intef - elipses 8 psauce.pntic.mec.es/~agarci28/primero/geometria/sol_conic... · 2016-04-04 ·...
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BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
29
Matemáticas I
26 Considera las circunferencias C1: (x – 1)2 + ( y + 1) 2 = 2 y C2: (x – 3)2 + ( y + 3) 2 = 10.
a) Comprueba que ambas circunferencias son secantes y calcula sus puntos de corte, A y B.
b) Halla las potencias de los puntos A y B a las circunferencias C1 y C2.
c) A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, ¿qué podrías decir del eje radical de ambas circunferencias?
d) ¿Puedes generalizar este resultado para un par cualquiera de circunferencias secantes?
a)Calculamoslospuntosdecorteresolviendoelsistema:
( ) ( )( ) ( )
8x yx y y
x x y yx x
1 1 23 3 10 18 10
2 2 2 26
––
––
2 2
2 2 2
2 2
2+ + =+ + = + + =
+ + + =* * 8x1=0,y1=–2;x2=2,y2=0
Puntosdecorte:A=(0,–2),B=(2,0),luegosonsecantes.b)AéC1»C28AverificalasecuacionesdeC1yC28P(A,C1)=P(A,C2)=0 BéC1»C28BverificalasecuacionesdeC1yC28P(B,C1)=P(B,C2)=0c)ElejeradicaleslarectaquepasaporAyporB.d)Sí,pueselrazonamientodelapartadob)muestraquelospuntosdecortesiempretienenpotencia
igualacerorespectoalasdoscircunferencias.Luegoelejeradicalsiemprepasaporellos.
Elipses
27 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a P(– 4, 0) y Q(4, 0) es 10.
EsunaelipsedefocosP(–4,0)yQ(4,0),yconstantek=10,esdecir,2a=10yc=4.
Así:a=5;b2=a2–c2=25–16=9
Laecuaciónserá: x y25 9
12 2+ =
28 De una elipse conocemos sus focos F(0, 1) y F' (0, –1) y su constante k = 4. Determina su ecuación.
SiP(x,y)esunpuntodelaelipse,entonces: dist(P,F)+dist(P,F')=2a,esdecir:
( ) ( ) 8x y x y1 1 4–2 2 2 2+ + + + =
8x2+(y–1)2=16+x2+(y+1)2–8 ( )x y 12 2+ + 8
8x2+y2–2y+1=16+x2+y2+2y+1–8 ( )x y 12 2+ + 8
8–4y–16=–8 ( )x y 12 2+ + 8(4y+16)2=64[x2+(y+1)2]8
816y2+256+128y=64x2+64y2+64+128y8
8192=64x2+48y28 x y3 4
12 2+ =
•Deotraforma: ElcentrodelaelipseeselpuntomediodelsegmentoqueuneFconF',esdecir:(0,0). Porotraparte: 2c=dist(F,F')=| |'F F =|(0,2)|=28c=1 2a=48a=28a2=4 b2=a2–c2=4–1=3
Portanto,laecuaciónes: x y3 4
12 2+ =
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
30
Matemáticas I
29 Halla la ecuación de la elipse de focos (–2, 0) y (2, 0) sabiendo que la longitud de su eje mayor es 10.
c=2;2a=108a=5;b= a c 25 4 21– –2 2 = =
Ecuación: x y25 21
12 2+ =
30 Escribe la ecuación de la elipse cuyos focos son F(–3, 0) y F' (3, 0) y cuya excentricidad es igual a 0,5.
c=3;exc= ,, ,
8ac a c0 5
0 5 0 53 6= = = =
b2=a2–c2=36–9=27
Ecuación: x y36 27
12 2+ =
31 Da la ecuación de la elipse que pasa por (3, 1) y tiene por focos (4, 0) y (– 4, 0).
Laecuaciónes:ax
by
122
2
2+ =
•Comopasapor(3,1)8a b9 1 12 2+ =
•Comoa2=b2+c2ysabemosquec=48a2=b2+16
Teniendoencuentalasdoscondicionesanteriores:
b b16
9 1 12 2++ = 89b2+b2+16=b4+16b28b4+6b2–16=0
b2= ± ± ±2
6 36 642
6 1002
6 10– – –+ = = ( )
bb
28– No vale
2
2==
Así:a2=2+16=18
Portanto,laecuacióndelaelipseserá: x y18 2
12 2+ =
32 De una elipse, centrada en (0, 0), se sabe que su eje mayor, que es igual a 10, está sobre el eje X. Además, pasa por el punto (3, 3). Obtén su ecuación.
