ingreso2013

I.S.F.D. “Insp. Prof. Albino Sánchez Barros” - Profesorado de Matemática CURSO INTRODUCTORIO

2013

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I.S.F.D “Insp. Prof. Albino G. Sánchez Barros”

MÓDULOS:

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

GEOMETRÍA

PROFESORES:

MÓNICA ABALLAY

ALEJANDRO NIETO

PROFESORADO DE MATEMÁTICA

CURSO INTRODUCTORIO 2013


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Vida Intelectual

"El genio es fruto de una larga paciencia, pero una paciencia organizada, inteligente. No hay

necesidad de facultades extraordinarias para realizar una obra; un término medio calificado es

suficiente; la demás es provisto por la energía y sus sabias aplicaciones. Y así vemos el caso de

un obrero probo, ahorrador y fiel al trabajo: este triunfa. En tanto, un genio enfatuado fracasa.

Lo que digo sobre esto, vale para todos; empero la aplico especialmente a quienes disponen

solamente de una parte de su vida, la menor, para dedicarse a las trabajos de la inteligencia.

Estos, más que otros, deben ser consagrados.

Lo que más vale es la voluntad; una voluntad ardiente y profunda, una voluntad dispuesta a

triunfar, a ser alguien; a llegar a algo; ser ya por deseo, ese alguien calificado por su ideal. Todo

lo demás tiene arreglo.

Libros existen en todas partes.

Los grandes seres están siempre presentes y desde su pasado animan al pensador entusiasta.

Cuando se experimentan sentimientos tales, no importa dónde se está y de que se dispone.

Uno está marcado con el sello; es un elegido por el Espíritu; no hay más que perseverar y

confiar en la vida tal cual Dios la organiza."

Jacques Maritain

Del libro “Introducción a la Filosofía”

Ed: Club de Lectores – Bs As 1999 .


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ARITMÉTICA Y ALGEBRA

REVISIÓN DE LOS CONJUNTOS NUMÉRICOS Y SUS OPERACIONES

1. Introducción

Aún en las etapas más primitivas de la evolución humana se encuentra en el Hombre el

sentido del número. Esta capacidad le permite a él reconocer lo que ha cambiado en

un conjunto de elementos, por ejemplo, si se ha extraído o añadido algún objeto.

¿Cómo pudo un hombre, hace 5000 años, saber que en su rebaño no faltaba ninguna

de sus 41 ovejas, si ni siquiera sabía contar hasta 10?

Una simple solución es la siguiente: llevaba consigo tantas piedritas como ovejas, y al

terminar la jornada guardaba por cada oveja una piedrita en su bolsa; si sobraba

alguna sabía que debía buscar una oveja. Establecía una correspondencia biunívoca

entre dos conjuntos de objetos.

Mucho tiempo después, los romanos usaron también piedritas para hacer sus

cálculos; la palabra “cálculo” significa etimológicamente piedra, y de ahí el origen de la

palabra calcular. La actividad de contar y la necesidad de simplificar la tarea de hacer

cálculos, implicó la necesidad de utilizar símbolos escritos para representar lo que se

había contado. Fue así que surgieron los distintos sistemas de numeración. A través de

la historia se han usado distintos sistemas, y en cada uno de ellos cada número se

representa como una combinación de símbolos. En algunos casos los símbolos

representan cantidades y una combinación de símbolos representa la suma de estas

cantidades; estos sistemas emplean una descomposición aditiva.

En otros casos, como el sistema decimal actual, importa la ubicación del símbolo en la

representación del número. Por ejemplo, 21 significa veintiuno, mientras que 12

significa doce. Estos sistemas se llaman posicionales. Algunas culturas usaron una base

de 20 símbolos, otros de 60, pero el sistema de numeración que ha predominado y es

el que actualmente usamos tiene base 10, y por eso se llama decimal. Eso significa que

podemos escribir números arbitrariamente grandes con tan sólo diez símbolos: 0, 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Así es como el número 10 ha dejado sus marcas en nuestra forma de

contar y en las palabras para nombrar los números. Así por ejemplo “dieciséis” está

compuesto por las palabras “diez” y “seis”, “treinta” hace alusión a “tres” veces 10.

La característica fundamental de este sistema de numeración está centrada entonces

en la posición que el número ocupa:

Así el número 111, cada una de las cifras –que son iguales- tiene un valor absoluto que

es el mismo y un valor relativo a la posición que ocupa:


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Los números que se usan para contar se llaman números naturales: 1, 2, 3,.... Fueron

los primeros números que aparecieron en la historia de las matemáticas. Luego se

agregó el 0 como una forma de representar lo que no hay, los números negativos para

poder resolver todas las restas, las fracciones para resolver todas las divisiones,

también los números irracionales y los imaginarios. De esta manera quedaron

definidos los distintos conjuntos numéricos: los naturales, los enteros, los racionales,

los reales y los complejos.

Haremos, en este curso, un recorrido por los distintos conjuntos, justificando

brevemente la necesidad de construirlos.

2. Números naturales

2.1. Nociones básicas

Los números naturales son, tal como los conocemos, 1, 2, 3, 4, 5,. . . infinitos.

Llamamos N al conjunto de los números naturales, es decir:

N = { 1, 2, 3, 4, 5, ...}

Estos números se usan a diario para contar. Matemáticamente, contar significa decir

cuántos elementos tiene un conjunto. Por ejemplo, el conjunto {a, b, c, d} tiene 4

elementos. ¿Cuántos elementos tiene el conjunto vacío? Como el conjunto vacío no

posee ningún elemento, necesitamos un símbolo nuevo que represente la cantidad de

elementos de este conjunto. Este símbolo es el 0. Llamamos N al conjunto de los

números naturales con el cero, o sea:

N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

1 1 1

Representa

1 unidad

Representa

1 decena, es

decir 10

unidades

Representa

1 centena que

equivale a 10

decenas y a 100

unidades


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2.2. Propiedades

Es un conjunto infinito, totalmente ordenado por la relación de menor o igual

( ≤ ).

Tiene primer elemento, el número 1.

No tiene último elemento, es un conjunto infinito.

Todo número natural tiene un siguiente.

Entre dos números naturales consecutivos no hay ningún número natural y

entre dos naturales no consecutivos hay un conjunto finito de números

naturales, por eso es un conjunto discreto.

2.3. Operaciones

El conjunto de los números naturales tiene dos operaciones importantes: la suma y el

producto. Ambas son operaciones asociativas y conmutativas. El 1 es el neutro para el

producto, y la suma no tiene elemento neutro en N, pero sí en N₀: el 0. La suma

repetida de un mismo número se llama multiplicación, o también usaremos el término

producto. Así, sumar 5 veces 8 es multiplicar 5 por 8, y coincidentemente, es lo mismo

que sumar 8 veces 5. Esto es:

8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 5 . 8 y además

8 + 8 + 8 + 8+ 8 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5

5 veces 8 veces

Por lo tanto, en el conjunto de los números naturales podemos definir 2 operaciones:

suma y multiplicación. Estas operaciones son cerradas, es decir, la suma y la

multiplicación entre dos números naturales es otro número natural. Además las

operaciones cumplen con las siguientes propiedades:

Conmutatividad: esta propiedad se refiere a que el orden de los términos de

una suma o de los factores en una multiplicación no altera el resultado. Por

ejemplo:

5 + 6 = 6 + 5 = 11 ; 2 . 3 = 3 . 2 = 6

Asociatividad: esta propiedad se refiere a que la forma de agrupar los términos

en una suma o en una multiplicación no altera el resultado. Por ejemplo:

2 + ( 3 + 4 ) = ( 2 + 3 ) + 4 = 9

2 . ( 3 . 4 ) = ( 2 .3) .4 = 24


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Distributividad: de la multiplicación respecto de la suma: la multiplicación

distribuye respecto de la suma.

