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IINNSSTTIITTUUTTOO PPOOLLIITTÉÉCCNNIICCOO NNAACCIIOONNAALL

EESSCCUUEELLAA SSUUPPEERRIIOORR DDEE EECCOONNOOMMÍÍAA

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN

MÉXICO, D. F. NOVIEMBRE DE 2010

T E S I SQUE PARA OBTENER EL GRADO DE:MAESTRO EN CIENCIAS ECONÓMICAS( E C O N O M Í A F I N A N C I E R A )

P R E S E N T A

A D R I A N A Z A M B R A N O R E Y E S

VALUACIÓN DE BONOS CON VOLATILIDADEN LA TASA DE INTERÉS: UNA APLICACIÓN A L M E R C A D O D E S W A P S

Agradecimientos Elaborar una tesis requiere una gran cantidad de tiempo, energía, ilusión, apoyo y otros elementos, a

menudo inmateriales, que permiten que de una u otra manera el estudiante consiga terminar su trabajo. Cada uno de esos muchos elementos aludidos tiene un protagonista y un momento determinado, a todos ellos quiero dedicar mi agradecimiento:

A mi Director de Tesis, Dr. Francisco Venegas Martínez por su generosidad al brindarme la oportunidad de recurrir a su capacidad y experiencia en un marco de confianza y permanente disposición, fundamentales para concretar este trabajo.

A la Comisión Revisora conformada por: Dr. Francisco Venegas Martínez, Dr. Humberto Ríos Bolivar,

Dr. Juan Carlos Baltazar Hernández, Dr. Salvador Cruz Aké y Dr. Gerardo Ángeles Castro por su colaboración en la revisión del presente trabajo y sus valiosas críticas al discutir los resultados de esta Tesis.

A los profesores de la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la ESE-IPN por brindarme la

oportunidad de superarme académicamente e impulsarme para seguir creciendo intelectualmente. Al Programa Institucional de Becas, por el apoyo económico otorgado durante los últimos tres semestres el

cual facilitó mi estancia en el programa de Maestría. A mis padres, esos dos seres maravillosos que han dado su vida entera para que sus hijos se abran paso en la

vida. Gracias por brindarnos un hogar cálido y lleno de amor, por darnos la oportunidad de estudiar (a base de muchos sacrificios) pero sobre todo por darnos la libertad de que cada uno de nosotros eligiera su futuro que ahora es un presente en donde ustedes son nuestro ejemplo a seguir. Hoy que los años los han alcanzado sólo puedo darle Gracias a Dios por tenerlos a mi lado y pedirle que los llene de salud y de vida por muchos años más.

A mi abuelita, Dona Cuca (†) quien desafortunadamente no podrá leer estas líneas. No hay un día en que no recuerde algún detalle o alguna situación que hicieron únicos esos momentos juntas. Te extraño mucho!!!

A mis hermanos por fastidiarnos tanto, por reírnos tanto, por compartir tanto, por enseñarme tanto.

Leticia y Andrés por todas aquellas experiencias que hemos vivido juntos y por su apoyo en cada momento, además porque me han dado el honor de ser la madrina de sus respectivos hijos: Santiago y Regina. Gracias por confiarme a esos dos angelitos que han venido a iluminar nuestras vidas, espero no fallarles. A mi hermano Armando por su apoyo incondicional desde el inicio de este proyecto hasta el día de hoy, porque nunca falto su asesoría intelectual (claro con su peculiar estilo de explicar las cosas) pero sobre todo por darme el ejemplo de que hay que luchar por lo que uno quiere y por lo que cree justo; además de que compartimos apadrinamientos podríamos escribir un libro con todas las experiencias que hemos pasado juntos.

Mamá, Papá, Hermanos a ustedes va dedicada esta tesis. Gracias por todo. Los quiero mucho!!!

Índice General I

L.E. Adriana Zambrano Reyes SEPI-ESE-IPN

Índice

ÍNDICE GENERAL ............................................................................................................................ I

ÍNDICE DE CUADROS .................................................................................................................. III

ÍNDICE DE GRÁFICOS ................................................................................................................. IV

ABREVIATURAS ............................................................................................................................ VI

GLOSARIO ................................................................................................................................... VIII

RESUMEN ..................................................................................................................................... XIII

ABSTRACT ................................................................................................................................... XIV

INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... XV

1 EL MERCADO DE SWAPS EN MÉXICO ........................................................................... 1

1.1 SWAPS: DEFINICIÓN Y FUNDAMENTOS ........................................................................................ 1

1.1.1 Breve historia de los Swaps ........................................................................................ 2

1.1.2 Características de los Swaps ...................................................................................... 5

1.1.3 Participantes en el contrato de Swap ......................................................................... 6

1.1.4 Clasificación de los Swaps ......................................................................................... 7

1.1.5 Los Swaps y el principio de ventajas comparativas ................................................... 9

1.2 SWAPS DE TASA DE INTERÉS ...................................................................................................... 12

1.2.1 Elementos de Swaps de tasa de interés .................................................................... 16

1.2.2 Proceso de valuación ................................................................................................ 17

1.2.3 Panorama global de los Swap de tasa de interés ..................................................... 18

1.3 EL MERCADO DE LOS SWAPS DE TIIE-28 DÍAS .......................................................................... 23

1.3.1 Definición de los Swaps de TIIE-28 días .................................................................. 23

1.3.2 Uso e intermediación de los Swaps de TIIE-28 días ................................................ 23

1.3.3 Intercambio de Flujos Variables por Flujos Fijos ................................................... 24

1.3.4 Intercambio de Flujos Fijos por Flujos variables .................................................... 27

1.4 EL MERCADO DE SWAPS EN MÉXICO ......................................................................................... 30

1.5 CONTRATOS DE FUTUROS SOBRE SWAPS DE TIIE ...................................................................... 33

1.5.1 Metodología de cálculo de tasas teóricas de Futuro de Swap ................................. 39

Índice General II


1.5.2 Uso del futuro del Swap ............................................................................................ 42

1.5.3 Ventajas de los futuros de Swaps de tasas de interés ............................................... 43

2 MODELO DE TASA CORTA DE BLACK, DERMAN Y TOY ....................................... 44

2.1 TEORÍAS SOBRE LA ESTRUCTURA DE PLAZOS DE LAS TASAS DE INTERÉS ................................... 44

2.1.1 La Teoría de expectativas puras ............................................................................... 45

2.1.2 Supuestos de la Teoría de expectativas puras .......................................................... 46

2.1.3 Implicaciones de la Teoría de expectativas puras .................................................... 46

2.2 MODELOS ESTOCÁSTICOS DE TASA DE INTERÉS CORTA ............................................................. 47

2.2.1 Clasificación de los modelos de tasa corta .............................................................. 51

2.3 ANTECEDENTES DEL MODELO ................................................................................................... 52

2.4 MODELO DE TASA CORTA DE BLACK, DERMAN Y TOY .............................................................. 58

2.4.1 Dinámica de la tasa corta de Black, Derman y Toy ................................................. 60

2.4.2 El algoritmo de BDT para calcular el precio de un bono cupón cero y la tasa corta

mediante árboles binomiales ................................................................................................ 64

3 APLICACIÓN DEL MODELO DE TASA CORTA DE BLACK, DERMAN Y TOY AL

MERCADO DE SWAPS ................................................................................................................. 83

3.1 OBTENCIÓN DEL ALGORITMO BDT ........................................................................................... 83

3.2 APLICACIÓN DEL ALGORITMO BDT AL MERCADO DE SWAPS .................................................... 96

3.2.1 Esquema de un Swap con expectativas a la baja ..................................................... 97

3.2.2 Esquema de un Swap con expectativas al alza ....................................................... 101

CONCLUSIONES .......................................................................................................................... 100

REFERENCIAS ............................................................................................................................. 107

Índice de Cuadros III


Índice de Cuadros

Tabla 1 Condiciones de Financiamiento .............................................................................................. 9

Tabla 2 Condiciones iniciales y deseadas .......................................................................................... 10

Tabla 3 Mercado mundial OTC, Volumen de negocios ..................................................................... 20

Tabla 4 Posiciones globales en Mercados derivados OTC, por tipo de instrumento ......................... 21

Tabla 5 Modelos de tasas de interés de corto plazo ........................................................................... 51

Tabla 6 Información inicial para la construcción del algoritmo BDT ............................................... 64

Tabla 7 Estructura de plazos iniciales ................................................................................................ 83

Tabla 8 Resultados del algoritmo BDT con tendencia a la baja ........................................................ 97

Tabla 9 Información para el pago fijo del intermediario financiero a la Empresa “A” ..................... 98

Tabla 10 Información para el pago variable de la Empresa “A” al intermediario financiero .......... 100

Tabla 11 Resultados del algoritmo BDT con ramificaciones hacia arriba ....................................... 102

Tabla 12 Información para el pago fijo de la Empresa “B” al intermediario financiero ................. 102

Tabla 13 Información para el pago variabledel intermediario finaciero a la empresa “B” .............. 104

Índice de Gráficos IV


Índice de Gráficos

Fig. 1-1 Swap IBM (1981) .................................................................................................................. 4

Fig. 1-2 Estrategia de un Swap de tasa de interés ............................................................................ 11

Fig. 1-3 Swap de tasa de interés entre Yamaichi y Renault ............................................................. 13

Fig. 1-4 Volumen de operaciones en mercados de derivados OTC .................................................. 22

Fig. 1-5 Swaps de tasa de interés, ISDA Estudio de mercado, 1987-2008 ....................................... 24

Fig. 1-6 Valor nocional de los swaps de tasa de interés .................................................................... 23

Fig. 1-7 Empresa con un pasivo fijo e ingreso variable, altamente dependientes de la tasa de corto

plazo ................................................................................................................................................... 25

Fig. 1-8 Intercambio de flujos fijos por flujos variables, a través de un Swap de TIIE- 28 días ...... 27

Fig. 1-9 Intercambio de flujos variables por flujos fijos, a través de un Swap de TIIE- 28 días ...... 28

Fig. 1-10 Derivados de tasas en el sector bancario ........................................................................... 32

Fig. 1-11 Promedio diario negociado (TIIE 28 dias) ........................................................................ 35

Fig. 1-12 Promedio diario negociado contratos de futuro Swap de TIIE 10 años ............................ 36

Fig. 1-13 Promedio diario negociado futuro de TIIE + Futuro de Swap de TIIE. ........................... 37

Fig. 1-14 Contratos de futuros sobre TIIE 28 (Promedio diario). ..................................................... 37

Fig. 1-15 Contratos de futuros Swap de TIIE 10 años (Promedio diario) ........................................ 38

Fig. 1-16 Futuros de TIIE + Futuro del Swap ................................................................................... 38

Fig. 1-17 Evolución de Futuro de Swap de TIIE 10 años ................................................................. 39

Fig. 2-1 Árbol binomial inicial .......................................................................................................... 65

Fig. 2-2 Precio de un bono cupón cero que vence en un año ............................................................ 66

Fig. 2-3 Árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero .................................... 66

Fig. 2-4 Árbol binomial de dos periodos para un bono cupón cero .................................................. 67

Fig. 2-5 Árbolbinomial de un período para la tasa corta ................................................................... 68

Fig. 2-6 Árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero .................................... 71

Fig. 2-7 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta .................................................................. 71

Fig. 2-8 Árbol binomial de dos periodos para la tasa corta ............................................................... 71

Fig. 2-9 Árbol binomial de tres periodos .......................................................................................... 72

Fig. 2-10 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta ................................................................ 77

Fig. 2-11 Árbol binomial de tres periodos del precio de un bono cupón cero .................................. 78

Fig. 2-12 Árbol binomial de tres periodos para la tasa corta ............................................................ 78

Índice de Gráficos V


Fig. 2-13 Árbol binomial de cuatro periodos del precio de un bono cupón cero. ............................. 79

Fig. 2-14 Árbol binomial de tres periodos para la tasa corta. ........................................................... 81

Fig. 2-15 Árbol binomial de cuatro periodos del precio de un bono cupón cero. ............................. 82

Fig. 3-1 Árbol binomial en un periodo .............................................................................................. 84

Fig. 3-2 Precio actual de un bono cupón cero en un periodo. ........................................................... 84

Fig. 3-3 Árbol binomial de dos periodos. .......................................................................................... 85

Fig. 3-4 Árbol binomial de dos periodos. .......................................................................................... 85

Fig. 3-5 Árbol binomial de un periodo para la tasa corta .................................................................. 86

Fig. 3-6 Polinomio en rd. ................................................................................................................... 88

Fig. 3-7 Arbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero. ................................... 89

Fig. 3-8 Árbol binomial de dos periodos para la tasa corta. .............................................................. 89

Fig. 3-9 Árbol binomial en dos periodos de la tasa corta. ................................................................. 89

Fig. 3-10 Polinomioen vd .................................................................................................................. 93

Fig. 3-11 Polinomio en rd. ................................................................................................................. 95

Fig. 3-12 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta. ............................................................... 96

Fig. 3-13 Árbol binomial de tres periodos para el precio de un bono cupón cero. ........................... 97

Fig. 3-14 Intercambio de flujos fijos por flujos variables, a través de un Swap de TIIE 28 días ... 101

Fig. 3-15 Intercambio de flujos variables por flujos fijos, a través de un Swap de TIIE 28 días ... 105

Abreviaturas VI


Abreviaturas

( )tV Sτ

= Valor del swap calculado en el período τ

xtBτ =

Valor presente del flujo total de pagos por recibir expresados en un solo período

(τ)

ytBτ

= Valor presente del flujo total de pagos por entregar expresados en un solo

período (τ)

tτ = Período de análisis del swap (τ = 0,...,T )

T = Tasa Futura del Swap negociada que determina los flujos

m = Número de intercambios (flujos) del Swap.

n = Número de días por vencer del Contrato de Futuro del Swap

FDn+k*28 = Factor de descuento para el flujo k con n+k*28 días por vencer

TIIE n+k*28 = Valor de la curva de cero de TIIE para el día n+k*28

n+k*28 (n) = Son los días por vencer del flujo a descontar que contiene los días por vencer del

Contrato de Futuro, más (k) que es el número de días que le restan por vencer al

flujo del Swap.

*28( 1)*28

n kn kF ++ −

= Tasa forward correspondiente al flujo k, que comienza en n+(k-1)*28 y termina

en n+k*28 días.

tdr = Diferencial o cambio de la tasa corta en un periodo de tiempo dt

( , )tt rμ = Tendencia o “drift” de la tasa corta

( , )tt rσ = Volatilidad del cambio de la tasa corta

tdW = Movimiento geométrico Browniano o de Wiener

dt = Diferencial o cambio del tiempo

r = Tasa corta

t = Tiempo

tF = Toda la información relevante disponible en el tiempo t

b = Cantidad positiva, constante y conocida

λ, θ = Cantidades constantes y conocidas

( , , )v tR t T r = Tasa de interés en el plazo definido entre t y T

R∞ = Tasa de largo plazo

Abreviaturas VII


{εt} = Variables aleatorias independientes y normalmente distribuidas con media cero

y varianza σ2

η/(1 –γ2) = Media de rt

σ2/(1 –γ2) = Varianza incondicional de rt

σ2 = Varianza condicional de rt

tμ = Media de la tasa corta al tiempo t

tσ = Volatilidad de la tasa corta al tiempo t

0( )t tW ≥ = Movimiento Browniano estándar definido sobre un espacio fijo de probabilidad

con una filtración, ( )0, , ( ) ,t tF F ≥Ω Ρ

(1)I = Información disponible en =1T

(0,1)R = Tasa del bono que vence dentro de un año (1) (1)

u dB y B = Posibles precios del bono en = =1n T (2) (2) (

0 , ,u dB B y B = Precios del bono para 0n = y 1n =

(2)0B = Precio de un bono cupón cero, hoy, con vencimiento dentro de dos años

n = Número de periodos en el árbol binomial de la tasa corta

T = Fecha de vencimiento del bono

BDT = Modelo de Black, Derman y Toy

BMV = Bolsa Mexicana de Valores

Banxico = Banco de México

ETTI = Estructura temporal de Tasas de Interés

ISDA = International Swaps and Derivatives Association

IRS = Interest Rate Swap

LIBOR = London Interbank Offered Rate

Mexder = Mercado de derivados

OTC = Over the Counter

TIIE = Tasa de interés interbancaria de equilibrio

Glosario VIII


Glosario

Árbol binomial. Gráfico o red con estructura de árbol o arborescencia que se utiliza como

instrumento formal de análisis en los problemas complejos de decisión económica, y en particular en

los problemas de naturaleza secuencial y adaptativa. A los árboles de decisión también se les

denomina diagramas de flujos, porque por sus ramas fluyen las corrientes de cobros y pagos

asociados a la correspondiente decisión económica. En todo árbol de decisión existen dos clases de

nudos: los nudos deci-sionales y los nudos aleatorios, según que las ramas que parten de los mismos

recojan resultados que son producto de la voluntad del decisor o del azar, respectivamente.

Benchmark. Es una técnica utilizada para medir el rendimiento de un sistema o componente del

mismo, frecuentemente en comparación con el que se refiere específicamente a la acción de ejecutar

un benchmark.

Bootstrapping. Término procedente del inglés que hace referencia a empezar algo sin recursos o

con muy pocos recursos. En el área de los negocios, pues, significa ejercer alguna actividad

emprendedora con poco o nada de capital, es decir, emprender únicamente con los medios que se

tienen al alcance (un garaje, un teléfono antiguo, etc.).

Cobertura. Provisión de fondos para asegurar una operación bursátil. Consiste en reducir el riesgo

que supone mantener una posición en algún tipo de activo. Como la cobertura no puede ser perfecta,

siempre existirá un riesgo de cobertura.

Contrato forward. Acuerdo entre dos partes (reforzado legalmente) que obliga a una de las partes a

comprar y a la otra a vender un activo (financiero) a un precio preestablecido en una fecha futura.

Curva de Rendimientos. Relación existente entre el tiempo hasta la madurez de una serie de

Bonos, y los correspondientes rendimientos de los mismos, es conocida como estructura temporal de

las tasas de interés.

Dealer. Agente autorizado a transar activos por su cuenta y riesgo, cuya ganancia surge del

diferencial de precio entre la compra y la venta

Glosario IX


Distribución lognormal. Es una distribución asimétrica, que comienza a partir de cero, aumenta

hasta llegar a un máximo y luego va disminuyendo lentamente hacia el infinito. Está relacionada con

la distribución normal: X tiene una distribución lognormal si ln (X) tiene una distribución normal.

Distribución Normal. Una distribución de una variable aleatoria continua.

Engrapado de Divisas. Es una operación que busca replicar la operación que hoy se conoce como

Forward (SWAP) de tipo de cambio

Estructura de plazos de la tasa de interés. Describe la relación que existe entre las tasas de interés

y el vencimiento de los préstamos.

ISDA. (International Swaps and Derivatives Association, "Asociación internacional de Swaps y

derivados") es una organización profesional que agrupa a los mayores actores del mercado de

derivados. El objetivo principal de la organización es establecer un marco de referencia mediante

contratos estándar. La importancia de la organización en la negociación de este tipo de productos

proviene de la bilateralidad de los contratos (OTC - Over The Counter), es decir, que no se negocian

en un mercado organizado con reglas específicas.

Lema de Ito. Famoso resultado matemático derivado por el matemático japonés K. Ito en 1951.

Hablando en términos generales, se puede considerar la regla de cadena del cálculo estocástico. En

finanzas, el lema de Ito se utiliza frecuentemente para derivar el proceso estocástico seguido por el

precio de un título derivado. Por ejemplo, si el activo subyacente sigue la moción geométrica

browniana, entonces el lema de Ito demuestra que un título derivado cuyo precio es una función del

precio del activo subyacente y del tiempo también sigue la moción geométrica browniana. De

hecho, los dos valores presentarán la misma fuente de riesgo, dando así a entender que una

combinación apropiada de los dos valores puede eliminar el riesgo. Este resultado llevó al desarrollo

del modelo Black-Scholes-Merton así como al de muchas teorías y aplicaciones de cobertura

modernas.

LIBOR. (London InterBank Offered Rate) es una tasa de referencia diaria basada en las tasas de

interés bajo la cual los bancos ofrecen fondos no asegurados a otros bancos en el mercado monetario

mayorista (o mercado interbancario). LIBOR será ligeramente superior a la tasa London Interbank

Glosario X


Bid Rate, la tasa efectiva bajo la cual los bancos están preparados para aceptar depósitos. Es

ligeramente comparable con la tasa Federal funds rate de los Estados Unidos.

Mercados Over The Counter. Un contrato OTC es un contrato bilateral en el cual las dos partes se

ponen de acuerdo sobre las modalidades de liquidación del instrumento. Normalmente es entre un

banco de inversión y el cliente directamente. La mayoría de veces a través del teléfono u ordenador.

Los derivados OTC negociados entre instituciones financieras suelen tomar como marco las

cláusulas del International Swaps and Derivatives Association (ISDA).

MexDer. Sociedad Anónima denominada MexDer, mercado Mexicano de Derivados, S.A. de C.V.,

que tiene por objeto proveer las instalaciones y demás servicios necesarios para la cotización y

negociación los contratos de futuros y contratos de opciones.

Modelo Log- Normal. Es una variable aleatoria donde la función de densidad de probabilidades

viene dada por la Ecuación ( )2121

( ) ( )2

x

fx x e U xμ

σ

σ π

−−=

Monto nocional. Base de los flujos de caja. Dicho monto se cambia de manos solo en Swaps de

divisas

Movimiento Geométrico Browniano. Describe un proceso estocástico en el que el logaritmo

natural de una variable aleatoria sigue un proceso Weiner generalizado.

Nocional. La cantidad de principal sobre la que se calcula el interés sobre un Swap o instrumento

conexo, incluyendo los FRA y las opciones sobre tipos de interés. En el caso de los Swaps de tasas

de interés, los FRA y las opciones sobre tipos de interés, el principal es puramente «nocional»

porque los intercambios de principal nunca tienen lugar.

Oportunidad de arbitraje. Estrategia de inversión que garantiza un resultado positivo con respecto

a cierta contingencia con ninguna posibilidad de obtener un resultado negativo y sin realizar

inversión alguna.

Glosario XI


Portafolio de inversión. Invertir en dos o más fondos con la finalidad de diversificar tu inversión y

obtener beneficios adicionales: liquidez y mejores rendimientos

Posición corta. Es una posición vendedora, es decir, al vender un activo se esta adoptando esta

posición.

Posición larga. Es una posición compradora, es decir, al comprar un activo se esta adoptando esta

posición.

Reversión a la media. La tendencia de ciertas variables financieras, tales como los tipos de interés,

a retornar a sus valores medios a largo plazo. Cuando una variable se caracteriza por la reversión a

la media, se parte de un paseo aleatorio puro. Es decir, con cada sucesiva desviación de la media a

largo plazo, aumenta la probabilidad de que el siguiente movimiento se aproxime a la media.

Spread. Diferencia entre las tasas de rendimiento de dos instrumentos de deuda

Subyacente. El activo sobre el que se emiten una opción, unos futuros, un Swap u otros derivados.

El subyacente es la fuente de la que se deriva el valor del instrumento derivado.

Swap. Contrato en el que libremente dos contrapartes acuerdan de manera simultánea, comprar o

vender el derecho de intercambiar flujos de efectivo, definidos en términos de algún subyacente,

siempre aprovechando la existencia de ventajas comparativas entre ellas.

Swaption. Tipo de derivado financiero que consiste en una opción cuyo subyacente es un Swap,

normalmente un interest rate Swap (IRS). Es decir, ofrece la posibilidad de entrar en una permuta de

tipo de interés.

Tasa de interés fija. Es aquella que no varia durante la vigencia del crédito.

Tasa de interés variable. Es aquella que se modifica de acuerdo a una base preestablecida, durante

la vigencia del crédito.

Glosario XII


Teoría de las expectativas. Una teoría de la estructura de plazos de los tipos de interés que implica

que los tipos de interés a largo plazo son sencillamente reflejos insesgados de las expectativas de los

mercados de los tipos de interés con condiciones a corto plazo. La teoría se basa en las condiciones

de los tasas de interés al contado (es decir, de cupón cero) y tipos de interés a futuro corto, pero

pueden ampliarse fácilmente a rendimientos de cupón (es decir, rendimientos sobre bonos con

cupón). La teoría implica que no hay una prima creada sobre tasas de interés a largo plazo para

reflejar un mayor nivel de riesgo de tipo de interés. Por lo tanto, la teoría es una teoría neutral al

riesgo. La típica pendiente ascendente para la curva de rentabilidad no puede, por lo tanto,

explicarse mediante una prima de riesgo y debe explicarse mediante futuras tasas de inflación

previstas, que se reflejan en los tipos de interés a plazo. La teoría también se conoce como la teoría

de las expectativas puras y la teoría de las expectativas insesgadas.

TIIE. Tasa de interés interbancaria de Equilibrio a plazo de 28 días, es la tasa líder o de referencia

que la banca ofrece a sus acreditados, y está conformada por las tasas de interés interbancarias que

se dan a conocer diariamente por el Banco de México en el Diario Oficial de la Federación.