A=(3,3)
Ejemayor=108a=5
Ejemayor=OX8ElcentroesO=(0,0)
Laecuacióndelaelipseserá: xby
251
22
2+ =
(3,3)éelipse8 ,8 8b b
b b253 3 1
259 9 1
415
415–
2
2
2
2+ = + = = =
Comobespositivo8b=415
Laecuaciónqueda:
8x y x y25
16225
125 225
161
2 2 2 2+ = + =
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
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Matemáticas I
33 Determina, en cada caso, la ecuación de la elipse, centrada en (0, 0), que tiene estas caracterís-ticas:
a) Su excentricidad es 1/2 y su eje mayor está sobre el eje Y y es igual a 2.
b) Sus vértices son: (–2, 0), (2, 0), (0, – 4) y (0, 4).
a)Ejemayor=28b=1
; 8 8ax y
ebc c c
11
21
1 21
21
22 2+ = = = = =
a2=b2–c2=1–41
43=
Laecuaciónqueda:
8x y x y
43 1
134 1
2 2 2 2+ = + =
b)Ejemayor=OY Ejemayor=88b=4 a=2
Laecuaciónqueda: x y4 16
12 2+ =
34 Halla los vértices, los focos y la excentricidad de las siguientes elipses dadas por sus ecuaciones. Represéntalas:
a) x y100 36
12 2
+ = b) x y64 100
12 2
+ = c) 9x 2 + 25y 2 = 25 d) 9x 2 + 4y 2 = 3
a)Vértices:(10,0);(–10,0);(0,6)y(0,–6)
Focos: c= 100 36 8– =
F(8,0)yF' (–8,0)
Excentricidad:exc= ,108 0 8=
6
–6
–10 10FF'X
Y
b)Vértices:(8,0);(–8,0);(0,10)y(0,–10)
Focos: c= 100 64 36 6– = = F(0,6)yF'(0,–6)
Excentricidad:exc= ,106 0 6=
10
–10
–8 8
Y
X
F
F'
c)9x2+25y2=258/
x y25 9 1
12 2
+ =
Vértices: , ; , ; ( , ) ( , )35 0
35 0 0 1 0 1– y –c cm m
Focos: c=925 1
916
34– = =
F= ,34 0c myF' ,
34 0–c m
Excentricidad:exc=// ,5 34 3
54 0 8= =
1
–1
5—3–5—3
FF' X
Y
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
32
Matemáticas I
d)9x2+4y2=38/ /
x y9 4
13 32 2+ =
Laelipsetieneejemayor=OYycentroO=(0,0).
a= , b33
23=
c2= 8 c43
93
125
125– = =
Vértices: , ; ,3
03
03 3–e eo o; , ,02
02
3 3y –e eo o
Focos: F= ,0125e oyF' ,0
125–e o
Excentricidad:exc=3125
1 5
23
=
–
–
F
X
Y
F'
√—3—
2
√—3—
2
√—3—
3√
—3—
3
35 Halla los vértices, los focos y la excentricidad de las siguientes elipses no centradas en el origen de coordenadas. Represéntalas:
a) ( )x y
25 93
12 2
++
= b) ( ) ( )x y91
162
1– 2 2+
+=
a)Centro:O=(0,–3)
c= 25 9 4– =
e=54
Vértices:(5,–3);(–5,–3);(0,0),(0,–6)
Focos:F=(4,–3),F'=(–4,–3)
–5 5
–6
0
FF'
Y
X
b)Centro:O=(1,–2)
c= 16 9 7– =
e=47
Vértices:(–2,–2);(4,–2);(1,2);(1,–6)
Focos:F=(1,–2+ 7 ),F'=(1,–2– 7)
–2 4
–6
2
F
F'
X
Y
Hipérbolas
36 Halla el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a F'(– 4, 0) y F (4, 0) es 6.
EsunahipérboladefocosFyF'yconstante2a=6.
