Instituto de Investigaciones de Matemática Aplicada de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la UM

BOLETÍN MATEMÁTICO ÍNDICE Modelo simple de armado de portafolio de inversión Pág. Autor: Dr. Osvaldo L. Perillo 5 El estudio de casos aplicado a la enseñanza de las Pág. operaciones financieras 13 Autores: Dra. Norma B. Irigoyen- Dra. Mónica Loiacono - Dra. Analía Riveira

Hacia un nivel óptimo de reservas internacionales Pág. Autor: Dr. Alfredo E. Villafañe 33

Indicadores sociales: algunas consideraciones Pág. introductorias 37 Autor: Lic. Jorge N. Pertica

Representación gráfica de funciones con ordenada Pág. real y abscisa compleja 41 Autor: Lic. Juan C. López

La programación meta secuencial interactiva Pág. Autor: Ing. Luinor E. Vilches 47

LOS CONTENIDOS DE LOS NÚMEROS 1 A 11 DE ESTE BOLETÍN ESTÁN INSTALADOS EN LA PÁGINA WEB DE LA UNIVERSIDAD DE MORÓN: www.unimorón.edu.ar? Facultades? Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales? Publicaciones “El primer objetivo de cualquier acto de aprendizaje, además del placer que pueda causar, es que ha de servirnos en lo futuro. El aprendizaje no sólo debe conducirnos a alguna parte, sino permitirnos seguir todavía más allá con mayor facilidad.” Jerome S. Bruner

MODELO SIMPLE DE ARMADO DE PORTAFOLIO DE INVERSIÓN

Por el Dr. Osvaldo L. Perillo(*)

Todos tenemos un portafolio, esto es un conjunto de activos con los que satisfacemos nuestras necesidades. Cuando hablamos de portafolio en finanzas nos referimos a un conjunto de activos financieros, los que pueden tener un rendimiento incierto. Esto sucede porque el comportamiento de ciertos instrumentos de inversión, por ejemplo, las acciones de las empresas, tienen un rendimiento que depende de su valoración en el tiempo y de los dividendos que paguen. Estos componentes dependerán de otros factores, principalmente la capacidad de crear valor por parte de los gerentes de la empresa y del conocimiento que el público tenga de la realidad de la misma.

Cuando combinamos activos que no tienen el mismo comportamiento ante las influencias externas, es decir, que la correlación de sus rendimientos es distinta de +1, se pueden aprovechar los beneficios de la diversificación. En este caso, los alejamientos positivos de los rendimientos promedios se neutralizan con movimientos negativos de otros activos. El resultado es que si bien no se puede mejorar la expectativa de rendimiento, que será un promedio de sus componentes, se puede reducir el riesgo del conjunto. De esta forma el riesgo del portafolio será menor que el de sus componentes.

El primer intento de sistematizar la teoría del portafolio se lo debemos a Harry M. Markowitz, quien se basó en el armado de una matriz de varianzas y covarianzas de los rendimientos de los activos, para determinar la composición de la cartera que minimizará el riesgo. Los aportes de Markowitz son de los ´50 y fueron complementados con los de William Sharpe, décadas más tarde. Sharpe redujo la cantidad de elementos a pronosticar relacionando los rendimientos de cada activo riesgoso con los del mercado, medido a través de un sustituto del mismo. En nuestro país el sustituto del mercado de acciones sería, por ejemplo, el Índice Merval o el Índice Merval 25. Markowitz y Sharpe,

(*) Profesor Titular Interino de Mercado de Capitales y de Economía Monetaria y Secretario Académico de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón.

conjuntamente con Merton Miller, obtuvieron el premio Nobel en Economía en 1990 por el resultado final de sus análisis: el modelo CAPM, acrónimo de Capital Asset Pricing Model (Modelo de Valuación de Activos Financieros).

Seguidamente, veremos cómo se puede armar un portafolio utilizando algunas herramientas matemáticas, siguiendo los lineamientos originales de Markowitz.

Llamamos RP al rendimiento de un portafolio, E(RP) a la esperanza matemática de esos rendimientos, Rij al rendimiento j del activo i, Xi a la participación del activo i en el portafolio. Tendremos que el rendimiento de éste será un promedio ponderado por la participación de cada activo de los rendimientos de los mismos, según la siguiente fórmula:

????

????

????

???

N

iii

N

iijiPP RXRXERER

11)(

El riesgo lo mediremos según el desvío estándar del portafolio, cuya varianza la podemos ejemplificar para un portafolio de dos activos, tal como se desarrolla más abajo:

? ? ? ?? ? ??????? 222112211

22RXRXRXRXERRE jjPPP?

? ? ? ?? ? ? ? ????

??? ??????? 2

22

2

22211212

1

2

1 2 RRXRRRRXXRRXE jjjij

122122

22

21

21 2 ??? XXXX ???

Es decir, el resultado que nos da no coincide con el promedio de los desvíos estándar y pasa a ser importante el tercer término de la ecuación anterior, en la que el signo y la intensidad de la covarianza definirán en qué medida el riesgo se reduce.

El desarrollo anterior se puede generalizar para N activos y la fórmula será la siguiente:

? ? ?? ? ??

??N

j

N

j

N

jkkjkkjjjP XXX

1 1 ;1

222???

También podemos presentarla de otra forma si consideramos las varianzas como covarianzas de la forma

ii? . Esto es:

? ?? ?

?N

j

N

kjkkjP XX

1 1

2??

Habiéndose determinado una medida del riesgo del portafolio y considerando que el rendimiento lo podemos dividir en una compensación por el valor tiempo del dinero (Rf) más una retribución por el riesgo, el objetivo para armar un portafolio se convierte en maximizar el rendimiento excedente,( )p fR R? , por unidad de riesgo, P? .

A partir de esta ecuación, el paso siguiente consiste en derivar ? con respecto a cada Xi, obteniéndose la derivada después de un largo proceso en el que se hace uso de la regla del producto, de la regla de la cadena y de una matemática paciencia.

Reformulamos la expresión anterior de la siguiente forma:

? ?12

2 2.

1 1 1 1;

. .N N N N

i i f i j iji ii i i j i j

X R R X X X? ? ??

? ? ? ? ?

? ?? ?? ? ?? ?? ?

? ? ? ?? ? ? ?

Para derivar esta ecuación con respecto a Xi debemos considerar que se trata de dos factores entre corchetes que se multiplican entre sí, por lo que se resuelve por la regla del producto, lo que implica multiplicar el primer factor por la derivada del segundo más el segundo por la derivada del primero.

El primer factor es 1

( )N

i i f

i

X R R?

? ??? ?? ?

? y su derivada

con respecto a una Xk es muy simple, dado que en la sumatoria se pasa una sola vez sobre esa Xk, por lo que es lo mismo que derivar Xk ( )k fR R? con respecto a Xk, que da

( k fR R? ).

Para el otro factor, que está elevado a la potencia (-1/2), aplicamos la regla de la cadena y nos queda:

32

2 2 2

1 1 1; 1;

1* 2 2

2

N N N N

i j ij k j jki i kk i i j i j j j k

FX X X X X

X? ? ? ?

?

? ? ? ? ? ?

? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?

? ? ? ?

Ahora que tenemos las dos derivadas y las dos funciones podemos resolver la derivada por la regla del producto e igualarla a cero:

32

2 2 2

1 1 1 1; 1;

( ) *( 1/2) * 2 2N N N N N

i i f i j ij k j jki i kk i i i j i j j j k

X R R X X X X XX?

? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

+

12

2 2

1 1 1;

* ( ) 0N N N

i j ij k fi ii i j i j

X X X R R? ??

? ? ? ?

? ?? ?? ? ?? ? ? ?

? ?? ? ?

Si multiplicamos ambos miembros de la derivada por 12

2 2

1 1 1;

N N N

i j iji ii i j i j

X X X? ??

? ? ? ?

? ??? ?

? ?? ? ? , nos queda:

21

2 2 1;

1 1 1;

( ). 0

N

i i f Ni

k j jk k fkN N Nk j j k

i j iji ii i j j i

X R RX X R R

X X X X

?? ?

? ?

?

? ?

? ? ? ?

? ??? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??? ?

? ?

??

? ? ?

Definiendo:

1

2 2

1 1 1;

( )N

i i f

iN N N

i j iji ii i j j i

X R R

X X X?

? ?

?

? ? ? ?

? ??? ?

? ??? ??? ?? ?

?

? ? ?

:

nos queda:

2

1;

0N

k j jk k fkk j j k

X X R RX?

? ? ?? ?

? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ,

lo que es igual a:

2

1;

0N

k j jk k fkk j j k

X X R RX?

? ? ? ?? ?

? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??

Esta ecuación la podemos desplegar para todo activo i de la siguiente forma:

? ? fiNiNiii

RRXXXX

?????????

???????

?2211

Para optimizar, debemos igualar a cero la ecuación anterior para cada uno de los activos.

0???

iX?

El resultado es un conjunto de N ecuaciones que deben ser resueltas simultaneamente.

NNf XXXRR 11221111 ?????? ????? ?

El coeficiente ? es un escalar que surge de la derivación, que aparece siempre multiplicando a Xi, por lo que podemos hacer

ii XZ ??

De esta forma podemos llegar a la siguiente ecuación matricial:

2

2

211 12 1

221 2 2

1 2

......

*...... ... ... ...

...

N

N

NN N N

ZZ

Z

? ? ?? ? ?

? ? ?

?

1

2

...

f

f

N f

R R

R R

R R

?

?

?

Resolviendo los valores de los iZ tendremos las proporciones de nuestra cartera óptima. Los economistas estamos habituados a utilizar la regla de Cramer, pero el Excel permite multiplicar e invertir matrices, con lo cual se evitan los tediosos cálculos que, cuando el número de acciones es elevado, se tornan muy dificultosos.

