ax

a

1 x

−

Formulario de integrales

c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis

Este formulario puede ser copiado y distribuido libremente bajo la licenciaCreative Commons Atribucion 2.1 Espan˜a.

S´eptima revision: Febrero 2005

Sexta revision: Julio 2003Quinta revision: Mayo 2002Cuarta revision: Mayo 2001

Tercera revision: Marzo 2001

1. Integrales indefinidas

1.1. Funciones racionales e irracionales

1.1.1. Contienen ax + b

(1)

Z

(ax + b)n dx = 1

a(n + 1)(ax + b)n+1 + C, n = 1

(2)Z

dx ax + b

1=

a ln |ax + b| + C

(3)

Z dx

= ln

+ C

x(ax + b) a ax + b

(4)

Z dx

1 1= − · + C

(5)

(1 + x)2

Z xdx

(1 + bx)3

1 + x

1 2= 2b

· (1 + bx)2

1−

2b · 1

+ C1 + bx

1.1.2. Contienen √

+ b

(6)

Z √x a + bxdx =

2(3bx − 2a)(a + bx)3/2

15b2 + C

Z x

(7) √ dx =2(bx − 2a)

√

2

+ bx+ C

a + bx 3b

1

2

a

a arctan

a

x2

±

3

Z √

√

−

x

Z 2

2

a

Z

1

√a+bx−

√a

(8)

Z dx

√ √

a ln

√

= a+bx+√

+ C, a > 0

x a + bx

Z √

2 q

a+bx√ −a

+ C, a < 0

(9)a + bx

xdx = 2

√ Z

+ bx + adx√a + bx

+ C

1.1.3. Contienen x2 ± a2

(10)

(11)

Z dx

a2 + x2 =

Z xdx

1 xarctan

a a

1= √

+ C, a > 0

+ C(x2 ± a2 )3/2 x2 ± a2

1.1.4. Contienen a2 − x2 , x < a

(12) (a2 − x2 )3/2 dx = x p

a2 − x2 + a

xarc sen + C, a > 0

Z dx

2 2 a

1 a + x

1 x

(13) = ln

+ C = arctanha2 − x2 2a

a − x

a a

(14)

Z dx x

= √ + C(a2 − x2 )3/2 a2 a2 − x2

1.1.5. Contienen √

± a

Z px2 2

1 p 2 2 2

p 2 2

(15) ± a dx = x a

2(

1 √

2

± x + a

2 a2

ln x + x

+ C =

= 2 x a + x +

2 arcsenhx + C (+)

1 √

a2

2 x a2 − x2 +

Z2

arccoshx + C (−)

(16)

(17)

xp

x2 ± a2 dx = 1

(x2 ± a2 )3/2 + C

x3 p

x2 + a2 dx = ( 1

x2 − 2

a2 )(a2 + x2 )3/2 + C5 5

x2 − a2 p a(18)

xZ

dx

dx = x2 − a2 − a · arc cos

x

+ C|x|

(19)x2 + a2

Z dx

= a · arcsenh a

+ C

x(20) √ = ln

x +

px2 − a2 + C =

arccosh+ C, (a > 0)

(21)x2 − a2 Z

dx√

3

1 a

= arc cos

a + C, (a > 0)x x2 − a2 a |x|

√

√2

a2

pa2

3

√

√

√

√

√

√

2

Z2

−

x−

(22)

Z dx

√x2 ± a2

= ∓ + Cx2 x2 ± a2 a2 x

(23)

Z xdx

x2 ± a2

Z √

= p

x2 ± a2 + C

(24)x2 ± a2

x4dx = ∓(a2 + x2 )3/2

3a2 x3 + C

(25)

Z x2

x2 − a2dx =

x px2 − a2 −

a2 xarccosh + C

2 a

1.1.6. Contienen √ ± x2

(26)Z

− x dx =

Z

1 xp

a2 − x2 −a2 x

arc sen2 a

+ C, (a > 0)

(27)