Portanto,a=3,c=4,b2=c2–a2=16–9=7
Laecuaciónes: x y9 7
1–2 2
=
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
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Matemáticas I
37 Halla la ecuación de la hipérbola de focos (– 4, 0) y (4, 0) y distancia entre vértices, 4.
c=4;2a=48a=2;b= c a 16 4 12– –2 2 = =
Laecuaciónes: x y4 12
1–2 2
=
38 Obtén la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son y = ±51 x y uno de sus vértices es (2, 0).
a=2; 8 8ab b b
51
2 51
52= = =
Ecuación:/
x y4 4 25
1–2 2
= ,obien, x y4 4
251–
2 2=
39 Determina la hipérbola que pasa por el punto (2, 1) y tiene por asíntotas y = ±3x.
ab 3= 8b=3a8
ax
ay9
1–22
2
2=
Comopasapor(2,1)8 8a a
a491 1 36 1 9– –2 2
2= =
35=9a28a2=935 8b2=9a2=35
Ecuación:/
x y35 9 35
1–2 2
= ,obien, x y359
351–
2 2=
40 Halla la ecuación de la hipérbola de focos (–3, 0) y (3, 0) que tiene excentricidad igual a 3.
c=3, 8ac
aa3 3 1= = =
b2=c2–a2=9–1=8
Ecuación: x y1 8
1–2 2
=
41 De una hipérbola sabemos que pasa por el punto ,8 5 3` j y sus focos son (–3, 0) y (3, 0). Calcula su ecuación.
•Hallamoslaconstantedelahiperbola:|dist(P,F)–dist(P,F')|=2a
| | | | | ( , ) | | ( , ) |' 8a aFP F P 2 11 5 3 5 5 3 2– –= =
a121 75 25 75 2–+ + = 814–10=2a84=2a8a=2
•Comoa=2yc=3,entoncesb2=c2–a2=9–4=5
• Laecuaciónes: x y4 5
1–2 2
=
42 Halla la ecuación de la hipérbola de focos (–3, 0) y (3, 0) y asíntotas y = ± x5
2 5 .
c=3
8ab b a
52 5
52 5= =
c2=a2+b2=a2+ 8 8 8a a a a b5
2 559 9
59 5
52 5 5 2
22 2= = = = =e o
Laecuaciónpedidaes: x y5 4
1–2 2
=
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Matemáticas I
43 Halla los vértices, los focos, las excentricidades y las asíntotas de las hipérbolas dadas por las siguientes ecuaciones. Dibújalas:
a) x y100 36
1–2 2
= b) x y169 1–
2 2 = c) x 2 – 4y 2 = 1 d) x 2 – 4y 2 = 4
e) y x4 36
1–2 2
= f ) y 2 – 16x 2 = 16 g) 9x 2 – 4y 2 = 36 h) 4x 2 – y 2 + 16 = 0
a) x y100 36
1–2 2
=
a=10,b=6,c= 100 36 136+ =
Vértices:(10,0);(–10,0)
Focos:F=( 136 ,0),F'=(– 136 ,0)
e=10136
Asíntotas:y=± x53
F
Y
XF'
4–4–8–12–16–20–24 8 12 16 20 24
4
–4
–8
–12
8
12
b) x y169 1–
2 2 =
a=34 ,b=1,c=
916 1
35+ =
Vértices: , ; ,34 0
34 0–c cm m
Focos:F= ,35 0c m,F'= ,
35 0–c m
e=
3435
45=
Asíntotas:y=± x43
Y
X2–2–4 4
2
–2
FF'
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Matemáticas I
c)x2–4y2=1
a=1,b=21 ,c= 1
41
21 5+ =
Vértices:(1,0);(–1,0)
Focos:F= , ; ,'F21 5 0
21 5 0–=c cm m
e=21 5
Asíntotas:y=± x21
Y
X2–2–4 4
2
–2
FF'
d)x2–4y2=48 x y4
1–2 2 =
a=2,b=1,c= 4 1 5+ =
Vértices:(2,0);(–2,0)
Focos: F=( 5 ,0)
F'=(– 5 ,0)
e=21 5
Asíntotas:y=± x21
Y
X2–2–4 4
2
–2
FF'
e)y x4 36
1–2 2
=
a=2,b=6,c= 4 36 40+ =
Vértices:(0,2);(0,–2)
Focos:F=(0, 40 );F'=(0,– 40)
e=240 10=
Asíntotas:y=± x31
FY
X
F'
2–2–4–6–8–10 4 6 8 10
2
–2
–4
–6
4
6
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
36
