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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA
MECÁNICA Y ELÉCTRICA
APLICACIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA
ÓPTIMOS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE
POTENCIA APLICANDO UN SIMULADOR
T E S I S
QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE
INGENIERO ELECTRICISTA
P R E S E N T A
JULIO CÉSAR CARO CHACÓN
A S E S O R E S
DR. JOSÉ ALBERTO GÓMEZ HERNÁNDEZ
DR. CARLOS RAMÍREZ PACHECO
MÉXICO, D.F. 2013
INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUEL,A SUPERIOR DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELECTRICA
UNIDAD PROFESIONAL "ADOLFO LÓPEZ MATEOS"
TEMA DE TESIS
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO ELECTRICISTA
POR LA OPCIÓN DE TITULACIÓN TESIS Y EXAMEN ORAL INDIVIDUAL
DEBERA(N) DESARROLLAR C. JULIO CESAR CARO CHACÓN
"APLICACIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA ÓPTIMOS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA APLICANDO UN SIMULADOR."
DEFINIR LA METODOLOGÍA DE SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA ÓPTIMOS, MEDIANTE EL USO DE UN SIMULADOR.
~ INTRODUCCIÓN.
~ FORMULACIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA ÓPTIMOS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE
POTENCIA.
~ APLICACIÓN DEL SIMULADOR PARA LA SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA ÓPTIMOS.
~ CASOS DE APLICACIÓN.
~ CONCLUSIONES.
MEXICO D.F., 20 DE MARZO DEL 2013
ASESOR
A VID RAMÍREZ ORTIZ EL EPARTAMENTO ACADÉMICO
DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
AGRADECIMIENTOS.
Quiero agradecer a mis asesores, el Dr. José Alberto Gómez Hernández y el Dr.
Carlos Ramírez Pacheco, por su apoyo que ayudaron a concluir de manera
satisfactoria este trabajo y así poder ver concluida una importante página en mi
vida.
Al Dr. José Alberto Gómez Hernández por su guía y amistad, además de la
confianza que tuvo en mí; su apoyo en todo momento y por mostrarme esa gran
calidad y calidez humana con la que cuenta.
A mis padres, Blanca y Gustavo, por estar siempre ahí en los momentos de
alegría, pero sobre todo, en los momentos difíciles y por haber luchado hasta el
final, por nunca haber bajado los brazos en los momentos de adversidad y por
enseñarme que pase lo que pase la familia nunca te abandona y siempre estará
ahí para apoyarte en las buenas y en las malas.
También a mis hermanos, Pedro y Gustavo, que siempre han sido un fuerte motor
para mi superación personal, porque por ellos eh luchado tanto, para mostrarles
que si se puede aunque en muchas ocasiones los momentos de adversidad tratan
de sacarnos de nuestro camino.
A Arizbeth por brindarme su amor y apoyo incondicional siempre, mostrarme que
realmente se pueden alcanzar los objetivos, que el único que puede decidir si se
triunfa o se fracasa en esta vida es uno mismo.
Y no puede faltar el Instituto Politécnico Nacional, por ser la más grande institución
mexicana, y a la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica por
brindarme educación, una carrera y un futuro.
I
ÍNDICE
Simbología y nomenclatura...………………………………………………………..III
Índice de figuras……………………………………………………………………….V
Índice de tablas…………………………………………………………………….…VI
CAPÍTULO I:
Introducción…………………………………………………………………………….1
Estado del arte…..………………………………………………………………….….2
Objetivo…………………………………………………………………………….…...3
Justificación……………………………………………………………………….……3
Alcance…………………………………………………………………………….…...3
CAPÍTULO II: FORMULACIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA
ÓPTIMOS EN SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
Introducción……………………………………………………………………….......4
Formulación de problemas de Flujos de Potencia Óptimos………………….…..4
Variables independientes o de control……………….…………………………….6
Variables dependientes o de estado……………………………………………......7
Restricciones de igualdad y desigualdad….………………………………………..7
Restricciones de igualdad…………………………………………………………....8
Restricciones de desigualdad………………………………………………………..9
Función objetivo………………………………………….…………………………..10
Flujos de Potencia óptimos utilizando método de Newton……………….……...11
Multiplicador de LaGrange…………………………………………………….…….12
Vector gradiente……………………………………………………………….……..15
Condiciones de optimilidad………………………………………………………....15
Costos de operación…………………………………………………………..……..16
II
Costos de generación……………………………………………………………….16
CAPÍTULO III: APLICACIÓN DEL SIMULADOR PSS/E® PARA LA
SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA ÓPTIMOS
Introducción………………………………………………………………………..…18
Utilización y funcionamiento del PSS/E®………………………………………….18
Proceso del simulador PSS/E® para resolver el problema de FPO……………21
Proceso de solución de FPO en PSS/E®…………………………………………24
Caso de estudio……………………………………………………………………...29
Solución de caso de estudio en PSS/E®………………………………………….29
Comparación de resultados…………………………………………………..…….32
CAPÍTULO IV: CASOS DE APLICACIÓN
Introducción…………………………………………………………………………..35
Sistema de 9 nodos..………………………………………………………………..35
Sistema de 30 nodos………………………………………………………………..36
CAPÍTULO V: CONCLUSIONES
Conclusiones…………………………………………………………………………37
REFERENCIAS…………………………………………………………………...38
ANEXO………………………………………………………………………………40
III
SIMBOLOGÍA Y NOMENCLATURA
Potencia activa
Voltaje
Potencia reactiva
Ángulo
( )
Potencia activa inyectada en el nodo k
Potencia activa de carga
Potencia activa de generación
( )
Potencia reactiva inyectada en el nodo k
Potencia reactiva de carga
Potencia reactiva de generación
Voltaje en el nodo k mínimo
Voltaje en el nodo k
Voltaje en el nodo k máximo
Nodos en el sistema
Potencia activa de generación mínimo en el nodo k
Potencia activa de generación en el nodo k
Potencia activ de generación máxima en el nodo k
Nodos de generación
Potencia reactiva de generación mínima en el nodo k
Potencia reactiva de generación en el nodo k
Potencia reactiva de generación máxima en el nodo k
Costo total de generación
Curvas de costo
IV
Potencia activa generada
Coeficientes de costo cuadráticos del generador
( )
Función Lagrangiana
Función objetivo
Multiplicador de LaGrange de igualdad
Multiplicador de LaGrange de desigualdad
( )
Restricciones de igualdad
( )
Restricciones de desigualdad
Matriz W
Matriz Hessiana
Matriz Jacobiana
Número de variables de estado
Incrementos de las variables de estado
Costo incremental de la potencia activa
Costo incremental de la potencia reactiva
Variables de estado y control
Multiplicadores de LaGrange
*.sav
Archivo de flujos
*.sld
Archivo de la red
*.rop
Archivo de Flujos de Potencia Óptimos
( )
Barrera logarítmica
Nuevo valor mínimo
MW
Mega Watt
Mvar
Mega Volt-Ampere reactivo
V
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 3.1 Pantalla de archivo *.sav………………………………………….20
Figura 3.2 Pantalla de archivo *.sld…………………………………………..20
Figura 3.3 Pantalla de archivo *.rop…………………………………………..21
Figura 3.4 Pantalla de tabla de curvas de costos…………………………...21
Figura 3.5 Diagrama de Flujo para solución de FPO……………………….22
Figura 3.6 Funciones de barrera……………………………………………...23
Figura 3.7 Iconos para resolver Flujos de Potencia convencionales……..25
Figura 3.8 Pantalla de opciones para solución de Flujos de Potencia
convencionales……………………………………………………..26
Figura 3.9 Iconos para comenzar solución de FPO………………………...26
Figura 3.10 Cuadro para solución de SEP…………………………………….27
Figura 3.11 Pantalla de opciones de solución de FPO………………………27
Figura 3.12 Comienzo de solución de FPO…………………………………...28
Figura 3.13 Pantalla de resultados obtenidos por PSS/E®…………………..28
Figura 3.14 SEP de 5 nodos bajo estudio……………………………………..30
Figura 3.15 Resultados de Flujos de Potencia vistos desde PSS/E®………32
Figura 3.16 Resultados de FPO vistos desde PSS/E®………………………33
Figura 3.17 Pantalla de archivo *.sld sistema de 5 nodos resuelto por Flujos
de Potencia…………………………………………………………33
VI
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 2.1 Tipos de nodos…………………………………………………….….5
Tabla 3.1 Límites e información nodal para el sistema de 5 nodos……….31
Tabla 3.2
Límites de generación de potencia activa y solución para FPO de sistema de 5-nodos………………………………………………....31
Tabla 3.3
Límites de generación de potencia reactiva y de solución óptima para caso de 5 nodos…………………………………………….…31
Tabla 3.4
Sumario de la solución de FPO para caso de 5 nodos………....31
Tabla 3.5
Diferencias entre los resultados de FPO y los Flujos de Potencia convencionales………………………………………………………34
Tabla 4.1
Datos de la solución de FPO para sistema de 9 nodos………...35
Tabla 4.2
Datos de la solución de FPO para el sistema de 30 nodos…….36
Tabla A1
Número de nodos y componentes del sistema………………….38
Tabla A.2
Líneas de Transmisión……………………………………………..38
Tabla A.3
Cargas………………………………………………………………..38
Tabla A.4
Límites de voltaje……………………………………………………38
Tabla A.5
Generadores…………………………………………………………39
Tabla B.1
Número de nodos y componentes………………………………...39
Tabla B.2
Generadores…………………………………………………………39
Tabla B.3
Líneas de transmisión………………………………………………39
Tabla B.4
Cargas………………………………………………………………...40
Tabla B.5
Límites de voltaje……………………………………………………40
Tabla C.1
Número de nodos y componentes…………………………………40
Tabla C.2
Transformadores…………………………………………………….40
VII
Tabla C.3
Límites de voltaje……………………………………………………40
Tabla C.4
Líneas de transmisión………………………………………………41
Tabla C.5
Generadores…………………………………………………………42
Tabla C.6
Cargas………………………………………………………………...42
Tabla C.7
Compensadores Shunt……………………………………………..43
1
CAPÍTULO I
1.1 INTRODUCCION Un aspecto importante a considerar dentro de los sistemas de potencia es el Despacho Económico. Utilizando la metodología de Flujos de Potencia Óptimos (FPO) se logra controlar y operar satisfactoriamente el sistema, manteniendo la potencia activa dentro de sus límites y a los voltajes nodales en un perfil adecuado [1]. Para poder conocer los valores de voltaje y de potencia reactiva dentro de un sistema de potencia se utiliza la metodología de flujos de potencia, donde por lo general la potencia generada es igual a la suma de la demanda de la carga y las pérdidas. En un sistema interconectado, el objetivo principal es conocer las potencias reales y reactivas de cada generador para así minimizar los costos de operación; esto significa que dentro del sistema habrá ciertas restricciones con las cuales se podrá alimentar de manera satisfactoria las cargas del sistema con el mínimo de costo de combustible. A esto es a lo que se le llama Flujos de Potencia Óptimos. En los FPO se minimiza una función objetivo mientras se mantenga un diseño aceptable del sistema en términos de límites de capacidad de generación. Estas funciones objetivo se conocen como funciones de costos [2]. Actualmente existen programas computacionales de flujos de potencia óptimos, que a diferencia de los flujos convencionales, sugieren ajustes en las variables de control para satisfacer las restricciones de operación impuestas en el sistema [3]. Existen diferentes simuladores que se utilizan para el análisis de FPO. En este trabajo se utiliza el programa de uso comercial PSS/E® (PowerSystem Simulator/ Engineering) para realizar estudios de FPO orientado a conocer el Despacho Económico de los casos en cuestión y así concluir este trabajo.
