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M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (2007)
Aula 14 - (Exp 3.3) -Oscilador magnético forçado amortecido
Manfredo H. TabacniksAlexandre Suaidenovembro 2007
Instituto de Física - USPFGE0213 - Laboratório de Física III - LabFlex
M.H. Tabacniks, A. Suaide, E Madeira - LabFlex - IFUSP (2007)
Aula passada - 3.2: Oscilador Harmônico (amortecido )
Determinamos B local usando uma bobina de Helmholtz perpendicular ao B local,
graficando (tgθ x i) .
Determinamos µ/I de uma bússola através de oscilações livres em campo Β uniforme.
Calculamos I e determinamos µ, o momento de dipolo de uma bússola. Com a bússola
calibrada medimos o campo magnético externo.
Oscilações magnéticas amortecidas
Aula 3.3 Oscilador Magnético Harmônico Amortecido
> Sintonizar a freqüência de oscilação (amortecida) da bússola num
campo Β1 uniforme, com um segundo campo externo B2 = Bo cos ωt.
> Estudar a dependência da freqüência de ressonância ω com B1.
> Estudar o fator de qualidade Q, do oscilador.
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Uma bússola num campomagnético oscila com freqüência
constante.
Oscilações magnéticas amortecidas
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B1 constante e“uniforme”
tBB ωcos02 =
perturbativo
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Oscilações magnéticas amortecidas
B1 constante e “uniforme”Cuidado com o B local
tBB ωcos02 =
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i
a
b
1Fr
2Fr
3Fr
4Fr
Br
i
1Fr
3Fr
b
nr
θ
Br
Frr
rr
×=τ
θττ senBiab
==221
θτ senBiab=
θτ senBabNiN =
( ) BnabiNr
rr
×=τ
Br
rr
×= µτpodemos escrever
Definindo o momento magnético:
nNiabrr
=µ
cuja energia potencial magnética vale
BUr
r
⋅−= µθ )(
Oscilações magnéticas livres
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i
a
b
1Fr
2Fr
3Fr
4Fr
Br
i
1Fr
3Fr
b
nr
θ
Br
Br
rr
×= µτ
Definindo o momento magnético:
nNiabrr
=µ
Energia potencial magnética
BUr
r
⋅−= µθ )(
BBU µµ −=−= 0cos)0(
BBU µπµπ +=−= cos)(µr
µrDeslocar um momento
magnético de sua posiçãode equilíbrio cria torque
restaurador
Oscilações magnéticas livres
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Br
rr
×= µτ
Um imã (uma bússola) pode sermodelado como um momentomagnético (com momento de
inércia) num campo magnético
Energia potencial magnética
BUr
r
⋅−= µθ )(
Deslocar um momentomagnético de sua posiçãode equilíbrio cria torque
restaurador
µrθ
Br
τr
A bússola oscila em tornoda posição de equilíbrio θµτ ..B−≅
θθ ≅sen
Oscilações magnéticas livres
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Deslocar um momento magnético desua posição de equilíbrio cria torque
restaurador
µrθ
Br
τr
θµτ ..B−≅
2
2
dt
dIB
θθµ =−
momento de inérciada agulha da bússola
( )ϕωθθ += t00 cos
BI
= µω0
Oscilações magnéticas livres
...mas existe atrito,a oscilação é amortecida!