Ventaja absoluta. La capacidad de un país para producir más de un bien dado con sus recursos

propios. En el contexto de los Swaps, la capacidad de una parte para tomar prestado a un tipo de

interés inferior al asequible a la otra parte para una moneda dada. Esto contrasta con la ventaja

comparativa.

Ventaja comparativa. Ventaja que disfruta un país sobre otro en la elaboración de un producto

cuando éste se puede producir a menor costo, en términos de otros bienes y en comparación con su

coste en el otro país. Teoría desarrollada por David Ricardo (a principios del siglo XIX) cuyo

postulado básico es que, aunque un país no tenga ventaja absoluta en la producción de ningún bien,

le convendrá especializarse en aquellas mercancías para las que su ventaja sea comparativamente

mayor o su desventaja comparativamente menor .

Volatilidad. Medida de la frecuencia e intensidad de los cambios del precio de un activo o de un

tipo. Es la desviación estándar del cambio en el valor de un instrumento financiero con un horizonte

temporal específico. Se usa con frecuencia para cuantificar el riesgo del instrumento a lo largo de

dicho período temporal.

Resumen XIII


Resumen

En la presente investigación se exponen los aspectos teóricos necesarios para comprender el

funcionamiento del mercado de Swaps en México, de manera específica de los Swaps de tasas de

interés. El análisis parte desde los conceptos fundamentales como son aspectos históricos y

metodológicos, hasta brindar un panorama global de la participación que tiene este mercado dentro

de los instrumentos derivados y sus diversas metodologías para el cálculo del valor de este

instrumento financiero.

Siguiendo con un análisis que va de lo general a lo particular, se presentan las diversas

teorías sobre la estructura de plazos de las tasas de interés, llegando a los modelos estocásticos de

tasa de interés corta en donde se exponen aquellos modelos antecesores y que han servido de

referencia al modelo objeto de estudio: Black, Derman y Toy, el cual es producto del artículo

denominado “A One-Factor Model of Interest Rates and ist Application to Treasury Bond Options”,

publicado en 1990. La característica principal de este modelo es la implementación del parámetro de

volatilidad para el cálculo de las tasas cortas mediante árboles binomiales.

Posteriormente, se realiza un ejercicio práctico en donde se determina la dinámica de la tasa

corta y los precios de bonos cupón cero a distintos vencimientos utilizando precisamente el modelo

de tasa corta de Black, Derman y Toy. Una vez obtenidos los resultados emanados de este modelo,

como una innovación, se aplican las tasas cortas resultantes al mercado de Swaps de tasas de interés,

presentando dos paneles diferentes: el primero en donde se realiza un contrato Swap y la tasa

flotante (TIIE) al final del contrato es menor a la tasa fija pactada y el segundo en donde la tasa

flotante resulta mayor a la pactada, haciendo un análisis de quién gana y quién pierde en cada una de

estas operaciones y cómo la estructura de tasas cortas puede ayudar a que un financiero tome la

mejor decisión de inversión.

La aplicación del modelo de tasa corta de Black, Derman y Toy para valuar bonos al

mercado de Swaps de tasas de interés permite realizar un mejor análisis en la curva de rendimientos

y en el comportamiento de este mercado, y al introducir el parámetro de volatilidad, se obtienen

conclusiones más serias que solo satisfacer o no un conjunto de axiomas de coherencia.

Abstract XIV


Abstract

In the present study the theoretical aspects needed to understand the functioning of the Swaps in

Mexico, specifically the interest rate swaps are presented. The analysis starts from the fundamental

concepts such as the historical and methodological aspects, to provide a global overview of the

participation of this market within the derivative instruments and their different methodologies for

calculating the value of this financial instrument.

Following an analysis that goes from the general to the particular, the various theories about

the term structure of interest rates, reaching to stochastic models of short interest rate where are

exposed those previous models who have served of reference to the model under study: Black,

Derman and Toy, which is a product of the article entitled "A One-Factor Model of Interest Rates

and ist Application to Treasury Bond Options", published in 1990, are presented. The main feature

of this model is the implementation of volatility parameter for the calculation of short rates using

binomial trees.

Subsequently, a practical exercise wherein determining the dynamics of short rate and the

prices of zero coupon bonds at different maturities using just the short rate model of Black, Derman

and Toy, is conducted. After obtaining the results from this model, as an innovation, resulting short

rates are applied to the swaps market of interest rates, showing two different panels: the first one

where a Swap contract is made and the Floating Rate (TIIE) at the end of the contract is less than the

agreed fixed rate and the second one where the floating rate is higher than the agreed fixed rate,

doing an analysis of who wins and who loses in each of these operations and how the structure of

short rates can help a financier to take a better investment decision.

The application of the short-rate model of Black, Derman and Toy for valuing bonds at the

swaps market of interest rates, allow a better analysis on the yield curve and on the behavior of this

market, and introducing the volatility parameter, more serious conclusions than just satisfying or not

a set of axioms of coherence may be obtained.

Introducción XV


Introducción

A partir de las dos últimas décadas, los mercados financieros de todo el mundo comenzaron a sufrir

un importante proceso de renovación resultado de la era de globalización y desarrollo por la que

atraviesa la economía mundial. En consecuencia de lo anterior, los mercados financieros de una gran

mayoría de países se han visto en la necesidad de desarrollar productos financieros más flexibles,

adecuados a las nuevas condiciones del mercado y, que ofrezcan mejores mecanismos de protección

ante el creciente nivel de riesgo que implica integrarse a un mercado global. Tal es el caso de los

instrumentos derivados.

Todos los países que disponen de mercados financieros desarrollados han creado mercados

de productos derivados donde se negocian contratos de futuros sobre tasas de interés, divisas e

índices bursátiles. Los productos derivados se definen como la familia o conjunto de instrumentos

financieros cuya principal característica es que están vinculados a un valor subyacente o de

referencia. Los principales productos derivados son los futuros, las opciones, los warrants, las

opciones sobre futuros y los Swaps. Por lo anterior se puede definir al mercado de derivados como

las operaciones financieras para las cuales se adquiere el compromiso de comprar o vender en una

fecha futura, o son contratos que permiten a los actores del mercado comprar protección sobre los

cambios en precios de los activos.

La principal aplicación de todos estos instrumentos es la cobertura de los riesgos financieros

y de mercado, a los que se encuentran expuestos los agentes económicos, principalmente el riesgo

originado por los cambios en las tasas de interés, en el tipo de cambio, en el precio de las materias

primas y en los índices bursátiles. Además, ambas partes en un contrato acudirán a los mercados

donde obtengan ventaja y estarán de acuerdo en cambiar los pagos y cobros entre dichas partes, lo

que permitirá obtener un mejor resultado comparado con el caso en que si las dos partes hubiesen

acudido directamente al mercado deseado.

Aunque la aparición de los derivados es relativamente reciente, los volúmenes que se

negocian diariamente son sumamente elevados y han mostrado crecimientos exponenciales a lo

largo de todo el mundo. Cabe aclarar que, además de brindar nuevas alternativas de financiamiento,

ofreciendo esquemas de liquidación más flexibles; los derivados deben gran parte de su éxito a su

Introducción XVI


habilidad para proteger a los participantes del mercado de movimientos no anticipados en los

precios, por ejemplo, brindando coberturas al fijar tasas por un determinado lapso de tiempo.

En México, la aparición del mercado de derivados es aún más reciente que en los países

desarrollados. De manera oficial aparecen en diciembre de 1998, bajo la figura del Mercado

Mexicano de Derivados (MEXDER), el primer mercado organizado de derivados.

En nuestro país los dos instrumentos derivados que se introdujeron primero fueron los

futuros y los forwards de divisas, y desde un principio fueron objeto de gran aceptación por su

utilidad para ejercer coberturas. Más adelante, a finales del año 2000, comienza a cobrar importancia

otra variedad de instrumentos derivados, que a pesar de su reciente aparición, pronto logra un

crecimiento notable superando los niveles de negociación del mercado de forwards de tasas de

interés. Estos instrumentos se denominan Swaps y su notable evolución está dando de qué hablar, no

sólo en México, sino en los mercados financieros de todo el mundo.

El tamaño considerable que han alcanzado los mercados de futuros financieros, se debe en

gran medida a la flexibilidad que estos instrumentos proporcionan a sus usuarios para entrar o salir

rápidamente del mercado debido a la liquidez que generan y al apalancamiento que presentan.

Además, dado que las operaciones se llevan a cabo en un mercado altamente organizado en el que se

operan contratos futuros estandarizados, el riesgo contraparte es mínimo, o casi nulo, debido a la

asociación del mercado con una cámara de compensación y liquidación (Asigna), la cual actúa como

contraparte de todas las partes bajo la administración de un esquema de márgenes y fondos propios,

situación que garantiza el cumplimiento de las obligaciones adquiridas por todas las posiciones,

cortas y largas.

El riesgo por fluctuaciones adversas en la tasa de interés se refleja en la posibilidad de que

los flujos que se tienen planeados no se presenten ni en la magnitud ni en los tiempos que se

esperan. Este riesgo puede reducirse, y en ocasiones eliminarse, si se cubre adecuadamente el valor

presente de los flujos esperados tomando posiciones en contratos a futuro sobre bonos cupón cero.

Los contratos a futuro, son herramientas útiles que permiten administrar el riesgo de mercado con

costos bajos de transacción.

Introducción XVII


Son precisamente los Swaps o permutas, uno de los instrumentos financieros que mayor

importancia han adquirido dentro de los mercados de derivados; razón por la cual resulta útil

explorar nuevas técnicas de medición o valuación que lleven a anticipar resultados más confiables

con los cuales se pueden disminuir la incertidumbre y tomar mejores decisiones. Otra alternativa

muy importante de financiamiento que tienen las empresas son los bonos.

El objetivo de este trabajo es utilizar un modelo de tasa corta, específicamente el modelo de

Black, Derman y Toy, que es propio para valuar bonos y mediante le cual se obtiene a través de

árboles binomiales la estructura de la tasa corta o tasa instantánea. Esta información se puede

utilizar por una parte, para determinar, según las expectativas, el precio de un bono cupón cero y,

por otro lado, las tasas cortas pueden ayudar a prdecir el trayecto que seguirá la tasa de referencia

(en este caso la TIIE) y así conocer si es prudente o no un intercambio Swap de tasas de interés.

Este trabajo se compone de tres capítulos y las conclusiones. El capítulo primero es de

carácter más bien introductorio y descriptivo. En él se explican detalladamente la estructura,

características y usos de los Swaps, así como su importancia y evolución en México.

El capítulo segundo es básicamente teórico. En él se presenta una descripción sobre la

estructura de plazos de las tasas de interés, así como una revisión histórica de los modelos

antecesores al modelo de estudio: Black, Derman y Toy, aquí se describe la dinámica de la tasa corta

y se obtiene el algoritmo de BDT para calcular el precio de un bono cupón cero y la tasa corta

mediante árboles binomiales.

En el tercer y último capítulo se presenta el análisis empírico de esta investigación, en donde

se aplica de manera práctica el Modelo de Black, Derman y Toy y se analiza la dinámica de tasa

corta con un solo factor y el algoritmo BDT para calcular el precio de un bono cupón cero mediante

árboles binomiales y posteriormente aplicar estas tasas cortas al mercado de los Swaps de tasas de

interés.

Finalmente, se presentan las conclusiones en donde se destacan las ventajas y limitaciones de

los modelos aplicados, así como posibles trabajos futuros.

Capítulo 1 1


En este capítulo se desarrollan cinco puntos básicos. Primeramente se expone la definición y los

fundamentos de un Swap, así como sus características y participantes. Enseguida se profundiza

sobre los Swaps de tasa de interés analizando sus elementos y proceso de valuación así como un

panorama global de estos instrumentos. Posteriormente se analiza el mercado de Swaps de TIIE-28

días. Como cuarto punto se esboza la situación actual del mercado de Swaps en México. Finalmente

se detallan los contratos de futuros sobre Swaps de TIIE.

1.1 Swaps: Definición y fundamentos La utilización de Swaps data desde la década de los 60's en Gran Bretaña y su objetivo fue

solucionar problemas de política cambiaria. No obstante, es a partir de 1981 que cobra fama cuando

IBM solicitó dólares americanos a cambio de francos suizos y marcos alemanes; el Banco Mundial

realizó una emisión de obligaciones en dólares y las permutó por las monedas europeas solicitadas.

Desde entonces, los Swaps han gozado de aceptación creciente en los mercados financieros

internacionales por considerárseles una de las mejores alternativas a las necesidades de cobertura,

reestructuras de pago o simple especulación presentes en los mercados financieros.

Un Swap (o permuta) es, en términos generales, un contrato en el que libremente dos

contrapartes acuerdan de manera simultánea, comprar o vender el derecho de intercambiar flujos de

efectivo, definidos en términos de algún subyacente, siempre aprovechando la existencia de ventajas

comparativas entre ellas.

En el acuerdo se especifica la fecha de liquidación de los flujos de efectivo y a qué tasa

estarán referenciados. Este tipo de contratos son negociados sobre el mostrador (over the counter)1

1 Un contrato OTC es un contrato bilateral en el cual las dos partes se ponen de acuerdo sobre las modalidades de liquidación del instrumento. Normalmente es entre un banco de inversión y el cliente directamente. Los derivados OTC negociados entre instituciones financieras suelen tomar como marco las cláusulas del International Swaps and Derivatives Association (ISDA).

CAPÍTULO 1

El mercado de Swaps en México

Capítulo 1 2


en una institución bancaria la cual actúa como intermediario entre las dos partes y obviamente

obtiene una ganancia por su participación o porcentaje, en otras ocasiones el banco actúa como

contraparte al no existir alguien interesado en el Swap con alguna empresa, pero solo lo hacen en

algunos casos y con clientes especiales.

Un contrato forward puede ser visto como un ejemplo de Swap con la gran diferencia que en

el forward el intercambio de flujo de efectivo toma lugar solamente una vez en el futuro y en el

Swap toma lugar el intercambio de flujos varias veces en el futuro.

Existe una gran variedad de Swaps, la característica común a todos ellos es el intercambio de

un pago periódico. La diferencia entre cada transacción radica en el tipo de pago que va a ser

intercambiado. Según el tipo de subyacente al que estén referenciados los Swaps pueden ser de

varios tipos: Swaps de tasas de interés, de divisas, de acciones, de materias primas (commodities), y

más recientemente, Swaps de crédito (credit default Swaps). Entre todos ellos, los Swaps de tasas de

interés, son los más negociados en el mercado y se clasifican conforme al esquema de pago que las

contrapartes hayan pactado. Por ejemplo, las contrapartes pueden intercambiar flujos de intereses

sólo en tasas fijas, o bien, en tasa fija por tasa flotante, tasa flotante a cambio de flotante (basis

Swaps), según convenga a las necesidades de financiamiento de las contrapartes2.

1.1.1 Breve historia de los Swaps

Según Price y Henderson3 los antecedentes del Swap se encuentran en los pagos que efectuaban los

comerciantes de una localidad, a un comerciante extranjero, a cambio de que este se hiciera cargo de

las deudas que el comerciante local tenía en el país del comerciante extranjero. Así pues, en el siglo

XVI, un banquero genovés pagó a las tropas españolas en oro, a través del mercado de dinero de

Amberes, a cambio de recibir obligaciones nominadas en plata (silver-denominated) del reino de

España.

En 1976, se realiza un Swap entre Bos Kalis Westminster Group NV e ICI Finance Limited,

mediante un intercambio inicial de florines holandeses y libras esterlinas. Actuaban como 2 De la Torre Gallegos, A. (1996), “Qué son y como funcionan los swaps”. Revista Harvard-Deusto Finanzas y Contabilidad, No. 11, Mayo-Junio. 3 Price, J.A.M. y S.K. Henderson. (1988), “Currency and interest rate swaps”, Londres, Butterworths, 2a. edición, pp. 1-4.

Capítulo 1 3


intermediarios por parte de Bos Kalis la Continental Illinois Limited y por parte de ICI, Goldman

Sachs. En 1977, se realiza un Swap entre La Continental Illinois Limited y Consolidated Gold

Fields Ltd, en el que se intercambian 25 millones de dólares americanos por libras esterlinas, con un

plazo de 10 años.

Poco después, tiene lugar un Swap entre el gobierno de Venezuela, que tenía dólares como

consecuencia de sus exportaciones petrolíferas, y deseaba francos franceses para poder pagar la

construcción de un ferrocarril contratado con Francia. Venezuela cambió, en este Swap, dólares

USA a plazo por francos franceses. Como intermediarios actuaron Morgan Guaranty y la Banque

Paribas.

En julio de 1981, Bankers Trust sirvió de intermediario, entre Renault y la sociedad japonesa

emisora de títulos Yamaichi, para hacer un contrato Swap en el que se intercambiaron dos divisas

distintas con características de tasas de interés también distintas: dólares a tipo flotante por yens a

tipo fijo.

Inicialmente los Swaps no eran aceptados de buen grado, y empezaron a ser utilizados por

"entidades de prestigio" con el fin de mejorar su posición en el mercado; en este sentido hay que

mencionar que el primer Swap que gozó de gran publicidad y, a partir del cual, éstos se convirtieron

en un instrumento relevante; fue el Swap entre IBM y el Banco Mundial, con la intermediación de

Salomón Brothers y que de forma resumida se comenta a continuación:

La empresa IBM necesitaba tal cantidad de fondos en dólares americanos que no podía ser

atendida en un único mercado y, por tanto, emitió bonos en francos suizos y marcos alemanes

intercambiables por dólares. Coincidiendo con el momento en que IBM emitió bonos en francos

suizos y marcos alemanes, el dólar sufrió una apreciación respecto a estas dos monedas. A IBM se le

presentó la oportunidad de obtener un beneficio si convertía su deuda en francos suizos y marcos

alemanes a una deuda en dólares.

El Banco Mundial quería financiar sus operaciones en divisas mediante un tipo de interés

bajo, pero se enfrentaba al problema de que su demanda de fondos a tasas de interés fijo era superior

a la que le podía ofertar el mercado. Mediante la intermediación de Salomon Brothers, y para

Capítulo 1 4


concertar el Swap, el Banco Mundial emitió eurobonos en dólares a tipo fijo con el mismo

vencimiento que la deuda de IBM.

Salomón Brothers, como intermediario, diseña la operación Swap, mediante la cual se

intercambiaron los pagos de las cuotas de interés de sus respectivas deudas y la cuantía a devolver al

final del plazo.

Mediante el Swap, IBM aceptó pagar los intereses (en dólares) de los Eurobonos del Banco

Mundial, así como hacerse cargo de la devolución del principal al vencimiento de los mismos. A

cambio, el Banco Mundial pagó los intereses de la deuda en francos suizos y marcos alemanes de

IBM, así como la devolución del principal. En la figura 1-1 se sintetizan los movimientos de

capitales producidos por el Swap IBM—Banco Mundial.

FIG. 1-1 Swap IBM (1981)

$ A TASA FIJA

IBM BANCO MUNDIAL

MA Y FS AMA Y FS TASA FIJA $

BONOS ENMA Y FS BONOS EN $

Fuente: Elaboración propia

Como resultado, IBM cambió su deuda en francos suizos y en marcos por dólares,

resultándole una deuda a un tipo inferior al que hubiese podido acceder en el caso de ir directamente

al mercado de deuda pública en EEUU. El Banco Mundial por su parte, sufrió un coste muy inferior

al que hubiese soportado si hubiese pagado una emisión en esta moneda.

Como se puede ver, no se produjeron intercambios de principal al inicio de la operación:

IBM ya había recibido los fondos en francos suizos y en marcos alemanes y los había cambiado por

dólares; el Banco Mundial recibió dinero en dólares de los suscriptores y, además, los cambió en el

Capítulo 1 5


mercado de divisas al contado por francos suizos y marcos alemanes. Por tanto, se puede afirmar

que IBM obtuvo su ventaja al "jugar" sobre las tasas de interés, consiguió fondos en divisas con

bajas tasas de interés, aunque a cambio soportase un riesgo sobre el tipo de cambio. IBM arriesga

sobre los tipos de cambio, ya que al vencimiento debía pagar en dólares a cambio de los francos

suizos y los marcos alemanes, lo cual le benefició debido a la depreciación del dólar.

A partir de este hecho los Swaps tomaron gran relevancia en los mercados de derivados no

sólo en México sino en los mercados internacionales.

1.1.2 Características de los Swaps

Las operaciones Swap corresponden a un conjunto de transacciones individuales mediante

las cuales se concreta el intercambio de flujos futuros de títulos valores, asociados con dichas

operaciones individuales, siendo posible mediante tal mecanismo, efectuar la reestructuración de

uno de estos títulos colocándolo en condiciones de mercado.

El intercambio de tales flujos futuros, tiene como propósitos disminuir los riesgos de

liquidez, tasa, plazo o emisor, y permite la reestructuración de portafolios, en donde se logra aportar

un valor agregado para el usuario que origina la reestructuración.

Se pueden hacer intercambios de títulos valores de un plazo mayor por varios títulos de corto

plazo; tasas de interés de una tasa variable a una fija; o intercambio de deudas por acciones. Esto se

hace con la finalidad de generar liquidez, incrementar la tasa, disminuir el plazo o reemplazar

emisores del portafolio, dependiendo el riesgo que se pretende disminuir.

La International Swap and Derivates Association, ISDA (Asociación Internacional de Swaps

y Derivados)4 ha establecido las definiciones y términos de la estructura de los Swaps, con el fin de

estandarizar dichos contratos. A continuación se presentan algunas de las características más

representativas de los Swaps:

4 Es una organización profesional que agrupa a los mayores actores del mercado de derivados. El objetivo principal de la organización es establecer un marco de referencia mediante contratos estándar. La importancia de la organización en la negociación de este tipo de productos proviene de la bilateralidad de los contratos (OTC - Over The Counter), es decir, que no se negocian en un mercado organizado con reglas específicas.

Capítulo 1 6


• No es forzoso el intercambio de principal

• El riesgo crédito se limita a una fracción del monto nocional o de referencia

• Tiene una estructura flexible de flujos

• Otorga liquidez al mercado secundario

• La documentación es estandarizada

• Tienen un periodo de madurez de 1 a 10 años

• Rápida ejecución

• No existen requerimientos de margen

• Pueden reducir el costo neto de fondeo

• Pueden extender la madurez de los activos o los pasivos, según sea el caso

• Reducen el riesgo de tasa de interés

• Pueden usarse para realizar coberturas anticipadas

• Pueden mejorar la ROI (Return on Investment)

1.1.3 Participantes en el contrato de Swap

En todo Swap deben participar como mínimo tres tipos de agentes5:

Originador: Es quien necesita cubrir un riesgo especifico y utiliza la figura de sustitución de títulos

-Swap-. Deberá tomar una posición de vendedor inicial de un primer título valor originador del

riesgo y de comprador final de un segundo título valor que cumpla con las características para cubrir

el riesgo de portafolio que dió origen a la operación. Estos tramos de las operaciones Swap no se

sujetarán a precios de mercado, sin embargo, es necesario que las sociedades comisionistas de bolsa

obtengan comunicación escrita por parte de este cliente en la que clara y expresamente manifieste

que conoce las condiciones de mercado actuales y está dispuesto a realizar dichas operaciones.

Agente Volteador: Es el encargado de dar vuelta a los títulos valores del originador, actuando como

intermediario. Su posición deberá ser neutral y su utilidad estará dada básicamente por la diferencia

en los precios, y ésta no podrá ser en ningún caso negativa ni podrá subsanarse con utilidades de

otras operaciones independientes al Swap en cuestión. El volteador solo podrá comprar los títulos en

5 De la Torre Gallegos, A. (1996), “Operaciones de permuta financiera (swaps”). Editorial Ariel, Barcelona.

Capítulo 1 7


posición definitiva cuando sea previamente autorizado por el originador mediante autorización

escrita.

Tercero: Puede ser uno o varios los terceros que intervengan en esta categoría. Es quien vende el

(los) título (s) que sustituirá el título originador del Swap y quien compra el título que dio origen a la

operación Swap. Cuando se presenten dos terceros independientes, estas operaciones se realizarán

con el agente volteador y se regirán por precios reales del mercado.

1.1.4 Clasificación de los Swaps

La clasificación de los Swaps se puede realizar tomando en cuenta el cálculo de los flujos

intercambiarios. El ISDA esgrime como marco regulador de distintos tipos de Swaps, como son6:

Swaps de divisas: Constituyen un intercambio de principales e intereses de préstamos en distintas

monedas. A su vencimiento se produce el intercambio de los principales al tipo original. De tal

forma, que las corrientes de intereses se calculan con referencia a los tipos fijos, llamándose a esta

operación “plan vanilla currency Swap”.

Swap de acciones: Este tipo de contratos permite a un inversor intercambiar un rendimiento

calculado sobre un tipo de interés flotante, generalmente Libor7, por otro lado, basado en un índice

bursátil más/menos una diferencia, es decir, en tasa fija determinada como el diferencial con

respecto a los valores corrientes del Tesoro de los Estados Unidos de América. El inversor se

convierte en pagador de Libor respectivo a la contraparte del Swap, que le entregará a cambio el

porcentaje de variación de un índice durante el periodo al que extiende el “Libor”. Pueden estar

nominados en una misma moneda o en monedas diferentes ya que, si se toma como referencia el

índice Libor, este puede estar nominado en la moneda del país al que pertenece el índice.