(28)

xp

a2 ± x2 dx = ± 1

(a2 ± x2 )3/2 + C

x2 p

a2 − x2 dx = x

(2x2 − a2 )p

a2 − x2 + a

xarc sen + C, a > 0

8 8 aZ √

a2 ± x2 p a + √

a2 ± x2 (29) dx =

xa2 ± x2 − a ln

+ C

x

(30)

Z dx

√− a2

= 2

x2+ C

x2 a2 − x2 a x

(31)

Z dx

a2 − x2

x= arc sen

a+ C, a > 0

Z dx 1

a +

√ − x(32) √

a2 − x2= ln

a a2 2

+ Cx

(33)

Z x

a2 ± x2

Z x2

dx = ±p

a2 ± x2 + C

x p a2 x(34) a2 ± x2

Z dx

dx = ± 2

a2 ± x2 ∓ arc sen2 a

+ C, a > 0

x(35)

a2 + x2= ln

x +

pa2 + x2

+ C =

arcsenha

+ C, a > 0

1.1.7. Contienen ax2 + bx + c

1

2ax+b−

√b2 −4ac

√ ln

√

= b2 −4ac 2ax+b+ b2 −4acZ

dx

2 2ax+b 2(36)

2 2

= =

b2 −4ac arctanh √

b2 −4ac + C, b > 4ac

ax2 + bx + c √ 2 2ax+b 24ac−b2

arctan √4ac−b2

+ C, b

− 2ax+b

+ C,

b

< 4ac

= 4ac

ax2

√

√

√

1

12

+ C, ∆ > 0, a < 0;

√

√√

√

2

2

√

(37)

Z x

dx =1

ln ax2 + bx + c

−

b Z

dx+ C

ax2 + bx + c 2a

2a ax2 + bx + c

(38)

Z x · dx

(ax2 + bx + c)n =

bx + 2c

+ (b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1

+ b(2n − 3)

(b2 − 4ac)(n − 1)

Z dx

(ax2 + bx + c)n−1

, n = 0, 1, b2 < 4ac

(39)

Z dx

(ax2 + bx + c)n = 2ax + b

+−(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx +

c)n−1

+ 2a(2n − 3)

−(b2 − 4ac)(n − 1)

Z dx

(ax2 + bx + c)n−1

, n = 0, 1, b2 < 4ac

1.1.8. Contienen √

+ bx + c

(40)Z p

ax2 + bx + cdx = 2ax + b p

ax2 + bx + c + 4ac

− b

Z dx

4aZ

a0 + a1 x + . . . + an xn

8a √

ax2 + bx + c

(41)ax2 + bx + c

dx Ver §3.5, pag. 11: m´etodo aleman

(42)

Z dx

ax2 + bx + c

1= √

aln

2ax + b +

√ap

ax2 + bx + c + C =

1 arcsenh 2ax+b + C, ∆ < 0, a > 0;√

a 4ac−b2

√a

ln |2ax + b| + C, ∆ = 0, a > 0; , ∆ =

b

− 4ac

−√

−a arc sen 2ax+b√

b −4ac

Z x

(43) √ dx =ax2 + bx + c b

Z dx

− √ax2 + bx + c

a 2a ax2 + bx + c

2√

c ax2 +bx+c+bx+2c

Z dx −1 ln

+ C, c > 0

(44) √ = c x

x ax2 + bx + c

1 arc sen bx+2c + C, c < 0−c |x| b2 −4ac

1.2. Funciones trigonom´etricas

1.2.1. Contienen sen ax

(45)

Z dx

=1

ln tan

ax + C

sen ax a 2

Z

(46) sen2 axdx = 1

· ax − cos ax · sen ax

+ C = x sen 2ax

2 a 2 −

4a + C

n−1

ln

Z

∓

Z

(47) senn axdx = − sen ax · cos ax

+ n − 1

Z

senn−2 axdx, n = 0, −1;a · n

Z 1 cos(a + b)x

n

1 cos(a − b)x 2 2(48) sen ax sen bxdx = − 2

Za + b

− 2

Z+ C, a = b a − b

(49) xn sen axdx = − 1

xn cos ax + n

xn−1 cos axdx

(50)

Z sen ax

a∞

dx = X

a

(ax)2ν −1

xν =0

(2ν − 1) · (2ν − 1)!