2
1.2 ESTADO DEL ARTE
Una aplicación clásica a los sistemas eléctricos de potencia de los métodos de
optimización es el Despacho Económico, el cual empezó a desarrollarse en los
años 20’s [4]. El problema al inicio fue sencillo, debido a que solo se incluían
límites superiores e inferiores de generación de las máquinas, resultando que
debieran operar al mismo costo incremental; pero en los años 50’s se
introdujeron las pérdidas eléctricas de la red, gracias a esto el modelo se
mejoró considerablemente.
Al inicio de los 60’s aparecieron métodos más complejos desarrollados
principalmente por Carpentier, cuya contribución importante fue la de
considerar una base matemática sólida el cual fue el teorema de Khun y Tucker
[5]. Los métodos no requerían de la fórmula de las pérdidas eléctricas al poder
incluir un modelo exacto de la red. Estos modelos recibieron el nombre de
flujos de potencia óptimos, debido a que la solución del problema da el menor
costo de operación instantáneo del sistema de transmisión así como
restricciones de desigualdad impuestas por límites de operación prefijados.
A finales de los 60’s Dommel y Tinney hicieron una extensión del estudio
solucionado por el método de Newton al problema de Flujos de Potencia
Óptimos [6], donde después aparecieron publicaciones que utilizan técnicas de
programación no-lineal para aplicarla al mismo problema.
Posteriormente aparecieron métodos que utilizan programación lineal al
descubrirse que los flujos de potencia activa pueden linealizarse con buena
exactitud para determinadas condiciones de operación extendiéndose su
aplicación a problemas de potencia reactiva como un problema de
programación sujeto a restricciones de igualdad y desigualdad [7].
3
1.3 OBJETIVO
Definir la metodología de solución de FPO, mediante el uso del simulador
PSS/E®, estableciendo los parámetros necesarios para aplicarse en cualquier
problema de minimización de costos de operación de un Sistema Eléctrico de
Potencia (SEP).
1.4 JUSTIFICACIÓN
Un aspecto importante a considerar en la operación de los Sistemas Eléctricos
de Potencia es la economía. Por lo cual se deben utilizar las diferentes
herramientas al alcance para analizar de mejor manera al sistema, para lograr
minimizar los costos de operación. En este trabajo se utiliza la metodología de
FPO para lograr este objetivo con ayuda del simulador de uso comercial
PSS/E®.
1.5 ALCANCE
La metodología presentada en este trabajo ayudará a comprender la solución
del problema que representa la optimización de los flujos de potencia en el cual
un punto primordial es el de minimizar los costos de producción para
suministrar la demanda de la carga mientras que se mantiene la seguridad del
sistema. Esta metodología se apoyará en el software de uso comercial PSS/E®.
En el Capítulo II se presenta el modelo matemático y la metodología utilizada
para resolver el problema de FPO, el cual uno de los aspectos primordiales
dentro de su solución es la resolución del problema del Despacho Económico
en los SEP’s.
En el Capítulo III se presenta la aplicación del simulador PSS/E® y los archivos
donde se introducen los datos del estudio de FPO. También se utiliza un
sistema de 5 nodos para ilustrar el funcionamiento del simulador para comparar
los resultados de este contra los descritos por la literatura.
En el Capítulo IV se empieza a trabajar con casos por medio del simulador
PSS/E® y analizar los resultados obtenidos para llegar a la conclusión, es decir,
si es factible utilizar el simulador y además que tanto ayuda minimizar el factor
económico en un SEP.
En el Capítulo V se presentan las conclusiones de este trabajo.
4
CAPÍTULO II
INTRODUCCIÓN
En este Capítulo se presenta de forma general la formulación del problema de
FPO; para el cual en primera instancia se deben establecer las condiciones
iniciales para realizar la formulación anteriormente mencionada. Estos son los
tipos de nodos, las variables dependientes e independientes, las restricciones
de igualdad y desigualdad y una función objetivo, la cual en este trabajo es
minimizar los costos de generación mediante una ecuación de curva de costo
cuadrática. Las restricciones de igualdad se deben a las ecuaciones de balance
de potencia activa y reactiva, mientras que las restricciones de desigualdad
corresponden a los límites de las variables de estado y funciones dependientes
de dichas variables.
Existen diferentes métodos para la solución de FPO como son el método
desacoplado, pero para este trabajo se utiliza el método de Newton ya que es
un método muy completo, rápido y eficiente.
La formulación presentada consiste en obtener la función Lagrangiana del
sistema, la cual está compuesta por la función objetivo y las restricciones del
sistema; las cuales deben cumplir ciertas condiciones para un mínimo valor de
restricciones. El Problema de FPO se reduce hasta llegar a una matriz llamada
“W” la cual está formada por matrices Hessiana y Jacobiana.
2. 1 FORMULACIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA ÓPTIMOS EN
SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA
El costo de generación de energía eléctrica es un factor muy importante para
los encargados de generación energía. En la actualidad, para llevar acabo la
planeación y control de un sistema eléctrico, se utiliza como herramienta básica
el análisis de Flujos de Potencia. Este análisis no permite la consideración
directa de aspectos de seguridad del sistema, como podrían ser los límites de
transmisión de una línea. Además, no incluye el análisis de aspectos
económicos, tal como puede ser el costo de generación de potencia activa, el
análisis de FPO sí permite considerar aspectos de seguridad y económicos del
sistema, por lo cual, resulta una herramienta atractiva para los encargados de
la generación de energía eléctrica [8].
5
El análisis de FPO se considera como un problema de Optimización Estático no
lineal con restricciones, el cual puede resolverse por el método de Newton.
La metodología de los FPO es fundamental para la planeación, operación y
control de un SEP, ya que esta metodología proporciona las condiciones
iníciales y la solución del problema de Despacho Económico.
Un estudio de FPO es la solución del conjunto de ecuaciones algebraicas que
representan las condiciones en un estado estacionario de un SEP; además se
representan las relaciones no lineales entre voltajes y corrientes en cada nodo.
La información disponible para efectuar este estudio se da con nodos de
algunos de los siguientes tipos, en los cuales se involucran cuatro variables las
cuales pueden ser el voltaje de fase, ángulo ó la potencia real y potencia
reactiva [3]. Ver Tabla 2.1.
1.- Nodo compensador (slack ó swing): Este nodo es empleado como nodo de
referencia.En este tipo de nodo se especifica la magnitud del voltaje en por
unidad (p.u.) y el ángulo de fase.
2.- Nodo de generación: Este nodo especifica la potencia real generada y la
magnitud de voltaje en p.u.
3.- Nodo de carga: Este nodo especifica la potencia real y reactiva de las
cargas de un SEP.
Tabla 2.1.- Tipos de nodos
TIPOS DE NODO VARIABLES CONOCIDAS INCÓGNITAS
Compensador
Carga
Generación
Considerando las características eléctricas de cada nodo, es posible
especificar dos variables para tener un número de ecuaciones igual al número
de incógnitas para resolverlas por un método numérico adecuado.
Además, en los problemas de optimización se pueden definir dos tipos de
variables:
- Independientes ó de control
- Variables dependientes ó de estado
6
2.2.1 VARIABLES INDEPENDIENTES O DE CONTROL
Las variables independientes o de control son aquellas que pueden ajustarse al
valor deseado por operadores del equipo eléctrico, como por ejemplo, los
voltajes y las potencias activas generadas en las en las centrales eléctricas.
Ejemplos de estas variables son la generación de potencia activa y reactiva,
Tap’s y magnitudes de voltaje de los generadores, compensadores síncronos,
compensadores estáticos de VAR.
Las variables de control a utilizar se definen en la formulación del problema de
FPO. Por ejemplo, en la minimización del costo de generación de potencia
activa, se puede tomar como variables de control a la potencia generada en
algunos generadores del sistema.