Commodity Swap8: Son acuerdos de permuta referidos a materias primas. Con ellos, el broker

(corredor) o el productor de una materia prima acuerda al usuario el precio de una determinada

6 Calderón Elguera Victoria. (2009), “Los contratos swaps. Análisis del acuerdo de la International Swaps and Derivates Association (ISDA)”. UNAM. Facultad de Contabilidad y Administración. Consultorio Fiscal pp.63-67 7 Es la tasa de interés ofrecida en el mercado intercambiario de Londres, sirve como punto de referencia para las tasas de interés flotantes que refleja la tasa promedio cotizada diariamente por los mayores bancos británicos. 8 También denominado swap sobre materias primas

Capítulo 1 8


cantidad de la misma, en función de un índice variable del producto. El cálculo del importe a

entregar puede determinarse con referencia al valor del índice en el momento de la liquidación o un

valor promedio del índice durante el periodo acordado. Estos contratos no exigen el intercambio

físico de la mercancía entre las partes, sino que en cada fecha de liquidación se calcularán los

importes a pagar correspondientes a cada una de ellas. La parte a la que corresponda el mayor

importe entregará a la otra la diferencia entre ambos.

Swap de tasas de interés: En este contrato intervienen dos partes y una de ellas es denominada

habitualmente pagador a tasa fija, la cual acuerda con otra (pagador a tasa variable), el intercambio

del pago periódico de los cupones correspondientes a sus deudas, calculado sobre un mismo importe

y sin que haya intercambio de los principales.

Swaps macroeconómicos: Son aquellas formas de permuta financiera que suponen el intercambio

de fijos por variables calculados en función de un índice macroeconómico tomado como referencia,

por ejemplo, el producto nacional bruto o la tasa de inflación. Estas operaciones permiten suavizar el

impacto de las recesiones económicas sobre los resultados de ciertos sectores productivos o de las

administraciones públicas.

Swap sintético: Por medio de la combinación de otros instrumentos, es posible reproducir la

estructura de flujos monetarios que originan un Swap y la figura resultante recibirá el nombre de

Swap sintético. Hay que señalar, sin embargo, que la estructura resultante no reproduce todas las

características de una operación Swap normal ni el riesgo que aporta ha de ser el mismo que el que

proporcionaría una operación Swap.

Hace una década los Swaps de tasas de intereses y los Swaps de divisas eran productos poco

conocidos y que utilizaban en raras ocasiones algunos participantes selectos. Sin embargo, con los

años el mercado ha experimentado un crecimiento fenomenal y actualmente las instituciones

financieras, así como grandes usuarios corporativos finales utilizan estos Swaps en todo el mundo.

Capítulo 1 9


1.1.5 Los Swaps y el principio de ventajas comparativas

La capacidad de aprovechar la presencia de ventajas comparativas constituye uno de los aspectos

más importantes a tomar en consideración en el diseño de cualquier Swap. Esto es, dos instituciones

pueden alcanzar beneficios económicos mutuos intercambiando flujos entre ellos a costos

relativamente menores. En los mercados de renta fija es común observar que el spread de crédito

entre las instituciones de mejor y las de menor calidad crediticia es más amplio en sus emisiones de

tasa fija que el spread correspondiente en emisiones de tasas flotantes. Por lo cual, se considera que

los acreditados de menor calidad crediticia generalmente tienen una ventaja relativa o comparativa

frente a los acreditados mejor calificados en el mercado de tasas flotantes.

Para comprender mejor el sentido de este concepto, a continuación se desarrolla un ejemplo

hipotético muy sencillo entre dos bancos con distintas calificaciones crediticias:

Supóngase que dos bancos A y B solicitan un crédito de manera independiente a un tercero.

Las tasas ofrecidas a cada uno fueron definidas de acuerdo con la calidad crediticia de cada banco.

Esto es, si el banco B tiene una calificación “AAA” y el banco A una calificación “B”, el banco B

siempre gozará de mejores condiciones de financiamiento que A. Lo anterior se expresa en la Tabla

1.

TABLA 1. Condiciones de financiamiento


En virtud de que la construcción de los Swaps se apoya en el principio de ventajas

comparativas esto les otorga cierta facultad de transformar las condiciones iniciales de una deuda en

condiciones beneficiosas para las contrapartes, dependiendo de sus condiciones específicas.

Condiciones crediticias por banco Banco A Banco B Spread

Calificación

Tasa flotante

Tasa fija

“B”

TIIE + 0.50

8.75%

“AAA”

TIIE + 0.25

8.00

25pb

75pb

Capítulo 1 10


En la Tabla 2 se indican las condiciones iniciales de cobro en tasas fija y flotante que a cada

banco le corresponden en función de su calificación crediticia, si acudieran a solicitar un préstamo

separadamente. Después, se muestran cuáles serían sus condiciones si hicieran un Swap entre ellos.

Nótese que el banco A preferiría pagar en tasa fija mientras que B preferiría pagar en tasa flotante.

De hacerse el Swap, los dos resultarían beneficiados si aprovecharan sus ventajas relativas.

TABLA 2 Condiciones iniciales y deseadas

Condiciones de cobro de tasas Banco A Banco B

Condiciones iniciales

(deuda original)

Tasa flotante

TIIE + 0.50

Tasa fija

menor a 8.00%

Condiciones deseadas

(con Swap)

Tasa fija

menor a 8.75%

Tasa flotante

Menor a TIIE + 0.25


Volviendo a la Tabla 1, el banco B cuenta con mejores condiciones de financiamiento, lo

mismo en tasa fija que en tasa flotante, por lo que muestra una ventaja absoluta con respecto al

banco A. Sin embargo, en términos relativos, comparando las condiciones de ambos bancos, se

encontrará que la diferencia entre las tasas flotantes del banco B y el banco A es de sólo 25 puntos

base, mientras que la diferencia de B con respecto a A en las tasas fijas es de 75 puntos base. Por lo

tanto, comparando ambos diferenciales entre las tasas fija y flotante puede concluirse que el banco B

tiene una ventaja relativa sobre el banco A en términos de las tasas fijas, mientras que A tiene una

ventaja relativa sobre B en términos de las tasas flotantes.

Una vez identificada la ventaja relativa entre A y B, en la Figura 1-2 se muestra la estrategia

más recomendable para que ambos bancos, mediante un Swap, puedan aprovechar los beneficios de

las ventajas comparativas entre los diferenciales de tasas, en lugar de acudir a un tercero a solicitar

financiamiento. Esto es, si ambos bancos celebraran un Swap de tasas de interés (IRS) tipo “plain

vanilla” entre ellos, entonces se lograrían beneficios para ambos.

Capítulo 1 11


Considerando que A y B tienen cada uno por separado una deuda con los prestamistas 1 y 2.

La deuda del banco A con el prestamista 1 se pactó a una tasa flotante de TIIE+0.50%, mientras que

la deuda del banco B se pactó en una tasa fija de 8%. Además, por circunstancias particulares, al

banco A le convendría más efectuar sus pagos en tasa fija, mientras que el banco B preferiría

hacerlos en tasa flotante (ver Tabla 2).

Aprovechando la presencia de las ventajas relativas entre ambos, mediante un Swap,

terminarían pagando al final menores tasas que las que individualmente se les ofrecen en el

mercado.

En la Figura 1-2 se muestra cómo quedarían los bancos empleando un Swap: El banco A

podría pagar periódicamente a B una tasa fija inferior a la que tendría que pagar en el mercado sin la

ayuda del Swap. Esto es, en lugar de pagar 8.75%, podría pagar una tasa fija mucho menor, por

ejemplo, 8.10%. Además, estaría recibiendo a cambio una tasa flotante (TIIE) que le permitiría

cubrir su deuda con el prestamista 1. Su ahorro total sería de 15 puntos base.

FIG. 1-2 Estrategia de un Swap de tasa de interés


Capítulo 1 12


Por su parte, el banco B podría cómodamente pagar una tasa flotante (TIIE) a un costo menor

que el de su deuda original, a cambio de recibir del banco A una tasa fija de 8.10%, superior a la de

su deuda original (pactada en 8%) frente al prestamista 2. En todo el proceso terminaría ahorrando

35 puntos base.

Visto de esa manera, se comprende por qué a ambas partes les convendría más pagar flujos

eficientemente transformados mediante el diseño de un Swap de tasas de interés entre ellos, que

contratar un crédito a la manera tradicional a tasas de interés correspondientes a sus niveles de

riesgo crediticio originales.

En resumen, con la celebración de un Swap todos los participantes en principio pueden

resultar beneficiados. Sin importar que alguna contraparte tenga ventajas absolutas sobre la otra, los

Swaps son estructuras tan eficientes en su construcción que son capaces de reflejar en una tasa de

interés las condiciones crediticias representativas de las dos contrapartes involucradas en el contrato.

A esta tasa se le denomina “tasa Swap” y se considera de gran utilidad como indicador del

desempeño del mercado de crédito interbancario.

Gracias al ejemplo anterior, ya puede entenderse por qué uno de los usos más frecuentes de

los IRS es la cobertura. Si el Swap puede ser diseñado de acuerdo a las necesidades específicas de

las contrapartes, cuando los bancos emisores de títulos de renta fija requieran protegerse ante la

volatilidad en las tasas de interés y, al mismo tiempo, asegurarse de que el pago por dicha cobertura

represente una de las opciones más baratas, entonces, una excelente alternativa será que dichas

emisiones se cubran con Swaps. La presencia de ventajas comparativas que es posible aprovechar en

dichos contratos representa de antemano una garantía de que se ha seleccionado una alternativa de

cobertura a las tasas más competitivas posibles.

Este trabajo se centrará únicamente en el estudio de los Swaps de tasa de interés, los cuales

se detallan a detalle en el siguiente apartado.

Capítulo 1 13


1.2 Swaps de tasa de interés

En la industria de los mercados de derivados, una de las clases de contratos más negociadas a nivel

mundial son las que están referenciadas a tasas de interés, suceso que ocurre tanto en los Mercados

Organizados como en los OTC.

En 1982, a la vista del Swap entre Yamaichi y Renault se pensó que si era posible

intercambiar dos deudas nominadas en distintas divisas y con estructuras de tasa de interés distinta,

¿por qué no intercambiarlas cuando se tratase de la misma divisa?; de esta forma surgieron los

Swaps de tasa de interés, para intercambiar deudas con estructuras de tasa de interés distintas pero

nominadas en la misma moneda.

El primer intercambio que sirvió de referencia para los Swaps de tasa de interés, y en el que

se intercambiaron deudas en dólares a tasa fija por deudas en dólares a tasa variable, tuvo relación

con una emisión de bonos a tasa fija del Deustsche Bank de Luxemburgo y el Credit Suisse Frist

Boston y actuando como intermediario Merrill LLynch et Credit. El Deutsche Bank de Luxemburgo

emitió 110 millones de dólares a tasa fija y a medio plazo9, para luego y mediante un Swap

convertirla en deuda también en dólares pero a tasa variable; obteniéndose, de esta forma, un

atractivo margen sobre la Libor.

FIG. 1-3 Swap de tasa de interés entre Yamaichi y Renault

$ A TASA FIJAD.B. DE

LUXEMBURGO LESSER CREDIT

$ A TASA VARIABLEInterés en $ a tasa fija Interés en $ a tasa variable

Préstamo a tasa variableEurobonos


9 Price, J.A.M. y S.K. Henderson. (1988), “Currency and interest rate swaps”, Londres, Butterworths, 2a. Edición, pp.43—44.

Capítulo 1 14


También, a mediados del 1982 los Swaps de tasas de interés fueron utilizados por los

ayuntamientos de Inglaterra10 para reducir su dependencia del mercado interbancario de libras

esterlinas de Londres. Obtuvieron financiación de organismos para la financiación local a un tipo

inferior al que ofrecían los bancos para el mismo período. Algunos ayuntamientos contrataron

Swaps que les proporcionasen tasas de interés variables inferiores al Libor; en este caso los Swaps

sirvieron para alterar las características de una financiación ya existente.

Un Swap de tasa de interés (IRS)11 representa una transacción en la que dos partes acuerdan

intercambiar periódicamente flujos de intereses calculados con respecto a un nocional, pagaderos a

una moneda única y referenciados a alguna tasa líder de mercado.

En el mercado OTC, las operaciones más comunes son las de Swaps de Tasas de Interés, que

son instrumentos de cobertura utilizados ante la incertidumbre de movimientos en las tasas. En

México, los Swaps de tasas cotizan de manera estándar en el Mercado OTC de acuerdo a la cantidad

de cupones o revisiones de la tasa de cada 28 días con plazos a partir de 3 meses hasta 30 años,

concentrándose la liquidez de este tipo de instrumentos en los 10 primeros años. La nomenclatura

utilizada es el número de cupones antecediendo a un “x1”. De esta manera en el mercado se

encuentran cotizaciones que van desde 3x1, 6x1, 9x1, 13x1, 65x1, 130x1, 195x1, 260x1, hasta

390x1.

En México, las operaciones más comunes de Swaps de tasas consisten en el intercambio del

pago de una tasa a un nivel fijo, por otro que se determina de manera variable de acuerdo a la Tasa

de Interés Interbancaria de Equilibrio de 28 días (TIIE 28), sin embargo también existen

cotizaciones y operaciones sobre tasas y monedas extranjeras.

Existen dos tipos de Operaciones que se pueden llevar a cabo con los Swaps de Tasas de

Interés:

• Venta de tasa de interés fija y compra de tasa de interés variable: Se lleva a cabo cuando

se tiene la expectativa de que las tasas de interés van a subir y por lo tanto la tasa de interés 10 Rodriguez, P. (1987), “Swaps”, Boletín de Estudios Económicos, No. 132. Diciembre, pp. 503-504 11 Esta abreviatura es comúnmente utilizada para denominar a estos contratos, y se forma a partir de las iniciales de sus siglas en inglés: Interest Rate Swap (IRS)

Capítulo 1 15


variable se ubicará por encima de la tasa de interés fija prevaleciente en ese momento en el

mercado.

• Venta de tasa de interés variable y compra de tasa de interés fija: Se lleva a cabo cuando

la expectativa de tasa de interés es a la baja, por lo tanto la tasa de interés variable se ubicará

en un futuro por debajo de la tasa de interés fija en ese momento en el mercado.

Este trabajo se centrará únicamente en la descripción y análisis de los Swaps tasas de interés

fija por flotante, mejor conocidos como “plain vanilla Swaps 12. Este tipo de Swap es el contrato

más negociado en el mercado de derivados en México; y a su vez, guarda una estrecha relación con

las tasas líderes de mercado (TIIE y CETES).

El intercambio de flujos de operaciones de tasa fija por tasa variable (Swap) está

referenciada a la Tasa de Interés Interbancaria de Equilibrio (en adelante TIIE) a 28 días, calculada

por el Banco de México con base en cotizaciones presentadas por las instituciones de banca múltiple

mediante un mecanismo diseñado para reflejar las condiciones del mercado de dinero en moneda

nacional13.

Todo Swap se compone de dos legs o patas correspondientes a cada contraparte. A su vez,

cada “pata” se integra por una serie de flujos de pago multi-periódicos cuya estructura puede ser la

misma o puede variar según los requerimientos de los contratantes. En México, las estructuras de

pago más comunes son mensuales, aunque también se celebran contratos con otras periodicidades de

pago: trimestral, semestral o anual.

Por convención, en un Swap de tasa fija por flotante a la contraparte que paga la tasa flotante

y recibe la tasa fija se le define como el comprador del Swap o la contraparte “larga”. Por

consiguiente, la contraparte “corta” en un Swap es la contraparte que vende el contrato aceptando

pagar una tasa fija a cambio de recibir tasas flotantes. Con respecto al principal, en contadas

ocasiones éste se intercambia al concluir el contrato, por eso dicho principal se denomina

“nocional”. Esta denominación sirve para denotar la noción o idea de un “intercambio hipotético”.

12 En el argot del medio financiero “plain vanilla” es la forma de denominar a los instrumentos que presentan las estructuras típicas, es decir, las más estándar. En el caso de los swaps de tasas de interés, un “plain vanilla swap” es aquel swap de tasas fija por flotante, sin entrega de nocional 13 El procedimiento de cálculo de la tasa se establece en la Circular 2019/95 emitida por el Banco de México.

Capítulo 1 16


En la gran mayoría de las transacciones con IRS las liquidaciones periódicas se hacen “por

diferencias” entre las patas fija y flotante. Este sistema de liquidación se explica brevemente a

continuación:

Los flujos que las contrapartes deberían pagarse entre sí se modifican debido a la presencia

de tasas flotantes. Por eso, es necesario recalcular el flujo neto periódicamente y, dependiendo del

valor resultante, determinar la contraparte que queda con una posición neta deudora y la que termina

con una posición acreedora. Sólo la contraparte deudora será la que tendrá que desembolsar el

monto resultante de dicha diferencia. Dejando de lado las implicaciones que movimientos

inesperados en las tasas de interés podrían generar, cabe mencionar que gracias a la liquidación por

diferencias el monto por entregar se reduce considerablemente, lo que tiene ciertas ventajas sobre las

probabilidades de incumplimiento de pago involucradas en las transacciones con Swaps, en

comparación con otras formas de financiamiento.

1.2.1 Elementos de Swaps de tasa de interés

A continuación se presentan los elementos más importantes en un contrato de Swap de tasa de

interés, así como sus definiciones. (Francis y Wolf, 1994)14.

• Monto nocional o de referencia: Determina el tamaño del Swap. Es usado como base para

calcular los pagos.

• Fecha del Swap: Es la fecha en que la acumulación de las tasas fija y/o flotante comienza.

Esta fecha no necesariamente coincide con la fecha de la transacción.

• Fecha de vencimiento: Es la fecha en la que expira la relación contractual.

• Pagador de la tasa flotante: La contraparte responsable de hacer los pagos basados en la

definición de la tasa de interés flotante.

• Tasa de interés flotante: Es alguna tasa que se toma como comparación (generalmente de

mercado, como TIIE) más algunos puntos base que determinarán la tasa de interés flotante

del contrato.

• Intervalos de pago de tasa flotante: El periodo empleado para calcular los flujos que tendrá

que hacer el pagador de tasa flotante. 14 Francis, Jack y Wolf, Avner. (1994), “The handbook of interest rate risk management”. New York. USA: Irwin

Capítulo 1 17


• Frecuencia de la tasa flotante: Puede ser semestral, trimestral, mensual, semanal o diaria.

• Pagador de la tasa fija: La contraparte responsable de hacer los pagos basados en la tasa de

interés fija pactada cuando se estableció el contrato.

• Pagos de tasa fija: Se determinan en función de la tasa fija, la cual se establece tomando

como parámetro una tasa de mercado en un punto específico del tiempo, y algunas veces se

le adicionan unos puntos base.

• Periodos de pago de tasa de interés fija: Generalmente son semestrales o anuales. Se basan

en la fecha de vencimiento del contrato.

• Base de liquidación. Neta o bruta: Si se establece la liquidación neta, la contraparte que haya

calculado el pago mayor, pagará la diferencia entre lo que debe pagar y lo que recibirá.

• Documentación: La mayoría de los contratos de Swaps utilizan el formato sugerido por el

ISDA o por la Asociación de Banqueros Británicos (British Bankers Association).

1.2.2 Proceso de valuación

Antes de describir el procedimiento para valuar un Swap cabe aclarar que si se menciona que un

análisis de las tasas Swap permite definir en cierta forma el proceso de financiamiento crediticio

interbancario es simplemente porque los bancos son las instituciones más activas en este mercado, a

lo largo de todo el mundo. De hecho, los IRS generalmente se construyen tomando como referencia

de la tasa flotante, tasas interbancarias. Por ejemplo, en Estados Unidos se utiliza la tasa LIBOR a

seis meses, mientras que México emplea la tasa de interés interbancaria de equilibrio a 28 días (TIIE

28).

El procedimiento de valuación de un Swap se compone de tres etapas15:

1) Se requiere identificar una estructura de pagos equivalente para las contrapartes: Las patas

de un mismo Swap generalmente están referenciadas a tasas de interés fijas y/o flotantes, y

muestran diferentes esquemas de flujos periódicos de pago. Por lo cual, es indispensable

convertirlas primero en estructuras comparables para después poder valuarlas.

15 Martín Marin, J.L y De la Torre Gallegos, A. (1994), “Valoración y precio de un swap”. Actualidad Financiera. Nº 34,

Septiembre. 1994.

Capítulo 1 18


2) Se deben expresar todos los pagos periódicos en un pago único equivalente: Esto se hace

estimando los flujos futuros, descontándolos y trayéndolos a valor presente para

transformarlos en un pago único equivalente. Una vez definida la estructura de pagos de cada

pata (etapa 1), se estima el valor presente de todos los flujos futuros (etapa 2). Este es un

proceso que se apoya en el supuesto hipotético de que las “tasas futuras interbancarias”

efectivamente se realizarán16. Por lo cual, al efectuar este proceso se cubre un doble objetivo:

a) Encontrar una tasa fija única comparable a las flotantes para un punto dado en el tiempo y,

b) Captar la componente de expectativas implícita en la estructura de tasas futuras que se

utilizaron como factores de descuento.

3) Se determina el “valor del Swap”: El valor del Swap se expresa como la diferencia entre los

valores presentes de las patas fija y flotante:

( ) x y

t t tV S B Bτ τ τ

= − (1.1) Donde:

( )tV Sτ

Valor del Swap calculado en el período τ

xtBτ Valor presente del flujo total de pagos por recibir expresados en un solo período (τ ). Esta

pata representa la posición activa de la contraparte y

tBτ

Valor presente del flujo total de pagos por entregar expresados en un solo período (τ ). Esta

pata representa la posición pasiva de la contraparte.

tτ Período de análisis del Swap (τ = 0,...,T )

1.2.3 Panorama global de los Swaps de tasa de interés

De acuerdo con J. Bicksler y A.H. Chem17, para que la operación Swap sea provechosa cada entidad

que interviene en la misma debe endeudarse en el mercado en el que tiene ventaja comparativa sobre

la otra entidad que interviene en la operación Swap. Este razonamiento clásico a la hora de explicar 16 Siempre que se valúan instrumentos trayendo a valor presente sus flujos, uno de los supuestos más fuertes en los que se apoya dicho proceso es que las tasas futuras el día de hoy, resultan la mejor aproximación de las tasas de interés que efectivamente ocurrirán en el futuro. Estas tasas se toman directamente de las curvas de tasas forward. 17 Bicksler, J. y A.H. Chem. (1986), “An economic analysis of interest rate swaps”. Journal of Finance, No. 41, Julio, pp.645-655.

Capítulo 1 19


el desarrollo del mercado Swap, ha suscitado numerosas críticas y ha provocado la búsqueda de

nuevas explicaciones para la existencia de otras causas en el origen de las operaciones Swaps, así

como, de influencia decisiva en el crecimiento del mercado.

C.W. Smith, C.W. Smithson y L.M. Wakemanho, dan cuatro razones básicas para que el

mercado de los Swaps, haya evolucionado como lo ha hecho18. Estas razones son:

a) Arbitraje financiero.

b) Gestión del riesgo de tasa de interés.

c) Integración financiera.

d) Oportunidades en la obtención de beneficios a partir del arbitraje legal y fiscal.

Los Swaps de Tasas de Interés forman uno de los mercados más grandes y líquidos del

mundo, de hecho, las Curvas de Swaps (Libor, TIIE, etc.) han tomado tal relevancia, que han ido

substituyendo a los Bonos Gubernamentales como principal punto de referencia, debiéndose su

principal causa a la liquidez y a la gran cantidad de productos financieros que toman como

referencia la curva de Swaps para valuación.

Cada tres años, con la colaboración de bancos centrales de 54 países (entre ellos México), el

Banco de pagos Internacionales (BIS) y autoridades monetarias participan en la Encuesta trienal del

Banco Central de Divisas y Derivados de Mercado. El objetivo de la encuesta es proporcionar la

información más completa y coherente a nivel internacional en el tamaño y la estructura de los

mercados de divisas, permitiendo que los políticos y los participantes del mercado controlen de una

manera más óptima patrones de actividad en el sistema financiero mundial. Coordinadas por el BIS,

las instituciones participantes recopilan datos sobre el volumen de negocios en los mercados de

divisas tradicionales (operaciones al contado, forwards y Swaps de divisas) y en el mercado over the

counter (OTC) operaciones de divisas y de derivados de tipos de interés (IRS). La encuesta trienal se

ha llevado a cabo cada tres años desde abril de 1989, y se ha modificado desde abril de 1995 para

incluir los derivados OTC de tasa de interés.

18 Smith, C.W. - C.W. Smithson - L.M. Wakeman. (1986), “The evolving market for swaps”. Midland Corporate Financial Journal, 1986, Invierno, pp. 24-27.

Capítulo 1 20


Desafortunadamente, para la realización de esta investigación aún no se cuenta con el

informe de la Encuesta Trienal 2010 ya que su presentación se da a principios del año 2011; es por

esta razón que sólo se presenta la información obtenida de la encuesta realizada en 2007 cuyos

resultados más importantes son los siguientes:

La actividad en el mercado de derivados OTC siguió creciendo a un rápido ritmo entre 2004

y 2007. El promedio diario de volumen de negocios en divisas OTC y contratos de tasas de interés

subieron en un 73%, a $ 4.2 billones de dólares en abril de 2007 (Tabla 3). Esto corresponde a una

tasa compuesta anual de crecimiento del 20%, lo que esta por encima del incremento medio del 14%

registrado desde la parte de derivados de la encuesta trienal que se inició en 1995.

