instituto politÉcnico nacional · porque con tu existir has hecho más felices mis días de...

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS

“MODELADO EN COMSOL MULTIPHYSICS DEL

PROCESO DE ABSORCIÓN DE AMONÍACO”

TESIS

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO QUÍMICO PETROLERO

P R E S E N T A

R U B I M O R A L E S A V I L A

DIRECTOR DE TESIS

DR. ROGELIO SOTELO BOYÁS

CIUDAD DE MÉXICO A 10 DE MARZO DE 2016

Agradecimientos.

A dios por ser mi guía en el camino recorrido, por ayudarme a lograr mis sueños con la esperanza de un mañana mejor y por bendecirme con la hermosa familia que me ha apoyado en todo momento.

A la gloriosa ESIQIE en donde viví mis años como estudiante de Ingeniería Química Petrolera.

A mi director de tesis el Dr. Rogelio Sotelo Boyás agradezco su interés constante por la culminación de éste trabajo, su apoyo y amistad brindada durante mis años como estudiante y sobre todo por ser un ejemplo admirable como profesionista.

Papá este es un logro que quiero compartir contigo, por el gran esfuerzo que haces día con día para darle lo mejor a nuestra familia, sé que luchas para ayudarnos a cumplir nuestras metas, agradezco que hayas estado conmigo en los momentos difíciles por los que he pasado y también porque con tu existir has hecho más felices mis días de alegría, te amo mucho papá.

Mamá gracias por tu paciencia y esas palabras sabias que siempre tienes para mis enojos, mis tristezas y mis momentos difíciles, por ayudarme a cumplir mis sueños e incluso volverlos los tuyos propios. Con gran emoción dedico a ti éste trabajo que es el resultado de lo que me has enseñado en la vida, a vivir con buenos sentimientos, valores y hábitos, gracias mamá por estar al pendiente durante cada etapa de mi vida, te amo mami.

A mis queridos hermanos Alejandra, Wendy y Luis que con su amor me han enseñado a salir adelante, por ser ejemplo para mí y mucho apoyo, juntos seguiremos compartiendo experiencias de mucha alegría.

Víctor Hugo a ti agradezco el haber estado conmigo en todo este proceso, la paciencia que has mostrado en mis momentos de estrés y frustración, por ser tan incondicional compañero en las buenas y en las malas, yo también amo saber que tu compañía se extenderá incluso más allá de lo que hemos imaginado.

ÍNDICE

NOMENCLATURA…………………………………………………………………………………………. iÍNDICE DE FIGURAS………………………………………………………………………………….. iiiÍNDICE DE TABLAS……………………………………………………………………………………. ivÍNDICE DE GRÁFICAS………………………………………………………………………………… vRESUMEN…………………………………………………………………………………………………. viINTRODUCCIÓN…………………………………………………………………………………………. vii

1. Generalidades.......................................................................................... 1 1.1. MODELO MATEMÁTICO. ............................................................................................................... 1

1.2. MODELADO MULTIFÍSICO. ............................................................................................................ 2

1.3. MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO. ................................................................................................. 3

1.4. COMSOL Multiphysics versión 4.3. ............................................................................................. 10

2. Transferencia de masa en el proceso de absorción. ........................................... 16 2.1. TRANSFERENCIA DE MASA. .......................................................................................................... 18

2.1.1. Transferencia difusional. ........................................................................................................... 19

2.1.2. Transferencia convectiva. ......................................................................................................... 20

2.1.3. Ejemplo de aplicación. Absorción en columna empacada. ...................................................... 25

3. Modelado en COMSOL Multiphysics ......................................................... 49 3.1. MODELADO EN COMSOL Multiphysics. ...................................................................................... 50

3.1.1. Construcción de la Geometría. ................................................................................................. 52

3.1.2. Condiciones de Subdominio. .................................................................................................... 53

3.1.3. Condiciones de frontera. .......................................................................................................... 55

3.1.4. Generación de la malla. ............................................................................................................ 58

3.1.5. Solución y postprocesado. ........................................................................................................ 58

CONCLUSIONES. ........................................................................................ 66 BIBLIOGRAFÍA............................................................................................ 67 ANEXO A ................................................................................................. 68 ANEXO B ................................................................................................. 70

i

NOMENCLATURA

Cantidad de exceso de (L’/G’)min.

Espesor de la película líquida [m] Viscosidad Dinámica [poise] w Viscosidad del agua [cP] ρ Densidad del fluido [kg/m3] Esfuerzo Cortante [N/m2] Ψ Coeficiente de mojado. Ax Área Transversal [m2] a Densidad molar del agua [mol/m3] c10 Concentración inicial de amoníaco en el aire [mol/m3] c20 Concentración inicial de amoníaco en el agua [mol/m3] D Diámetro [m] DAB Coeficiente de Difusión de la especie A en B [m2/s] Deq Diámetro Equivalente [m] DT Diámetro de la Torre [m] D1 Difusividad de amoníaco en aire [m2/s] D2 Difusividad de amoníaco en agua [m2/s] FLV Relación de energía cinética Líquido-Gas. f(μL) Factor de corrección para la viscosidad del líquido. f(L) Factor de corrección para la densidad del líquido. G Corriente de entrada por debajo de la torre, fase gas G’ Corriente de salida por el domo de la torre, fase gas. g Constante de aceleración de la gravedad [ft/s2 o m/s2] HOG Altura de la Unidad de Transferencia lado gas. h Coeficiente de transferencia de calor [W/m2 K] hi Coeficiente de Transferencia de Calor Interno [W/(m2 K)] ho Coeficiente de Transferencia de Calor Externo [W/(m2 K)] JA Densidad de Flujo molecular de materia Ke Constante de Henry [Pa] Kya Coeficiente Global de Transferencia de Masa fracción mol y. kya Coeficiente Individual de Transferencia de Masa fracción mol y

kgmol/(m3s)] kG Coeficiente Individual de Transferencia de Masa de la fase gas [m/s]

ii

kxa Coeficiente Individual de Transferencia de Masa fracción mol x [kgmol/(m3 s)]

kL Coeficiente Individual de Transferencia de Masa de la fase líquida [m/s] k Conductividad Térmica del Material [W/m K] k1 Conductividad Térmica de ladrillo refractario de caolín [W/(m K)]. k2 Conductividad Térmica de ladrillo de caolín aislante [W/(m K)]. k3 Conductividad Térmica de ladrillo de arcilla [W/(m K)]. L Corriente de salida de fase líquida. L0 Corriente de entrada de fase líquida. (L’/G’)min Relación Líquido-Gas mínima. (L’/G’)op Relación Líquido-Gas de operación. NOG Número de Unidades de Transferencia basado en el lado gas. P Presión PMG Peso Molecular en la corriente G. PMNH3 Peso Molecular de NH3 Q Flujo de Calor por unidad de tiempo [W] R Resistencia Total de Transferencia de Calor [K/W] R Constante de los gases ideales [(Pa m3)/(mol K)] Re Número de Reynolds r Radio [m] r0 Radio máximo [m] T Temperatura Te Temperatura fuera del horno [K] Ti Temperatura en el horno [K] T2 y T1 Temperaturas en los extremos de la placa [K] U Velocidad local en un radio r [m/s] v Velocidad del fluido [m/s] v1 Velocidad del gas [m/s] v2 Velocidad del líquido [m/s] X0 Relación mol de amoníaco en L0. Xn Relación mol de amoníaco en Ln x0 Fracción mol de amoníaco en L0. xn Fracción mol de amoníaco en Ln ∆x Espesor de la placa [m] Y1 Relación mol de amoníaco en G’. Yn+1 Relación mol inicial de amoníaco en G. y1 Fracción mol de amoníaco en G’. yn+1 Fracción mol inicial de amoníaco en G.

iii

ÍNDICE DE FIGURAS CAPÍTULO 1 Figura 1-1. Ejemplo de acoplamiento de áreas para el Modelado Multifísico. 3Figura 1-2 Definición geométrica del dominio en tres dimensiones. 4Figura 1-3. Identificación de elementos, nodos y mallado de una geometría. 4Figura 1-4. Elementos típicamente usados para representaciones en 2D. 6Figura 1-5. Elementos típicamente usados para representaciones en 3D. 6Figura 1-6. Módulos existentes en COMSOL Multiphysics y sus físicas. 11Figura 1-7. Interfaz gráfica de COMSOL Multiphysics, adaptado de Ref 6]. 12Figura 1-8. Ventana de Model Builder en COMSOL Multiphysics, adaptado

de Ref [6]. 12Figura 1-9. Ventana de Model Wizard, Model Library y Material Browser,

adaptado de Ref [6]. 13Figura 1-10. Ejemplo de creación de la geometría en COMSOL

Multiphysics. 14Figura 1-11. Mallado de la figura en COMSOL Multiphysics 14Figura 1-12. Ejemplo de vista de solución a un problema 15 CAPÍTULO 2 Figura 2-1. Difusión Molecular. 18Figura 2-2. Concentraciones en la interfase entre líquido y gas. 21Figura 2-3. Diagrama de Distribución para absorción. Adaptado de Ref 11]. 23Figura 2-4. Corrientes del sistema aire-amoníaco-agua. 27 CAPÍTULO 3 Figura 3-1. Parámetros. 52Figura 3-2. Variables. 52Figura 3-3. Geometría para la columna de absorción. 53Figura 3-4. Condiciones de subdominio para fase gas. 54Figura 3-5. Condiciones de reacción. 55Figura 3-6. Condiciones de contorno, entrada de gas. 55Figura 3-7. Condiciones de contorno o frontera, fase gas. 56

iv

Figura 3-8. Condiciones de subdominio fase líquida. 57Figura 3-9. Condiciones de subdominio fase líquida, Reactions. 57Figura 3-10. Condiciones de frontera, fase líquida. 57Figura 3-11. Mallado de la geometría. 58Figura 3-12. Perfil de concentración en fase gaseosa en (mol/m3),