En forma general, las dos operaciones: suma y producto están relacionadas

por la siguiente propiedad:

Para toda terna de números naturales a, b, c, vale que

a · (b + c)= a · b + a · c propiedad distributiva del producto respecto de la suma

(a + b) · c = a · c + b · c

Por ejemplo:

(2+1) . 3 = 2 . 3 + 1 . 3 3 . (2+1) = 3 . 2 + 3 . 1

3 . 3 = 6 + 3

9 = 9

Así como la multiplicación por un natural es una suma iterada de términos iguales, se

conviene en representar la multiplicación iterada de factores iguales, como una

potencia: 8 . 8 . 8 . 8 = 8⁴

En este caso, 8 se llama la base y 4 el exponente. El exponente indica el número de

veces que se multiplica a la base por sí misma. Notemos por ejemplo que:

5² . 5⁴ = 5²⁺⁴ = 5⁶ puesto que

(5 .5) (5 . 5 . 5 . 5) = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 . 5

2 veces 4 veces 6 veces

La multiplicación de dos potencias de igual base es otra potencia con la misma base,

y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Veamos cómo se pueden usar estas propiedades para calcular el cuadrado de la suma

de dos números naturales:

(a + b) 2 = (a + b) · (a + b)

= (a + b) · a + (a + b) · b

= a · a + b · a + a · b + b · b

= a² + a b + a b + b²

= a² + 2 a b + b²


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Esto también puede verse geométricamente como muestra el dibujo de la figura 1:

Ejercicio: Encontrar una fórmula para (a + b)³

Divisibilidad

Sean a y b números naturales. Se dice que a es divisible en b si el resto de a ÷ b es

cero.

Ejemplos

48 es divisible en 8, el cociente (resultado) de la división es 6 y el resto es cero.

Decimos entonces que 8 es divisor de 48. ¿Qué otros divisores tiene 48?

48 se puede dividir por: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48

Entonces un número es b es divisor de otro a, si y sólo si el resto de la división es cero.

Un número tiene una cantidad finita de divisores.

Todo número se puede dividir por sí mismo y por uno. Pero sí un número sólo

se puede dividir por sí mismo y por uno, entonces es un número primo.

Si un número además de ser divisible por sí mismo y por la unidad, lo es por

otros divisores; entonces es número compuesto.

1 es divisor de todos los números.

El número 1 no es primo, ni compuesto.

Ejemplos

12 es número compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

28 es número compuesto, porque tiene como divisores al: 1, 2, 4, 7, 14 y 28.

5 es número primo, porque sólo se puede dividir por 1 y por 5.


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7 es número primo, porque sólo se puede dividir por 1 y por 7.

2 es el menor de los números primos.

Tabla de números primos

Para obtener los primeros n números primos de los números naturales se puede

utilizar la criba de Eratóstenes, la cual consiste en hacer una tabla con los números del

1 hasta n.

El procedimiento es señalar con un paréntesis los números que sean primos y tachar

los que no lo sean. Se empieza por tachar el 1 y escribir entre paréntesis el 2, a

continuación se tachan los múltiplos de 2, posteriormente se busca el primer número

no tachado, en este caso (3), se pone entre paréntesis y se tachan todos sus múltiplos.

El procedimiento se sigue hasta tener marcados todos los números.

Por tanto, los números primos entre 1 y 100 son:

{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97}

Múltiplos

El múltiplo de un número es el que lo contiene un número exacto de veces o son los

resultados de la tabla de multiplicar de un número.

Ejemplos

36 es múltiplo de 9, porque lo contiene 4 veces, también 36 está en la lista de

resultados de la tabla de multiplicar del 9.

240 es múltiplo de 12, porque lo contiene 20 veces.

Los múltiplos de un número k se obtienen al multiplicar k por los números naturales:

k.n siendo n cualquier número natural.


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Ejemplos

Los múltiplos de 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, … , porque 3(1) = 3, 3(2) = 6, 3(3) = 9, 3(4)

= 12, 3(5) = 15, 3(6) = 18, ...

Los múltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, … , porque 5(1) = 5, 5(2) = 10,

5(3) = 15, 5(4) = 20, 5(5) = 25

A diferencia de los divisores, los múltiplos de un número son infinitos.

0 es múltiplo de todos los números.

Criterios de divisibilidad

Divisibilidad en 2: Un número es divisible por 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8, los

números divisibles por 2 se llaman pares.

Divisibilidad en 3: Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos es un múltiplo

de 3.

Ejemplos

51 es divisible entre 3, ya que 5 + 1 = 6 y 6 es múltiplo de 3.

486 es divisible entre 3, ya que 4 + 8 + 6 = 18 y 18 es múltiplo de 3.

Divisibilidad en 4: Un número es divisible por 4, si sus últimos 2 dígitos son 0 o un

múltiplo de 4.

Ejemplos

900 es divisible entre 4, porque termina en doble 0.

628 es divisible entre 4, porque 28 es múltiplo de 4.

Divisibilidad en 5: Un número entero es divisible por 5, si su último dígito es 0 o 5.

Ejemplo

5 215 y 340 son divisibles entre 5, ya que terminan en 5 y 0 respectivamente.

Divisibilidad en 6: Un número entero es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3 a la

vez.

Ejemplos

24 es divisible por 2 porque termina en número par y es divisible por 3 porque la suma

de sus cifras da 6, por lo tanto es también divisible por 6.


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216 es divisible por 2, ya que termina en 6, y es divisible por 3, porque la suma de sus

dígitos es múltiplo de 3. Por lo tanto, 216 es divisible por 6.

Divisibilidad por 7: Un número es divisible entre 7, cuando al multiplicar el último

dígito por 2 y restar el producto al número que se forma con los dígitos restantes, la

diferencia es 0 o un múltiplo de 7.

Ejemplos

315 es divisible por 7, ya que 5 × 2 = 10 y 31 − 10 = 21 y 21 es múltiplo de 7.

147 es divisible por 7, porque 7 × 2 = 14 y 14 − 14 = 0.

Divisibilidad en 8: Un número es divisible por 8, cuando sus 3 últimos dígitos de la

derecha son 0 o forman un múltiplo de 8.

Ejemplos

6 000 es divisible por 8, ya que sus últimos 3 dígitos son 0.

3 160 es divisible por 8, porque los 3 últimos dígitos, 160, forman un múltiplo de 8.

Divisibilidad en 9: Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos es un múltiplo

de 9.

Ejemplos

1 233 es divisible por 9, ya que 1 + 2 + 3 + 3 = 9, y 9 es múltiplo de 9.

6 786 es divisible por 9, ya que 6 + 7 + 8 + 6 = 27, y 27 es múltiplo de 9.

Divisibilidad en 10: Un número es divisible por 10, si el último dígito es 0.

Ejemplos

360 es divisible por 10, porque su último dígito es 0.

2 500 es divisible por 10, ya que termina en 0.

Divisibilidad en 11: Un número es divisible por 11, si el valor absoluto de la diferencia

entre la suma de los dígitos en posición par y la suma de los dígitos en posición impar

es 0 o múltiplo de 11.

Ejemplos

1 364 es divisible por 11, ya que (3 + 4) – (1 + 6) = 7 – 7 = 0

82 918 es divisible por 11, porque (8 + 9 + 8 ) – ( 1 + 2 ) = 25 – 3 = 22 y 22 es múltiplo

de 11


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Descomposición de un número en sus factores primos

La descomposición de un número en sus factores primos es su expresión como

producto de sus factores primos. Para obtenerlo, se divide el número por el menor

divisor primo posible, el cociente que se obtiene se vuelve a dividir por el menor

divisor primo posible, y así hasta que el último cociente sea 1, este procedimiento

también se conoce como factorización de un número compuesto.

Por ejemplo:

Máximo común divisor (MCD)

Es el mayor de los divisores en común de 2 o más números.

Ejemplo 1

Los divisores de 18 y 24 son:

Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9 y 18

Divisores de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24

Los divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6, el mayor de los divisores en común es el 6

Por tanto, el máximo común divisor de 18 y 24 es 6.

Para calcular el MCD de varios números se descomponen simultáneamente en sus

factores primos, hasta que ya no tengan un divisor primo en común. Cuando los

números sólo tienen a la unidad como común divisor, los números reciben el nombre de

“primos relativos”.


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Ejemplo 2

Mínimo común múltiplo (mcm)

El mínimo común múltiplo es el menor de todos los múltiplos comunes de 2 o más

números.

Ejemplo 1

Al obtener los múltiplos de 4 y 6 se tiene:

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …

Los múltiplos comunes son: 12, 24, 36, 48, …

El menor de todos los múltiplos en común es 12

Por tanto, el mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12

Para calcular el mcm de varios números se descomponen simultáneamente en factores

primos hasta que los cocientes sean 1, si alguno de los números no es divisible entre el

factor dado, se baja y se continúa hasta encontrar el factor primo que lo divida.


