollo de las ecuaciones de Maxwell: radiaciony propagacion de ondas electromagneticas.

Primero, en el capıtulo 8, definimos los potenciales electromagneticoscomo funciones intermedias que son utiles para resolver las ecuacionesde Maxwell. Planteamos y resolvemos las ecuaciones de ondas para esospotenciales. A continuacion establecemos las primeras soluciones de las

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ecuaciones de Maxwell, estudiando los potenciales y los campos debidosa una carga puntual en movimiento arbitrario. Ello nos permite introdu-cir el concepto de campo de radiacion y analizarlo cuando las partıculastienen movimientos paralelos o perpendiculares a su aceleracion. Esteanalisis es especialmente importante porque es la base de los acelera-dores lineales y circulares, que son instrumentos de gran utilidad enaplicaciones medicas y en el analisis de materiales.

En el capıtulo 9 abordamos la generacion de ondas electromagneticasa partir de sistemas cuya evolucion se realiza a velocidades pequenaso cuyas corrientes evolucionan a bajas frecuencias, lo cual nos permi-te estudiar los primeros ordenes del desarrollo multipolar del campo deradiacion. Estudiamos la radiacion de sistemas extensos, es decir, intro-ducimos el estudio de antenas simples como la antena lineal y la circular.

Una vez conocido el procedimiento de generacion de ondas electro-magneticas, dado en los capıtulos anteriores, estudiamos la propagacionde estas. Primero, en el capıtulo 10, lo hacemos en medios infinitos osemiinfinitos cuando existen superficies de separacion entre dos mediosmateriales. Posteriormente, en el capıtulo 11, tratamos la propagacionde ondas en medios finitos, es decir, ondas electromagneticas confina-das tanto en guıas de onda y cavidades resonantes como en lıneas detransmision.

III) Capıtulos 12 a 16.- Tratamiento relativista del campo electromagneti-co y su formulacion a partir del principio de mınima accion (contenidoeste que a veces se denomina Electrodinamica Clasica).

Dedicamos un primer capıtulo, el 12, a un repaso de la relatividad espe-cial de Einstein en la que la transformacion de Lorentz es su eje central.Esta transformacion, que se utiliza para cambiar de sistema de referen-cia, la aplicamos a los cuadrivectores mas conocidos y extraemos algunasconsecuencias que se utilizan en los temas siguientes (capıtulos 13 a 16)de Electrodinamica.

Si en los primeros temas, del 2 al 7, estudiamos las ecuaciones del Electro-magnetismo de forma inductiva, a partir de resultados experimentales,en el capıtulo 13 y siguientes, lo hacemos deductivamente a partir de pri-meros principios. Aplicamos el principio de mınima accion a un sistemaformado por una partıcula en un campo con el que interacciona. Dedu-cimos, como consecuencia de dicha aplicacion, la formulacion covariantede la fuerza de Lorentz, y demostramos el primer par de ecuaciones deMaxwell. Tambien definimos el tensor electromagnetico en funcion delos campos E y B, definicion que nos permite hacer la transformacion

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de Lorentz del campo. En la parte final del capıtulo estudiamos el movi-miento de cargas en campos electromagneticos a velocidades relativistas.

El capıtulo 14 es continuacion del capıtulo 8, y en el estudiamos de for-ma no exhaustiva algunos procedimientos de generacion de ondas elec-tromagneticas con partıculas cuyas velocidades son comparables con lavelocidad de la luz. Analizamos los aceleradores de partıculas y la radia-cion sincrotron, ası como la denominada radiacion de frenado y radiacionCherenkov.

El capıtulo 15 es una continuacion natural del capıtulo 13. En el sepropone una densidad lagrangiana para el campo electromagnetico yutilizando el principio de mınima accion se deduce el segundo par deecuaciones de Maxwell tanto en el vacıo como en medios materiales.

Completamos todos estos temas estudiando la fuerza de frenado que seejerce sobre las partıculas cargadas cuando emiten radiacion (capıtulo16). Esta fuerza de frenado surge cuando se considera la interaccion entreuna partıcula con el campo generado por ella misma. Las ecuacionesdeducidas plantean ciertos problemas en el seno de la ElectrodinamicaClasica, y, consecuentemente, llegamos a los lımites de esta disciplina.