Cálculo 1. 59Figura 3-13. Perfil de concentración en fase líquida en (mol/m3),

Cálculo 1. 59Figura 3-14. Perfil de concentración en fase gas en (mol/m3), Cálculo

2. 60Figura 3-15. Perfil de concentración en fase líquida en (mol/m3),

Cálculo 2. 60Figura 3-16. Perfil de concentración en fase gas, fracción mol y, Cálculo

1. 62Figura 3-17. Perfil de concentración en fase líquida, fracción mol x,

Cálculo 1. 62Figura 3-18. Dirección del flux total de masa. 64Figura 3-19. Dirección del gradiente de concentración. 64

ÍNDICE DE TABLAS. CAPÍTULO 2 Tabla 2-1. Datos para el sistema de absorción de amoniaco. 26Tabla 2-2. Datos de equilibrio de absorción de amoniaco en agua [14]. 27Tabla 2-3. Resumen de composición de las corrientes de entrada y salida. 30Tabla 2-4. Características del empaque [15]. 34Tabla 2-5. Cálculo de f(Y), Cálculo 1. 38Tabla 2-6. Cálculo de f(Y), Cálculo 2. 40Tabla 2-7. Valores para el cálculo de la difusividad. Obtenidos de Tabla

4-10, página 4.34, The properties of gases and liquids [17]. 44Tabla 2-8. Alturas para la columna. 48 CAPÍTULO 3 Tabla 3-1. Comparación de resultados analíticos con resultados en COMSOL 61

v

ANEXO A Tabla A-1. Datos de equilibrio para el sistema aire-amoníaco-agua. 68 ANEXO B Tabla B-1. Comparación de resultados analíticos con resultados en COMSOL Multiphysics. 70

ÍNDICE DE GRÁFICAS. CAPÍTULO 2 Gráfica 2-1. Curva de equilibrio para el sistema aire-amoniaco-agua. 31Gráfica 2-2. Determinación de Y a través de FLV. Adaptado de Ref [15]. 34Gráfica 2-3. Determinación de corrección f{L}. Adaptado de Ref [15]. 35Gráfica 2-4. Determinación de la corrección f{μL}. Adaptado de Ref [15]. 36 ANEXO A Gráfica A-1. Líneas de equilibrio y operación para el sistema aire-

amoníaco-agua a 20°C y 1 atm. 68Gráfica A-2. Líneas de equilibrio y operación para obtener y*. 69

Multiphysics. Tabla 3-2. Por ciento de error obtenido para ambos casos de Alturas de

la columna. 61Tabla 3-3. Comparación de resultados de las fracciones mol. 63Tabla 3-4. Por ciento de error obtenido para las fracciones mol. 63

vi

RESUMEN El propósito de este trabajo es introducir el uso de COMSOL Multiphysics en la Ingeniería Química Petrolera por medio de su aplicación a un caso típico de fenómenos de transporte, para que los estudiantes y profesores de la carrera se vean motivados a implementar esta herramienta de modelado multifísico en la solución de problemas comunes de Ingeniería Química. En la actualidad el trabajo diario de los ingenieros químicos es resolver problemas mediante una serie de cálculos o haciendo uso de simuladores de proceso que facilitan su solución, el reto está en encontrar alternativas modernas y factibles que permitan llegar a soluciones confiables y que sean innovadoras al momento de presentar resultados. En este trabajo se presenta a COMSOL Multiphysics como una herramienta útil para el desarrollo de modelos en su alcance multifísico, en donde los problemas se desenvuelven ejecutando las etapas inherentes a este proceso de modelado, que son: definición del sistema, establecimiento de las condiciones de contorno y propiedades físicas, mallado y solución. Se ha incorporado la solución analítica de un problema de Separación de Amoníaco por Absorción dando como resultados las dimensiones de la columna y composiciones finales de amoníaco en el líquido y en el gas, soluciones que son contrastadas para valorar el alcance de los resultados obtenidos mediante el entorno que ofrece COMSOL Multiphysics. Los resultados obtenidos indican que el software es viable para ser utilizado como alternativa en la solución de problemas en la Ingeniería Química, así como en la aplicación para el desarrollo conceptual o en la mejora de equipos a nivel industrial.

vii

INTRODUCCIÓN Este trabajo se desarrolló con el objetivo de introducir el uso del software comercial COMSOL Multiphysics mediante el modelado de un ejemplo típico de Fenómenos de Transporte. Se resalta la importancia que en la actualidad tienen los métodos computacionales en el ámbito específico de la ingeniería, la simulación de fenómenos de interés práctico tiene tal influencia en el desarrollo de nuevos productos o tecnologías que no se plantean sin antes haberlos contrastado computacionalmente. En el primer capítulo se hace referencia a las capacidades de COMSOL para hacer modelado multifísico, se describe brevemente el Método del Elemento Finito que es el método de aproximación usado para discretizar las ecuaciones, y el ambiente de trabajo que el software ofrece. Dentro del segundo capítulo se presenta la solución analítica de la Separación de Amoníaco por Absorción donde se busca conocer las concentraciones en las salidas de las corrientes y las dimensiones de la columna del proceso. En el capítulo tres se muestra el modelado en COMSOL Multiphysics del problema en cuestión, para valorar el alcance de los resultados obtenidos en el modelo multifísico, se contrastan con los resultados analíticos para mostrar la confiabilidad y motivar el uso del modelado multifísico en COMSOL en la solución de problemas de ingeniería química y en el diseño conceptual de equipos. La incursión de COMSOL como herramienta de innovación propicia el mejor desarrollo de los futuros ingenieros en el ambiente productivo, ya que permite modelar los aspectos físicos relevantes de los sistemas, con el fin de reproducir lo que sucede en la realidad, explorando las posibilidades que ofrece el mercado para el análisis y diseño de componentes.

MODELADOENCOMSOLMULTIPHYSICSDELPROCESODEABSORCIÓNDEAMONÍACO

1

1. Generalidades

Predecir el comportamiento de la naturaleza es un anhelo humano que se ha ido logrando con la aplicación del Modelado Matemático y Computacional, los cuales se han presentado como la respuesta contemporánea a este deseo de nuestra especie. Para realizar la predicción de los sistemas, tanto naturales como los creados por el ser humano, es indispensable integrar los conocimientos científicos y tecnológicos en modelos matemáticos que se ejecuten por medios computacionales, provocando que el diseño y la operación de los sistemas sea un ejercicio fácil mientras se cuente con la capacidad para modelarlos.

1.1. MODELOMATEMÁTICO.

Un modelo matemático es una representación aproximada en lenguaje matemático de algún aspecto de la realidad, su estructura y/o su comportamiento, está conformado por todos aquellos aspectos que caracterizan la realidad y por las relaciones existentes entre ellos [1]. Modelar un sistema es describirlo en función de las relaciones que tienen sus elementos.


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El objetivo por el cual se construye un modelo es el de obtener respuestas que en un sistema real sería costoso, tardado o peligroso de conseguir.

Un modelo matemático se basa en la lógica matemática, cuyos elementos son esencialmente variables y funciones, y las relaciones entre ellas, que vienen expresadas a través de relaciones matemáticas (ecuaciones, inecuaciones, operadores lógicos, etc.) las cuales se empatan con las correspondientes relaciones de la situación real que se está modelando (Relaciones tecnológicas, leyes físicas, restricciones del proceso, etc.).

Los modelos ofrecen un marco teórico para evaluar el comportamiento de un proceso y predecir determinadas condiciones y consecuencias que ayudan en la toma de decisiones. En ocasiones revelan relaciones, propiedades y características que no son evidentes a simple vista y también es posible modelar aquellas situaciones del mundo en las que no es posible experimentar con la realidad.

Los modelos matemáticos pueden ser estáticos o dinámicos. En los modelos estáticos, la variable tiempo no desempeña un papel relevante, mientras que en un modelo dinámico sí, ya que algunos de los elementos que intervienen en el modelado no permanecen constantes, sino que tienen cambios en el tiempo, describiendo trayectorias temporales.

Generalmente los modelos se representan en términos de sistemas de ecuaciones diferenciales, ya sean ordinarias o parciales, éstas se pueden resolver por métodos analíticos y/o métodos numéricos. Los métodos numéricos se aplican a problemas de valores en la frontera o condiciones de inicio y pueden transformar la ecuación diferencial (ordinaria o parcial), en un sistema finito[2].

1.2. MODELADOMULTIFÍSICO.

Para que los modelos sean eficaces y de ayuda en la toma de decisiones deben ser actualizados de manera poco costosa e incluir todos los fenómenos que se lleven a cabo dentro del sistema en estudio, modelar el problema completo sin excluir factores importantes para su desarrollo real. Debido a esta situación, hoy en día se lleva a


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cabo el modelado multifísico, que constituye otro aspecto importante en la representación de un sistema.

El modelado multifísico consiste en acoplar áreas diferentes para representar correctamente un sistema, las áreas pueden ser: acústica, electromagnética, mecánica estructural, convección y difusión, dinámica de fluidos, transferencia de calor, entre otras, que pueden unirse para lograr una representación integral de un sistema.

El interés en el modelado multifísico ha crecido enormemente en los últimos años, llegando a consolidarse como una herramienta de alto rendimiento que asegura los diseños haciéndolos más competitivos y eficientes.

Figura 1‐1. Ejemplo de acoplamiento de áreas para el Modelado Multifísico.

1.3. MÉTODODELELEMENTOFINITO.

Los modelos matemáticos obtenidos del análisis ingenieril pueden estar compuestos de una ecuación o de un sistema de ecuaciones, cuya solución debe ser consistente y representativa de las bases y principios físicos del sistema.

En situaciones donde el sistema es relativamente simple, es posible analizar el problema mediante el uso de métodos elementales como lo son las ecuaciones diferenciales, sin embargo, los sistemas actuales tienden a ser cada vez más complejos, por lo que la solución de los sistemas de ecuaciones diferenciales o la región donde se puede localizar la solución demandan el uso de un método de aproximación o un método numérico, para así extraer la información relacionada con el comportamiento del sistema.