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13 Ejemplo 2

Problemas


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3. Números Enteros

Quedó planteado ya que los números naturales sirven para contar y ordenar. Sin

embargo, hay situaciones que para ser descriptas correctamente requieren de otro

tipo de números. Los números enteros negativos se usan en diversos contextos, por

ejemplo, para expresar o calcular: S

En geografía, profundidades o diferencias de altura:

o la capa más superficial de la estructura de la Tierra, llamada corteza

terrestre, llega hasta los -30 km en el fondo oceánico;

o la diferencia de altura que hay desde la cima del o Aconcagua, que se

halla a 6.959 metros sobre el nivel del mar, hasta el fondo de la laguna

del Carbón, en la provincia de Santa Cruz, donde el altímetro marca 105

metros bajo el nivel del mar. (Figura 2)

figura 2

Temperaturas bajo cero: el día más frío del año 2008 en Ushuaia fue el 16 de

agosto, con una temperatura mínima de -5°C y una temperatura máxima de

7°C.

En contabilidad, los números negativos significan deudas y los positivos

haberes o activos poseídos.

Fechas en la antigüedad, años antes de Cristo: Platón, el más importante

filósofo de la antigüedad, fue alumno de Sócrates y maestro de Aristóteles;

nació en Grecia en el año 427 a.C. y murió en el año 347 a.C.; por lo tanto, vivió

80 años.

3.1. Construcción de los números enteros

Para continuar el estudio de los números, consideremos N 0 el conjunto de los

números naturales y el cero, y pensemos en la siguiente situación. En el capítulo

anterior, estudiamos operaciones de números naturales y vimos que dos números


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naturales se pueden sumar y se obtiene como resultado otro número natural; también

se pueden multiplicar y el resultado es un número natural. Por ejemplo, 3+6 = 9 ∈ N y

3·6 = 18 ∈ N. Además, si quisiéramos restar uno de otro, por ejemplo, hacer 6 - 3

también se puede dentro del conjunto N, es decir 6 - 3 = 3 ∈ N. Una situación cotidiana

que refleja esta situación matemática es la siguiente: si Luis tiene 6 pesos, Marcos le

puede pedir prestados 3 pesos y a Luis todavía le quedan 3. En cambio, si Luis tuviera

sólo 3 pesos, Marcos no debería esperar que le preste 6 porque no tiene más de 3.

Es decir, ¿qué ocurre si queremos efectuar la operación de resta en el otro sentido, o

sea, 3 - 6? ¿A 3 se le puede restar 5? Veremos enseguida que, en realidad, sí se puede

efectuar esta operación, pero el resultado ya no es un número natural.

Recordemos que la operación suma dentro de N₀ tiene al cero como elemento neutro

porque a + 0 = a y 0 + a = a para todo número natural a. Pero ningún número natural

tiene un inverso dentro de N₀, respecto de la suma. La pregunta es qué tipo de

números deberíamos agregarle a N₀ para que todo elemento tenga inverso respecto

de la operación suma. Es decir, si Paula tuviera 3 remeras, Lorena podría pedirle las 3

remeras (por lo menos para probárselas) y en este caso, Paula no se quedaría con

ninguna. Es decir, 3 - 3 = 0, o, mejor dicho, 3 + (-3) = 0 que no es un natural pero sí

pertenece a N₀.

En otras palabras, agreguémosle a N₀ todos los “opuestos” de sus elementos, es decir,

el -1, el -2, etcétera. Llamaremos al nuevo conjunto que construimos de esta forma

conjunto de los números enteros y lo denotamos con la letra Z.

3.2. Propiedades

Es un conjunto infinito totalmente ordenado por la relación de ≤ (menor o

igual).

No tiene primero ni último elemento.

Todo número entero tiene un antecesor y un siguiente.

Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros, por lo

tanto es un conjunto discreto.

Propiedad del número 0

Elemento Neutro para la Suma: si lo sumamos con cualquier número se obtiene

el mismo número. Por ejemplo: 7 + 0 = 7, −4 + 0 = −4

Multiplicación por Cero: la multiplicación por cero siempre da como resultado

cero.


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Por ejemplo: 6 . 0 = 0 , (−3) . 0 = 0

Potencia Cero: Se conviene definir la potencia de un número no nulo con

exponente cero, igual a 1. Por ejemplo: 7: = 1 y (−5): = 1

Propiedad del número 1

Elemento Neutro para la Multiplicación: si se lo multiplica por cualquier

número se

Obtiene el mismo número; por ejemplo: 4 . 1 = 4 , (−9) .1 = −9 y 0 .1 = 0

3.3. Representación de los números enteros en la recta numérica

Los números enteros suelen representarse como puntos de una recta. Esto es, se

eligen dos puntos distintos, uno representa el 0 y el otro el 1. Así se tiene un segmento

unidad. Transportando este segmento hacia un lado de la recta se representan todos

los enteros positivos, y hacia el otro todos los enteros negativos. Claramente, existen

muchos puntos de la recta que no se corresponden con ningún entero.

3.4. Valor absoluto de un número

Es la distancia que existe desde cero hasta el punto que representa a dicha cantidad en

la recta numérica. El valor absoluto de un número a se representa como a .

Ejemplos: Determina el valor absoluto de – 3

Se representa − 3 en la recta numérica:

De cero a − 3 se observa que hay 3 unidades de distancia, por tanto, el valor absoluto

de − 3 es igual a 3 y se representa como: 3 = 3

Para encontrar el valor absoluto de 8:


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En la recta numérica la distancia entre el origen y 8 es de 8 unidades, por consiguiente,

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3.5. Operaciones con números enteros y propiedades.

Suma

En esta operación los elementos reciben el nombre de sumandos y el resultado suma o

adición. La suma o adición de números enteros se efectúa sólo si los signos de los

números son iguales.

3 + 9 = 12 y − 3 – 9= -12

Si los números tienen el mismo signo (−), se suman sus valores absolutos y el signo del

resultado es el mismo que el de los sumandos (−).

− 3 – 9 = − 12

Esta operación que genera, por lo general, dificultades para resolverla se puede

interpretar a través de ejemplos prácticos o través de gráficos:

Ejemplo 1:

Supongamos que Luciano tiene cuenta en el kiosco de la escuela. El día lunes compró

un sandwich y le anotaron 3 pesos; el día martes compró una gaseosa y un sandwich y

le anotaron 9 pesos. La anotación en el cuaderno es la siguiente:

Luciano debe:

Día lunes: $ 3

Día martes: $ 9

La cuenta es:

-3

-9

-12


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Veámoslo en la recta:

Partiendo de C, avanzamos 3 unidades a la izquierda y llegamos a A, luego avanzamos

9 unidades más a la izquierda y llegamos a B.

Suma y resta con signos de agrupación

Los signos de agrupación son ( ) paréntesis, [ ] cochetes , { } llaves

Al realizar sumas y restas de números enteros que tienen signos de agrupación,

primero es necesario eliminar dichos signos, para hacerlo debes seguir el siguiente

procedimiento:

Si a un signo de agrupación lo precede un signo positivo, el número entero que

encierra conserva su signo.

Analicemos los siguientes ejemplos:

¿Cuál es el resultado de (− 8) + (− 3)?

Puesto que ambos signos de agrupación están precedidos por signos positivos,

entonces se suprimen y se realiza la operación para obtener el resultado:

(− 8) + (− 3) = − 8 − 3 = −11

Efectúa (+ 6) + (− 8)

Al estar precedidos por signos positivos, ambos enteros conservan su signo y se

obtiene como resultado:

(+ 6) + (− 8) = 6 − 8 = − 2

Si un signo de agrupación es precedido por un signo negativo, entonces el entero que

encierra cambia su signo:

Por ejemplo: Para resolver − (14) − (− 10)

Como a los signos de agrupación le anteceden signos negativos, entonces se deben

cambiar los signos de los enteros y realizar la operación que resulta.


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− (14) − (−10) = −14 + 10 = − 4

El resultado de la operación es − 4

¿Cuál es el resultado de (− 6) + (− 3) − (−11)?

Se aplican los procedimientos correspondientes a cada signo de agrupación y se

procede a efectuar la operación con enteros:

(− 6) + (− 3) − (−11) = − 6 − 3 + 11 = − 9 + 11 = 2

Para resolver (6 − 8) + (5 − 2)

Una forma de realizar la operación es efectuar las operaciones que encierran cada uno

de los signos de agrupación:

(6 − 8) + (5 − 2) = (− 2) + (3) = 1

Para resolver (8 − 3) − (− 4 + 6) + (2 − 7 − 3) + 5=

= 8 − 3 + 4 − 6 + 2 − 7 − 3 + 5

= 8 + 4 + 2 + 5 − 3 − 6 − 7 – 3 ó = (8 + 4 + 2 + 5 ) – (3 + 6 + 7 + 3 )

= 19 – 19 = (19 ) – ( 19)

= 0 = 19 – 19 = 0

¿Cuál es el resultado de *(− 8 + 6) − (− 3 − 2)+ + *4 − (2 − 1)+?