Las variables de control en el problema de FPO son controles globales
independientes, es decir, todos los controles definidos se ajustan para
minimizar la función objetivo global y satisfacer todas las restricciones.
En el análisis de FPO se denominan funciones de control aquellas funciones
dependientes de las variables de control, estas funciones pueden manipularse
para llevar a cabo la minimización de la función objetivo.
Las funciones de control adquieren valores dentro de sus límites, dichos
valores se determinan durante el proceso de solución del análisis.
El problema de FPO puede formularse de tal manera que la generación de
potencia reactiva puede considerarse como función de control, ya que depende
de los voltajes nodales, pero a la vez mediante esta se puede controlar la
magnitud de los mismos [9].
La rapidez con la que se obtiene la solución del problema de FPO, depende de
la cantidad de variables de control seleccionadas para el análisis. Un número
pequeño de variables de control simplifica el estudio y la solución se obtiene en
una menor cantidad de iteraciones [10].
7
2.2.2 VARIABLES DEPENDIENTES O DE ESTADO
Las variables dependientes o de estado, son aquellas variables que dependen
de las variables de control. Todas aquellas variables que no son definidas
como variables de control en el problema de FPO, son clasificadas como
variables dependientes. La potencia de carga del sistema no se considera
como una variable de ningún tipo, esta debe definirse al principio de la solución
del problema de FPO.
El estado estable del sistema está determinado por los valores de las variables
de control y estado. En la solución del problema de FPO, todas las variables de
estado pueden tomar valores dentro de sus límites preestablecidos. Ejemplos
de este tipo de variables son el ángulo del voltaje en todos los nodos del
sistema (excepto en el nodo compensador), magnitud de voltaje en los nodos
de carga, potencia reactiva en todos los nodos de generación, flujos de
potencia activa y reactiva en las líneas de transmisión y transformadores [10].
2.2.3 RESTRICCIONES DE IGUALDAD Y DESIGUALDAD
El análisis de FPO considerado en esta tesis determina el estado estable del
sistema, para el cual se minimiza el costo de generación de potencia activa,
satisfaciendo a la vez las restricciones preestablecidas del sistema. El estudio
de FPO se considera como un problema de programación estático no lineal
multi-variable con restricciones, cuya función objetivo es la suma de las
funciones de costo de generación de potencia activa de los generadores del
sistema. Las restricciones son de dos tipos; igualdad y desigualdad. Las
primeras están dadas por las ecuaciones de balance de potencia, mientras que
las segundas se deben a límites físicos y operativos de los elementos que
componen el sistema.
Para la solución del análisis de FPO, las restricciones de igualdad deben
satisfacerse incondicionalmente. Cuando una o más restricciones de
desigualdad violan cualquiera de sus límites, estas se convierten en
restricciones de igualdad, por lo tanto también deben ser satisfechas
incondicionalmente para la solución óptima. Las restricciones se describen de
la manera siguiente [9]:
- Igualdad ( )
- Desigualdad ( )
8
Existen casos en los que la solución del estudio FPO no es factible, lo cual se
debe a que alguna restricción no se satisface, entonces se dice que el
problema de FPO no tiene solución.
En el análisis de FPO, la potencia programada para cada unidad generadora
depende de los límites de generación de la misma, de las variables de estado
del sistema, así como de la función de costo de la unidad generadora.
La función objetivo puede ser de tipo económico, seguridad o aspectos
ambientales. En este trabajo se considera que la función objetivo es de tipo
económica, dado que se trata de minimizar el costo total de generación en un
SEP.
Las restricciones son debidas a las leyes físicas que rigen la generación de
energía, disponibilidad de elementos de transmisión, límites de operación de
los dispositivos y estrategias de operación.
El problema es de naturaleza dinámica, sin embargo, se modela y resuelve
como un problema de programación no lineal multi-variable estático, debido a
que en los centros de control de un sistema eléctrico, las acciones de control
del sistema no se deben ejecutar con demasiada rapidez, debido a la
capacidad de respuesta de los diferentes tipos de unidades de generación de
potencia y de esta manera no afectar la estabilidad del sistema [11].
2.2.4 RESTRICCIONES DE IGUALDAD
Las restricciones de igualdad están dadas por las ecuaciones de balance de
potencia enestado estable del sistema eléctrico. Estas restricciones se deben
satisfacer incondicionalmente para la solución factible de FPO, ya que dichas
restricciones establecen el balance energético en todos y cada uno de los
nodos del sistema. Si alguna de estas restricciones no se cumple la solución de
FPO no es factible [10].
Las restricciones de igualdad relacionan las variables de control y estado,
dichas restricciones están representadas por ecuaciones de balance de
potencia,
( )
2.1
( ) 2.2
9
Donde es el nodo en el cual se establecen las ecuaciones de balance de
potencia, ( ) y
( ) son la potencia activa y reactiva total inyectada
al nodo, respectivamente. y son la potencia de carga activa y reactiva,
respectivamente. y son la potencia activa y reactiva generada,
respectivamente.
Las ecuaciones de flujo de potencia son no lineales, por consecuencia las
restricciones de igualdad impuestas por dichas ecuaciones, son no lineales. Sin
embargo, las restricciones de igualdad se introducen en forma linealizada en la
formulación de FPO [8].
2.2.5 RESTRICCIONES DE DESIGUALDAD
En el análisis de FPO, todas las variables de control y la mayoría de las
variables de estado tienen límites superiores e inferiores, estos representan los
límites físicos y operativos de los dispositivos que componen el sistema. En el
problema de FPO, los límites antes mencionados se modelan por medio de
restricciones de desigualdad. Los límites más importantes son los
correspondientes a la generación de potencia activa y magnitud de voltaje de
cada unidad generadora. Si los límites son desconocidos, se pueden utilizar
valores típicos, por ejemplo, el límite mínimo y máximo de la magnitud de
voltaje pueden ser 0.95 y 1.05 p.u., respectivamente.
En el problema de FPO, las restricciones de desigualdad se pueden dividir a su
vez en dos tipos; restricciones de desigualdad a variables y restricciones de
desigualdad a funciones dependientes de variables. Un ejemplo de las
restricciones de desigualdad a variables son los límites de voltajes en todos los
nodos. Las primeras representan los límites de las variables de control y
estado, las segundas representan los límites de funciones dependientes de
variables [10].
A continuación se presentan las restricciones de desigualdad más comunes,
como los límites inferior y superior de la magnitud de voltaje en todos los nodos
del sistema;
2.3
Limites inferior y superior de generación de potencia activa en todos los nodos
degeneración;
2.4
10
Limites inferior y superior de generación de potencia reactiva en todos los
nodos de generación;
2.5
Donde representa en número total de nodos del sistema, índica los
nodos de generación del sistema. El término puede expresarse de la
siguiente manera,
( ) 2.6
A partir de las ecuaciones (2.4) y (2.5) se puede observar que los límites de
potencia reactiva generada se pueden manejar como una restricción a
funciones dependientes de variables. Si debido a la violación de este tipo de
restricciones se presenta una solución de FPO matemáticamente infactible, las
restricciones se pueden relajar en condiciones de emergencia con el fin de
obtener una solución sub-óptima, pero técnicamente factible.
Las restricciones de desigualdad a variables y funciones dependientes de
variables, deben especificarse en el archivo de datos de entrada para el estudio
de FPO. Existen otros tipos de restricciones las cuales no son tratadas en este
trabajo, éstas se refieren a las restricciones de contingencia. Las restricciones
de contingencia no pueden especificarse en los de datos de entrada [9].
2.2.6 FUNCIÓN OBJETIVO
La función objetivo de un problema de optimización es una función escalar de
las variables del sistema y depende de las condiciones de operación deseadas.
La selección de un objetivo para simular un estado especial del sistema, acota
el problema a analizar con el fin de obtener una solución única [10]. La
selección de un objetivo se basa en un estudio de seguridad y económico del
sistema de potencia.
Sin embargo, en la mayoría de los casos la función objetivo del problema de
FPO es la minimización del costo de generación de potencia activa, tal como se
considera en este trabajo. La función objetivo que comúnmente se utiliza para
la formulación de FPO, es el costo de generación de potencia activa. Cuando
se consideran unidades de generación térmicas en el sistema eléctrico, tal
como se hace en este trabajo, la función objetivo esta descrita por la siguiente
ecuación no lineal de segundo orden,
11
∑
( ) 2.7
Donde es el costo total de generación, es el número total de
generadores, incluyendo al nodo compensador, representa las curvas de
costo del generador , es la potencia activa generada en el generador .
La curva de costo de una unidad térmica es de la forma mostrada por la
siguiente ecuación,
( ) 2.8
Donde , y son los coeficientes de la curva de costo cuadrática del
generador . Es importante mencionar que en la formulación del problema de
FPO la curva de costo del generador compensador, ecuación (2.8), debe
incluirse en la ecuación (2.7). Si no se incluye el generador compensador en el
proceso de optimización, se provoca que este se despache con una gran
cantidad de potencia, mientras que al resto de las unidades se despachan a su
mínima capacidad.
2.3 FLUJOS DE POTENCIA ÓPTIMOS UTILIZANDO EL MÉTODO
DE NEWTON
El estudio de FPO se usa para optimizar las componentes de un SEP y por lo
tanto es importante comprender como se realiza la solución de este problema,
ya que su resultado es la base para poder determinar el problema de despacho
económico. Además, cabe mencionar que el simulador PSS/E® en la
realización del estudio de FPO utiliza el método de Newton para dar solución a
un problema.
Desde el punto de vista matemático; el problema de FPO es un problema de
programación no lineal restringido, cuya función objetivo y restricciones son no
lineales. El primer paso para aplicar el método de Newton a la optimización de
costo de generación es convertir el problema de optimización con restricciones
a un problema de optimización sin restricciones [12]. Lo anterior se logra
formando una función Lagrangiana que describa el problema de optimización.