TABLA 3 Mercado mundial OTC, volumen de negocios

Promedios diarios en abril, en billones de dólares

Concepto/Año 1998 2001 2004 2007 Volumen de negocios de divisas 959 853 1,303 2,319

Forwards y Swaps de divisas 862 786 1,163 2,076

Swaps de divisas 10 7 21 32

Opciones 87 60 117 212

Otros 0 0 2 0

Volumen de negocios de Tasa de interés 265 489 1,025 1,686

FRAs 74 129 233 258

Swaps 155 331 621 1,210

Opciones 36 29 171 215

Otros 0 0 0 1

Diferencia estimada en la información 39 43 92 193

TOTAL 1,265 1,385 2,420 4,198

Fuente: Elaboración propia en base a los datos obtenidos en la la Encuesta trienal del Banco Central de

Divisas y Derivados de Mercado (ISDA y BIS)

La actividad en derivados de divisas (incluidos los futuros simples y los Swaps de divisas, en

el mercado de divisas tradicionales) aumentaron en un 78%. Un crecimiento más moderado

Capítulo 1 21


se registró en el segmento de las tasas de interés, donde el volumen de negocios subió un 64%. La

información de la tabla anterior se puede aprecair mejor en los siguientes gráficos.

FIG. 1-4 Volumen de operaciones en mercados de derivados OTC

Cifras en billones de dólares

Contratos de divisas Contratos de tipo de interés

Fuente: Encuesta trienal del Banco Central de Divisas y Derivados de Mercado (ISDA y BIS)

De 2004 a 2007 los montos nocionales en los contratos de tasa de interés aumentaron en un

119% a $ 389 billones de dólares. Esta información se puede pareciar en la tabla 4.

TABLA 4 Posiciones globales en mercados de derivados OTC, por tipo de instrumento

Saldos en billones de dólares

Concepto/Año Cantidades nocionales

Valores brutos de mercado

Cantidades nocionales

Valores brutos de mercado

2004 2007 Contratos de tipo de

interés 177,458 4,582 388,627 6,724 FRAs 14,399 211 25,607 145 Swaps 137,277 3,978 306,438 5,813 Opciones 25,757 393 56,575 766 Otros 25 0 7 0

Fuente: Elaboración propia en base a los datos obtenidos en la la Encuesta trienal del Banco Central de

Divisas y Derivados de Mercado (ISDA y BIS)

Capítulo 1 22


En un reporte especial emitido por el ISDA a finales de junio de 2008, se reporta el

crecimiento que ha tenido el monto nominal en circulación de los Swaps de tasa de interés desde

1987 a 2008. Aquí se puede apreciar que de 2007 a 2008 hay un incremento del 22% en este tipo de

contratos. Esta información se aprecia en la figura 1-5.

FIG. 1-5 Swaps de tasa de interés, ISDA Estudio de Mercado, 1987-2008

Montos nocionales en billones de dólares

Fuente: ISDA Notas de Investigación

Por su parte el BIS emitió en 2006 un reporte preliminar sobre las operaciones en el mercado

Over The Counter , en este informe se aprecia que el importe nocional a Diciembre de 2006 de todas

las categorías de instrumentos cotizados en los Mercados de Derivados OTC a nivel mundial

ascendió a $415 billones de dólares, de los cuales $230 billones fueron de Swaps de Tasas de

Interés, categoría que representa más del 50% de la operación de los Mercados de Derivados OTC a

nivel mundial, cifra que se asemeja a la información emitida por el ISDA. De 1998 al 2006 el

importe nocional se ha sextuplicado. Esta información se puede apreciar en la Figura 1-6.

Capítulo 1 23


FIG. 1-6 Valor nocional de los Swaps de Tasa de Interés

Fuente: Banco Internacional de Pagos (BIS)

1.3 El mercado de los Swaps de TIIE-28 días

Los Swaps de TIIE-28 días son instrumentos financieros conocidos como ‘Derivados’ a los que

subyace un contrato a través del cual se intercambia una serie de flujos fijos (determinados por una

tasa fija: la tasa Swap) por aquellos flujos variables resultantes de aplicar la TIIE-28 días en fechas

especificadas. Los Swaps de TIIE-28 días son los derivados más comunes en México y representan

uno de los mercados más profundos de los derivados OTC (Over The Counter) o de mostrador. Su

profundidad es tanta que en la práctica sus cotizaciones se dan en tiempo real, presentándolas las

principales empresas de provisión de información como Reuters y Bloomberg.

1.3.1 Definición de los Swaps de TIIE-28 días

En términos generales, un Swap de TIIE (de 28 días ó 91 días) es un contrato entre dos partes, las

cuales acuerdan intercambiar flujos monetarios en el tiempo. Es un intercambio de pagos de

intereses sobre una tasa de interés fija (la tasa o cotización del Swap) por una de las partes, por

pagos de intereses sobre una tasa variable (la TIIE de 28 publicada por Banco de México.)

proveniente de su contraparte. Ambas tasas son calculadas sobre un mismo monto principal o

nominal (“Monto Nominal de Referencia” del Swap de TIIE), el cual no es intercambiado.

Capítulo 1 24


En términos formales, un Swap de TIIE-28 días queda determinado por una serie de

documentos legales debidamente definidos bajo los estándares ISDA19. En su definición formal, el

Swap de TIIE-28 días considera detalles como la posibilidad de prepago, rompimiento del contrato,

el caso de inexistencia del índice de referencia (por ejemplo, que la TIIE-28 días dejara de existir) e

incluso la forma de transferencia de los fondos.

1.3.2 Uso e intermediación de los Swaps de TIIE-28 días

El principal uso de los Swaps de TIIE-28 días es como instrumentos de cobertura; no obstante,

pueden ser usados como instrumentos de especulación. Una empresa puede acceder al mercado de

Swaps de TIIE-28 días a través de un intermediario financiero (por lo general un banco) que esté

autorizado a operar dichos Swaps. La empresa podrá realizar la transacción con el intermediario

financiero sólo si cumple con los estándares definidos en la documentación ISDA respectiva (como

tener patrimonio bien definido y cumplir con obligaciones fiscales).

La utilidad de los Swaps de TIIE-28 díıas para quienes lo contratan es la modificación de la

naturaleza de flujos provenientes de un activo o pasivo esperado como el caso de convertir un

pasivo contraído a una tasa de interés variable en uno fijo (o viceversa). El incentivo para el

intermediario financiero que los ofrece es obtener un diferencial o margen en la cotización de los

Swaps de TIIE-28 días como beneficio a cambio de absorber el riesgo de que la contraparte no

cumpla (riesgo crédito) o de que las tasas de interés (la TIIE de 28 días) se mueva en el futuro de

una manera desfavorable de manera que le provoque pérdidas (riesgo de mercado).

Como el intermediario financiero provee de Swaps de TIIE-28 días a varias contrapartes, se

obtiene por lo general el beneficio de no concentrarse con una sola contraparte (beneficio por

diversificación), además de que puede ofrecer exactamente el perfil de flujos opuestos a alguna

contraparte de aquél que ofrece a otra, cerrando el riesgo de mercado. Esto hace sumamente

atractiva la operación de Swaps de TIIE-28 días.

19 Dicha asociación ha establecido estándares de los contratos marco con efectos legales y claúsulas para la operación de Swaps de cualquier tipo

Capítulo 1 25


1.3.3 Intercambio de Flujos Variables por Flujos Fijos

En la Figura 1-7, se considera el caso de una empresa (la Empresa 1) que tiene que hacer frente a

una serie de pagos fijos de monto B cada 4 semanas (28 días) por concepto de nómina de sus

empleados, mientras que sus ingresos tienen que ver con el nivel de la tasa de interés (por ejemplo

una empresa que opera un Fondo de Inversión de corto plazo y que cobra comisiones a sus

ahorradores sobre los intereses generados en el Fondo). Es claro en este caso que el Balance propio

de la empresa tiene un pasivo prácticamente fijo, mientras que su activo principal son las comisiones

cobradas a los ahorradores del Fondo que maneja, lo que provoca que su ingreso futuro dependa en

gran medida del nivel de tasa de interés del mercado.

FIG. 1-7 Empresa con un pasivo fijo e ingresos variables,

altamente dependientes de la tasa de corto plazo


La empresa sabe que una baja en el nivel de tasas de interés de corto plazo (ya que el fondo

de inversión es de corto plazo), provocará que sus ingresos futuros disminuyan, mientras que el pago

de su nómina no lo hará. Debido a esto, la empresa estará dispuesta a entrar en un contrato de Swap

de TIIE-28 días para la cobertura de sus pasivos, aceptando recibir (de un intermediario financiero)

un monto fijo cada 28 días por cierto periodo de tiempo a cambio de pagar un monto variable

indizado a una tasa de corto plazo como la TIIE de 28 días. Si el monto fijo de la empresa es B, y el

nivel de tasa de interés fija del Swap de TIIE-28 días es BTs (tasa Swap Bid o de compra —de la

TIIE-28 días desde el punto de vista del mercado o intermediario financiero— del Swap de TIIE-28

Capítulo 1 26


días), la empresa estará dispuesta a contratar dicho Swap de TIIE-28 días con nominal de referencia

N calculado como sigue:

28

360BT

BNS

= (1.2)

Donde:

N= Monto nominal o de referencia del Swap de TIIE-28 días BTs = Tasa Fija (o tasa Swap de compra) del Swap de TIIE-28 días

B= Pago fijo a realizarse cada 28 días

Nótese que se ha encontrado el valor nominal de referencia N que hace que la Empresa 1

pueda recibir exactamente B. De esta manera:

( ) 28360

BTB N s ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.3)

En el ejemplo presentado, el intermediario financiero paga la tasa fija o tasa Swap a cambio

de recibir la TIIE de 28 días y se dice que su posición en el Swap de TIIE-28 días es “larga” en flujo

(gana más en flujo si las tasas suben) y “corta” en tasa de interés Swap. Por su lado, la Empresa 1

paga la TIIE de 28 días (que podemos denotar como 28TIIEi ) a cambio de recibir la tasa fija o tasa

Swap BTs y se dice que su posición en el Swap de TIIE-28 días es “corta” en flujo o “larga” en tasa

de interés. La operación del Swap de TIIE-28 días se representa en la Figura 1-8.

En la figura 1-8 se puede observar claramente que la Empresa 1 ahora tiene perfectamente

cubierta respecto del pago de su nómina con el flujo que recibe de intercambio financiero, a cambio

del cual tendrá que pagar un flujo variable indizado a la TIIE de 28 días. Por tanto, la Empresa 1 ha

permutado su pasivo fijo por un pasivo variable. Esta es precisamente la idea de los Swap de tasa de

interés como el caso de los Swaps de TIIE-28 días.

Capítulo 1 27


FIG. 1-8 Intercambio de flujos fijos por flujos variables, a través de un Swap de TIIE-28 días


1.3.4 Intercambio de Flujos Fijos por Flujos variables

En la Figura 1-9, ahora se considera el caso de otra Empresa (la Empresa 2), la cual tiene una deuda

con valor nominal N, la cual contrajo para financiar una expansión de actividades que le provoca

que pague intereses a una tasa flotante cada 28 días (por ejemplo TIIE de 28 días + 80 puntos base).

Esta empresa tiene un ingreso estable y está preocupada que una alza en las tasas de interés le

provoquen problemas financieros al aumentar el monto que tendrá que pagar por servicio de su

deuda.

Capítulo 1 28


FIG. 1-9 Intercambio de flujos variables por flujos fijos,

a través de un Swap de TIIE-28 días


Esta empresa estará dispuesta a entrar en un contrato de cobertura de su pasivo (su deuda),

aceptando recibir un monto indizado a la TIIE de 28 días cada 28 días a cambio de pagar un monto

fijo. Considerando que el mismo intermediario financiero que ofreció el Swap de TIIE-28 días a la

Empresa 1 está dispuesto a ofrecerle una posición de Swap de TIIE-28 días a la Empresa 2 con el

perfil opuesto al que ofreció a la empresa 1. En este caso, el intermediario financiero ofrecerá ahora

absorber los flujos variables a cambio de recibir un flujo fijo determinado por una tasa ATs (tasa de

Capítulo 1 29


interés Ask o de venta del Swap de TIIE-28 días). En este caso el nivel de la tasa Swap ATs es mayor

que BTs y la diferencia entre ambas ( )A B

T Ts s− representa el “Bid-Ask Spread” o margen de compra-

venta del Swap de TIIE-28 días que el intermediario financiero se queda como ganancia al proveer

el servicio de venta de posiciones cortas y largas de Swaps de TIIE-28 días.

Los intercambios de flujos entre la Empresa 2 y el intermediario financiero se presentan en la

Figura 1-9, donde se puede observar que la Empresa 2 cumple el objetivo de cambiar su deuda

flotante a una deuda completamente fija con pagos determinados por la tasa de interés fija neta

resultante igual a ATs + 0.8%.

El mercado de los Swaps de TIIE-28 días en México es un mercado sumamente líquido,

donde las operaciones se pactan de manera directa entre las partes: una empresa o cliente vs. un

intermediario financiero (autorizado para operar este tipo de Derivados por parte de Banco de

México), o entre dos instituciones financieras (igualmente autorizadas para operar este tipo de

Derivados por parte de Banco de México).

Aunque el mercado de los Swaps de TIIE-28 días es un mercado OTC o de Mostrador, es

decir, no tiene una Cámara de Compensación que elimine el riesgo contraparte y de incumplimiento;

la documentación legal que circunda a sus contratos los hace ser productos financieros altamente

seguros en su operación, pues se tienen los instrumentos legales para el cumplimiento de las partes,

quienes además no desean correr riesgo reputacional que el mercado les imponga al no cumplir con

sus obligaciones contractuales.

Algo importante a destacar de la operación de los Swaps de TIIE-28 días es que si bien

existe la posibilidad de incorporar detalles adicionales en sus contratos como la existencia de

amortizaciones, el mercado de Swaps de TIIE-28 días estándar no considera ninguna variante o

detalle. Este mercado estándar siempre es la base para la determinación de las cotizaciones de

cualquier Swap de TIIE-28.

A continuación se analizará como se comporta el mercado de Swaps en nuestro país.

Capítulo 1 30


1.4 El mercado de Swaps en México En nuestro país la introducción de los derivados es bastante reciente, sobre todo en comparación con

los países desarrollados (Estados Unidos, Inglaterra, Canadá o Francia, por mencionar sólo algunos

ejemplos).

En diciembre de 1998, aparece la primer bolsa de derivados de México, bajo la

denominación de “Mercado Mexicano de Derivados” o MexDer. A partir de esa fecha por primera

vez se reconoce formalmente la presencia de un mercado organizado de derivados en nuestro país,

pues previamente las operaciones con derivados sólo eran pactadas a través de mercados no

organizados o de mostrador, mejor conocidos como mercados “over the counter (OTC)”.

Con respecto a los Swaps, éstos son contratos solamente negociados en mercados no

organizados. Generalmente, las contrapartes son bancos y los utilizan para fines de cobertura. A la

fecha existen pocas fuentes formales de información que muestren los volúmenes negociados o el

interés abierto de dichas operaciones. De hecho, entre las pocas fuentes de información disponibles

se encuentran los balances y cuentas de orden de los propios bancos, así como algunas estadísticas

proporcionadas por la International Swaps & Derivatives Association (ISDA).

Al principio, en la bolsa de derivados mexicana (MexDer) se lanzó un producto con la

intención de replicar la estructura de contratos Swap, pero a través de un instrumento que sí pueda

negociarse en el mercado organizado bajo condiciones estandarizadas, éste es el engrapado.

El engrapado representa una mecánica de negociación creada por el MexDer para realizar

operaciones “tipo Swap” construido por cadenas de futuros de TIIE de 28 días que se “engrapan” de

forma continua y cuyos plazos oscilan desde 84 días hasta 7 años (o más).

Durante algunos años, los engrapados fueron considerados el producto “estrella” del

MexDer, por los elevados volúmenes de negociación que alcanzaron. Al principio se tenían listadas

sólo 36 series mensuales que permitían realizar operaciones con futuros de TIIE por plazos hasta de

Capítulo 1 31


un año, pero con el incremento en la demanda por estos contratos, se adicionaron 24 vencimientos

mensuales más, haciendo posible fijar niveles de tasas hasta por 5 años20.

Para valorar la magnitud negociada en futuros de TIIE de 28 días a través de “engrapados”,

cabe mencionar que en el 2002 estos productos representaban el 95.63% de la operación global, y el

98.13% del interés abierto del MexDer, seguidos de los futuros del CETE, del dólar, del IPC y por

último, del Bono M3.

Considerando que hace pocos años la situación de los Swaps de tasas en México todavía era

precaria, cabe resaltar que su evolución y desarrollo han sido sorprendentemente rápidos. Tan sólo

en mayo de 1998 la elevada volatilidad en las tasas de interés, la falta de liquidez y la inexistencia

de emisiones gubernamentales de largo plazo que pudieran servir como benchmark dificultaban

construir las secciones de mediano y largo plazo de la curva Swap. Por lo que una gran mayoría de

los contratos sólo se celebraba por plazos inferiores a un año.

A partir del año 2000 se incrementaron significativamente el plazo y la liquidez de los Swaps

de tasas (fija por flotante) debido a los siguientes factores:

1) Aparecieron emisiones de deuda gubernamental de mayores plazos que sirvieron como

nuevos benchmark.

2) Aumentó la demanda de bancos por coberturas de largo plazo (10 años o más); a la vez que

se incrementó el número de contrapartes interbancarias dispuestas a negociar con Swaps de

TIIE.

3) Crece la demanda por inversiones riesgosas, ante la percepción de un ambiente de mayor

estabilidad en la economía mexicana a nivel nacional e internacional.

Aunque en un principio los plazos más demandados en Swaps de TIIE se concentraban en

plazos inferiores al año (84, 168, 252 y 360 días), actualmente se está incrementado la demanda por

plazos superiores al año (3 y 5 años, principalmente). De cualquier manera, todavía existe poca

negociación en los plazos de 7 a 10 años. En términos generales, la actividad superior a 3 años se

20 MexDer, 2002

Capítulo 1 32


2004 2005 2006 2007

concentra en bancos que buscan coberturas fijando el costo de sus deudas y reduciendo su

exposición ante la volatilidad de las tasas de interés en el corto plazo.

Otro aspecto de considerable importancia que cabe resaltar es que la presencia de clientes

corporativos es todavía bastante escasa. Por lo que los Swaps de tasas de interés en México se

negocian casi exclusivamente al interior del sector bancario, lo que para los fines de este estudio

representó una gran ventaja, pues facilitó considerablemente una interpretación de los resultados

enfocada a un solo sector, el de la banca comercial.

Una muestra de la aceptación que los Swaps de TIIE han encontrado en el mercado bancario

mexicano puede observarse en la Figura 1-10 donde se comparan las tasas de crecimiento de los

Swaps con respecto a las de otros derivados cuyo subyacente también son tasas de interés, por

ejemplo, futuros y forwards de TIIE.

FIG. 1-10 Derivados de tasas en el sector bancario

Tasa de crecimiento basadas en valores nocionales

Fuente: Mexder

Capítulo 1 33


Como puede observarse en la Figura 1-10, del 2004 al 2007 los Swaps de tasas de interés son

los contratos que muestran las mayores tasas de crecimiento, seguidas de los futuros de TIIE (entre

los que se encuentran las operaciones de engrapados).

Debido al crecimiento presentado en el mercado de Swaps de tasa de interés, el Mercado de

Derivados (Mexder) decidió introducir al mercado un nuevo instrumento: el futuro de Swap de TIIE,

el cual se analizará en la siguiente sección.

1.5 Contratos de futuros sobre Swaps de TIIE

Los Mercados de Derivados Organizados, así como los OTC a lo largo del tiempo han sido

mercados complementarios entre sí, y una de las tendencias que se está presentando con mayor

frecuencia entre ambos, es la adecuación y listado de productos por parte de los Mercados

Organizados, que antes eran propios del OTC, adicionándolos con las bondades y ventajas que se

presentan en los Mercados Organizados únicamente, como la estandarización, precios públicos y

principalmente, el contar con una Cámara de Compensación que disminuye el riesgo de contraparte.

Ante el desarrollo de los Swaps en el mercado Over the Counter (OTC), MexDer, ha

decidido listar Futuros que tengan como subyacente los Swaps de TIIE, lo que sin duda ayuda a los

participantes en este tipo de contratos a administrar de mejor manera la exposición que tienen ante

fluctuaciones de tasas de interés. Este tipo de contrato también se conoce como “Forward Starting

Swap” (FSS) o “Swap de Inicio Futuro” y consiste en la concertación de un Swap con la

característica de que la determinación de la fecha de inicio del Swap será en una fecha futura, que es

en la fecha de vencimiento de la serie del Futuro que se trate.

El 17 de septiembre de 2007 se llevó a cabo el listado del contrato de futuro de Swap sobre

TIIE de 28 días a un plazo de 10 años. Este contrato pretende sustituir la baja en el volumen en el

contrato de futuro de la TIIE, así como recuperar y dar mayor liquidez a la operación en el largo

plazo (10 años), “empaquetando” estos futuros en un sólo instrumento que facilita su

administración y valuación diaria. Debido a la aceptación que tuvo el Futuro de Swap de TIIE a 10

Capítulo 1 34


años (130x1), el año pasado, para ser precisos el 19 de enero de 2009 se llevo a cabo el listado de

futurode Swap de TIIE a 2 (26x1) y 5 (65x1) años21.

De la misma forma que un Swap OTC, en donde la tasa que se negocia es la Tasa Swap

(“Pata Fija”), se sigue la misma mecánica operativa para los contratos de Futuros de Swaps listados

en MexDer, en donde la tasa negociada es la tasa Swap Futura que se tendría en la fecha de

expiración del Contrato de Futuro. Los Futuros de Swaps tienen como Subyacente los Swaps de 2

años (26 x 1), 5 años (65 x 1) y 10 años (130 x 1), que a su vez utilizan la Tasa de Interés

Interbancaria de Equilibrio a 28 días como la tasa de interés variable en un contrato Swap, mientras

que la otra “pata” es una tasa de interés fija. Al momento de la negociación, el Swap tiene en teoría,

valor cero ya que se encuentra “At the money”, es decir, el valor presente de los flujos de tasa

flotante es igual al valor presente de los flujos de la tasa fija. A partir de ese momento la “Tasa

Swap” fluctúa conforme al mercado.

El Swap de TIIE en el mercado OTC es un instrumento con gran liquidez y alto número de

participantes. Con el futuro de Swap de TIIE se buscan los siguientes objetivos:

• Sustituir la modalidad de operación de “engrapados” de largo plazo, por un contrato listado

que facilite la operación, valuación, seguimiento y administración a los participantes.

• Desarrollar gran liquidez en los primeros dos años con futuros individuales de TIIE.

Operaciones a más largo plazo vía futuros de Swap.

• Reincorporar a los clientes que ya no participan en el contrato de futuros de la TIIE de largo

plazo a través de este nuevo instrumento.

Citando algunas cifras de 2007, en el contrato de futuro de la TIIE de 28 días, el volumen

negociado expresado como el número de contratos operados, se ubicó en 220.6 millones de

contratos –equivalentes a 878,916 contratos diarios promedio-, lo cual significa un descenso del

16.82% con respecto al año previo.

21 Informe Anual Grupo BMV 2009

Capítulo 1 35


La baja en el volumen operado responde fundamentalmente a la reducción en la operación de

los engrapados en los periodos largos ante las dificultades administrativas (back office) que presenta

esta modalidad operativa, y una menor actividad por parte de inversionistas institucionales en la

parte larga de la curva de rendimientos. Es importante mencionar que como una estrategia que

ayudara a revertir esta tendencia, se decidió listar el contrato de futuro del Swap de TIIE a 28 días.

No obstante lo anterior, el futuro de la TIIE continúa siendo el de mayor liquidez y volumen

intercambiado, así como la principal fuente generadora de ingresos de la Sociedad.

FIG. 1-11 Promedio diario negociado (TIIE 28 días)

Cifras en miles de contratos

Fuente: Mexder

Como puede apreciarse en la Figura 1-11, el incremento observado entre los meses de junio

y octubre está relacionado con el cierre de posiciones de algunos participantes que mantenían

posiciones abiertas importantes. Por su parte, el interés abierto presentó un incremento del 24.7%

respecto al registrado al cierre del ejercicio anterior y observó su máximo histórico el día 19 de

septiembre, al sumar 56’742,449 contratos abiertos. El importe promedio diario negociado en el

2007, expresado en pesos, corresponde a $87 mil millones de pesos.

Es preciso mencionar que, para efectos de comparación de este contrato versus el futuro de

la TIIE, en cuanto a volumen operado, un contrato de futuro del Swap es equivalente a 1,200

contratos de futuros de la TIIE, ya que por un lado este nuevo instrumento ampara un valor nominal

Capítulo 1 36


10 veces mayor, y por otro, los 120 vencimientos mensuales que cubren los 10 años en un

engrapado de TIIE.

