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1

Integrale Indefinito e l’Antiderivata 1

Il processo inverso della derivazione si chiama integrazione. Nota la variazione istantanea di una grandezza (p.es. la velocità) è necessario

sapere come si comporta tale grandezza istante per istante (p.es. la posizione) .

Nota allora una funzione f(x) il problema consiste nel trovare un’altra funzione F(x)

tale che F’(x)=f(x)

Ad es. se f(x)=x^2, potrebbe essere F(x)=(x^3)/3

Def.

Data la funzione f , si chiama anti-derivata o primitiva di f in un intervallo I una

funzione F tale che per ogni x di I vale: F’(x)=f(x)

Nota 2.

Si mostrerà in seguito che una funzione f continua in un intervallo [a;b] ammette

sempre una primitiva (magari non esprimibile elementarmente).

Nota 3.

Una conseguenza dei corollari del teorema di Lagrange afferma che la funzione

primitiva di una data funzione f non è unica. Le primitive sono infatti infinite e

differiscono una dall’altra per una costante addivita. (Cfr. il secondo corollario al

teorema di Lagrange).

Nota 1.

Una funzione primitiva deve essere una funzione derivabile sull’intervallo I.

2


Es. Sia f(x)=x^2. Allora:

3)(

3xxF È una primitiva. Ma lo sono anche:

13

)(3

1 x

xF 23

)(3

2 x

xF 33

)(3

3 x

xF In quanto:

2

321 )()(')(')(')(')(' xxfxFxFxFxFxF k

kx

xFk 3

)(3

Def.

Si chiama integrale indefinito della funzione f l’insieme delle primitive in un

intervallo I.

dxxf )(

fSi indica con:

Ed è costituito da tutte le funzione della forma F(x)+c con c=costante ed F primitiva di f

Nota

Vale per definizione:

cxfdxxf )()('

Nota

Variabile di integrazione muta:

oppure

Notare:

• Simbolo di integrale

•Funzione integranda

•Variabile di integrazione

•Differenziale della variabile di integrazione

dyyfdttfdxxf )()()(

3


Nota. Mentre nell’operazione di derivazione di associa ad una funzione un’altra funzione (la sua derivata), nell’integrale indefinito si associa ad una

funzione una classe (insieme) di funzioni.

Inoltre, non tutte le funzioni ammettono una primitiva su un determinato intervallo I

(una condizione sufficiente è che siano continue). Una funzione primitiva deve essere

una funzione derivabile e quindi deve possedere alcune proprietà di regolarità. Allo

scopo vale il seguente teorema:

Per alcune funzioni (anche abbastanza “semplici”) non esiste la forma analitica

“semplice” per l’integrale indefinito: ad es.:

)ln(

1

x x

ex2xe

Nota: Esistenza dell’integrale indefinito.

Il calcolo integrale risulta “più difficile” rispetto al calcolo delle derivate…

x

x)sin(

x

1sin)sin( 2x

4


Teorema. Sia f derivabile in un intervallo I, allora f’ può avere discontinuità solo di II° specie:

Nota.

Non ogni funzione definita in un intervallo é una funzione derivata.

Ad esempio funzioni con discontinuità eliminabili o di I° specie in determinato

intervallo, non sono derivate di nessuna funzione.

As es.

0x1-per 1

1x0per 1)( ]1,1[ xfI

Nota.

Alla funzione f(x)=|x| non si può applicare il teorema precedente relativamente

all’intervallo I=[-1,1] in quanto la funzione non è derivabile in x=0 e quindi non lo è in

tutto l’intervallo I.