Las restricciones de desigualdad se consideran inactivas al inicio del proceso
de solución, pero debido a la violación de sus límites, éstas pueden activarse
12
durante dicho proceso convirtiéndose en restricciones de igualdad, ó ser
desactivadas una vez que seencuentran dentro de sus límites.
Debido a lo anterior, las restricciones de igualdad y desigualdad deben
subdividirse a su vez en dos grupos; conjunto activo y conjunto ligado.
En la aplicación del método de Newton al problema de FPO, es necesario
considerar un criterio de convergencia, este criterio se determina en base a las
condiciones óptimas [13].
2.3.1 MULTIPLICADOR DE LAGRANGE
El primer paso para resolver un problema de optimización con restricciones por
el métodode Newton, es convertirlo a un problema de optimización sin
restricciones. Para realizar el paso antes dicho, se construye una función
Lagrangiana expandida a partir de las funciones y restricciones para la solución
de FPO. La función Lagrangiana aumentada se expresa de forma general
como sigue,
( ) ( ) ( ( ) ) 2.9
Donde y son vectores de multiplicadores de LaGrange para las
restricciones de igualdad y desigualdad, respectivamente. es la función
objetivo, ( ) y ( ) son las restricciones de igualdad y desigualdad,
respectivamente; ( ( ) ) es el término de penalización para las restricciones
de desigualdad [14].
En el presente trabajo se considera que cada elemento de un sistema eléctrico
aporta una función Lagrangiana. La función Lagrangiana del sistema eléctrico
entero, está formada por la suma de las funciones Lagrangianas aportadas por
todos los elementos del sistema.
Una vez que se ha formado la función Lagrangiana, la cual está compuesta por
la función objetivo y el conjunto activo, se aplica el método de Newton para
llevar a cabo la minimización del costo de generación de potencia activa. El
problema de FPO se reduce a encontrar el conjunto de variables de control y
estado, así como multiplicadores Lagrangianos, que minimicen la función
objetivo y que a la vez satisfagan las restricciones físicas y operativas del
sistema eléctrico.
13
El problema de FPO puede ser resuelto por el método multiplicador de
LaGrange, el cual provee un aumento en la función de costos por la
introducción de un vector k en de cantidades indeterminadas. La función de
costos sin restricciones se vuelve,
∑
2.10
Entonces las restricciones de igualdad para la solución de FPO utilizando
funciones Lagrangiana queda de la siguiente manera,
∑
2.11
2.12
En el caso de las restricciones desiguales; la función Lagrangiana se extiende y
se introduce un vector- de indeterminadas cantidades. Esta función de
costos sin restricciones se vuelve,
∑
∑
2.13
Las condiciones necesarias resultantes para una mínima restricción de es la
siguiente,
2.14
2.15
2.16
2.17
Una vez que se ha formado la función Lagrangiana, la cual está compuesta por
la función objetivo y el conjunto activo, se aplica el método de Newton para
llevar a cabo la minimización del costo de generación de potencia activa [10].
14
El problema de FPO se reduce aencontrar el conjunto de variables de control y
estado, así como multiplicadores Lagrangianos que minimicen la función
objetivo y que a la vez satisfagan las restricciones físicas y operativas del
sistema eléctrico.
Por lo tanto las ecuaciones utilizadas para la resolución de FPO son las
siguientes:
[ ] [
]
[ ]
2.18
[
]( )
2.19
[ ] 2.20
[ ] 2.21
[ ] 2.22
Donde y son el número de variables de estado y multiplicadores
Lagrangianos, respectivamente. La matriz está formada por las matrices
Hessiana (H) y Jacobiana (J), las cuales a su vez están formadas por las
segundas derivadas parciales de la función Lagrangiana, con respecto a las
variables de control, estado y multiplicadores Lagrangianos. y están
formados por las primeras derivadas parciales de la función Lagrangiana, con
respecto a las variables de estado y multiplicadores Lagrangianos,
respectivamente. y son los incrementos de las variables de estado y
multiplicadores Lagrangianos, respectivamente. , son las variables de
estado. y son los costos incrementales de la potencia activa y reactiva,
respectivamente.
El método de Newton obtiene un solo punto estacionario para el vector
gradiente de la función Lagrangiana igualado a cero. Este punto se obtiene de
la solución iterativa del sistema de ecuaciones algebraicas descrito por la
ecuación (2.18), y depende de las condiciones iníciales dadas a las variables
de control y estado, así como de las condiciones iníciales asignadas a los
multiplicadores Lagrangianos.
El proceso de solución del problema de FPO por el método Newton, es un
proceso iterativo debido a que la función Lagrangiana es no lineal. Dicho
proceso se detiene una vez que se cumplen las condiciones de optimalidad,
15
obteniéndose entonces un punto de equilibrio del vector gradiente de la función
Lagrangiana.
Si las condiciones de optimalidad no se cumplen, como son las restricciones, el
proceso se detiene una vez que se llega al número máximo de iteraciones
permitidas, sin obtenerse solución alguna. La matriz W de la ecuación (2.24)
queda representada de la siguiente manera,
[ ] [
]( )
2.24
A partir de la ecuación (2.24), se puede observar que la matriz W es simétrica.
El bloque inferior derecho es nulo, debido a que las derivadas de la forma
son iguales a cero. La dimensión de la matriz W depende de la
cantidad de restricciones desbalance de potencia, así como de la cantidad de
variables de estado y control consideradas en la función Lagrangiana [10].
2.3.2 EL VECTOR GRADIENTE
Este vector puede ser expresado por la siguiente ecuación [8],
[ ] [
]
2.25
Donde representa las variables de estado y control,
representan los multiplicadores Lagrangianos asociados con las ecuaciones de
balance de potencia activa y reactiva.
El vector gradiente se evalúa en cada paso k del proceso iterativo de solución
con los actualizados de las variables de control, estado y multiplicadores
Lagrangianos, correspondientes a la iteración del proceso de solución.
2.3.3 CONDICIONES DE OPTIMILIDAD
Las condiciones suficientes y necesarias para que la solución ( , ) sea
un punto mínimo local, dependen solo de las propiedades de las matrices
Hessiana y Jacobiana, H y J, respectivamente [9,10,12]. Una de las
propiedades que debe cumplir la matriz Hessiana, es que debe ser definida
positiva. Verificar dicha propiedad, requiere de un gran esfuerzo computacional
16
en sistemas de gran escala, tales como los que se tratan en el problema de
FPO. Entonces la única prueba de optimalidad que se realiza consiste
enverificar que el vector gradiente sea muy aproximado a cero, y que los
multiplicadores Lagrangianos correspondientes a las restricciones de
desigualdad activas pasen la prueba de signos. Las condiciones prácticas de
optimalidad que se deben verificar son las siguientes,
- Las ecuaciones de desviación de potencia activa y reactiva deben
cumplir con la tolerancia especificada.
- Las restricciones de desigualdad deben estar dentro de sus límites.
- El vector gradiente debe ser aproximado a cero.
- La función objetivo se puede reducir adicionalmente solo si se violan
algunas restricciones.
2.4 COSTOS DE OPERACIÓN
Los factores que influyen en la generación de potencia a un mínimo costo son
la eficiencia de los generadores, los costos del combustible y las pérdidas en
líneas de transmisión.
2.4.1 COSTOS DE GENERACIÓN
Los generadores son un componente escencial en los SEP. Los generadores
proveen la potencia activa demandada por el sistema. Además, controlan la
producción y absorción de potencia reactiva con el objetivo de mantener una
magnitud de voltaje fija en sus terminales.
En la mayoría de los casos, la eficiencia de los generadores que están
conectados en una red no garantiza minimizar los costos, dado que puede
estar en un área donde los costos de combustible son muy elevados. Además,
si la planta esta localizada lejos del centro de carga, las pérdidas por
transmisión podrían ser considerablemente altas, y por lo tanto, la planta podría
estar arriba de lo económicamente deseado. Por lo tanto, el problema es
determinar la generación de diferentes plantas para las cuales el costo de
generación total sea mínimo. Los costos de operación juegan un rol importante
en la programación económica de un SEP por lo cual lo anterior será discutido
17
en este apartado.El pocedimiento para incorporar las contribuciones del
generador en FPO esta dada por la función de costos [2],
2.26
Donde es el costo de generación, es la constante de costo de integración,
es el coeficiente del costo lineal, es el coeficiente de costo cuadrático y
es la potencia generada.
Una importante característica se obtiene por graficar la derivada de la curva del
costo de combustible contra la potencia real, esta es conocida como la curva
de costo de combustible incremental,
2.27
Esta ecuación muestra una medición de cómo costear, el cual va a ser para
poder proceder al siguiente incremento de potencia. El costo de operación total
incluye el costo de combustible, el costo de labor, mantenimiento y el de
suministro. Estos costos se asumen a un porcentaje fijo del costo del
combustible y se incluyen generalmente en la curva de costo de combustible
incremental [2].
En este capítulo se explicó el modelo matemático en el cual se basa el
simulador es en el método de Newton para llegar a un resultado, las
ecuaciones del proceso iterativo que utiliza.
En el Capítulo III se presenta la aplicación del simulador PSS/E® y los archivos
donde se introducen los datos del estudio de FPO.
Se utiliza un sistema de 5 nodos para ilustrar el funcionamiento del simulador
para comparar los resultados de este contra los descritos por la literatura.
18
CAPÍTULO III
APLICACIÓN DEL SIMULADOR PSS/E PARA LA
SOLUCIÓN DE FLUJOS DE POTENCIA ÓPTIMOS
3.1 INTRODUCCIÓN
Como se ha mencionado en los capítulos anteriores, se necesita conocer la
metodología de los FPO, en el cual esta implícito el problema del Despacho
Económico.
