integral definida
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INTEGRAL DEFINIDA El concepto de integral definida está relacionado geométricamente con el valor que determina el área bajo la curva dada por una función f(x) en un intervalo B=[a,b] como se ilustra en la gráfica:
Uno de los primeros pasos para llegar a este concepto fue desarrollado por el matemático Bernhard Riemann, quien abordó el cálculo del área con particiones rectangulares, como se muestra en la siguiente gráfica:
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El hallar el área aproximada bajo la curva por suma de n áreas rectangulares de igual ancho Δx, y altura determinada por la función f(x), está dada por:
El área exacta bajo la curva se da por la suma de infinitas particiones rectangulares. Luego el área exacta es el límite de estas sumas, llamadas sumas de Riemman, esto es:
Sin embargo esto implicaría el cálculo de infinitas áreas (algo imposible en la práctica), por lo cual se encuentran valores aproximados al aplicar dichas sumas de Riemman, aparece por lo tanto el concepto de la integral definida:
Dado el intervalo B=[a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0, se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b y se denota como:
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La cual se puede hallar a partir del teorema fundamental del cálculo integral:
Parte I: Sea f una función integrable en el intervalo B=[a,b]B, se define una nueva función F
Donde F es continua en el intervalo [a,b]. Tal que
Parte II: Si F es una antiderivada de f, entonces:
Propiedades de la integral definida: La integral definida cumple las siguientes propiedades:
Toda integral extendida a un intervalo de un solo punto, [a, a], es igual a cero. Esto es:
Cuando la función f (x) es mayor que cero, su integral es positiva; si la función es menor que cero, su integral es negativa.
La integral de una suma de funciones es igual a la suma de sus integrales tomadas por separado. Esto es:
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La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante
por la integral de la función (es decir, se puede «sacar» la constante de la integral). Esto es:
Al permutar los límites de una integral, ésta cambia de signo. Esto es:
Ejemplo 1: Calcular el área limitada por la función en el
intervalo B=[1,3] Gráficamente tenemos:
1 2 3 4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
x
f(x)
Donde debemos calcular el área de la región sombreada, para esto aplicamos la integral definida:
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Para calcular dicha integral debemos aplicar el teorema fundamental del cálculo integral que en su primera parte nos dice que debemos conocer la integral indefinida de la función:
Ahora aplicaremos la segunda parte del teorema que nos dice que para obtener la integral definida debemos evaluar la función en los límites de integración y calcular la diferencia entre dichos valores (restando siempre el valor de evaluación en el intervalo inferior del valor de evaluación en el intervalo superior (F(b)-F(a)) Por lo tanto:
En conclusión el área requerida es de 12.666 unidades cuadradas.
Ejemplo 2:
Calcular el área generada entre la función en el intervalo [-1,2]
Gráficamente tenemos:
-1 1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
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Para calcular el área aplicamos la integral definida:
Por lo tanto el área requerida es de 1.5 unidades cuadradas
NOTA: Tenga en cuenta que , esta integral se calcula
aplicando la técnica de sustitución.
Aplicaciones de la integral definida: Área entre dos curvas
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas sobre [a, b] como se muestra en la figura:
0
y
x
R
y = f(x)
y = g(x)
a b
C
D
E
F
0
y
x
R
y = f(x)
y = g(x)
a b
C
D
E
F
Podemos calcular el área de la región plana limitada por las curvas en el intervalo haciendo uso de la integral definida:
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Para esto debemos tener en cuenta que debe sustraerse la función que esté en la parte inferior de la gráfica de la función que está en la parte superior.
Ejemplo: Calcular el área entre las curvas de las funciones y
en el intervalo [0,2]
-1 1 2 3
2
4
6
8
x
y
R
h(x)
i(x)
Para calcular el área de la región sombreada R identificamos cual función queda en la parte superior y cual función queda en la parte inferior y planteamos la integral correspondiente:
Por lo tanto el área comprendida entre las dos curvas es de aproximadamente 5.722 unidades cuadradas.
NOTA: Recuerde que e es la constante conocida como número de Euler, donde
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Ejemplo 2: Calcular el área comprendida entre las curvas de las funciones
y
Para empezar debemos definir el intervalo en el cual debemos calcular el área, para esto debemos identificar los puntos de corte entre las dos funciones, esto lo hacemos igualando ambas funciones y solucionando la ecuación correspondiente. Esto es:
Por lo tanto hay dos puntos de corte en x=2 y x=-2 Gráficamente tenemos:
-3 -2 -1 1 2 3
2
4
6
x
y
R
f(x)
h(x)
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Por lo tanto el intervalo donde calcularemos el área es B=[-2,2] y el área de la región R se calculará a partir de la integral definida:
Por lo tanto el área comprendida entre las curvas de f(x) y h(x) es de aproximadamente 10.666 unidades cuadradas.
