CEMATH INTEGRALES MLTIPLES Pgina 1 INTEGRALES MLTIPLES Ejercicio 1 Calcular el volumen del slido limitado por2 24, 9 2 , 0 x y z x y z + = = = SolucinEl volumen del slido viene dada por Vdx dy dz siendo V el slido delimitado por el cilindro 2 24 x y + = y los planos 9 2 , 0 z x y z = = . Siendo D el crculo 2 24 x y + =en el plano0 z = . Hacemos el cambio a polares cossinxy = =

( ) ( )2 2 2 22 3 30 0 0 09 29 2 9 cos 2 sin cos sin2 3 3Dx y dx dy d d d | | = = = |\

2 20 08 16 8 16 16 1618 cos sin 18 sin cos 36 363 3 3 3 3 3d | |( | | | | = + = + = ||| (\ \ \ Ejercicio 2 Hallarelreadeltrozodecono 2 2 23 x y z + = queseencuentraencimadelplanoXYeinterioralcilindro2 24 x y y + = Solucin Por la simetra del cono y del cilindro calculamos el rea del primer octante y lamultiplicamos por dos. El rea de un slido viene dada por 221S Dz zdS dx dyx y| | | |= + + || \ \ , en nuestro caso: 22 2 22 2 4; 1 16 3 6 3 3 3 3FFz x x z y y z z x y yxF Fx z z y z z x y z zz z| | | | | | | |= = = = = = + + = + + = |||| \ \ \ \ Por tanto: 4 2 33 3S D DS dS dx dy dx dy = = = Siendo ( ) ( ){ }22, / 2 4, 0, 0 D xy x y x y = + 22 3 2 3 8 343 3 3DS dx dy u = = = ( )9 209 2x yV D Ddx dy dz dz dx dy x y dx dy = = CEMATH INTEGRALES MLTIPLES Pgina 2 Ejercicio 3 Deducir el volumen interior a la esfera2 2 2 2x y z r + + = comprendido entre los planos 2 2r rz y z = = Solucin Esfera centrada en el origen y planos paralelosy simtricos respecto al XY. Hallamos el volumen del casquete esfrico para0 z . 22 2 232 2CDr rV r x y dx dy | |= | |\ Siendo( )22 23, /4rD xy x y = + ` ) Pasamos a polares ( )*3, / 0 2 , 02rD = ` ) y nos quedara: ( )332 32 2 2 2 2222 2 3 3 3 3 3 30 0 0 003 3 1 7 7 3 58 3 8 3 8 12 8 24rrCrV r d d r d r r d r r r ( (= = = = = ( ( Luego el volumen pedido es3 3 34 5 113 12 12V r r r = = Ejercicio 4 Hallar el volumen del casquete esfrico determinado al cortar la esfera2 2 2 2x y z a + + =por el plano z b =, siendo 0 b a < > Solucin Hallamos los puntos de cortes de las dos curvas: 22 21 2 2 2 2 22222 4 4 2 2 22 02 22Fuera del recintoy axx a aa a a a ax y a x ax a xx a a == + + + = + = = = == El rea vendra dada por: ( )( )( )2 22 1 2 12 20 2 0122a a x aaxy dy dx a x ax dx = = ( )*, D = 2cos2 2 = ` )CEMATH INTEGRALES MLTIPLES Pgina 7 ( )( )( )( )332 1322 2 3 302 11 12 1 2 12 3 2 3aaxax ax a a( ( ( = = ( ( ( ( ) ( )3 33 22 1 4 2 52 3 6a a| |= = | |\ Ejercicio 16 Calcular 2 2Da x dy dx siendoDel recinto del primer octante del crculo 2 2 2x y a + = Solucin El recinto queda determinado por: 2 20 0 x a y a x ( )2 22 22 2 2 2 2 2 2 200 0 0 0a a x a aa xSa x dy dx a x dy dx y a x dx a x dx ( = = = = ( 3 32 3 30203 3 3ax