Para poder iniciar un estudio de FPO en el simulador PSS/E®, es necesario
conocer dónde y cómo se introducen los valores de un SEP en el simulador y
conocer las partes del mismo para posteriormente ejecutar la simulación y
llegar a un resultado. En este capítulo se explica de manera general su manejo
para aplicarse en estudios de FPO y además como se obtienen los valores de
despacho económico.
El simulador utiliza varios métodos para llegar a la solución del problema de
flujos de potencia convencionales, como son el método de Newton-Raphson, el
método Desacoplado Rápido, el método Gauss-Seidel, el método Gauss-Seidel
modificado.
En el caso de FPO se utiliza el método de Newton-Raphson por ser un método
confiable, rápido y efectivo. Como se ha mencionado antes, para emplear este
método es necesario evaluar el Jacobiano, factorizarlo y calcular las
correcciones de variables en cada iteración.
En este capítulo se explica de manera general su manejo para aplicarse en
estudios de FPO y además como se obtienen los valores de despacho
económico.
En los capítulos anteriores se describe la metodología utilizada para la solución
de FPO de manera matemática, en este capítulo, se ve de manera general
como se crea un caso en el simulador PSS/E® para después exponer un caso
de estudio para dar solución por medio del simulador.
19
3.2 UTILIZACIÓN Y FUNCIONAMIENTO DEL SIMULADOR
PSS/E®
El simulador PSS/E® es un paquete de programas para estudios de SEP y del
comportamiento de la generación, tanto en estado estable como en estado
dinámico; además, tiene la capacidad para realizar estudios de flujos de
potencia, análisis de fallas (balanceadas y des balanceadas), simulaciones
dinámicas, simulaciones dinámicas de largo término, etc.
Una de sus características es que es posible manipular datos por áreas, por
kV, por zonas, se puede desconectar y conectar datos a conveniencia, re ruteo
de líneas, manejo de Tap’s y modificar las resistencias además de tener
diferentes tipos de soluciones para los flujos de potencia
convencionales(Gauss-Seidel, Newton-Raphson), hacer análisis de flujos en
corriente directa. Cabe mencionar que para el estudio de Flujos de Potencia
convencionales, el simulador únicamente utiliza valores de la topología, la red
de secuencia positiva y las condiciones del pre disturbio [15,16].
El simulador PSS/E®trabaja por medio de extensiones, los cuales son los
archivos de trabajo con los cuales se guardan los datos que se van
introduciendo en las diferentes pantallas con las que cuenta el simulador. Estas
extensiones son archivos de entrada-salida los cuales pueden ser de tipo *.sav
(archivos de flujos), *.sld (fotografía de la red) y tipo *.rop (datos de FPO) [16].
El archivo *.sav guarda toda la información del SEP a estudiar, con el cual es
posible realizar cálculos de FPO, este a su vez solo contiene información de la
topología del sistema y los datos de los elementos de secuencia positiva.
Por otra parte, el archivo *.sld es la disposición de la red en el terreno donde se
encuentra, y desde aquí se introducen los elementos de la red y sus datos [16].
Los valores y límites de la red pueden ser modificados desde el archivo *.sav ó
*.sld como valores iníciales de los nodos del SEP, valores de reactancia en las
líneas de transmisión, etc.
El archivo *.rop es el archivo que guarda los datos introducidos para la solución
de FPO tales como límites de límites de voltaje, curvas de costo, límites en
líneas de transmisión, etc. [18]. Al abrir el archivo tipo *.sav se pueden
visualizar los valores del SEP bajo estudio, desde los valores de bus, cargas,
los generadores, líneas de transmisión, como se muestra en la Figura 3.1.
20
Figura 3.1 Pantalla de archivo *.sav
Al abrir el archivo *.sld, Figura 3.2, se puede visualizar la topología del SEP
bajo estudio además de sus valores de potencias activas y reactivas de cada
línea de transmisión, los valores de las cargas, el nombre de cada nodo y la
generación,
Figura 3.2 Pantalla de archivo *.sld
Al abrir el archivo *.rop se muestran los valores de despacho de generación en
donde se introducen los valores de generación máxima y mínima de
21
losgeneradores, el tipo de curva de costo y si esta en servicio el generador el
cual se visualiza en la Figura 3.3.,
Figura 3.3 Pantalla de archivo *.rop
Para poder introducir los valores de las curvas de costos es importante
introducirlas en la tabla de datos con la ecuación 2.8, lo cual la pantalla se
muestra en la Figura 3.4.,
Figura 3.4 Pantalla de tabla de curvas de costos
3.2.1 PROCESO DEL SIMULADOR PSS/E® PARA RESOLVER EL
PROBLEMA DE FLUJOS DE POTENCIA ÓPTIMOS
El simulador PSS/E® resuelve el problema de FPO basándose en la solución
matemática del método de Newton como se menciona en el capítulo anterior.
En principio se basa en la función de LaGrange, la cual es construida a partir
de las variables del sistema de potencia y de los multiplicadores de LaGrange
resultando un problema variable dual.Las restricciones de igualdad para una
solución óptima es un punto Lagrangiano estacionario, el cual es determinado
por las ecuaciones de la función gradiente para cero y se resuelven para y .
22
Esta es una condición de optimización de Kuhn-Tucker [16], y el resultado es
puesto simultáneamente en las ecuaciones referidas a la formulación de Kuhn-
Tucker (KT) [5].
La solución óptima para este problema no lineal es buscada por medio del
método de solución de Newton. Entonces, las condiciones estándar de KT
formulan la ecuación W la cual esta formada por las matrices Jacobiana y
Hessiana.La solución para esta ecuación provee la corrección de las dos
variables, x y λ, y resuelve una aproximación cuadrática para el sistema. Estas
correcciones de variables son manejadas por la matriz W mencionada en el
Capítulo II.La solución del algoritmo es iterativa y su proceso de solución esta
indicado en la Figura 3.5.,
INICIO
INICIALIZACIÓN DE
VARIABLES DE ESTADO
DESPACHO ECONÓMICO
BASADO EN COSTO DE
GENERACIÓN INCREMENTAL
IGUAL
PROCESO ITERATIVO
NEWTON
MULTIPLICADORES
DE LAGRANGE
LAS VARIABLES
ESTAN DENTRO DE
LOS LIMITES?
ITER > MAX.?
ITER = ITER + 1
ALTO
NO
NO
SI
SI
NO
Figura 3.5 Diagrama de Flujo para solución de FPO
23
El simulador PSS/E® crea una barrera de límite [16], donde las restricciones
desiguales son rigurosamente forzadas en cada sub-sistema por el aumento
del Lagrangiano, con ayuda de ecuaciones llamadas “funciones de barrera” las
cuales se especifican como x, Xmax, y Xmin, los cuales se muestran en la
siguiente Figura 3.6,
BARRERA LOGARÍTMICA
XMIN Y XMAX
Figura 3.6 Funciones de barrera
Como se muestra en la Figura 3.6, la función no se define por valores de
fuera del rango especificado; así se forma la barrera en donde todas las son
controladas dentro de una región factible.
El problema de optimización es infactible si alguna de las restricciones de
igualdad requiere que viole la región de la barrera.
El simulador PSS/E® emplea una barrera logarítmica de la forma,
( ) ( )∑{ ( ) ( )}
3.1
Basándose en la ecuación 2.24, la cual provee las correcciones de las
variables duales, y , da como resultado que la solución del algoritmo es
iterativa; esto calcula las correcciones y actualiza las variables. El simulador
formula una condición inicial de y creando iteraciones en las cuales se basa
en las siguientes ecuaciones [20],
3.2.a
3.3.b
24
La corrección computarizada, o paso , cuando se suma , determina el
nuevo valor mínimo de la ecuación cuadrática. Desde este nuevo punto de
vista la ecuación cuadrática es desarrollada y un nuevo paso es
computarizado.
Como se aproxima a un punto óptimo no-lineal, el valor mínimo de la
ecuación cuadrática converge para el mínimo requerido para el objetivo
deseado [16].
3.2.2 PROCESO DE SOLUCIÓN DE FPO EN PSS/E®
A continuación se presenta el proceso de solución de Despacho Económico en
el simulador PSS/E®, además el ambiente en el cual el ingeniero se enfrenta en
el momento de intentar conocer los aspectos de su solución.
Una vez que se tienen creados los archivos *.sav, *.rop, *.sld, se procede a
solucionar el problema de FPO, en el cual viene implícito el problema de
Despacho Económico.
Al termino de la introducción de los valores que conforman un SEP en el
simulador, lo siguiente es comenzar a resolver, para esto primero se hará una
corrida para solucionar Flujos de Potencia con el simulador, para esto se
necesita dirigirse a la parte de PowerFlow en el menú principal, Solution, Solve,
[17]
25
Figura 3.7 Iconos para resolver Flujos de Potencia convencionales
Una vez seleccionado la opción Solve aparece un recuadro con las opciones
de solución con las que cuenta el simulador PSS/E®, en el cual se selecciona la
opción de Full Newton, el cual es el proceso más completo para la solución de
Flujos de Potencia, aunque si en algún momento dado su solución no converge
puede seleccionar alguna de las otras opciones para que el sistema tenga
solución, la pantalla aparecen la Figura 3.8 [17],
26
Figura 3.8 Pantalla de opciones para solución de Flujos de Potencia convencionales
Después de haber resuelto el problema de Flujos de Potencia aparecen los
valores del resultado en el archivo *.sld y *.sav, en los cuales se puede dar
cuenta si el sistema converge, es decir, si tiene solución, y enseguida se
procede a dar solución por medio de FPO.
