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ASIGNATURA TRIGONOMETRIA

PROFESORA: Eblin Martínez M. GUÍA Nº 02 GRADO: 10°ESTUDIANTE: PERÍODO:2 DURACIÓN: 20 horas

LOGRO: Resuelve problemas de tipo trigonométrico a través de la resolución de triángulos

rectángulos y la aplicación del teorema de Seno y Coseno.

INDICADORES DE LOGRO: Soluciono triángulos rectángulos encontrando la medida de sus ángulos y lados.

Aplico el teorema de seno y Coseno en la resolución de triángulos rectángulos.

Resuelvo problemas que se modelan a través de triángulos.

OBJETIVO: Desarrollar un proceso de comprensión en la resolución de problemas relacionados

con triángulos.

COMPETENCIA: Resuelvo y propongo situaciones de la vida diaria que tengan solución a través

de triángulos.

RETOS DE INGENIO

SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Solucionar un triángulo rectángulo es hallar la medida de:

Los tres lados

Los tres ángulos

Su perímetro y, Su área.

EJEMPLO. RESOLVER EL SGTE TRIÁNGULO RECTÁNGULO:

SOLUCIÓN: La suma de los ángulos internos es 180º, el ángulo recto sabemos que mide 90º, por lo tanto el ángulo B será: 90º - 36º = 54º.Para hallar el lado b, utilizamos la tangente de 36º: tan 36º = CO = 12 cm

CA bDe donde, b = 12 cm/ tan 36º = 16.52 cm.

La hipotenusa, se puede hallar por teorema de Pitágoras ó por cualquier razón trigonométrica donde intervenga su valor: sen 36º = 12 cm/ c c = 12/sen 36º

c = 20.42 cm.

A C

B

c12 cm

b

c

A C

Ba

b

Perímetro: a + b + c

Area: (base x altura)/ 2

36º

Perímetro: a + b + c = 12 cm + 16.52 cm + 20.42 cm = 48.94 Area: (base x altura)/ 2 = 99.12 cm2

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Nota: Para hallar la medida de cualquier ángulo, teniendo su seno, coseno ó tangente, podemos proceder en la calculadora de la siguiente forma: Shift Tan (sen ó cos) = ( ) Shift “º” = ____. Lo que equivale a encontrar el valor del ángulo mediante la función inversa sen-1, cos-1, tan-1 para ese valor.

TALLER N°1

1. Soluciona los siguientes triángulos rectángulos:

¿Será rectángulo el triángulo ABC?

2. Calcula la medida de la diagonal de un cubo de 4 cm de arista.3. Una escalera de 9 m de longitud se apoya sobre una pared. La escalera

forma un ángulo de 54º con el suelo. Calcula la distancia entre el pie de la escalera y la pared.

4. Las bases de un trapecio isósceles miden 6 cm y 4 cm. El ángulo de la base mide 60º. Calcula el área del trapecio. AT = (B1 + B2 /2) x h.

5. En una carretera para una distancia horizontal de 150 m, se ascienden 12 m. Calcula el desnivel en grados.

6. A cierta hora el sol se observa con un ángulo de elevación de 55º. Calcula la altura de un árbol que proyecta una sombra de 10.89 m.

7. Desde un punto situado 30 m arriba en un faro se observa una pequeña embarcación con un ángulo de depresión de 33º. Calcula la distancia, al pie del faro, a que se encuentra la embarcación.

8. Desde la ventana de un edificio, a 46 m de altura, se observa un automóvil con un ángulo de depresión de 55º. Calcula la distancia que hay desde el automóvil hasta la base del edificio.

9. A cincuenta metros de la base de un edificio se observa la base de la chimenea con un ángulo de elevación de 56º y el punto más alto de la chimenea se observa con un ángulo de elevación de 64º. Calcular la longitud de la chimenea.

10.Desde un avión que vuela a 1860 m de altura se observa una embarcación con un ángulo de depresión de 31º y desde el mismo plano, en sentido opuesto se observa el puerto con un ángulo de depresión de 53º. Calcula la distancia que separa a la embarcación de la costa.

TEOREMA DEL SENO

A C

B

c7

5

A

C

Bc

48

b

A

C

B100

85

80A

CB

c6

52º

A C

B

c a

12

A C

B

c 6,525 a

4 3c

28º

D

Ángulo de elevación Ángulo de

depresión

50 m

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En un triángulo cualquiera, las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos.Para el triángulo, se cumplen cualquiera de las tres relaciones:

EJEMPLO. RESOLVER EL SGTE TRIÁNGULO RECTÁNGULO MEDIANTE EL TEOREMA DEL SENO:

SOLUCIÓN: Utilizando la ley del Seno,

De donde, b = 32.5 cm

Además, C = 180º - (45º + 60º) = 180º - 105º = 75º

Para hallar c, aplicamos el teorema del srno con la ec. 2 ò la ec. 3:

c = 44.5 cm

ACTIVIDAD N°1:1. Resuelve cada triángulo aplicando ley del Seno de acuerdo a los valores

indicados:

a. b = 70 cm, < A = 30º, < C = 105ºb. c = 60 cm, < A = 50º , < B = 75ºc. a = 7cm, b = 6cm, A = 30ºd. < A = 30º, B = 60º, a = 20 cme. a = 10 cm, <B = 53º, c = 12 cm

TEOREMA DEL COSENO

En todo triángulo el cuadrado de la longitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos, menos el doble producto de ellas por el coseno del ángulo que forman dichos lados.