aax a a ( = = ( Ejercicio 17 Calcular 2xyDx e dy dxsiendoDel recinto del plano limitado por2y x =y las rectas 0 ; 1 ; 2 x y y = = = Solucin El recinto queda determinado por:1 2 0 y x y 2 221 0y x xy yDx e dy dx x e dx dy = Calculamos 2xyx e dx haciendo el cambio 22122xt x yt xdx ydt xdx ydty = = = = 2 22 2 2x xt t y yy y yx e dx e dt e e = = = ( )2 2 22 2 2 21 11 0 1 1 10112 2 2 2yy x x xy y yDy y yx e dy dx x e dx dy e dy e dy e y dy ( (= = = + = =( ( (

( ) ( ) ( )2 221 1 11 11 1 1 1 3 11 1 1 2 12 2 2 2 2 4ye y dy e ee (| | | | = = = (||\ \ CEMATH INTEGRALES MLTIPLES Pgina 8 Ejercicio 18 Calcular el rea interior a la cardioide( ) 2 1 cos = +e exterior a la circunferencia2 = Solucin Porlasimetramultiplicamospordosyhacemosvariarde0 a2 = = ( ) ( ) 2 1 cos 2 1 cos22 20 2 0 22 2 22RS dA d d d + + (= = = = ( ( )( ) ( )2 2220 02 2 1 cos 2 4 cos 2cos d d + = + = 2 2 20 0 01 cos2 1 cos2 sin24 2cos 4 2cos 2 4sin2 2 2 2d d + | | | |(+ = + + = + + = || (\ \ 2 4 0 82 ( | |+ = + |(\ Ejercicio 19 Calcular el volumen comprendido entre los cilindros 2 2y 4 z x z y = = Solucin Los cilindros se cortan en curvas del tipo 22 224 04z xx y zz y = + = = Por la simetra ( )2 2 222 4 4 2 42 20 0 0 04 4 4 4x y xV xV dV dz dy dx y x dy dx = = = Cambiamos a polares: ( ) ( ) ( )22 4 2 22 2 2 22 2 2 20 0 0 0 0 0 014 4 4 4 24xy x dy dx d d d d ( = = = = ( 4 2 8 V = = Ejercicio 20 Calcular Vz dx dy dz siendoVel recinto de la parte de la esfera 2 2 29 x y z + + situada en el primer cuadrante. Solucin El recinto queda determinado por: 2 2 20 3 ; 0 9 ; 0 9 x y x x y CEMATH INTEGRALES MLTIPLES Pgina 9 ( )2 2 2 2 2 2 29 3 9 9 3 9 3 922 20 0 0 0 0 0 0 0192 2x y x x y x xVzz dx dy dz z dx dy dz dx dy dz x y dx dy (= = = ( Cambiamos a polares: ( ) ( )332 2 2 22 20 0 0 0 01 1 1 1 81 819 9 812 2 4 8 8 2 16d d d d ( = = = = ( Ejercicio 21 Calcular2 2 2Vx y z dx dy dz + + siendoVuna esfera de radior Solucin Por la simetra lo calculamos en el primer octante y multiplicamos por dos Cambiamos a esfrica:2cos sinsin sin sincosxy Jz = = == y 2 2 2x y z + + = 2 242 22 2 2 20 0 0 0 0 02 sin 2 sin4rrVx y z dx dy dz d d d d d (+ + = = = ( [ ]2 2 24 4 224 40 0 0 0 01sin cos2 2 2r rr d d d d r = = = Ejercicio 22 Calcular Vz dx dy dzdondeV eselrecintolimitadoporlosplanoscoordenadosylosplanos 1 0 ; 4 x y z + = = Solucin El recinto es un prisma triangular( ) , , V xyz ={ }0 1; 0 1 ; 0 4 x y x z 41 1 1 4 1 1 1 1 12 20 0 0 0 0 0 0 0 0 08 82 2x x x xVz yz dx dy dz yz dz dy dx y dy dx y dy dx dx ((= = = = = (( ( )( )13 12001 1 44 1 4 4 03 3 3xx dx (| | = = =( |\ ( Ejercicio 23 Hallar el volumen del cuerpo limitado por los paraboloides 2 2 2 2; 2 z x