Lo que hemos visto es la complejidad matemática del problema planteado. Los pasos a seguir serían:

a) Elegir un conjunto de acciones o activos riesgosos que tengan oferta pública, es decir, que coticen en Bolsa.

b) Obtener la serie de precios y sacar con los mismos las variaciones porcentuales de cada período (puede ser diario). Calcular con esa serie el desvío estándar poblacional de cada activo y las covarianzas entre los mismos.

c) Estimar los rendimientos esperados de cada activo en función de los balances, expectativas, etc. y la tasa de interés libre de riesgo.

d) Determinar los valores de Z mediante cualquiera de los métodos conocidos. La suma de las Z se puede proporcionalizar a 100 para obtener los porcentajes de participación X. Algunos valores pueden ser negativos, lo que significa que hay que tomar una posición vendedora (short sale). Las posiciones vendedoras se arman tomando un activo prestado, vendiéndolo y esperando que baje el precio para recomprarlo y, posteriormente, devolverlo. En nuestro país no es muy usual efectuar esta operación.

El portafolio riesgoso, finalmente, puede ser combinado linealmente con el activo libre de riesgo, cuya tasa utilizamos más arriba. Los amantes del riesgo elegirán 100 % el portafolio riesgoso y los adversos al riesgo el 100 % del activo libre de riesgo. El resto encontrará una combinación que satisfaga sus preferencias.

BIBLIOGRAFÍA

-MARKOWITZ, Harry: Portfolio Selection, The Journal of Finance, Vol.7, No.1, pág. 77-91, Nueva York, Marzo 1952.

- ELTON, Edwin J. y Gruber, Martín J: Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, Fourth Edition, Nueva York, John Wiley and Sons Inc.,1991.

- REALLY, Frank K. y BROWN, Keith C. : Investment Analysis and Portfolio Management, Fifth Edition, Dryden, 1997.

- ALEXANDER, Gordon J., SHARPE, William F. y BAILEY, Jeffrey V.:Fundamentos de Inversiones. Teoría y Práctica. Tercera Edición. México, Prentice Hall Pearson Education, 2003.

-ALEXANDER, Gordon J. y SHARPE, William F.: Investment, Fourth Edition, Nueva York, Prentice Hall International Editions, 1990.

- FISCHER, Donald E. y JORDAN, Ronald J.:Security Analysis and Portfolio Management, Nueva York, Prentice Hall International Editions, 1991.

- BODIE, Zvi , MERTON, Robert C, y VINITZKY, Guillermo: Finanzas y Gestión, Primera Edición, México, Pearson Educación, 2006.

BREALEY, Richard A. y MYERS, Steward C.: Principios de Finanzas Corporativas, Quinta Edición, México, Mc Graw Hill. 1998.

EL ESTUDIO DE CASOS APLICADO A LA ENSEÑANZA DE LAS OPERACIONES FINANCIERAS Por las doctoras Norma B. Irigoyen (*), Mónica Loiacono(**) y Analía Riveira(***)

Resumen:

El presente trabajo propone la aplicación del método de estudio de casos a la enseñanza y aprendizaje de la Matemática Financiera.

En primer lugar, relaciona dicho método con la teoría del currículum por proyectos y la enseñanza basada en la resolución de problemas. El objetivo que se persigue es lograr un aprendizaje significativo a partir de un método de enseñanza que propone un nuevo rol del docente que permita construir juntos experiencias sustantivas, aquellas que vinculan al alumno con el mundo laboral y profesional.

Ello sigue con la conceptualización del método, sus antecedentes y características. Se define el rol del docente como moderador de los debates y se espera del alumno un rol activo, participativo, en el que se promueva la interacción con los materiales, con sus pares y docentes en un ambiente de colaboración y debate de ideas.

En cuanto a la elaboración de un caso se mencionan los medios de obtención de datos y el desafío que implica una redacción que motive el interés por el mismo, así como los aspectos relevantes a tener en cuenta en su construcción, destacándose el que se refiere a los objetivos del curso o asignatura a la que se aplique.

También se plantea la metodología de evaluación de los alumnos, ya sea grupal o individual, y el seguimiento que deberá hacer el docente respecto de los progresos de los alumnos.

(*) Profesora Titular Regular de Matemática Financiera y de Administración y Cálculo Financiero y Consejera Académica de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón. (**) Profesora Adjunta Regular de Matemática Financiera y de Administración y Cálculo Financiero en la misma Facultad. (***) Profesora Adjunta Regular de Matemática Financiera en la misma Facultad.

Finalmente se redactan ejemplos de casos que pueden ponerse en práctica, en los que el tema de las preguntas críticas que formula el docente es esencial para guiar a los grupos hacia el debate y la resolución.

Introducción

En el presente trabajo, planteamos como pertinente la organización del currículum por proyectos, basándonos en que es en la actividad que el alumno se construye; en un proyecto los contenidos a aprender no están atomizados o jerarquizados, sino relacionados entre ellos por el problema a resolver (Bordallo, Ginestet, 1993). En la pedagogía de proyectos tres orientaciones interactúan: la social, la afectiva y la racional, buscando un equilibrio para la resolución de problemas. Stenhouse define la resolución de problemas como la tentativa de comunicar los principios y rasgos esenciales de un propósito educativo, de tal forma que permanezca abierto a la discusión crítica y pueda ser trasladado efectivamente a la práctica. Para este autor el problema central de la teoría del currículum serán, las relaciones entre la teoría y la práctica por un lado y las relaciones entre educación y sociedad por el otro.

Desde un punto de vista pedagógico y para un

mejor acercamiento entre la teoría y la práctica, la organización curricular basada en estudio de casos permite una tarea interdisciplinaria y la oportunidad de realizar tareas grupales, propiciando la participación del alumnado, la interacción y la colaboración entre ellos a efectos de la resolución del mismo. En este sentido los aportes de S. Wasserman (1999), con respecto a esta propuesta metodológica provee un marco teórico y una estrategia a considerar en la organización de las actividades.

Dicha autora señala que la utilización de “casos” no

es solamente patrimonio de las Escuelas de Negocios, y explica que: “... la utilización de casos está también muy difundida en los cursos de ética médica: en el Programa del Nuevo Camino de la Escuela de Medicina de Harvard; el método de casos es el principal método didáctico empleado en la formación de los médicos...”.

No solamente Harvard utiliza este método. Selma Wasserman nombra a otras Universidades como: la Escuela de Medicina de la Universidad de Mc Master, de Canadá y la Escuela del Centenario, de Columbia. En América Latina

encontramos la Universidad Tecnológica de El Salvador, Centro América; Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, Méjico; Universidad Católica del Norte, Chile; Universidad de Chile; etc.En nuestro país y a modo de ejemplo, podemos nombrar la Universidad de Morón, UCEMA, Universidad de Belgrano, Universidad Nacional de Mar del Plata, etc.

Justificación

El propósito que nos ha llevado a introducir en nuestra tarea docente la enseñanza basada en el método de casos surge, por un lado, de nuestra propia experiencia en el aprendizaje de asignaturas en cursos de perfeccionamiento y, por otro, de la investigación que hemos realizado sobre la base de esta metodología que está aplicándose en muchas universidades de nuestro país y del exterior. En la práctica docente, en el aula, hemos detectado las serias dificultades que tienen nuestros alumnos en la interpretación de los problemas que les proponemos y aún más serios respecto de la resolución. Ello es debido, precisamente, a que el modelo tradicional de enseñanza es explicativo, refiere a una clase magistral por parte del docente y si bien es, muchas veces, una primera instancia necesaria para iniciar a los alumnos en el aprendizaje de nuevos conceptos y valores, remite a un pensamiento reproductivo que puede funcionar como primer escalón en el camino del aprendizaje, pero a ello, y especialmente en educación superior, debe seguir la formación de un pensamiento crítico, reflexivo y, por ende, creativo, que los prepare para dar respuestas a las exigencias del mundo actual.

La sociedad contemporánea exige individuos con capacidad de modificar su conducta ante nuevas problemáticas y desarrollar perspectivas múltiples para enfocar la diversidad de situaciones: mercados competitivos, exigencias del consumidor, crecimiento inesperado, recesión, etc., que requieren decisiones rápidas y efectivas.

La universidad debe convertirse en un agente de cambio y es la herramienta clave para la transformación social. Se impone una educación que mediante la creación de espacios de diálogo e interactivos se abra a la comprensión de otros modos de pensar, ser y hacer enfrentando la realidad desde la multiciplicidad de miradas

enfocadas a la transversalidad de los saberes. De este modo, la escuela debe proporcionar oportunidades de aplicar el conocimiento a la realidad que deberá enfrentar el futuro profesional en su ámbito laboral.

Si bien la educación superior está menos directa y claramente orientada a tareas ocupacionales específicas que otro tipo de adiestramiento por sus mayores demandas cognitivas, las tendencias hacia la expansión de la educación superior en las últimas décadas han cambiado significativamente las relaciones entre educación y empleo. Se observa una inclinación a considerar más sistematicamente las perspectivas de trabajo de los estudiantes.