Aplicaciones del cálculo integral a la economía1
Entre las funciones que se utilizan en economía para hacer modelos de situaciones de mercado se estudian las funciones de oferta y de demanda. FUNCIÓN DE OFERTA Una empresa que fabrica y vende un determinado producto utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos que está dispuesta a ofrecer en el mercado con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad. Podemos decir que, en respuesta a distintos precios, existe una cantidad correspondiente de productos que los fabricantes están dispuestos a ofrecer en el mercado en algún período específico. Cuanto mayor es el precio, mayor será la cantidad de productos que la empresa está dispuesta a ofrecer. Al reducirse el precio, se reduce la cantidad ofrecida. Esto nos permite asegurar que la función de oferta es una función creciente. Si p representa el precio por unidad y q la cantidad ofrecida correspondiente entonces a la ley que relaciona p y q se la denomina función de oferta y a su gráfica se la conoce como gráfica de oferta.
1 Tomado de http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm
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A esta función la simbolizamos como p=o(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se ofrece en el mercado. FUNCIÓN DE DEMANDA La empresa utiliza esta función para relacionar la cantidad de productos demandada por los consumidores, con el precio unitario al que se puede vender esa cantidad, de acuerdo con la demanda. En general, si el precio aumenta, se produce una disminución de la cantidad demandada del artículo porque no todos los consumidores están dispuestos a pagar un precio mayor por adquirirlo. La demanda disminuye al aumentar el precio por eso ésta es una función decreciente como lo observamos en los ejemplos gráficos. Podemos asegurar entonces que para cada precio de un producto existe una cantidad correspondiente de ese producto que los consumidores demandan en determinado período. Si el precio por unidad de un producto está dado por p y la cantidad correspondiente en unidades está dada por q la ley que los relaciona se denomina función de demanda. A su gráfica se la llama gráfica de demanda.
A esta función la simbolizamos p=d(q) donde sabemos que p es el precio unitario y q la cantidad de productos que, a ese precio, se demanda en el mercado.
SUPERÁVIT DE CONSUMIDORES Y PRODUCTORES SUPERÁVIT DE CONSUMIDORES El mercado determina el precio al que un producto se vende. El punto de intersección de la curva de la demanda y de la curva de la oferta para un producto da el precio de
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equilibrio. En el precio de equilibrio, los consumidores comprarán la misma cantidad del producto que los fabricantes quieren vender. Sin embargo, algunos consumidores aceptarán gastar más en un artículo que el precio de equilibrio. El total de las diferencias entre el precio de equilibrio del artículo y los mayores precios que todas esas personas aceptan pagar se considera como un ahorro de esas personas y se llama el superávit de los consumidores. El área bajo la curva de demanda es la cantidad total que los consumidores están dispuestos a pagar por q0 artículos. El área sombreada bajo la recta y=p0 muestra la cantidad total que los consumidores realmente gastarán en el precio p0 de equilibrio. El área entre la curva y la recta representa el superávit de los consumidores.
El superávit de los consumidores está dado por el área entre las curvas p=d(q) y p=p0 entonces su valor puede encontrarse con una integral definida de esta forma:
Donde d(q) es una función demanda con precio de equilibrio p0 y demanda de equilibrio q0.
Ejemplo:
La curva de demanda está dada por la ley . Encuentre el
superávit o ganancia de los consumidores si el nivel de venta asciende a veinte unidades.
Solución: Para empezar debemos calcular el precio de las veinte unidades de producto, para esto aplicaremos la ley d(q), esto es:
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Por lo tanto gráficamente tenemos:
5 10 15 20 25 30 35
20
40
60
q
p
d(q)
p0
Resolviendo la integral, la ganancia de los consumidores resulta:
Por lo tanto la ganancia de los consumidores asciende a $ 320 si el nivel de venta asciende a veinte unidades. SUPERÁVIT DE PRODUCTORES: De la misma manera si algunos fabricantes estuviesen dispuestos a proporcionar un producto a un menor precio que el precio p0 de equilibrio, el total de las diferencias entre el precio de equilibrio y los precios más bajos a los que los fabricantes venderían el producto se considera como una entrada adicional para los fabricantes y se llama el superávit de los productores.