IV) Capıtulo 17.- Una aplicacion concreta de la interaccion electromagneti-ca: la superconductividad. En este capıtulo analizamos las ecuaciones deMaxwell en condiciones de resistencia electrica cero, bien en conductoresperfectos, o bien en superconductores. Analizamos el apantallamiento decampo magnetico y efecto Meissner-Ochsenfeld.

El campo electromagnetico no siempre es facil de analizar, pues se basa en doscampos vectoriales interdependientes, E y B, y ademas existen cuatro funcio-nes correspondientes a las fuentes de campo, ρ y J . Todas estas magnitudesfısicas dependen de cuatro variables, las tres de posicion, r, y el tiempo, t.En consecuencia existen diez funciones que dependen de cuatro variables, ypara obtener sus soluciones disponemos de las ocho ecuaciones de Maxwell ytres ecuaciones diferenciales mas procedentes de la fuerza de Lorentz. La apa-rente dificultad procedente de tener once ecuaciones y diez magnitudes fısicasdiferentes queda eliminada por el hecho de que las ecuaciones de Maxwell noson totalmente independientes unas de otras. Por ultimo, es necesario ponerde manifiesto que los efectos del campo electromagnetico, ası como los de lateorıa de la relatividad, suelen ser a veces poco o nada intuitivos. Por ejemplo,Feynman decıa que es mas facil imaginarse una habitacion llena de angeles in-

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visibles, que imaginarse el campo de ondas electromagnetico.1 Aunque la frasenos parece un poco exagerada, sı que da una idea de la dificultad que existe ala hora de formarse conceptos intuitivos acerca del campo electromagnetico.

Es necesario mencionar que en el libro hay algunos apartados con letra maspequena, lo cual significa que no es indispensable estudiarlos para seguir losrazonamientos logicos de los contenidos fundamentales y por lo tanto se puedeneludir si no se dispone de mucho tiempo para su estudio, aunque cierto es queen aras de la total coherencia y completitud de lo que en el libro se estudia nosparece que deben incluirse. En cada capıtulo proponemos algunas cuestiones deautoevaluacion y ejercicios, relativamente sencillos, que pueden ser utilizadospara comprobar el nivel de comprension adquirido con la lectura del mismo.

Por ultimo queremos mostrar nuestro agradecimiento a todas las personas quede una manera u otra han contribuido a que este libro viera la luz: en primerlugar, a los docentes que son o han sido miembros del Grupo de Electro-magnetismo de la Universidad Autonoma de Barcelona, por las experienciascompartidas relativas a las diferentes asignaturas cuyos contenidos son estu-diados en el presente trabajo; en segundo lugar, a los discentes que con elplanteamiento de sus dudas y cuestiones nos ha permitido mejorar en claridadla presentacion de sus contenidos, y por ultimo, aunque no en ultimo lugar,deseamos agradecer especialmente a Julio Bueno el esmero y cuidado que hapuesto en la produccion editorial de este libro.

Los autores.

Bellaterra, 20 de diciembre de 2006.

1R.P. Feynman, R.B. Leighton y M. Sands, Feynman. Fısica. Vol. II p. 20-9 (Addison-Wesley Iberoamericana, 1987). ISBN: 0-201-06622-X

Indice general

1. Analisis vectorial 1

1.1. Algebra vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Concepto de campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4. Flujo de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6. Teorema de la divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7. Integral de lınea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . 16

1.8. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10. Teorema de Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.11. Coordenadas curvilıneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.12. Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.13. Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.14. Cuestiones de autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.15. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2. Electrostatica 41

2.1. Carga electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.2. Ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3. Campo electrico: divergencia y rotacional . . . . . . . . . . . 46

2.4. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.5. Potencial electrico: ecuaciones de Poisson y Laplace . . . . . . 55

2.6. Unicidad de la solucion de la ecuacion de Poisson . . . . . . . 57

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xviii Indice general

2.7. Solucion de la ecuacion de Laplace en sistemascon simetrıa rectangular, cilındrica y esferica . . . . . . . . . . 61

2.8. Conductores en equilibrio electrostatico . . . . . . . . . . . . 65

2.9. Sistema de N conductores en equilibrio . . . . . . . . . . . . . 68

2.10. Energıa de una distribucion de cargas . . . . . . . . . . . . . 71

2.11. Energıa de un sistema de conductores cargados . . . . . . . . 75


2.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3. Electrostatica en medios materiales 85

