integración impropia
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Integración Impropia
Integral Impropia del tipo I
a) Si ∫a
t
f ( x ) . dx existe para todo numero t≥a, entonces ∫a
∞
f ( x ) . dx=limt →∞
∫a
t
f ( x ) . dx
Siempre que este límite exista como numero finito.
b) Si ∫t
b
f ( x ) . dx existe para todo numero t≤b entonces ∫−∞
b
f ( x ) . dx= limt→−∞
∫t
b
f ( x ) . dx
Siempre que este límite exista como numero finito.
Las integrales impropias se denominan convergentes si existe el límite correspondiente, y divergentes si el límite no existe.
c) Si ∫a
∞
f ( x ) . dx y ∫−∞
a
f ( x ) . dx son convergentes entonces
∫−∞
∞
f ( x ) . dx=∫−∞
a
f ( x ) .dx+∫a
∞
f (x ) . dx
Integral Impropia del tipo II
a) Si f es continua en [a,b) y discontinua en b, entonces ∫a
b
f ( x ) . dx= limt →b−¿∫
a
t
f ( x ) .dx
¿¿
si este límite existe.
b) Si f es continua en (a, b] y discontinua en a, entonces ∫a
b
f ( x ) . dx= limx→a+¿∫
t
b
f ( x ) .dx
¿¿
la integral ∫a
b
f ( x ) . dx es convergente si el limite existe y diverge si el limite no
existe.
c) Si f tiene una discontinuidad en c, a<c<b y tanto ∫a
c
f ( x ) . dx y ∫c
b
f ( x ) . dx son
convergentes, entonces ∫a
b
f ( x ) . dx=∫a
c
f (x ) . dx+∫c
b
f ( x ) . dx
Ejercicios Resueltos:
Estudie la naturaleza de las siguientes integrales:
1)∫0
1 dx2−3 x
2)∫0
∞ dx(1+x ) .√ x
Solución:
1) Estudiemos ∫0
2 /3 dx2−3 x
y ∫2 /3
1 dx2−3 x
∫ dx2−3 x Haciendo cambio de variable tenemos que: u=2-3x => du=-3.dx
¿>−du3
=dx
= -13∫
duu = -
13
ln|u|+c
=−13
ln|2−3x|+c
∫0
2 /3 dx2−3 x
= limt→ 2/3−¿∫
0
2 /3 dx2−3 x
¿¿
=lim
t→ 2/3−¿ −13 ln|2−3 x|¿
¿]t0
=lim
t→2/3−¿ −13 ln|2−3 t|+1
3 ln|2|¿
¿=-∞
Así, ∫0
2 /3 dx2−3 x
diverge, por tanto ∫0
1 dx2−3 x
diverge.
2) Estudiemos ∫0
1 dx(1+x )√x
, ∫1
∞ dx(1+x )√x
∫ dx(1+x )√x=∫ 2u .du
u(1+u2)u2=x
2u.du=dx =2∫ du1+u2
=2tan−1(u)+c =2tan−1¿¿ ) + c
∫0
1 dx(1+x )√x
= lim
t→ 0+¿∫t
1 dx(1+ x)√x
¿
¿
¿ limt→ 0+¿ 2tan−1¿ ¿¿¿
¿ )]1t
¿ limt→ 0+¿ 2 tan−1( 1)−2 tan−1√ t ¿
¿= π2
∫1
∞ dx(1+x )√x
= limt→∞
∫1
t dx(1+ x)√x
=limt→∞
2 tan−1 √x]t1
¿ limt→∞
2 tan−1 √t -2 tan−1(1)
= π-2 tan−1(1)
Así, ∫0
∞ dx(1+x )√x
= ∫0
1 dx(1+x )√x
+∫1
∞ dx(1+x )√x
=2 tan−1 (1 )+π−2 tan−1(1) =π
Por lo tanto, la integral ∫0
∞ dx(1+x )√x
converge.