Se efectúan las operaciones contenidas en los paréntesis:

*(− 8 + 6) − (− 3 − 2)+ + *4 − (2 − 1)+ =

= [ (− 2) − (− 5) + + *4 − (1)+

Se eliminan los paréntesis y se realizan las operaciones que encierran los corchetes:

= *− 2 + 5+ + *4 − 1+

= [3] + [3]

= 3 + 3

= 6


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Resta

Es la operación inversa de la suma o adición. Los elementos de una resta son el

minuendo (+), sustraendo (−) y la diferencia.

a Minuendo

− b Sustraendo

c Diferencia

Cuando se restan 2 números enteros la diferencia lleva el signo del entero de mayor

valor absoluto, como lo muestran los siguientes ejemplos:

9 – 7 = 2

¿Cuál es el resultado de 3 − 4?

Se realiza la operación 4 − 3 = 1, y al resultado se le antepone el signo negativo, debido

a que el número de mayor valor absoluto es negativo, por tanto:

3 − 4 = −1

La multiplicación

Leyes de los signos

1. El producto de dos números con signos iguales da como resultado un número

positivo.

Ejemplo: (8) (5) = 40 ; (− 3) (− 7) = 21

2. El producto de dos números con signos diferentes da como resultado un número

negativo.

Ejemplo: (− 6) (4) = − 24 ; (9)(− 3) = − 27

En general, la aplicación simbólica de las leyes de los signos anteriores es:

(+) (+) = + (−) (−) = +

(−) (+) = − (+) (−) = −

Efectúa (− 3)(− 4)(− 6)

Solución

Se realiza el producto de (− 3)(− 4) y el resultado, 12, se multiplica por − 6, entonces:

(− 3)(− 4)(− 6) = (12)(− 6) = − 72


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Finalmente, el resultado de la multiplicación es − 72

¿Cuál es el resultado de (3) (− 5) (− 2) (4)?

Solución

Se multiplican 3 por − 5 y − 2 por 4, los resultados se vuelven a multiplicar para

obtener el resultado final de la operación.

= (3) (− 5) (− 2) (4)

= (−15) (− 8) = 120

Por tanto, el producto es 120.

Multiplicación con signos de agrupación

Los signos de agrupación que se utilizan son: ( ), [ ], { }, ; cuyos nombres

respectivamente son: paréntesis, corchetes y llaves.

Para simplificar y obtener el resultado de una operación con signos de agrupación, hay

que suprimir éstos y multiplicar los números del interior de los signos por el número o

signo que los anteceden.

Después se agrupan y suman los números del mismo signo y los resultados se restan.

Efectúa 3 (4 − 2) – 5 (1 − 4) − (8 + 9) =

aplicamos propiedad distributiva y suprimimos paréntesis

3. (4 − 2) – 5 (1 − 4) − (8 + 9) = = 12 − 6 − 5 + 20 − 8 − 9

Se agrupan y suman los números con el mismo signo, los resultados se restan:

= 12 + 20 − 6 − 5 − 8 − 9

= 32 − 28

= 4

¿Cuál es el resultado de 6 – 4 {2 – 5 (4 − 3) + 3 (3 − 2)-?

En este caso, primero se suprimen los paréntesis y los números se multiplican por los

números que les anteceden:

6 – 4 {2 – 5 (4 − 3) + 3 (3 − 2) } =

= 6 – 4 ,2 − 20 + 15 + 9 − 6-

Ahora, se eliminan las llaves al multiplicar por −4,


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= 6 − 8 + 80 − 60 − 36 + 24

Por último, se realiza la operación al agrupar signos iguales y los resultados obtenidos

se restan:

= 6 + 80 + 24 − 8 − 60 – 36 ó = (6 + 80 + 24 ) – (8 + 60 + 36 )

= 110 – 104 = 110 - 104

= 6 = 6

División

Partes de la división

a b

Si a y b son números enteros, la división de a por b, siendo b un número entero

diferente de cero, consiste en encontrar a los números enteros p y r tales que:

p . b + r = a para todo a > b y b < r.

Ejemplo

En la división de 25 en 4, el cociente es 6 y el resto, 1 ya que:

25 = 4 .6 + 1

Ejemplo

En la división de 36 en 9, el cociente es 4 y el resto es 0, ya que:

36 = 9 . 4 + 0

Cuando en una división el resto es igual a 0, entonces se dice que la división es exacta.

La división entera es una operación que sólo tiene sentido en el conjunto de los

números enteros. Ahora bien, si bien el cociente entre 25 y 4 es 6, no es cierto que 4

por 6 sea igual a 25. Así como con los naturales no podemos resolver el problema de

hallar el número que sumado a 5 de como resultado 3, en el conjunto de los enteros

p r

dividendo Divisor

b ≠ 0

resto cociente


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no es posible resolver problemas como hallar el número que multiplicado por 6 sea

igual a 25.

Para encontrar la solución a esta operación necesitamos trascender el conjunto de los

números enteros, es decir ampliarlo y esa ampliación va a dar por resultado la

aparición del Conjunto de los números racionales en el que no sólo 25 dividido en 4 es

posible resolver sino cualquier división en la que:

El dividendo no es múltiplo del divisor

El dividendo es menor que el divisor

casos éstos que no tienen solución en el conjunto de los números enteros Z.

Por ejemplo: 25 : 4 ó 3 : 7

En el conjunto de los números racionales:

25 4 = 4

25= 6,25 y 3 : 7 =

7

3= 0,428571

4. Números Racionales

Este conjunto numérico resulta de las sucesivas ampliaciones que se vienen

produciendo desde los naturales a los enteros y de los enteros a los

racionales, para que la división sea siempre posible.

Un número racional es aquel que puede ser expresado como una fracción.

Cabe entonces la pregunta:

¿ 2 es un número racional? ¿ y -3? ¿y 0?

Veamos:

Si cada uno de estos números tiene la posibilidad de escribirse como

fracción, entonces son números racionales:

2 = ...5

10

3

6

2

4 ; -3= ...

4

12

3

9

2

6 ; 0 = ...

4

0

3

0

2

0

Un número natural como 2, tiene la posibilidad de ser escrito como una

fracción.

Un número entero como -3, también tiene la posibilidad de ser escrito

como una fracción. Además el 0 es otro número entero que puede


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escribirse como una fracción. Por lo tanto, será que los números naturales y

los enteros son también racionales?

Si a y b son dos números naturales cualesquiera, entonces b

a es un

racional.

Si a y b son dos números enteros cualesquiera, entonces b

a es un

número racional.

Si n es cualquier número entero, entonces n

0 es un número

racional.

Naturales: N

Cero: 0 Enteros: Z

Negativos: Z Racionales: Q

Fraccionarios

4.1. Propiedades

Es un conjunto totalmente ordenado por la relación ≤.

No tiene primer ni último elemento.

Entre dos números racionales existen infinitos racionales, esto determina que

Q sea un conjunto denso. Como consecuencia, ningún racional tiene antecesor,

ni sucesor.


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GEOMETRÍA

Fundamentos para su enseñanza1

La geometría forma parte de nuestro lenguaje cotidiano: Nuestro lenguaje verbal

diario paseé muchos términos geométricos, por ejemplo: punto, recta, plano, curva,

ángulo, paralela, círculo, cuadrado, perpendicular, etc. Si nosotros debemos

comunicamos con otros a cerca de la ubicación, el tamaño o la forma de un objeto la

terminología geométrica es esencial. En general un vocabulario geométrico básico nos

permite comunicamos y entendemos con mayor preedición acerca de observaciones

sobre el mundo en que vivimos.

La geometría tiene importantes aplicaciones en problemas de la vida real: Por ejemplo,

está relacionada con problemas de medida que a diario nos ocupan, corno diseñar un

cantero o una pieza cerámica, o un folleto, cubrir una superficie ó calcular el volumen

de un cuerpo; con leer mapas y planos, o. con dibujar o construir un techo con

determinada inclinación.

La geometría se usa en todas las ramas de la matemática: Ella se 'comporta como un

tema unificante (crea vínculos entre distintas áreas) de la matemática curricular ya que

es un rico recurso de visualización para conceptos aritméticos, algebraicos y

estadísticos. Los docentes usamos frecuentemente ejemplos y modelos geométricos

para ayudar a que los estudiantes comprendan y razonen sobre conceptos

matemáticos no geométricos.