5

La Tabella delle anti-derivate immediate 1

-1a c

1

1

ax

dxxa

a cxdxx

ln1

c xx edxe c

)ln( a

adxa

xx

c )cos()( xdxxsen c )()cos( xsendxx

c )tan())(tan1()(cos

1 22

xdxxdxx

c )arctan(1

12

xdxx

c )(1

1

2

xarcsendx

x

c )()( xChdxxSh c )()( xShdxxCh

6

La Tabella delle anti-derivate immediate 2

c )(1

1

2

xarcsendx

x

c )()( xChdxxSh c )()( xShdxxCh

cxxxSettShdxx

2

21lnc )(

1

1

cxxxSettChdxx

1lnc )(1

1 22

7

Proprietà Integrale Indefinito

Dalle proprietà della derivata discende: dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxfkdxxfk )()(

p. di addivitità (*)

p. di omogeneità (**)

Es. Integrazione polinomi cxxxxdxxxx 321

5

2332 23524

dxx

xxx2

24 332

dxxx

x2

2 3132 cx

xxx 3

||ln33

2 3

gfHgfH ')((*) fFfF ')( gGgG ')()'(''' GFGFgfH )(cGFH

kfHkfH ')((**) fFfF ')()()'('' ckFHkFkFH

8

Antiderivate quasi immediate 1

Consideriamo:

cxfdxxf

xf )(ln)(

)('

dxxx

x

1

122

cxxcxx )1ln(1ln 22

dxxx )ln(

1cx )ln(ln

dxex

ex

x

)(

)1(cex x ln

cxdxx

xdx

x

x

1ln

2

1

1

2

2

1

1

2

22

cxdxx

xdx

x

xdxx

)cos(ln)cos(

)sin(

)cos(

)sin()tan(

9


Consideriamo:

-1kcon

1

)()(')(

1

ckxf

dxxfxf

kk

cx

dxxx 2)(sin

)cos()sin(2

cx

dxx

x 3

)(ln)(ln 32

cxcxdxxxdxxx 121

6

1

2

121

2

11

62625252

cx

dxxxdxxx 2)(cos

)cos()sin()cos()sin(2

Nota: costante

2

1

2

)(cos)(sin

2

)(cos

2

)(sin 2222

xxxx

10


)(' )()( cedxxfe xfxf )ln(

)(')(

)( ca

adxxfa

xfxf

cedxxe xx )sin()sin( )cos(

cedxxedxxe xxx 222

2

1)2(

2

1

cdxdxx

xx

)2ln(2

)1(22

11


))(cos()(')( cxfdxxfxfsen

))(()(')(cos cxfsendxxfxf

))(tan()('))((cos

12

cxfdxxfxf

cx

dxxxsendxxxsen

3)cos(

3)(3

1)(

32323

cxdxxx

dxxx

)tan(2)(cos2

12

)(cos

122

12


))(()('

)(1

1

2cxfarcsendxxf

xf

))(arctan()(')(1

12

cxfdxxfxf

cxarcsendxxx

dxxx

)(21

21

1

2

1

1

1 244

cx

dxx

dxx

3

arctan3

1

3

1

319

13

9

122

13


c(x)ff(x)cxfSettShdxxf

xf

1ln ))(()('

1)(

1 22

c (x)-ff(x)cxfSettChdxxfxf

1ln ))(()('1)(

1 22

cxxcxSettShdxx

x

)(sin1)sin(ln))(sin(

)(sin1

)cos( 22

cxxcxSettChdxx

dxx

142ln21

)2(2

1

14

2

2

1

14

1 222

14

Riassunto: cambiamento di variabili

)()(:NOTO cxGdxxg

))(()('))(( cxfGdxxfxfg

Quanto sinora fatto può essere così riassunto:

Possiamo calcolare:

Poiché: )('))(()('))(('))(( xfxfgxfxfGxfGD Possiamo anche usare un cambiamento di variabili nell’integrale indefinito:

cyGdyygdxxfxfgdxxfdy

xfyxfy

)()()()('))(()('

)(

cxfG ))((

15

Integrazione Funzioni Razionali

Consideriamo ora integrali del tipo:

dxxDxN

)(

)(

Con N(x) e D(x) polinomi nella variabile x.