Matemáticas I
f )y2–16x2=168y
x16
1–2
2 =
a=4,b=1,c= 16 1 17+ =
Vértices:(0,4);(0,–4)
Focos: F=(0, 17)
F'=(0,– 17)
e=417
Asíntotas:y=±4x
Y
X2–2–4–6 4 6
2
–2
–4
–6
–8
–10
4
6
8
10
F'
F
g)9x2–4y2=368 x y4 9
1–2 2
=
a=2,b=3,c= 4 9 13+ =
Vértices:(2,0);(–2,0)
Focos:F=( 13 ,0);F'=(– 13 ,0)
e=213
Asíntotas:y=± x23
Y
X2–2–4–6 4 6
2
–2
–4
–6
–8
4
6
F' F
8
h)4x2–y2+16=08y2–4x2=168y x16 4
1–2 2
=
a=4,b=2,c= 16 4 20+ =
Vértices:(0,4);(0,–4)
Focos: F=(0, 20)
F'=(0,– 20)
e=420
25=
Asíntotas:y=±2x
Y
X2–2–4–6 4 6
2
–2
–4
–6
–8
–10
4
6
F'
F
8
10
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
38
Matemáticas I
Página 239
Parábolas
45 Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (3, 0) y de la recta y = –3.
EsunaparábolacuyofocoesF(3,0)ycuyadirectrizesd:y+3=0.SiP(x,y)esunpuntodelaprábola,entonces:
dist(P,F)=dist(P,d)8 ( ) | |x y y3 3– 2 2+ = + 8
8x2–6x+9+y2=y2+6y+98y= x x6
–2
Obien:(x–3)2=6 y23+c m
46 Halla, en cada caso, la ecuación de la parábola de foco F y directriz d.
a) F (5, 0); d: x = –5
b) F (–3, 0); d: x = 3
c) F (0; 2,5); d: y = –2,5
d) F (0, – 4); d: y = 4
a)p2=58p=1082p=20.Ecuación:y2=20x
b)dist(F,d)=6=p
FéOX
y2=–12x
c)dist(F,d)=5=p
FéOY
y2=10x
d)dist(F,d)=8=p
FéOY
y2=–16x
47 Determina la ecuación de la parábola que tiene su vértice en el origen de coordenadas y cuya directriz es y = 3.
ElfocoseráF(0,–3).SiP(x,y)esunpuntodelaparábolayd:y–3=0esladirectriz,entonces:
dist(P,F)=dist(P,d)8 ( ) | |x y y3 3–2 2+ + = 8
8x2+y2+6y+9=y2–6y+98x2=–12y
48 Halla las ecuaciones de las parábolas que pasando por el punto (2, 3) tienen su vértice en el origen de coordenadas.
Haydosposibilidades:
•Eje horizontal:y2=2px.Comopasapor(2,3),entonces:
9=4p8p=49 8y2= x
29
•Eje vertical:x2=2py.Comopasapor(2,3),entonces:
4=6p8p= 8 x y64
32
342= =
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
39
Matemáticas I
49 Halla los vértices, los focos y las directrices de las siguientes parábolas. Represéntalas:
a) y 2 = 6x b) y 2 = – 6x c) y = x 2 d) y = x42
a) 8 8
y pxy x
p pp2
62 6 3
2 23
2
2==
= = =4
Vértice:(0,0)
Foco: ,23 0c m
Directriz:x=–23
1
1
F
b)Vértice:(0,0)
Foco: ,23 0–c m
Directriz:x=23
1
1
F
c)Vértice:(0,0)
Foco: ,041c m
Directriz:y=–41
1
1
F
d)Vértice:(0,0)
Foco:(0,1)
Directriz:y=–1
1
1F
Para resolver
50 Identificalassiguientescónicas,calculasuselementoscaracterísticosydibújalas:
a) 4x 2 + 9y 2 = 36 b) 16x 2 – 9y 2 = 144 c) 9x 2 + 9y 2 = 25
d) x 2 – 4y 2 = 16 e) y 2 = 14x f ) 25x 2 + 144y 2 = 900
a)4x2+9y2=368 x y9 4
12 2+ =
Esunaelipse8a=3,b=2,c= 5
exc= ≈ ,35 0 75
2
–2
–3 3FF'
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
40
Matemáticas I
b)16x2–9y2=1448 x y9 16
1–2 2
=
Esunahipérbola8, , ; ≈ ,
;
a b c exc
y x y x
3 4 535 1 67
34
34Asíntotas: –
= = = =
= =
Z
[
\
]]
]]
3–3
–4
4
FF'
c)9x2+9y2=258x2+y2=925
Esunacircunferenciadecentro(0,0)yradio35 .