Modelado Multifísico

Flujo de Fluidos

Transferencia de Calor

Transferencia de Masa.


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El método del elemento finito (MEF) es una técnica numérica que soluciona o se aproxima a una solución de un sistema de ecuaciones diferenciales relacionadas con un problema de carácter físico o ingenieril.

El MEF es muy usado debido a su generalidad y a la facilidad de introducir dominios de cálculo complejos (en dos o tres dimensiones). Además el método es fácilmente adaptable a problemas de transmisión de calor y de mecánica de fluidos, donde es posible calcular campos de velocidades y presiones; conocida esta técnica como Dinámica de Fluidos Computacional, siendo sus siglas DFC [2].

Figura 1‐2. Definición geométrica del dominio en tres dimensiones.

El método del elemento finito requiere que el problema se encuentre definido en un espacio geométrico, o dominio, para así ser subdividido en un número finito de regiones pequeñas llamadas elementos, siendo ésta la idea general del método [3], dividir un continuo en un conjunto de pequeños elementos interconectados por una serie de puntos llamados nodos, que forman una especie de red o malla (mesh).

Figura 1‐3. Identificación de elementos, nodos y mallado de una geometría.


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Las ecuaciones que rigen el comportamiento del continuo regirán también el del elemento. En el método del elemento finito las ecuaciones principales son integradas para cada uno de los elementos que componen la malla y la solución se suma alrededor de todo el dominio.

La solución obtenida por el MEF es sólo aproximada, coincidiendo con la solución exacta sólo en el número finito de puntos llamados nodos. En el resto de puntos que no son nodos, la solución se obtiene interpolando a partir de los resultados obtenidos en los nodos, lo cual hace que la solución sea sólo aproximada debido a este último paso [4].

Existen dos enfoques tradicionales que se le han dado al método del elemento finito, uno es llamado el método de flexibilidad o fuerza, el cual usa las fuerzas internas como incógnitas del problema para obtener las ecuaciones gobernantes mediante el uso de ecuaciones de equilibrio.

El resultado es un conjunto de ecuaciones algebraicas que determinan las fuerzas desconocidas, que son mejor expresadas a través de matrices.

El segundo enfoque llamado de desplazamiento o método de rigidez, asume los desplazamientos de los nodos como las incógnitas del problema, expresándose las ecuaciones gobernantes en términos de los desplazamientos nodales, usando las ecuaciones de equilibrio y una ley que relaciona las fuerzas con los desplazamientos.

A continuación se presentan los pasos generales que incluye el método del elemento finito según la referencia [5]. Paso 1. Discretización y elección del tipo de elementos.

En este paso se divide el dominio en un sistema de elementos finitos unidos a través de nodos y se escoge el tipo de elemento más apropiado que haga que el modelo sea lo más cercano posible a la realidad. El número total de elementos, su tamaño y tipo, son elegidos de acuerdo al criterio ingenieril. Los elementos deben ser lo suficientemente pequeños para obtener resultados precisos y lo suficientemente grandes para reducir el tiempo de solución en la computadora.


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Los elementos pequeños son generalmente usados cuando los resultados cambian rápidamente, así como cuando la geometría es muy irregular, sin embargo los elementos de gran tamaño son usados cuando los resultados obtenidos tienen poca variación.

Decidir cuál es la dimensión apropiada para trabajar y el tipo de elemento a utilizar es una de las tareas más importantes que lleva a cabo el diseñador, se tiene la opción de dibujar el dominio en 1, 2, o 3 dimensiones y en forma axisimétrica tomando como referencia el eje de simetría de la figura, en caso de tenerlo.

Los elementos en una dimensión son los más simples, porque constan de dos nodos, y son mejor conocidos como elementos lineales. Los elementos para dos dimensiones son triángulos o cuadriláteros, con nodos solo en las esquinas en su representación más sencilla, mientras que los de mayor orden cuentan también con nodos en cada mitad de las aristas que componen el elemento.

Figura 1‐4. Elementos típicamente usados para representaciones en 2D.

En el caso de los elementos de tres dimensiones se usan comúnmente los tetraedros y hexaedros, que en su forma más sencilla tienen solo nodos en los vértices, mientras que los elementos de mayor orden son representados con nodos además de en las esquinas, en la mitad de las aristas y/o tienen aristas curvas.

Figura 1‐5. Elementos típicamente usados para representaciones en 3D.


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Paso 2. Seleccionar la función de desplazamiento.

Se escoge una función de desplazamiento para cada elemento, la función se define en el elemento usando los valores nodales del mismo, es muy común el uso de polinomios lineales, cuadrados y cúbicos, ya que son fáciles de resolver. Paso 3. Definición de las relaciones tensión/desplazamiento y tensión/ esfuerzo.

Las relaciones de tensión/desplazamiento y tensión/esfuerzo son necesarias para derivar las ecuaciones en cada elemento finito. La Ec. 1.1 es la relación entre el tensor de deformación y el tensor de tensiones donde es el tensor de elasticidad. El tensor de deformación transforma al modulo de elasticidad en el tensor de tensiones.

1.1 Donde

es el esfuerzo es el módulo de elasticidad es la deformación

Considerando que el tensor deber ser un tensor de cuarto orden y utilizando sus condiciones de simetría la Ec. 1.1 se transforma:

2 1.2 Donde

es la delta de Kronecker y son los parámetros de Lamé


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Paso 4. Obtener la matriz de rigidez del elemento y las ecuaciones.

Existen varias alternativas para desarrollar la matriz de rigidez y las ecuaciones de los elementos:

Método directo de la rigidez. De acuerdo a éste método, la matriz de rigidez y las ecuaciones de los elementos relacionando las fuerzas nodales a los desplazamientos nodales, se obtienen usando condiciones de equilibrio de fuerzas para un elemento básico, según las relaciones de deformación/desplazamiento. Este método es más recomendado para elementos en una sola dimensión.

Método de trabajo o energía. Recomendado para elementos en dos o tres dimensiones. Este método se puede llevar a cabo por tres diferentes principios:

El principio del trabajo virtual. El principio de energía potencial mínima. El teorema de Castigliano.

Usando cualquiera de los métodos mencionados, es posible llegar a la siguiente ecuación, convenientemente escrita como matriz.

.

.

.

… .… .… .

.

.

. … .

∙∙∙

1.3

O bien, de forma compacta:

1.4


9

Donde:

es el vector de las fuerzas nodales, es la matriz de rigidez, es el vector de desplazamientos nodales desconocidos.

Paso 5. Ensamblar las ecuaciones de los elementos para obtener las ecuaciones globales e introducir las condiciones frontera.

En éste paso las ecuaciones generadas en el paso anterior, son ensambladas para generar las ecuaciones globales por el método directo de la rigidez, que tiene implícito el concepto de continuidad, es decir, que la estructura debe estar unida en todas sus partes.

La ecuación global escrita en forma matricial es la siguiente:

1.5 Donde:

es el vector de fuerzas nodales globales. es la matriz total de rigidez (para la mayoría de los casos es cuadrada y

simétrica). es el vector de desplazamientos nodales desconocidos de la estructura.

Paso 6. Resolver para los grados de libertad desconocidos.

La Ecuación 1.5 modificada por las condiciones de frontera es un conjunto de ecuaciones algebraicas simultáneas, que pueden ser escritas como:

.

.

.

… .… .… .

.

.

. … .

∙∙∙

1.6


10

Donde:

es el número total de grados de libertad desconocidos en la estructura.

Estas ecuaciones pueden ser resueltas usando un método de eliminación como el método de Gauss, o por un método iterativo como el de Gauss-Seidel.

Paso 7. Solución para esfuerzos y tensiones.

Para los problemas de análisis estructural, el cálculo de las tensiones y esfuerzos es muy importante, y éstos pueden ser obtenidos directamente de las relaciones entre los esfuerzos y desplazamientos, así como de los esfuerzos y tensiones. Paso 8. Interpretación de los resultados.

El punto final es interpretar y analizar los resultados, determinar las partes del dominio en donde se tienen grandes deformaciones y con base en ello tomar decisiones importantes en el proceso de diseño.

En este paso viene inmerso el posprocesado, que ayuda al usuario a tener una mejor interpretación de los resultados por medio de su representación grafica.

1.4. COMSOLMultiphysicsversión4.3.

El modelado por computadora se ha convertido en una parte esencial de la ciencia y la ingeniería. En lo particular, el análisis digital de componentes, se ha vuelto muy importante en el desarrollo de nuevos productos o en la optimización de los diseños. Entre la amplia gama de opciones para el modelado existe el software comercial COMSOL Multiphysics, que cuenta con un entorno interactivo para modelar y resolver una variedad de problemas científicos y de ingeniería basados en ecuaciones diferenciales parciales (EDP o PDE por sus siglas en inglés) que son resueltas por medio del ya mencionado, Método del Elemento Finito.

El modelado en COMSOL Multiphysics consiste en representar con una geometría el sistema en cuestión, el cual se analiza por medio de la perspectiva física del


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software, definiéndose en los modelos las cantidades físicas relevantes, tales como: las propiedades del material, cargas, restricciones, fuentes y flujos; en lugar de mediante la definición de ecuaciones.

Se accede al software a través de una interfaz gráfica de usuario, o por programación de scripts en el lenguaje de secuencias de comandos COMSOL o en el lenguaje MATLAB.

La plataforma de COMSOL Multiphysics está dividida en las siguientes áreas de aplicación:

Figura 1‐6. Módulos existentes en COMSOL Multiphysics y sus físicas.

El entorno del software está estructurado en tres ventanas que facilitan su manejo a los usuarios:

Eléctrico

AC/DC

Plasma

Semiconductores

Mecánico

Transferencia de calor

Mecánica Estructural

Geomecánica

Acústica

Químico

Ingeniería de las Reacciones Químicas.

Electrodeposición

Electroquímica

Corrosión

Flujo de fluidos

CFD

Flujo en tuberías

Flujo molecular


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Figura 1‐7. Interfaz gráfica de COMSOL Multiphysics, adaptado de Ref [6].