Son ejemplos o modelos geométricos usados en la enseñanza:

La recta numérica para números y operaciones

Las figuras y formas ·geométricas que se usan para desarrollar el significado de

conceptos relativos a números fraccionarios

Los arreglos rectangulares para estudiar propiedades de los números naturales,

o la multiplicación entre ellos.

Las ideas de curvas, figuras y cuerpos relacionadas directamente con los

conceptos longitud, superficie y volumen.

Las coordenadas en un plano y la idea de representar puntos a través de pares

Ordenados de números reales para relacionar el algebra con la geometría.

Los gráficos dé barra, círculos, lineales, etc. que permiten la descripción de

datos numéricos utilizando elementos geométricos.

El geoplano para representar fracciones o recorridos

La geometría es un medio para desarrollar la percepción espacial y la visualización. Sin

considerar la necesidad de una buena percepción espacial en ocupaciones especificas

todos necesitamos la habilidad de visualizar objetos en el espacio y captar sus 1 Extraído del Cuaderno para el curso de ingreso Geometría- Profesorado de Matemática- Albino S. Barros. Año 2011


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relaciones, o de la capacidad de" leer representaciones bidimensionales de objetos

tridimensionales. "

La geometría como modelo de disciplina organizada lógicamente: Ideas acerca de la

lógica y la deducción en geometría no necesitan' esperar para ser enseñada hasta los

niveles superiores de la escolaridad.

La geometría ayuda a estimular, ejercitar habilidades de pensamiento y estrategias de

resolución de problemas. Da oportunidades" para observar, comparar, "medir,

conjeturar, imaginar, crear, generalizar y deducir. Tales oportunidades pueden ayudar

al alumno a aprender como descubrir relaciones por ellos mismos y tornarse mejores

solucionadores de problemas.

OBJETIVOS

Introducir a los alumnos ingresantes al profesorado de Matemática en el uso

del lenguaje geométrico adecuado y descubran otros nuevos.

Lograr un conocimiento básico de las formas geométricas y las relaciones

espaciales, indispensables para el desenvolvimiento en la vida cotidiana y en el

aula.

Lograr que los alumnos se familiaricen y manipulen los elementos de la

geometría y su correcto uso. (regla, escuadra, compás, transportador, como así

también utilizar tecnologías que colaboren a mejorar el , aprendizaje

geométrico)

Comprender y adecuar estrategias para la resolución de problemas

geométricos

Trabajar cooperativarnente asumiendo responsabilidades, respetando las

normas acordadas, valorando la tenacidad y el esfuerzo necesario en' el que

hacer geométrico para el desarrollo personal y social.

Introducción

La geometría es una de las ramas más antiguas de la matemática. Fue la primera en

desarrollarse como un cuerpo teórico ordenado, con axiomas, teoremas, y

demostraciones; este desarrollo fue imitado luego por el resto de las matemáticas. La

propia geometría desarrolló sus propias ramas, y por ese motivo es difícil hablar hoy

de una única geometría. Cada vez que las herramientas teóricas se demostraban

insuficientes para resolver nuevos desafíos, distintos problemas prácticos

motivaron el desarrollo de estas nuevas geometrías.2

2 "Las Geometrías"- Autores varios: Juan Pablo Pinasco, Pablo Amster, Nicolás Saintier, Inés Saltiva – Ed: INET - Ciudad Autónoma de Buenos Aires. Argentina. 2009


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Geometría (del griego geo, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se

ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se

preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas

y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la

geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con

cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea.

Geometría demostrativa primitiva

El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros

geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los

campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de

geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue

refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras

colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes

arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones

lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados. Estos postulados fueron

considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en

el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos

útiles pero arbitrarios. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados

por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia

más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de

puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos

axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier

triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de

un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados"

(conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que

se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales,

fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los

elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro

de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.


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Símbolos Matemáticos Las matemáticas se valen de un dialecto o lenguaje coloquial para expresarse en forma

concisa, abreviada e universal. Este lenguaje en algunos casos se compone de letras griegas y

otras veces de diversos símbolos universales. El porqué de este lenguaje único de las

matemáticas podría ser para darle un carácter universal, es decir, darle entendimiento en

cualquier lugar sea cual sea el idioma que se hable.

Conceptos básicos

Cada vez que en matemática se inicia el desarrollo de una teoría se debe fijar, como

punto de partida, los conceptos primitivos, que se aceptan sin definir y ciertas

propiedades que se aceptan sin demostrar, llamadas axiomas. A partir de ellos, se

definen nuevos conceptos (definiciones) y se demuestran nuevas propiedades

(teoremas).

El lenguaje que usa el matemático para desarrollar su teoría es la lógica, en

consecuencia, en una teoría matemática intervienen los siguientes elementos:

Conceptos o Términos primitivos (elementos sin definir)

Axiomas (propiedades sin demostrar)

Definiciones

Teoremas (propiedades demostradas)

Lenguaje lógico

Antes de iniciar el estudio de la geometría y trigonometría, analizaremos algunos

conceptos básicos:


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GEOMETRIA EUCLIDEANA3

El mérito principal de los Elementos de Euclides es haber llevado a cabo este

procedimiento, eligiendo unos pocos axiomas, como base para desarrollar la

geometría. El sistema axiomático de la geometría euclídea se divide en dos grupos de

afirmaciones: unas son de carácter más general, y las otras se refieren específicamente

a los objetos geométricos. Suele llamarse nociones comunes a los del primer grupo, y

postulados a los del segundo.

Comencemos por las nociones comunes:

1. Cosas iguales a una misma, son iguales entre sí.

2. Si a iguales se agregan iguales, los todos son iguales.

3. Si de cosas iguales se restan cosas iguales, las restas son iguales.

4. Cosas coincidentes son iguales entre sí.

5. El todo es mayor que la parte.

Esta lista de afirmaciones nos permite comparar “cosas”: pueden ser números, figuras,

etc. El término iguales hay que tomarlo en un sentido muy general, porque tendrá

distintos significados según el contexto. Euclides utiliza indistintamente iguales,

congruentes, o equivalentes, si bien hoy día, se utiliza cada uno de estos términos en

determinados contextos. Por ejemplo, hablamos por un lado de igualdad de números,

y por otro de congruencia de ángulos o de segmentos. No debemos olvidar que esta

es una convención arbitraria que no constituye una cuestión clave o fundamental de la

matemática.

Los postulados son los siguientes:

1. Por dos puntos puede trazarse una recta.

2. Una recta dada puede extenderse indefinidamente.

3. Dado un centro y un radio puede trazarse un círculo.

4. Todos los ángulos rectos son congruentes a uno dado.

5. Si dos líneas cruzan una tercera de tal manera que la suma de los ángulos

interiores en un lado es menor de dos ángulos rectos, entonces las dos líneas

deben cruzarse una a la otra de ese lado, prolongadas lo suficiente.

GEOMETRÍA. Rama de las matemáticas que estudia las propiedades, las formas

y las dimensiones de fi guras y cuerpos geométricos.

3 Juan Pablo Pinasco – “Las geometrías”- INET -República Argentina.2009


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Punto. Según Euclides: “Punto es lo que no tiene partes”, para evitar confusiones al dar una

definición más compleja sólo diremos que la idea de punto, nos la da la marca que deja un

lápiz sobre el papel, tan pequeña que carece de dimensión.

Línea recta. Sucesión infinita de puntos que tienen la siguiente forma: podemos agregar una

línea recta es aquélla que yace por igual respecto de los puntos que están en ella”.

Recta

Semirrecta. Si se fija un punto C en una recta, al conjunto de puntos que le siguen o preceden

se le llama semirrecta.

Semirrecta

Segmento. Porción de recta limitada por 2 puntos no coincidentes.

Segmento

Curva. Es aquella línea que no tiene partes rectas.

Figura geométrica. Extensión limitada por puntos, líneas y superficies.

Cuerpo sólido. Es todo aquello que ocupa un lugar en el espacio y posee longitud, anchura y

altura.

El Plano y El Espacio. El plano al igual que El Espacio geométrico, es un plano es el ente ideal

que sólo posee dos dimensiones en el caso del plano, y el caso del espacio tres (lago, ancho y

profundidad) . Contienen infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos


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AB

α r

fundamentales junto con el punto y la recta.

Solamente puede ser definido o descripto en relación a

otros elementos geométricos similares. Se suele

describir apoyándose en los postulados característicos,

que determinan las relaciones entre los entes

geométricos fundamentales. Cuando se habla de un

plano, se está haciendo referencia a la superficie

geométrica que no posee volumen (es decir, que es

sólo bidimensional) y que posee un número infinito de

rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro.

