Llegamos ahora a la conexin que haya entre integracin y derivacin. La relacin entre estos dos procesos es, de algn modo, anloga a la que hay entre 'elevar al cuadrado' y la 'raz cuadrada'. Si elevamos al cuadrado un nmero positivo y despus tomamos la raz cuadrada del resultado, obtenemos el nmero original. De igual modo, si integramos una funcin continua obtenemos una nueva funcin (una integral indefinida de f) y si diferenciamos esta funcin obtenemos la funcin original.(Apostol, pp. 202)Esta conexin entre diferenciacin e integracin es muy sorprendente. La integracin est relacionada con la suma de muchos nmeros pequeos (por ejemplo, cuando calculamos un rea, la longitud de una curva, etc.) y la diferenciacin es la tasa de variacin instantnea (una interpretacin grfica de la derivada es la pendiente de la tangente a la curva). El Teorema Fundamental del Clculo nos dice que estos dos conceptos estn ntimamente relacionados.Ya hemos visto varios ejemplos cuandodiferenciamoseintegramos funciones polinmicaspues ya vimos cierta relacin.Sabemos que si f es integrable, entonces F(x) [unaintegral indefinida] es continua. Nos podemos preguntar que ocurre cuando la funcin original f es continua. Resulta que F es diferenciable (y que su derivada es especialmente simple).[Spivak](EL PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CLCULO) Sea f una funcin integrable en [a,b], y definimos una nueva funcin F en [a,b] por

Si c pertecece a [a,b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c, y

Una demostracin visual bien conocida asume que la funcin f es continua en un entorno del punto (esta es una condicin ms dbil, la hiptesis del teorema es ms fuerte. Para una demostracin analtica ms rigurosa de este teorema hay que leer un buen libro de Clculo).Si c es un punto de (a,b), mirando la imagen podemos aceptar que

Si h es suficientemente pequeo (o podemos usar un teorema de valor intermedio, para ser ms precisos)

Dividiendo entre h:

Si f tiene mejores propiedades, por ejemplo, si f es continua en todos los puntos de [a,b], entonces F es diferenciable en todos los puntos de (a,b) y

o

La idea es que empezamos con una funcin f:

Consideramos una integral indefinida F (arrastando el lmite inferior de integracin obteneos diferentes funciones integrales):

En un punto diferenciamos esta funcin F (grficamente estamos considerando la pendiente de la recta tangente):

Entonces:

Este Teorema Fundamental del Clculo nos dice que toda funcin continua tiene unaantiderivaday nos muestra cmo construir una usando unaintegral indefinida. Incluso funciones no diferenciables con esquinas, tales como el valor absoluto tienen una antiderivada.Muchas veces el problema es cmo encontrar unaantiderivadade una funcin, es decir, dada una funcin f(x), encontrar una funcin F(x) tal que F'(x) = f(x).Un caso importante es cuando queremos integrar una funcin que tiene una antiderivada (o primitiva). Es decir, conocemos una funcin f y queremos integrar f' (o tenemos que integrar f' y podemos encontrar una primitiva f). En este caso, podemos ver la funcin que queremos integrar como una tasa de variacin y la integral como un acumulador de este cambio (un ejemplo: la integral de la velocidad es la distancia recorrida).

Definimos una funcin integral F (pero ahora estamos integrando f'):

Entonces F es una primitiva de f', es decir:

Podemos ver que