Model Builder. Donde se muestra el contenido del modelo agrupado en carpetas.

Desglosado en las etapas inherentes que tiene el modelado en MEF. Cada renglón que se agrega a este listado es llamado nodo.

Figura 1‐8. Ventana de Model Builder en COMSOL Multiphysics, adaptado de Ref [6].

Model Builder Model Wizard Graphics


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Model Wizard, Model Library y Material Browser. En Model Wizard, es donde se lleva a cabo la configuración del modelo, aquí es posible agregar las especificaciones de la geometría, la física, el mallado y el postprocesado. En Model Library se encuentran modelos previamente realizados, descritos paso a paso como ejemplos de aplicación a los distintos módulos. Y en Material Browser se encuentran cargadas las propiedades de diversos materiales.

Figura 1‐9. Ventana de Model Wizard, Model Library y Material Browser, adaptado de Ref [6].

Graphics. Es la ventana mas grande, en donde se visualiza la geometría, su mallado y los resultados que sobre ella se obtengan.

Al iniciar un modelo, la ventana de Model Wizard es la guía del proceso:

En su primera etapa, llamada Select Space Dimension, es posible seleccionar el espacio en que se trabajará, 1D, 2D, 3D o en alguna forma axisimétrica, es decir, donde se trabaje una geometría que pueda ser representada por el corte en su eje de simetría.

Una vez seleccionada la dimensión en que se va a trabajar, se eligen la o las físicas de los módulos existentes en la ventana Add Physics.

Y por último se selecciona si el estudio será estacionario o dependiente del tiempo en la ventana Select Study type.

Ahora es posible empezar el proceso de modelado, siguiendo la secuencia de las carpetas contenidas en el Model Builder.


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Es recomendable guardar todos los parámetros, constantes y variables que vayan a ser utilizados en el proceso, en la sección de Parameters, dentro de la carpeta Global Definitions, de esta forma, en caso de ser necesario hacer una modificación a algunos de los datos basta con accesar a Parameters y hacer los ajustes correspondientes.

La creación de la geometría es el siguiente paso importante en el proceso, se hace por medio de la carpeta Geometry, donde vienen cargadas diferentes formas y métodos para hacer un mejor modelado del dominio geométrico.

Figura 1‐10. Ejemplo de creación de la geometría en COMSOL Multiphysics.

Una vez creada la geometría, deben establecerse las condiciones de subdominio y de frontera, que son esenciales al resolver las ecuaciones correspondientes al módulo.

La generación del mallado es un paso crítico para resolver el modelo por medio del MEF, para lo que COMSOL Multiphysics tiene la opción de establecer un mallado predeterminado o bien establecer los parámetros para la configuración de una malla según sea la complejidad del dominio en estudio.

Figura 1‐11. Mallado de la figura en COMSOL Multiphysics.


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En la solución se puede elegir que perfil se desea que sea mostrado en el gráfico, puede ser el perfil de temperatura, de presión, de velocidad, concentración, según sea el módulo de trabajo.

Figura 1‐12.Ejemplo de vista de solución a un problema.

Finalmente en el postprocesamiento, COMSOL Multiphysics proporciona herramientas para visualizar la solución de diferentes maneras que hacen más fácil la interpretación de los resultados obtenidos. A continuación se mencionan algunas de ellas: Gráficos de superficie. Gráficos de rebanadas o rodajas. Isosuperficies Contorno de rodajas. Gráficos de flechas. Líneas de corriente y trazado de partículas. Rodajas transversales. Integración de los límites y subdominios.


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2. Transferencia de masa en el

proceso de absorción.

Los fenómenos de transporte juegan un papel importante no sólo en procesos de Ingeniería Química, sino de algunas otras ingenierías, biología, ciencia de materiales, farmacología, entre otras.

Para el estudio de los Fenómenos de Transporte se tratan sistemas que no se encuentran en equilibrio, es decir, que van evolucionando irreversiblemente a velocidades diferentes a cero. Durante la evolución de un sistema en no equilibrio se produce el transporte de alguna propiedad física. Este transporte se suele cuantificar mediante la magnitud física llamada flujo, j, o cantidad de propiedad por unidad de tiempo[7]:

2.1

Donde

es la densidad de flujo es la cantidad de propiedad

Un sistema puede estar fuera del equilibrio porque su materia y/o su energía están siendo transportadas entre el sistema y sus alrededores o también entre una zona


17

del sistema y otra. Para estudiar un sistema de éste tipo deben conocerse las variables que expresen la velocidad existente en el proceso y la extensión que se tiene de la desviación del equilibrio. Al estudiar los procesos de transporte se observa que la densidad de flujo o cantidad de propiedad transportada por unidad de área y unidad de tiempo es proporcional al gradiente de la propiedad en cuestión.

∆ 2.2

Donde:

es el coeficiente de proporcionalidad de transporte, ∆ el gradiente es conocido como la fuerza impulsora y el signo menos indica que la propiedad física fluye desde un punto de mayor variable hasta un punto de menor [7].

Si en algún caso la variable vale lo mismo en todos los puntos del sistema, la fuerza impulsora se anula, y no hay transporte de propiedad, entonces el sistema se encuentra en equilibrio:

0 2.3

Cuando el flujo de la propiedad se mantiene constante en todo el sistema, y la cantidad de propiedad que entra por unidad de tiempo, es periódica, se dice que el sistema ha alcanzado el régimen estacionario, entonces las variables ya no dependerán del tiempo sino de la posición.

Los fenómenos de transporte comprenden tres temas estrechamente relacionados: la mecánica de fluidos que estudia la transferencia de cantidad de movimiento, la transferencia de calor que trata sobre el transporte de energía y la transferencia de materia que habla del transporte de materia de las especies químicas. Estos tres temas suelen presentarse de manera paralela en los procesos industriales y se modelan empleando ecuaciones diferenciales que expresan los flujos en términos de cambios infinitesimales de las variables.


18

2.1.TRANSFERENCIADEMASA.

El transporte de masa se da cuando un sistema contiene dos o más componentes y la concentración de éstos varía de un punto a otro, por lo que existe la tendencia a transferir masa para minimizar la diferencia de concentración, es decir, que uno de los componentes de la mezcla se transporta de la región de más alta concentración hacia la región de menor concentración, definiéndose para este caso a la diferencia de concentraciones como fuerza impulsora y a la concentración como la variable de la transferencia de masa[8].

El transporte de masa puede ocurrir por dos mecanismos:

Transporte Molecular. Denominado también como difusión molecular, este tipo de mecanismo de transporte se debe al movimiento errático de las moléculas en los gradientes de concentración [8].

Transporte convectivo. Resulta del movimiento global del fluido, el movimiento puede ser forzado, causado por una fuerza externa o libre, como consecuencia de cambios de densidad debido a la diferencia de concentraciones.

Figura 2‐1. Difusión Molecular [9].

La velocidad con que se produce la transferencia de masa está vinculada al mecanismo de transporte de las sustancias entre las fases, entre las cuales tiene lugar el intercambio de masa.

La transferencia dentro de la fase puede originarse mediante difusión molecular o por medio de la convección y la difusión molecular simultáneamente.


19

En un medio inmóvil la sustancia se desplaza solo por difusión molecular. Cuando el medio es móvil, el transporte se producirá tanto por difusión molecular, como por el propio medio en la dirección de su movimiento, o por partículas individuales del mismo que se mueven en diversas direcciones [10].

Cuando se presenta un flujo turbulento, la difusión molecular predomina únicamente cerca de la superficie divisoria entre las fases, denominada interfase, mientras que en el resto de la fase surgen variaciones irregulares de la velocidad que originan el desplazamiento de partículas en todas direcciones, junto con el movimiento general del flujo. Al transporte colectivo de masa efectuado bajo la acción de las pulsaciones turbulentas se le denomina difusión turbulenta o por convección [10].

2.1.1.Transferenciadifusional.

En el fenómeno de la transferencia de masa se utiliza el término “flux de masa” para definir el flujo de un componente por unidad de área perpendicular al sentido del flujo, este flux es una medida apropiada de la rapidez de transferencia de masa, cuando una especie se mueve en virtud de la diferencia de concentración.

Es posible establecer una proporcionalidad entre el flux de masa y el gradiente de concentración mediante la ley de Fick, en la cual se plantea que la cantidad de masa que se difunde, durante un intervalo de tiempo, a través de una superficie perpendicular a la dirección de la transferencia, es proporcional al gradiente de la concentración de la sustancia que se difunde.

2.4

Donde:

es el coeficiente de difusión de la especie A en B, es la densidad de flujo molecular de materia

es el gradiente de concentración en la dirección z (gradiente unidireccional)


20

El signo menos indica que la difusión molecular ocurre en dirección a disminuir la concentración del componente que se está transfiriendo, es decir, el flux y el gradiente son contrarios por lo que se debe incluir un signo menos para que el flux masa sea positivo.

El coeficiente de difusión , representa la cantidad de masa que se difunde por unidad de tiempo, a través de la unidad de superficie perpendicular al sentido de la difusión[8], este valor depende de las propiedades de la sustancia que se está difundiendo, así como de las propiedades del medio a través del cual se difunde, de la temperatura y la presión del sistema. El coeficiente de difusión tiene unidades de m2/s.

2.1.2.Transferenciaconvectiva.

La transferencia de masa por convección es un mecanismo de transporte que se lleva a cabo entre una superficie límite y un fluido en movimiento o entre dos fluidos en movimiento, donde la diferencia de concentración se puede cuantificar mediante el concepto de gradiente de concentración, el cual denota la rapidez de variación de la concentración con respecto a una coordenada de localización, se define según las coordenadas en las que se requiera trabajar. Como ejemplo se muestra el gradiente de concentración para las coordenadas cartesianas:.

2.5

La convección se dará siempre que exista transferencia de masa entre dos fases de naturaleza distinta. Cuando esto pasa, las condiciones en la vecindad de la interfase son difíciles de observar experimentalmente, en particular cuando prevalecen condiciones de flujo turbulento en su cercanía, lo cual dificulta el análisis del proceso de transferencia de masa y la posibilidad de manipularlo con fines prácticos.