FIG. 1-12 Promedio Diario Negociado

Contratos de Futuro Swap de TIIE 10 años

Fuente: Mexder

De esta manera, si se considera que el volumen promedio diario en el futuro de TIIE se ubicó

en 878,916 contratos diarios promedio, y que en el periodo septiembre - diciembre se registró un

promedio diario de 300 contratos en el contrato de futuro de Swap de TIIE, que son equivalentes a

360,000 contratos de futuros de TIIE, se tendría un volumen “ajustado” acumulado de 1’238,916

contratos, siendo 17.25% superior el volumen –para efectos de esta comparación- que el observado

en el contrato de futuro de la TIIE a 28 días en el ejercicio del año previo.

Para el ejercicio de 2008, en el contrato de futuro de la Tasa de Interés Interbancaria de

Equilibrio (TIIE) de 28 días, el volumen negociado expresado como el número de contratos

operados, se ubicó en 57.8 millones de contratos, lo cual significa un descenso del 73.76% con

respecto al año previo.

Capítulo 1 37


FIG. 1-13 Promedio Diario Negociado

Futuro de TIIE + Futuro de Swap de TIIE

Fuente: Mexder

La baja en el volumen operado de futuro de TIIE responde fundamentalmente a la migración

que se dio de este producto al contrato de futuro del Swap de TIIE a 28 días.

Como se puede observar en las tablas previas, este contrato ya no es la fuente principal de

ingresos de la sociedad, aunque continúa siendo el de mayor volumen intercambiado.

FIG. 1-14 Contratos de Futuro sobre TIIE 28 Promedio Diario

Fuente: Mexder

Capítulo 1 38


No obstante lo anterior, el interés abierto ha sufrido una reducción del 15.78% respecto del

cierre del 2007 y en donde es importante destacar que ese nivel no se muestra afectado por la

inclusión del contrato de futuro del Swap de 10 años, la cual ocurrió en septiembre de 2007, de

hecho el 20 de febrero se registró el máximo histórico al sumar 57.07 millones de contratos abiertos.

FIG. 1-15 Contratos de Futuro SWAP de TIIE 10 años Promedio Diario

Fuente: Mexder

En lo que corresponde al contrato de futuro del Swap de TIIE a 28 días, se aprecia un

comportamiento muy errático en el volumen negociado, con una tendencia descendente hacia el

segundo semestre, la cual es acompañada por el mismo comportamiento en el caso del interés

abierto.

FIG. 1-16 Futuros del TIIE + Futuros del SWAP

Fuente: Mexder

Capítulo 1 39


En la Figura 1-17 se analiza por separado la evolución del Futuro de Swap de TIIE 10 años,

en donde se puede apreciar que desde su introducción al mercado de derivados ha tenido una buena

aceptación pasando de un volumen de cerca de 4,000 contratos en septiembre de 2007 a 25,000 en

marzo de 2008.

FIG. 1-17 Evolución Futuro de Swap de TIIE 10 Años

Fuente: Mexder

1.5.1 Metodología de cálculo de tasas teóricas de Futuro de Swap

La metodología de cálculo e insumos que se requieren para estimar las Tasas Futuras de los

Swap es la siguiente22:

Paso 1. Niveles de TIIE y “Mid Point” de los Swaps de TIIE OTC. Se toma la curva de

rendimiento construida con base en los niveles de cierre de los Swaps de TIIE que cotizan OTC de 3

meses (3 x 1) hasta 30 años (390 x 1). Dicha curva servirá para estimar el valor de la diferencia entre

la parte Fija y variable del Futuro del Swap.

22 Martín Marín, J.L y De la Torre Gallegos, A. (1994), “Valoración y precio de un swap”. Actualidad Financiera. No. 34, Septiembre. 1994.

Capítulo 1 40


Una vez recolectada la información de los Swaps de Tasas de Interés, con posturas obtenidas

de las diferentes fuentes de información para compra y venta, se procede a lo siguiente:

a. Se obtiene la mejor postura de compra y la mejor postura de venta.

b. Para determinar los niveles de mercado de las curvas se considera, del inciso “a”, el nivel

medio entre la compra y la venta.

c. Para los días en que los incisos “a” y “b” no cuenten con información se determinará el nivel

medio a través de las posturas de compra y de venta utilizando referencias tomadas

directamente de las mesas de operación de intermediarios financieros con participación en

este segmento del mercado. Al menos se considerarán referencias de cuatro intermediarios

diferentes y se tomará el nivel promedio de éstas.

Paso 2. Construcción de la Curva de “Ceros”. Se construye una curva al plazo que corresponde a

la fecha de vencimiento del Contrato de Futuro más el plazo del subyacente. Esta Curva se infiere a

través de los Nodos y/o niveles de la Tasa de Interés Interbancaria de equilibrio de 28 días (TIIE 28)

y el punto medio de los Swaps de TIIE.

En el mercado mexicano el plazo mayor de los bonos cupón cero es de un año y resulta

necesario extender la estructura temporal de tasas a plazos mayores. En respuesta a ello, el método

más comúnmente utilizado es el “Bootstrapping”, que consiste en estimar de manera recursiva

niveles de tasas cero a partir de la información de las tasas de rendimiento al vencimiento (Yield to

Maturity o Tasas Yield) de las que se tiene información a largo plazo.

Determinación de Nodos y Construcción de la Curva.

Los valores de los dos primeros nodos, para las curvas se determinan de la siguiente manera:

El primer nodo correspondiente a un día (r1) se obtiene al restar a la tasa TIIE a 28 días,

correspondiente al día de valuación, la diferencia en puntos base entre la tasa de fondeo bancario

“AAA” con plazo a un día, contra el fondeo bancario con plazo de 28 días.

Capítulo 1 41


El segundo nodo asociado a 28 días (r28), corresponde a la tasa TIIE de dicho plazo,

determinada por Banxico el día de valuación.

Para el tercer y cuarto nodos, de 56 y 84 días respectivamente (r56 y r84), se aplica el método

de Bootstrapping usando tasas en composición continua a partir del nivel obtenido para el contrato

IRS 3x1. Una vez que se conocen los primeros cuatro nodos, se aplica nuevamente el Bootstrapping

tomando el contrato IRS 6x1, para obtener las tasas simples correspondientes a 112, 140 y 168 días.

Con la aplicación sucesiva del Bootstrapping se obtienen los valores correspondientes a cada IRS

hasta llegar al último contrato de 30 años, el IRSx390, por lo que el último nodo de mercado

corresponde a 10,920 días (r10920).

Paso 3. Construcción de la Curva Forward. Una vez que se tiene la curva de “ceros”, se infieren

las Tasas Forwards correspondientes a los Cortes de Cupón o revisiones Futuras. Con estas tasas se

proyectan los flujos de la pata flotante y se traen a Valor Presente con la tasa Cupón Cero

correspondiente a cada período. Los Flujos de la pata fija se proyectan con la Tasa Futura del Swap

y se traen a Valor Presente con la Tasa Cupón Cero que corresponde a cada período.

Paso 4. Cálculo de la Tasa Futura del Swap. Se puede decir que el valor y/o nivel de la Tasa

Futura de un Swap, considerando el período de vencimiento del Subyacente (2 ,5 y 10 años), está

dado por:

28*28360

1( )

m

n kk

Tasa Futura del Swap Pata Fija T FD +=

= ∑ (1.4)

Donde:

T Es la Tasa Futura del Swap negociada que determina los flujos.

m Es el número de intercambios (flujos) del Swap.

n Es el número de días por vencer del Contrato de Futuro del Swap.

FDn+k*28 Es el factor de descuento para el flujo k con n+k*28 días por vencer.

El factor de descuento de n+k*28 días por vencer se obtiene de la siguiente manera:

( )*28*28 *28360

11n kn k TIIE n kFD

++ += + (1.5)

Capítulo 1 42


Donde:

TIIE n+k*28 Es el valor de la Curva Cero de TIIE para el día n+k*28

n+k*28 (n) Son los días por vencer del flujo a descontar que contiene los días por vencer del

Contrato de Futuro, más (k) que es el número de días que le restan por vencer al flujo del Swap.

La tasa teórica Futura de un Swap que elimina posibilidades de arbitraje (los flujos de la pata

fija traídos a valor presente son iguales a los flujos de la pata flotante), está dada por la tasa fija (T)

que satisface la siguiente expresión:

*28 28( 1)*28 *28 *28360

1 1

28360

m mn k

n k n k n kk k

F FD T FD++ − + +

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∑ ∑ (1.6)

Donde:

m Es el número de flujos del Swap (26, 65 o 130).

n Es el número de días por vencer del Futuro del Swap n+k*28n+(k-1)*28F Es la tasa forward correspondiente al flujo k, que comienza en n+(k-1)*28 y termina en

n+k*28 días.

FDn+k*28 Es el factor de descuento para el flujo con n+k*28 días por vencer.

T Es la Tasa Swap que determina los flujos de la pata fija.

Con esta tasa teórica se logra que el valor de la pata fija sea igual al de la pata variable y con

ello el valor de la Tasa de un Swap con inicio en una fecha futura sea cero.

1.5.2 Uso del futuro del Swap

El Futuro del Swap es una herramienta fundamental la cual abre una nueva gama de estrategias de

cobertura y arbitraje para Inversionistas Institucionales, Bancos, Casas de Bolsa e Instituciones

Gubernamentales.

El Futuro del Swap listado en MexDer servirá para hacer Arbitrajes y Cobertura, tales como:

• Replicar como ningún otro producto los Swaps de tasas de interés OTC.

Capítulo 1 43


• Hacer estrategias de valor relativo con bonos gubernamentales y corporativos.

• Eliminar riesgo de base.

• Simular engrapados de MexDer.

• Replicar sintéticamente portafolios y duraciones.

• Crear estrategias para instituciones financieras que no cuentan con líneas de crédito

para operar en un Swap.

• Arbitrajes entre Spread de crédito.

1.5.3 Ventajas de los futuros de Swaps de tasas de interés

Coberturas más precisas. Actualmente participantes en el mercado cubren Bonos con Swaps y/o

con engrapados de MexDer, lo cual conlleva a riesgos de base, desfases de duraciones en las

coberturas y sensibilidades y convexidades diferentes. Con los Futuros de Swaps se podrá contar

con un mecanismo de cobertura adicional y más precisa.

Facilidad de Administración y Monitoreo. Los participantes que compran o venden engrapados

valúan su posición ante el movimiento de algún Futuro de TIIE individual que compone el

engrapado, ahora los intermediarios que deseen hacer coberturas mediante Futuros de Swaps,

únicamente tendrán que valuar un solo Instrumento. Lo anterior trae mejoras administrativas y

operativas a los participantes que actualmente operan derivados referenciados a la TIIE.

Líneas de Crédito. Resuelve el problema de líneas de crédito para participantes no calificados que

deseen entrar en un Swap.

Capital Regulatorio. El consumo de capital que requiere el Futuro del Swap para instituciones

financieras es significativamente menor que el requerido por un Swap OTC.

Seguridad. Contar con una Cámara de Compensación que elimina el riesgo contraparte.

Transparencia. Precios públicos e igualdad de oportunidades para todos los participantes.

Capítulo 1 44


Mercado Anónimo. La contraparte de todas las operaciones es Asigna, Compensación y

Liquidación.

Neteo de Posiciones. A diferencia con el Mercado OTC, las posiciones compradoras (largas) y

vendedoras (cortas) se netean y se compensan.

Otra de las principales ventajas de los Swaps de tasas de interés deriva del hecho de que

permiten “diseñar a la medida” esquemas de financiamiento para los contratantes. Transforman los

esquemas originales de pago en otros esquemas similares con distintas características de plazo y/o

tasa. De forma tal que un IRS hace posible que las contrapartes modifiquen los esquemas originales

de pago y diseñen esquemas más adecuados a sus necesidades.

Una vez analizado a profundidad el mercado de los Swaps, en el siguiente capítulo se

analizará el modelo de Black, Derman y Toy, el cual se utilizará para determinar la tasa de interés

corta de los Swaps de tasa de interés.

Capítulo 1 45


Este capítulo está dedicado al estudio de un modelo de tasa corta, por lo cual es necesario

iniciar con un breve análisis de las teorías sobre la estructura de plazos de las tasas de interés.

Enseguida se presenta la clasificación de los modelos de tasa corta. Posteriormente se expone una

reseña histórica de los modelos que han sido antecedentes al modelo de estudio: Black, Derman y

Toy, para finalmente desarrollarlo y tener las herramientas necesarias para llevarlo a la práctica en

el siguiente capítulo.

2.1 Teorías sobre la estructura de plazos de las tasas de interés

Cualquier incursión en la teoría de modelos de tasas de interés, sin duda debe tener como etapa

inicial una mirada al desarrollo teórico-filosófico que existe sobre la estructura de plazos de las tasas

de interés, donde las ideas base son importantes; pues si esto no es claro, cualquier herramienta

matemática aplicada para modelar las tasas de interés carecerá de sentido.

Por lo tanto, en esta sección se revisarán en su marco general las principales teorías sobre la

estructura de plazos de las tasas de interés (de las que emanan prácticamente todos los modelos

matemáticos aplicados a las tasas de interés).

Las teorías sobre la estructura de plazos de las tasas de interés que se han tomado como

estándares en la Economía Financiera y que han dado lugar a los modelos de las Finanzas

Matemáticas se pueden clasificar como:

• La teoría de expectativas puras,

• La teoría de preferencias de liquidez, y

• La teoría de mercados segmentados y del nicho preferido

CAPÍTULO 2

Modelo de tasa corta de Black, Derman y Toy

Capítulo 2 46


Estas teorías toman en cuenta: la eficiencia de mercados o qué tan rápido los mercados

reaccionan a la nueva información; los objetivos de los inversionistas y actitudes hacia el riesgo; y

las preferencias de las empresas e inversionistas por los títulos de diferentes vencimientos.

Dado que la teoría de las expectativas puras es considerada como la madre de los modelos de

tasas de interés de corto plazo merece especial atención en el presente estudio.

2.1.1 La Teoría de expectativas puras

La teoría de expectativas puras data de los primeros trabajos de Irving Fisher (1896)23 en su obra

“Apreciation and Interest” y consecuentemente se han desarrollado varios enfoques sobre ella. Esta

teoría plantea que los niveles de tasa de interés del futuro dependen en general de la tasa de interés

de corto plazo. Todas las variantes de la teoría de expectativas puras aseguran que la curva de

rendimientos se deriva directamente de las estimaciones del mercado de tasas de interés de corto

plazo futuras. Es más, la curva de rendimientos está completamente determinada por estas tasas de

interés de corto plazo esperadas.

Una de las implicaciones de amplio uso, bajo esta teoría, es que si las tasas spot de una curva

de rendimientos están dadas, las tasas de interés forward implícitas serán los estimadores insesgados

del mercado de tasas de interés spot futuras. La forma como se calcularían estas tasas spot futuras

que a la vez son iguales a las tasas de interés forward, es la siguiente:

( ) ( )( )

21 2

1

1 ,, , 1

1 ,

efef

ef

L t TF t T T

L t T+

= −+

(2.1)

Donde:

( )1 2, ,efF t T T = Tasa de interés forward efectiva al tiempo 1T t− de plazo 2 1T T−

( )1,efL t T = Tasa de interés spot efectiva de plazo 1T t−

( )2,efL t T = Tasa de interés spot efectiva de plazo 2T t−

23 Fisher, Irving. (1896), “Appreciation and Interest”, Publications of the American Economic Association, XI (August 1896) pp 23-29.

Capítulo 2 47


1 2,T t T t− − = Plazos en años

Si ( )( ), 1,...2iL t T i = es la tasa de interés spot anualizada (a un año base de días), entonces:

( ) ( ) ( )11 1, ,ef T t

L t T L t TB−

= (2.2)

La ecuación 2.1 es una ecuación muy conocida en la práctica y es utilizada para obtener las

tasas de interés forward entre dos tasas de interés spot o tipo cupón cero.

2.1.2 Supuestos de la Teoría de expectativas puras

El enfoque de esta teoría es para la curva de tasas de interés libre de riesgo (aunque esto no es

limitante para aplicarla a alguna otra curva de tasas) y tiene las siguientes bases o supuestos:

• Mercados eficientes (información incorporada en el precio de los instrumentos financieros).

• Instrumentos libres de riesgo de incumplimiento (Instrumentos gubernamentales).

• Agentes neutrales al riesgo.

• Se prefieren los títulos con los más altos rendimientos.

• Los agentes no prefieren algún vencimiento sobre otro.

• Mediante el proceso de arbitraje las tasas de interés en los diferentes vencimientos de los

títulos convergen a las expectativas de las tasas de interés de corto plazo futuras.

De acuerdo a lo anteriormente descrito, esta teoría no permite considerar que es importante

diferenciar mercados por plazo. Además, se tiene la suposición de que toda la información

disponible implicada en la valuación de cualquier bono está ya incorporada en su precio con lo cual

no se da pie a considerar que pueda existir una relación de sustitución de preferencias entre

mercados diferenciados por plazo, puesto que no se preferirá alguno en particular al suponerse que

todos tienen incorporadas las mismas expectativas.

Capítulo 2 48


2.1.3 Implicaciones de la Teoría de expectativas puras

Esta teoría conlleva a diversas implicaciones; algunas de las más importantes son:

• En el corto plazo, todos los títulos gubernamentales (“libres de riesgo”) producen la misma

tasa esperada de rendimiento sin importar su vencimiento.

• No existe sucesión alguna de inversiones que produzca mayores rendimientos esperados que

otra.

• Las tasas de interés forward implícitas de la estructura de tasas spot o tipo cupón cero de hoy

son las mejores estimaciones insesgadas del mercado de las tasas de interés que son

esperadas en el futuro.

• Las tasas de interés de largo plazo están determinadas por las expectativas de tasas futuras de

corto plazo (tasas forward).

• Las tasas de interés spot para títulos de diferentes vencimientos tienden a moverse juntas.

Al fijarse en la tasa de corto plazo actual y su expectativa futura, como determinante de la

curva completa de tasas de interés, esta teoría es la madre de los modelos de tasas de interés de corto

plazo.

La teoría de expectativas puras se ha hecho famosa debido a la facilidad de interpretar la

forma de la curva de tasa de interés sea está de cotizaciones (YTMs, Tasas Swaps, etc.) o de tasas

tipo cupón cero (con cierta composición).

En general, bajo sus supuestos se puede considerar que los cambios en la forma de la

estructura de plazos reflejan cambios en las expectativas del mercado de las tasas futuras de corto

plazo. Así, si la estructura de plazos tiene pendiente positiva, el mercado espera que las tasas de

corto plazo sean mayores en el futuro de lo que son ahora. Si la estructura de plazos tiene pendiente

negativa, el mercado espera que tasas de interés bajas prevalezcan en el futuro. Si la estructura de

plazos es constante, indica que el mercado espera más o menos lo mismo para el futuro.

No obstante, esta teoría no explicará movimientos en diferentes direcciones en las

cotizaciones o tasas de interés tipo cupón cero, ya que si una tasa de interés para un cierto plazo se

Capítulo 2 49


espera que suba como resultado de grandes expectativas de inflación o restricciones de dinero para

ese periodo, la teoría asume que tales expectativas permanecerán durante periodos posteriores, por

ende es difícil explicar que tasas de interés a distintos plazos se muevan en diferentes direcciones.

2.2 Modelos estocásticos de tasa de interés corta

Es importante reconocer que el objetivo que persiguen, en general, los modelos de tasas de interés

corta no es elaborar pronósticos precisos de su nivel, sino explicar en términos estadísticos el

comportamiento del mercado. Así pues, estos modelos intentan describir esencialmente propiedades

estadísticas del mercado, por ejemplo, tendencia, reversión, sesgo, curtosis, colas pesadas, intervalos

de confianza, probabilidades de ocurrencia, precios promedio, etcétera. Sin que se demerite el gran

avance teórico y práctico que se ha alcanzado en la disciplina.

Dado que no existe vencimiento instantáneo en el mercado de títulos de deuda, es importante

contar con una definición práctica (operativa) de tasa corta. Se define la tasa corta como la tasa de

interés de plazo más corto disponible en el mercado de bonos cupón cero24. El supuesto de que la

tasa corta se mantiene constante, o bien que su dinámica está determinada por una función conocida

en el tiempo, difícilmente podría ser aceptado en la práctica. En general, se observa que la tasa de

interés corta tiene un comportamiento impredecible. La tasa de interés corta que prevalece hoy en el

mercado no tiene por qué ser la misma de mañana o de la semana entrante, su nivel dependerá de la

oferta y la demanda por títulos de deuda al plazo más corto disponible en el mercado.

En vista de que no es posible predecir el comportamiento de la tasa corta, podría ser

razonable modelarla a través de un proceso estocástico. Al respecto, el movimiento Browniano no

sólo describe las fluctuaciones propias del mercado en muchos casos, sino también proporciona un

conjunto de herramientas de análisis. Existen en la literatura un número importante de modelos de

tasa corta ligados al movimiento Browniano25.

24 Venegas Martínez, Francisco. (2006), Riesgos Financieros y Económicos, Productos Derivados y Decisiones Económicas Bajo Incertidumbre. Ed. Thomson, México. 25 Para un análisis más detallado sobre el movimiento Geométrico Browniano vease Venegas Martínez, Francisco. 2006. Riesgos Financieros y Económicos, Productos Derivados y Decisiones Económicas Bajo Incertidumbre. Ed. Thomson, México.

Capítulo 2 50


El supuesto de que las tasas de interés se mantienen constantes o bien que su dinámica está

determinada por una función conocida en el tiempo, podría ser razonable para instrumentos de renta

fija de muy corto plazo; días o posiblemente semanas en períodos de estabilidad. Sin embargo, en el

mediano y largo plazo, la tasa de interés presenta un comportamiento aleatorio, en cuyo caso los

procesos de difusión proporcionan una herramienta adecuada de análisis. Más precisamente, se

supone que la tasa de interés instantánea, rt, es guiada por la siguiente ecuación diferencial

estocástica:

( , ) ( , )t t t tdr t r dt t r dWμ σ= + (2.3)

donde ( , ) ( , )t tt r y t rμ σ son funciones conocidas. El proceso estocástico tW es un proceso de

Wiener26 estandarizado, es decir, tW es una variable aleatoria normal con incrementos

independientes en t, que satisface [ ] [ ]0t tE dW y Var dW dt= = . Las funciones ( , ) ( , )t tt r y t rμ σ

determinan la evolución de la tasa spot.

Los elementos ( , )tt rμ y ( , )tt rσ son expresiones generales que en el caso de que tomen cierta

forma funcional (desde una constante hasta una ecuación estocástica independiente) dan origen a los

distintos modelos de tasa corta según lo presentado en la Tabla 5. En dicha tabla, en la columna

“Modelo”, se puede apreciar la forma funcional concreta que se ha asumido para dichos parámetros

según el autor indicado.

Es importante mencionar que los parámetros de los modelos de tasa corta suelen estimarse a

través de diversas técnicas que van desde simples regresiones, mínimos cuadrados o métodos

generalizados de momentos; sin embargo, cualquiera que sea el método, la estimación se realiza

sobre la historia observada de la tasa corta.

26 Albert Einstein propuso un modelo matemático para el movimiento errático de las partículas suspendidas en un ambiente de agitación térmica descubierto por el botánico Robert Brown en 1827. Ese modelo, que después adoptó el nombre de Proceso de Wiener es válido, según lo señaló el propio Einstein, para medios de viscosidad infinita, y ha sido reemplazado por modelos más adecuados, en lo que se refiere a la representación del Movimiento Browniano

Capítulo 2 51


TABLA 5. Modelos de tasas de interés de corto plazo

AUTORES MODELO PARÁMETROS

Merton (1970) dr dt dzθ σ= + ,θ σ son constantes

Vasicek (1977) ( )dr k r dt dzθ σ= − + , ,k θ σ son constantes

Dothan (1978) dr rdzσ=

σ es constante

Brennan-Schwartz (1979)

1 1 2 2

1 1 2 2

r r z r z

l l z l z

dr dt d ddl dt d d

θ σ σθ σ σ

= + += + +

1 2 1 2, , , , ,r l r r l lθ θ σ σ σ σ son constantes

Constantinides-Ingersoll (1984)

32dr r dzσ=

σ es constante

Schaefer-Schwartz (1984)

( )

( )1

22

ds m s dt dz

dl ls dt ldz

μ η

σ σ

= − +

= − +

, , ,m μ η σ son contantes

CIR (1985) ( )dr k r dt rdzθ σ= − +

, ,k θ σ son constantes

Ho-Lee (1986) ( )dr t dt dzθ σ= +

σ es constante

Black-Derman-Toy (1990)

( )( ) ( )'

ln lnt

d r r dt t dzt

σθ σ

σ⎡ ⎤

= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

θ depende del tiempo

Hull-White (1990)

( )dr k r dt rdzθ σ= − + ,θ σ dependen del tiempo

HJM (1992) ( ) ( )df t dt t dzα σ= + f es la tasa forward

Longstaff-Schwartz (1992)

( )( )

1

2

dx x dt xdz

dy vy dt ydz

γ δ

η

= − +

= − + , , , vγ δ η son constantes

Lin Chen (1994)

( )( )( )

1

2

3

dr k r dt rdz

d v dt dz

d dt dz

θ σ

θ θ θ ς θ

σ μ σ σ η σ

= − +

= − +

= − +

, , , , , ,k v θ ς μ σ η son constantes

Fuente: Elaboración propia en base a información en Venegas Martínez, Francisco. 2006. Riesgos

Financieros y Económicos, Productos Derivados y Decisiones Económicas Bajo Incertidumbre. Ed. Thomson, México.