Semiplano. Cuando a un plano cualquiera se define una recta el mismo se divide en dos

semiplanos opuestos.

Sp [r,A) se lee “Semiplano de borde r que contiene a A”

Sp [r,B) se lee “Semiplano de borde r que contiene a B”

Cuando se verifica que la recta r no pertenece al

semiplano o sea que r Sp (r,A), se definen dos

semiplanos abiertos opuestos.

Semiespacio. De manera analógica un plano que está incluido en un espacio geométrico,

divide a éste en dos semiespacios opuestos.

En la siguiente gráfica podemos de encortar

dos semiespacios a los que definimos como:

Se [α,J) se lee: “Semiespacio de borde α que

contiene a J

Se [α,L) se lee: “Semiespacio de borde α que

contiene a L

Axiomas importantes Lee atentamente los siguientes axiomas y

trata de identificarlos en las gráficas:4

4 Graficas realizadas en GeoGebra.


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i. Tres puntos determinan un plano.

ii. Una recta y un punto no pertenecientes a la misma

caracterizan un mismo plano.

iii. Por un punto cualquiera perteneciente a un plano, y

por él pueden pasar infinitas rectas.

iv. Una recta, determinada por dos puntos distintos de

un plano, está incluida en dicho plano.

v. Dados dos puntos que determinan un segmento, por

el cual, pueden pasar infinitos planos.

vi. Dos planos que se cortan forman una única recta.

Rectas Paralelas

Son rectas paralelas aquellas que están separadas por

una misma distancia hasta el infinito, es decir, no se

tocan nunca.

La recta r es paralela a la recta s. Las dos rectas son paralelas entre sí.

Perpendiculares

Se trata de dos rectas que se cortan en un punto, es decir, tienen un

punto en común. En este punto que se cortan forman un ángulo recto

(ángulo de 90º). También se dice que dos rectas son perpendiculares

cuando en el punto en que se cortan, dividen al espacio en 4 partes

iguales, formándo ángulos de 90º.

La recta r es perpendicular a la recta s. De la misma forma, la recta s es perpendicular a la recta r (carácter recíproco de la perpendicularidad). Entre las dos rectas se forma un ángulo de 90º.

Para indicar que dos rectas son perpendiculares entre sí, se pone un arco o un ángulo recto pequeño, con un punto dentro.

Ángulos Sean tres puntos (E, F, y G) no alineados pertenecientes a un mismo plano, se pueden considerar los semiplanos Sp [ ,G) y Sp [ ,F).

Podemos definir “ángulo” como la intersección de estos semiplanos.

=Sp [ ,G) Sp [ ,F)

Se lee: ángulo convexo GEF


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Elementos de los ángulos:

Vértice: Punto en común que tienen sus lados.

Lados: Cada una de las semirrectas que lo forman.

Amplitud: Es la apertura de sus lados y se mide en grados

Tambien se puede tener la siguientes notaciones

α ó (se lee ángulo α)

A ó (se lee ángulo en el vértice A)

Clasificación de los ángulos según su amplitud Llano, es el ángulo formado por dos semirrectas opuestas. Tiene sus lados en la misma recta. Su amplitud es la mitad de un ángulo completo, es decir, de 180º. Ángulo Recto, es uno cualquiera de los ángulos en que la bisectriz divide al llano. Su amplitud o abertura es de 90º.

Agudo, es todo ángulo cuya amplitud sea menor que la del recto, es decir, es como máximo de 90º.

Obtuso, es aquel cuya amplitud es mayor que la del ángulo recto y menor que la del llano, es decir, está comprendida entre 90º y 180º.


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Nulo, es aquel que carece de amplitud y sus semirectas componentes son coincidentes y forman 0°. El ángulo nulo es congruente con el ángulo Giro que tiene una amplitud de 360°. Complementarios, son aquellos cuya suma es igual a un ángulo recto (90°).

a + b = 90°

Suplementarios, son aquellos cuya suma es igual a dos ángulos rectos (180°).

a + b = 180°

Conjugados, son los ángulos cuya suma es igual a cuatro ángulos rectos (360°)

a +b = 360°

Ángulos determinados por una recta incidente a otras dos incluidas en un plano

Sea la recta a⊂α, b⊂α y t incidente a ay a b en dos puntos distinto A y B, respectivamente. En ese plano se forman los ángulos α1, α2, α3, α4, β1, β2, β3 y β4. La recta t suele llamase transversal o secante.

Los ángulos contenidos en un mismo semiplano de borde t se llaman colaterales.

Ángulos colaterales son:α1, α4, β1 y β4 También en otro semiplano son colaterales: α2, α3, β2 y β3

Ángulos internos: α3, α4, β1 y β2 Ángulos externos: α1, α2, β3 y β4

Podemos clasificar ciertos pares de ángulos: - Dos ángulos colaterales, uno interno y otro externo, no adyacentes se llaman

correspondientes. Son pares de ángulos correspondientes:

a

b

α

t

α1 α2α3α4

β1 β2

β3β4


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α1 y β1 - α4 y β4 - α3 y β3 - α4 y β4

- Dos ángulos colaterales e internos se llaman conjugados internos. Son pares de ángulos conjugados internos:

α4 y β1 - α3 y β2

- Dos ángulos colaterales y externos se llaman conjugados externos. Son pares de ángulos conjugados externos:

α1 y β4 - α2 y β3

- Dos ángulos no colaterales e internos, pero no adyacentes, se llaman alternos internos. Son pares de ángulos alternos internos:

α3 y β1 - α4 y β2

- Analógicamente dos ángulos no colaterales e internos, pero no adyacentes, se llaman conjugados externos. Son pares de ángulos alternos internos:

α2 y β4 - α1 y β3

Medida de ángulos - sistemas de medición de ángulos

Se utilizan varias unidades para medir los ángulos, la más empleada en la vida cotidiana es la sexagesimal, también es utilizada sobre todo por los topógrafos la centesimal y por los matemáticos el radian.

Sexagesimal. Aproximadamente en el año 1000 a.c los babilonios extienden a los círculos celestes la división del día en 360 partes, y a cada una de estas partes les llaman grado sexagesimal. La cuarta parte le corresponden 90 grados sexagesimales, que se denota por 90º.

Ahora bien como los babilonios utilizan el sistema de numeración de base 60, dividen el grado en 60 partes iguales y cada una de estas partes la denominan minuto y se nota por 1'. Cada minuto lo subdividen a su vez en 60 segundos y cada una de estas subdivisiones lo nota por 1''.

Así pues tenemos que un ángulo recto mide 90º, 1º= 60' y 1'= 60''.

Centesimal. La medida de ángulos centesimal se adoptó con el sistema métrico decimal. El ángulo

completo 360º en el sistema sexagesimal se divide en 400 partes iguales y un ángulo recto en 100, se

notan por 100g y le llama gradian.

A su vez cada grado centesimal (gradian) se divide en 100 partes iguales que son los minutos, se nota por 1m y cada minuto se subdivide en 100 segundos que lo notaremos por 1s.

Radianes. Dada una circunferencia de centro O y radio r, se denomina radian al ángulo central cuyo arco

coincide con el radio.

1 rad= 57° 17' 44.8''

360º = 2 rad

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360° equivale a 2π radianes; un ángulo de 180° equivale a π radianes (recordemos que el número

π ≈ 3,14159265359…)

Las equivalencias de los principales ángulos se muestran en las siguientes figuras: La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°


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La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Técnica para trazar rectas paralelas y perpendiculares En los siguientes dibujos se explica cómo trazar paralelas y perpendiculares con la ayuda de la escuadra y del cartabón. Observemos, como muestran los dibujos, que el cartabón no se mueve durante todo el proceso.

1. Primero se trazan varias líneas paralelas (en este caso, horizontales). Para ello solo se mueve la escuadra sobre el borde del cartabón, que permanece fijo. Varias líneas Varias líneas

2. Luego se gira la escuadra, como muestra el dibujo, y se apoya de nuevo sobre el borde del cartabón, que permanece fijo. Giro de la escuadra Giro de la escuadra 3. Por último se trazan las rectas perpendiculares a las anteriores (en este caso, las verticales). El cartabón sigue fijo durante todo el trazado. Trazado de perpendiculares Trazado de perpendiculares

Mediatriz de un segmento. La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto

medio del segmento M y es perpendicular al él dividiendo en dos segmentos iguales .