5/3
–5/3
–5/3 5/3
d)x2–4y2=168 x y16 4
1–2 2
=
Esunahipérbola8, ,
;
; ≈ ,a b c
y x y x
exc4 2 2 5
21
214
2 525 1 12
Asíntotas: –
= = =
= =
= =Z
[
\
]]
]]
4
2
–2
–4 FF'
e)Esunaparábola.
Vértice:(0,0)
Foco: ,27 0c m
Directriz:x=–27
1
1
F
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41
Matemáticas I
f )25x2+144y2=9008/
x y36 25 4
12 2
=+
Esunaelipse8a=6,b=25 ,c=
2119
exc= ≈ ,12119 0 91
5/2
6–6
–5/2
FF'
51 Describe las siguientes cónicas no centradas en el origen. Obtén sus elementos y dibújalas.
a) ( ) ( )x y91
254
1– –2 2+ =
b) ( ) ( )x y16
191
1– –2 2+
=
c) (x + 2)2 = 4( y + 5)
d) x 2 + y 2 – 2x + 4y = – 4
a)EsunaelipsedecentroO=(1,4)
Ejemayor:OY
a=3,b=5,c= 25 9 4– =
Vértices:(4,4);(–2,4);(1,9);(1,–1)
Focos:F=(1,8);F'=(1,0)
exc= 45
9
4–2–1
F
F'
b)EsunahipérboladecentroO=(1,–1) a=4,b=3,c= 16 9 5+ = Vértices:(5,–1);(–3,–1) Focos:F=(6,–1);F'=(–4,–1)
exc=45
Asíntotas:y+1=± ( )x43 1–
1
5–3
–3
FF'
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
46
Matemáticas I
62 Halla los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su posición rela-tiva:
a) x y x
x y
6 16 04
– –2 2
2 2
+ =+ =
* b) x y x y
x y x y
6 4 9 06 2 9 0
– ––
2 2
2 2
+ + =+ + + =
*
a)
8 88 8
x y xx y
x x xy y y
6 16 04
4 6 16 0 6 12 24 4 0 0
– – – – – –2 2
2 2 2 2+ =+ =
= = =+ = = =4
Lascircunferenciassecortanenelpunto(–2,0).
Laprimeracircunferenciatienecentroen(3,0)yradio5;lasegundatienecentroen(0,0)yradio2.Ladistanciaentresuscentrosesd=3.Comoladiferenciaentresusradioses5–2=3=d,lascircunferenciassontangentesinteriores.
b)
:8
x y x yx y x y y y
6 4 9 06 2 9 0 6 0 0
– ––
Restando a la 2.ª ecuación la1.ª2 2
2 2+ + =+ + + = = =4
x2–6x+9=08(x–3)2=08x=3
Lascircunferenciassecortanenelpunto(3,0).
Laprimeracircunferenciatienesucentroen(3,2)yradio2;lasegundatienesucentroen(3,–1)yradio1.Ladistanciaentresuscentrosesd=3,igualquelasumadesusradios.Portanto,lascircunferenciassontangentesexteriores.
63 Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abs-cisas, sabiendo que pasa por el punto P(8, –3) y que su eje mayor es igual al doble del menor.