Capítulo 2 52


2.2.1 Clasificación de los modelos de tasa corta

La forma en que se han clasificado los modelos de tasa corta obedece a si éstos tienen sólo un factor

o variable estocástica (modelos de un factor) o más de un factor o variable estocástica (modelos

multifactoriales), haciéndose además diferenciación de aquellos modelos que utilizan la curva de

tasas de interés de cierto momento para derivar su dinámica (modelos de calibración)27.

En particular, los modelos de tasa corta, según su autor quedan clasificados como sigue:

Modelos de tasa corta de un factor:

• Modelo de Merton (1973).

• Modelo de Vasicek (1977).

• Modelo de Dothan (1978).

• Modelo de Brennan & Schwartz (1979).

• Modelo de CIR (1980).

• Modelo de Courtadon (1982).

• Modelo de Marsh & Rosenfeld (1983).

• Modelo de CIR (1985).

• Modelo de Chen & Scott (1992).

• Modelo de Constantinides (1992).

• Modelo de HJM (1992).

• Modelo de Duffie & Kan (1996).

Modelos de tasa corta multifactoriales:

• Modelo de Richard (1978).

• Modelo de Brennan & Schwartz Multifactorial (1979).

• Modelo de Langetieg (1980).

27 Bravo Pliego, Jesus. (2008), “Modelo deajuste de tasas de interés forwrad instantáneas con tendencia variable y que sigue una relación de sustitución entre mercados adyacentes”. Tesis doctoral, Tecnológico de Monterrey

Capítulo 2 53


• Modelo de Longstaff & Schwartz (1992).

• Modelo de Fong & Vasicek (1992).

• Modelo de Hull & White (1994).

• Modelo de Duffie & Kan Multifactorial (1996).

• Modelo de Chen (1996).

Modelos de tasa corta de calibración:

• Modelo de Ho & Lee (1986).

• Modelo de Hull & White con Calibración (1990).

• Black, Derman & Toy (1990).

• Modelo de Black & Karansinski (1991).

2.3 Antecedentes del modelo

El marco de trabajo en el que se encuadra la presente tesis es la estructura temporal de las tasas de

interés, la cual establece la relación entre las tasas de interés proporcionadas por activos libres de

riesgo y sus diferentes plazos28. La explicación de esta estructura temporal ayuda a establecer la

relación entre la tasa de interés y el plazo, a extraer información sobre la economía y a predecir

cambios en las variables que afectan a la curva de rentabilidades.

Dentro de este marco, se emplean los modelos en tiempo continuo. El principal supuesto

que realizan estos modelos es que las tasas de interés evolucionan de modo continuo a lo largo del

tiempo. Dentro de estos modelos, siguiendo el enfoque de Moraleda (1997)29, podemos distinguir

dos categorías:

Los modelos endógenos realizan una serie de supuestos sobre la economía, sobre las

variables de estado que mueven la estructura temporal de tasas de interés y sobre el proceso

28 El plazo de un instrumento financiero con una fecha de madurez fija se define como el tiempo hasta el día del vencimiento de dicho activo. 29 Moraleda, J.M. (1997), “Avances Recientes en la Valoración de Activos Derivados en Renta Fija”, Mimeo, Erasmus University Rotterdam, TIie Netherlands.

Capítulo 2 54


estocástico que siguen dichas variables. Según el número de variables de estado que se utiliza, se

puede distinguir entre modelos unifactoriales y modelos multifactoriales. Aunque, estos modelos

suponen que la(s) variable(s) de estado evoluciona(n) de modo continuo a lo largo del tiempo, se

pueden introducir cambios discretos en los tasas de interés mediante la existencia de saltos. A partir

de los supuestos realizados, se intenta explicar la estructura temporal de los tasas de interés y se

procede a la valoración de activos derivados. Las principales desventajas de este tipo de modelos es

que se incluyen parámetros no observables (que, por tanto, deben ser estimados) y que no se logra

un ajuste perfecto a las tasas de interés observadas en cada instante del tiempo. Así, tenemos los

siguientes casos:

Merton (1973) establece un modelo basado en un movimiento browniano aritmético,

suponiendo que la volatilidad condicional de los cambios en las tasas de interés es constante. Dicho

modelo es utilizado para modelar el precio de bonos a descuento. La desventaja de este modelo es

que las tasas de interés no presentan reversión a la media30.

Black and Scholes (1973) es el trabajo pionero en valoración de opciones sobre acciones.

Estos autores modelizan el cambio en la tasa de interés mediante un movimiento geométrico

browniano. Bajo este supuesto, un argumento basado en una cobertura dinámica permite obtener el

precio de una opción europea cuyo activo subyacente es una acción.

Cox (1975) postula un modelo de elasticidad de varianza constante, el cual engloba como

casos particulares a los modelos de Black and Scholes (1973), Dothan (1978) y CIR (1980).

Vasicek (1977) modeliza las tasas de interés según un proceso con reversión a la media. Este

autor demuestra que la ausencia de oportunidades de arbitraje implica que el precio de mercado del

riesgo es independiente del vencimiento del activo a valorar. El modelo propuesto implica una

distribución normal para las tasas de interés que, por tanto, pueden alcanzar valores negativos. Este

hecho podría originar una oportunidad de arbitraje pero la posibilidad de rentabilidad negativa en la

potencial inversión a realizar anula dicha oportunidad. Este modelo es empleado para valorar bonos,

opciones sobre bonos, futuros y opciones sobre futuros y, al igual que Merton (1973), implica 30 Tal como indica Hull (1997), este rasgo de los tipos de interés tiene poderosos argumentos económicos a favor: cuando los tipos de interés son altos, hay menos demanda por parte de los prestatarios lo cual induce un descenso en el valor de dichos tipos de interés ocurriendo el caso contrario cuando los tipos de interés son bajos.

Capítulo 2 55


volatilidad condicional constante. Las principales ventajas de este modelo son su simplicidad y su

tratabilidad analítica pues permite la obtención de expresiones cerradas para el precio de diversos

activos derivados.

Dothan (1978) presenta un modelo lognormal en el que las tasas de interés no presentan

reversión a la media. Este modelo es utilizado para valorar bonos a descuento.

Brennan and Schwartz (1980) utilizan un modelo que refleja reversión a la media para

valorar bonos convertibles y opciones sobre bonos a descuento. Este modelo, al igual que Black and

Scholes (1973) y Dothan (1978), establece que la desviación típica de los cambios en las tasas de

interés es proporcional al nivel de dichas tasas.

El modelo de CIR (1980) establece una varianza muy sensible al nivel de las tasas de interés

y se aplica al estudio de activos de interés variable. Este modelo también es empleado por

Constantinides and Ingersoll (1984) para valorar bonos en el marco de una economía con impuestos.

CIR (1985a) es el primer modelo de equilibrio general que surge en la literatura. Los

principales factores de este modelo son procesos productivos y las decisiones de inversión y

consumo de los agentes económicos. Trabajando con estos factores, se determinan endógenamente

los precios de los activos y sus propiedades estocsticas. Tras establecer una ecuación diferencial que

deben verificar los precios de los activos en estudio, la solución de dicha ecuación permite obtener

el precio de equilibrio de un determinado activo en función de las variables reales presentes en la

economía.

CIR (1985b) suponen que las preferencias de los inversores son logarítmicas y que la

evolución de las tasas de interés vienen determinadas por un proceso en el que la volatilidad

condicional de los cambios de la tasa de interés es proporcional al nivel de dichas tasas. Se extiende

el modelo a un mundo con inflación en el que el nivel exógeno de precios no tiene, en términos

reales, influencia sobre el equilibrio y, por tanto, se da el supuesto de neutralidad monetaria. Este

modelo es completamente consistente, determina de modo exógeno el precio de mercado del riesgo,

es tratable analíticamente y, al igual que Vasicek (1977) y Brennan and Schwartz (1980), presenta

reversión a la media. La principal desventaja de este modelo se deriva del supuesto de agentes

Capítulo 2 56


económicos con una función de utilidad logarítmica. Como consecuencia de este supuesto, se

deduce que las decisiones sobre las inversiones futuras son independientes de la riqueza actual de

los agentes. Por tanto, esta miopía en los agentes puede implicar restricciones sobre los movimientos

futuros de las tasas de interés.

Constantinides (1992) establece un proceso para las tasas de interés nominales en el que la

derivada es una función no lineal de la tasa de interés y en el que la volatilidad tiene reversión a la

media. Las ventajas de este modelo son que (1) se permite que el signo de la prima de riesgo varíe

en función de los estados de la naturaleza y/o en función del bono considerado, (2) refleja las

distintas formas que la curva de rentabilidades puede presentar (3) permite obtener de forma cerrada

el precio de bonos a descuento y de opciones europeas sobre bonos y (4) puede estimarse y

contrastarse sin necesidad de hacer supuestos sobre la relación entre las variables reales y el nivel de

precios.

Chen & Scott (1992) trabajan con un proceso cuya derivada es lineal y cuya difusión

depende del nivel de las tasas de interés. Este proceso tiene como casos particulares algunos de los

modelos más utilizados en la literatura (Black and Scholes (1973), Vasicek (1977), Brennan and

Schwartz (1980), CIR (1985a, b)). Los resultados de la estimación realizada por estos autores

sugieren que la volatilidad del proceso es muy sensible al nivel de las tasas de interés.

Duffie and Kan (1996) proponen un modelo multifactorial en el que las rentabilidades

asociadas a unos bonos cupón cero con determinados vencimientos siguen un proceso multivariante

markoviano con volatilidad estocástica. Dicho modelo, conocido como exponencial-afín, establece

que estas rentabilidades son funciones afínes de las variables de estado. La versión unifactorial de

este modelo refleja que las tasas de interés presentan reversión a la media al tiempo que la

volatilidad también tiende, a largo plazo, a un nivel constante.

A su vez, los modelos multifactoriales suponen la existencia de más de una variable de

estado en la estructura temporal de las tasas de interés y surgen con el objetivo de (a) evitar las

características poco realistas relacionadas con los modelos unifactoriales y (b) explicar una mayor

variedad de movimientos en la evolución temporal de las tasas de interés.

Capítulo 2 57


Así, Richard (1978) y CIR (1985b) emplean la tasa de interés (instantánea) real que se espera

a corto plazo, r, y la tasa de inflación (anticipada) instantánea a corto plazo, π, como factores.

Brennan and Schwartz (1979) utilizan como variables de estado la tasa de interés instantánea y la

tasa de interés a largo plazo. Análogamente, Schaefer and Schwartz (1984) consideran un modelo en

el que las dos variables de estado vienen dadas por la tasa de interés a largo plazo (asociado a un

bono perpetuo) y en el diferencial de tasas de interés (“spread”).

Longstaff and Schwartz (1992) desarrollan un modelo de equilibrio general en el que las dos

variables de estado que se consideran son la tasa de interés a corto plazo y su volatilidad

condicional. Este modelo permite reflejar el nivel y la volatilidad de las tasas de interés observadas.

Análogamente, Chen and Scott (1992) proponen un modelo bifactorial en el que ambos factores

siguen el proceso de CIR (1985b). La suma de estos dos factores determina la tasa de interés

instantánea aunque el primer factor explica la mayor parte de la variación de las tasas de interés a

corto plazo. Por otro lado, el segundo factor se comporta como un paseo aleatorio y se relaciona con

la tasa de interés a largo plazo. En la versión bifactorial de Duffie and Kan (1996), ambos factores

corresponden a las rentabilidades de cualquier pareja de bonos a descuento.

Finalmente, Chen (1996) ha propuesto un modelo con tres factores: (1) la tasa de interés a

corto plazo actual, (2) la media a corto plazo de la anterior variable y (3) la volatilidad actual de la

tasa de interés a corto plazo. Mediante este modelo, es posible explicar los movimientos presentes

en el nivel, pendiente y curvatura de la estructura temporal de las tasas de interés. Las variables de

estado presentadas en este trabajo se modelan como procesos CIR y, bajo este supuesto, se deriva

una fórmula analítica para el precio de diferentes activos derivados.

Por otro lado, los modelos exógenos o de calibración, toman como dada la estructura

temporal observada y, a partir de ella, se derivan los movimientos futuros de las tasas de interés de

modo que no existan oportunidades intertemporales de arbitraje. En estos modelos no es necesario

estimar o realizar supuestos sobre el precio de mercado del riesgo31 asociado a las variables de

estado del modelo. El inconveniente que presentan estos modelos es que, siendo necesaria la

31 El precio de mercado del riesgo indica el incremento en la rentabilidad esperada de un bono por cada unidad adicional de riesgo. En contraste con los modelos exógenos, en los modelos endógenos siempre es necesaria la estimación del precio de mercado del riesgo. Ello es debido a que la alta correlación existente entre los tipos de interés correspondientes a diferentes vencimientos imposibilita la construcción de una cartera de cobertura similar a la presentada en Black and Scholes (1973)

Capítulo 2 58


estimación (calibración) diaria de la estructura temporal de las tasas de interés, no está garantizada

la consistencia entre las diferentes estimaciones obtenidas. Algunos ejemplos de estos modelos son:

Ho and Lee (1986) es el primer modelo que toma como dada la estructura temporal de las

tasas de interés. El modelo propuesto se enmarca en una economía en tiempo discreto y tiene las

siguientes características: (1) se formula en base al proceso binomial que siguen los precios de los

bonos cupón-cero, (2) se basa en supuestos estándar de los mercados de capitales perfectos y (3) se

caracteriza por dos parámetros, que indican probabilidad neutral al riesgo y diferencial entre dos

funciones de perturbación (que reflejan la variabilidad de las tasas de interés), respectivamente. Bajo

este modelo, la curva de tasas de interés forward se mueve paralelamente en cada período. Este

modelo puede interpretarse como una extensión del proceso binomial analizado en Cox, Ross and

Rubinstein (1979) y es utilizado para calcular el precio de una clase general de derivados (la cual

incluye futuros sobre tasas de interés y opciones sobre bonos) en un cierto vértice del árbol

binomial. Mediante recursión hacia atrás, se obtiene el precio inicial de estos activos derivados. Las

ventajas de este modelo se derivan de su enfoque práctico pues enfatiza todos los aspectos

relacionados con su implementación computacional. Además, se utiliza toda la información de la

estructura temporal para realizar la valoración de activos derivados. Por otro lado, sus desventajas

son: (1) toda la estructura de volatilidad se modeliza mediante un único parámetro32, (2) no se

incorpora reversión a la media en las tasas de interés y (3) las tasas de interés pueden alcanzar

valores negativos.

Black, Derman, and Toy (1990) desarrollan un modelo que elimina alguno de los

inconvenientes de Ho and Lee (1986). Estos autores proponen un modelo unifactorial (basado en la

tasa de interés a corto plazo) que posibilita, mediante un árbol binomial, el ajuste a las tasas de

interés observados y a las volatilidades observadas de todas las rentabilidades de bonos a descuento.

En este modelo, la tasa de interés a corto plazo sigue una distribución lognormal lo cual implica que

(1) este modelo no acepta tasas de interés negativas y (2) es difícil obtener una solución cerrada.

En la misma línea, Black and Karasinski (1991) también suponen que las tasas de interés a

corto plazo siguen una distribución lognormal con reversión a la media. Este modelo depende de

32 En relación con esta cuestión, estos autores sugieren estimar la estructura temporal de volatilidades mediante las volatilidades implícitas de los precios de derivados como caps y floors.

Capítulo 2 59


tres “inputs”: la tasa de interés a largo plazo, el parámetro de reversión a la media y la volatilidad de

los cambios locales del logaritmo de las tasas de interés. Mediante estos valores y un árbol

trinomial, se logra el ajuste a la curva de rentabilidades observadas, a la volatilidad de dichas

rentabilidades y a la curva de caps.

Hull-White (1990) combina el enfoque de exogeneidad de la estructura temporal con la

especificación de reversión a la media. Estos autores extienden los modelos de Vasicek (1977) y

CIR (1985) mediante parámetros variables en el tiempo y demuestran que ambas extensiones son

consistentes con las tasas de interés observadas y con las volatilidades en dichas tasas de interés.

Una vez que se ha dado un breve pero acertado resumen de los diferentes modelos que

aluden a la dinámica de la tasa corta, se pasará a desarrollar de forma detallada el modelo principal

de este estudio.

2.4 Modelo de tasa corta de Black, Derman y Toy

En 1990, Fisher Black, Emanuel Derman y William Toy (BDT) publican el artículo “A One-Factor

Model of Interest Rates and its Application to Treasury Bond Options”33 en el “Financial Analysts

Journal”. En la metodología propuesta por BDT, la tasa corta sigue una distribución lognormal y la

valuación de bonos se lleva a cabo mediante el uso de árboles binomiales. La curva de rendimiento

actual se obtiene a partir de una estructura inicial de plazos de la tasa de interés (proveniente del

mercado) y de una estructura estimada de plazos de la volatilidad, lo cual en cierto sentido es

comparable con los modelos de Ho y Lee (1986) y Hull y White (1990) en donde se requiere una

curva inicial de rendimiento y estimar el parámetro de volatilidad.

El modelo BDT parte de tres hipótesis básicas. Primera, la tasa de interés a corto anualizado

es la única variable que determina los precios de todos los activos; los tantos de rendimiento de

todos los bonos están perfectamente correlacionados, dado que se considera que es un único factor

el que determina la dinámica de los mismos; la tasa a corto se distribuye como una lognormal en

33 Black, F., E. Derman, and W. Toy. (1990), “A One-Factor Model of InterestRates and its Application to Treasury Bond Options”, Financial Analysts Journal, Vol. 46, No. 1 pp. 33-39

Capítulo 2 60


cualquier momento del tiempo. Segunda, se esta en un mundo neutral al riesgo; no existen

impuestos ni costes de transacción en el mercado. Tercera, los inputs del modelo son la curva de

tasas cupón cero o ETTI y la estructura temporal de volatilidades de estos activos cupón cero.

2.4.1 Dinámica de la tasa corta de Black, Derman y Toy

En el modelode BDT la tasa sigue un proceso lognormal, lo que evita que ésta se torne negativa. El

modelo BDT se puede obtener del modelo de Vasicek al sustituir la tasa corta por su logaritmo. Es

también importante destacar que para ciertas especificaciones de la función de la volatilidad, la tasa

instantánea puede no presentar reversión a la media. Asimismo, debido a que la tasa corta sigue un

comportamiento lognormal, no es posible, en general, contar con una solución analítica del precio

del bono para un vencimiento dado. En este sentido, Black, Derman y Toy han propuesto un

algoritmo de valuación de bonos a descuento.

El modelo original de BDT es desarrollado en tiempo discreto. A continuación se presenta

una versión en tiempo continuo. Suponiendo que la dinámica de la tasa corta es guiada por la

siguiente ecuación:

t tWt tr eσμ= (2.4)

donde tμ y tσ son, respectivamente, la media y la volatilidad de la tasa corta al tiempo t y 0( )t tW ≥ es

un movimiento Browniano estándar definido sobre un espacio fijo de probabilidad con una

filtración, ( )0, , ( ) ,t tF F ≥Ω Ρ . La ecuación (2.4) puede reescirbirse como:

ln t t tWtr e μ σ+= (2.5)

Otra forma alternativa de expresar la ecuación anterior esta dada por

ln lnt t t tr Wμ σ= + (2.6)

A partir de lo cual se obtiene que

Capítulo 2 61


ln lnt tt

t

rW μσ−

= (2.7)

Es decir, la diferencia logarítmica de rt con su media, por unidad de la volatilidad se

distribuye como una variable aleatoria normal con media cero y varianza t. Una simple aplicación

del lema de Itô al logaritmo de la tasa corta conduce a

2

12 2

ln ln lnln t t tt t

t t

r r rd r dt dWt W W

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(2.8)

Observese también que

ln lnt t tt

r Wt t t

μ σ∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ (2.9)

ln tt

t

rW

σ∂=

∂ (2.10)

y

2

2

ln 0t

t

rW

∂=

∂ (2.11)

Si se sustituyen los resultados parciales (2.9), (2.10) y (2.11) en (2.8), se obtiene que

ln ln lnln t t t tt t t

t

rd r dt dWt tμ μ σ σ

σ⎡ ⎤⎛ ⎞∂ − ∂

= + +⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦ (2.12)

Por otro lado, es facil verificar que

ln1 t t

t t tσ σ

σ∂ ∂

=∂ ∂

(2.13)

Por lo tanto, después de sustituir la ecuación (2.13) en (2.12) se sigue que

Capítulo 2 62


( )ln lnln ln lnt tt t t t td r r dt dW

t tμ σ μ σ∂ ∂⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

(2.14)

En conclusion, la ecuación diferencial estocástica (2.14) representa la dinámica del logaritmo

de la tasa corta en el modelo BDT. En ocasiones es conveniente introducir la siguiente notación:

ln ,

ln

ln

ln

tt

t t

tt

t t

at

b

t

X r

σ

μ

μγ

∂= −

∂

=

∂=

∂

=

(2.15)

Después de sustituir las expresiones anteriores en la ecuación (2.14) se tiene que

[ ]( )t t t t t t tdX a b X dt dWγ σ= + − + (2.16)

Se debe observar en particular, que si tσ y tμ son constantes, entonces 0t ta γ= = . En este

caso, la ecuación (2.16) no presenta reversion a la media y, en este caso, la ecuación (2.14) se

transforma en:

ln t t td r dWσ= (2.17)

lo que conduce a

0 0ln ln ( )

t t

t t t

Wt o

r r W W

r eσ

σ

γ

= + −

= (2.18)

Por otro lado, si se supone que la volatilidad decae a una tasa positiva, entonces se producirá

el efecto de reversion de Xt a bt. Por ejemplo se puede suponer que la volatilidad decae como

0ta

t eσ σ −=

Capítulo 2 63


donde a>0. De esta manera,

ln t atσ∂

− =∂

Por lo tanto,

[ ]( )t t t t t tdX a b X dt dWγ σ= + − + (2.19)

Si además se supone que el logaritmo de la media de la tasa corta es constante, es decir

lnt

bμ = , o bien bt eμ = , entonces:

ln 0tt t

μγ ∂= =

∂

Por lo que la ecuación (2.19) se transforma en:

( )t t t tdX a b X dt dWσ= − + (2.20)

Esta ecuación es, claramente, del tipo de Vasicek en la variable Xt. A partir de (2.20) es

posible estimar a través de una regresion lineal simple, los parámetros a y b. Si los estimadores de

estos parámetros se denotan mediante a y b , respectivamente, entonces:

att oeσ σ −=

y

bt eμ =

Por lo tanto,

0b at tE

tr e eσ −= + (2.21)

donde (0,1)E N∼

Capítulo 2 64


2.4.2 El algoritmo de BDT para calcular el precio de un bono cupón cero y la tasa

corta mediante árboles binomiales

A continuación se presenta el algoritmo de BDT para calcular el precio de un bono cupón

cero a diferentes plazos y para calcular la tasa corta en distintos precios a través de árboles

binomiales, con base en una estructura inicial de plazos de la tasa de interés y una estructura

estimada de plazos de la volatilidad. Para ello, se supone que la tasa corta sigue una distribución

lognormal, en particular, sigue una ecuación de la forma (2.4). Con el propósito de ilustrar el

funcionamiento del algoritmo, se supone un horizonte de valuación de cuatro años. Para iniciar el

algoritmo se requiere de la información que aparece en la Tabla 6.

TABLA 6. Información inicial para la construcción del algoritmo BDT

ESTRUCTURA DE PLAZOS INICIALES

No. de años para

El vencimiento

Rendimiento

R(0,T)

Volatilidad

σ (0,T)

1

2

3

4

R(0,1)

R(0,2)

R(0,3)

R(0,4)

σ (0,1)

σ (0,2)

σ (0,3)

σ (0,4)


En el algoritmo de BDT, se supone que al final del último periodo el bono cupón cero

siempre paga una unidad monetaria, independientemente de la trayectoria tomada en el árbol. De

esta manera, el precio del bono se calcula yendo hacia atrás, es decir, se trae a valor presente el valor

esperado del precio del bono con la tasa de interés correspondiente. La tasa corta es anual y ésta se

calcula yendo hacía adelante. A continuación se ilustra este procedimiento en detalle.

Capítulo 2 65


Paso 1 del algoritmo de BDT

En este primer paso, identificado con el superíndice “(1)”, se determina el precio de un bono

cupón cero hoy, 0n = , y que vence en un año, 1T = . El precio del bono, hoy, es denotado por (1)0B .

Los dos posibles precios del bono en 1n T= = , se denotan mediante ( ) ( )1 1u dB y B . El árbol binomial

inicial se muestra en la Figura 2-1.

