integral múltiple

Integral Múltiple.

y

xc

ba

d

yxf ,y

x

c

ba

d

Conceptos previos: intervalo n-dimensional, partición, sumas

superiores e inferiores, integral de Riemann.

x

yxf ,

y

Integral múltiple mediante integración reiterada: Teorema de Fubini.

Integración en recintos más

generales: medida-Jordan de un

conjunto.

integral doble

integral

doble

1

Integral Múltiple.

y

xc

ba

d

yxf ,

y

xc

ba

d

yxf ,

Aproximaciones por exceso: Sumas superiores.

Aproximaciones por defecto: Sumas inferiores.

2

Integral Múltiple en un Intervalo.

x

y

1

1

2

3

2 3

3,23,1

x

z

1

1

2

2

2,12,02,0

y 2 1

0

(ortoedro)

(rectángulo)

Definición: Un intervalo n-dimensional (o recinto rectangular) es

un conjunto .,,...,,

12211

nii

n

inn RbabababaI

Ejemplos:

Definición: La medida de un intervalo n-dimensional es

....1

2211

RababababI ii

n

inn

.223131 I .41202022 I

En el caso de intervalos de se trata de un área, y de un volumen

para intervalos de .

2R3R

3

x

y

1

1

2

3

2 3

3,23,1

x

y

1

1

2

3

2 3

3,23,1

x

z

2

2

2,12,02,0

y2

Definición: Una partición de un intervalo n-dimensional está

formada por n particiones de

respectivamente.

Ejemplos:

nn bababa ,,...,,,, 2211nPPP ,...,, 21

.,...,, 21 nPPPP

P

Particiónes de ,3,23,1

Partición de .2,12,02,0

Así, una partición divide un intervalo n-dimensional en subintervalos

cerrados que se solapan en las fronteras.


4

El proceso de integración múltiple en intervalos n-dimensionales es

análogo al de funciones de una variable real, salvo por la medida de los

subintervalos considerados para la obtención de las sumas superiores e

inferiores, que ahora es un volumen (o contenido) en lugar de una

longitud.

En el caso de la integral

doble, si la función es no

negativa en el intervalo, la

integral representa el

volumen encerrado bajo la

gráfica de la función sobre

el intervalo de integración.

Las sumas superiores e inferiores proporcionan aproximaciones por

exceso y por defecto de este volumen.

Podemos entender las integrales superior e inferior como las mejores

aproximaciones por exceso y defecto respectivamente. Si estas integrales

son iguales, la función es integrable Riemann y el valor de la integral es el

valor común de las integrales superior e inferior.

x

yxf ,

y


5

Definición: Sea definida y acotada en el intervalo

n-dimensional . Dada una partición de

con subintervalos, en cada subintervalo nPPPP ,...,, 21

RRIf n :I I

k iI

,sup xfMiIx

i

.inf xfmiIx

i

Llamamos suma superior e inferior respectivamente de para

la partición a

fP

,,

1

k

i

ki IMPfS

.,

1

k

i

ki ImPfs

Proposición: Para cualquier partición de se cumple que P I

.,, PfsPfS


6

Definición: Decimos que una partición es más fina

que otra , esto es, , si

nPPPP ,...,, 21

Proposición: Si es más fina que , entonces P Q

,,, QfSPfS

nQQQQ ,...,, 21 QP

....,,, 2211 nn QPQPQP

.,, QfsPfs

Así, cualquier sucesión particiones sucesivamente más finas de un

intervalo genera una sucesión de sumas superiores decreciente, y una

partición de sumas superiores creciente.

Proposición: Para cualesquiera particiones y de se

cumple que

P Q I

.,, QfsPfS

Por tanto, las sumas superiores están acotadas inferiormente por cualquiera

de las sumas inferiores, y las sumas inferiores están acotadas

superiormente por cualquiera de las sumas superiores.