Elejemayoresigualaldobledelmenor,esdecir:a=2b. Además,pasaporelpuntoP(8,–3).Luego:
8 8 8 8ax
by
b b b b b1
464 9 1 16 9 1 25 12
22
2
2 2 2 2 2+ = + = + = = 25=b2;a2=4b2=100
Laecuaciónes: x y100 25
12 2
+ =
64 Laparábolay 2 – 4y – 6x – 5 = 0 tiene por foco el punto (0, 2). Encuentra su directriz.
y2–4y–6x–5=08y2–4y+4–6x–5–4=08
8(y–2)2–6x–9=08(y–2)2–6 x23+c m=0
Vértice:V= ,23 2–c m
Foco:F=(0,2)
Ejedelaparábola:y=2
dist(V,d)=dist(V,F)=23
Directriz:x=k8x–k=0
dist(V,d)= 88
8k
k k
k k23
23 2
32
3
23
20
3
3– –
– – –
– – –=
= =
= =
Z
[
\
]]
]]
Comoelfocoestáaladerechadelvértice,ladirectrizesx=–3.
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
48
Matemáticas I
b)(y–2)2=8x
Parábolahacialaderecha.
Vértice:V=(0,2)
p=4
dist(F,V)=28F=(2,2)
DirectrizparalelaalejeOY:x=–2
c)(x–1)2=–8(y+1)
Parábolahaciaabajo.
Vértice:V=(1,–1)
p=4
dist(F,V )=28F=(1,–3)
DirectrizparalelaalejeOX:y=2
d)(y+2)2=–4(x–1)
Parábolahacialaizquierda.
Vértice:V=(1,–2)
p=2
dist(F,V)=18F=(0,–2)
DirecrizparalelaalejeOY:x=2
Y
X2–2 4 6 8
2
–2
–4
4
6
8
Y
X–2–4 2 4 6
–4
–6
–2
2
Y
X–4–8 –2 2
–6
–4
–2–6
2
68 Halla la ecuación de la hipérbola centrada en (4, 5), cuyos focos son F (2, 5) y F'(6, 5) y cuyo semieje menor es b = 1.
Centro=(4,5)EjeparaleloaOXc=dist(C,F)=2a2=4–1=3
Ecuacióndelahipérbola: ( ) ( )x y34
15
1– ––2 2
=
Página 240
69 Halla la ecuación de la siguiente hipérbola:
•Tieneelcentroenelorigendecoordenadas.
•Tienelosfocosenelejedeabscisas.
•PasaporelpuntoP / ,5 2 1` j. •Unadesusasíntotaseslarectay = 2x.
Ecuacióndelahipérbola:ax
by
1–22
2
2=
8ab b a2 2= =
ax
ay4
1–22
2
2=
PasaporP= ,25 1e o
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
49
Matemáticas I
/ 8 8 8a a a
a a5 241 1
410 1 1 4 9 9
4– –
2 2 22 2= = = =
Laecuaciónpedidaes:/
x y9 4 9
1–2 2
=
70 Se llama hipérbola equilátera a aquella en la que a = b. Halla la ecuación de la hipérbola equi-látera cuyos focos son (5, 0) y (–5, 0).
Centro=(0,0)
c=5= a2 2 8a= 8 a25 2
25 2
2252
2= =c m
Laecuaciónpedidaes:
x y
225
225
12 2= =
71 Halla la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del plano tales que su distancia al punto (4, 0) es el doble de su distancia a la recta x = 1.
Comprueba que es una cónica y halla sus focos.
X=(x,y)puntocualquieradellugargeométrico.
P=(4,0)
r:x=1
dist(X,P)=2dist(X,r)
( ) | | ( ) ( )8x y x x y x4 2 1 4 4 1– – – –2 2 2 2 2+ = + =
x2–8x+y2+16=4x2–8x+48–3x2+y2+12=0
EsunahipérboladeejeOX:
x y4 12
1–2 2
= 8c2=168c=4
Centro:C=(0,0)
Focos:F=(–4,0),F'=(4,0)
72 Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto (4, 0) es igual a la mitad de la distancia a la recta r : x – 16 = 0. Representa la curva que obtienes.