21

Una forma de abordar estos problemas es realizar mediciones experimentales en las regiones donde éstas son posibles y postular modelos que traten de describir los fenómenos en las zonas donde no se pueden efectuar tales mediciones. Se ha tomado el modelo teórico conocido como: Teoría de la Doble Resistencia de Whitman para explicar la transferencia de masa interfacial. En esta la teoría, las películas de fluido en cada lado de la interfase representan una resistencia a la transferencia de masa, en la interfase, los dos fluidos se encuentran en equilibrio termodinámico y no hay otra resistencia adicional a la transferencia, es decir, la interfase no presenta resistencia a la transferencia [11].

Figura 2‐2. Concentraciones en la interfase entre líquido y gas.

Análogamente a lo que sucede en el contacto de un fluido en movimiento con la pared de un sólido, la velocidad relativa será nula en la interfase. Además se supone que la concentración de la sustancia a transferir es mayor en la fase gas que la correspondiente al equilibrio, como resultado la sustancia se transfiere de esta fase a la interfase y luego a la fase líquida.

Cuando el fluido, en flujo turbulento, se mueve cerca de una pared sólida se origina una capa limitante laminar. En cada fase se distingue una zona de movimiento turbulento y una zona correspondiente a la capa límite, junto a la interfase.


22

Este proceso es lento, ya que la difusión a través de las películas tiene lugar por difusión molecular. El gradiente de concentración es lineal a cada una de las películas y nulo fuera de ellas.

Para determinar el flux del componente transferido se utilizan expresiones que tienen la forma:

Ó

Donde el coeficiente, es un coeficiente convectivo que puede expresarse en función de la diferencia de concentración. A continuación se muestran ejemplos de estos coeficientes: Para la fase gaseosa: Para la fase líquida:

Ec. 2.6 Ec. 2.9

Ec. 2.7 Ec. 2.10

Ec. 2.8

Donde:

es el flux del componente A,

, , , , , son los coeficientes de transferencia de masa según la forma de expresar la concentración,

, , , , son las concentraciones del componente A en el seno del fluido y

, , , , son las concentraciones del componente A en la interfase.

La ecuación de continuidad de masa indica que en el régimen permanente, cuando no hay reacciones químicas, la rapidez de flujo de un componente que entra a la interfase es igual a la rapidez de flujo que sale [11]:

2.11


23

Expresando la Ec. 2.11 en función de las concentraciones del componente:

2.12

Manipulando la Ec. 2.12:

2.13

2.14

Es posible representar el balance de un componente a través de la interfase por medio de un diagrama de ejes cartesianos, conocido como Diagrama de Distribución, en el cual se puede visualizar la colocación de las concentraciones del componente en el seno de ambos fluidos y las concentraciones de interfase de los mismos. A continuación se muestra un ejemplo de dicho diagrama para la operación de absorción de un componente:

Figura 2‐3. Diagrama de Distribución para absorción. Adaptado de Ref [11]


24

A la línea recta con pendiente negativa e igual al cociente entre los coeficientes de transferencia, se le denomina “Línea de Fuerza Motriz” también llamada “Línea de Fuerza Impulsora”, ésta línea une al punto P con el punto M, el punto P corresponde a las coordenadas de concentración del soluto en el seno de ambos fluidos, mientras que el punto M, corresponde a las concentraciones en la interfase y conecta la Línea de Fuerza Motriz con la Línea de Equilibrio.

Cuando se quiere calcular un flux de masa a través de la interfase, es necesario conocer la concentración de la especie química que se transfiere en el seno del fluido y la concentración en la interfase. La determinación experimental de la primera es directa, basta tomar una muestra directamente del fluido, sin embargo resulta prácticamente imposible tomar una muestra en la zona de interfase debido a las pequeñas dimensiones de la misma. Una forma para enfrentar éste problema es mediante la definición de un coeficiente de transferencia que no incluya las concentraciones de interfase, por lo que se han definido los coeficientes de transferencia de masa del tipo “K”, en donde para la evaluación de la magnitud de un flux de masa, la diferencia de concentración está referida a la concentración “*” (asterisco) y no a la concentración en la interfase [11].

La definición de las concentraciones asterisco está indicada en la Fig. 2-12. Para obtener ∗ , se define primero el punto P con las concentraciones y , posteriormente se entra con la coordenada de , hasta tocar P y de ahí se toca la línea de equilibrio, teniéndose ∗ a esta altura. El mismo procedimiento se hace para ∗ sólo que ahora se entra con .

De ésta forma es posible obtener el flux de masa de acuerdo a las siguientes expresiones:

Para la fase gaseosa: Para la fase líquida: ∗ Ec. 2.15 ∗ Ec. 2.17

∗ Ec. 2.16 ∗ Ec. 2.18

Donde , , , , son los coeficientes globales de transferencia de masa.


25

Es posible establecer una relación entre los coeficientes K que incluyen a las concentraciones asterisco y a los coeficientes tipo k que incluyen a las concentraciones en la interfase mediante las siguientes ecuaciones:

1 1 2.19

1 1 1 2.20

La forma de las ecuaciones 2.19 y 2.20 siguen la conocida expresión de las resistencias en serie, donde, la resistencia total es igual a la suma de todas las resistencias. Los coeficiente globales o totales y , representan resistencias a transferir materia en el lado gas o en el lado líquido. Cuando la diferencia de concentración en alguna de las fases es relativamente pequeña con respecto a la otra, la rapidez de transferencia depende de la resistencia mayor a la transferencia, por lo que la resistencia controlante será la que presente una diferencia grande de concentraciones en el seno del fluido y la interfase.

La aplicación más importante de la transferencia de masa se da en las operaciones unitarias, donde se modifica la composición de soluciones y mezclas mediante métodos que no impliquen necesariamente reacciones químicas. Es mucha la importancia de estas operaciones, raro es el proceso químico que no requiera de la purificación inicial de las materias primas o de la separación final de los productos y subproductos [12].

2.1.3.Ejemplodeaplicación.Absorciónencolumnaempacada.

Absorción.

La absorción de gases es una operación unitaria por la que los componentes solubles de una mezcla gaseosa se disuelven en un líquido. Se lleva a cabo en torres o columnas, que son recipientes cilíndricos esbeltos, en posición vertical y en cuyo interior se incluyen dispositivos como bandejas o lechos de relleno para conseguir el


26

contacto íntimo entre las fases, líquido y gas. Generalmente, el gas y el líquido fluyen en contracorriente por el interior de la torre [13].

La absorción puede ser física o química. En el caso de absorción física, el gas se elimina por tener mayor solubilidad en el solvente que otros gases, mientras que en la absorción química el gas que se va eliminar reacciona con el solvente y queda en solución [14].

Para los sistemas de absorción física con tres componentes se supone:

que el gas portador es insoluble. el solvente es no volátil. el sistema es isotérmico e isobárico.

Se utilizan los siguientes datos para el diseño de la columna de absorción y la obtención de las concentraciones de las corrientes de entrada y salida del sistema amoníaco-aire-agua con flujo a contracorriente:

Tabla 2‐1. Datos para el sistema de absorción de Amoníaco.

Además para el siguiente ejemplo se supone:

se encuentra en estado estacionario, los efectos térmicos son despreciables la solución se trata como solución diluida mezcla gaseosa ideal

G (m3/h)

yn+1 x0 T P

(atm) % NH3

recuperado Exceso de L’

()

Velocidad de

inundación 1500 0.05 0 20°C 1 90 30% 60%


27

Figura 2‐4. Corrientes del sistema aire‐amoníaco‐agua.

Para conocer la altura y el diámetro necesarios de la columna se llevan a cabo los siguientes cálculos y posteriormente el modelado de la misma en COMSOL Multiphysics para observar el perfil de concentración en el líquido y en el gas.

Se inicia con el diseño por medio de la obtención de los datos de equilibrio del sistema amoníaco-aire-agua a 20°C y 1 atm de presión:

CNH3

60 50 40 30 25 20 10

PNH3 (mmHg)

945 686 470 298 227 166 69.6

Tabla 2‐2. Datos de equilibrio de absorción de amoníaco en agua [14].

Se cambia la corriente a kgmol/h. Peso molecular de en kg/kgmol.

∗ ∗ 1

17 / ∗ 0.05 28.85 / ∗ 1 0.05

28.2575 /


28

Densidad de en kg/m3.

∗

1 ∗ 28.2575 /

0.082057 ∗ 293.15

1.1747 /

Por lo tanto:

1500 ∗ 1.1747 ∗28.2575

62.3570 /

Cantidad de en la entrada:

∗

62.3570 ∗ 0.05

3.1178 /

Cantidad de aire en ′:

∗ 1

62.3570 ∗ 1 0.05

59.2392 /

Los kgmol/h de aire serán los mismos en la entrada y en la salida.


29

Cantidad de que se absorbe:

∗ %

3.1178 ∗ 0.90

2.8060 /

Cantidad de NH3 en G1:

3.1178

2.8060 /

0.3117 /

Total de kgmol en .

59.2392 0.3117

59.5510 /

Obteniendo :

0.3117 /59.5510 /

0.0052


30

Cambiando a relación molar:

1

0.051 0.05

0.0526

1

0.00521 0.0052

0.0052

1

01 0

0

Tabla 2‐3. Resumen de composición de las corrientes de entrada y salida.

Obteniendo

′′

Se obtiene de la curva de equilibrio (Gráfica 2-1), la cual se elabora con los datos de la Tabla A-1 que se encuentra en el Anexo A.

Con =0.0526 → de la gráfica de la curva de equilibrio =0.055

Entrada Salida Fracción mol Relación mol Fracción mol Relación mol

yn+1= 0.05 Yn+1=0.0526 y1=0.0052 Y1=0.0052 x0=0 X0=0 xn=sin calcular Xn=sin calcular


31

Gráfica 2‐1. Curva de equilibrio y operación para el sistema aire‐amoníaco‐agua.