y z x y = + = CEMATH INTEGRALES MLTIPLES Pgina 10 Solucin La interseccin de las superficies es 2 22 2 2 2 2 22 22 12z x yx y x y x yz x y = + + = + == Una circunferencia de radio 1 El recinto que determina el volumen, en coordenadas cilndricas sera: ( )*, , V z ={ }2 20 1; 0 2 ; 2 z ( )2* 22 1 2 2 120 0 0 02 2V Vdx dy dz dz d d dz d d d d = = = = 1 12 2 22 40 0 0 0 01 1 22 2 02 4 2 4 4d d d (( | | = = = (|(\ Ejercicio 24 Hallar el volumen del cuerpo limitado por lo esfera 2 2 2100 x y z + + =y el cono 2 2 2z x y = + con0 z . Solucin El recinto que determina el volumen es: ( ) , , V xyz ={ }2 2 2 2 2 2 210 ; ; 0 x y z x y z z + + + En coordenadas esfricas se transforma en: ( )*, , V z = 0 10 ; 0 2 ; 04z ` ) *2 10 24 42 20 0 0 0 01000sin sin sin3V Vdx dy dz d d d d d d d d = = = = [ ]( )2 240 0 01000 2 21000 1000 2cos 13 3 2 3d d ( = = ( Ejercicio 25 Calcular el volumen comprendido entre el cono 2 2 2z x y = +y la esfera 2 2 22 0 x y z z + + = Solucin Haciendo el cambio a coordenadas esfricas, tenemos: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2cos cos sin sin sin cos sin tan 14z x y = + = + = = =2 2 2 22 0 2 cos 0 2cos x y z z + + = = = Circunferencia de radio 1 y centro( ) 0, 0,1 C En coordenadas esfricas el recintoV en el primer octante se transforma en: ( )*, , V = 0 2cos ; 0 ; 02 4 ` ) *2 cos2 42 20 0 04 sin 4 sinV VV dx dydz d d d d d d = = = = CEMATH 2 4 2 4 2 2 2cos3 3 40 00 0 0 0 0 04 32 32 1 8 1sin cos sin cos 13 3 3 4 3 4d d d d d d (( 208 33 4d = Ejercicio 26 Calcular el volumen del cuerpo limitado por Solucin El recinto que determina el volumen, sera:( ) , , V xyz ={2 29 9 ; 3 3 ; 0 4 y x y y z x 2 23 9 4 3 93 9 0 3 9x x xV x xdx dy dz dz dx dy x dx dy = = Calculamos esta ltima integral pasando a polares:( )223 9 2 3 2 23 9 0 0 0 04 4 cos 2 cos 18 9cosxxx dx dy d d d d = = = = [ ] [2018 9cos 18 9sin 36 d = = Ejercicio 27 Calcular el rea de la superficie del slido limitado por los cilindros Solucin Ejercicio 28 Calcularelvolumendelslidohiperboloide2 2 21 x y z + =

Pgina 11 2 4 2 4 2 23 3 440 00 0 0 0 0 04 32 32 1 8 1sin cos sin cos 13 3 3 4 3 4d d d d d d (( = = = Calcular el volumen del cuerpo limitado por 2 29 ; 0 ; 4 x y z x z + = = + =El recinto que determina el volumen, sera: }2 29 9 ; 3 3 ; 0 4 y x y y z x ( )2 22 23 9 4 3 93 9 0 3 94x x xV x xdx dy dz dz dx dy x dx dy = = Calculamos esta ltima integral pasando a polares: ( )3 3 9 2 3 2 2323 9 0 0 0 0 04 4 cos 2 cos 18 9cos3x dx dy d d d d ( = = = = ( ]2018 9cos 18 9sin 36 = =Calcular el rea de la superficie del slido limitado por los cilindros2 2 2 21 ; 1 x y x z + = + =Nos piden, ocho veces el rea de la