SeaP(x,y)unodelospuntosdellugargeométrico.LadistanciadePa(4,0)hadeserigualalamitaddeladistanciadePalarectax–16=0;esdecir:
( ) | |x y x421 16– –2 2+ =
(x–4)2+y2=41 (x–16)2
x2–8x+16+y2=41 (x2–32x+256)
4x2–32x+64+4y2=x2–32x+256
3x2+4y2=1928 x y64 48
12 2+ =
Esunaelipseenlaquea=8yb= ≈ ,48 6 93.
LosfocosestánenF(4,0)yF'(–4,0).
Laexcentricidades:exc=ac
84
21= = =0,5
–8 8FF'
√—48
–√—48
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
50
Matemáticas I
73 Halla el lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que el producto de las pendientes de las rectas trazadas desde P a los puntos A(–2, 1) y B(2, –1) sea igual a 1.
¿Qué figura obtienes? Represéntala.
• LapendientedelarectaqueunePconAes:xy
21–
+
• LapendientedelarectaqueunePconBes:xy
21
–+
•Elproductodelaspendienteshadeseriguala1,esdecir:
8 8xy
xy
xy
y x21
21
14
1 1 41–
·– –
–– –2
22 2
++
= = =e eo o
x2–y2=38 x y3 3
–2 2
=1
Esunahipérbolaenlaquea=b= 3 yc= 6 .
LosfocossonF( 6 ,0)yF'(– 6 ,0).
Lasasíntotasson:y=xey=–x
Laexcentricidades:exc= ≈ ,ac
36 2 1 41= =
FF'
√—3
√—3
–√—3
–√—3
74 Halla las rectas tangentes a la elipse x y9 4
12 2
+ = que pasan por A(5, 0).
HazderectasquepasanporAmáslarectax=5.
Larectaquebuscamostienesolounpuntoencomúnconlaelipse,portanto:
( )
x y
y m x9 4
1
5–
2 2+ =
=
Z
[
\
]]
]]
_
`
a
bb
bb→ ( ( ))x m x
9 45 1–2 2
+ = 84x2+9(m(x–5))2–36=0
9m2x2–90m2x+225m2+4x2–36=08(9m2+4)x2–90m2x–36+225m2=0
Debetenersoluciónúnica;esdecir,eldiscriminantedebeserigualacero.
D=(90m2)2–4·(9m2+4)·(–36+225m2)=576–2304m2=08m=–21 ,m=
21
Lasrectaspedidasson:
r:y=–21 (x–5),r':
21 (x–5)
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
51
Matemáticas I
75 Halla la ecuación de la tangente a la elipse 3x 2 + 4y 2 = 48 en el punto P(2, 3). Usa que la tan-gente es la bisectriz exterior de los segmentos PF y PF', donde F y F' son los focos.
3x2+4y2=488 x y16 12
12 2+ =
p=(2,3)
c= 4 =2
F=(2,0),F'=(–2,0)
( , ); ( , )'PF PF0 3 4 3– – –= =
RectaPF :x=2
RectaPF' : x y42
3– –+ = →–3x+4y–6=0
Bisectrices:
| | 8 8xx y x
x y
xx y
25
3 4 6 25
3 4 6
25
3 4 6–
– – –– –
– –– –
=+ =
+
=+
Z
[
\
]]
]]
8x x yx x y
x yx y
5 10 3 4 65 10 3 4 6
8 4 4 02 4 16 0
– – –– –
– ––
= += +
=+ =
* *
Larectapedidaes:8x–4y–4=0
2 4
–4
–2
2
4
–2–4
Y
X
76 Halla la ecuación de la tangente a la hipérbola x y16 9
1–2 2
= en el punto P, de abscisa x = 5.
Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz de los segmentos PF y PF', donde F y F' son los focos de la hipérbola (elige la bisectriz adecuada).
x y16 9
1–2 2
=
,8y
y y1625
91
49
49– –
2= = =
Haydospuntosenlahipérbolaconabscisa5.
HallamoslatangenteenP= ,549c m,latangenteenP= ,5
49–c meslasimétricarespectodelejeOX.