Por lo tanto:

′′

′′

0.0052 0.05260 0.055

′′

0.8612

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Y

X

equilibrio

operacion


32

Entonces el flujo de agua mínimo, ′ es igual a:

′′′

∗

′ 0.8612

∗ 59.2392

′ 51.0194 /

Cálculo para

′′

∗′′

Donde es el exceso de agua ′ agregado para evitar el fenómeno de acanalamiento, que es el escurrimiento del agua por las paredes de la torre.

Al aumentar aumenta , por lo que los costos de operación aumentan. Se

selecciona un 30 % de exceso, cifra que se encuentra dentro de los límites recomendados que van del 20 al 50% [13].

′′

1.3 ∗ 0.8612

′′

1.1196

′ será:

′′′

∗ ′

′ 1.1196

∗ 59.2392

′ 66.3252 /


33

Y la corriente :

′

66.3252 2.8060

69.1313 /

Calculando

′′

1.11960.0052 0.0526

0

0.0423

El diámetro de la torre se calcula a través de la metodología propuesta en Seader and Henley [15] en donde se utiliza la Relación de Energía Cinética Líquido-Gas

.

∗∗

∗.

Y la Velocidad Superficial del Gas .

∗∗ ∗ ∗

Que involucra la velocidad del gas , el factor que es un factor perteneciente a las características del empaque a utilizar (a/3) y la constante de gravedad ,

además de la relación entre las densidades de vapor y del agua y los factores de corrección por densidad y viscosidad.

Al realizar los cálculos se cambiaron las unidades al sistema inglés, para poder usar las gráficas anexas en el libro de referencia.


34

Se tomó en consideración el uso de anillos Rasching de cerámica de 1 pulgada, ya que son las más usados industrialmente, son resistentes al ataque químico, debido a su forma presentan gran resistencia mecánica, proporcionan gran superficie de contacto a la vez que mucho espacio libre. El tamaño se seleccionó de acuerdo a la relación que debe tener con el diámetro de la torre. En general el diámetro del empaque no debe ser mayor a 1/8 del diámetro de la columna.

Anillos Rasching de cerámica Tamaño (mm) Fp (ft2/ft3) (m2/m3) (m3/m3)

25 179 190 0.680

Tabla 2‐4. Características del empaque [15].

El método expuesto se aplica de la siguiente forma:

El primer paso es entrar a la Gráfica 2-2 con la abcisa:

∗∗

∗.

Gráfica 2‐2. Determinación de Y a través de FLV. Adaptado de Ref [15].


35

∗∗

∗.

69.1313 ∗ 17.9594 /

62.3570 ∗ 28.2575 /∗

1.1747 /958.1808 /

.

0.0246 Con =0.024 se obtiene de la Gráfica 2-2: =0.2

Con =0.2 y la siguiente ecuación se calcula u2, las correcciones y se buscan en las Gráficas 2-3 y 2-4.

∗∗ ∗ ∗

Gráfica 2‐3. Determinación de corrección . Adaptado de Ref [15]

De la Gráfica 2-3 se obtiene =1.0


36

Gráfica 2‐4. Determinación de la corrección . Adaptado de Ref [15]

Y de la Gráfica 2-4 se obtiene =1.0 con la viscosidad del agua 1.02 cP.

Se procede a calcular y posteriormente .

∗∗ ∗ ∗

0.2∗ 179 /32.2 /

∗1.1747 /1000 /

∗ 1.0 ∗ 1.0

30.5657 /

5.5286 /

Para obtener los datos a 60% de inundación:

0. 6 ∗ 0.2

0.072

Con =0.072 se calcula la nueva .

∗∗ ∗ ∗


37

0.072∗ 179 /32.2 /

∗1.1747 /1000 /

∗ 1.0 ∗ 1.0

11.0036 /

3.3171 /

Se calcula el diámetro con la siguiente ecuación:

4 ∗ ∗∗ ∗

.

4 ∗ 137.4973 ∗1

3600 ∗ 28.2575 /

3.3171 ∗ ∗ 0.0733 /

.

2.3763

El diámetro es de 28.5163 in o 0.7243 m.

Por lo tanto, el área transversal de la torre es:

∗4

∗ 0.72434

0.4120

Para el cálculo del Número de Unidades de Transferencia se utiliza la siguiente expresión.

∗

12∗

11

El primer miembro de esta ecuación representa el Número de Unidades de Transferencia para un gas infinitamente diluido, mientras que el segundo término supone sólo una pequeña corrección, que representa el efecto de que el nivel de concentración del gas sea finito. El procedimiento de aplicación de esta ecuación implica dos etapas: 1) cálculo de la integral y 2) la suma de la corrección correspondiente.


38

Se resolverá la integral de dos formas usando únicamente Simpson 3/8, esto con el fin de obtener 2 diferentes alturas de la columna de absorción y ver en cuál de ellas se obtiene una mejor separación.

Cálculo No 1.

Con Simpson 1/3 y 3/8. Se obtiene el ancho para 5 pasos.

50.05263 0.005263

50.00947

*

0.0052 0 190.0057 0.0147 0.007 129.2543 0.0242 0.0175 149.0231 0.0336 0.022 85.5867 0.0431 0.031 82.2521 0.0526 0.03858 71.1671

Tabla 2‐5. Cálculo de f(Y), Cálculo 1.

Para los primeros dos segmentos se utiliza la regla se Simpson 1/3.

4 ∗ 3 2

0.0242 0.0052190.0057 4 ∗ 129.2543 149.0231

6

2.7033


39

Para resolver los tres segmentos restantes se utiliza la regla de Simpson 3/8.

3 ∗ 8

0.0526 0.0242149.0231 3 ∗ 85.5867 82.2521 71.1671

8

2.5710

Ahora se resuelve para el sumando los resultados de ambos Métodos de Integración.

∗

12

11

2.7033 2.571012

1 0.00521 0.0526

5.2513

Cálculo No 2

Resolviendo por el método de Simpson 3/8.

30.05263 0.005263

30.015789


40

0.0052 0 190.0057002 0.0210 0.0147 157.4307305 0.0368 0.0250 84.45232666 0.0526 0.0390 73.36757153

Tabla 2‐6. Cálculo de f(Y), Cálculo 2.

3 ∗ 8

0.0526 0.0052190.0057 3 ∗ 157.4307 84.4523 73.3675

8

5.8558

Calculando el .

∗

12

11

5.855812

1 0.00521 0.0526

5.8327

Antes de realizar el cálculo para se obtiene por medio de las correlaciones de Pavlov [16].

Se inicia haciendo los cálculos para la película gaseosa.

Difusividad de NH3-aire por medio de la expresión de Gilliland (Para gases polares) [17].


41

4.3 10 ∗

∗

∗1 1

4.3 10 ∗293.15

1 ∗ 25.8 10 29.9 10

∗1

17

128.85 /

1.7977 10 /

Viscosidad de la mezcla gaseosa .

Viscosidad de NH3 @ 20°C [18]: 9.94x10-6 Pas Viscosidad de aire @ 20°C[18]: 1.81x10-5 Pas

∗ ∗ 1

9.94 10 ∗ 0.05 1.81 10 ∗ 1 0.05

1.7692 10 ∙

Velocidad de .

1500 ∗1

0.4120∗3600

1.0112 /


42

Número de Reynolds.

4 ∗ ∗∗

Donde:

Es la relación superficie/volumen del empaque

4 ∗ 1.0112 ∗ 1.1747 /

1.7692 10 ∙ ∗ 190 /

1413.5040

Número de Schmidt

Se utiliza para caracterizar flujos en los que hay procesos convectivos de cantidad de movimiento y masa.

∗

1.7692 10 ∗

1.1747 ∗ 1.7977 10 /

0.8377

Numero de Nusselt.

Indica la transferencia de masa por convección.

0.0407 ∗ . ∗ .

0.0407 ∗ 1413.5040 . ∗ 0.8377 .

4.44


43

Diámetro equivalente.

4 ∗

4 ∗ 0.680 /190 /

0.0143

Coeficiente de transferencia de masa de la fase gas.

∗

4.44 ∗ 1.7977 10 /0.0143

5.58 10 /

5.58 10 / ∗1

0.082057 ∗ 293.15

2.31 10

∗

2.31 10

∗ 190 /

4.41 10


44

Se hacen los cálculos para la de la película líquida.

Difusividad de NH3-agua por medio de la expresión de Hayduk-Minhas (usada en soluciones acuosas) [17].

1.25 10 ∗ . 0.292 ∗ . ∗ ∗

Donde:

es la viscosidad del agua en cP.

El cálculo de VA se hace por el método de Le Bas [17].

Componentes V (cm3/mol) No de átomos Hidrógeno 3.7 3 Nitrógeno 12 1

Tabla 2‐7. Valores para el cálculo de la difusividad .Obtenidos de Tabla 4‐10, página 4.34, The properties of gases and liquids [17].

3 ∗ 3.7 1 ∗ 12

23.1 /

∗ 9.58

∗ 9.5823.1

∗ 0.4147

La viscosidad del agua a 20°C es: 1.02 cP (0.00102 Pa s). Por lo tanto, sustituyendo valores.

1.25 10 ∗ . 0.292 ∗ . ∗ ∗

1.25 10 ∗ 23.1.

0.292 ∗ 293.15 . ∗ 1.02 .


45

1.8547 10 1.8547 10 /

Número de Reynolds.

4 ∗∗ ∗ ∗

4 ∗ 0.3448

0.4120 ∗ 190 ∗ 0.9 ∗ 9.79 10 ∙

20.00

Número de Schmidt

∗

9.79 10 ∙

958.1808 ∗ 1.8547 10 /

5.5088 10

Nusselt

0.0021 ∗ . ∗ .

0.0021 ∗ 20 . ∗ 5.5088 10 .

0.4661

Espesor de la película líquida.

∗

/

9.79 10 ∙958.1808 / ∗ 9.81 /

/


46

4.7387 10

Coeficiente de transferencia de masa de la fase líquida.