En este escenario la función docente deberá ejercer un nuevo rol, ser facilitadora del aprendizaje, ayudar a problematizar la relación de los estudiantes con el conocimiento en un proceso en que el profesor actúa en actitud de escucha sirviendo de sustento para construir juntos experiencias sustantivas de aprendizaje. Una «experiencia sustantiva» es la que no tiene un único recorrido, permite desarrollar una actitud investigadora y ayuda a los estudiantes a dar sentido a sus vidas (aprender de ellos mismos) y a las situaciones del mundo que los rodea (de lo local a lo global). (Fernando Hernández , 2000)

Al educador le corresponde, asimismo, la tarea de

conducir el aprendizaje y este tiene que estar orientado al desarrollo de capacidades aplicadas a la disciplina o área del conocimiento científico de que se trate, considerando además ayudar a los estudiantes a desarrollar competencias tales como la comunicación oral y la capacidad de trabajar en grupo, de forma tal que el docente no se ocupe sólo de lo que los estudiantes conocen sino de cómo usan lo que saben y de lo que pueden hacer.

Nuestra preocupación como docentes siempre ha sido motivar al alumno, transformar su pasividad en actividad; al decir de S. Wassermann “transformar la apatía en productividad”; y sabemos que son nuestros propios pensamientos los que arman nuestra estructura subjetiva. Si no les damos a nuestros alumnos la posibilidad de pensar por ellos mismos, de ser críticos, van a repetir acriticamente nuestro pensamiento sin la reflexión que los vuelve estudiantes autónomos. El pensamiento no se queda quieto.

El saber puede acumularse, pero el pensamiento es una actividad (Corea, Lewkowicz, 2004).

En este sentido, planteado nuestro rol, la metodología propuesta y la confianza en las ventajas de utilizar esta técnica en las clases a fin de lograr un aprendizaje significativo, es que pretendemos profundizar en este trabajo el estudio de casos como método de enseñanza y aprendizaje.

Conceptualización y Antecedentes

S. Wassermann (1999) nos dice “los casos son instrumentos educativos complejos que revisten la forma de narrativas (...). Son por naturaleza interdisciplinarios... los buenos casos se construyen en torno a problemas o grandes ideas: puntos importantes de una asignatura que merecen un examen a fondo (...) las narrativas se basan en problemas de la vida real que se le presentan a personas reales”.

Por otra parte, según Lawrence (1953, Pág. 215): “Un buen caso es el vehículo por medio del cual se lleva al aula un trozo de realidad a fin de que los alumnos y el profesor lo examinen minuciosamente”.

Los casos describen un suceso real de interés

profesional, de una complejidad limitada tomando en cuenta los elementos de la realidad, la cual no es tan simple ni lineal como muchos quisieran.

Médicos y juristas saben, desde hace mucho tiempo, que pueden aprender de buenos apuntes sobre un caso. Por esta razón, las primeras aplicaciones del “método del caso” están asociadas a la formación o perfeccionamiento de abogados y médicos. Sin embargo, el modelo didáctico o método del caso (en sentido estricto) se desarrolló cuando se llevó al campo de las ciencias económicas. Desarrollado a principios del siglo XX en la Universidad de Harvard, bajo la denominación “Harvard Case Method” (Método de Casos de Harvard), se ha expandido no sólo a otras disciplinas, sino también en casi todo el mundo. Hoy se conoce este método, además de las disciplinas mencionadas, sobre todo en la formación agrícola, en el ámbito de la ecología, en las ciencias sociales y en las profesiones administrativas. Se puede considerar como un tipo de simulación (mediante el lenguaje) de una realidad histórica.

Clyde Freeman Herreid, en 1997, ha investigado sobre el tema y ha escrito varios artículos en los que expresa: “Cases are stories with a message. They are not simply narratives for entertainment. They are stories to educate”. Es decir, historias con un mensaje educativo, lo cual es quizá la mejor definición de los casos estudio.

Tomando en consideración que existe una serie de formas diferentes de “narrar la historia con un mensaje educativo”, analizamos la posibilidad de introducir estudios de casos abreviados en nuestra asignatura de grado, integrando temas tales como: operaciones financieras simples, capitalización y actualización o bien, operaciones complejas, sistemas de reembolso, evaluación de proyectos, buscando en los ejes temáticos centrales de nuestra materia la posibilidad de encarar casos que lleven al alumno a obtener información, relacionar, analizar, simular todas esas actividades del aprendizaje que promueven el pensamiento y permiten tomar decisiones con criterio profesional.

En el caso de seminarios al final de las carreras de grado o en los cursos de postgrado, de especialización, doctorados, maestrías, los casos integran, por lo general, diversas disciplinas y tienen una problemática más compleja dada la interdisciplinariedad de los temas propuestos.

A propósito de la utilización de esta técnica en esos niveles, Juan Klein (1995) dice “En el Método de Resolución de Casos de Negocios se les propone a los alumnos un juego de simulación empresarial donde se trabaja bajo presión, en incertidumbre, y bajo ese entorno, tomar decisiones.”

Metodología

La metodología de la aplicación del estudio de caso llevada al aula consiste en que el docente plantea una historia, pero lo que interesa no es tanto la historia sino el tema sobre el que versa la misma:

“El caso no proporciona soluciones sino datos concretos para reflexionar, analizar y discutir en grupo las posibles salidas que se pueden encontrar a cierto problema (...) entrena para generar soluciones (...) lleva a pensar y a contrastar sus conclusiones con las conclusiones de otros (...) lo entrena en el trabajo colaborativo y en la toma de

decisiones en equipo (...) representa un recurso para conectar la teoría a la práctica real. Ése es su gran valor” 1

Una vez expuesto el caso planteado, realiza una lista de “preguntas críticas”. En ellas el alumno se ve obligado a resaltar las ideas importantes, nociones y problemas que le surgen; lo que se persigue es que logre aplicar sus conocimientos para la resolución. Wasserman aclara que “lo que se busca con las preguntas críticas no es que los alumnos lleguen a conocer algunos fragmentos de información sobre hechos, sino que apliquen sus conocimientos cuando examinan ideas. Su objetivo es el de promover la comprensión. Más que requerir recuerdo de nombres, fechas, descripciones (...) requieren que los estudiantes apliquen lo que saben cuando analizan datos y cuando proponen soluciones.”

Otro aspecto importante de la enseñanza basada en casos es lograr que las respuestas a las preguntas críticas se discutan en grupo, dando lugar al trabajo colaborativo y cooperativo. Esto los va preparando para el debate final, en el cual participará toda la clase. La teoría del aprendizaje en la que se sustenta es aquella que postula la construcción de un aprendizaje colaborativo y cooperativo, a través del trabajo grupal en un todo de acuerdo con Vigotsky que expresa que el desarrollo intelectual de un individuo no puede comprenderse sin una referencia al mundo social en el que está inmerso (...) mediante la interacción con los otros (...) y con instrumentos generados socio-historicamente que mediatizan la actividad intelectual. (Rogoff, 1993).

En el mismo sentido rescatamos las palabras del filósofo argentino Luis Halfen (2001) en su libro ¿Qué hacer con la Universidad?: “Sería conveniente que los alumnos trabajen los materiales de clase en grupos de discusión, fomentándose el intercambio de ideas, siendo el docente un moderador de la discusión, donde sus ideas también estén en juego”.

El documento del Instituto Tecnológico de Monterrey expresa: “La participación en este tipo de técnica desarrolla habilidades tales como análisis, síntesis y evaluación de la

1 “Estudio de casos como técnica didáctica”. Dirección de Investigación y Desarrollo Educativo Vicerrectoría Académica , Instituto Tecnológico de Estudios superiores de Monterrey, Méjico

información, posibilita también el desarrollo del pensamiento crítico, el trabajo en equipo y la toma de decisiones, además de otras actitudes y valores como la innovación y la creatividad.”

En un buen estudio de caso todas estas consideraciones se ponen en acción. Han sido ellas las que nos han llevado a pensar que la enseñanza debe incluir la transformación del ambiente áulico en algo similar a una empresa, con sus desafíos, urgencias, restricciones financieras, dificultades y competencias, y plantear situaciones que deriven en Casos para su discusión, soluciones factibles y toma de decisión. Elaboración del Caso

La elaboración de un caso se presenta como un desafío con respecto a:

?? los medios a los que recurriremos para la obtención del tema

?? y también al estilo lingüístico que exigirá la redacción de la historia, dado que de ello depende el interés del alumno en irse involucrando en el mismo.

Medios para recoger datos:

Para recopilar datos que sirvan de base a la ulterior redacción del caso, se puede recurrir a:

- Entrevista a un profesional al que se lo invita a narrar situaciones problemáticas interesantes, por las que haya atravesado en el curso de su actividad profesional. A propósito del caso seleccionado, habrá que mantener una segunda entrevista, más breve, en la que se obtengan todos los datos necesarios para una mejor comprensión de la situación total.

- Información que proporcionan empresas: con respecto a temas relacionados con sus inversiones, financiación de operaciones, deudas con el fisco.

- Información que proporcionan entidades financieras: con respecto a los servicios que prestan a sus clientes: factoring, leasing, préstamos, inversiones en títulos, colocaciones de dinero a plazo fijo, etc.

- Información obtenida de revistas y diarios técnicos: trabajos de investigación en áreas relacionadas con la asignatura, redacción de situaciones que requieran un estudio minucioso y posterior resolución.

- Escritos que refieren acontecimientos personales: de familiares, clientes, amigos, entre otros.

Redacción de la historia

Ya hemos dicho que, más que la historia, lo que es importante es el tema sobre el que versa esa historia y esto es así porque se trata de un caso de estudio que tiene que estar referido a los contenidos de la asignatura. No obstante, en la redacción del caso es importante despertar el interés del alumno, incluir situaciones controversiales que den lugar al debate en el grupo y sostener un estilo coloquial y verosímil.