Se n è il grado di N(x) e d il grado di D(x) e n≥d, l’algoritmo di divisione dei

polinomi permette di scrivere attraverso il quoziente Q(x) ed il resto R(x)

della divisione come segue:

)(

)()(

)(

)(

xD

xRxQ

xD

xN

Allora Q(x) ha grado q=n-d ed il resto R(x) ha grado r

16

Integrazione Funzioni Razionali : denominatore di primo grado

Consideriamo integrali del tipo:

dx

bax

k

dxbax

k

dx

a

bx

a

kdx

a

bxa

k11

ca

bx

a

kln

cbaxa

k ln

Es.

cxdx

x

dxx 5

1ln

5

2

5

1

1

5

2

15

2

17

Integrazione Funzioni Razionali Δ>0 (1)


04con 22

acbdxcbxax

qmx

))(( 212 xxxxacbxax

Se x1 ed x2 sono le soluzioni reali e distinte dell’eq. di 2° grado associata al

denominatore vale:

La funzione integranda viene così riscritta:

))((

1

21

2 xxxx

qmx

acbxax

qmx

Si procede poi allo sviluppo in frazioni parziali del secondo fattore:

)()())(( 2121 xx

B

xx

A

xxxx

qmx

( Il procedimento vale

anche per m=0 )

18


dxxx

Bdx

xx

A

adx

cbxax

qmx

21

2

1

qBxAx

mBA

12

Grazie al principio di identità dei polinomi, il seguente sistema lineare permette di

trovare i valori di A e B:

))((

)(

))(( 21

12

21

12

xxxx

BxAxBAx

xxxx

BxBxAxAx

In conclusione:

cxxa

Bxx

a

A 21 lnln

19


dx

xxdx

xx )1(4

1

45

12

dx

xx 45

12

)1(44)(

)1(4)1(4

1

xx

BAxBA

x

B

x

A

xx

3/1

3/1

14

0

B

A

BA

BA

dx

xdx

xdx

xx 1

1

4

1

3

1

45

12

cx

xcxx

3

1

4ln1ln4ln

3

1

20


dx

xx

xdx

xx

x

)1(2

1

15

2

1

12

152

dxxx

x

12

152

)1(2

12

)(

)1(

2

1)1(

2

1

15

xx

BAxBA

x

B

x

A

xx

x

4

1

12/

5

B

A

BA

BA

dxx

dxx

dxxx

x

1

4

2/1

1

2

1

12

152

cxx 1ln22/1ln2

1

21

Integrazione Funzioni Razionali Δ=0 (1)


04con 22

acbdxcbxax

q

2

0

2 )( xxacbxax

In questo caso, se x0 é la radice doppia del denominatore abbiamo:

dx

xxa

qdx

cbxax

q2

0

2 )(

1c

xxa

q

)(

1

0

Es.

dx

xx 144

32

dxxdx

x 22 )2/1(

1

4

3

)12(

13

cx

cx

24

3

)2/1(

1

4

3

22



04con 22

acbdxcbxax

qmx

(*))(

12

0

2

dx

xx

qmx

adx

cbxax

qmx

Si procede allo sviluppo in frazione parziali della funzione integranda:

2

0

0

2

0

0

0

2

0

2

0 )()(

)(

)()()( xx

BxABx

xx

xxBA

xx

B

xx

A

xx

qmx

Il seguente sistema lineare permette di determinare A e B:

qBxA

mB

0

dxxx

B

xx

A

a )()(

1(*)

0

2

0

cxxBxx

A

a

0

0

ln)(

1

23


Es.

dxxx

x

169

52

dx

x

xdx

x

x22 )3/1(

5

9

1

)13(

5

)3/1()3/1()3/1(

522

x

B

x

A

x

x2)3/1(

)3/1(

x

xBA2)3/1(

3/1

x

BABx

3/1453/

1

ABA

B

dxx

dxx )3/1(

1

)3/1(

3/14

9

12 cx

x

)3/1(ln

)3/1(

1

3

14

9

1

24


Un metodo alternativo consiste nel far comparire al numeratore, con opportune trasformazioni algebriche, la derivata del denominatore: Es.

dxxx

x

169

52

dxxx

x

169

)5(18

18

12

dxxx

xdx

xx

x

169

84618

18

1

169

9018

18

122

dxxx

dxxx

x

169

84

169

618

18

122

dxx

x2

2

)3/1(9

184)13(ln

18

1

cx

x

)3/1(

1

9

84)13ln(

18

1 2c

xx

)3/1(

1

9

8413ln2

18

1

cx

x

)13(

1

27

1413ln

9

1

25

Integrazione Funzioni Razionali Δ

26


27


28


29


30

Integrazione per Parti (1)

Particolare tecnica di integrazione. Date due funzione f,g continue con derivata continua : fg'f'g'fg '' fgf'gfgf'g'fg 'fgf'gfg

dxxgxfxgxfdxxgxf' )(')()()()()(

Applicata all’integrale del prodotto di due funzioni di cui deve essere nota, in

partenza, una primitiva di una delle due (nell’es. la f).