Para resolver por medio de FPO, se selecciona en el menú principal la opción
OPF y a continuación aparece la opción Solve en el cual se pueden seleccionar
las diferentes formas de solucionar el problema y la pantalla como se observa
en la Figura 3.9.
Figura 3.9 Iconos para comenzar solución de FPO
Al seleccionar el ícono Solve aparece un recuadro en el cual se tiene la opción
de cambiar los parámetros de solución al problema de FPO, la pantalla aparece
como se observa en la Figura 3.10 y enseguida se selecciona el icono
Changesolutionparameters,
27
Figura 3.10 Cuadro para solución de SEP
Al hacer uso de este ícono se tiene la opción de cambiar los modos de
selección que da por default el simulador para que el usuario los ajuste a la
manera que mas le convenga, en este caso se da formato de solución para
minimizar los costos de combustible y así llegar a la solución de Despacho
Económico.
A continuación se muestra los pasos a seguir y por que se utilizan los
siguientes íconos en la solución de FPO para llegar a la solución del Despacho
Económico de cualquier SEP.Una vez seleccionado el ícono de Change
solution parameters aparece el siguiente recuadro, Figura 3.11, en el cual en
primera instancia aparece el apartado de Objectives, donde se selecciona la
opción Minimize fuel cost como aparece de la manera siguiente, [17]
Figura 3.11 Pantalla de opciones de solución de FPO
28
La opción Minimize fuel cost hace que el simulador minimice los costos de
combustible de generación, además, el bus compensador del sistema es
declarado automáticamente a pesar de que su generación de potencia activa
se fija a valores iníciales y no se considera como un control disponible.Después
de seleccionar la minimización de combustible se selecciona el ícono Ok y a
continuación vuelve a aparecer el recuadro inicial, Figura 3.12, donde se
selecciona el ícono Go e inmediatamente el simulador comienza a solucionar el
problema de FPO,
Figura 3.12 Comienzo de solución de FPO
También se selecciona All buses para que el simulador tome todos los buses
conectados y no descarte ninguno para llegar a la solución.En seguida el
simulador muestra en la pantalla los resultados de la corrida de FPO y el
resultado de los costos de generación los cuales podemos ver en la pantalla de
Report el cual reporta todos los datos de la corrida de FPO y los resultados
obtenidos tal como se muestra en la Figura 3.13. [17]
Figura 3.13 Pantalla de resultados obtenidos por el simulador PSS/E
®
29
En la pantalla anterior se pueden observar los cambios ocurridos en los voltajes
y ángulos del SEP, para poder visualizar la solución entre Flujos de Potencia
convencionales y FPO.
3.3 CASO DE ESTUDIO
Para ilustrar el método de Newton aplicado a FPO, se presenta un caso de
prueba de 5 nodos para su visualización, cabe decir que este sistema se
puede encontrar en literatura abierta.
Las restricciones de desigualdad consideradas son límites máximos y mínimos
de potencia reactiva y activa de los generadores, y magnitudes nodales
máximos y mínimos. La función objetivo es minimizar los costos de generación.
Los datos de la red, los cuales son también requeridos en flujos de potencia
convencionales son tomados de la referencia [18].
Los datos requeridos adicionales para el proceso de optimización, tales como
curvas de costo de combustible, límites de las variables, fueron dados por
valores típicos los cuales no se encuentran en literatura.
3.3.1 SOLUCIÓN DEL CASO DE ESTUDIO EN PSS/E®
El estado de las variables se inicializa de manera similar al caso de flujos de
potencia, es decir, 1 p.u. para los valores de voltaje y 0 para el valor del ángulo
para todos los nodos. La experiencia de la ingeniería indica que, en la mayoría
de los problemas, la variación en la magnitud de los voltajes y la de los ángulos
desde 1 y 0 en condiciones iníciales son relativamente pequeños, por lo tanto
las variaciones son 0.95 1.05 en el voltaje y el ángulo -15° 15°.
En este apartado se realiza un ejemplo, disponible en literatura abierta [18], de
una red eléctrica de 5 nodos para ejemplificar como se introducen las
componentes de un sistema de potencia utilizando el simulador PSS/E® para
su solución. Los valores de las líneas, generadores y cargas se muestran a
detalle en el Anexo.
Las restricciones de desigualdad consideradas límites de potencia activos y
reactivos, y las magnitudes de voltaje nodales máximos y mínimos.
El objetivo de la función es la minimización del costo de generación de potencia
activa. El problema presentado se resuelve con el simulador de uso comercial
30
PSS/E®, dado que este paquete es altamente factible y utilizado en todo el
mundo.Todas las variables de control para este sistema están dadas en las
Tabla 3.1 mientras que los límites de generación se muestran en la Tabla 3.2.
Estas tablas también muestran las magnitudes de voltaje en cada nodo, los
coeficientes de costo de las unidades generadoras, los límites máximos y
mínimos de potencia activa y reactiva. La Tabla 3.3 muestra el despacho de
potencia activa y reactiva de todos los generadores y su costo de operación.
En la Figura 3.14 se muestra la topografía del sistema bajo estudio, es decir,
como se ve desde el simulador; donde se pueden observar voltajes en los
buses en p.u., la potencia tanto activa como reactiva de los generadores
(círculos), las cargas (triángulos), y las líneas de transmisión donde los signos
negativos indican la recepción de la potencia.
Finalmente, la Tabla 3.4 muestra las cantidades mas importantes que fueron
vistas en los costos de generación de potencia activa para esta red que es de
$747.98 $/hora y las perdidas de potencia activa son 3.05 MW.
Figura 3.14 SEP de 5 nodos bajo estudio
-0.3
-32
.0
-2.0
3.8
-4.9
-2.3
4.9
28
.2
5.1
-27
.7
-7.4
4.4
47
.5
-18
.0
-47
.0
56
.4
8.7
1
80
.4
-18
.3R
1
88
.4
1
45
.0
15
.0
1
5.0
1
60
.0
10
.0
1
20
.0
10
.0
30
.8
-6.5
-5.6
41
.7R
-2.3
0.971
1.000 0.967
32
.9 3ELM
13
.5
40
.0-3
0.2
-14
.7
-7.7
-55
.1
4LAKE
0.971
2SOUTH
1NORTH
14
.8
5MAIN
1.000
31
Tabla 3.1 Límites e información nodal para el sistema de 5 nodos
NODO
LÍMITES DE
VOLTAJE RESULTADOS DE PSS/E
® PROBLEMA DEREFERENCIA
MIN MAX VOLTAJE ÀNGULO p VOLTAJE ÁNGULO p
(p.u.) (p.u.) (p.u.) GRADOS $/MW-HR (p.u.) GRADOS $/MW-HR
NORTH 1.5 0.9 1.1096 0.00 4.0412 1.1096 0.00 4.0412
SOUTH 1.1 0.9 1.100 -1.31 4.1032 1.100 -1.31 4.1032
ELM 1.1 0.9 1.0726 -4.42 4.2232 1.0726 -4.42 4.2232
LAKE 1.1 0.9 1.0784 -3.62 4.2341 1.0784 -3.62 4.2341
MAIN 1.1 0.9 1.0779 -3.85 4.2639 1.0779 -3.85 4.2639
Tabla 3.2 Límites de generación de potencia activa y solución para FPO de sistema de 5-
nodos
NODO
COEFICIENTE DE COSTOS LÍMITES DE
POTENCIA PSS/E
® FPO
MIN MAX
($/hr) ($/MWhr) ($/MW²hr) (MW) (MW) (MW) (MW)
NORTH 60.0 3.40 0.004 30.00 200.00 87.90 87.90
SOUTH 60.0 3.40 0.004 30.00 200.00 80.15 80.15
Tabla 3.3 Límites de generación de potencia reactiva y de solución óptima para caso de 5
nodos
NODO
LÍMITES DE POTENCIA
REACTIVA PSS/E
® REFERENCIA
MIN MAX
(MVAr) (MVAr) (MVAr) (MVAr)
SOUTH -300 300 14.41 14.41
NORTH -300 300 0.3 0.3
Tabla 3.4 Sumario de la solución de FPO para caso de 5 nodos
RESULTADOS PSS/E® REFERENCIA
Costo de generación de potencia activa ($/hr) 747.98 747.98
Pérdidas de potencia activa (MW) 3.05 3.05
Generación de potencia activa (MW) 168.05 168.05
Generación de potencia reactiva (MVAr) 14.7 14.7
32
3.3.2 COMPARACIÓN DE RESULTADOS
En esta parte se hace la comparación entre el resultado dado por Flujos de
Potencia convencionales y FPO, mismos resultados que se obtuvieron por
medio del simulador PSS/E®.
Los resultados de las magnitudes de los voltajes NORTH y SOUTH fueron 1.0
p.u. en la solución de flujos, mientras que estos mismos nodos tuvieron valores
de 1.1096 p.u. y 1.100 respectivamente, y la potencia activa generada por el
nodo SOUTH fue asumida igual a 40 MW para flujos convencionales.
La red y los resultados de Flujos de Potencia convencionales se muestran a
continuación, además de los voltajes nodales dados en la Figura 3.15, Figura
3.16 y Figura 3.17.
