Integral múltiple 1

Integral múltipleUna integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real, por ejemplo, f(x, y) ó f (x, y, z).

La doble integral como el volumen bajo unasuperficie. La región rectangular abajo de la

figura es el dominio de integración, mientras quela superficie es la gráfica de la función de dos

variables de la integral.

Introducción

De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) deuna variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el áreaentre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la dobleintegral de una función positiva f (x, y) de dos variables, definida enuna región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre lasuperficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Alrealizar una "integral triple" de una función f (x, y, z) definida en unaregión del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargoes bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretarcomo el volumen de la región de integración. Para integrales deórdenes superiores, el resultado geométrico corresponde ahipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso alorden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferencialesen orden de ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada diferencial sobre cadasigno de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de más de una variable por lo que lasintegrales múltiples indefinidas no existen.

DefiniciónUna forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica comola magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación y una región T en elespacio definido por los ejes de las variables independientes de la función f (si T es una región cerrada y acotada y festá definida en la región T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por

y una región T en el plano es igual a algúna integral doble, si es que la función f estádefinida en región T.Se puede dividir la región T en una partición interior formada por m subregiones rectangulares sin solapamientoque estén completamente contenidas en T. La norma de esta partición está dada por la diagonal más larga enlas m subregiones.Si se toma un punto que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones

para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una

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magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitudde:Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación

y la región T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacioscorrespondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximación mejora a medida que el número m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podríaobtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de lapartición:El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo existe un tal que

para toda partición de la región T (que satisfaga ), y para todas las elecciones posibles deen la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si f está definida en una región cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes def, la integral de f sobre T está dada por:siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que f es integrable con respecto a T.

PropiedadesLas integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funcionescontinuas en una región cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a todas las variablesinvolucradas entonces se puede demostrar que:1.2.3.

Si , entonces:

4.

Si , entonces:5.

Sea D la unión entre dos regiones, D1 y D2, que no solapan entre sí, entonces:

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Integrales múltiples e Integrales iteradasLas integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias pararesolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere alconcepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve laintegral múltiple. Si la expresión

se refiere a una integral iterada, la parte externa

es la integral con respecto a x de la función de x:

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo silas dos integrales iteradas existen y son iguales. En otras palabras, si la integral doble existe, entonces es igual a laintegral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculandouna sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe laintegral doble, ya que se tiene:

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.Esto ocurre, cuando f es una función acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiendefácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.La notación

se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.

Métodos de integración

Funciones constantesEn el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplíquese el valor de la función constantec por la medida del dominio de integración. Si c = 1, y es integrada a través de una región de R2 esto da el área de laregión, mientras que si es una región de R3 da el volumen de la región y así sucesivamente.Por ejemplo:

y Integrando f sobre D:

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Uso de simetríasEn el caso de un dominio en el que exista simetría al menos respecto de uno de los ejes, y donde la función paraintegrar contenga al menos una función impar con respecto a esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la sumade cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo

Dada y que es el dominio de integración del discode radio 1 centrado en el origen.Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en tres partes:

Ya que tanto 2 sin(x) como 3y3 son funciones impares, y existe simetría tanto con respecto al eje x como conrespecto al eje y, las primeras dos integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual únicamente ala tercera.

Cambio de variablesA menudo, es útil para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte más cómoda,sin embargo esto exige el cambio de la región de integración, además de añadir un factor de corrección al diferecialconocido como determinate jacobiano. El cambio de una variable por otra es en un sentido geométrico, unatransformación desde un espacio hasta otro, y es esta transformación la que exige estos ajustes.Si se utiliza una transformación que siga la relación:Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformación para simplificar la integral

Integrando la función transformada en el dominio de integración correspondiente a las variables x, y multiplicandopor el valor absoluto del determiante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral múltiple que esigual a la integral original, si es que esta existe.A continuación se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

Coordenadas Polares

La transformación de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notarque el área de la región polar es distinta que la de la región rectangular, loque justifica la necesidad del jacobiano. También se puede demostrar que

si se consiera (el radio medio), el área de la

región polar es efectivamente .

En un espacio R2, un dominio de integración quetenga una simetría circular es muchas vecessuceptible de ser transformado de coordenadasrectangulares a polares, lo que significa que cadapunto P (x, y) del dominio de una integral dobletomará su valor correspondiente en coordenadaspolares mediante la siguiente transformación:

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Por ejemplo:

Si la función es aplicando la transformación se obtiene la función fácilmente integrable con respecto a y a .

Se puenden obtener funciones incluso más simples:

Si la función es Uno tiene:

Si aplica la identidad trigonométrica pitagórica de senos y cosenos.El determinante jacobiano de la transformación es:

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = ρ cos(θ), y = ρ sin(θ) en la primera columna con respectoa ρ y en la segunda con respecto a φ.Por lo tanto, una vez transformada la función, y multiplicada por su determinante jacobiano, ésta es igual a laintegral original:

Coordenadas Esféricas

Gráfica de las coordenadas esféricas.

Cuando existe simetría esférica en un dominio en R3, es posibleutilizar una transformación hacia coordenadas esféricas parasimplificar una integral triple. La función es transformada por larelación:

El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe añadir a la integral.Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman en ρ2 sin(φ) dρ dθ dφ.Finalmente se obtiene la fórmula de integración:

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Coordenadas Cilíndricas

Gráfica de las Coordenadas Cilíndricas (Se muestrael águlo θ como φ).

El uso de coordenadas cilíndricas para transformar una intregraltriple, es conveniente especialmente cuando el dominio deintegración presenta simetría alrededor del eje z. La función setransforma mediante la siguiente relación.

El determinate jacobiano de la transformación es el siguiente:

Por lo tanto, se puede derivar la siguiente fórmula de integración:

Véase también• Integral• Teorema de Green• Teorema de Stokes• Teorema de la divergencia• Teorema de Fubini• Integral de Riemann

Referencias• Roland E. Larson, Robert P. Hosteler, Bruce H. Edwards (1999). «Integración Múltiple». Cálculo Volumen 2.

México D.F.: McGrawHill. ISBN 970-10-2756-6.

Fuentes y contribuyentes del artículo 7

Fuentes y contribuyentes del artículoIntegral múltiple  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=40061738  Contribuyentes: Coren, Davius, Eduardosalg, Hager e, Homo logos, Jlu85, Rafiko77, 16 ediciones anónimas

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