integracion scilab

17

Upload: lukitas-ruarte

Post on 07-Nov-2015

31 views

Category:

Documents


0 download

DESCRIPTION

Teoría de como generar los scripts en Scilab para metodos numéricos de integracion, con ejemplos, sencillo de entender

TRANSCRIPT

  • 2

    0

    5.02

    3

    sen5.01

    )1cos(2dxe

    x

    x x

    x f(x)0,25 2,727

    0,75 2,811

    1,25 2,605

    1,75 2,863

    0,000

    0,500

    1,000

    1,500

    2,000

    2,500

    3,000

    3,500

    4,000

    0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5 2,75 3

    Integracin Casos en los cuales se utilizan mtodos numricos en lugar de los analticos

    Las integrales surgen cuando se desea determinar el cambio en una cantidad y cuya razn de cambio con respecto a otra variable x

    es descripta por la relacin:

    el cambio en y desde ya hasta yb es:

    b

    a

    b

    a

    x

    x

    y

    y

    dxxfdy )(

    )(xfdx

    dy

  • xb xa

    ya

    yb

    f(x)

    a

    b

    x dx

    dy y

    Magnitud del

    cambio

    Area bajo

    la curva

    Integracin

    b

    a

    x

    x

    ab dxxfyy )(

    Area infinitesimalmente

    pequea

    Suma de reas

  • b

    a

    b

    a

    x

    x

    n

    x

    x

    dxxfdxxf )()(

    Frmulas cerradas de Newton-Cotes

    Trapecios Simpson 1/3

    Polinomio de orden 1

    Polinomio de orden 2

    Polinomio de orden 3

    Simpson 3/8

    Espaciamiento constante entre valores

    de la variable independiente

    Incluyen los puntos

    extremos en los clculos

  • Regla del trapecio

    2

    )()()( baab

    xfxfxxI

    b

    a

    b

    a

    x

    x

    x

    x

    dxxfdxxf )()( 1

    f(0.5) = 2.817

    f(3.5) = 13.419

    I (3.5-0.5)(2.817+13.419)/2 = 24.353 I = 19.262938

    Er% = ?

    0,000

    2,000

    4,000

    6,000

    8,000

    10,000

    12,000

    14,000

    16,000

    0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

    f(xa)

    f(xb)

    xb xa

    Error

  • Regla del trapecio mltiple

    El intervalo se divide en n segmentos de igual ancho

    n

    xxh n 1

    2

    )()(...

    2

    )()(

    2

    )()( 12312

    nnxfxf

    hxfxf

    hxfxf

    hI

    2

    )()()( baab

    xfxfxxI

    1

    2

    1 )()(2)(2

    n

    i

    ni xfxfxfh

    In

    xfxfxf

    xxI

    n

    i

    ni

    n2

    )()(2)(

    )(

    1

    2

    1

    1

    0,000

    2,000

    4,000

    6,000

    8,000

    10,000

    12,000

    14,000

    16,000

    0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

    f(x1)

    f(xn)

    xn x1

    Error

  • Regla de Simpson 1/3

    3

    1

    3

    1

    )()( 2

    x

    x

    x

    x

    dxxfdxxf

    )()(4)(3

    321 xfxfxfh

    I

    2

    )( 13 xxh

    6

    )()(4)()( 32113

    xfxfxfxxI

    dxxxxx

    xxxxxf

    xxxx

    xxxxxf

    xxxx

    xxxxxfI

    x

    x

    3

    1 2313

    213

    3212

    312

    3121

    321

    ))((

    ))(()(

    ))((

    ))(()(

    ))((

    ))(()(

    Polinomio de Lagrange

    Cantidad de segmentos

    0,000

    2,000

    4,000

    6,000

    8,000

    10,000

    12,000

    14,000

    16,000

    0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

    f(x0)

    f(x2)

    x2 x0

    Error

    x1

    f(x1)

  • Regla de Simpson 1/3 mltiple

    6

    )()(4)()( 32113

    xfxfxfxxI

    5

    3 2

    3

    1

    )(...)()(

    x

    x

    x

    x

    x

    x

    n

    n

    dxxfdxxfdxxfI

    n

    xxh n

    )( 1

    n

    xfxfxfxf

    xxI

    n

    n

    j

    j

    n

    i

    i

    n3

    )()(2)(4)(

    )(

    2

    7,5,3

    1

    6,4,2

    1

    1

    6

    )()(4)(2...