7

Análogamente, la integral inferior es S

s

P m

ás fin

as

P m

ás fin

as

Definición: Llamamos integral superior de la función en el

intervalo al ínfimo de sus sumas superiores.

f

Estas integrales existen y tienen valores reales siempre que la

función es acotada, y se cumple que

I

.,inf...,...,,... 2121 PfSdxdxdxxxxfP

nn

I

.,sup...,...,,... 2121 PfsdxdxdxxxxfP

nn

I

....,...,,......,...,,... 21212121 nn

I

nn

I

dxdxdxxxxfdxdxdxxxxf


8

....,...,,......,...,,... 21212121 nn

I

nn

I

dxdxdxxxxfdxdxdxxxxf

Definición: Sea definida y acotada en el intervalo

n-dimensional . Decimos que es integrable en si y sólo si RRIf n :

I f I

En ese caso, la integral de en ,

,...,...,,... 2121 nn

I

dxdxdxxxxf

es el valor común de las integrales superior e inferior.

f I


9

Integral Múltiple en recintos más generales.

Es posible definir integrales

múltiples en conjuntos o recintos

que no son intervalos, siempre

que estos sean medibles-Jordan.

Se construyen por extensión de

la función por cero a un intervalo

que contenga el recinto de

integración e integrando la

nueva función en el intervalo.

.0

,

Rx

Rxxfxg

R

y

x

xfxg

0xgI

R

x

yxf ,

y

R

Así, la función es integrable

en si es integrable en ,

y en ese caso ambas integrales

tienen el mismo valor.

R Igf

10

Definición: (Contenido interior y exterior de Jordan) Sea un subconjunto

de un intervalo . Para toda partición de , definimos como la

suma de los contenidos de todos los subintervalos que contienen sólo puntos

interiores de , y como la suma de los contenidos de los

subintervalos que contienen puntos del interior o la frontera de .

Los contenidos interior y exterior de

Jordan de son, respectivamente,

y

x

RI IP PRJ ,

R PRJ ,R

,,sup PRJRcP

.,inf PRJRcP

R

Un conjunto es medible-Jordan si R

,RcRc

R Rc

En esencia, un conjunto es medible-Jordan si se puede calcular su

contenido mediante un proceso de integración de Riemann (de su función

característica).

Proposición: Un conjunto es medible-Jordan si y sólo si su frontera tiene

medida nula. Para ello es condicion suficiente que su frontera sea una

linea si ,o una superficie bidimensional si .

en cuyo caso este valor común es el contenido de Jordan, , de .

2RR 3RR

Integral Múltiple en recintos más generales.

11

Proposición: (CNS) Sea definida y acotada en el

intervalo n-dimensional . Entonces es integrable en si y

sólo si para todo existe una partición de tal que

RRIf n :I

I

Integral Múltiple: Condiciones de Integrabilidad.

IP0

.,, PfsPfS

Proposición: (CS) Si es continua en el intervalo n-

dimensional , entonces es integrable en .

RRIf n :I I

Proposición: Sea continua en el recinto .

Entonces es integrable en si y sólo es medible-Jordan. RRIf n :

RIR

R

f

f

Proposición: Sea definida y acotada en un recinto

medible-Jordan . Si tiene un número finito de puntos

de discontinuidad en , entonces es integrable en .

RRIf n :

RIR

Rf

f

12

Las propiedades de la integral múltiple son análogas a las de la

integral de funciones de una variable real; linealidad, monotonía,

aditividad respecto al intervalo. Esta última es la única que requiere

un nuevo matiz relevante.

Integral Múltiple: Propiedades.

Proposición: Sea definida y acotada en un

recinto . Y sean y dos subconjuntos de tales que

RRIf n :IR 1R 2R R

,21 RRR

.11 oRIntRInt

Entonces es integrable en si y sólo si lo es en y en y

se cumple que f R

1R 2R

nn

R

dxdxdxxxxf ...,...,,... 2121

nn

R

dxdxdxxxxf ...,...,,... 2121

1

....,...,,... 2121

2

nn

R

dxdxdxxxxf

1R2R

x

y

13

Integral Múltiple: Integración reiterada.

