Integral Definida

Cálculo de un área limitada por:

Una función, por ejemplo, f(x)

El eje de abcisas o eje horizontal

Rectas verticales x=a , x=b.

Dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos entre a (x0) , b (xn) .

Considerando el intervalo Xi-1 ≤ X ≤ Xi ; hallamos el área del rectángulo que se encuentra por debajo de la gráfica f(x) en ese intervalo y el área del rectángulo que se encuentra por encima de la gráfica f(x) en ese intervalo.

Determinamos las sumas superior e inferior para n subintervalos.

Llamamos Qx a la longitud del mayor número de trozos en los que se ha dividido [a,b]

lim In = lim Sn

Qx→ 0 Qx→ 0

↓

Área que buscábamos, o lo que es lo mismo:

b b

∫ f ó ∫ f(x) dx a a

Propiedades de la integral definida

a

∫ f = 0 a

b b b

∫ (f+g)= ∫ f + ∫ g

a a a b b

∫ (c· f)= c· ∫ f a a

b a

∫ f(x) dx = - ∫ f(x)dx a b

1º

2º

3º

4º

b b

∫ f < ∫ g a a

Si f y g son dos funciones continuas en un intervalo [a,b] tal que f(x) < g(x) para todo punto de [a,b].

5º

b c b

∫ f= ∫ f + ∫ f a a c

6º

b

Si f(x)> 0 ∫ f(x) dx > 0 a

b

Si f(x)< 0 ∫ f(x)dx < 0 a

R1

R2R3 A= A(R1)+ A(R2)+ A(R3)=

b c d b

∫ f= ∫ f - ∫ f + ∫ f a a c d

7º

b

Si f(x)> 0 ∫ f(x) dx > 0 a

b

Si f(x)< 0 ∫ f(x)dx < 0 a

R1

R2R3 A= A(R1)+ A(R2)+ A(R3)=

b c d b

∫ f= ∫ f - ∫ f + ∫ f a a c d

7º