(51)

Z dx

=1 ± sen ax

1 tan

ax

a 2

π + C

4

1.2.2. Contienen cos ax

(52) cos2 axdx = 1

· ax + cos ax · sen ax

+ C

(53)

Z dx

=cos ax

2

1 tan

a

a

ax π2

− 4

+ C

(54)

Z cos ax

x

Z

∞

dx = ln |ax| + X

(−1)ν

ν =1

n−1

(ax)2ν

+ C(2ν) · (2ν)!

Z(55) cosn axdx =

cos ax · sen ax +

n − 1cosn−2 axdx+ C, n = 0, −1;

a · nZ

1 sen(a − b)x

n

1 sen(a + b)x 2 2(56) cos ax cos bxdx = −

2Z

+a − b 2

Z

+ C, a = b a + b

(57) xn cos axdx = 1

xn sen ax − n

xn−1 sen axdx + C, n = −1

(58)Z

dx1 ± cos ax

a

1= ±

a

a

axtan + C

2

1.2.3. Contienen tan ax o cot ax

(59)

(60)

Z 1tan axdx = − a

ln cos ax + C

Ztan2 xdx = tan x − x + C

(61)

Z

tann axdx = tann−1 ax

Z

− tann−2 axdx, n = 1, 0;(62)

Z

cot axdx =

Z

a(n − 1)

1

ln sen ax + Ca

n−1 Z

(63) cotn axdx = − cot ax

− cotn−2 axdx + C, n = 1, 0;a(n − 1)

n−2 −

−

n−2

p

1.2.4. Contienen sec ax o csc ax

(64)

Z 1 h

sec axdx = lna

Z

axcos

2+ sen

ax

2− ln ax

cos2

− sen ax i + C

2

(65)

(66)

sec2 axdx = 1

tan ax + Ca

Z

secn xdx = 1 tan ax · sec ax 1 n 2

+ 1 n−2ax · dx + C, n = 1;

a n − 1Z

a n − 1 sec

(67)

Z

(68)

csc2 axdx = 1

cot ax + Ca

cscn axdx = − 1 cot ax · csc 1 n − 2

Z

+ · cscn−2 ax ·dx + C, n = 1;a n − 1 a n − 1

1.2.5. Varias funciones

(69)Z

sec x · tan ax · dx = sec x + C

(70)Z

csc x · cot x · dx = − csc x + C

Z ( cosm−1 x·senn+1 x m−1

R cosm−2 x senn

(71) cosm x · senn x · dx =

m+n +

m+n· x · dx

cosm+1 x·senn−1 x n−1 m n−2m+n

+ m+n

R cos x · sen x · dx

1.2.6. funciones trigonom´etricas inversas

(72)

(73)

Zarc sen

Zarc cos

x x a

dx = x · arc sen a

x x a

dx = x · arc cos a

+ p

a2 − x2 + C, a > 0;

− a2 − x2 + C, a > 0;

(74)Z

arctanx xa

dx = x · arctan a

−1

a ln 1 +a

x2

a2

+ C, a > 0;

(75)Z

arccot

Z

xdx =

a1 xa

x · arccot a

+a

ln(a2 + x2 ) + C2

(76) x · arc cos xdx = x · arc cos x + arc sen x + C

n

−

Ze

Ze

1.3. Funciones exponenciales y/o logar´ıtmicas

(77)

Z

xn eaxdx = x eax n

Z

− xn−1 eax dx

(78)

a

ax

eax sen bx · dx =

a

(a sen bx − b cos bx)a2 + b2

+ C

(79)ax

eax cos bx · dx =(b sen bx + a cos bx)

a2 + b2 + C

(80)