Pasos para trazar una mediatriz

1. Trazamos el segmento . 2. Con centro en A se traza una circunferencia de radio mayor que la mitad del segmento . 3. Desde B se traza una circunferencia de igual radio que la primera. 4. La recta que pasa por la intersección de las circunferencias (puntos C y D) es la mediatriz del segmento

Bisectriz de un ángulo. La bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice del ángulo lo divide en dos partes iguales.

Pasos para trazar una bisectriz 1. Con centro en el vértice del ángulo se traza una

circunferencia de cualquier amplitud encontrando los puntos A y B. 2. Desde los puntos de corte A y B de la circunferencia con los

lados del ángulo se trazan dos circunferencias con el mismo radio que se cortan formando el punto C.


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3. La recta que pasa por el vértice del ángulo y el punto C de corte de las circunferencias es la bisectriz.

Polígonos.

La palabra polígono está formada por dos voces de origen griego: “polys”: muchos y “gonía”: ángulos;

por lo tanto, es una figura con varios ángulos.

Un polígono es la región interior de una línea

poligonal cerrada y no cruzada. Sus elementos

son: los lados, los vértices y las diagonales. A la

línea que lo rodea se la llama contorno del

polígono.

Podemos clasificar a los polígonos en regulares e irregulares, fijándonos en sus lados y, en cóncavos o

convexos, fijándonos en sus ángulos.

Polígonos regulares y polígonos irregulares

Polígonos Regulares. Son todos los polígonos cuyos lados y ángulos son iguales. Una característica

particular de los polígonos regulares, es que siempre pueden ser inscritos en una circunferencia. Por

ejemplo, un triángulo es un polígono regular de 3

lados. Si te fijas en el dibujo, podrás ver que todos

sus vértices tocan a la circunferencia, sin embargo,

en el triángulo que está al lado, sólo dos de sus

puntos tocan a la circunferencia, lo que nos muestra

que es un polígono irregular.

Polígono Irregular. A su vez, decimos entonces que

un polígono es irregular cuando sus lados no son iguales, y podemos ver también, que no todos sus

puntos tocan la circunferencia.

Clasificación de polígonos regulares según el número de lados

Según su número de lados los polígonos reciben los siguientes nombres:

Triángulo: 3 lados. Cuadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados

Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados

Octógono: 8 lados Eneágono: 9 lados Decágono: 10 lados Undecágono: 11 lados Dodecágono: 12 lados

Elementos de un polígono

En un polígono podemos distinguir:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos.


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38 CUADRADO

LA= L

2

d1

d2

ROMBO

A =d . d1 2

2

TRAPECIO

B

b

h

A =( ) . hB b . 2 TRIANGULO

B

h

A =B . h

2

RECTANGULO

b

h

A = b.h

PARALELOGRAMO

b

h

A = b.h

PENTAGONO

Ap

L

A=5L . Ap

2

CIRCULO

r

A= .rπ 2

Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos.

Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.

Ángulo interior y ángulo exterior.

En un polígono regular podemos distinguir, además:

Centro, O: el punto equidistante de todos los vértices y lados.

Apotema, Ap: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es perpendicular a dicho lado.

Cálculo de áreas de polígonos sencillos En la siguiente figura presentamos en forma

general el cómo se debe calcular el área de

algunas figuras sencillas.

También hay figuras como el Romboide y el

trapesoide que se calculan sus areas como el

Rombo y el trapecio respectivamenete.

Para calcular el área de los POLÍGONOS

REGULARES de n lados se los puede

descomponer en triángulos congruentes y

adyacentes de vértice o y apotema Ap.

Área del polígono =n .área AOB

Área AOB =

por lo que

Entonces el Área AOB =

y deducimos que el

Área polígono =

y como el perímetro de un

polígono es P = n . L

Nos queda: Área polígono =

d1d2

ROMBOIDE TRAPESOIDE

B

b

h

+

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_interior

http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulo_exterior


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Triángulos

Se llama triángulos a toda figura convexa cuya intersección de tres semiplanos definidos por tres puntos A, B, y C no alineados pertenecientes a un mismo plano.

Se llama triángulo ABC a: ABC = Sp [ ,C) Sp [ ,B) Sp [ ,A)

Los puntos A, B y C del triángulo se llaman vértice y los segmentos son los lados de los mismos. Los ángulos interiores

son .

El ángulo tiene por opuesto al segmento y es adyacente a los



Clasificación de los triángulos

Como ya se sabe, un triángulo tiene tres lados y tres ángulos. Se obtienen diferentes tipos de triángulos dependiendo del valor de sus ángulos y sus lados.


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40

Teorema de Pitágoras

Este es quizás uno de los teoremas matemáticos que más demostraciones presenta a lo largo de toda la historia. Este teorema solo funciona para los triángulos rectángulos.

Pitágoras llama HIPOTENUSA al lado opuesto al ángulo interior recto, o sea el lado más largo de un triángulo rectángulo, a los otros dos lados les llama CATETOS.

Enunciado: “En todo triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.”

Demostración: El ángulo es común a los triángulos BMA y BAC, donde vemos que

por ser ambos rectos. Además el ángulo es común a los triángulos AMC y BAC, y vemos que

por ser ambos rectos. Luego demostramos que BAC AMC.

Sea el triángulos rectángulo BAC y la altura se concluye por propiedad que

En consecuencia, sus lados homólogos son proporcionales y en particular tenemos pares de triángulos semejantes y los triángulosque por lo que

deducimos:

y

por propiedad fundamental de las proporciones

obtenemos: y si sumamos miembro a miembro obtenemos:

Si sacamos factor común

Pero como nos queda

demostramos que

Otra demostración: El área del cuadrado construido

sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es

igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Cateto

Hipotenusa

Ca

tetoH

a

b


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Trigonometría

La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para la construcción de pirámides. También se desarrolló a partir de los primeros esfuerzos hechos para avanzar en el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios. El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, en donde se destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco, por haber sido uno de los principales desarrolladores de la Trigonometría. Las tablas de “cuerdas” que construyó fueron las precursoras de las tablas de las funciones trigonométricas de la actualidad. Desde Grecia, la trigonometría pasó a la India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Y desde Arabia se difundió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente que hace parte de la matemática.

El término Trigonometría proviene de las palabras griegas: Trígono y Metrón, que quieren decir: Triángulo y Medida respectivamente. Sin embargo el estudio de la Trigonometría no solamente está limitado a la medición de los triángulos, pues el campo de estudio de esta disciplina matemática se ha ido enriqueciendo progresivamente hasta llegar a ser un instrumento indispensable en el Análisis Matemático, en la Física y en varias ramas de la Ingeniería.

Trigonometría circular

La circunferencia trigonométrica tiene como elementos y fundamentos principales al sistema de ejes cartesianos, una circunferencia Cr(O,1) (centro O origen y de radio 1) y un punto móvil P(x,y) , de coordenadas x en el eje de las abscisas e y en el eje de las ordenadas, que gira por sobre el contorno de la circunferencia en sentido anti-horario .

Los ejes son rectas reales perpendiculares que tienen como cero coincidentes en el punto O (origen).Dichos ejes separan al plano cartesiano en cuatro cuadrantes como muestra la figura. El primer cuadrante tiene los valores de las ordenadas y de las abscisas positivas. En cambio en el segundo cuadrante tiene las ordenadas negativas y abscisas positivas. En el tercer cuadrante tiene los valores de las ordenadas y de las abscisas negativas. Por último en el cuarto cuadrante tiene las ordenadas positivas y las abscisas negativas.

El segmento define el radio vector cuyo módulo siempre es igual a en la circunferencia trigonométrica. Además el radio vector define un ángulo α que depende de su valor de la posición del punto móvil P.

A su vez cada posición que tome el punto P y sus coordenadas definirá un triángulo rectángulo único para cada posición.