“Lo que da valor a un caso, lo que hace que se convierta en algo motivante y significativo, es el tema del que trate, más que la redacción de la historia. Si el tema toca materias discutidas y polémicas, seguro que provoca una animada discusión, aun cuando el desarrollo concreto de la narración deje mucho que desear (...) Si bien, al igual que para escribir un cuento o para diseñar una novela, para elaborar un caso se exige un mínimo de imaginación y fantasía. ” 2

Aspectos relevantes en la redacción de un caso:

Los siguientes aspectos, algunos de los cuales ya han sido expresados con anterioridad, nos pueden guiar en el

2 “Estudio de casos como técnica didáctica”. Dirección de Investigación y Desarrollo Educativo Vicerrectoría Académica, Instituto Tecnológico de Estudios superiores de Monterrey , Méjico

desarrollo de un caso de estudio, en el sentido de tenerlos presentes cuando nos proponemos diseñarlo:

??Adecuar el caso a los objetivos del curso que se

imparte, de modo tal que tenga sentido para los alumnos en la medida en que reconozcan en él los contenidos de aprendizaje de su curso.

??Partir de un hecho ocurrido en la vida real, disimulando, por supuesto, los detalles de identificación.

??Elaborar un guión en el cual se deberá determinar quién es el protagonista, el entorno en el cual se desarrolla la problemática, hechos o personas que influyen en la misma.

??Situar el problema concreto en el centro del caso y definir si conviene manifestarlo claramente o disimularlo en la redacción, de modo que el grupo pueda proponer diversas hipótesis.

??Plantear si el caso amerita una única solución o bien puede tener varias alternativas válidas.

??Promover en los alumnos, si corresponde al caso, la reflexión sobre juicios éticos o de valor que surjan de las diversas alternativas.

??Someter el caso a la evaluación de otros docentes de la misma asignatura a fin de validarlo.

??Escribir las preguntas críticas que guiarán al alumno en las diversas etapas del proceso de resolución del caso y sus posibles respuestas.

Sintetizando, las características de un buen caso

serían:

?? Tener objetivos de aprendizaje ?? Ser reales ?? Ser relevantes para los estudiantes, de su interés

profesional y laboral ?? Ser contemporáneos ?? Ser controversiales, que motiven el debate grupal.

Rol de los docentes

El profesor, en la discusión del caso, tiene generalmente un papel pasivo en lo referido a la transmisión de los conocimientos. Pero, también, tiene un papel muy activo e importante como moderador y

motivador de la discusión. Por ello, no debe en absoluto intervenir personalmente dando la propia opinión. Sus actitudes mostrarán comprensión de sí y del otro, confianza inteligente en los demás, coherencia y capacidad de promover cambios, inteligencia emocional, empatía. Sus competencias abarcarán aspectos de índole:

?? Técnica: práctica y destrezas respecto del saber y del saber hacer.

?? Metodológicas: estrategias didácticas y de resolución de situaciones no comunes

?? Social: capacidad para coordinar el trabajo grupal, la comunicación, la participación y la interacción con el grupo. Aceptación de responsabilidades.

En este proceso el docente actúa como coordinador

de los aprendizajes, su función es promover el aprendizaje colaborativo y es un soporte que guía, presenta casos a resolver, para decidir entre opciones; realiza el informe de seguimiento del alumno y su evaluación basada en la participación de los mismos, individualmente y como grupos, la resolución de la propuesta sobre la base de las preguntas críticas que se les formularan, las decisiones y conclusiones presentadas.

"El aprendizaje cooperativo se define como un proceso de aprendizaje que enfatiza el grupo o los esfuerzos colaborativos entre profesores y estudiantes. Destaca la participación activa y la interacción tanto de estudiantes como profesores. El conocimiento es visto como un constructo social, y por tanto el proceso educativo es facilitado por la interacción social en un entorno que facilita la interacción, la evaluación y la cooperación entre iguales.” (Hiltz y Turoff, 1993)

Rol de los alumnos:

Los alumnos deberán tener conocimientos previos sobre el tema de discusión, por lo que conviene plantear el caso una vez finalizado un eje temático. Deberán asimilar el método y trabajarlo individualmente y en equipo, realizando una lectura comprensiva del planteo y de las preguntas que se les han formulado para guiarlos en la

resolución. Asimismo, participarán expresando sus opiniones y escuchando las de sus compañeros de grupo. Efectuarán las preguntas pertinentes que les surjan respecto de la información obtenida si les parece insuficiente, así como respecto de los procesos que deberán ir desarrollando a medida que se involucran en la problemática y su resolución tratando de llegar a un consenso dentro del grupo sobre la base de un debate inteligente sobre el tema. Una vez que han llegado a la resolución del caso expresarán sus conclusiones. También puede ser relevante que, desde una perspectiva pedagógica, hagan su propia reflexión sobre los logros de aprendizaje alcanzados. Como se advierte de lo expresado anteriormente, el rol de los alumnos es esencialmente dinámico, se espera de ellos que adquieran una actitud responsable, autónoma, reflexiva y crítica respecto del aprendizaje, que desarrollen una participación colaborativa en el trabajo grupal y aprendan a fundamentar sus criterios y sostener discusiones en el debate con sus pares y docentes. Asimismo, se espera que las relaciones que desarrolle el estudiante de los procesos de aprendizaje con su propia práctica le permitan adquirir competencias necesarias para su desempeño profesional y laboral. Evaluación de los trabajos

Al responder a las preguntas críticas que se les formulan, el proceso de pensamiento de los alumnos se vuelve explícito. Ellos:

?? definen los problemas, ?? clarifican dudas, ?? ponderan las alternativas, ?? escogen un curso de acción, ?? eventualmente, evalúan su proceso de aprendizaje.

Las habilidades demostradas, que integran la reflexión

crítica y que requiere de ellos la utilización del conocimiento práctico y teórico, deben ser evaluadas.

Para evaluar el progreso en los aprendizajes, puede resultar útil dividir las habilidades de un análisis de casos en tres partes:

?? identificación de los hechos,

?? identificación del problema, ?? solución del mismo. El profesor indicará qué tareas deberán realizar los

alumnos que luego se tomarán en cuenta para su evaluación, tales como, según el caso y a modo de ejemplo:

1. Elaboración de alguna actividad previa a la discusión del caso, tal como búsqueda de mayor información sobre el tema.

2. Entrega de alguna tarea individual antes del debate grupal (resumen, reporte, cuadro sinóptico, mapa conceptual, etc.).

3. Participación de los alumnos en la discusión (intervenciones, planteamiento de dudas, aporte de información, motivación a los compañeros para participar).

4. Actividades posteriores a la discusión del caso (tarea final, resumen, conclusión individual o de equipo, etc.).

A todo ello se le asignará un porcentaje en el total

de la evaluación que formará parte de la calificación final.

Es conveniente que los alumnos tengan claros los objetivos de aprendizaje que se desean lograr, los aspectos que se tomarán en cuenta para la evaluación y la ponderación de los mismos para lograr la aprobación.

Es recomendable que el profesor elabore un formulario que le permita registrar la evaluación a lo largo del proceso. A modo de ejemplo, queremos ilustrar nuestro trabajo con algunos casos que hemos llevado al aula, en los cuales se presentan distintas situaciones que hacen a la práctica de nuestra asignatura:

Una PYME en problemas La firma Cerro Azul es una empresa familiar (Pyme) creada en el año 1995 y su actividad es la fabricación de muebles metálicos y de madera. Se reúnen, para analizar las alternativas de financiación para la adquisición de una

nueva máquina que se deberá adquirir en el exterior por no haber un productor local, el director de la firma, que es el socio mayoritario, el gerente de ventas y el contador.

Director: ¡El proyecto es excelente! Así lo demuestran los datos del encargado de producción: con esta nueva maquinaria y utilizando el mismo personal de que se dispone, nos evitaríamos la tercerización de partes de muebles que requieren un formato más moderno y funcional (curvatura de las formas de escritorios, de mesadas, de mesas especiales de computación para empotrar monitores, etc.).

Contador: Debemos obtener el financiamiento necesario y al menor costo posible.

Gerente de Ventas: En cuanto al mercado, no hay problemas, esta nueva línea de productos es actualmente la más demandada en el mercado. Éste absorbería la posible producción sin que se vea afectado el precio final.

Contador: En cuanto al problema del financiamiento ¿Volvemos a la deuda bancaria o buscamos otras herramientas financieras, como ser el leasing? Pues creo difícil dada la situación (empresa de familia) pedir aportes de capital. Por otra parte tengo entendido que el Ministerio de la Producción de la Provincia de Buenos Aires está subsidiando las tasas que cobra el Banco Provincia para empresas radicadas en ese territorio. Nuestra empresa reúne todas las condiciones exigidas para ser beneficiaria de la línea, entre otras, Fuerza Pyme3 que cuenta con tasas sumamente convenientes.

Director: Bueno a no aflojar, entonces es cuestión de reunir toda la información a fin de evaluar el menor costo financiero en los distintos proyectos de endeudamiento, pues sabemos que tenemos una empresa sólida con un buen producto requerido por el mercado y que nuestros clientes lo reconocen. ¡¡¡Adelante!!!

3 http://www.fuerzapyme.mp.gba.gov.ar/

Preguntas críticas

?? ¿Cuáles son las alternativas de financiamiento que existen en el mercado interno e internacional para la compra de un bien de uso?

??¿Bajo qué pautas se desarrollará el caso planteado, en cuanto a tipo de moneda, línea de endeudamiento?

??Si recurre al crédito del exterior, ¿qué riesgos asume la empresa puesto que el pago de las cuotas de servicio deberá efectuarse en dólares o euros y la empresa coloca sus productos en el mercado interno, cobrando en pesos?

??Si, en cambio, recurre a la línea Fuerza Pyme ¿cuál sería el costo teniendo en cuenta los gastos de otorgamiento?

??Suponiendo que la empresa posee una cartera considerable de cheques diferidos y puede recurrir al descuento de los mismos, ¿cuál sería el costo de esta alternativa?