Spesso ci si riferisce alla f’ ( f’(x)dx ) come “fattor differenziale” ed alla g come

“fattor finito”

Nota

In alcuni casi è vantaggioso considerare anche f’=1

Es. L’integrale del logaritmo

dxx)ln( dxxxxxdxx

1)ln()ln()1( cxxx )ln(

'fgfgf'g

31


dxxx )cos(2

xdxxsenxxsen 2)()(2

Es.

)cos()('

)( 2

xxf

xxg

xdxxsenxxsen )(2)(2

dxxxxxxsen ))cos(()cos(2)( 2 cxsenxxxxsen )(2)cos(2)(2

)()('

)(

xsenxf

xxg

In generale si usa [ P(x) polinomio ] :

dxxhxP )()(

axe

bxsen

bx

xhxf

xPxg

)(

)cos(

)()('

)()(

dxxlxh )()(La scelta di f’ e g è

indifferente

ax

ax

ebxbxsenxl

ebxbxsenxh

),cos(),()(

),cos(),()(

)()('

)arctan(

)ln()()(

xPxf

x

xxhxg

32


dxexx2

dxexexsenxx )cos()(

Es.

xexf

xxg

)('

)( 2

xdxexexx 22

cxxex )22( 2

Es. dxexsenx)(

xexf

xsenxg

)('

)()(

dxexsenexexsen xxx )()cos()(

dxexsenexexsenxxx )()cos()( xxx exexsendxexsen )cos()()(2

c

xxsenedxexsen

xx

2

)cos()()(

dxexexe xxx 22 cexexe xxx 222

33

Integrazione per Parti (3bis)

dxxx )ln(2

dx

xxxx

21

1)arctan(

Es.

2)('

)ln()(

xxf

xxg

dxxx

xx 1

3)ln(

3

33

Es. dxx)arctan(

1)('

)arctan()(

xf

xxg

dxxxx 2

3

3

1)ln(

3 c

xx

x

33

1)ln(

3

33

cx

xx

9

)ln(3

33

dx

x

xxx

21

2

2

1)arctan(

cxxx )1ln(2

1)arctan( 2

34


dxxsen )(

2

dxxxxsenx )cos())cos(()()cos(

Es.

)()('

)()(

xsenxf

xsenxg

dxxxsenx )(cos)()cos(2

dxxsenxxsenxdxxsenxsenx )()()cos())(1()()cos(22

)()cos()(2 2 xsenxxdxxsen cxsenxx

dxxsen

2)()cos(

)(2

Alternativa:

dxxsen )(2

dxx

2

)2cos(1 dxxx )2cos(2

1

2

1 c

xsenx

2

)2(

2

1

2

1

cxsen

x4

)2(

2

1


dxx)(cos

2

dxxsenxsenxxsen ))()(()cos()(

Es.

)cos()('

)cos()(

xxf

xxg

dxxsenxxsen )()cos()(2

dxxxxxsendxxxxsen )(cos)cos()())(cos1()cos()(22

)cos()()(cos2 2 xxsenxdxx cxsenxx

dxx

2)()cos(

)(cos2

Es. dxxsendxx ))(1()(cos

22

cxxsenx

cxxsenx

x

2

)cos()(

2

)cos()(

dxx)(cos2

....2

)2cos(1

dx

xEs.

cxsen

x4

)2(

2

1


dxxCh )(

2

dxxShxShxChxSh )()()()(

Es.

)()('

)()(

xChxf

xChxg

dxxShxChxSh )()()(2

2 ( ) ( )( )2

Sh x Ch x xCh x dx c

dxxChxChxSh 1)()()(2 dxxChxxChxSh )()()(

2

dxxSh )(2

dxxChxChxShxCh )()()()(

Es.