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� Existe atrito na bussola que faz com queo movimento seja amortecido◦ Atrito com o ar◦ Atrito da agulha com o pino de
suporte
� Se o coeficiente de atrito for pequenopodemos escrever que o torque éproporcional à velocidade angular
atrito
d
dtτ γ θ= −
NORTE
SUL
N
S
µ
Oscilações magnéticas amortecidas
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Oscilações magnéticas amortecidas
momento de inérciada agulha da bússola
atrito“viscoso” torque restaurador
( )0( ) a i tt e ωθ θ +
=
Solução genérica
02
2
=++ θµθγθ Bdt
d
dt
dI
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( )0
a i tde
d
d dt tωθ θ +
=( )
0( ) a i ta i e ωω θ += + ( )a iω θ= +
22
2( )
da i
dtθ ω θ= +
Oscilações magnéticas amortecidas
dt
dcalculando
θ
2
2
dt
dcalculando
θ
( )0( ) a i tt e ωθ θ +
=
Solução genérica
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Oscilações magnéticas amortecidas ( )θωθia
dt
d+=
22
2( )
da i
dtθ ω θ= +
2a
I
γ= − 2
22
4B
I Iω µ γ
= −2 20 aω= −
2( ) ( ) 0I a i a i Bω θ γ ω θ µ θ+ + + + =
2( ) ( ) 0I a i a i Bω γ ω µ+ + + + =( )
0( ) a i tt e ωθ θ +=
Solução genérica
02
2
=++ θµθγθ Bdt
d
dt
dI
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� Assim, o movimentooscilatório dabússola é
� Tomando a parte realda solução acima
NORTE
SUL
N
S
µ
0( ) at i tt e e ωθ θ=
( )20( ) cos
tIt e tγ
θ θ ω−
=
Oscilações da bússola amortecida( )
0( ) a i tt e ωθ θ +=
Solução genérica
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Movimento de uma bMovimento de uma b úússola em um campo,ssola em um campo,considerando dissipaconsiderando dissipa çãçã oo
� O movimento éoscilatóriomodulado por umaexponencial
( )20 cos
tIe tγ
θ θ ω−
=
20
tIeγ
θ−
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Movimento de uma bMovimento de uma b úússola em um campo,ssola em um campo,considerando dissipaconsiderando dissipa çãçã oo
� Qual a freqüência deoscilação?
� A freqüência é menor doque a obtida se nós nãoconsiderarmosdissipação.
◦ Incerteza teórica nomodelo da aula passada
◦ O nosso experimento temsensibilidade paraperceber estadiscrepância?
20
tIeγ
θ−
22 2
0 24I
γω ω= −
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Movimento forMovimento for ççado e ressonado e resson âânciancia
� A bússola oscila comfreqüência natural dadapor:
� O que acontece seperturbarmos a bússolacom um campo transversaldado por:
22 2
0 24I
γω ω= −
NORTE
SUL
N
S
µ( )0( ) cosT T extB t B tω=
TB
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Movimento forMovimento for ççado e ressonado e resson âânciancia
� Apareceria um novotorque dado por
� A equação de movimentoseria agora
NORTE
SUL
N
S
µ
( )TB t
( )( )sin 90T TB tτ µ θ= − −
2
cos( ) 0ext
d dI B
d dF t
t tθ γ θ µ θ ω+ + + =
)()()( tBtFt Tµτ −==
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Movimento forMovimento for ççado e ressonado e resson âânciancia
� Devemos resolver a seguinte equação diferencial
� A solução pode ser obtida utilizando notaçãocomplexa
� Assim cos( ) Re exti textF t Fe ωω =
0( ) Re exti tt e ωθ θ =
2
cos( ) 0ext
d dI B
d dF t
t tθ γ θ µ θ ω+ + + =2
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Movimento forMovimento for ççado e ressonado e resson âânciancia
� Resolvendo a equação ( ver, por exemplo,Mecânica, K. R. Symon , Oscilador HarmônicoForçado )
� Com:
( )( )
0
1/2222 2 2
0 2
1( ) sin ext
ext ext
Kt t
I
Iθ
θ ω φγω ω ω
= + − + 1444442444443
20 B
I
µω =
Bµ
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Movimento forMovimento for ççado e ressonado e resson âânciancia
� A amplitude deoscilação depende dafreqüência do campoexterno
� E possui um valormáximo◦ Ressonância
( )0 1/22
22 2 20 2
1
ext ext
K
I
I
θγω ω ω
= − +
Bµ
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Movimento forMovimento for ççado e ressonado e resson âânciancia
� A freqüência demáximo de amplitude édada por
� E vale:
0 0ext
d
dθ
ω=
22 21 0 22I
γω ω= −
note que afreqüência deressonânciadepende de γ
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� Fator de qualidade ( fator-Q) da ressonância
� Quanto maior adissipação ( γ),◦ menor a amplitude de
oscilação
◦ Maior a dispersão(largura) do pico deressonância
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Movimento forMovimento for ççado e ressonado e resson âânciancia
� O fator-Q é definidocomo:
� Onde ω1 é a largura dopico de ressonânciapara
◦ Nós vamos ver isto emdetalhes em Lab IV
1~fator Qω
ω−
∆
~2
MAXθθ ω∆
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O que nO que n óós sabemos?s sabemos?
� A freqüência deressonância é dada por
� Ou seja, um gráfico dafreqüência ao quadradoem função do campomagnético dá uma reta
221 22
BI I
µ γω = −
2
22I
γ
ω2
B
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O que nO que n óós sabemos?s sabemos?