??Y en el caso de tener facturas pendientes de cobro puede recurrir al factoring, ¿cuál es su costo?

??Reunidas las diferentes fuentes de financiamiento y obtenido el Costo financiero total de cada una de las alternativas debata con sus compañeros de grupo ¿Cuál sería la mejor resolución del caso?

??Teniendo en cuenta las expectativas del director: “evaluemos el menor costo financiero en los distintos proyectos de endeudamiento”, ¿cree Ud. que en todos los casos el menor costo financiero corresponde a la mejor alternativa?

Al no existir una única respuesta posible, la importancia de la propuesta se centra en la construcción del conocimiento colaborativo y cooperativo, basada en la discusión y fundamentación características del debate.

Reduciendo costos

María Constanza, luego de hacer su habitual recorrida por la planta industrial en la cual es la socia gerente con participación mayoritaria, se dirigió a su oficina. Una idea le daba vueltas, mientras pensaba en la actual coyuntura: un incremento del 9% anual del Producto Bruto Interno, que se reflejaba en un aumento de

la demanda en su rubro, fabricación de cerraduras desde hace 20 años, pero, que no se daba en la misma proporción en sus propias ventas. La competencia estaba saliendo al mercado con mejores precios y condiciones.

En ese momento suena el interno, su secretaria le comunica que el principal proveedor de chapa está en el teléfono. María C: Hola Alberto, ¿qué tal, cómo estás, cómo estuvieron tus vacaciones?, Alberto: Mejor imposible. Pero, tengo una noticia no tan buena para Uds. María C.: Ya me imagino, y ahora ¿qué aumento me vas a comunicar? Antes de irte fue un 10% y ahora tenés que pagar el viaje y yo.... Alberto: Sabés que no es así, a mí me conviene menos que a vos que la chapa siga aumentando, pero lamenta-blemente la última entrega que todavía está pendiente de pago la tengo que facturar con un 5% más, por ahora. María C.: Está bien, espero la factura.

Cortó la comunicación y se puso a pensar: algo tenía que hacer que le permitiera reducir los costos, aún cuando la Mano de Obra se había incrementado y los insumos también. Un aumento de precios no era la solución, ya que ella sabía que la competencia no lo estaba considerando. Sacó del cajón de su escritorio un folleto de una máquina que le permitiría reducir los costos de fabricación. La velocidad con que evaluaba las posibilidades para la compra de esa máquina y las probabilidades de generar mayores ingresos era vertiginosa. En pocos segundos llamó a su secretaria: Marisa: Comunicame con el encargado de producción. María C.: Guillermo, ¿te acordás de la máquina sobre la que estuvimos hablando días pasados y que fuiste a ver? Bueno, necesito tu informe sobre los ahorros anuales que su adquisición produciría en la producción. Guillermo: Lo tengo casi listo: hay ahorros en los costos de mano de obra y menores desperdicios de materia prima. Mañana te lo entrego. María C.: Tenés que considerar un 5% más en el precio de la chapa. Guillermo: Bueno, tengo los cálculos en Excel, así que es apretar un botón. María C.: Marisa, comunicame con la contadora. María C.: Hola, Alicia, mañana te envío por fax el informe de producción referido a la compra del devanador,

enderezador y enrollador FVD para que lo estudies y cuando vengas el jueves lo analizamos juntas. Alicia: Necesito que vayan averiguando a qué precio se pueden vender los equipos viejos y no te olvides de hablar con el gerente del Banco Industrial con respecto a la financiación, monto del crédito al que se podría acceder y tasa nominal anual.

El jueves, el informe de Guillermo ya estaba sobre el escritorio de María C. y mientras esperaba a la contadora se puso a leerlo: Precio de venta de las máquinas usadas: $ 70.000.- La nueva máquina se puede comprar e instalar por $ 480.000. Tiene una vida útil de 8 años, al final del 9º se puede vender en $ 40.000.- Esta máquina se amortizará en 5 años a partir de su puesta en marcha, a razón de un 20% anual. Debido a su mayor eficiencia se esperan ahorros anuales de $120.000. Se efectuarán la venta de las usadas y compra de la nueva en el mismo momento y entrará en funcionamiento en el año siguiente

En ese momento llega Alicia, que ya había analizado el informe de Guillermo al que le agregaba que las máquinas viejas tienen Valor libros (residual) de $ 120.000.- La amortización anual de las mismas asciende a $15.000.- y le quedan todavía 8 años de vida útil y depreciable. Por otra parte, decía: “la compañía tiene ganancias suficientes como para absorber cualquier quebranto impositivo generado por esta operación”. La tasa del impuesto a las ganancias es del 35% y vamos a considerar en la evaluación de esta inversión, que se abonará en el año en que la ganancia se produzca.

María C., por su parte, ya había conversado con el gerente del Banco Industrial que, en cuanto a los créditos, le ofrecía dos líneas de préstamos, uno por sistema francés por $210.000.-, a devolver en 8 cuotas anuales vencidas valuadas a una tasa del 1,0235% efectiva mensual y otro por $200.000.- por sistema alemán, a devolver también en 8 cuotas anuales vencidas al 0,8734% mensual efectivo de interés. Alicia: Yo creo que la reducción en los costos es considerable María C.: Sin embargo, tengo algunas dudas. En principio he estado pensando que, dadas las tasas que cobran los bancos, yo necesito partir de una rentabilidad mínima del 15% anual sin financiación. ¿Te parece bien? y si se agrega la financiación ¿que puede ocurrir? Convendría plantear esa alternativa y ver si mejora o no la rentabilidad.

Alicia: Ahora que tengo todos los datos, voy a preparar una evaluación de la inversión a fin de determinar los flujos anuales netos incrementales y determinar si la rentabilidad de la operación supera ese mínimo que vos planteás. A partir de ahí voy a considerar si ésta mejora o no con la financiación que te ofrecen los bancos.

A primera vista, Alicia consideraba que la operación podía calzar perfectamente. Preguntas críticas: ??¿Cuál es el objetivo de María C.? ??¿Qué entiende usted por ahorros incrementales? ??¿Cómo juegan las amortizaciones en este esquema? ??¿Cómo se determina la base imponible del impuesto

a las ganancias? ??¿En qué consiste el ahorro impositivo? ??¿Puede con estos datos determinar los flujos netos

anuales incrementales? ??¿Qué tasa de corte utiliza para el análisis? ??¿Qué métodos conoce para medir el resultado de

este proyecto? ??¿Cubre el resultado las expectativas de María C.? ??Si a estos flujos netos incrementales anuales le

incorporamos la financiación, ¿qué incidencia tiene en la rentabilidad?

??¿Puede usted justificar que el comentario de la contadora: “la operación podía calzar perfectamente” ha quedado demostrado?

??¿Cree usted que el desarrollo del caso puede ser transferido a su práctica laboral?

A modo de conclusión: Si bien esta técnica requiere una preparación específica por parte del docente, también plantea un desafío en formas nuevas y diferentes. Sus beneficios educativos y humanos se ponen en evidencia en el aula, al proponer en el proceso de enseñanza y aprendizaje que el alumno realice su propio recorrido en la resolución de una situación cercana a la realidad. Una reflexión de Dewey (1964), sintetiza nuestro pensamiento acerca de la utilización de este método: “El explorador como el aprendiz, no sabe qué territorios ni qué aventuras encontrará en su viaje. Aún tiene que descubrir montañas, desiertos, manantiales (...) Finalmente, cuando

regresa de su viaje, posee un conocimiento, ganado con mucho esfuerzo (...) Entonces puede trazar un mapa de la región. Dar el mapa a otros es dar los resultados de una experiencia (...) Aunque la organización lógica de los temas es la meta del aprendizaje, la lógica de la asignatura no puede adquirir verdadero sentido para el estudiante si éste no participa psicológica y personalmente en la exploración”. Bibliografía

BORDALLO, Isabelle y GINESTET, Jean-Paul: Pour une pédagogie du projet. Paris, France, Hachette Éducation, 1993.

BRUNER, Jerome: “La Educación, puerta de la cultura”, Capítulo 1, Madrid, Visor, 1997. CARBONE, Graciela “Nuevas formas de Organización del conocimiento en la educación superior: Propuestas Curriculares e Institucionales” II Congreso Internacional de Educación –Facultad de Humanidades y Ciencias. Universidad Nacional del Litoral- Santa Fe, 2004. CARBONE, Graciela: “Formas de Organización del Currículo en la Enseñanza Superior” Seminario Diseño y Desarrollo de Materiales para la educación a distancia –Universidad del Centro de la Provincia de Buenos Aires- Secretaria Académica, 2003. CARBONE, Graciela: “Diseño de Evaluación del Proyecto de Servicio Académico Semipresencial Introducción a la Administración de la Universidad de Luján”. COREA, C.y LEWKOWICZ, I: Pedagogía del aburrido. Escuelas destituidas, familias perplejas, Paidós Educador, 2005. HALFEN, Luis: Qué hacer con la Universidad. Reflexiones sobre una reforma universitaria en la era tecnológica, Buenos Aires, Ediciones Corregidor, 2001. HERNÁNDEZ, Fernando: Los proyectos de trabajo: la necesidad de nuevas competencias para nuevas formas de racionalidad”, Educar 26, 39-51 .Universitat de Barcelona, 2000.

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WASSERMAN, Selma: El estudio de casos como método de enseñanza, Buenos Aires, Amorrortu Editores, 1999.