P= ,549c m
c=5
PF=(5,0);F'=(–5,0)
, ; ,'PF PF049 10
49– – –= =c cm m=(40,9)
RectaPF:x=5
RectaPF': x y405
9–+ = 8–9x+40y–45=0
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
52
Matemáticas I
Bisectrices:
|x–5|=
8 8x y x
x y
xx y81 1600
9 40 45 541
9 40 45
541
9 40 45– – –
– –
– –– –+
+ =+
=+
Z
[
\
]]
]]
8 8x x y
x x yx yx y
41 205 9 40 4541 205 9 40 45
5 4 16 032 40 250 0
– – –– – –
– –– –
= ++ = +
==
* *
Larectapedidaes:5x–4y–16=0
LatangenteenP= ,549–c mesy+
49 =–
45 (x–5)
2
–2
2
4
–4
–2–4–6 4 6 8 X
Y
77 Halla la tangente a la parábola y 2 = 12x en el punto P(3, 6). Usa el hecho de que la tangente es la bisectriz del ángulo formado por PF, donde F es el foco, y la recta perpendicular por P a la directriz.
y2=12xV=(0,0)p=6Parábolahacialaderecha.F=(3,0)d:x=–3P = (3,6)PF =(0,–6)=–6(0,1)RectaPF:x=3RectaperpendicularadquepasaporP:y=6Bisectrices:
|x–3|=|y–6|8 8x yx y
x yx y
3 63 6
3 09 0
– –– –
––
== +
+ =+ =
* *
Larectapedidaesx–y+3=0
–2 2 4 6
–2
2
4
6
8
X
Y
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
53
Matemáticas I
78 El cometa Halley describe una órbita elíptica, estando el Sol en uno de sus focos, de excentrici-dad 0,96657. Si su distancia mínima al Sol (perihelio) es de 0,6 UA, calcula cuál es la máxima (afelio).Recuerdaque1UA(unidadastronómica)esladistanciamediaentrelaTierrayelSol.
Focos:Sol,F
dist(Halley,Sol)+dist(Halley,F)=2a
e=ac =0,966578c=0,96657a
LuegoladistanciamínimasealcanzacuandoelcometaestáenelvérticecorrespondientealfocodelSolyes: a–c=0,6
,
,a cc a
0 60 96657
– ==* 8a=17,946,c=17,348
LadistanciamáximasealcanzacuandolaTierraestáenelvérticeopuestoalfocodelSolyes:
2a–0,6=2·17,948–0,6=35,296UA
79 LaTierradescribeunaórbitaelíptica,estandoelSolenunodesusfocos.Enestatrayectoria,ladistanciamínimaTierra-Solesde147095248km,ylamáximaesde152100492 km.Calculala excentricidad de la órbita e interpreta el resultado obtenido.
Focos:Sol,F
dist mínima+dist máxima=2a
dist(Tierra,Sol)+dist(Tierra,F)=2a
147095248+152100492=2a8a=1,4960·108
LadistanciamínimasealcanzacuandolaTierraestáenelvérticecorrespondientealfocodelSolyes:
a–c=147095248
1,4960·108–c=1470952488c=2,5048·106
e=, ·, ·
ac
1 4960 102 5048 10
8
6= =1,6743·10–2=0,0167
Comolaexcentricidadesmuypequeña,laórbitaescasiunacircunferencia.
BACHILLERATOUnidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
54
Matemáticas I
80 Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que están a continuación:
a) x 2 + 4y 2 = 4 b) x 2 + y 2 = 9
c) y 2 – 9x 2 = 9 d) 2xy = 1
e) x y9 16
12 2
+ = f ) x y9
0–2
=
g) x y4
1–2 2 = h) y 2 = 2(x – 1)
i) x y25 9
02 2
+ = j) ( ) ( )x y41 1 1– –
22+ =
a)VII
b)III
c)V
d)X
e)IV
f )VI
g)II
h)VIII
i)IX
j)I
IVIII
VIII
VI
II
V
IX X
I
VII
Página 241
Cuestiones teóricas
81 ¿Qué tienen en común todas estas circunferencias?:
(x – 1)2 + ( y – 1)2 = 1
(x + 3)2 + ( y – 3)2 = 9
(x – 2)2 + ( y + 2)2 = 4
(x + 5)2 + ( y + 5)2 = 25
TodassontangentesalosejesdecoordenadasporquelascoordenadasdeOsonigualesenvalorab-solutoysuvalorabsolutocoincideconelvalordelradio:
dist(O,OX)=dist(O,OY)=r