∗

0.4661 ∗ 1.8547 10 /4.7387 10

1.8243 10 /

1.8243 10 ∗ 958.1808 ∗1

17.9594

9.7113 10

∗

9.7113 10

∗190

0.1845


47

Coeficiente global de transferencia de masa.

Se elige calcular debido a que la resistencia controlante en este caso se encuentra en la fase gaseosa, ya que el amoníaco presenta una alta solubilidad en el agua.

1 1

Donde m es la pendiente de la curva de equilibrio, en éste caso:

0.100811 00.105882 0

0.9521

1 0.9521

0.1845

1

0.0441

127.8511

0.0359

Para el cálculo de HOG.

∗ 1

2

62.3570 59.55102

60.954 ∗3600

0.0169 /


48

11 1

11

11 0.0052 1 0.05263

1 0.00521 0.052632

1 0.9708

∗ 1

0.01693 /

0.0359 ∗ 0.9708

0.4857

Altura de la columna:

Se obtiene considerando los resultados de los dos métodos que se usaron para calcular el .

Cálculo No 1 Cálculo No 2 ∗

0.4857 ∗ 5.2513

2.55

∗

0.4857 ∗ 5.8327

2.83

Tabla 2‐8. Alturas para la columna.

La altura de la columna es 2.55 m y 2.8329 m (para ambos métodos de , mientras que el diámetro es de 0.7243 m, con estos datos se hará el modelado en COMSOL para conocer el perfil de concentración dentro de la columna.


49

3. Modelado en COMSOL Multiphysics

En éste capítulo se introduce el uso del software comercial COMSOL Multiphysics en su versión 4.3, mediante la solución al problema que fue resuelto analíticamente en el Capítulo 2.

Dentro de la ingeniería, la simulación de fenómenos tiene una gran influencia en el desarrollo de nuevos productos o prototipos que hoy en día no se plantean sin antes haberlos contrastado computacionalmente.

COMSOL Multiphysics ofrece un entorno moderno que da la posibilidad de estudiar efectos de distinta naturaleza para un sistema dado a través de un método simple de diseño, comenzando con la etapa de dibujo, el establecimiento de las propiedades del sistema, condiciones de contorno y finalizando con el mallado para llegar a la solución final y su postprocesado.

Para mejor comprensión se definen los siguientes términos utilizados a lo largo del capítulo:

Interfaz física: Secciones en las que se divide un módulo de trabajo de COMSOL Multiphysics.


50

Nodos: Partes en las que se divide el Model Builder, forman el desglose del proceso a seguir en el modelado.

Subdominio: Fragmentos en los que se secciona la geometría, en ocasiones, la geometría completa si ésta no está seccionada.

3.1. MODELADOENCOMSOLMultiphysics.

Para ilustrar la aplicación práctica de COMSOL M. se ejemplificó con la operación de absorción de amoníaco de una mezcla gaseosa con aire, usando como líquido disolvente al agua. Mediante cálculos analíticos se obtuvo el diámetro y altura de la columna, respectivamente; datos con los que se inicia el modelado en COMSOL M. con el fin de obtener el perfil de concentración dentro de la columna empacada.

Debido a que se obtuvieron 2 resultados para el cálculo de la altura, ambos serán modelados para elegir cuál es el óptimo según el desarrollo del perfil de concentraciones que se obtenga.

El módulo de trabajo para el caso de transferencia de masa es Chemical Species Transport, en donde es posible trabajar con modelos de reacciones químicas o transporte de materia; para conocer la conversión de los componentes químicos, simular la transferencia de masa, la difusión, convección o la reacción química.

En el módulo de Chemical Species Transport, se elige, para éste caso de absorción, la interfaz física Transport of Diluted Species, que es aplicable para sistemas donde el componente transportado es significativamente menor a la cantidad de solvente.

Dentro de la interfaz física Transport of Diluted Species esta predefinido un ambiente para el estudio de la evolución del transporte de especies químicas por difusión y convección, aplicándose la Ley de Fick para el caso de la difusión. En esta interfaz física se asume que todas las especies presentes están diluidas, es decir, que su concentración es pequeña en comparación con la cantidad de solvente.


51

Se hace un análisis cualitativo de los fluxes a través de la fase gaseosa, considerando que el aire no se disuelve en el agua permaneciendo “inerte” desde el punto de vista de transferencia de masa, por lo que se dice que permanece estancado. Sea A el amoníaco, la ecuación en coordenadas rectangulares para la transferencia de masa de la interfaz física Transport of Diluted Species, sería:

3.1

La Ecuación 3.1 es el balance de masa; el primer término denota la acumulación de la especie A en el sistema, el segundo término corresponde al transporte convectivo, el siguiente al transporte difusional y la interacción entre el soluto y el solvente, y denota la presencia de una reacción química Se trabaja en el modo de multifísica, es decir, que es necesario usar más de una física para crear el modelo. Se acoplan dos físicas, que son Transport of Diluted Species (chds) y Transport of Diluted Species (chds2), la primera para modelar la concentración en la fase gas y se le asigna la variable de concentración c1 y la segunda lo hace para la fase líquida con la variable de concentración c2.

El modelo se construye en 2D para simplificar los cálculos y disminuir el tiempo de solución.

Se trabaja en estado estacionario y se agregan los parámetros necesarios, que son valores que se usan a lo largo de la solución del problema y que es conveniente tenerlos definidos en un solo lugar, para hacer más fácil la modificación de alguno de ellos. La Fig. 3-1 contiene los Parámetros para la solución al problema de absorción.


52

Figura 3‐1. Parámetros.

La velocidad del líquido, v2, tiene un signo negativo debido a que el agua fluye a contracorriente. Las unidades de COMSOL están configuradas en el Sistema Internacional de Unidades.

Para que posterior a la solución del problema, pueda visualizarse la concentración como fracciones molares se agregan como Variables las ecuaciones que resuelven las fracciones molares en el líquido, x, y el gas, y.

Figura 3‐2. Variables.

3.1.1. ConstruccióndelaGeometría.

Ahora se construye la geometría, que se modela con un rectángulo de 0.7243 m de ancho (diámetro de la torre) y 2.55 m de altura (altura de la torre) para el primer caso.


53

.

Figura 3‐3. Geometría para la columna de absorción.

3.1.2. CondicionesdeSubdominio.

Se procede a especificar las condiciones de subdominio para definir en qué partes de la geometría se van a resolver las ecuaciones del módulo elegido. Para este sistema solo se tiene un subdominio, que se selecciona para ser utilizado en Transport of Diluted Species.

Se describe primero dentro del nodo de Convection and Diffusion 1, el transporte de la fase gas, que está compuesta de aire y amoníaco, se define la velocidad de la fase gas en el eje y, que es v1 y también el coeficiente de difusividad del amoníaco en el aire, que es D1.


54

Figura 3‐4. Condiciones de subdominio para fase gas.

Como otra condición de subdominio se agrega un nodo de Reaction. Como se sabe, en el sistema estudiado de aire-amoníaco-agua no hay reacción, pero dentro de este nodo es posible especificar la velocidad de transferencia de masa de la forma:

∗ 3.2

1 2 3.3

Donde:

es el Coeficiente Global de Transferencia de Masa, es la fracción mol en la fase gas y ∗ es la fracción mol en la interfase.

En la Ec. 3.2 ∗ se representa por medio de:

3.4


55

Donde:

es la constante de Henry y la fracción mol de amoníaco en el líquido.

Figura 3‐5. Condiciones de reacción.

El signo negativo denota que la concentración del soluto va en decremento en la fase gas.

3.1.3. Condicionesdefrontera.

Ya que se tienen las condiciones de subdominio, se procede a agregar las condiciones de contorno o frontera.

La corriente de entrada de la fase gas que se encuentra en el fondo de la columna se modela como una condición de Concentración. Para lo cual se agrega el nodo de Concentration, que resuelve:

3.5 Se especifica el valor de la concentración inicial como c10, que es la concentración de amoníaco en la entrada de la fase gas.

Figura 3‐6. Condiciones de contorno, entrada de gas.


56

Se agrega la salida del gas con el nodo Outflow, que modela el transporte convectivo de los componentes hacia fuera del subdominio[19]. El flujo de masa por difusión dentro de esta frontera es igual a cero.

∙ 0 3.6 Las dos fronteras restantes se agregan al nodo de No Flux, que representa las fronteras donde no hay flujo de entrada ni salida [19].

∙ 0 3.7 En la Fig. 3-6 se muestra como quedaron finalmente las condiciones de frontera.

Figura 3‐7. Condiciones de contorno o frontera, fase gas.

La parte de la fase líquida se modela mediante la interfaz física que es Transport of Diluted Species 2, se hace de manera similar a la fase gaseosa, sobre la misma geometría.

En el nodo de Convection and Diffusion, se ponen las condiciones de subdominio de velocidad que ahora será v2, y el coeficiente de difusión, D2, para la difusividad del amoníaco en el agua.


57

Figura 3‐8. Condiciones de subdominio fase líquida.

De la misma forma que para la fase gas, se agrega un nodo de Reaction, para considerar la velocidad de la transferencia de masa en el proceso de absorción. Esta vez la expresión queda con signo positivo ya que el amoníaco está incrementando su concentración en la fase líquida.

Figura 3‐9. Condiciones de subdominio fase líquida, Reactions.

Las condiciones de frontera se asignan de la siguiente forma:

Figura 3‐10. Condiciones de frontera, fase líquida.


58

3.1.4. Generacióndelamalla.

El siguiente paso es la generación del mallado de la geometría, el cual, para tener mayor cercanía con los resultados del cálculo a mano, se hace de un tamaño extra fino con base en que la figura es sencilla y se lleva poco tiempo en construir la malla. Se muestra el mallado con 1626 elementos.

Figura 3‐11. Mallado de la geometría.

3.1.5. Soluciónypostprocesado.

El paso siguiente es solucionar el modelo para obtener el perfil de concentración en el gas y en el líquido. A continuación se muestran los perfiles del cálculo de COMSOL.


59

Figura 3‐12. Perfil de concentración en fase gaseosa en (mol/m3), Cálculo 1.