HACIA UN NIVEL ÓPTIMO DE RESERVAS INTERNACIONALES Por el Dr. Alfredo Eduardo Villafañe (*)

El mantener reservas internacionales tiene “costos de oportunidad” y beneficios que aumentan de manera directa con el nivel de las mismas. Por lo tanto, debe existir un nivel de reservas que iguale, en el margen, los costos y beneficios. Ese nivel se conoce en el análisis económico como nivel óptimo de reservas internacionales.

La idea anterior ha sido formalizada de la siguiente manera: Sea R* el “nivel óptimo” de reservas internacionales. Éste es el nivel de reservas que minimiza la función de costos esperados C:

(1) C = p.C0 + (1-p).r.R , donde

p es la probabilidad de crisis externa,

C0 es el costo de la crisis externa, medido como proporción del PBI, y

r.R es el “costo de oportunidad” de mantener reservas internacionales.

Esta formulación, sustentada por Ben Bassat y Gottlieb (1992), es estándar y supone que una crisis externa se traduce en un agotamiento de las reservas internacionales. Si se piensa que el costo de oportunidad r.R es el mismo con crisis o sin ellas (es decir, que las reservas no disminuirían en una crisis), la especificación del costo total de mantener reservas cambiaría a C = p.C0 + r.R

(*) Profesor Titular Consulto de Macroeconomía y de Fluctuaciones Económicas en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón.

En este caso, las reservas óptimas podrían ser mayores que las estimadas aquí si se cumplen las siguientes condiciones:

p’(R)< 0 p’’(R)> 0 y r/C0 < r.((1-p)/(C0 - r.R)

Con las especificaciones utilizadas en este análisis, los parámetros estimados y los rasgos relevantes de las variables, estas condiciones se cumplen. A su vez, la probabilidad de crisis externa p, depende de indicadores de liquidez internacional (por ejemplo, las relaciones reservas sobre importaciones o reservas sobre amortizaciones), de indicadores de solvencia (v. gr., la relación deuda/exportaciones), del grado de apertura de la economía, y de otras variables macroeconómicas y financieras.

La descripción de las causas de las crisis externas sugiere, de manera directa, algunos aspectos de política económica. En particular, según lo expresado anteriormente, los países deben:

a) mantener altos niveles de reservas internacionales b) no permitir tasas de cambio reales fuera de lo que

corresponde al contexto, ni altos niveles de déficit en la cuenta corriente

c) fortalecer al máximo la regulación y la supervisión del sistema bancario

d) cuidarse del endeudamiento externo de corto plazo y de la exposición al riesgo cambiario en general

e) ser más cauteloso de lo normal si el país pertenece a una zona económica o geográfica vulnerable

f) no permitir niveles altos ni crecimientos acelerados de la deuda pública.

Un análisis especialmente interesante sobre estos

temas se encuentra en M. Feldstein, NBER, Working Paper, No. 8837.

La caída del nivel de reservas aumenta la probabilidad de crisis al deteriorarse los indicadores de liquidez internacional. La forma utilizada para representar esta probabilidad es:

(2) p = ef / (1 + ef) ,

donde el exponente f puede tomar , entre otras, las siguientes dos formas funcionales: (3A) f = /

0 1 2 3.ln( / ) . .D XR M e m? ? ? ?? ? ?

El modelo que utiliza la expresión (3A) fue originalmente estimado por Oliveros y Varela (1994). En esa especificación, se privilegia el papel de los impactos sobre la cuenta corriente de la balanza de pagos en la determinación de las crisis externas.

Por su parte, el modelo que emplea la expresión (3B) enfatiza la idea de que en un mundo con movilidad de capitales las crisis externas surgen de choques en la cuenta de capitales de la balanza de pagos (véase, por ejemplo, Mulder y Bussiere, 1999; Greenspan, 1997; Guidotti, 1997). Por esta razón, en la ecuación empleada se reemplaza la relación reservas/importaciones por la relación reservas/amortizaciones de deuda externa. Adicionalmente, la expresión (3B) incorpora el término “spread” para representar la posibilidad de crisis por “contagio”.

En dichas expresiones son:

R/M = la relación entre reservas internacionales R e importaciones M

R/A = la relación entre reservas internacionales R y amortizaciones de corto plazo de la deuda externa A

D/X = la relación entre la deuda externa total D y las exportaciones totales X

m = la razón de importaciones a PBI

Spread = coeficiente de riesgo de las economías emergentes (EMBI+).

Con base en la estimación de la probabilidad p, se

calcula el costo esperado de una crisis.

BIBLIOGRAFÍA BEN-BASSAT, Abraham : Optimal international reserves

and sovereing risk, 1992.

OLIVEROS Y VARELA: Consideraciones sobre el nivel óptimo de reservas internacionales, 1994. FELDSTEIN, M.: Economic and financial crisis in emerging market economies: overview of prevention and management, NBER working paper 8837, Cambridge, Ma., USA, 2002. MULDER Y BUSSIERE: External vulnerability in emerging market economies: how liquidity can offset weak fundamentals and the effects of contagion, FMI, 1999.

INDICADORES SOCIALES: ALGUNAS CONSIDERACIONES INTRODUCTORIAS Por el Lic. Jorge N. Pertica(*)

El presente trabajo tiene como objetivo efectuar algunas reflexiones introductorias sobre dos indicadores sociales considerados entre los más relevantes que se utilizan en la actualidad: el Índice de Desarrollo Humano y el Índice de Gini.

ÍNDICE DE DESARROLLO HUMANO

- Este índice (IDH) es una propuesta originada en el Programa de Naciones Unidas para el Desarrollo (PNUD). En su comienzo, este indicador establece límites normativos para el cálculo de sus valores con el fin de facilitar comparaciones entre naciones, regiones o segmentos sociales y entre diferentes períodos de tiempo.

El Índice del PNUD se compone de tres elementos de igual ponderación:

- Salud (medido a través de la esperanza de vida al nacer)

- Educación (referenciado en dos tercios por la tasa de analfabetismo y un tercio por la tasa combinada de matriculación primaria, media y superior; y

- Nivel de vida (estimado a través de un ajuste denominado “utilidad del ingreso per cápita”, en dólares estadounidenses según paridades de poder adquisitivo).

Para dar una explicación práctica sobre como se elabora este índice, utilizaremos el caso de la Provincia de Buenos Aires, donde hace tiempo se realizó una adecuación de indicadores disponibles del Censo de Población, Hogares y Viviendas 2001 y también otras fuentes censales previas, y

(*) Profesor Titular Extraordinario de Microeconomía y del Seminario de Problemas Económicos, y Director del Instituto de Investigaciones Económicas (Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón)

la información provista por el Ministerio de Salud de la Provincia para elaborar el índice mediante los siguientes pasos: 1°). Se calcula el índice estimado de Salud (I(S)) por medio de la siguiente fórmula: I(S)=((0,5714*S(Tmi)+0,2857*S(Rs)+0,1429*S(Cs))–25)/60 , en la que cada componente S ( I ) se calcula de la siguientes forma: S (TMS ) = - 0,41 * TMI + 80,5 , donde TMI es la tasa de mortalidad infantil. S (RS) = - 0,3333 * RS + 78,9 , donde RS es el riesgo sanitario, estimado a través del porcentaje de población en hogares con inodoro sin descarga de agua o sin inodoro. S (Cs) = 0,16 * CS + 81,2 , donde CS es el porcentaje de población sin obra social, plan de salud privado o mutual. 2°). Se calcula el índice estimado de educación (I (E)) mediante la siguiente fórmula: I(E) = 2/3 * E (Alf) + 1/3 * E (Esc) donde cada componente E(I) se determina como se detalla a continuación: E( Alf) = Tasa de alfabetismo de la población de 10 años y más. E(Esc)=(EscA+6*EscB+3 EscC+3* EscD+3 EscE ) / 15 Aquí EscA es la tasa neta de escolarización de 5 años, EscB, la de 6 a 11 años, EscC, la de 12 a 14 años, EscD, la de 15 a 17 años y EscE, la de 18 a 24 años. 3°). Se calcula el índice estimado de nivel de vida (I ( Nv )) I (Nv)=(log (Nv) – log (100)) / (log ( 40.000 ) – log (100 ), con Nv = ( nv ( v ) + 3 * nv ( NBI ) + 2 * nv (JHD)) / 6 , fórmula en la que cada componente nv( I ) se calcula de la siguiente manera: nv (v) = 450 * V – 36.600 (“V“ es el porcentaje de población que reside en casas tipo A o en departamentos) nv( NBI )= -692 * NBI + 23.800 (“NBI” es el porcentaje de población que vive en hogares con Necesidades Básicas Insatisfechas)

Nv( JHD ) = -650 * JHD + 27.250 (“JHD” es el porcentaje de Jefes de Hogar Desocupados)

Finalmente se estima el Índice de Desarrollo Humano: IDH = (I ( S ) + I ( E ) + I ( NV ) ) / 3 Como comentario final podemos decir que la información puede ser analizada en términos globales o de cada uno de sus 3 componentes y que el resultado de varios períodos permite conocer la evolución de los mismos y su vinculación con las políticas aplicadas en cada área. ÍNDICE DE GINI

El coeficiente de Gini es una medida que se elabora a partir de la curva de Lorenz. Ésta representa la distribución acumulada creciente de los ingresos según la acumulación creciente de la población que lo percibe. La hipótesis de una distribución homogénea de ingresos conduciría a que la curva resultara ser una diagonal de 45 grados; a un cierto porcentaje de ingresos de la sociedad le correspondería exactamente el mismo porcentaje de población considerada. El coeficiente de Gini expresa la desigualdad según el grado de separación entre la curva de Lorenz correspon-diente a los datos actuales respecto de la diagonal de 45 grados. Se calcula tomando la superficie que separa la línea de distribución perfecta de la línea de distribución real, lo cual puede arrojar un valor de 0 a 1 y se explica “a mayor valor, mayor desigualdad en la distribución del ingreso”(Ver gráfico).