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El área total bajo la curva de oferta entre q=0 y q=q0 es la cantidad mínima total que los fabricantes están dispuestos a obtener por la venta de q0 artículos. El área total bajo la recta p=p0 es la cantidad realmente obtenida. La diferencia entre esas dos áreas, el superávit de los productores, también está dada por una integral definida. Si s(q) es una función de oferta con precio p0 de equilibrio y oferta q0 de equilibrio, entonces:
EJEMPLO Se conoce que la curva de la oferta para un producto es . Encuentre
la ganancia de los productores si la producción asciende a diez artículos. Si la producción asciende a 10 artículos el precio es:
Pesos.
La ganancia o superávit de los productores se calcula resolviendo:
Por lo tanto la ganancia de los productores asciende a $25 si la producción es de diez artículos.
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Ejemplo: Calcule el exceso de oferta y el exceso de demanda para las curvas de demanda y oferta dadas.
Función de demanda:
Función de oferta:
El exceso de oferta y el de demanda están representados por las áreas que muestra la gráfica:
10 20 30 40 50
200
400
600
800
1000
1200
q
p
d(q)
s(q)
p0
Excedente de oferta
Excedente de demanda
Primero debemos encontrar el punto de equilibrio (q0, p0), para calcular q0 debemos encontrar el punto de corte de las curvas de oferta y demanda igualando ambas funciones y despejando en la ecuación correspondiente, esto es:
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Para solucionar esta ecuación aplicamos la fórmula de solución de la ecuación cuadrática, esto es:
Como q simboliza el número de cantidades de producto producidas y este no puede ser negativo tomamos 20 como el número de unidades producidas, por lo tanto: q0=20 Para calcular p0 debemos evaluar q0 en alguna de las dos leyes (de oferta o de demanda), de ahí obtenemos p0=840 Ahora basta con calcular las integrales definidas para calcular los excesos de oferta y demanda, esto es: El excedente de demanda o superávit de los consumidores es la región comprendida entre d(q) y la recta p0=840, entre 0 y 20, o sea:
= =2133.33 El excedente de demanda es por lo tanto $2133,33 El excedente de oferta es la región comprendida entre las rectas p0= 840 y s(q)=42q entre 0 y 20, o sea:
= =8400 Por lo tanto el excedente de oferta es de $8400
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ANÁLISIS MARGINAL La derivada y, en consecuencia la integral, tienen aplicaciones en administración y economía en la construcción de las tasas marginales. Es importante para los economistas este trabajo con el análisis marginal porque permite calcular el punto de maximización de utilidades. En el análisis marginal se examinan los efectos incrementales en la rentabilidad. Si una firma está produciendo determinado número de unidades al año, el análisis marginal se ocupa del efecto que se refleja en la utilidad si se produce y se vende una unidad más. Para que este método pueda aplicarse a la maximización de utilidades se deben cumplir las siguientes condiciones: • Deberá ser posible identificar por separado las funciones de ingreso total y de costo total. • Las funciones de ingreso y costo deben formularse en términos del nivel de producción o del número de unidades producidas y vendidas. Damos algunas definiciones importantes para nuestro trabajo: -Costo marginal: es el costo adicional que se obtiene al producir y vender una unidad más de un producto o servicio. También se puede definir como el valor límite del costo promedio por artículo extra cuando este número de artículos extra tiende a cero. Podemos pensar el costo marginal como el costo promedio por artículo extra cuando se efectúa un cambio muy pequeño en la cantidad producida. Debemos tener en cuenta que si c(x) es la función costo, el costo promedio de producir x artículos es el costo total dividido por el número de artículos producidos.
Costo promedio por artículo
Costo marginal=
Costo marginal = c'(x)= -El costo marginal mide la tasa con que el costo se incrementa con respecto al incremento de la cantidad producida. -Ingreso marginal: es el ingreso adicional que se consigue al vender una unidad más de un producto o servicio. Para una función de ingreso total r(x), la derivada r’(x) representa la tasa instantánea de cambio en el ingreso total con un cambio del número de unidades vendidas. Podemos decir que el ingreso marginal representa las entradas adicionales de una empresa por
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artículo adicional vendido cuando ocurre un incremento muy pequeño en el número de artículos vendidos. Representa la tasa con que crece el ingreso con respecto al incremento del volumen de ventas. -Utilidad marginal que obtiene una empresa está dada por la diferencia entre sus ingresos y sus costos. Si la función de ingreso es r(x) cuando se venden x artículos y si la función de costo es c(x) al producirse esos mismos artículos, la utilidad p(x) obtenida por producir y vender x artículos está dada por p(x) = r(x) – c(x). La derivada p’(x) se denomina utilidad marginal y representa la utilidad por artículo si la producción sufre un pequeño incremento. Dado que la integral indefinida representa la familia de antiderivadas de una función podemos encontrar el costo total, ingreso total o utilidad total a partir de sus correspondientes funciones marginalesi.
i Tomado de http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/AplicacionesEconomia.htm