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Instituto Tecnológico de Costa Rica
Escuela Ingeniería en Electrónica
Curso: Métodos Numéricos
Método de Bairstow
Profesor:Ing. Marvin Hernández C
II Semestre 2008
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Agenda
INTRODUCCIÓN PRESENTACIÓN DEL MÉTODO CARACTERÍSTICAS EJEMPLOS
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INTRODUCCION
El método de Bairstow es utilizado para encontrar las n-raíces de un polinomio. El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con los métodos de Müller y Newton-Raphson.
Es importante que recuerde la forma factorizada de un polinomio:
)2)(3)(5)(4)(1()(5 xxxxxxf
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Método de Bairstow
El método de Bairstow es un proceso iterativo relacionado aproximadamente con los métodos de Müller y Newton-Raphson
)2)(3)(5)(4)(1()(5 xxxxxxf
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Se basa en…
Por lo general en esta aproximación el proceso matemático depende de dividir el polinomio entre un factor. Por ejemplo, el polinomio general
nnn xaxaxaaxf ...)( 2
210
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Puede dividirse entre un factor para producir un segundo polinomio que dé un orden más bajo, con un residuo , donde los coeficientes son calculados por la relación de recurrencia.
21
11
iiii
nnn
nn
sbrbab
rbab
ab
2ni
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Bairstow muestra que las derivadas parciales pueden obtenerse por división sintética de las b en forma similar al camino en el cual las b en sí mismas fueron derivadas:
21
11
iiii
nnn
nn
scrcbc
rcbc
bc
2ni
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Entonces, las derivadas parciales se obtienen por división sintética de las b. Así, las derivadas pueden sustituirse en las ecuaciones anteriores junto con las b para dar:
021
132
bscrc
bscrc
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Para mejorar los valores iniciales de r y s, en cada paso, el error aproximado en r y s puede ser estimado como en:
%100
%100
,
,
s
s
y
r
r
sa
ra
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Cuando ambos errores estimados fallan bajo un criterio especificado de paro, , los valores de las raíces pueden determinarse como:
2
42 srrx
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Ejemplos: Ejercicio 7.5 a Chapra, Canale
Tenemos que f(x) =0,7x^3-4x^2+6,2x-2
Obtenemos como solución tres valores de raíces
x1=0.4357, x2=2.0 y x3= 3.278
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Tabla de Valores
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Obteniendo finalmente un acercamiento a los valores de raíces:
x1= 1.999 x2= 0.4357 x3 = 3,278
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Ejercicio 7.3(Chapra, Canale)Tenemos que
f(x)=x^5-(3.5)x^4+(2.75)x^3+(2.125)x^2+(3.875)x+1.25
Averiguando R y S después de 4 iteraciones se obtiene que:
εa,r =55.23% εa,r =824.1 %
x1=0.5 y x2=-1
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Quedando como cociente el polinomio:f(x)=x^3-4x^2+(5.25)x-2.5
Utilizando el mismo método después de cinco iteraciones:
x3=1+0.499i x4=1-0.499i
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Ahora el cociente es un polinomio de primer grado que puede ser directamente evaluado para determinar la quinta raíz:
x5= 2
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Ejercicio 7.5 (Chapra, Canale)b) Utilizando:
para determinar los valores de b.Con
32 704.33.1697.2134.9)( xxxxf
nnn
nn
rbab
ab
11 nnn
nn
rcbc
bc
11
5.0
2
s
r
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34.997.213.16704.3)( 23 xxxxf
226.0892.85.0334.2234.9
334.2704.35.0892.8297.21
892.8704.323.16
704.3
0
1
2
3
b
b
b
b
3346.2704.35.0484.12334.2
484.1704.32892.8
704.3
1
2
3
c
c
c
Reacomodando la ecuación:
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Obteniendo el y el :
Resolviendo el sistema:
r s
334.2334.2484.1132
sr
bscrc
226.0484.1334.2021
sr
bscrc
5752.1
9047.0
s
r
0752.25752.15.0
0953.19047.02
s
r
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Asi podemos obtener el % de error
100*, rr
E ra
100*, s
sE sa
%9.75,saE%6.82, raE
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Aplicado a una segunda iteración:
05.2
179.0
r
r
08.1
042.0
s
s
Aplicado a una tercera iteración:
096.1
0165.0
s
s
103.2
053.0
r
r
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Iteración r Δr s Δs
1 1.0953 -0.9047 -2.0752 -1.5752
2 2.05 -0.179 -1.08 -0.042
3 2.103 -0.053 -1.096 -0.0165
Tabla 1. Valores de r,Δr, s y Δs
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Asi las raíces son:
29.22
4
1
2
1
x
srrx
14956.1
29.2
3
2
x
x