3.1. Desarrollo multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3.2. Dipolo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

3.3. Campo creado por un dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.4. Vector desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

3.5. Susceptibilidad electrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.6. Clases de dielectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.7. Condiciones de contorno o frontera . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.8. Energıa en funcion del campo en dielectricos . . . . . . . . . . 111


3.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4. Magnetostatica 121

4.1. Corriente electrica: ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

4.3. Fuerza entre circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.4. Induccion magnetica: ley de Biot y Savart . . . . . . . . . . . 130

4.5. Fuerza de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

4.6. Rotacional de la induccion magnetica: teorema de Ampere . . 134

4.7. Divergencia de la induccion magnetica . . . . . . . . . . . . . 137

4.8. Potencial vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137


4.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

Indice general xix

5. Magnetismo en medios materiales 147

5.1. Desarrollo multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

5.2. Dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.3. Campo creado por un material magnetico . . . . . . . . . . . 153

5.4. Intensidad magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5.5. Tipos de materiales magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

5.6. Condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

5.7. Circuitos magneticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168


5.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

6. Campos de variacion lenta 179

6.1. Induccion electromagnetica: ley de Faraday . . . . . . . . . . 180

6.2. Limitaciones a la ley de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . 188

6.3. Inductancia mutua y autoinductancia . . . . . . . . . . . . . . 193

6.4. Energıa magnetica de circuitos acoplados . . . . . . . . . . . . 195

6.5. Energıa en funcion del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.6. Fuerza magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199