Figura 3.15Resultados de Flujos de Potencia por el simulador PSS/E
®
En la Figura 3.16 se muestran los valores de voltajes dados en p.u. y los
ángulos obtenidos por medio de la solución de FPO los cuales se presentan
por nodo,
33
Figura 3.16 Resultados de FPO por medio del simulador PSS/E
®
En la Figura 3.17 se muestra la topología del sistema de 5 nodos dando la
solución de Flujos de Potencia convencionales dadas por el archivo *.sld
Figura 3.17 Pantalla de archivo *.sld sistema de 5 nodos resuelto por Flujos de Potencia
-2.0
-39
.3
1.1
5.5
-6.2
-1.8
6.3
24
.8
6.2
-24
.4
-8.9
5.3
89
.7
-30
.0
-87
.9
55
.0
9.1
1
13
0.3
-32
.0R
1
40
.0
1
45
.0
15
.0
1
5.0
1
60
.0
10
.0
1
20
.0
10
.0
28
.1
-7.6
-7.2
59
.8R
-2.80.971
1.000 1.000 0.967
40
.6 3ELM
29
.2
40
.0-2
7.6
-18
.7
-8.2
-53
.8
4LAKE
0.971
2SOUTH
1NORTH
18
.7
5MAIN
34
En la Tabla 3.5 se muestran los resultados de Despacho Económico dados por
el simulador PSS/E®, aquí se puede ver como se optimiza desde las pérdidas
hasta los costos de generación.
Tabla 3.5 Diferencias entre los resultados de FPO y los Flujos de Potencia
convencionales
RESULTADOS FLUJOS FPO
Costo de generación de potencia activa ($/hr) 776.99 747.98
Pérdidas de potencia activa (MW) 6.122 3.05
Generación de potencia activa (MW) 171.12 168.05
Generación de potencia reactiva (MVAr) 29.22 14.7
En el Capítulo IV se empieza a trabajar con casos por medio del simulador
PSS/E® y analizar los resultados obtenidos para llegar a la conclusión, es decir,
si es factible utilizar el simulador y además que tanto ayuda minimizar el factor
económico en un SEP.
Los casos de estudio presentados en el capítulo IV son de 9 y 30 nodos
respectivamente. En cada uno de estos se presentan los valores de líneas de
transmisión, generadores, cargas, los cuales se describen en el Anexo.
Esto se hace con el fin de poder comparar los resultados obtenidos por el
simulador contra los presentados por la literatura referenciada.
35
CAPÍULO IV
CASOS DE APLICACIÓN
4.1 INTRODUCCIÓN
Una vez vista la forma y manejo del simulador, en este Capítulo se describen
los casos de estudio de sistemas de 9 y 30 nodos los cuales se encuentran en
literatura abierta [19,20], y se vera la comparación de resultados entre los
resultados obtenidos en literatura y los obtenidos por medio del simulador
PSS/E®.
4.2 SISTEMA DE 9 NODOS
En este sistema de nueve nodos bajo estudio se pretende llegar a la misma
solución dada por la literatura pero utilizando el simulador PSS/E®, que como
se ha mencionado anteriormente, es una herramienta computacional muy
poderosa utilizada alrededor del mundo para solucionar muchos tipos de
problemas, en el cual en este trabajo es solucionar el Despacho Económico.
Los datos del sistema se encuentran descritos en el Anexo. Los principales
resultados de Despacho Económico y las potencias activa y reactiva de este
sistema se encuentran dados en la Tabla 4.1, donde todas las variables están
dentro de sus límites.
Tabla 4.1.- Datos de la solución de FPO para sistema de 9 nodos
NODO RESULTADOS DE PSS/E
® RESULTADOS DE REFERENCIA
MW MVAR ($/hr) MW MVAR ($/hr)
NOD_1 89.80 12.96 1486.01 89.80 12.96 1486.01
NOD_2 134.32 0.03 2294.76 134.32 0.03 2294.76
NOD_3 94.19 -22.63 1515.92 94.19 -22.63 1515.92
TOTAL 318.31 -9.63 5296.69 318.31 -9.63 5296.69
PÉRDIDAS 3.307 MW 3.307 MW
36
Durante el proceso iterativo se pudo observar que hubo violación de voltaje en
los nodos NOD_1, NOD_6, NOD_8, mientras que al final del proceso de
solución, estos voltajes fueron limitados. No hubo violaciones en las variables
de las unidades de generación y el sistema convergió en 5 iteraciones.
4.3 SISTEMA DE 30 NODOS
Este sistema es mucho mas robusto que el anterior además de que fue mas
difícil su simulación en el PSS/E®. Los principales resultados del sistema están
dados en la Tabla 4.2, donde se puede ver que todas las variables están dentro
de sus límites. Durante el proceso iterativo se observó que hubo violaciones en
los voltajes pero al final el sistema convergió de manera adecuada. Por
ejemplo, en el NOD_9 y NOD_12 las magnitudes de los voltajes se limitaron al
final del proceso, así como también se limitaron las potencias activas de los
nodos generadores NOD_8 y NOD_11. El sistema convergió después de 6
iteraciones.
Tabla 4.2.- Datos de la solución de FPO para el sistema de 30 nodos
NODO RESULTADOS CON PSS/E
® RESULTADOS DE REFERENCIA
MW MVAR ($/hr) MW MVAR ($/hr)
NOD_1 61.76 2.56 199.81 61.76 2.56 199.81
NOD_2 79.26 20.12 248.63 79.26 20.12 248.63
NOD_5 30.04 26.97 86.43 30.04 26.97 86.43
NOD_8 55.00 40.00 203.86 55.00 40.00 203.86
NOD_11 30.00 2.74 112.50 30.00 2.74 112.50
NOD_13 31.37 -7.09 118.70 31.37 -7.09 118.70
TOTAL 287.42 85.30 969.91 287.42 85.30 969.91
PÉRDIDAS 4.021 MW 4.02 MW
37
CAPÍTULO V
CONCLUSIONES
El conocimiento y aplicación de FPO es una herramienta importante en la
operación de sistemas eléctricos de potencia. Gracias a esto se logran
minimizar los costos de producción de las generadoras eléctricas satisfaciendo
los límites de operación de las variables eléctricas.
En este trabajo se utilizo el simulador PSS/E® para analizar los casos de
literatura abierta y poder comprobar la solución que está publicada en la
literatura abierta.
El algoritmo de FPO es una aplicación directa del método de Newton para la
minimización de la multivariable no lineal.
Una solución de FPO puede ser vista como encuentra el estado de operación
de una red eléctrica la cual optimiza una función objetivo cuando la red es
sujeta a restricciones físicas y restricciones de operación. La minimización de
potencia activa es la función objetivo más popular en la actualidad.
En el Capítulo III se trabaja con un sistema de 5 nodos para hacer fácil la
visualización de los resultados obtenidos, en el sistema de referencia se utilizan
valores típicos que fueron introducidos de manera satisfactoria en el simulador
para llegar a los mismos resultados, es decir, en la referencia el autor llega a la
conclusión de que el costo de generación en dicho sistema es de $747.98 con
una generación de potencia activa de 168.05 MW, al termino de la simulación
se llegó a los mismos resultados.
En el Capítulo IV se trabajó con casos de 9 y 30 nodos respectivamente
obteniendo resultados satisfactorios. En el caso de 9 nodos el autor obtiene un
despacho de $5296.69 con pérdidas de 3.307 MW y al realizar la simulación se
llega a los mismos resultados concluyendo que la simulación se realizó de
manera satisfactoria.
La comparación de los resultados de los tres sistemas de prueba indica que la
aplicación de FPO fue correcta.
Cabe decir que esto es importante ya que el modelo de FPO del simulador
PSS/E® tiene muchas opciones y que no son claramente explicadas en los
manuales de usuario.
38
El uso de la opción OPF para la obtención de resultados por medio del
simulador PSS/E® es una poderosa herramienta para el análisis de sistemas de
potencia ya que provee una manera realista de obtener la minimización de
costos de generación de potencia activa y además minimizar también las
pérdidas dentro de un sistema.
39
REFERENCIAS
[1] Wood, A.J., Wollenberg, B.F., “Power Generation, Operation and Control”,
John Wiley and Sons, USA, 1984.
[2] Saadat, H., “Power System Analysis”, McGraw-Hill, USA. 1999.
[3] Elgerd, O.I., “Electric Energy System Theory and Introduction”, McGraw-Hill,
USA, 1971.
[4] Happ, H.H., “Optimal Power Dispatch – A Comprehensive Survey”, IEEE,
Trans. Power App. Syst., Vol. PAS-96, No. 3, pp. 841-853, 1977.
[5] James-Pastrana, F.J., “Optimal Power Flows”, Tesis Doctoral, Purdue
University, La Fayette, Indiana, 1971.
[6] Dommel, H.W., Tinney, F.J., “Optimal Power Flow Solutions”, IEEE Trans.
Power App. Syst. Vol. PAS-87, pp.1866-1876, 1968.
[7] Shen, C.M., Laughton, M.A., “Power-system Load Scheduling with Security
Constraints using Dual Linear Programing”, Proceedings IEEE, Vol. 117, No.
11, pp. 2117-2127, 1970.
[8] Alejandro, P.M., “Modelado de Enlaces de Corriente Directa basados en
Fuentes de Voltaje Conmutadas para el Análisis de Flujos de Potencia
Óptimos”, Tesis de Maestría, Michoacán, 2004.
[9] Ahmad. A, “Optimal Power Flow Using Second Order Newton’s Method”,
Manchester University, 1991.
[10] Ambriz, P:H:, “Flexible AC Transmission Systems Modelling in Optimal
Power Flows Using Newton’s Method”, Glasgow University, 1998.
[11] Ambriz, P.H., “Cálculo de Acciones Correctivas en Sistemas Eléctricos de
Potencia Operando en Estado de Emergencia”, Tesis de Maestría, Instituto
Politécnico Nacional, 1992.
[12] Monticelli, A., Liu, W. “”Adaptive Movement Penalty Method for the Newton
Optimlal Power Flow”, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 7, no, 2, pp.
334-342, 1992.
[13] Crisan. O., Mohtadi, M.A., “Efficient Identification of Binding Inequality
Constraints in the Optimal Power Flow Approach”, IEE Proceeding C, Vol. 139,
No. 5, pp. 365-370, 1992.