Gráfica de Gini

La manera usual de calcular el coeficiente de Gini para

datos agregados surge de descomponer el área en una serie de triángulos y rectángulos que, sumados convenientemente, entrega como una fórmula cuya evaluación sólo depende de la información que normalmente se incluye en una tabla de distribución de frecuencias como la obtenida:

Por Ej: G= 1- 1

1

( )m

i i i

i

p Q Q ?

?

??

En un análisis más pormenorizado de este indicador deberíamos incluir el concepto de densidad en las superficies consideradas; sin embargo, este concepto no afecta seriamente los datos básicos obtenidos.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES CON ORDENADA REAL Y ABSCISA COMPLEJA Por el Lic. Juan Carlos López(*)

La idea de este tipo de representación nace del estudio del gráfico de la función

2z u? ,

cuya representación gráfica usual es:

Figura 1

Con este gráfico se puede resolver una ecuación del tipo 2u K? (1) con solo trazar una recta paralela al eje u a una altura K. Esto da un resultado si K>0, pero no lo da si K<0, lo que hace pensar que este gráfico es incompleto, que le falta información, porque la ecuación (1) tiene dos raíces aun cuando K<0, aunque tales raíces son imaginarias. Surge, entonces, la idea de hacer un gráfico en el que continúe la parábola de la Figura 1 hacia abajo. Para ello tratamos de encontrar valores de u que hagan negativo a 2u . Si 2u = -1, sería u= i? . Si 2 4u ? ? , sería 2u i? ? . Esto nos obligaría a

(*) Profesor de la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón

representar a u en un plano complejo y tendríamos el siguiente gráfico:

Figura 2

donde hemos puesto como “eje” de abscisas al plano u = x + iy . La parábola superior es la de la Figura 1. La parábola inferior es perpendicular a la superior y está dibujada en línea de trazos (está contenida en el plano yz). Visto desde el eje z+ se tendría (Figura 3)

Figura 3 Podríamos probar con 3z u? , o, más bien 3( )z x iy? ? . Obtenemos (Figura 4):

? parábola inferior

? parábola superior

Figura 4

Aquí son tres parábolas cúbicas ubicadas en planos verticales, que forman ángulos de 120° entre sí. Vistas desde el eje z+ se tendría (Figura 5):

Figura 5: Observamos que, en forma similar al caso de la parábola z = 2u , en el que hay dos líneas debajo del plano xy, aquí hay tres líneas por encima del plano xy y tres por

debajo. Se puede demostrar que esto es general para los puntos en que es nula la primera derivada y para los puntos en que son nulas la primera y la segunda derivadas. Lo de las derivadas trae una nueva complicación, porque su definición debería ser, en cierta forma, similar a las de las curvas tridimensionales; pero a diferencia de éstas, que necesitan dos valores, la nuestra tendría un solo valor. Por ejemplo, en la parábola inferior de la Figura 2, la derivada en el punto (i, -1) sería

? ?2 2( ) ( )

2( )

0

i y y iylím i y

iyy

? ? ??

?? ?

Nos convendría tomar como referencia cada línea que, mientras no llegue a un lugar de derivada nula, nunca se bifurca ni desaparece, cosa que puede demostrarse por medio de la derivada, que es única en cada punto, si la función es analítica. Omitimos, por ahora, la demostración, para no alargar demasiado este trabajo. Así como en la parábola de segundo grado dos líneas que llegan a un punto que tiene derivada nula lo hacen con un ángulo de 180º entre sí y dan origen a dos líneas perpendiculares a las anteriores que salen hacia abajo, en la parábola de tercer grado, a un punto de derivadas primera y segunda nulas llegan tres líneas desde arriba que forman ángulos de 120º entre sí y salen otras tres líneas hacia abajo que forman ángulos de 120º entre sí y de 60º con cada línea de las superiores. Esto ocurre en cualquier lugar del espacio en que se anulen las derivadas primera y segunda. Si se cortan las líneas con un plano z = cte., siempre se lo hace en dos puntos en la de segundo grado y en tres puntos en la de tercer grado. En general, puede demostrarse que, si en un punto del espacio se anulan todas las derivadas hasta la (n-1)ésima y es no nula la enésima, llegan a ese punto n líneas desde arriba que forman entre sí un ángulo de 360º/n cada una con la contigua y salen hacia abajo n líneas que forman, también, un ángulo de 360º/n entre sí y de 360º/2n con las de arriba. También aquí, un plano z = cte. corta a las líneas en n puntos, cualquiera sea el valor de la constante.

Si en vez de una función polinómica se tiene una función trascendente, el resultado es el mismo. Se presenta una dificultad digna de mención en casos como cuando z= 1/u , ya que ésta toma valor infinito para algunos puntos. Teorema fundamental del Álgebra Este teorema dice que todo polinomio entero de grado n , de coeficientes complejos cualesquiera, igualado a cero, tiene n raíces complejas. De acuerdo con lo visto anteriormente, bastaría demostrar que la ecuación Pn(u) = K (3) con K real positivo suficientemente grande, tiene n raíces. En efecto, si Pn(u) = ao.un + a1.un-1 +...+an , donde a0, a1, ... ,an son números complejos cualesquiera, tendremos en (3) : 1

0. 1. ...n nna u a u a K?? ? ? ?

y, si K es suficientemente grande, también lo será el valor absoluto de u, hasta el punto que a0..un predomine sobre los otros términos, o sea

1 20 1 2. . . ...n n n

na u a u a u a? ??? ? ? ?

y se tendrá la ecuación 0 . na u K?? ? , con ? pequeño respecto de K. Se tendrá

u = 0

nK

a??

(4)

y se pueden encontrar exactamente las n raíces de (4), dando a ? el valor cero y luego aplicando un proceso de iteración. Ahora bien, estas n raíces u1, u2, ...,un complejas, situadas en los puntos (uk.zk), con zk = Pn(uk), son las raíces de (3). Esto significa que el plano z = K está atravesado por n líneas que llegarán al plano z = 0 y lo cortarán en n puntos, que serán las raíces de la función Pn(u) = 0 (Figura 6)

Figura 6 Si justamente en z = 0 hay algún punto de intersección de una de esas líneas que tenga derivadas nulas hasta la de orden (m-1), en tal caso convergerán a ese punto m líneas y se tendrá una raíz m-ple, que se contará como m raíces. En total, contando las raíces múltiples, el número de raíces será n, como queríamos demostrar.

LA PROGRAMACIÓN META SECUENCIAL INTERACTIVA(*) Por el Ing. Luinor E. Vilches(**)

Para resolver un problema de programación lineal con metas múltiples se requiere, en muchos casos, que el tomador de decisión fije, desde el comienzo, los valores que aspira lograr para las funciones objetivo del problema, o sea las metas. Esto origina críticas sobre las soluciones halladas, ya que se considera que es muy probable que el tomador de decisión no cuente con toda la información necesaria para que las metas que fija sean consistentes y coherentes, de modo que conduzcan a soluciones no dominadas o Pareto eficientes. Esta circunstancia ha llevado a que se desarrolle una cantidad de métodos multicriterio, entre ellos varios métodos interactivos, como el denominado método secuencial interactivo, de MASUD Y HWANG (1).

Este método se basa en que el tomador de decisión vaya ajustando paulatinamente los valores de las metas que había fijado inicialmente, interactuando con un grupo de soluciones de compromiso, o sea tentativas, determinado por el analista en los distintos pasos del algoritmo de resolución. El mismo consta de diez pasos, cada uno de ellos con una fase de cálculo y otra de evaluación, con las siguientes finalidades:

En la fase de cálculo se determina una solución principal (SP) y un juego de soluciones alternas (SA), que satisfacen cada una de las metas en forma secuencial. En la fase de evaluación, teniendo en cuenta las soluciones halladas en la fase anterior, el tomador de decisión fija nuevos valores para las metas, con los cuales se pasa a la fase de cálculo del paso siguiente.

(*) Del Trabajo de Investigación desarrollado por el autor en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón. Año 2000. (**) Profesor Titular Extraordinario de Investigación Operativa y Director del Instituto de Investigaciones de Matemática Aplicada, en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Morón.