Z dx

a + benx

Z

x=

a − ln(a + benx)

+ Can

x(81) loga xdx = x loga x −

ln a + C, ∀a > 0;

Z 2x2 ln x − x2

(82) x ln xdx =

Z

+ C4

ln ax 1

(83) xn ln ax · dx = xn+1

n + 1 −

(n + 1)2 + C

(84)Z

n+1 Zxn (ln ax)m dx =

x

n + 1(ln ax)m m

n + 1xn (ln ax)m−1 dx, n, m = −1, x > 0;

(85)Z

ln axdx = x ln ax − x + C, x > 0;

(86)

Z eax

xZ

∞

dx = ln |x| + X

i=1

(ax)i+ C

i · i!Z

ax

(87) eax ln x · dx = 1

eax ln |x| − 1 e

dx + C

Z dx

a a x∞

lni x(88)

ln xZ

dx

= ln | ln x| + X

i=1

i · i! + C, x > 0;

(89)x ln x

Z lnn x

= ln | ln x| + C, x > 0;

1(90) dx =

x x + 1lnn+1 x, n = −1, x > 0;

p

a a

Z

a

−

−

1.4. Funciones hiperbolicas

(91)Z

senh axdx =

Z

1cosh ax + C

a

(92) senh2 xdx = 1

senh 2x − 1

x + C

(93)Z

cosh axdx =

Z

4 2

1senh ax + C

a

(94) cosh2 xdx = 1

senh 2x + 1

x + C

(95)

(96)

Ztanh axdx =

Zcoth axdx =

Z

4 2

1a

ln | cosh ax| + C

1a

ln | senh ax| + C

(97) sechxdx = arctan(senh x) + C

(98)Z

sech2 xdx = tanh x + C

(99) cschxdx = ln tanh

x = −

1 ln

cosh x + 1 + C

2

2Z

cosh x − 1

(100)

Z(101)

senh x · tanh x · dx = −sechx + C

cschx · coth x · dx = −cschx + C

1.4.1. funciones hiperbolicas inversas

Z(102) arcsenh

x x dx = x arcsenh

a a− a2 + x2 + C, a > 0

Z x

(x arccosh x −

√x2 − a2 + C, arccosh x > 0, a > 0;

(103) arccosha

dx = a

x arccosh x +√

x2 − a2 + C, arccosh x < 0, a > 0;Z

(104) arctanhx x

dx = x arctanh +a a

1 a ln(a2 x2 ) + C

2Z

(105) arccothx x

dx = x arccoth +a a

1 a ln(x2 a2 ) + C

2Z

(106) arcsenhx x

dx = x arcsecha a

r x2

− a arc sen 1 − a2

+ C

Z(107)

xarcsech

ax

dx = x arccscha

r x2

+ a arccosh 1 + + C

a2

2

2

2 2

2

2

2. Integrales definidas

(108)

Z ∞

xn e−qx dx = n!

0 qn+1

, n > −1, q > 0;

(109)Z ∞

xm e−ax dx =0

Γ[(m + 1)/2]

2a(m+1)/2

n!

, a > 0

= 2an+1 , Si m impar : m = 2n + 1

= 1 · 3 · . . . · (2n − 1)

r π

, Si m par : m = 2n

(110)

Z x2 e−ax dx = − e−a

2n+1

1 r

π+

erf(

a2n+1

√a)

0 2a 4 a3

(111)Z ∞ at

2 2 n n

xn e−ax dx = n!e−

t an+1

a t1 + at +

2!a t

+ . . . +n!