Proposición: (Teorema de Fubini) Sea continua

en el intervalo RRIf n :

.,,...,,1

2211n

ii

n

inn RbabababaI

Se verifica que

nn

I

dxdxdxxxxf ...,...,,... 2121

,...,...,,... 1221

1

1

2

2

dxdxdxxxxfb

ann

b

a

b

a

n

n

dónde cada integral se resuelve tratando al resto de variables

como constantes. El resultado es independiente del orden de

integración.

El siguiente resultado proporciona un procedimiento para calcular

la integral múltiple de una función continua en un intervalo n-

dimensional mediante un cálculo reiterado de integrales de

funciones de variable real.

14


dyyxFdydxyxfdydxyxfd

c

ba

d

c

b

a

b

a

d

c

,,,

.,,,, dyyaFdyybFdyyaFybFd

c

d

c

d

c

.,

,yxf

x

yxF

y

xc

ba

d

yxf ,

0y

0, yxf

.,, 2RdcbaI

En el caso de integrales dobles,

I

dydxyxf ,

x

y

1

2

4

5

4,25,1 I

5

1

4

2

2 dydxyx

Ejemplo:

15

.,/,

21

2

xgyxg

bxaRyxR

.,,

2

1

dxdyyxfdydxyxfb

a

xg

xgR

y

xa b

xg1

xg2

R

dxyxGdxdyyxfdydxyxf

b

a

xg

xg

b

a

xg

xgR

2

1

2

1

,,,

.,,,, 1212 dxxgxGdxxgxGdxxgxGxgxGb

a

b

a

b

a

.,

,yxf

y

yxG

Este método de integración reiterada se puede extender para

conjuntos mas generales. Pero en este caso los extremos de

integración no son, en general, fijos, y el orden de integración es

relevante para que el cálculo sea más o menos laborioso.

Ejemplo 1:


16

./, 212 ygxygRyxR

.,/, 3212 ygyygyygRyxR

Ejemplo 2:

.,,

2

1

dydxyxfdydxyxfd

c

yg

ygR

y

x

c

d yg2 yg1

R

Ejemplo 3:

En ocasiones es necesario dividir el recinto en varios subrecintos.

xa b c

1R 2R

xg2

xg1

xg3y

x

c

d1R

2R

y2

y1

y3y

e


17

R

dydxyx2

.

0

,10/, 2

xy

xRyxR

x

y

1

1 xy

R

Integral Múltiple.

Ejemplos:

R

dydxyx 22

.

0

,8/, 2

xy

yxRyxR

x

y

8

8

R

xy

xy 8

4

18

R

dydxy3

.

40

,40

,4/, 22

y

x

yxRyx

R

x

y

4

4

R

24 yx

2

-2

Integral Múltiple.

.

0

,10

,/, 22

x

yx

xyRyx

R

R

dydxxy

x

y

1

1

R

xy 1

2xy

Ejemplos:

19

R

dydxxy3

.

10

,0/, 22

x

xyRyxR

Integral Múltiple.

x

y

1

1

R

2xy

R

dydxxy sen2

.

,/, 22

xy

xyRyxR

x

y

1

1

2xy xy

R

Ejemplos:

20

R

dydxxy

.

8

,0

,62/, 2

yx

xy

xRyx

R

Integral Múltiple.

'1R

'2R

x

y

8

8

1R

xy

xy 8

2R

2 4 6

2

4

R

dydxxy

.

0,

,149

/,22

2

yx

yxRyx

Rx

y

2

-2

-3 3

R

Ejemplos:

21

Integral Múltiple: Cambio de Variable

En algunos casos es útil hacer un cambio de variable para calcular el valor

de una integral múltiple. Esto puede deberse a ello facilite la obtención de

una primitiva para la función subintegral, o bien a que transforme el recinto

de integración en otro –referido a las nuevas variables- para el cual el

proceso de integración reiterada sea más sencillo.