El proceso se repite hasta que en una iteración se obtiene un valor de la solución principal o de alguna de las soluciones alternas que satisface las aspiraciones del tomador de decisión. El problema se plantea con los siguiente sistemas de ecuaciones o inecuaciones, para k funciones objetivo, n variables y m restricciones, con las funciones objetivo dispuestas en orden decreciente, según su importancia o prioridad: Funciones objetivo: máx f1(X) = c11.X1 + c12.X2 + ... + c1n.Xn máx f2(X) = c21.X1 + c22.X2 + ... + c2n.Xn (1) --------------------------------------------------------------- máx fk(X) = ck1.X1 + ck2.X2 + ... + ckn.Xn

Restricciones: a11.X1 + a12.X2 + ... + a1n.Xn ? 0 a21.X1 + a22.X2 + ... + a2n.Xn ? 0 (2) --------------------------------------------------------------- am1.X1 + am2.X2 + ... + amn.Xn ? 0 El algoritmo se desarrolla en la siguiente forma: Paso 0 .- Determinación de los límites de las funciones objetivo En primer lugar, se determinan todos los puntos extremos eficientes o no dominados del sistema (1), cosa que puede hacerse utilizando el programa ADBASE, del Profesor Ralph Steuer(2). A los n valores de X para cada punto extremo le corresponderá un juego de k valores de la función objetivo . O sea que para todo el sistema se tendrá un total de valores de la función objetivo igual a k por el número de puntos extremos. De ese total se separa el subconjunto formado por los k valores máximos de cada función objetivo fimáx, y por los k valores de las otras funciones objetivo que acompañan, en cada punto extremo, a un fimáx. Cada valor máximo fimáx se denomina solución ideal del sistema y, de las funciones objetivo que concurren con él al mismo punto extremo, una de ellas tendrá el valor mínimo. De modo que dentro del subconjunto mencionado

estarán los límites de cada meta entre los cuales debe quedar la nueva meta que fije el tomador de decisión. Paso 1 .- Fijación de las metas iniciales En cada iteración, teniendo en cuenta los límites hallados en el paso 0, el tomador de decisión indica el valor bi deseable para la respectiva meta, debiendo ser: fimín < bi ? fimáx (3) Paso 2.- Determinación de la Solución Principal Si se fija una meta bi a cada función objetivo y se agregan a la misma la desviación por defecto ni y la desviación en exceso pi , con una incidencia o peso wi, esa función se convierte en una restricción de la forma: fi (X) + wi.ni - wi.pi = bi (4) Los pesos wi se toman iguales a las diferencias entre el valor fijado para la meta bi y el límite inferior determinado para la misma, fimín : wi = bi - fimín (5) Este valor se ajusta automaticamente al pasar de una iteración a la otra. Además, se agrega al sistema (1) las restricciones ni ? 1 para asegurar que cada valor de la función objetivo fi(X) nunca sea menor que el límite inferior fimín Ahora, el objetivo es minimizar la suma de las desviaciones en forma secuencial y el modelo matemático, conformado por los sistemas (1) y (2), se transforma en el siguiente: min a1 = in?

min a2 = ip??

sujeto a : a11.X1 + a12.X2 + ... + a1n.Xn ? 0 a21.X1 + a22.X2 + ... + a2n.Xn ? 0 (6) ------------------------------------------------- am1.X1 + am2.X2 + … + amn.Xn ? 0

ci1.X1 + c i2.X2 + … + c in.Xn + wi.ni – wi.pi = bi

ni ? 1

ni , pi ? 0 Paso 3.- Determinación de las Soluciones Alternas En este paso se determinan, partiendo del sistema (6), las soluciones que satisfacen las distintas metas en forma secuencial, para r = 1, 2, ..., k, y calculando los distintos pesos wi por la ecuación (5). Para cada Solución Alterna de orden r, se fija para su desviación por defecto nr el valor cero y se minimiza secuencialmente la suma de las otras desviaciones por defecto y la suma de todas las desviaciones en exceso pi . El sistema (6) se transforma, entonces, en el siguiente:

: mín ar1 = i

i r

n?? (r= 1, 2, ... ,

k) mín ar

2 = ip?

sujeto a a11.X1 + a12.X2 + ... + a1n.Xn ? 0 a21.X1 + a22.X2 + ... + a2n.Xn ? 0 -------------------------------------- am1.X1 + am2.X2 +…+ amn.Xn ? 0 cr1.X1+ cr2.X2+…- wr.pr= br ci1.X1+ ci2.X2+ + cin.Xn + wi.ni – wi.pi= bi para todo i ? r nr , ni ? 1 nr , ni , pi ? 0 Paso 4.- Construcción de la Tabla de Intercambio Esta Tabla (ver página siguiente) permite una mejor visualización del conjunto de datos que se maneja. En el Sector I se colocan los límites de las funciones objetivo, determinados en el Paso 0. En el Sector II, los valores adoptados para las metas en el Paso 1 y en el Sector III, los pesos w adoptados para las desviaciones en el Paso 2. En el Sector IV se registran los valores de las funciones objetivo y de las variables de las soluciones Principal y Alternas, calculados en los Pasos 2 y 3. El Sector V se reserva para registrar las nuevas metas para el Paso 5, si las soluciones del Paso 3 no resultan satisfactorias y el Sector VI, para anotar las desviaciones que se calcularán

en el Paso 6, entre las nuevas metas que se adopten y los valores de la función objetivo de la Solución Principal.

SECTOR FUNC. OBJETIVO f1 f2 .... fk

VARIABLES X1 X2 .... .Xn

I Límites de metas fmáx fmín

f1máx f2máx . ... fkmáx

f1mín f2mín ...... fkmín

II Últimas metas b b1 b2 ..... bk III Pesos w w1 w2..... wk IV Soluciones Principal SP f0

Alterna SA1 f1 -----------------

Alterna SAk fk

f0

1 f02 ...... f0

k

f11 f1

2 ......... f1k

-----------------------------------------

fk1 fk

2 ……. fkk

X0

1 X02 ..... X0

n

X11 X1

2 ........ X1n

------------------------------

Xk1 Xk

2 ....... Xkn

V Metas para iteración sig. b

b1 b2 ...... bk

VI desviaciones ? fj

+ ? fj

-

? fi

+ ……………………. ? fj

- .........................

Paso 5.- Evaluación Se consulta al tomador de decisión si la Solución Principal o alguna de las Soluciones Alternas halladas en el paso anterior es satisfactoria, En caso afirmativo se pasa al Paso 10.- Final. En caso contrario, se le requiere que formule nuevos valores para las metas, teniendo en cuenta los valores límites de la Tabla de Intercambio. Las nuevas metas se registran en el Sector V de esta Tabla. Paso 6.- Desviaciones de la nuevas metas especificadas

El control de consistencia de las nuevas metas especificadas por el tomador de decisión se realiza calculando las desviaciones positivas y negativas de las mismas con respecto a la Solución Principal registrada en el Sector IV. Las desviaciones positivas son:

? fj

+ = bi – fi0 , (7)

para todo i en la que fi

0 < bi

y las desviaciones negativas: ? fj

- = fj0 - bj , (8)

para todo j en la que fj0 ? bj

Paso 7.- Control de consistencia El análisis de consistencia se hace para verificar que, si la solución es realmente no dominada, al mejorar el valor de una función objetivo se produce un detrimento de por lo menos una de las otras. O sea que si hay una o más desviaciones positivas (7), debe haber por lo menos una desviación negativa (8). Paso 8.- Cálculo de la Solución Principal con las nuevas metas Para calcular las soluciones con las nuevas metas, en primer lugar se las separa en dos grupos: el grupo j, de las metas que se han reducido con respecto a la iteración anterior o permanecen sin cambio y el grupo i, de las metas que se han aumentado. Luego se fijan tres prioridades: 1ª.: alcanzar las metas del grupo j, o sea minimizar las desviaciones por defecto de las mismas 2ª.: alcanzar las metas del grupo i, o sea minimizar las desviaciones por defecto de estas metas 3ª.: minimizar las desviaciones en exceso de todas las metas, tanto del grupo j como del grupo i, para asegurar la no dominancia de la solución. Para hallar la Solución Principal X0, f0, se formula el siguiente sistema: mín a1 = j

j

n?

mín a2 = i

i

n?

mín a3 = ,

ji

i j

p p? ??

sujeto a : a11.X1 + a12.X2 + ... + a1n.Xn ? 0 a21.X1 + a22.X2 + ... + a2n.Xn ? 0

------------------------------------------------- am1.X1 + am2.X2 + …+ amn.Xn ? 0

fj (X) + wj.nj – wj.pj = bj para todo j

fi(X) + wi.ni – wipi = bi para todo i

nj , ni ? 1 para todo i y todo j nj , pj , ni , pi ? 0 para todo i y todo j

Los pesos wi y wj de las desviaciones se calculan por medio de la ecuación (5). Paso 9.- Cálculo de las Soluciones Alternas con las nuevas metas Se llamarán a éstas xr , fr , para r =1, 2, ... , k y se formula el sistema: mín ar

1 = j

j

n?

mín ar2 = i

i

n?

mín ar3 =

,

i j

i j

p p? ??

a11.X1 + a12.X2 + ... + a1n.Xn ? 0 a21.X1 + a22.X2 + …+ a2n.Xn ? 0 ------------------------------------------------- am1.X1 + am2.X2+ …+ amn.Xn ? 0 fr(X) – wr . pr = br para i = r y para j = r fj(X) + wj.nj – wj.pj = bj para todo j ? r fi(X) + wi.ni – wi.pi = bi para todo i ? r nj , ni ? 1 para todo i y todo j nj , pj , ni , pi ? 0 para todo i y todo j Con las soluciones halladas se vuelve al paso 4 y se itera el algoritmo. Cuando en la evaluación del Paso 5 el tomador de decisión estima que la Solución Principal o alguna de las Soluciones Alternas que se le presentan es satisfactoria, se traslada al Paso 10 y el proceso concluye.

Los cálculos de las soluciones en los pasos 2, 3, 8 y 9 se pueden realizar con cualquier programa de computación para resolver problemas de programación lineal con un solo objetivo. Paso 10.- Final. BIBLIOGRAFÍA MASUD, Abu S. y HWANG, Ching-Lai: “Interactive Sequential Goal Programming”, Journal of the Operational Research Society, Vol. 32, 1981. STEUER, Ralph E.: Faculty of Management Science, 297 Brooks Hall, University of Georgia-Athens, Georgia , U.S.A., 30602-6255. HWANG, Ching-Lai y MASUD, Abu S.: Multiple Objective Decision Making- Methods and Applications: A State of the Art Survey, Berlin, Springer Verlag, 1979.

INVITACIÓN

Se invita a los Señores Profesores y Docentes en general, a

presentar sus trabajos para incluirlos en los próximos

números de este Boletín, así como las colaboraciones que

deseen. Las mismas pueden presentarse a nombre de esta

dirección en el aula 311 del Edificio Central de la

Universidad.

Por cualquier consulta, comunicarse al teléfono 4659-2417.

Ing. Luinor E. Vilches