� A largura do pico deressonância depende docoeficiente dedissipação◦ Fator de qualidade
1~fator Qω
ω−
∆
ω∆
~2
MAXθθCom ∆ω medidoquando
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Oscilações magnéticas amortecidasUm exemplo
10.4 10.6 10.8 11.0 11.2 11.4 11.6-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Am
plitu
de (
divi
são)
frequência (Hz)
Bússola com agulha brilhanteBobina com 1000 espiras, I1 = 3AB2 em bobina de Helmholtz, 2V
∆f
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Objetivos da semanaObjetivos da semana
� Estudar o efeito de ressonância magnética em umabússola
◦ Estudar como a freqüência de ressonância depende docampo magnético aplicado
� Gráfico de ω2 x B.
◦ Verificar a forma da curva de amplitude em função d afreqüência e determinar o fator de qualidade daressonância
� Gráfico de Amplitude x ω.
� Como?
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Arranjo experimentalArranjo experimental
� Requerimentos para o arranjo
◦ Precisamos criar o campo principal B
� Campo constante e intenso
�Usar corrente contínua nas bobinas
�Usar bobinas de muitas espiras
�Utilizar bobinas de 1000 espiras APENAS!
◦ Precisamos criar o campo perturbador
� Campo oscilante no tempo de freqüência bem definida
�Usar corrente alternada .
�Não precisa ser intenso
�Usar bobina de Helmholtz por questões deacesso ao experimento
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Arranjo experimentalArranjo experimental
� Alinhar bússola com campo local
� Montar as bobinas de 1000espiras em série para formarcampo uniforme na mesma direçãode B local .◦ Posicionar as bobinas o mais próximo
possível uma da outra para que o campogerado seja o mais intenso
◦ Ligar as bobinas na fonte DC
� Posicionar a Bonina deHelmholtz 90º em relação àsbobinas◦ Ligar a bonina no gerador de áudio
(fonte AC)
◦ Selecionar sinal senoidal comamplitude máxima
BLocal
AC
DC
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Procedimento experimentalProcedimento experimental
� Ajuste a corrente DC nasboninas
� Meça o campo magnético com osensor Hall◦ Detalhe importante sobre o campo
� Variar lentamente a freqüênciada bobina de Helmholtz atéobter a ressonância◦ Detalhe importante sobre a medida de
freqüência
� Para a medida de Q, meça aamplitude em função dafreqüência em torno dafreqüência de ressonância.
BLocal
AC
DC
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Sobre a medida do campoSobre a medida do campo
� O campo entre as bobinas não é constante◦ Lembre-se da experiência anterior
� O campo B é o valor médio ao longo da agulha da bús sola◦ E a incerteza em B pode ser estimada como metade da variação
� Para cada medida de campo com o sensor Hall, verifi car omáximo e mínimo de campo sobre a agulha, estimar a médiae incerteza
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� Em geral, procuramos a freqüência de ressonância aumentandolentamente a freqüência no gerador de áudio.
� Este procedimento introduz erros sistemáticos pois sempre temos atendência de medir valores menores que a freqüência deressonância de fato
� Para eliminar estas incertezas sistemáticas, faça o seguinteprocedimento◦ Determinar a freqüência de ressonância pelo lado de baixas freqüências e altas
freqüências, SEM OLHAR PARA O GERADOR. OLHE APENAS PARA A BÚSSOLA
◦ A freqüência de ressonância é a média dos valores obtidos e a incerteza pode serestimada como o desvio entre os valores.
Sobre a medida de freqSobre a medida de freq üêüênciancia
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AtividadesAtividades
� Fazer o gráfico de ω2 em função de B◦ Medir uns 5-7 pontos, variando a corrente nas bobin as entre 0,1 e 1,0 A.
◦ Isto faz com que as freqüências de ressonância fiqu em entre 2 e 25 Hz.
◦ Ajustar o modelo apropriado e determinar as constan tes da bússola
� Medir a curva de amplitude para uma dadaressonância◦ Ajustar o campo para uma freqüência de ressonância entre 8-10
Hz
◦ Medir a amplitude de oscilação da bússola em função da freqüência emtorno da ressonância
◦ Fazer o gráfico de amplitude em função da freqüênci a
◦ Ajustar o modelo adequado com os parâmetros obtidos no item anterior
◦ Determinar o valor do fator-Q.