FIG. 2-1 Árbol Binomial Inicial

( )10B

( )1uB

( )1dB

p

1 p−p

Si se supone que el bono siempre paga una unidad monetaria en el vencimiento, entonces es

posible calcular ( )10B . En efecto, sean ( )1 1uB = y ( )1 1dB = , con probabilidades de ocurrencia p y

1 p− , respectivamente. De ahora en adelante, todas las literales que tengan una tilde serán

consideradas como cantidades conocidas. Claramente el precio esperado dentro de un año, en 1T = ,

es:

( ) ( ) ( )1 1 1(1)0 (1 ) 1u dE B I pB p B⎡ ⎤ = + − =⎣ ⎦ (2.22)

donde (1)I es la información disponible en 1T = . Este valor esperado traído a valor presente,

proporciona el precio del bono hoy, 0n = , es decir,

(1) (1)0(1)

01

1 (0,1) 1 (0,1)

E B IB

R R

⎡ ⎤⎣ ⎦= =+ +

(2.23)

Capítulo 2 66


Donde (0,1)R es la tasa del bono que vence dentro de un año. Así (1)0 (0,1)B B= tiene ahora

un valor conocido. El árbol binomial para el pecio de un bono cupón cero que al final del primer

periodo paga una unidad monetaria, se muestra en la Figura 2-2.

FIG. 2-2 Precio de un bono cupón cero que vence en un año

( )10B

( )1 1uB =

( )1 1dB =

p

1 p−


A continuación se determina el precio, hoy, de un bono cupón cero que vence dentro de dos

años, (2)02,T B= , a partir de precios futuros. Para relacionar los precios futuros con los precios de

hoy se utiliza un árbol binomial de dos periodos. En la Figura 2-3 se muestra el árbol binomial de

precios de un bono cupón cero. En este caso, hay dos periodos de 0n = a 1n = y de 1n = a 2n = ,

así como una fecha de vencimiento 2T = .

FIG. 2-3 Árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero

p

1 p−

p

1 p−

1 p−

p

( )20B

( )2uB

( )2dB

( )2 1uuB =

( ) ( )2 2 1ud duB B= =

( )2 1ddB =

Se observa que en la Figura 2-3 no se conocen los precios del bono para 0n = y 1n = , es

decir, no se conocen (2) (2) (2)0 , ,u dB B y B , los cuales se tienen que determinar a través del algoritmo.

A partir de la estructura de plazos de la tasa de interés (Tabla 6), se calcula el precio de un bono

Capítulo 2 67


cupón cero, hoy, con vencimiento dentro de dos años, (2)0B . De esta manera y, como era de esperarse

se tiene que,

( ) ( ) ( )2 2 2(2) (2) 2 2

0 2 (1 ) (1 ) 1uu ud ddE B I p B p p B p B⎡ ⎤ = + − + − =⎣ ⎦ (2.24)

Así

( )

( )

(2) (2)0(2)

0 2

2

1 (0,2)

11 (0,2)

E B IB

R

R

⎡ ⎤⎣ ⎦=+

=+

(2.25)

por lo que (2)0 (0, 2)B B≡ tiene ahora un valor conocido. A continuación se calcula el precio del bono

dentro de un año cuando éste vence en dos años. Para ello, se necesita determinar la tasa corta

vigente dentro de un año. En la figura 2-4 se muestra el árbol binomial de los precios de un bono

cupón cero que vence en 2T = .

FIG. 2-4 Árbol binomial de dos periodos para un bono cupón cero

p

1 p−

p

1 p−

1 p−

p

( )2uB

( )2dB

( )2 1uuB =

( ) ( )2 2 1ud duB B= =

( )2 1ddB =

( )20B

Aquí, se debe destacar que todos los precios ( ) ( ) ( )2 2 2(2)

0 , ,uu ud ddB B B y B son conocidos. También se

debe observar que para calcular (2) (2)u dB y B se requieren los valores de la tasa corta u dr y r . El

árbol binomial para la tasa corta se presenta en la Figura 2-5.

Capítulo 2 68


FIG. 2-5 Árbol binomial de un periodo para la tasa corta

( )0,1Rp

1 p−

ur

dr

A continuación se procede como en la ecuación (2.22) a fin de determinar el precio esperado

del bono en un año, esto es,

(2) (2) (2) (2)0 (1 )u dE B I B p B p⎡ ⎤ = + −⎣ ⎦ (2.26)

El valor presente del valor esperado del precio del bono dentro de un año cuando tiene

vencimiento en dos años satisface

(2) (2)

(2) (1 )1 (0,1)

u du

B p B pBR

+ −=

+ (2.27)

donde (0,1)R es el rendimiento de un bono que vence dentro de un año. El valor (2)0B ya fue

calculado en la ecuación (2.25). Observando que (2) (2)u dB y B son cantidades desconocidas, para

calcularlas se procede de la siguiente manera. En un árbol binomial estándar se tiene que

(0, ) /T T nur eσ= (2.28)

y

(0, ) /T T ndr e σ−= (2.29)

donde n representa el número de periodos en el árbol binomial de la tasa corta y T la fecha de

vencimiento del bono. Después de tomar el cociente entre u dr y r , se tiene que

ln 2 (0, )u

d

r TTr n

σ⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.30)

Capítulo 2 69


Si se despeja (0, )Tσ de la ecuación anterior, se obtiene

1(0, ) ln2 /

u

d

rTrT n

σ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.31)

asi,

( )( )0, 2 /T T nu dr r eσ= (2.32)

Observese, en particular, que si 2T n= = , se obtiene

( ) 120, 2 ln u

d

rr

σ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.33)

o bien

( )2 0,2u dr r e σ= (2.34)

Por otro lado, se debe observar que el precio de un bono cupón cero ( )2uB dentro de un año

que paga una unidad monetaria dentro de dos años, traído a valor presente a una tasa corta, ur , está

dada por:

( )2 11u

u

Br

=+

(2.35)

Análogamente, para ( )2dB ,

( )2 11d

d

Br

=+

(2.36)

Si se sustituyen (2.35) y (2.36) en la ecuación (2.27), se tiene que

Capítulo 2 70


( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( )

2 2(2)0

1 1

(1 )1 0,1

1 1 11 0,1

u d

u d

B p B pBR

r p r pR

− −

+ −=

+

+ + + −=

+

(2.37)

Si ahora se sustituye (2.34) en la ecuación (2.37), se sigue que

( ) ( ) ( )

( )

1 12 (0,2)(2)0

1 1 11 0,1

d dr e p r pB

R

σ − −+ + + −=

+ (2.38)

Hay que recordar que ( ) (2)00,1 , (0, 2)R B y σ son valores conocidos. Por lo que la ecuación

(2.38) se puede reescribir como una ecuación cuadrática homogénea

2 0d dr br c+ + = (2.39)

donde b y c son cantidades conocidas. Esta ecuación, para un valor fijo de p , proporciona, una

solución de dr , denotada por dr . Al sustituir este valor en la ecuación (2.34), se tiene que

2 (0,2)u dr r e σ= (2.40)

es también una cantidad conocida. Con los valores de u dr y r calculados en (2.39) y (2.40),

respectivamente se calculan los precios ( ) ( )2 2u dB y B de (2.35) y (2.36), mediante

(2) (2)1 11 1d u

d u

B y Br r

= =+ +

(2.41)

El árbol binomial de dos periodos de los precios de los bonos cupón cero, completamente

determinados, se muestran en la figura 2-6

Capítulo 2 71


FIG. 2-6. Árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero

( )2 1uuB =

( ) ( )2 2 1ud duB B= =

( )2 1ddB =

( )20B

p

p

p1 p−

1 p−

1 p−

( )2uB

( )2dB

Ahora se observa que ya se conocen los precios del bono para 0 1n y n= = con el supuesto de que

en 2T = el bono vence pagando una unidad monetaria. Además, se han calculado los valores de la

tasa corta como se muestra en el árbol binomial de la figura 2-7

FIG. 2-7 Árbol binomial de dos periodos de la tasa corta

( )0,1Rp

1 p−

ur

dr


A continuación se construye el árbol binomial para dos periodos de la tasa corta, la cual es la

tasa de interés de plazo a un año. El árbol binomial para dos periodos se presenta en la figura 2-8

FIG. 2-8 Árbol binomial de dos periodos para la tasa corta

( )0,1R

ur

dr

p

p

p1 p−

1 p−

1 p−

uur

ud dur r=

ddr

Capítulo 2 72


Observese que ahora hay tres tasas cortas desconocidas ,uu ud ddr r y r , y solo se cuenta con

dos fuentes de información: la table 6 y las tasas ,u dr r . Para resolver este problema, se consideran

los supuestos básicos del modelo BDT, en cuyo caso

( )2 22 2

1 10,3 ln ln2 2

uu ud

ud dd

r rr r

σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(2.42)

lo cual implica

ln lnuu ud

ud dd

r rr r

⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (2.43)

en consecuencia

2

uddd

uu

rrr

= (2.44)

El árbol binomial de tres periodos del precio de un bono cupón cero se muestra en la figura

2-9. Se debe observar que no se conocen los precios de los bonos ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 30 , , , , ,u d uu ud ddB B B B B y B

FIG. 2-9 Árbol binomial de tres periodos

( )3 1uuuB =

( )3 1uudB =

( )3 1uddB =

( )3 1dddB =

p

p

p

p

p

p

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

( )30B

( )3uB

( )3dB

( )3uuB

( )3udB

( )3ddB

Al igual que en el caso del árbol binomial de dos periodos, se determina el precio del bono

cupón cero al inicio del árbol binomial. En este caso, el bono paga una unidad monetaria al final del

Capítulo 2 73


tercer año. El precio del bono en el presente se calcula trayendo a valor presente dicha unidad

monetaria, esto es,

( )

( )

( )

3 (3)0(3)

0 3

3

1 (0,3)

11 (0,3)

E B IB

R

R

⎡ ⎤⎣ ⎦=+

=+

(2.45)

De esta manera (3)

0B es ahora una cantidad conocida. Por otro lado, observe que los precios

de los bonos cupón cero ( ) ( ) ( )3 3 3, ,uu ud ddB B y B dentro de dos años, 2n = , y que pagan una unidad

monetaria dentro de tres años, 3T = , traídos a valor presente al segundo año, 2n = , a las tasas

,uu ud ddr r y r , respectivamente, están dados por

( ) ( ) ( )3 3 31 1 1,1 1 1uu ud dd

uu ud dd

B B y Br r r

= = =+ + +

(2.46)

Asimismo, el precio del bono en el primer año en terminos del precio del bono del segundo

año y traído a valor presente en el primer año con la tasa corta calculada en el paso 2, es igual a:

( )( ) ( ) ( )3 3

3 11

uu udu

u

pB p BB

r+ −

=+

(2.47)

y

( ) ( ) ( ) ( )3 33 1

1dd ud

dd

p B pBB

r− +

=+

(2.48)

Además, el valor esperado del precio del bono en el primer año, 1n = , traído a valor

presente debe ser igual al precio, hoy, del bono cupón cero, es decir,

( ) ( ) ( )

( )

3 3(3)0

11 0,1

u dpB p BB

R+ −

=+

(2.49)

Capítulo 2 74


Si al bono le restan dos años para vencer, sus posibles rendimientos, en cada estado de la

naturaleza, u dv y v deben satisfacer las siguientes relaciones:

( )

( )3

21

1u

u

Bv

=+

(2.50)

y

( )

( )3

21

1d

d

Bv

=+

(2.51)

Si se despeja el rendimiento en las ecuaciones (2.40) y (2.41), esto es,

( )3

1 1uu

vB

= − (2.52)

y

( )3

1 1dd

vB

= − (2.53)

entonces al utilizar la ecuación (2.31), se tiene que la aplicación de ( )0,3σ para 3n T= = satisface

( ) 120,3 ln u

d

vv

σ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.54)

Por lo tanto

( )2 0,3u dv v e σ= (2.55)

Si se sustituye la ecuación (2.53) y (2.55), se obtiene

( )( )2 0,3

3

1u

d

v eB

σ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.56)

Ahora es posible expresar ( )3uB en terminos de ( )3

dB al sustituir la ecuación (2.56) en la

ecuación (2.50), es decir,

Capítulo 2 75


( )

( )

( )( ) ( )1

2

32

23 2 0,3

11

1

1 1

uu

d

Bv

B e σ−

=+

=⎡ ⎤⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

(2.57)

Por otra parte, si se sustituyen (2.40), (2.61) y (2.55) en la ecuación (2.49), se sigue que

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

3 3(3)0

2 2

2 22 0,3

11 0,1

1 1 11 0,1

1 1 1

1 0,1

u d

u d

d d

pB p BB

R

p v p vR

p v e p v

R

σ

− −

− −

+ −=

+

+ + − +=

+

+ + − +=

+

(2.58)

Se debe observar que si se fija el valor de p en la ecuación anterior todo, en (2.58), es

conocido, excepto dv . La ecuación (2.58) se puede expresar como un polinomio de cuarto grado en

dv igualado a cero, es decir,

4 3 21 1 1 1 0d d d dv a v b v c v d+ + + + = (2.59)

donde 1 1 1 1, ,a b c y d son cantidades conocidas. Al resolver esta ecuación se obtiene un valor dv , el

cual se sustituye en (2.58), obteniendo con esto que

( )2 0,3u dv v e σ= (2.60)

Una vez que se tienen los valores u dv y v , estos se sustituyen en la ecuación (2.50) y (2.51),

respectivamente, de tal manera que:

Capítulo 2 76


( )

(3)2

11

uu

Bv

=+

(2.61)

y

( )

(3)2

11

dd

Bv

=+

(2.62)

A continuación se determinan los valores de ,uu ud ddr r y r . Para ello, se utilizan las

ecuaciones (2.47) y (2.48) expresadas como

( ) ( ) ( ) ( )3 3(3)1 1u u uu udr B pB p B+ = + − (2.63)

y

( ) ( ) ( ) ( )3 3(3)1 1d d dd udr B pB p B+ = + − (2.64)

donde (3) (3)u dB y B son valores conocidos. Si se susutituyen las expresiones para ( ) ( ) ( )3 3 3, ,uu ud ddB B y B

que aparecen en la ecuación (2.46), las dos ecuaciones anteriores se pueden reescribir en una sola

ecuación que considera a

( ) ( )2 0,3 2 0,3uu ud dd udr r e y r r eσ σ−= = (2.65)

Además, a partir de (2.56) se tiene que

2uu dd udr r r=

Al resolver la ecuación resultante en udr , después de realizar todas las sustituciones

planteadas, se obtiene un polinomio de segundo grado en udr igualado a cero:

22 2 0ud udr b r c+ + =

donde 2 2b y c son cantidades conocidas. La solución de esta ecuación cuadrática proporciona un

valor udr . Posteriormente, se sustituye este valor de udr en (2.65), de tal manera que

Capítulo 2 77


( )2 0,3uu udr r e σ= (2.66)

y

( )2 0,3dd udr r e σ−= (2.67)

Los tres posibles valores que se han obtenido de la tasa corta, ,uu ud ddr r y r , se sustituyen en

las ecuaciones que aparecen en (2.46), esto es,

( )3 1 ,1uu

uu

Br

=+

(2.68)

( )3 11ud

ud

Br

=+

(2.69)

y

( )3 11dd

dd

Br

=+

(2.70)

Por lo tanto, ya se conocen los valores ( ) ( ) ( )3 3 3,uu ud ddB B y B . Los árboles binomiales de la tasa

corta para dos periodos34 y del precio del bono cupón cero para tres periodos se muestran,

respectivamente en las figuras 2-10 y 2-11.


( )0,1R

ur

dr

p

p

p1 p−

1 p−

1 p−

uur

ud dur r=

ddr

34 Por ejemplo, para el periodo dos, hay dos nodos: aumento y reducción de las tasas de interés. Para el periodo tres hay 4 alternativas que se reducen a 3 nodos: 1) una vez que las tasas aumentaron en el periodo 2 vuelvan a aumentar, 2) si disminuyeron vuelvan a disminuir y 3 y 4) una vez que aumentaron (disminuyeron), se reduzcan (aumenten).

Capítulo 2 78


FIG. 2-11 Árbol binomial de tres periodos del precio de un bono cupón cero

( )3 1uuuB =

( )3 1uudB =

( )3 1uddB =

( )3 1dddB =

p

p

p

p

p

p

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

( )30B

( )3uB

( )3dB

( )3uuB

( )3udB

( )3ddB


A continuación se construyen los árboles binomiales de la tasa corta para tres periodos y del

precio del bono cupón cero para cuatro periodos (Figuras 2-12 y 2-13).

FIG. 2-12 Árbol binomial de tres periodos para la tasa corta

( )0,1R

ur

dr

uur

udr

ddr

uuur

uudr

uddr

dddr

p

p

p

p

p

p

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

Capítulo 2 79


FIG. 2.13 Árbol binomial de cuatro periodos del precio de un bono cupón cero

( )40B

( )4uB

( )4dB

( )4uuB

( )4udB

( )4ddB

( )4uuuB

( )4uudB

( )4uddB

( )4dddB

( )4 1uuuuB =

( )4 1uuudB =

( )4 1uuddB =

( )4 1udddB =

( )4 1ddddB =

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

Las ecuaciones que se utilizan para resolver estos árboles binomiales de tasas y precios son:

( ) ( )( )( )( ) ( )( )

4

40 4 4

1 11 0, 4 1 0, 4

p pB

R R

+ −= =

+ + (2.71)

( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 41 1 1 1, ,1 1 1 1uuu uud udd ddd

uuu uud udd ddd

B B B y Br r r r

= = = =+ + + +

(2.72)

Asimismo, el precio del bono en el segundo año en terminos del precio del bono del tercer

año y traído a valor presente en el segundo año con la tasa corta calculada en el paso 3, para cada

estado de la naturaleza es

( )( ) ( ) ( )4 4

4 1,

1uuu uud

uuuu

pB p BB

r+ −

=+

(2.73)

Capítulo 2 80


( )( ) ( ) ( )4 4

4 11

uud uddud

ud

pB p BB

r+ −

=+

(2.74)

y

( )( ) ( ) ( )4 4

4 1,

1udd ddd

dddd

pB p BB

r+ −

=+

(2.75)

Posteriormente, el precio del bono en el primer año en términos del precio del bono del

segundo año y traído a valor presente en el primer año con la tasa corta calculada en el paso 2

satisface, en cada estado de la naturaleza,

( )( ) ( ) ( )4 4

4 11

uu udu

u

pB p BB

r+ −

=+

(2.76)

y

( ) ( ) ( ) ( )4 44 1

1dd ud

dd

p B pBB

r− +

=+

(2.77)

Además, el valor esperado del precio del bono en el primer año y traído a valor presente

debe ser igual al precio, hoy, del bono cupón cero, es decir,

( ) ( ) ( )

( )

4 4(4)0

11 0,1

u dpB p BB

R+ −

=+

(2.78)

Si a los bonos les restan dos años para vencer, entonces sus precios en términos de sus

correspondientes rendimientos tienen que satisfacer las siguientes relaciones:

( )

( )4

21

1uu

uu

Bv

=+

(2.79)

( )

( )4

21

1ud

ud

Bv

=+

(2.80)

( )

( )4

21

1dd

dd

Bv

=+

(2.81)

Capítulo 2 81


( )

( )4

31

1u

u

By

=+

(2.82)

y

( )

( )4

31

1d

d

By

=+

(2.83)

donde u dy y y son los rendimientos entre el primer y cuarto periodos. Al resolver las ecuaciones

(2.76), (2.77) y (2.78) de manera recursiva se obtienen los valores de la tasa corta para el tercer

periodo y los precios del bono cupón cero para el cuarto periodo. Por lo que se tienen los árboles

binomiales, resueltos completamente, en las figuras 2-14 y 2-15.

FIG. 2-14 Árbol binomial de tres periodos para la tasa corta

( )0,1R

ur

dr

uur

udr

ddr

p

p

p

p

p

p

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

uuur

uudr

uddr

dddr

Capítulo 2 82


FIG. 2-15 Árbol binomial de cuatro periodos del precio de un bono cupón cero

( )4 1uuuuB =

( )4 1uuudB =

( )4 1uuddB =

( )4 1udddB =

( )4 1ddddB =

p

p

p

p

p

p

p

p

p

p

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

1 p−

( )40B

( )4uB

( )4dB

( )4uuB

( )4udB

( )4ddB

( )4uuuB

( )4uudB

( )4uddB

( )4dddB

En el siguiente capítulo se desarrollará el Modelo de Black, Derman y Toy aplicandolo al

Mercado de Swaps de tasa de interés, para analizar la forma de evaluación de la tasa corta, lo cual

es el objeto de esta investigación.

Capítulo 1 83


3.1 Obtención del algoritmo BDT

En este capítulo se lleva a cabo una aplicación del algoritmo de Black, Derman y Toy al mercado de

de Swaps.

El objetivo de hacer una relación con un método exclusivo para el cálculo de precios de

bonos es aprovechar la información que arroja este método al conocer las tasas cortas y así poder

utilizarlas para predecir el alza o baja en las tasas de interés y en consecuencia pactar un Swap con

algún banco o intermediario analizando la información disponible.

En la tabla 7 se considera la siguiente información inicial que requiere dicho algoritmo; se

toma como datos dados la tasa de rendimientos (TIIE 28 días) que oscila entre 4 y 5%, así como

valores arbitrarios de la volatilidad35.

TABLA 7. Estructura de plazos iniciales

Periodo de

vencimiento

Rendimiento

R(0,T)

Volatilidad

σ (0,T)

1

2

3

4

0.040

0.045

0.048

0.050

0.24

0.22

0.20

0.19


El procedimiento se realiza en cuatro pasos: 35 Tal como se aclaró en el capítulo anterior, la introducción del parámetro de volatilidad es lo que hace diferente a este modelo de los demás

CAPÍTULO 3

Aplicación del Modelo de tasa corta de Black, Derman y Toy al mercado de Swaps

Capítulo 3 84


Paso 1

Supongase que (1) (1)1 1u dB y B= = , y considere el árbol binomial de la figura 3-1

FIG. 3-1 Árbol binomial en un periodo

( )1 1uB =

( )1 1dB =

p

1 p−( )10B

Si ( )0,1 0.040R = , entonces se tiene que

( )(1)0

11 0,1

11 0.040

0.9615

BR

=+

=+

=

(3.1)

El árbol binomial resultante para el precio de un bono cupón cero que al final del periodo

paga una unidad monetaria se muestra en la figura 3-2

FIG. 3-2 Precio actual de un bono cupón cero en un periodo

p

1 p−

( )10 0.9615B =

( )1uB

( )1dB

Paso 2

A continuación se calcula el árbol binomial de dos periodos para el precio de un bono cupón

cero.

Capítulo 3 85


FIG. 3-3 Árbol binomial de dos periodos

p

1 p−

p

1 p−

1 p−

p

( )2uB

( )2dB

( )20B

( )2 1uuB =

( ) ( )2 2 1ud duB B= =

( )2 1ddB =

Observe ahora que, en este caso,

( )( )

( )

(2)0 2

2

11 0, 2

11 0.045

0.9157

BR

=+

=+

=

(3.2)

En la figura 3-4 se muestra el árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón

cero.

FIG. 3-4 Árbol binomial de dos periodos

p

1 p−

p

p

1 p−

1 p−

( ) ( )2 2 1ud duB B= =

( )2 1uuB =

( )2 1ddB =

( 2 )uB

( 2 )dB

( )20 0.9157B =

El árbol binomial que se desea calcular para la tasa corta, con base en los resultados

anteriores, se muestra en la figura 3-5

Capítulo 3 86


FIG. 3-5 Árbol binomial de un periodo para la tasa corta

p

1 p−( )0,1 0.04R =

ur

dr

Si ( )0,1 0.04R = y el precio, hoy, del bono es ( )20 0.9157B = , entonces (2.39) implica

( )(2) (2) 10.9157

1 0.04u dB p B p+ −

=+

(3.3)

Asimismo, por (2.45)

( )12 ln 0.22 0, 2u

d

rr

σ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.4)

Si se despeja ur de la ecuación (3.4), se tiene que

( )0.22 0,2u dr r e= (3.5)

Por otro lado,

(2) 11u

u

Br

=+

(3.6)

Análogamente para dB ,

(2) 11d

d

Br

=+

(3.7)

Se considera 12p = por simplicidad, pero podría tomarse cualquier otro valor. Así, la

sustitución de (3.6) y (3.7) en (3.3) conduce a

Capítulo 3 87


1 12 2

1 11 1

0.91571 0.04u dr r

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦=

+ (3.8)

Si se incorpora la ecuación (3.5) en (3.8), se obtiene que

( )

1 12 20.22 2

1 111

0.91571 0.04

dd rr e

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟++⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦=

+ (3.9)

Esta ecuación puede reescribirse como:

( ) ( )

( ) ( )

0.22 2 0.22 22 1 1 1

0.22 2 0.22 21 1

1 2 0d de er r

e eγ γ γ

γ γ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − −+ + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.10)

donde ( )1

1 0.04 0.91571.9047

0.50γ

+= = .