, n = 0, 1, . . . , a > 0;

(112)Z ∞

xn e−ax dx =n − 1

Z ∞xn−2 e−ax dx

(113)

0Z ∞

e−ax dx =

2a 0

1 r

π

0 2 aZ ∞

2 1(114)

(115)

xe−ax dx =0 2a

Z x dx 1= ln

(116)

(117)

0 1 − xZ x dx

=0 (1 − x)2

Z x dx 1=

0 1 + x

1 − x

x1 − x

ln(1 + x)

(118)

Z x 1 + x 1dx = (1 + ) ln − x

(119)

0 1 − xZ x 1 + x

0 (1 − x)2 dx =

1 − x

(1 − )x1 − x

− ln1

1 − x

(120)

Z x (1 + x)2

dx = 2 (1 + ) ln(1 − x) + 2 x +

(1 + )2 x

(121)

0 (1 − x)2

Z x dx=

0 (1 − x)(ΘB − x)1

lnΘB − 1

ΘB − xΘB (1 − x)

1 − x

, ΘB = 1

(122) Z x dx 0 ax2 + bx + c

= −2

+2ax + b 2

, b2 = 4ac b

(123)

Q(x)

R dx

1. R

dx

4. M

x+N

R M x+N

r

Z x dx

0 ax2 + bx + c

1

q= ln ·

a(p − q) px − p

x − q, b2 > 4ac; p, q son las ra´ıces;

(124)Z x a + bx

dx =bx

+ ag − bc

ln(c + gx)0 c + gx g g2

3. M´etodos de integracion

3.1. Integracion por partes:

Z Zu · dv = u · v − v · du

3.2. Integracion por sustitucion:

si x = g(t) es un funcion que admite derivada cont´ınua no nula y funcion inversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f (g(t))g0 (t) se tiene que:

Zf (x)dx = F (h(x)) + C

3.3. Integracion de funciones racionales:

Queremos hallar R

F (x) dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeficientesreales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la division para obtenerR

F (x) R(x)Q(x)

dx = R

C (x)dx + R

Q(x) dx. La primera integral es inmediata. Para la

segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera:Q(x) = a0 (x − a)p . . . (x − a)q [(x − c)2 + d2 ]r . . . [(x − e)2 + f 2]s y es u´nica.

Ental caso, el integrando del segundo t´ermino se puede descomponer como

sigue:R(x) A1 A2 Ap B1 B2 Bq

Q(x) =

(x−a)p + (x−a)p−1 + . . . +

x−a + . . . +

(x−b)q + (x−b)q−1 + . . . +

x−b +

M1 x+N1 Mr x+Nr H1 x+K1 Hs x+Ks((x−c)2 +d2 )r−1 + . . . +

(x−c)2 +d2 + . . . + ((x−e)2 +f 2 )s + . . . +

(x−e)2 +f 2 . Todas

las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando seobtienen integrales del siguiente tipo:

x−a = ln |x − a| + C

2. R

dx 1(x−a)p =

(1−p)(x−a)p−1 + C

3. R

M x+N M 2 2 M c+N x−c(x−c)2 +d2 dx =

2 ln |(x − c) + d | +

d arctan

d + C

[(x−c)2 +d2 ]r dx ⇒ Llamemos Ir =operando se obtiene [(x−c)2 +d2 ]r dx y Jr = [(x−c)2 +d2 ]r dx

I = M2(1−r)

1· ((x−c)2 +d2 )r−1

+ (M c + N ) · Jr

Jr = 1 Jd2 r−1 + x−c 1d2 2(1−r)((x−c)2 +d2 )r−1 −

d2 2(1−r) Jr − 1

ax + b

n

!

cx+d

ax2√

ax2

2. m+1

3. m+1 = t

3.4. M´etodo de Hermite

Si Q(x) = (x − a)m . . . (x − b)n · (x − c)2 + d2

. . .

(x − e)2 + f 2

entonces

Z R(x)Q(x)

dx =U (x)

+ (x − a)m−1 . . . (x − b)n−1 . . . [(x − c)2 + d2 ]

p−1 . . . [(x − e)2 + f

2]q−1

Z dx

Kx − a

+ . . . + L

Z dx

x − b

Z C x + D

+(x − c)2 + d2dx + . . . +

Z Ex + F

dx(x − e)2 + f 2

donde U (x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las constantes se determinan derivando la expresion e identificando coeficientes.