)()('

)()(

xShxf

xShxg

dxxChxShxCh )()()(2

cxxChxSh

dxxSh

2)()(

)(2

dxxShxShxCh 1)()()(2 dxxShxxShxCh )()()(

2

37

Integrazione per Sostituzione (1)

E’ la tecnica più difficile e generale. Per applicarla bisogna infatti sostituire nell’integrale indefinito alla variabile x un’altra funzione con l’obiettivo non di risolvere immediatamente il calcolo ma di semplificarlo.

dttgtgfdxxf )('))(()(

È necessario alla fine del calcolo dell’integrale a secondo membro (nella

variabile t) ritornare alla valutazione dell’integrale a primo membro (nella

variabile x) mediante l’inversione della relazione x=g(t). Perciò, più

precisamente, la relazione precedente diventa:

dttgdx

tgx

)('

)(

)(1)('))(()(

xgtdttgtgfdxxf

38

Integrazione per Sostituzione: applicazioni simili al cambiamento di variabile (2)

Es.

dxe

eex

xx

12

2

t

dtdxdxedt

et

x

x

Tipologia dxeFax)(

t

dt

t

tt

12

2

dtt

t

1

12

dtt

t

1

12

dtt

dtt

t

1

1

1 22

)arctan(1

2

2

12

tdtt

t

xet

ctt )arctan(1ln2

1 2 cee xx )arctan(1ln2

1 2

Sostituzione

ta

dtdxdxaedt

et

ax

ax

(F : funzione razionale)

39


Es.

dx

x

x

3

35

tdtdxdxx

dt

xt

232

1

3

Tipologia dxbaxxF ),(

tdttt

25

dtt)5(2 cxxct

txt

2

3

2

33102

52

cxx 310

Sostituzione:

dta

tdxdx

bax

adt

baxt

2

2

F funzione razionale

40


Es.

dxx

xsenx

)(cos

)())cos(3(2

dxxsendt

xt

)(

)cos(

Tipologia dxbxbxsenF ))cos(),((

cxx

)cos(ln)cos(

3

cttdt

tdt

tdt

t

tln

3113)(

)3(22

dtt

dxdxtdxxsendt

xt

2

2

1

11)(

)cos(

Sostituzione :

F funzione razionale

41


Es.

dxex 1

dtt

tdxdx

t

tdx

e

edt

et

x

x

x

1

2

2

1

12

1

2

2

dt

t

tdt

t

ttdxex

1

2

1

21

2

2

2

cee xx )1arctan(212

cttdtt

dtdtt

t)arctan(22

1

122

1

112

22

2

42

Integrazione per Sostituzione: Esempi particolari (0)

dxx21

dttsendx

tx

)(

)cos(

dxx21

dttChdx

tShx

)(

)(

dxx 12

dttShdx

tChx

)(

)(

43


Es.

dttsent ))(()(cos12

dttdx

tsenx

)cos(

)(

dxx21

dttsendttsentsen )())()((2

cxxxsen

cttsent

xt

2

)arccos())(arccos(

2

)cos()()arccos(

cxxx

2

)arccos(1(*)

2

Se effettuo la sostituzione

dttsendx

tx

)(

)cos(

cxarcsenxx

2

)(1 2

:(x))sen(arccos (*) )arccos(xy 22 1)(cos1)()cos( xyysenxy

44


Es.

dttChtSh )( )(1 2

dxx21

dttChdttChtCh )())()((2

2

( )

( ) ( ) 1 ( )(*)

2 2t SettSh x

Sh t Ch t t x x SettSh xc c

dttChdx

tShx

)(

)(

1ln:)( 2 xxxSettSh

:x))Ch(SettSh( (*) )(xSettShy 22 1)(1)()( xyShyChxySh

45


Es.

dttShtCh )( 1)(2

dxx 12

dttShdttShtSh )())()((2

cxSettChxx

cttChtSh

xSettCht

2

)(1(*)

2

)()( 2

)(

dttShdx

tChx

)(

)(

1ln:)( 2 xxxSettCh

:x))Sh(SettCh( (*) )(xSettChy 11)()()( 22 xyChyShxyCh

46


c )(1

1

2

xarcsendx

x

cxxxSettShdxx

2

21lnc )(

1

1

cxxxSettChdxx

1lnc )(1

1 22

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