6.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

7. Ecuaciones de Maxwell 209

7.1. Corriente de desplazamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

7.2. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

7.3. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

7.4. Unicidad de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

7.5. Energıa electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

7.6. Impulso del campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . 226

7.7. Momento angular del campo EM . . . . . . . . . . . . . . . . 229


7.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

xx Indice general

8. Potenciales electromagneticos y campo de radiacion 235

8.1. Potencial escalar y potencial vector . . . . . . . . . . . . . . . 236

8.2. Ecuaciones de ondas para los potenciales . . . . . . . . . . . . 238

8.3. Soluciones de las ecuaciones de ondas . . . . . . . . . . . . . . 239

8.4. Metodo de las funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . 242

8.5. Potenciales retardados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

8.6. Potenciales de Lienard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

8.7. Campos creados por una carga en movimiento arbitrario . . . 250

8.8. Distribucion angular de la radiacion . . . . . . . . . . . . . . 257


8.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

9. Radiacion por fuentes extensas 271

9.1. Potenciales electromagneticos a grandesdistancias del emisor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

9.2. Campos de radiacion en el caso general . . . . . . . . . . . . . 277

9.3. Campos de un dipolo electrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

9.4. Campos de un dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

9.5. Desarrollo multipolar de la radiacion . . . . . . . . . . . . . . 290

9.6. Antena de media onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

9.7. Antenas receptoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297


9.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

10. Ondas electromagneticas 305

10.1. Movimiento ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

10.2. Ecuacion de ondas para los campos . . . . . . . . . . . . . . . 309

10.3. Onda plana en un dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

10.4. Espectro electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316

10.5. Onda plana en un conductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

10.6. Descomposicion en frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

10.7. Medio dispersivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

10.8. Reflexion y refraccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

Indice general xxi


10.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332

11. Ondas en medios confinados 335

11.1. Ecuaciones de Maxwell en una guıa . . . . . . . . . . . . . . . 336

11.2. Guıas dielectricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

11.3. Modos en una guıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

11.4. Velocidad de propagacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

11.5. Guıa rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

11.6. Cavidades resonantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

11.7. Lıneas de transmision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

11.8. Regimen transitorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

11.9. Regimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362


11.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364

12. Relatividad 367

12.1. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367

12.2. Transformacion de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

12.3. Tensores en un espacio de N -dimensiones . . . . . . . . . . . 375

12.4. Ejemplos de tensores en la teorıa de la relatividad . . . . . . . 378

12.5. Partıcula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

12.6. Formulacion tensorial o covariante . . . . . . . . . . . . . . . 383


12.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

13. Cargas en campos electromagneticos 389

13.1. Lagrangiano de interaccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

13.2. Ecuaciones del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392

13.3. Formulacion covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394

13.4. Transformaciones de contraste (gauge) . . . . . . . . . . . . . 395

13.5. Transformadas del campo electromagnetico . . . . . . . . . . 397

13.6. Invariantes del campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . 399

xxii Indice general

13.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401


13.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413

14. Radiacion de partıculas 415

14.1. Carga puntual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

14.2. Acelerador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

14.3. Acelerador circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

14.4. Sincrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

14.5. Radiacion espectral del sincrotron . . . . . . . . . . . . . . . . 427

14.6. Radiacion de frenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430

14.7. Radiacion de Cherenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433


14.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

15. Formulacion lagrangiana del campo electromagnetico 445

15.1. Transicion de un sistema discreto a otro continuo . . . . . . . 446

15.2. Formulacion lagrangiana de un campo . . . . . . . . . . . . . 448

15.3. Tensor energıa-impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451

15.4. Cuadrivector corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454

15.5. Lagrangiano del campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . 456

15.6. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

15.7. Tensor energıa-impulso del campo electromagnetico . . . . . . 458

15.8. Ecuaciones de Maxwell en medios materiales . . . . . . . . . . 462

15.9. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467

15.10. Velocidad de la luz en un medio en movimiento . . . . . . . . 470

15.11. Sistemas de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473


15.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478

16. Frenado por radiacion 481

16.1. Radio clasico del electron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482

16.2. Fuerza de rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483

Indice general xxiii

16.3. Masa electromagnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

16.4. Ecuacion del Abraham-Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

16.5. Fuerza de rozamiento relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

16.6. Anchura de lınea de un oscilador armonico . . . . . . . . . . . 492


16.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495

17. Superconductividad 497

17.1. Resistividad cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

17.2. Apantallamiento del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . 500

17.3. Penetracion del campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . 501

17.4. Comportamiento termodinamico . . . . . . . . . . . . . . . . 506

17.5. Modelo de Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510

17.6. Energıa libre superficial en superconductores . . . . . . . . . . 513

17.7. Heurıstica del analisis microscopico . . . . . . . . . . . . . . . 516


Capıtulo 1

Analisis vectorial

El conocimiento de los fenomenos de la Fısica en general y del Electromag-netismo en particular requiere que su explicacion se establezca dentro de unmodelo matematico que nos proporcione leyes de evolucion espacio-temporalde los sistemas en los que tiene lugar esta fenomenologıa. Ello implica la utili-zacion de herramientas matematicas, como la teorıa de funciones, las formula-ciones algebraicas, etc., que nos permitan describir dichas leyes de evolucion.En este capıtulo se analizan las herramientas matematicas necesarias para elestudio posterior del campo electromagnetico.

1.1. Algebra vectorial

En el Electromagnetismo, un buen numero de variables y magnitudes fısicastienen naturaleza vectorial. Es por ello que se requiere disponer de habilidaden el tratamiento de funciones vectoriales y operadores derivacionales que apa-recen en las leyes fısicas. Los vectores se puede definir desde varios puntos devista: geometrico, algebraico y tensorial.

Segun la definicion geometrica, un escalar queda plenamente definido por unnumero real, y en algunos casos por un numero complejo. Un vector, por elcontrario, puede definirse como un segmento de recta de longitud y direccionespecificados, que empieza en un punto, acaba en otro y puede ser representa-do mediante una flecha cuya longitud viene dada por la separacion de ambospuntos. Una forma intuitiva de entender una magnitud vectorial es indicar-

1

2 Capıtulo 1. Analisis vectorial

la mediante un valor, que viene dado por la longitud del segmento de rectaantes mencionado, y una direccion. Un ejemplo de magnitud vectorial es lavelocidad de una partıcula. Por el contrario, un escalar puede ser representadoasignandole unicamente un valor, un numero real o complejo.

La definicion algebraica parte del concepto matematico de espacio vectorial, elcual viene definido a partir de la estructura de grupo conmutativo y de cuerpo.Un grupo conmutativo es un conjunto de elementos V = {A, B, C, . . .} conuna operacion interna definida [A⊕B ∈ V] que satisface:

1. propiedad asociativa [A⊕ (B ⊕C) = (A⊕B)⊕C],

2. existencia de neutro [A⊕ 0 = A],

3. existencia de simetrico [A⊕ (−A) = 0] y

4. propiedad conmutativa [A⊕B = B ⊕A].