3.5. Integracion de funciones irracionales algebraicas

Integrales del tipo

Z

R x,

m1 ax + b

n1

cx + d, . . . ,

ms s

dx cx + d

| a, b, c, d ∈ R; ni, mi ∈ Z; ni = 0

y c y d no se anulan simultaneamente. Se transforma en integral racional mediante el cambio ax+b = tm siendo m el m´ınimo comu´n mu´ltiplo de lasni .

Integrales del tipo R

R x,

√ax2 + bx + c

dx se consideran los siguientes

casos:

1. a > 0 → √

+ bx + c = ±√

a · x + t

2. c < 0 → ax2 + bx + c = ±√

c + x · t

3. a, c < 0 → √

+ bx + c = t · (x − α) siendo α una de las raices delpolinomio.

M´etodo Aleman: R

√

P (x)dx = Q(x) ·

√2 + bx + c + K

R √ dx

ax2 +bx+c ax

ax2 +bx+cDonde gradQ(x) = grad(P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeficientesse obtienen derivando la expresion e identificando t´erminos.

Series binomicas: R

xm (a + bxn )p dx | a, b ∈ R; m, n, p ∈ Q. Estas inte- grales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios indicados.

1. p ∈ Z → x = tq donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m.

n ∈ Z → a + bxn = tq

n

siendo q el denominador de p.

n + p ∈ Z → a+bx qxn siendo q el denominador de p.

En cualquier otro caso se puede expresar como funcion elemental.

3.6. Integracion de funciones trascendentes

Si R(u) es una funcion racional y u = f (x) es una funcion que admite funcion inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f (x)) se reduce a una integral racional mediante el cambio f (x) = t00 .

2

m+1

m+1

3. I = m−

1

m+1

p(x)dx

2

Z

3.7. Integracion de funciones trigonom´etricas

Integracion de R

R(sen x, cos x)dx: en general se hace el cambio tan x = t

con lo que sen x = 2dt , cos x = 1−t, dx = 2t . En elgunos casos se1+t2

pueden intentar otros cambios:1+t2 1+t2

1. Si R(sen x, cos x) = −R(sen x, − cos x) se hace el cambio sen x = t

2. Si R(sen x, cos x) = −R(− sen x, cos x) se hace el cambio cos x = t

3. Si R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) se hace el cambio tan x = t

Integrales del tipo Im,n = R

senm xn ·x·dx se puede reducir de las siguientesformas:

1. Im,n = sen x·cosn−1 x n−1m+1

+ m+1

Im+2,n−2 , m = −1

2. Im,n = senx·cosn−1 x n−1

m+n +

m+n Im,n−2 , m + n = 0

senm−1

m,n −x·cosn+1 x m−1

m+1 +

n+1 Im+2,n+2 , m = −1

4. Im,n = − sen x·cosn+1 x m−1m+n

+ m+n

Im−2,n , m + n = 0

5. Im,n = − sen x·cosn+1 x m+n−2

m+1

n+1 +

n+1

n+1 Im,n+2 , n = −1

6. Im,n = sen x·cos x m+n−2m+1

+m+1

Im+2,n+2 , m = −1

4. Ecuaciones diferenciales ordinarias

4.1. Ecuaciones diferenciales lineales

Ry0 + p(x)y = q(x) =⇒ y = e−

(x)dx

R

q(x)e + C

τ y0 + y = p(t) =⇒ y =

e−t/τ

1

Z tp(t)et/τ dt + y0

τ 0

5. Solucion num´erica de ecuaciones diferenciales

5.1. M´etodo de Runge-Kutta de cuarto orden

1y0 = f (x, y) → yi+1 = yi +

6 (k1 + 2k2 + 2k3 +

k4)h

k1 = f (xi , yi) k2 = f (xi + h/2, yi + k1 h/2)k3 = f (xi + h/2, yi + k2 h/2) k4 = f (xi + h, yi + k3 h)