x

y

R

v

u

'R vugyx ,,

Las principales diferencias respecto al cambio de variable en integrales

de funciones de variable real son que en las integrales múltiples la

función para el cambio de variable debe ser una función vectorial

biyectiva (aunque este requisito se puede suavizar), y el papel que en las

integrales de variable real tenía la derivada de la transformación lo

desempeña ahora el determinante jacobiano de .

g

g22

Y sea una función vectorial

biyectiva que transforma el conjunto en .


n

R

dxdxdxxf ...... 21 ,...... 21

'

n

R

dududuuJgugf

nn RRDg : ngggg ,...,, 21

n

R

dxdxdxxf ...... 21

R'R

Sea una función continua en un conjunto compacto y

medible-Jordan RRIf n :

.IR

,ugx

.,...,,

...

,,...,,

,,...,,

21

2122

2111

nnn

n

n

uuugx

uuugx

uuugx

.,...,, 21 ngggg

Si es de clase y su determinante jacobiano es no nulo en un

abierto que contenga a , entonces se cumple que g 1C

'R

donde es el valor absoluto del determinante jacobiano de . uJg g

R'R

xu

RRg '

xug

I

23

Cambio a coordenadas polares: Suele

aplicarse en integrales dobles cuyo recinto de

integración es un círculo, sección circular, corona

o sección de corona circular, ya que en estos

casos el recinto expresado en términos de las

coordenadas polares es un recinto rectangular.

x

y

R 'R

sección

circular corona

circular

sección

de corona

circular

x

yx,y

,cos,1 gx

.sen,2 gy

Ecuaciones de cambio a coordenadas polares:


Jacobiano de la transformación: ., Jg

24

Integral Múltiple.

R

dydxx2

.

0,

,9/, 222

yx

yxRyxR

R

dydxxy

.

3

,

,9/, 222

xy

yx

yxRyx

R

x

y

3

-3

-3 3

R2

x

y

3

-3

-3 3

xy

3

xy

4

6

R

sección

circular

sección

circular

Ejemplos:

25

Integral Múltiple.

Ejemplos:

R

dydxx2

.

0

,9/, 222

yx

yxRyxR x

y

3

-3

-3 3

R

xy

R

dydxy

.

,25/, 222

yx

yxRyxR

x

y

5

-5

-5 5

R

xy

26

Integral Múltiple.

R

dydxxy

.

4

,9/,

22

222

yx

yxRyxR

R

dydxy

.

0

,1

,9/,

22

222

yx

yx

yxRyx

Rsección

de corona

circular

corona

circular

x

y

3

R

2

x

y

3

xy

4

R

1

Ejemplos:

27

Integral Múltiple.

./, 2222 rbyaxRyxR

.,0

,2,0/,''

2

r

RR

./,' 2222 rvuRvuR

,axu

.byv .11 J

,cosu

.senv.2 J

x

y

a

b u

v

r

R

Cuando la circunferencia que determina el recinto no está centrada en el

origen suele ser útil hacer un cambio de variable previo al cambio a

coordenadas polares.

28

Integral Múltiple.

22 2, / 2 4,

.0

x y R x yR

y

cosh

h

h

x

y

2 4

R

h

cos4,0

,2

,0/,'

2RR

Ejemplo:

Sin embargo, en algunos casos es posible resolver el problema con un

único cambio a coordenadas polares que, en general, no producirá un

recinto rectangular.

R

dydxyx 22

29

Integral Múltiple.

cos2,0

,2

,2

/,'

2

a

RR

./, 2222 ayaxRyxR

x

y

R

a a2'

'

Ejemplos:

.

0

,93

,42/,

22

222

y

yx

yxRyx

R

cos6,cos4

,2

,0/,'

2RR

x

y

2 4

R

3 6

30

Integral Múltiple.

.

0

,93/,222

x

yxRyxR

x

y

3

6

R

h

h

senh

h

.

sen6,0

,2

,0/,'

2

R

R

Ejemplos:

./, 2222 bbyxRyxR

.sen2,0

,,0/,'

2

b

RR

x

y

R

b2

b

'

'

' 2 sen 2 sen '.b b 31

integral múltiple

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