Ademas, podemos definir otra operacion tal que para cualquier elemento[α, β, . . . ] de un cuerpo {K, +, ·} se cumple:

1. α ∗A ∈ V;

2. (α · β) ∗A = α ∗ (β ∗A);

3. (α+ β) ∗A = (α ∗A)⊕ (β ∗A);

4. α ∗ (A⊕B) = (α ∗A)⊕ (α ∗B); y

5. 1 ∗A = A

(donde 1 es el elemento neutro para la multiplicacion definida en K), de estaforma V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Se llaman vectores a loselementos del grupo conmutativo y escalares a los elementos del cuerpo K.

En este libro los vectores vendran dados por un conjunto de tres (en caso relati-

vista, cuatro) numeros reales y el cuerpo sera, en general, el de los numeros rea-

les (que en ciertos casos puede extenderse al cuerpo de los numeros complejos),

con lo que no se utilizaran sımbolos diferentes para la operacion ⊕ y +. Tam-

poco se usaran sımbolos distintos para ∗ y ·, que incluso se suprimiran cuando

ello no cause confusion. Ası, por ejemplo, (α+ β) ∗A = α ∗A⊕ β ∗A se escri-

bira (α+β)A = αA+βA y (α·β)∗A = α∗(β∗A) se escribira (αβ)A = α(βA).

La definicion tensorial de vector se hace necesaria cuando se analiza el com-portamiento de las magnitudes vectoriales ante una rotacion del sistema decoordenadas.

En el espacio euclıdeo tridimensional elegimos tres rectas perpendiculares entresı que se corten en un punto (se llama sistema de coordenadas rectangular ocartesiano). Estas tres rectas se denominan ejes x, y y z. Se elige una escala

1.1. Algebra vectorial 3

Figura 1.1: Coordenadasrectangulares segun la reglade la mano derecha.

sobre esos ejes y un sentido de incremento positivo de la longitud, a partir delpunto cruce de la tres rectas. Este sentido de incremento positivo de los ejes x ey puede ser cualquiera, pero para el eje z hay dos posibilidades no equivalentes.La que se utiliza es la definida por la denominada regla de la mano derecha: sehace coincidir la mano derecha con el eje x, la muneca en el origen, de maneraque el dedo ındice apunte en el sentido del incremento positivo de este eje ylos demas dedos excepto el pulgar se curvan en la direccion del eje y positivo,entonces el pulgar, que se mantiene perpendicular al resto de los dedos, senalala direccion positiva del eje z. Esta direccion tambien se puede determinar apartir del avance de un tornillo de rosca derecha cuando se hace girar el semiejepositivo x sobre el semieje positivo y por el camino mas corto. Una terceraforma serıa situarse en el plano z = 0 y trasladarse desde un punto positivodel eje x a un punto positivo del eje y en el sentido contrario a las agujas delreloj y por el camino mas corto, la cabeza indicarıa la direccion positiva deleje z.

Figura 1.2: Formas de apli-car la regla de la mano de-recha.

4 Capıtulo 1. Analisis vectorial

Figura 1.3: Sistema decoordenadas rectangularessegun la regla de la manoizquierda. No se utiliza.

A partir de estos ejes podemos determinar la posicion de cualquier punto Pdel espacio mediante tres numeros reales (x1, x2, x3) ≡ (x, y, z). El valor de x1

viene dado por la interseccion del eje x con un plano perpendicular a dichoeje x y que pase por el punto P . Los numeros x2 y x3 se determinan de formaparecida.

Figura 1.4: Vector A =(4, 5, 3) ≡ 4ex + 5ey + 3ez.

En una rotacion del sistema de coordenadas, el origen, o punto de corte de lostres ejes, no se modifica, y la perpendicularidad entre los tres ejes se conserva.Por el contrario, las coordenadas de un punto dado se modifican y resultanser (x′1, x

′2, x

′3). Se puede demostrar, teniendo en cuenta que (x1, x2, x3) =

x1(1, 0, 0) + x2(0, 1, 0) + x3(0, 0, 1), que

x′i =3∑

j=1

Rijxj , (1.1)

interacción teoría c · 2020. 7. 21. · viento solar, parte de los rayos c´osmicos, etc.) es...

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