Para el triangulo, se cumplen cualquiera de las tres relaciones siguientes:

a2 = b2 + c2 - 2 b c Cos Ab2 = a2 + c2 - 2 a c Cos Bc2 = a2 + b2 - 2 a b Cos C

EJEMPLO:

Dado el triángulo ABC, si a = 12 cm, b = 8 cm y <C = 36º. Determinar c.Solución.Dibujemos un triángulo y ubiquemos los valores conocidos. Usando la fórmula:

c2 = a2 + b2 - 2 a b Cos Cc2 = (12 cm)2 + (8 cm)2 - 2 (12 cm) (8 cm) Cos 36º

c2 = 52.7 cm2

c = 7.25 cm

c

A C

Ba

b

a = bSen A Sen B

a = c . Sen A Sen C

b = c . Sen B Sen C

A

C

Bc

40 cm

b60º45º

a = bSen A Sen B

40 cm = bSen 60º Sen 45º

b = 40 cm x sen 45º

Sen 60º

a = c . Sen A Sen C

40 cm = c . Sen 60 Sen 45º

c

A C

Ba

b

cA C

Ba = 12 cm

b = 8cm36º

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Con el valor de a, < C, b y c, se pueden encontrar los ángulos A y B mediante la ley de los Senos.

ACTIVIDAD N° 2:

1. Dado el triángulo ABC, resuélvelo en cada caso si:

a) a = 20 cm, b = 30 cm, < C = 45ºb) b = 8cm, c = 5cm, <A = 60ºc) a = 40 cm, c = 50 cm, <B = 120ºd) a = 24, b = 16 cm, <C = 45ºe) a = 21 cm, b = 24 cm, c = 27 cm

REDUCCION DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE

ANGULOS COMPLEMENTARIOS:Tal como ya se ha observado en el tratamiento de ángulos complementarios de un triángulo rectángulo, se comprueba que:Siendo α y β = 90°, sen α = cos β

Cos α = sen βTan α = cot βCot α = tan βSec α = csc βCsc α = sec β

EJEMPLO: Hallemos el valor de las razones trigonométricas senx, cosx y tanx del ángulo 60° tomando como referencia su complementario que es 30°:

Solución: Sen 60° = cos 30° = √3/2Cos 60° = sen 30° = ½Tan 60° = cot 30° = √3

RECORDEMOS LA TABLA DE VALORES PARA ÁNGULOS NOTABLES:

Tomado de: profeoliverlopez.blogspot.com

ANGULOS DE REFERENCIA: Si es un ángulo no cuadrantal, se llama ángulo de referencia r, al ángulo agudo que forma el lado final del ángulo con uno de los semiejes del eje x.

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r = 180° - (1) αr = α – 180° (2)

r = 180° - 135° = 45° αr = 245° - 180° = 65°

INVESTIGA: Cómo se calcula el ángulo de referencia para un ángulo de IV cuadrante.¿Qué son los ángulos coterminales? Traer 5 ejemplos. ¿Qué se puede decir de las razones trigonométricas de ángulos coterminales?

REDUCCIÓN DE ANGULOS DE II CUADRANTE AL I CUADRANTE:

Sean los ángulos suplementarios α y (180° - α), con α un ángulo de II cuadrante:180° < α < 90°

Se definen entonces las funciones trigonométricas para el ángulo α reduciéndolo al I cuadrante, de la siguiente manera:

Por ser complementarios, la función sen x es idéntica y conserva el signo para los dos ángulos:

La función cos x viene de segmentos opuestos con igual magnitud para los dos ángulos suplementarios, por tanto, tienen signos contrarios:

Las funciones tan x y cot x, vienen también de segmentos opuestos con igual magnitud para los dos ángulos suplementarios:

Las funciones secante y cosecante tienen el mismo signo que las funciones sen y cos por ser sus reciprocas:

sen α = sen (180° - α)

cos α = - cos (180° - α)

tan α = - tan (180° - α)

cot α = - cot (180° - α)

sec α = - sec (180° - α)

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EJEMPLO:Calculemos el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo 120°:Solución:

Sen 120° = sen (180° - 120°) = sen 60° = √3/2 cos 120° = - cos (180° - 120°) = - cos 60° = - 1/2 Tan 120° = - tan (180° - 120°) = - tan 60° = - √3 cot 120° = - cot (180° - 120°) = - cot 60° = - √3/3 Sec 120° = - sec (180° - 120°) = - sec 60° = - 2 csc 120° = csc (180° - 120°) = csc 60° = (2√3) /3

REDUCCIÓN DE ANGULOS DE III CUADRANTE AL I CUADRANTE:

Sea β un ángulo de III cuadrante, por ser mayor de 180° y menor de 270° tomaremos como referencia el ángulo β – 180°, el cual resulta ser un ángulo de primer cuadrante que nos sirve para encontrar las funciones trigonométricas de β a través de las relaciones:

EJEMPLO: Calcular los valores de las funciones trigonométricas para el ángulo 225°.Solución:

Sen 225° = - sen (225° - 180°) = - sen 45° = -√2/2 Cos 225° = - cos (225° - 180°) = - cos 45° = -√2/2 Tan 225° = Tan (225° - 180°) = Tan 45° = 1 Cot 225° = Cot (225° - 180°) = Cot 45° = 1 Sec 225° = - sec (225° - 180°) = - sec 45° = -√2 csc 225° = - csc (225° - 180°) = - csc 45° = -√2

REDUCCIÓN DE ANGULOS DE IV CUADRANTE:

csc α = csc (180° - α)

sen β = - sen (β - 180°)

Cos β = - cos (β - 180°)

Tan β = Tan (β - 180°)

sec β = - sec (β - 180°)

csc β = - csc (β - 180°)

Cot β = Cot (β - 180°)

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EJEMPLO: Calcular el valor de las funciones trigonométricas para el ángulo 330°.Solución:

Sen 330° = - sen (360° - 330°) = - sen 30° = -1/2

Cos 330° = Cos (360° - 330°) = Cos 30° = √3/2

Tan 330° = ______________________________ (completar)

Cot 330° = ______________________________

Sec 330° = ______________________________

Csc 330° = ______________________________

1. Determina el valor de las siguientes expresiones (no utilizar decimales):

a. Sen 45° + sen 60°

b. Tan π/4 + sec π/3

c. Sen 90° + tan 45°

d.

e.

f.

g.

h.

2. Siendo α y β ángulos complementarios, determina el valor de sec β si sen α

= 2/5.

3. Hallar el ángulo de referencia para cada uno de los siguientes

ángulos(dibújalos):

a. 135°

b. 420°

c. – 120°

Sen β = - Sen (360° - β)Cos β = Cos (360° - β)

Tan β = - Tan (360° - β)

Cot β = - Cot (360° - β)

sec β = Sec (360° - β)

Csc β = - Csc (360° - β)

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d. – 660°

e. 960°

f. 250°

4. Determinar las funciones trigonométricas de los siguientes ángulos sin usar

la calculadora:

a. 120°

b. – 120°

c. 315°

d. 240°

e. – 300°

f. – 90°

g. 225°

5. Encontrar el ángulo entre 0 y 360° que sea coterminal con ángulo dado:

a. 734°

b. – 100°

c. – 800°

d. 7π /3

6. Determinar el valor de las funciones trigonométricas mediante reducción al I

cuadrante o a través de ángulos coterminales de los siguientes ángulos:

(sin usar calculadora)

a. 150°

b. 3π/4

c. 210°

d. 225°

e. 240°

f. 330°

g. - 60°

h. 750°

i. 315°

j. 2π/3

7. GRAFICA LAS FUNCIONES SENO, COSENO Y TANGENTE DE X:

a. Completa la siguiente tabla de las funciones Seno, Coseno y Tangente.

<0 º - 360 - 330 - 300 - 270 - 240 - 210 - 180 - 150 - 120 - 90 - 60 - 45 - 30 - 15 0SenCosTan

>0 º 15º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360ºSenCosTan

b. Realiza las gráficas de las tres funciones principales en hojas milimetradas. (una por cada hoja).

8. DETERMINA:

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a. ¿Cuál de las funciones anteriores no es continua? ¿En qué puntos esa función no está determinada y por qué?

b. ¿Para qué intervalos la función Seno crece y para qué intervalos decrece?c. ¿Para qué intervalos la función Coseno crece y para qué intervalos decrece?d. ¿Para qué intervalos la función Tangente crece y para qué intervalos decrece?

9. GRAFICAR LAS FUNCIONES SECANTE, COSECANTE Y COTANGENTE

DE X. Describe las características de cada una.

AMPLITUD DE UNA FUNCIÓNEn la gráfica de la función seno, y = sen x, se puede apreciar que los valores de y

oscilan entre 1 y – 1.

La amplitud de una función en un periodo corresponde al valor absoluto de la

semidiferencia del valor máximo y el valor mínimo.

El valor máximo de y = sen x es 1

El valor mínimo de y = sen x = - 1

La amplitud de la función sen x es: A =

RESPONDE: ¿Cuál será la amplitud de la función cos x?

Grafica la función y = 3 senx y determina cuál es su amplitud.

¿Qué son las curvas sinusoidales y cosenoidales?

PERIODICIDAD DE LA FUNCIÓN SENOLa función seno es una función periódica puesto que sus valores o imágenes se

repiten cada cierto intervalo de valores de x. En su gráfica se puede observar que

el periodo de la función y = sen x es 2π. (360°)

¿Qué se puede decir del periodo de las demás funciones trigonométricas?

Observaciones:

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Recopilado y adaptado por: Lic. Eblin Martinez M. Bibliografia: Matematica 2000 10°, Ed. Voluntad, Matemáticas 10° Ed. Santillana.

Aciertos Matemáticos 10° Ed. Norma. profeoliverlopez.blogspot.com