40
[14] Santos A. Jr., da Costa, G. M., “Optimal Power Flow Solutions by Newton’s
Method Applied to an Augmented Lagrangian Function”, IEEE, Vol. 142, pp. 33-
36, 1995.
[15] Guía de Usuarios, Capítulo 2, PSS/E® 32.0.5, Octubre 2010.
[16] Guía de Usuarios, Capítulo 19, PSS/E® 32.0.5, Octubre 2010.
[17] Guía de Usuarios, Capítulo 19.7, PSS/E® 32.0.5, Octubre 2010.
[18] Wu. Q.H., Ma, J.Y., “Power System Optimal Reactive power Dispatch using
Evolutionary Programming”, IEEE Transactions on Power Apparatus Systems,
Vol. 10, No.3, pp.1243-1249, 1995.
[19] Divi. R., Kesavan, J.A.., “A Shifted Penalty Function Approach for Optimal
Load Flow”, IEEE Transactions on Power Apparatus Systems, Vol. PAS-101,
No. 9, pp. 3502-3512, 1982.
[20] Freris, L.L, Sasson, A.M., “Investigation of the Load Flow Problem”, IEEE
Proceedings, Vol. 115, No.10, pp. 1459-1470, 1968.
41
ANEXO
En este se presentan todos los datos de los sistemas de prueba utilizados para este trabajo. La potencia base utilizada fue de 100 MVA.
- Sistema de 5 nodos:
Tabla A-1.- Número de nodos y componentes del sistema
Tabla A-2.- Líneas de Transmisión
NODO NODO R XL B TOTAL
ENVIO RECEPTOR (p.u.) (p.u.) (p.u.)
NORTH SOUTH 0.02 0.06 0.06
NORTH LAKE 0.08 0.24 0.05
SOUTH LAKE 0.06 0.18 0.04
SOUTH MAIN 0.06 0.18 0.04
SOUTH ELM 0.04 0.12 0.03
LAKE MAIN 0.01 0.03 0.02
MAIN ELM 0.08 0.24 0.05
Tabla A-3.- Cargas
NODO
P CARGA Q CARGA
(MW) (MVAR)
SOUTH 20 10
LAKE 45 15
MAIN 40 5
ELM 60 10
Tabla A-4.- Límites de voltaje
TIPO DE LIMITES DE VOLTAJE (p.u.)
NODO MAX MIN
SLACK 1.1 0.9
GENERADOR 1.1 0.9
CARGA 1.1 0.9
NODOS LINEAS DE
TRANSMISION TRANSFORMADORES GENERADORES CARGAS COMPENSADOR
5 7 0 2 4 NORTH
42
Tabla A-5.- Generadores
- Sistema de 9 nodos:
Tabla B-1.- Número de nodos y componentes
NODOS LINEAS GENERADORES CARGAS SLACK
9 9 3 0 NOD_1
Tabla B-2.- Generadores
COEFICIENTES DE COSTO LIMITES DE POTENCIA
LIMITES DE POTENCIA
NODO a b c MIN MAX MIN MAX
($/hr) ($/MWhr) ($/MW²hr) (MW) (MW) (MVAR) (MVAR)
NOD_1 150 5.00 0.1100 10 250 -300 300
NOD_2 600 1.20 0.0850 10 300 -300 300
NOD_3 335 1.00 0.1225 10 270 -300 300
Tabla B-3.- Líneas de transmisión
NODO NODO R XL BTOTAL
ENVIO RECEPCION (p.u.) (p.u.) (p.u.)
NOD_1 NOD_4 0.000 0.0576 0.000
NOD_4 NOD_5 0.017 0.092 0.158
NOD_5 NOD_6 0.039 0.170 0.358
NOD_3 NOD_6 0.000 0.0586 0.000
NOD_6 NOD_7 0.0119 0.1008 0.2090
NOD_7 NOD_8 0.0085 0.0720 0.149
NOD_8 NOD_2 0.000 0.0625 0.000
NOD_8 NOD_9 0.032 0.161 0.306
NOD_9 NOD_4 0.010 0.085 0.176
COEFICIENTE DE COSTO LIMITES DE
POTENCIA ACTIVA LIMITES DE
POTENCIA REACTIVA
NODO a b c MIN MAX MIN MAX
($/hr) ($/MWhr) ($/MW²hr) (MW) (MW) (MVAR) (MVAR)
NORTH 60 3.4 0.004 10 200 -500 500
SOUTH 60 3.4 0.004 10 200 -300 300
43
Tabla B-4.- Cargas
NODO P LOAD Q LOAD
(MW) (MVAR)
NOD_5 90 30
NOD_7 100 35
NOD_9 125 50
Tabla B-5.- Límites de voltaje
TIPO DE LIMITES DE VOLTAJE(pu)
NODO MIN MAX
SLACK 0.9 1.1
GENERADOR 0.9 1.1
CARGA 0.9 1.1
- Sistema de 30 nodos:
Tabla C-1.- Número de nodos y componentes
NODOS LINEAS TRANSFORMADORES GENERADORES CARGAS SHUNTS SLACK
30 34 7 6 21 2 NOD_1
Tabla C-2.-Transformadores
NODO NODO Xs Uv Tv
ENVIO RECEPCION (p.u.)
NOD_6 NOD_9 0.208 0.978 1.0
NOD_6 NOD_10 0.556 0.969 1.0
NOD_9 NOD_11 0.208 1.0 1.0
NOD_9 NOD_10 0.110 1.0 1.0
NOD_4 NOD_12 0.256 0.932 1.0
NOD_12 NOD_13 0.140 1.0 1.0
NOD_28 NOD_27 0.396 0.968 1.0
Tabla C-3.- Límites de voltaje
TIPO DE NODO
LÍMITES DE VOLTAJE (p.u.)
MAX MIN
SLACK 0.95 1.1
GENERADOR 0.95 1.1
CARGA 0.95 1.05
44
NODO NODO R XL B TOTAL
ENVIO RECEPTOR (p.u.) (p.u.) (p.u.)
NOD_1 NOD_2 0.0192 0.0575 0.0528
NOD_1 NOD_3 0.0452 0.1852 0.0408
NOD_2 NOD_4 0.057 0.01737 0.0368
NOD_3 NOD_4 0.0132 0.0379 0.0084
NOD_2 NOD_5 0.0472 0.1983 0.0418
NOD_2 NOD_6 0.0581 0.1763 0.0374
NOD_4 NOD_6 0.0119 0.0414 0.009
NOD_5 NOD_7 0.046 0.116 0.0204
NOD_6 NOD_7 0.0267 0.082 0.017
NOD_6 NOD_8 0.012 0.042 0.009
NOD_12 NOD_14 0.1231 0.2559 0.00
NOD_12 NOD_15 0.0662 0.1304 0.00
NOD_12 NOD_16 0.0945 0.1987 0.00
NOD_14 NOD_15 0.221 0.1997 0.00
NOD_16 NOD_17 0.0824 0.1923 0.00
NOD_15 NOD_18 0.1073 0.2185 0.00
NOD_18 NOD_19 0.0639 0.1292 0.00
NOD_19 NOD_20 0.034 0.068 0.00
NOD_10 NOD_20 0.0936 0.209 0.00
NOD_10 NOD_17 0.0324 0.0845 0.00
NOD_10 NOD_21 0.0348 0.0749 0.00
NOD_10 NOD_22 0.0727 0.1499 0.00
NOD_21 NOD_22 0.0116 0.0236 0.00
NOD_15 NOD_23 0.100 0.202 0.00
NOD_22 NOD_24 0.115 0.179 0.00
NOD_23 NOD_24 0.132 0.27 0.00
NOD_24 NOD_25 0.1885 0.3292 0.00
NOD_25 NOD_26 0.2544 0.38 0.00
NOD_25 NOD_27 0.1093 0.2087 0.00
NOD_27 NOD_29 0.2198 0.4153 0.00
NOD_27 NOD_30 0.3202 0.6027 0.00
NOD_29 NOD_30 0.2399 0.4533 0.00
NOD_8 NOD_28 0.0636 0.200 0.0428
NOD_6 NOD_28 0.0169 0.0599 0.013
Tabla C-4.- Líneas de transmisión
45
Tabla C-5.- Generadores
COEFICIENTES DE COSTOS LIMITES DE POTENCIA
LIMITES DE POTENCIA
NODO a b c MIN MAX MIN MAX
($/hr) ($/MWhr) ($/MW²hr) MW MW MVAR MVAR
NOD_1 0.00 2.00 0.0200 0 80 -60 80
NOD_5 0.00 1.75 0.0175 0 80 -40 50
NOD_7 0.00 1.00 0.0625 0 50 -20 40
NOD_8 0.00 3.25 0.0083 0 55 -20 40
NOD_11 0.00 3.00 0.0250 0 30 -20 40
NOD_13 0.00 3.00 0.0250 0 40 -20 40
Tabla C-6.- Cargas
NODO P LOAD Q LOAD
MW MVAR
NOD_2 21.7 12.7
NOD_3 2.4 1.2
NOD_4 7.6 1.6
NOD_5 94.2 19.0
NOD_7 22.8 10.9
NOD_8 30 30
NOD_10 5.8 2
NOD_12 11.2 7.5
NOD_14 6.2 1.6
NOD_15 8.2 2.5
NOD_16 3.5 1.8
NOD_17 9.0 5.8
NOD_18 3.2 0.9
NOD_19 9.5 3.4
NOD_20 2.2 0.7
NOD_21 17.5 11.2
NOD_22 0.0 0.0
NOD_23 3.2 1.6
NOD_24 8.7 6.7
NOD_26 3.5 2.3
NOD_29 2.4 0.9
NOD_30 10.6 1.9
46
Tabla C-7.- Compensadores shunt
NODO
G B
(p.u.) (p.u.)
NOD_10 0.00 0.19
NOD_24 0.00 0.043