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El triángulo rectángulo OPX está compuesto por la hipotenusa

= ρ que es el radio vector, y por los catetos = Y y = X. Con los valores las medidas de los lados ρ, X e Y podemos formar las siguientes razones:

Estas 6 razones determinan 6 valores que están vinculados con el valor que toma el ángulo α. O sea que el ángulo α es una variable independiente, el valor de ρ=1 es constante y los valores e X e Y son variables dependientes del valor que toma α. En consecuencia podemos afirmar que estas razones son funciones del ángulo , y se las denomina funciones trigonométricas, que son las siguientes:

Seno α =

o sea Sen α =

al ser ρ=1 queda Sen α= Y

Coseno α =

o sea Cos α =

al ser ρ=1 queda Cos α= Y

Tangente α =

o sea Tg α =

Cotangente α =

o sea Cotg α =

Secante α =

o sea Sec α =

Cosecante α =

o sea Sec α =

Resolución trigonométrica de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo rectángulo es hallar el valor de sus lados, sus ángulos y de su área. Es necesario conocer dos datos, uno de ellos sí o sí tiene que ser un lado, el otro dato puede ser un ángulo u otro lado. Además se sabe que al ser un triángulo rectángulo, sus ángulos agudos son correspondientes. La resolución de triángulos: resolver un triángulo consiste en averiguar la longitud de sus tres lados y la amplitud de sus ángulos. Para resolver el triángulo rectángulo hay que averiguar los elementos que faltan partiendo de dos datos conocidos. Es por eso que se nos presentan 4 casos:

1er caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un Cateto Datos Incógnitas H y a b ; α ; β ; Calculo de b

Despejando √

Calculo de α

Cos α =

despejando α = (

)

Calculo de β

Sen α =

despejando β = (

)

Calculo de

=

Remplazando b nos queda

= √


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2do caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un ángulo Datos Incógnitas H y α a ; b ; β ; Calculo de β Despejando

3er caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo sus Catetos Datos Incógnitas a y b H ; α ; β ; Calculo de b

Despejando √

4to caso: Resolución de un triangulo rectángulo conociendo su Hipotenusa y un ángulo Datos Incógnitas a y α H ; b ; β ; Calculo de β Despejando

Calculo de a

Sen α =

Despejando a =

Calculo de b

Cos α =

Despejando b = Cos

Calculo de

=

Remplazando a y b nos queda

=

=

Calculo de α

Tg α =

Despejando α = (

)

Calculo de β

Tg β =

Despejando β = (

)

Calculo de

=

Calculo de H

Sen α =

Despejando H =

Calculo de b

Tg α =

Despejando b =

Calculo de

=

Remplazando b nos queda

=

=


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Geometría en el Espacio

5


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A modo de resumen el siguiente cuadro:


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ACTIVIDADES

La presente sección del dossier de este curso de ingreso al profesorado de matemática está orientada a

la realización de actividades prácticas y de entrenamiento a la disciplina.

Verás en su desarrollo ejercitación, problemas, y situaciones que se resuelven con conceptos

matemáticos presentes en este módulo, los cuales intentan integrar las tres áreas desarrolladas,

Aritmética, Algebra y Geometría

Ejercicios de entrenamientos

A. 1. ¿Qué diferencia de altura hay desde la cima del Aconcagua, que se halla a

6.959 metros sobre el nivel del mar, hasta el fondo de la laguna del Carbón, en

la provincia de Santa Cruz, donde el altímetro marca 105 metros bajo el nivel

del mar?

2. ¿Qué amplitud térmica hubo el 16 de agosto de 2.008 en Ushuaia? (Figura 2)

3. Si tenemos $1.500 en el banco, no podemos emitir un cheque por $1.750,

salvo que el banco nos preste la diferencia, en cuyo caso generaríamos una

deuda. Para informarnos de esta situación, el banco nos mandaría una carta

donde explicaría que, en este caso, el saldo de nuestra cuenta sería de $1.500

- $1.750 = -$250, es decir que le deberíamos $250 al banco.

4. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació aproximadamente en el año 582

a.C. y vivió 75 años; ¿en qué año murió?


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B. Ejercicios con Enteros: Resuelve las siguientes operaciones:

C. Calcula:

1. (32)(− 5)

2. (− 5)(− 3)(− 7)

3. (− 14)(− 23)

4. (3)(− 2)(− 5)

5. (6)(− 1)(− 3)

6. (− 9)(− 8)(− 3)( - 4)

7. (− 2)(− 3)(− 4)(− 5)(− 6)

D. Realiza las siguientes operaciones:


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E. Ejercicios con Racionales: Realiza los siguientes cálculos

2)

4) 5)

6)

7) 8)

9) 10)

11) 13)

14) 15)

16) 17)

18) 19)

F. Escribe algebraicamente los siguientes enunciados.

a) El doble de un número.

b) La mitad de un número.

c) El opuesto de un número.

d) El inverso de un número.

e) La suma de dos número.

f ) La suma de un número y el opuesto de otro.

g) La suma de un número y su inverso.

h) El producto de tres número.

i) El producto de los inversos de tres número.


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j) El inverso del producto de tres número.

k) La suma de los cuadrados de dos número.

l) El cuadrado de la suma de dos número.

m) La diferencia entre el cubo de un número y su cuadrado.

n) La diferencia entre el triplo de un número y su doble.

ñ) El valor absoluto del cubo de un número.

o) El cubo del valor absoluto de un número.

G. Escribe un enunciado que se traduzca en la expresión algebraica dada:

H. Escribe una expresión algebraica que represente a los siguientes enunciados:

El cuadrado de la suma de dos números es igual al cuadrado de uno, más el cuadrado del otro

más el doble producto de ambos.

El valor absoluto de un número es igual al valor absoluto de su opuesto.

La diferencia entre los cuadrados de dos números es igual al producto entre la diferencia y la

suma de los mismos.

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.

En todo triángulo, la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los otros

dos.

El triple de un número más el doble de otro es igual a 17.

La razón entre el perímetro de una circunferencia y su diámetro es π.

I. Resolver aplicando las propiedades de la potenciación y la radicación

J. Simplifica las siguientes expresiones:

K. Introducir factores dentro del radical:


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L. Racionalizar las siguientes expresiones

M. Realiza las siguientes operaciones:

N. Racionaliza los siguientes denominadores


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O. Determina el valor de los ángulos que se muestran en las siguientes figuras

P. Si l1//l2, obtén los valores de x y de y en la siguiente figura:


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Q. Calcula el perímetro y la superficie de las siguientes figuras

9. Rectángulo de 10 y 15 m.

10. Paralelogramo de base (x – 1) m y altura (x – 2) m.

11. Triángulo de base 14 dm y altura 9 dm.

12. Trapecio de bases 6 y 4 dm y altura de 3.5 dm.

13. Círculo de radio 30 cm.

14. Círculo de diámetro 18 cm.

R. Encuentra el área de la zona sombreada si AC √ cm y

ABCD es un cuadrado.

S. Determina el área lateral, total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos:

1. Prisma rectangular de dimensiones 2, 3 y 5 cm.

2. Prisma cuya base es un triángulo equilátero de 4 cm de lado y 6 cm de altura.

3. Prisma cuadrangular si el lado de la base es 1 cm y su altura 4 cm.

4. Prisma de base un hexágono regular de lado 2.5 cm y altura 6.5 cm.

5. Paralelepípedo de dimensiones √ , 4 y 2 √ cm.

6. Cubo de lado 2 cm.

7. Prisma cuadrangular si el área de la base es 12 cm2

y la altura es 8 cm.

8. Prisma cuya base es un octágono regular de lado 10 cm y apotema (5 + 5 √ ) cm si su

altura es de 5 cm.


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9. Pirámide regular cuya base cuadrangular de lado tiene 3 cm si su altura mide 4 cm

10. Pirámide regular cuya base es un hexágono regular de lado 2 cm si su altura es 5 cm.

11. Pirámide regular cuya base es un octágono regular de lado 4 cm, apotema 4.8 cm y altura

de 6.4 cm

12. Cilindro circular recto de radio 3 cm y altura 5 cm.

13. Cilindro circular recto de diámetro 8 cm y altura 4 cm.

14. Cono circular recto de radio 7 cm, altura 9 cm y generatriz √ cm.

15. Cono circular recto de radio 2 cm y altura 8 cm.

T. Resolver los siguientes problemas

I. En una torre de 40 m que está sobre un peñasco de 65 m

de alto junto a una laguna, se encuentra un observador

que mide el ángulo de depresión de 20° de un barco

situado en la laguna. ¿A qué distancia de la orilla del

peñasco se encuentra el barco?

II. Un niño tiene un barrilete, el cual hace volar

sosteniendo una cuerda a un metro del suelo. La

cuerda se tensa formando un ángulo de 45° con

respecto a la horizontal. Obtén la altura del barrilete

con respecto al suelo si el niño suelta 20 metros de

cuerda.

III. Un maleante es perseguido por un patrullero, quien

es apoyado desde el aire por un helicóptero, como se

muestra en la figura. Si el ángulo de depresión desde

el helicóptero hasta donde se encuentra el

delincuente es de 25° y el ángulo de depresión hasta

donde se encuentra el patrullero es de 65°, y su

distancia a éste es de 25 metros, La distancia entre el

helicóptero y el delincuente. La distancia entre el

patrullero y el delincuente. La altura del helicóptero.

ingreso2013

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