Asi, realizando las operaciones correspondientes se obtiene el siguiente polinomio de

segundo grado, el cual se ilustra en la figura 3-6

2 0.780869307 0.032239421 0d dr r+ − =

La solución positiva de esta ecuación de segundo grado es 0.0393dr = . Si se

sustituye este valor en (3.5), se sigue que

( )

( )

0.22 2

0.22 20.03930.0610

u dr r e

e

=

==

Capítulo 3 88


FIG. 3-6 Polinomio en rd

Por último los valores u dr y r se sustituyen en (3.6) y (3.7), respectivamente, de tal manera

que

( )2 11

11 0.0393

0.9622

dd

Br

=+

=+

=

y

( )2 11

11 0.0610

0.9425

uu

Br

=+

=+

=

Los árboles binomiales completamente determinados, para el precio de un bono cupón cero,

con vencimiento en T=2 y la tasa corta se muestran, respectivamente, en las figuras 3-7 y 3-8

rd

Capítulo 3 89


FIG. 3-7 Árbol binomial de dos periodos del precio de un bono cupón cero

p

1 p−

p

p

1 p−

1 p−

( ) ( )2 2 1ud duB B= =

( )2 1uuB =

( )2 1ddB =

( )20 0.9157B =

( 2 ) 0.9425uB =

( 2 ) 0.9622dB =


p

1 p−( )0,1 0.04R =

0.0610ur =

0.0393dr =

Paso 3

En la figura 3-9 se muestra el árbol binomial que se desea calcular para las tasas cortas en un

árbol de dos periodos

FIG. 3-9 Árbol binomial en dos periodos de la tasa corta

p

1 p−

p

p

1 p−

1 p−

( )0,1 0.04R =

0.0610ur =

0.0393dr =

uuur

ud dur r=

ddr

En virtud de (2.54), se tiene que

Capítulo 3 90


( ) 1 12 20,3 ln lnuu ud

ud dd

r rr r

σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(3.11)

Por lo tanto,

2

uddd

uu

rrr

= (3.12)

Considerando ahora

( )( )

( )

(3)0 3

3

11 0,3

11 0.048

0.8688

BR

=+

=+

=

(3.13)

Observese que

( ) ( ) ( )3 3 31 1 1,1 1 1uu ud dd

uu ud dd

B B y Br r r

= = =+ + +

(3.14)

Asimismo, nótese que

( ) ( )3 31 1

(3) 2 2

1 0.0610uu ud

uB BB +

=+

(3.15)

y

( ) ( )3 31 1

(3) 2 2

1 0.0393dd ud

dB BB +

=+

(3.16)

Además de (3.13) se sigue que

(3) (3)1 1

2 20.86881 0.04u dB B+

=+

(3.17)

donde

( )

(3)2

11

uu

Bv

=+

(3.18)

Capítulo 3 91


y

( )

(3)2

11

dd

Bv

=+

(3.19)

Si se despejan u dv y v , se obtiene que

(3)

1 1uu

vB

= − (3.20)

y

(3)

1 1dd

vB

= − (3.21)

Por otro lado,

( ) 120,3 ln 0.20u

d

vv

σ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.22)

lo cual implica

0.40u dv v e= (3.23)

Si se sustituye (3.21) en (3.23), se sigue que

0.40

0.40(3)

1 1

u d

d

v v e

eB

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.24)

A continuación se verá que (3)uB se puede expresar en función de (3)

dB . En efecto al sustituir

(3.24) en la ecuación (3.18), se tiene que

Capítulo 3 92


( )

( )( )12

(3)2

2(3) 0.40

11

1

1 1

uu

d

Bv

B e−

=+

=⎡ ⎤+ −⎢ ⎥⎣ ⎦

(3.25)

Por otra parte, si se sustituyen (3.18) y (3.19) en la ecuación (3.17), se tiene

( ) ( )

(3) (3)1 12 2

2 21 12 2

0.86881 0.04

1 11 0.04

u d

u d

B B

v v− −

+=

+

+ + +=

+

(3.26)

Esta ecuación se puede expresar como

( )( ) ( )2 2

0.8688 1.04 1 10.50 1 1u dv v

= ++ +

(3.27)

Sea ( )2

0.8688 1.041.8071

0.50γ = = . La sustitución de (3.23), junto con el valor de 2γ , en (3.27)

conduce a

( ) ( )2 20.40

1 11.807111 dd

vv e= +

++ (3.28)

Notese que la ecuación (3.28) se puede expresar como un polinomio de cuarto grado

igualado a cero, es decir,

4 3 23.3407 3.3286 0.0479 0d d d dv v v v+ + + − = (3.29)

La solución positiva es 0.0418dv = . La figura 3.10 muestra el polinomio (3.29) en dv

Capítulo 3 93


FIG. 3-10 Polinomio en vd

El valor dv se sustituye ahora en la ecuación (3.23), así

0.40

0.400.04180.0624

u dv v e

e

=

==

(3.30)

Por otro lado los valores u dv y v se sustituyen en (3.18) y (3.19), respectivamente, de tal

forma que

( )

( )

(3)2

2

11

11 0.0624

0.8860

uu

Bv

=+

=+

=

(3.31)

y

( )

( )

(3)2

2

11

11 0.0418

0.9214

dd

Bv

=+

=+

=

(3.32)

vd

Capítulo 3 94


A continuación se determinan los valores de ,uu ud ddr r y r . Para ello, se utilizan las ecuaciones

(3.15) y (3.16) expresadas como

( ) ( ) ( )3 33)1 0.0610 0.5 0.5u uu udB B B+ = + (3.33)

y

( ) ( ) ( )3 33)1 0.0393 0.5 0.5d dd udB B B+ = + (3.34)

Al sustituir (3.14) en las ecuaciones anteriores, se tiene

(3) 1 11.0610 0.5 0.51 1u

uu ud

Br r

= ++ +

y

(3) 1 11.0393 0.5 0.51 1d

dd ud

Br r

= ++ +

Equivalentemente,

( )1 1 1.0610 0.88601 1 0.50uu udr r

+ =+ +

y

( )1 1 1.0393 0.92141 1 0.50dd udr r

+ =+ +

(3.35)

Las dos ecuaciones anteriores se pueden reescribir en una sola considerando que 0.40 0.40,uu ud dd udr r e r r e y−= =

2uu dd udr r r= (3.36)

Por lo tanto, realizando las operaciones que conlleva esta relación se obtiene un polinomio

de segundo grado

2 0.9103 0.05 0ud udr r+ − = (3.37)

Capítulo 3 95


Al resolver esta ecuación se obtienen dos soluciones 0.9623 0.0520ud udr y r= − = , véase al

respecto la figura 3-11 Se considera sólo la solución positiva, es decir, 0.0520udr = . En

consecuencia,

0.40

0.400.05200.0776

uu udr r e

e

=

==

y

0.40

0.400.05200.0349

dd udr r e

e

−

−

=

==

(3.38)

FIG. 3-11 Polinomio en rud

Por último, los valores obtenidos de la tasa corta, ,uu ud ddr r y r , se sustiuyen en las

ecuaciones que aparecen en (3.14), esto es,

( )3 11

11 0.0776

0.9280

uuuu

Br

=+

=+

=

(3.39)

rud

Capítulo 3 96


( )3 11

11 0.0520

0.9506

udud

Br

=+

=+

=

(3.40)

Y

( )3 11

11 0.0349

0.9663

dddd

Br

=+

=+

=

(3.41)

El árbol binomial de dos periodos para la tasa corta y el árbol binomial de tres periodos para

el precio del bono cupón cero que vence en 3T = se muestran respectivamente, en las figuras 3-12 y

3-13


p

1 p−

p

1 p−

1 p−

p( )0,1 4%R =

6.10%ur =

3.93%dr =

7.76%uur =

5.20%ud dur r= =

3.49%ddr =

Capítulo 3 97


FIG. 3-13 Árbol binomial de tres periodos para el precio de un bono cupón cero

p

1 p−

p

p

1 p−

1 p−

p

p

p

1 p−

1 p−

1 p−

(3) 1uuuB =

(3) 1uudB =

(3) 1uddB =

(3) 1dddB =

(3)0 0.9157B =

(3) 0.9425uB =

(3) 0.9622dB =

( )3 0.9280uuB =

( )3 0.9506udB =

( )3 0.9663ddB =

3.2 Aplicación del algoritmo BDT al mercado de Swaps

Una vez obtenido el algoritmo BDT, el siguiente paso será tomar las tasas cortas resultantes

en el ejercicio anterior como tasas de referencia para la valuación de un Swap.

3.2.1 Esquema de un swap con expectativas a la baja

Para ilustrar la aplicación al mercado de Swaps se tomará el ejemplo descrito en el capítulo

1. En este caso se supone que la tendencia de las tasas es a la baja, por lo tanto la tasa de interés

variable se ubicará en un futuro por debajo de la tasa de interés fija en ese momento en el mercado.

Por lo tanto se tomarán los valores que están representados en el árbol binomial con ramificaciones

hacia abajo (véase figura 3-12), es decir los valores a considerar serán los siguientes:

TABLA 8. Resultados del algoritmo BDT con tendencia a la baja

PERIODO TASA CORTA PRECIO DEL BONO

1 (0,1) 4%R = ( )30 0.9157B =

2 3.93%ur = ( )2 0.9622uB =

3 3.49%uur = ( )3 0.9663uuB =

Capítulo 3 98


También se considera que la empresa “A” tiene que hacer frente a una serie de pagos fijos

por un monto de $5’000,000 cada cuatro semanas (28 días) por concepto de nómina de sus

empleados, mientras que sus ingresos dependen del nivel de la tasa de interés.

La empresa “A” sabe que una baja en el nivel de tasas de interés de corto plazo, provocará

que sus ingresos futuros disminuyan, mientras que el pago de su nómina no lo hará. Debido a esto,

la empresa “A” estará dispuesta a entrar en un contrato de Swap de TIIE-28 días para la cobertura de

sus pasivos, aceptando recibir (de un intermediario financiero) un monto fijo cada 28 días por cierto

periodo de tiempo a cambio de pagar un monto variable indizado a una tasa de corto plazo como la

TIIE de 28 días.

Por lo tanto la empresa “A” pactará con un intermediario financiero un Swap de tasa de

interés, en donde se compromete a pagar un rendimiento de TIIE a 28 días (que supongase al día de

hoy es de 4% anual) sobre $5’000,000. A cambio, recibirá del intermediario financiero una tasa fija

del 4% anual. La empresa “A” estará esperando que las tasas de interés bajen ya que esta

“amarrando” pagar un rendimiento flotante y recibir un rendimiento fijo, mientras que el

intermediario fianciero estará esperando el alza de las tasas de interés, ya que está pactando recibir

una tasa variable y pagar una tasa fija.

Si el monto fijo de la empresa es 5’000,000, y el nivel de tasa de interés fija del swap de

TIIE-28 días es BTs =4% (tasa Swap Bid o de compra del Swap de TIIE 28 días), tal como se

muestra en la tabla 9 la empresa estará dispuesta a contratar dicho Swap de TIIE-28 días con

nominal de referencia N calculado como sigue:

TABLA 9. Información para el pago fijo del intermediario financiero a la Empresa “A”

Monto del flujo de efectivo $5’000,000

TIIE a 28 días 4%

Días del período 28 días

Días del año 360 días


Capítulo 3 99


28

360BT

BNS

= (3.42)

Donde: N= Monto nominal o de referencia del Swap de TIIE-28 días

BTs = Tasa Fija (o tasa Swap de compra) del Swap de TIIE-28 días


Por lo tanto

( )28

360

50000000.04

1607142857

N =

=

Nótese que se ha encontrado el valor nominal de referencia N que hace que la empresa “A”

pueda recibir exacatamente B. De esta manera:

( ) 28360

BTB N S ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.43)

Así se tiene que

( ) 281607142857 0.04

3605'000,000

B ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Así la empresa “A” está asegurando el pago de su nómina cada 28 días por un monto de

$5’000,000.

Por otro lado el intermediario financiero al tomar la tasa variable y conforme a los montos

calculados en el árbol binomial de tasa corta obtenido por el modelo de Black, Derman y Toy, la

tasa TIIE se calcual en 3.93%. Para el intermediario financiero la información que tiene es la

siguiente

Capítulo 3 100


TABLA 10. Información para el pago variable de la Empresa “A”al intermediario financiero


TIIE a 28 días 3.93%




Para calcular el pago del intermediario financiero a la empresa “A” se tiene la siguiente

fórmula

( )2828

360TIIEX N i ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.44)


28TIIEi = Tasa Flotante (TIIE 28 días)

Así se tiene que

281607142857(0.0393)360

4 '912,500

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

En el ejemplo presentado, el intermediario fianciero paga la tasa fija o tasa Swap a cambio

de recibir la TIIE de 28 días y se dice que su posición en el Swap de TIIE-28 días es “larga” en flujo

(gana más en flujo si las tasas suben) y “corta” en tasa de interés Swap. Por su lado, la Empresa “A”

paga la TIIE de 28 días (que podemos denotar como 28TIIEi ) a cambio de recibir la tasa fija o tasa

Swap BTs y se dice que su posición en el Swap de TIIE-28 días es “corta” en flujo o “larga” en tasa

de interés. La operación del swap de TIIE-28 días se representa en la figura 3-14.

En la figura 3-14 se puede observar claramente que la Empresa “A” está perfectamente

cubierta respecto del pago de su nómina con el flujo que recibe del intermediario financiero, a

cambio del cual tendrá que pagar un flujo variable indizado a la TIIE 28 días. Por tanto, la empresa

Capítulo 3 101


“A” ha permutado su pasivo fijo por un pasivo variable. Esta es precisamente la idea de los Swaps

de tasa de interés.

FIG. 3-14 Intercambio de flujos fijos por flujos variables,

a través de un Swap de TIIE 28 días

Pago fijo de $5'000,000 Pago variable de$4'912,500

ActivoEmpresa

"A"

IntermediarioFinanciero

Pasivo

Ingreso por concepto decomisiones, altamente dependiente de la tasade interés

Pago de nómina de $5'000,000 cada 28 días

Fuente: Elaboración propia con base a los resultados obtenidos

3.2.2 Esquema de un swap con expectativas al alza

Siguiendo de ejemplo con la Empresa “A”, ahora se supone que la tendencia de las tasas es

al alza, por lo tanto la tasa de interés variable se ubicará en un futuro por encima de la tasa de interés

en ese momento en el mercado. Por lo tanto se tomarán los valores que están representados en el

árbol binomial con ramificaciones hacia arriba (véase figura 3-12), es decir los valores a considerar

serán los siguientes:

Capítulo 3 102


TABLA 11. Resultados del algoritmo BDT con ramificaciones hacia arriba

PERIODO TASA CORTA PRECIO DEL BONO

1 (0,1) 4%R = ( )30 0.9157B =

2 6.10%ur = ( )2 0.9425uB =

3 7.76%uur = ( )3 0.9280uuB =

Elaboración propia con base a los datos arrojados por los árboles binomiales

Ahora se considera el caso de otra Empresa (la Empresa “B”), la cual tiene una deuda con

valor nominal de $5’000,000, que contrajo para financiar una expansión de actividades que le

provoca que pague intereses a una tasa flotante cada 28 días. Esta empresa tiene un ingreso estable y

está preocupada que un alza en las tasas de interés le provoquen problemas financieros al aumentar

el monto que tendrá que pagar por servicio de su deuda.

Esta empresa estará dispuesta a entrar en un contrato de cobertura de su pasivo (su deuda),

aceptando recibir un monto indizado a la TIIE de 28 días cada 28 días a cambio de pagar un monto

fijo. Considerando que el mismo intermediario financiero que ofreció el Swap de TIIE-28 días a la

Empresa “A” está dispuesto a ofrecerle una posición de Swap de TIIE-28 días a la Empresa “B” con

el perfil opuesto al que ofreció a la empresa “A”. En este caso, el intermediario financiero ofrecerá

ahora absorber los flujos variables a cambio de recibir un flujo fijo determinado por una tasa ATs

(tasa de interés Ask o de venta del Swap de TIIE-28 días). Para realizar el pago se cuenta con la

siguiente información

TABLA 12. Información para el pago fijo de la Empresa “B” al intermediario financiero






Capítulo 3 103


El nominal de referencia N se calcula conforme la siguiente fórmula

28

360AT

BNs

= (3.45)


BTs = Tasa Fija (o tasa Swap de venta) del Swap de TIIE-28 días


Por lo tanto,

( )28360

50000000.048

1339285714

N =

=

Asi mismo, el pago fijo que la empresa “B” rezalizará al intermediario fianciero cada 28

días, está determinado por la siguiente fórmula:

( ) 28360

ATA s ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.46)

De esta manera

281339285714(0.048)360

5'000,000

A ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Así la empresa “B” está asegurando el pago de su deuda cada 28 días por un monto de

$5’000,000.

Por otro la empresa “B” espera una tendencia al alza y espera conforme a los montos

calculados en el árbol binomial de tasa corta obtenido por el modelo de Black, Derman y Toy, que la

tasa TIIE se situe en 6.10%, lamentablemente para la empresa “B” esto no es así y la tasa TIIE real

fue de 3.93%. Para el intermediario financiero la información que tiene es la siguiente

Capítulo 3 104


TABLA 13. Información para el pago varaiable del intermediario financiero a la Empresa “B”






Para calcular el pago del intermediario financiero a la empresa “A” se tiene la siguiente

fórmula

( )2828

360TIIEX N i ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (3.47)


28TIIEi = Tasa Flotante (TIIE 28 días)

Así se tiene que

281607142857(0.0393)360

4 '912,500

X ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=

Los intercambios de flujos entre la Empresa 2 y el intermediario financiero se presentan en la

Figura 3-15, donde se puede observar que la Empresa 2 cumple el objetivo de cambiar su deuda

flotante a una deuda completamente fija con pagos determinados por la tasa de interés fija neta

resultante igual a ATs + 0.8%.

En este caso el nivel de la tasa Swap ATs es mayor que B

Ts y la diferencia entre ambas

( )A BT Ts s− representa el “Bid-Ask Spread” o margen de compra-venta del Swap de TIIE-28 días que

el intermediario financiero se queda como ganancia al proveer el servicio de venta de posiciones

cortas y largas de Swaps de TIIE-28 días.

Capítulo 3 105


FIG. 3-15 Intercambio de flujos variables por flujos fijos,

a través de un Swap de TIIE 28 días

Pago variable de servicio

indizado a la TIIE

Pago variable X de Pago fijo A de

$5'000,000$4'912,500

Flujos activos propiosde deuda cada 28 días de la empresa

Empresa"B"

IntermediarioFinanciero

Fuente: Elaboración propia con base a los resultados obtenidos

Con este sencillo pero ilustrativo ejemplo se puede demostrar que haciendo un pronóstico

aproximado sobre el comportamiento de la tasa de interés, se podrán tomar mejores decisiones

acerca de adquirir contratos que protejan a un inversionista sobre las fluctuaciones de este indicador

ya que al introducir el parámetro de volatilidad se busca anticipar resultados más confiables que

lleven a la major toma de decisiones.

En suma, con este modelo se conocen el precio de los bonos cupón cero dependiendo de una

expectativa a la baja y otra a la alza; asimismo al obtener las tasas cortas, una empresa puede decidir

de acuerdo al principio de ventajas comparativas la posición (corta o larga) que mejor le convenga

tomar en un contrato Swap.

Conclusiones 106


Conclusiones

Las tasas swap podrían funcionar como indicadores muy eficaces no sólo de las condiciones

vigentes del mercado, sino también reflejar las expectativas con respecto al futuro movimiento en

las tasas de interés, en especial de las tasas interbancarias.

El hecho de que los swaps de tasas de interés (IRS) sean contratos ampliamente negociados

en varios países, paulatinamente les ha otorgado un lugar preponderante como benchmark en la

valuación de instrumentos de renta fija. Esto es de resaltarse, sobre todo considerando que este lugar

antes exclusivo de las tasas gubernamentales, ahora le está abriendo paso a las tasas swap.

Los swaps de tasas se encuentran entre los contratos más representativos del financiamiento

interbancario, pues son los bancos sus principales contrapartes. Constituyen una forma alternativa de

financiamiento a costos considerablemente menores que aprovecha el beneficio de las ventajas

comparativas en su construcción. Representan además, uno de los mejores mecanismos de

cobertura, particularmente a nivel interbancario. Una muestra papable de la gran aceptación que

están teniendo son los crecimientos exponenciales en sus volúmenes de negociación, en especial en

los últimos dos años. Tan solo en México la tasa de crecimiento promedio anual para 2003 se ubicó

alrededor de un 150%.

En este trabajo, se ha realizado una revisión bibliográfica acerca del mercado de Swaps

pasando desde la historia de estos instrumentos, sus características, participantes y su clasificación

basándose esencialmente en los Swaps de tasas de interés (IRS) detallando su proceso de valuación

y recalcando el principio que les precede: el principio de las ventajas comparativas de David

Ricardo. Posteriormente se dió un panorama global de estos instrumentos negociados en los

mercados OTC en donde se obtuvieron cifras muy interesantes, como por ejemplo que para

Diciembre de 2006, las operaciones realizadas en los mercados OTC a nivel mudial ascendieron a

$415 billones de dólares, de los cuales $230 billones fueron de Swaps de tasas de interés, es decir

más del 50% del total de operaciones. Enfocandose al mercado mexicano, se puede mencionar que a

partir del año 2000 se incrementaron significativamente el plazo y la liquidez de los Swaps de tasas

de interés, entre otras cosas debido a que aparecieron emisiones de deuda gubernamental de mayores

Conclusiones 107


plazos, aumentó la demanda de los bancos por coberturas de largo plazo (10 años o más) y

finalmente, porque crece la demanda por inversiones riesgosas. Todos estos factores llevaron a que

en septiembre de 2007 se llevara a cabo el listado del contrato de futuro de Swap sobre TIIE de 28

días en el Mexder y se dió un panorama del volumen de negociaciones de este nuevo mercado

teniendo como subyacente un Swap de TIIE.

En el segundo capítulo se definieron las teorías sobre la estructura de plazos de la tasa de

interés, siendo la teoría de las expectativas puras considerada como la madre de los modelos de tasa

de interés de corto plazo; también se destacaron las características de los modelos de tasa corta, así

como su clasificación que principalmente es en tres diferentes tipos: los modelos de un solo factor,

los modelos multifactoriales y los modelos de calibración, siendo esta clasificación en donde se

encuentra el modelo estudiado en este trabajo. Posteriormente se hace una reseña histórica de los

principales modelos antecesores al modelo de estudio que en este caso son: Merton, Vasicek, CIR,

Longstaff, Hull & White, Chen y Ho & Lee se destacaron sus principales características y

limitaciones de cada uno. Finalmente se desarrolla el modelo central de este trabajo: el modelo de

Black, Derman y Toy y se da un minucioso desarrollo de las operaciones a realizar dividiendo el

proceso en cuatro pasos e ilustrando cada comportamiento de la tasa corta a través de árboles

bonomiales. La intención de estos árboles es ilustrar este comportamiento: Por ejemplo, para el

periodo dos, hay dos nodos: aumento y reducción de las tasas de interés. Para el periodo tres hay 4

alternativas que se reducen a 3 nodos: 1) una vez que las tasas aumentaron en el periodo 2 vuelvan a

aumentar, 2) si disminuyeron vuelvan a disminuir, 3) una vez que aumentaron disminuyeron, y 4)

una vez que disminuyeron aumentaron. Recordando que estos resultados son más confiables por

considerar el factor volatilidad.

Finalmente en el tercer capítulo se desarrolló un caso práctico en el que se determinaron el

precio de un bono cupón cero a distintos vencimientos y la dinámica de la tasa corta, siendo estos

últimos datos los que interesaban para el presente estudio. Una vez resuelto el algoritmo BDT se

utilizaron las tasas cortas de interés obtenidas para calcular el comportamiento de un contrato Swap.

En este ejercicio se consideranron dos empresas diferentes y un mismo intermediario financiero para

ambas. La primer empresa tenía expecativas de una tendencia a la baja, es decir que la tasa de

interés variable se ubicaría en un futuro por debajo de la tasa de interés fija en ese momento en el

mercado por lo tanto esta empresa decide realizar un swap vendiendo tasa de interés variable y

Conclusiones 108


comprando tasa de interés fija. La segunda empresa tenía expectaivas de que las tasas de interés

subirían, es decir, una tendencia al alza y por lo tanto la tasa de interés variable se ubicará en un

futuro por encima de la tasa de interés fija prevaleciente en el mercado, por esta razón la empresa

decide realizar un Swap vendiendo tasa de interés fija y comprando tasa de interés variable. Ambas

empresas acuden con el intermediario financiero quien utiliza la diferencia entre tasas para obtener

una ganancia. De esta forma todos salen ganando con la utlización del Swap.

La aplicación de este modelo al mercado de Swaps de tasa de interés presenta la ventaja de

que permite hacer pronósticos sobre la tasa de interés en varios escenarios (optimistas y pesimistas).

Recalcando una vez más que estos pronósticos serán más confiables puesto que se considera el

factor de volatilidad.

Sin embargo, la aplicación de este modelo tiene la desventaja que al aumentar el número de

periodos a pronosticar se incrementan de manera considerable el número de opercaiones

matemáticas a realizar y todas ellas de forma manual. Por lo cual resulta interesante la propuesta de

implementar un software o modelar un programa o método que agilice el cálculo de las tasas cortas

de interés, esta es la alternativa que se presenta como trabajo futuro a partir de esta investigación.

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