Instituto Superior Tecnológico

’Euro Americano’Tema: Capitulo III Gran Ville.

Autor: Rystov Leonel Morán Armijos.Facultad: Informática y Networking.

Introducción 3 Incrementos

4 Comparación de incrementos

5 Derivadas de una función de la variable

7 Funciones derivables

8 Interpretación geométrica de la derivadas

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Capitulo IIÍndice

En este capítulo vamos a investigar cómo

varía el valor de una función al variar el independiente. El problema fundamental del cálculo diferencial es el de establecer con todas precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de una índole, problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continúa.

Introducción

El incrementos de una variable que pasa de un valor

numérico a otro e la diferencia que se obtienen restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el símbolo de ∆x, que se lee “delta de x“. El estudiante no debe leer este símbolo “delta veces x”.

Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo ** según que la variables sumamente o disminuya al cambiar del valor así mismo.

Incrementos

(l) y=x2

Supongamos que x tiene un valor fijo y le damos después un incremento ∆x. Entonces y tomará un incremento correspondiente ∆y, y tendremos

  si el valor de x es 4, es claro (art 16) que

Observemos con cuidado la tabla de cómo se comportan, los incrementos de y de y cuando el incremento de x decrece.

Comparación de incrementos

La definición fundamental de cálculo diferencial es la siguiente: La derivada * de una función es el límite de la razón de incremento de la

función al incremento de la Variable independiente. Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivada. La función puede darse mediante símbolos como la que vemos a

continuación y=f(x)

Símbolos para representar las derivadas Puesto que ∆y y ∆x son siempre canidaades y tienen valores definidos,

la espresiones. ∆y ___ ∆x

Es una verdadera fración . Pero el símbolo. Dy ---- Dx

Ha de mirarse no como una fración, sino como el valor límite de una fración

Derivadas de una función de la variable

De la teoría de los límites se deduce que si existe la derivadas de una función para

cierto valor de la variable independiente, la función misma debe ser continua para aquel valor de la variables. Sin embargo, la reciproca no es siempre cierta: se han descubierto funciones que son continuas y, a pesar de eso, no tiene derivadas.

Reglas general para derivación Según la definición de la derivadas se puede ver que

el procedimiento para derivar una función y=f(x) comprende los siguientes pasos:

Reglas general para la derivación

Primer paso. Se sustituye en la función y +∆y.

Segundo paso. Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene ∆y (incremento de la función).

Tercer paso. Se divide ∆y(incremento de la función) por ∆x(incremento de la variable independiente).

Funciones derivables

Ejemplo

Ahora vamos a considerar un teorema que es

fundamental en todas las aplicaciones del cálcular diferencial a la geometría. Primero es necesario recordar la definición de tangente a una curva en un puno P de la misma. Supongamos una secante que pase por P y un punto próximo Q de la curva. Hagamos que el punto Q se mueva sobre las curvas aproximándose indefinidamente a P, y su posición limite es por definición, la tangente a la curva en P. Consideramos ahora la gráfica de la función f(x) ejemplos.

Interpretación geométrica de la derivadas.

Ejemplo

Cálculo diferencial

Este problema de la tangente llevó a Leibnits* al descubrimiento de cálculo diferencia.

Ejemplo hallar las pendiente de la tangente a la parábola y=x2 en el vértice y en el punto de abscisa x=1/2.

Luego la pendiente de la tangente en el vértice es cero es decir, la tangente es paralela al eje de la x, y en esto caso coincide con el.