Integrales Indefinidas

Integrales inmediatas

Tipo 1: Para resolver integraciones de funciones potenciales

∫ xadx= xa+1

a+1+C

Tipo 2: El integrando es una derivada completa. Se hace uso de la tabla de derivadas sin tomar en cuenta la logarítmica.

∫ f ' ( x )dx=f (x )+C

En ciertos casos hará falta completar la integral con constantes para darle forma y obtener una derivada como integrando. Ejemplo:

∫ 4x dx1ln 4∫4

x ln 4 dx= 1ln 4

+C

Tipo 3: La integral proviene del logaritmo neperiano. Es la fracción en el cual el numerador es la derivada del denominador

∫ f ´ (x)f (x)dx=Lnf ( x )+C

Cuando la derivada no esté completa en el numerador, derivamos el denominador y se añaden las constantes necesarias para obtenerla. Asimismo, para saber si el problema es de este tipo, basta con derivar el denominador y compararlo con el numerador.

Tipo 4: Para funciones o polinomios potenciales. La función esta elevada a un exponente y su derivada se encuentra al lado.

∫ [ f ( x ) ]a f ´ ( x )dx= [ f ( x ) ]a+1

a+1+C

Para identificar el tipo de problema propuesto en la integral inmediata se debe encontrar la derivada.

1) El integrando es la derivada: Tipo 22) La derivada está en el numerador: Tipo 33) La derivada está como factor o al lado: tipo 4

Métodos de Integración

Integración Trigonométrica: Se usa el procedimiento general para resolver cualquier tipo de problema y se hace cambio de variable según sea la paridad del integrando.

Las funciones par e impar se definen respectivamente:

f ( x )=f (−x ) Y f ( x )=−f (−x)

a) Impar en senoSe sustituye sen(x) por (-sen(x)), si se obtiene la integral original negativa será impar seno.

b) Impar en cosenoSe sustituye cos(x) por (-cos(x)), si se obtiene la integral original negativa será impar en coseno.

c) Par en seno y cosenoSe sustituye sen(x) por (-sen(x)) y cos(x) por (-cos(x)), se se obtiene la integral original será par en seno y coseno

d) No hay paridadSe sustituyen las variables como en el caso c, si no se obtiene la integral original (ni positiva ni negativa) no es par ni impar en seno o coseno.

Procedimiento General

1) Integrando impar en seno u=cosx

√1−u2=senx−1

√1−u2du=dx

2) Integrando impar en cosenou=senx

√1−u2=cosx1

√1−u2du=dx

3) Integrando par en seno y cosenou=tg xu

√1+u2=senx

1√1+u2

=cosx

11+u2

du=dx

4) El integrando no es ninguno de los casos anteriores

u=tg( x2 )2u1+u2

=senx

1−u2

1+u2=cosx

21+u2

du=dx