Figura 3‐13. Perfil de concentración en fase líquida en (mol/m3), Cálculo 1.

El modelo también fue resuelto con la altura obtenida en el segundo cálculo de la columna, se presentan los resultados para éste cálculo.


60

Figura 3‐14. Perfil de concentración en fase gas en (mol/m3), Cálculo 2.

Figura 3‐15. Perfil de concentración en fase líquida en (mol/m3), Cálculo 2.


61

Los resultados obtenidos en los cálculos analíticos y en el modelo en COMSOL Multiphysics para ambos casos se observan en la siguiente tabla.

Tabla 3‐1. Comparación de resultados analíticos con resultados en COMSOL Multiphysics.

Se hace el cambio de unidades de flujo a unidades de concentración para la comparación de los resultados obtenidos en COMSOL Multiphysics y en la solución analítica, (para referencia del cambio de unidades ver el Anexo B).

A continuación se presenta la tabla con los errores relativos para cada corriente en ambos casos, por medio de la ecuación:

% í

í∗ 100

Corriente % de Error en Cálculo 1 % de Error en Cálculo 2 NH3 en G 0.0048 0.0048 NH3 en G1 12.41 12.51 NH3

en Ln 6.27 9.24 Tabla 3‐2. Por ciento de error obtenido para ambos casos de Alturas de la columna.

Corrientes Cálculos analíticos (mol/m3)

COMSOL Multiphysics Cálculo 1 (mol/m3)

COMSOL Multiphysics Cálculo 2 (mol/m3)

NH3 en G 2.0785 2.0786 2.0786 NH3 en G1 0.2175 0.2445 0.1933 NH3

en Ln 2164.7784 2300.51 2364.87


62

Figura 3‐16. Perfil de concentración en fase gas, fracción mol y, Cálculo 1.

Figura 3‐17. Perfil de concentración en fase líquida, fracción mol x, Cálculo 1.

En las Figuras 3-16 y 3-17 se observa el perfil de concentraciones en fracción mol de la fase gas y de la fase líquida, los cuales muestran similitud con los cálculos analíticos según Tabla 3-3.


63

Fracción Mol Cálculos analíticos COMSOL Multiphysics Cálculo 1

COMSOL Multiphysics Cálculo 2

yn+1 0.05 0.05 0.05 y1 0.0052 0.0058 0.0046 x0 0 0 0 xn 0.0405 0.0414 0.0427

Tabla 3‐3. Comparación de resultados de las fracciones mol.

A continuación se calculan los errores relativos para las fracciones mol.

%ó ó í

ó í∗ 100

Fracción Mol %E Cálculo 1 %E Cálculo 2 yn+1 0 0 y1 11.53 11.53 x0 0 0 xn 2.22 5.43

Tabla 3‐4. Por ciento de error obtenido para las fracciones mol.

El valor del error relativo más grande tanto para las concentraciones en mol/m3 así como en las fracciones mol se encuentra en la corriente de salida del gas, G1, ya que para esta corriente es donde se utiliza el coeficiente global de transferencia de masa y éste fue obtenido por medio de correlaciones en los cálculos analíticos.

De acuerdo al desarrollo del perfil de concentración se elige la columna que tiene una altura de 2.83 m, puesto que los valores de G1 y Ln indican mayor separación de amoníaco que la obtenida con la columna de 2.55 m, como protección al proceso de separación es conveniente elegir la columna con 28 cm más en donde se tiene la posibilidad de separar mayor cantidad de amoníaco.


64

Figura 3‐18. Dirección del flux total de masa.

Figura 3‐19. Dirección del gradiente de concentración.


65

Se observa que el sentido del gradiente de concentración y del flux de masa son opuestos como se mencionó en la parte teórica, razón por la cual fue agregado un signo negativo al gradiente de concentración con el fin de que el flux de masa sea siempre positivo.


66

CONCLUSIONES.

COMSOL Multiphysics ha mostrado ser eficaz para su aplicación en la solución de problemas de Fenómenos de Transporte, resultó ser útil para el diseño, modelado, simulación y análisis de sistemas físicos.

Se expuso su utilidad mediante la solución a un problema práctico en Ingeniería Química Petrolera de cual, haciendo una comparación con los cálculos analíticos se tuvo el menor error de 6.27% en la corriente de con un mallado extra fino, la diferencia entre los resultados fue mínima, ya que para este caso mientras más fina fuera la malla, más cercanía con los resultados analíticos se tenía.

El uso de este paquete de modelado puede extenderse a otros procesos y operaciones de la Industria Química, como son hidrotratamientos de fracciones de crudo, extracción de benceno, tratamiento de aguas amargas, recuperación de azufre de una corriente de gas, por mencionar algunas.

El modelado en COMSOL permite obtener y visualizar de manera sencilla factores importantes para los procesos que se desarrollan en la Industria Petroquímica, como son: perfil de concentración para la fase gas, la fase líquida, las fracciones mol, el sentido del flux de masa así como el del gradiente de concentración.

COMSOL Multiphysics es una herramienta potente que permitirá a las futuras generaciones llevar a cabo de manera rápida y eficaz cálculos de dominios complejos difíciles de manipular analíticamente o ayudar al estudio de sistemas experimentalmente riesgosos de realizar debido a sus condiciones extremas, explotando las posibilidades que ofrece actualmente la tecnología para resolver problemas de Ingeniería Química Petrolera.


67

BIBLIOGRAFÍA.

1. Regalado M., P.R., González R., Cómo hacer un modelo matemático. Temas de Ciencia y Tecnología, 2008. 12.

2. Corono, M.A.C., Análisis estrcutural por medio del método del elemento finito del monocasco de un auto fórmula 3. 2011, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica: México, Distrito federal.

3. Vega, M.V., Cálculo de pérdidas en tanques de transformadores utilizando el Método de Elemento Finito. 2007, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica: México, Distrito Federal.

4. Corral, O.M.J., Aplicación del Método del Elemento Finito. 2011, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica: México, Distrito Federal.

5. Logan, D., A first course in Finite Element Method. Fourth edition ed. 2007, United States: Thomson.

6. COMSOL, M. 2012, COMSOL Inc. 7. Curso de Fenómenos de Transporte. 2009, Universidad de Valencia: Valencia,

España. 8. Grajales, R.B., Transferencia Molecular de Calor, Masa y/o Cantidad de

Movimiento. Universidad Nacional de Colombia: Colombia. 9. Ruíz, M.E.G., Manual de Laboratorio de Fundamentos de Fenómenos de

Transporte, in Introducción a los Fenómenos de Transporte, J.E.C. Rivas, Editor. 2010: México.

10. Masciarelli, R., Transferencia de Masa. 2012, Universidad Tecnológica Nacional. 11. López, J.F., Apuntes del curso: Operaciones de Separación-I. 2007, Instituto

Politécnico Nacional: México, D.F. 12. E.Treybal, R., Operaciones de transferencia de masa. 2da ed., México. 13. Perry, R.H., Manual del Ingeniero Químico. 4ta ed. Vol. III. 2001, Madrid,

España: McGraw Hill. 14. Wankat, P.C., Ingeniería de Procesos de Separación. 2da ed. 2008, México. 15. Seader J. D. , H.E.J., Separation Process Principles. 2da ed. 2006, Estados

Unidos: John Wiley and Sons, Inc. 16. Barderas, A.V., Absorción. 2010, México, D.F.: UNAM. 17. Prausnitz J., P.B., O'Conell John The properties of gases and liquids. 5ta ed.

2004, Estados Unidos. 18. Mott, R.L., Mecánica de Fluidos. 6ta ed. 2006, México: Pearson Educación.

644. 19. COMSOL Multiphysics, Chemical Reaction Engineering Module. 2012, COMSOL

Inc.


68

ANEXOA

Datos de equilibrio, del sistema aire-amoníaco-agua a 20°C y 1 atm.

Pparcial NH3 (atm) Ptotal (atm) C NH3 (kgNH3/100kgH2O)

Y Y X

945 760 60 1.24342105 ‐5.1081081 0.63529412

686 760 50 0.90263158 9.27027027 0.52941176

470 760 40 0.61842105 1.62068966 0.42352941

298 760 30 0.39210526 0.64502165 0.31764706

227 760 25 0.29868421 0.42589118 0.26470588

166 760 20 0.21842105 0.27946128 0.21176471

69.6 760 10 0.09157895 0.10081112 0.10588235

Tabla A‐1. Datos de equilibrio para el sistema aire‐amoníaco‐agua.

Líneas de equilibrio y operación a 20°C y 1 atm.

Gráfica A‐1. Líneas de equilibrio y operación para el sistema aire‐amoníaco‐agua a 20°C y 1 atm.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 0.05 0.1 0.15

Y

X

equilibrio

operacion


69

Método gráfico para obtener Y*.

Gráfica A‐2. Líneas de equilibrio y operación para obtener y*.


70

ANEXOB

Conversión de unidades

Las unidades en las que COMSOL Multiphysics entrega el perfil de concentración son en mol/m3, por lo tanto, para verificar que el resultado en el modelo es cercano al calculado analíticamente se hace el cambio de kgmol/h a mol/m3.

Convirtiéndo kgmol/h a mol/m3.

Cantidad de NH3 en la entrada de la fase gas (G): 3.1178 kgmol/h

3.1178 ∗1000

∗1500

2.0785

Cantidad de NH3 en la salida de la fase gas (G1): 0.3117 kgmol/h

0.3117 ∗1000

∗1432. .495

0.2175

Cantidad de NH3 en la salida de la fase líquida (Ln): 2.8060 kgmol/h

2.6080 ∗1000

∗1.2962

2164.7748

Corrientes Cálculos analíticos (mol/m3)

COMSOL Multiphysics (mol/m3)

NH3 en G 2.0785 2.0786 NH3 en G1 0.2175 0.1933 NH3 en Ln 2164.7784 2364.87

Tabla B‐1. Comparación de resultados analíticos con resultados en COMSOL Multiphysics.

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