superficie en el recinto( )2, D xy = {2 21 ; 0 ; 0 x y x y + 2 21 1x yS D DdS z z dx dy dx dy = + + = + = 21 1 120 0 0111xdy dx dxx= = Por tanto el rea pedida sera 8TS =Calcularelvolumendelslidolimitadopor0z y z h = = exterioralcilindro 1 + = . INTEGRALES MLTIPLES 2 4 2 4 2 240 00 0 0 0 0 04 32 32 1 8 1sin cos sin cos 13 3 3 4 3 4d d d d d d ( (( = = = ( [ ]3 9 2 3 2 23 9 0 0 0 04 4 cos 2 cos 18 9cos x dx dy d d d d = = = = 2 2 2 21 ; 1 x y x z + = + =2 21 S x z + = }1 ; 0 ; 0 x y x y + 221 11 S D DxdS z z dx dy dx dyx| |= + + = + = | | \ exterioralcilindro 2 21 x y + = einterioral CEMATH Solucin Calculamos el volumen interior del hiperboloide en el primer Calculamos la integral 1+ 2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 sin 1 cos 1 cos 1 z x dx z z t z t dt z t dt z dt + = + + + = + = + = ( ) (2 21 sin 2 11 1 arcsin 12 2 2t x x xz t z| |+ + = + + |\ Por tanto: 212 2 20 0 01 1 arcsin 1h z hz x dx dz z dz++ = + + = ( )2 20 011 arcsin 1 12 4 4 3 121 1h hx x x zz dz z dz zz z ( | | | || | (|| + + = + = + = | | || (+ + \ \ \ Por tanto, el volumen interior del hiperboloide en los cuatros cuadrantes superiores es: ( )233Hh hV += Elvolumenpedidovienedadoporladiferenciadelvolumendelhiperboloideyelvolumendelcilindroderadio alturah . ( )233 3 3T H Ch hV V V h += = = =

Pgina 12 r del hiperboloide en el primer cuadrante, proyectamos en el plano ( )2, D xz = {2 2 21; 0 ; 0 1 x z z h x z + 212 2 2 20 01 1h zDV z x dx dz z x dx dz+= + = + 2 21 z x dx + .Hacemos el cambio 21 sin x z t = +( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 sin 1 cos 1 cos 1 z x dx z z t z t dt z t dt z dt + = + + + = + = + = )22 222 21 sin 2 11 1 arcsin 12 2 2 11 1t x x xz t zzz z| || | | + + = + + | | |++ + \ \ ( )2 2 22 20 0 011 1 arcsin 121 1h z hx x xz x dx dz z dzz z ( | | | || | (|| + = + + = | | || (+ + \ \ \ ( )212 32 222 20 001 arcsin 1 12 4 4 3 12 11 1zh hx x x zz dz z dz zzz z + ( | | | || | (|| + + = + = + = | | || +(+ + \ \ \ Por tanto, el volumen interior del hiperboloide en los cuatros cuadrantes superiores es: Elvolumenpedidovienedadoporladiferenciadelvolumendelhiperboloideyelvolumendelcilindroderadio 3 33 33 3 3h h h hV V V h + = = = =INTEGRALES MLTIPLES cuadrante, proyectamos en el planoOXZ}2 2 21; 0 ; 0 1 x z z h x z +2 2 2 21 1 V z x dx dz z x dx dz = + = + ( )2 2 2 2 2 2 2 2 21 cos 21 1 1 sin 1 cos 1 cos 12tz x dx z z t z t dt z t dt z dt++ = + + + = + = + = 212201 1 arcsin 11zx x xz x dx dz z dzz+ ( | | | | (|| + = + + = || +(\ \ ( )22 3032 4 4 3 12hh hx x x zz dz z dz z + (+ + = + = + = ( Elvolumenpedidovienedadoporladiferenciadelvolumendelhiperboloideyelvolumendelcilindroderadio1y