    6

    )()(4)(2

    6

    )()(4)(2 12543321 nnn

    xfxfxfh

    xfxfxfh

    xfxfxfhI

    Se utiliza cuando hay una cantidad impar de puntos Cantidad de

    segmentos

    2

    )( 13 xxh

  • Regla de Simpson 3/8

    4

    1

    4

    1

    )()( 3

    x

    x

    x

    x

    dxxfdxxf

    3

    )( 14 xxh

    )()(3)(3)(8

    34321 xfxfxfxf

    hI

    8

    )()(3)(3)()( 432114

    xfxfxfxfxxI

    Se utiliza cuando hay 4 puntos

    0,000

    2,000

    4,000

    6,000

    8,000

    10,000

    12,000

    14,000

    16,000

    0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

    f(x4)

    f(x1)

    f(x3)

    x3 x1

    Error

    x2

    f(x2)

    x4

  • 1,6405

    puntos Trapecio Error% Simpson Error%

    3 1,0688 35 1,3675 17

    4 1,3696 17 1,5192 7 (3/8)

    5 1,4848 9 1,6235 1

    6 1,5399 6 1,6451 0,28 (1/3 + 3/8)

    7 1,5703 4 1,6372 0,20

    9 1,6008 2 1,6395 0,06

    9 1,6381 0,15 (1/3 + 3/8)

    Comparacin de errores

  • Clculo del trabajo que vara con la distancia

    F = cte

    W=F*d

    xa xb xa xb

    W

    F

    xa xb

    F

    W

    xa xb

    F cte

    W=F(x)cos((x))dx

    F

    F

  • DATOS x(ft) F(x) (lb) ang (rad) F(x)*cos(ang)

    0 0 0 0,0000 119,0892 TRAPEZOIDAL MULT

    5 9 1,4 1,5297

    10 13 0,75 9,5120 117,1271 SIMPSON 1/3 MULT

    15 14 0,9 8,7025

    20 10,5 1,3 2,8087

    25 12 1,48 1,0881

    30 5 1,5 0,3537

    0,0

    2,0

    4,0

    6,0

    8,0

    10,0

    12,0

    0 5 10 15 20 25 30 35

    Clculo del trabajo que vara con la distancia

    W=F(x)cos((x))dx

    7 puntos equidistantes

    Trapecio mltiple = 119,0892

    Simpson 1/3 mltiple = 117,1271

    F(x)cos(ang)

  • 0,0

    2,0

    4,0

    6,0

    8,0

    10,0

    12,0

    0 10 20 30 40 50

    Clculo del trabajo que vara con la distancia

    x(ft) F(x) (lb) ang (rad) F(x)*cos(ang) 104,603 Simpson 1/3 m

    0 0 0 0,0000 25,049 Simpson 1/3

    5 9 1,4 1,5297 129,652

    10 13 0,75 9,5120

    15 14 0,9 8,7025

    20 10,5 1,3 2,8087

    30 12 1,48 1,0881

    40 5 1,5 0,3537

    5

    3

    W=F(x)cos((x))dx

    7 puntos no equidistantes

    Simpson 1/3 mltiple = 104,603

    Simpson 1/3 = 25,049

    129,652

    F(x)cos(ang)

  • Datos: xn, x1, ptos, funcin

    1

    2

    )(n

    i

    ixfn

    xxh n

    )( 1

    segmentos

    function [y]=f(x) y = evstr(funcion) endfunction

    funcion=input('f(x)= ','s')

    h = (xn-x1)/(n-1) //paso for x = (x1+h):h:(xn-h) I = I + f(x) end //for

    I = h*(f(x1) + 2*I + f(xn))/2

    n

    xfxfxf

    xxI

    n

    i

    ni

    n2

    )()(2)(

    )(

    1

    2

    1

    1

  • Datos: xn, x1, v

    segmentos

    h = (xn-x1)/(n-1) //paso for i = 2:n-1 I = I + v(i) end //for

    I = h*(v(1)+2*I + v(n))/2

    n= length(v)

    n

    xxh n

    )( 1

    1

    2

    )(n

    i

    ixf

    n

    xfxfxf

    xxI

    n

    i

    ni

    n2

    )()(2)(

    )(

    1

    2

    1

    1

  • Valor similar al obtenido con PlanMaker

    -->deff('y=f(x)','y=(2+cos(1+x.^1.5)/sqrt(1+0.5*sin(x)))*exp(0.5*x)') -->I=intg(0.5,3.5,f) I = 19.262938

    5.3

    5.0

    5.02

    3

    5.01

    )1cos(2dxe

    senx

    x x

    x f(x)

    0.5 2.817

    0.75 2.811

    1 2.722

    1.25 2.605

    1.5 2.584

    1.75 2.863

    2 3.694

    2.25 5.295

    2.5 7.710

    2.75 10.628

    3 13.278

    3.25 14.536

    3.5 13.419

    19.2639582