ingenieria economica y gestion financiera (ii parte)

MÉTODOS PARA LA VALORACIÓN Y

COMPARACIÓN DE INVERSIONES

CONTENIDO DEL CAPÍTULO:

4.1. Método de análisis del valor actual y del costo

Capitalizado.

4.2. Costo capitalizado.

4.3. Análisis de valor anual equivalente.

4.4. Análisis de la tasa de rendimiento.

4.5. Comparación de los criterios de VAN y TIR y

Análisis de flujos no convencionales.

4.6. Técnicas de valoración y comparación de

Alternativas económicas mutuamente

Excluyentes.

CAPÍTULO

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

Cuando haya completado este

capítulo debe ser capaz de:

Seleccionar las mejores

alternativas de inversión, mediante

el método de Valor Presente y

Costo Capitalizado.

Valorar proyectos de Ingeniería por

sus factores de costos a través del

Método valor anual equivalente.

Calcular la rentabilidad de

proyectos únicos y múltiples.

Seleccionar la mejor entre dos o

más alternativas de inversión por el

método de la TIR y aplicaciones

informáticas.

Preparar los presupuestos de

4.1. MÉTODO DE ANÁLISIS DEL VALOR ACTUAL Y DEL COSTO CAPITALIZADO

Es la técnica de flujos de efectivo actualizado que consideran el valor temporal del

dinero.

Valor Actual Neto (VAN). Es el criterio que compara el valor actual de todos los

flujos de entrada de efectivo con el valor actual de todos los flujos de salida de

efectivo relacionado con un proyecto de inserción.

DIAGRAMA DE EFECTIVO

Proyecto único

I0 : Inversión inicial (activas tangibles + intangibles)

Fn : Flujo de caja o de efectivo neto, ocurrido al final de cada año (n = 1…5)

n : Horizonte de evaluación del proyecto

TMAR : Tasa mínima atractiva de rendimiento

VR : Valor residual o rescate de los activos

Flujo de caja neta= flujo entrada de efectivo – flujo de salida de efectivo

FC2 FC5 FC1 FC4 FC3

Figura 4.1

I0

VR

0 1 2 3 4 5

Años

i = TMAR

Punto referencial de la ecuación

Ecuación de valoración del proyecto:

Reglas de decisión: (criterio del VAN)

VAN (i) > 0, la inversión se acepta

Los activos del proyecto agregan

valor y permiten una estrategia de

crecimiento.

VAN(i) = 0, la inversión no agrega valor

Los activos no generan valor.

Permiten una estrategia o una

consolidación.

VAN(i) < 0, la inversión se rechaza

Los activos del proyecto destruyen

valor. No hay estrategia del sustento

económico.

4.1.1. Periodo de estudio – horizonte de planificación:

Es la duración del periodo de análisis en la valoración de proyectos. Sigue los

siguientes criterios para su definición:

Planteamiento estratégico de la empresa

Ciclo de vida del producto

Diferencia entre periodo de estudio y vida útil del proyecto

Es importante diferenciar entre la vida útil del proyecto y su periodo de estudio

de análisis.

La vida útil del proyecto está en función a la naturaleza de sus activos, el nivel

de tecnología, el grado de obsolescencia en el mercado y su capacidad para

generar flujos de caja a futuro con rentabilidad.

El periodo de estudio o análisis es el periodo requerido para satisfacer

objetivos de mercado en la empresa.

EJEMPLO. 1

CASO: Vida de proyectos más extensos que el periodo de análisis.

VAN = 55

5

2

2

1

10

)1()1(...

)1()1( i

VR

i

FC

i

FC

i

FCI

Ec. 4.1

Una empresa constructora tiene un contrato para desarrollar excavaciones en

un centro minero. El contrato con la minera es de 2 años. Dispone de 2 tipos

de retroexcavadoras.

Modelo A, que cuesta $200 000 y tiene una vida útil de 3 años, con costos

operativos de $55 000 por año. Su valor de recuperación o residual estimado

al final de los 3 años sería de $20 000.

Modelo B, de mayor tamaño, cuesta $380 000 y tiene una vida útil de 6 años y

un valor residual de $50 000. Sus costos de operaciones anuales ascienden a

$40 000.

Los ingenieros de la Constructora estiman que las retroexcavadoras se pueden

vender en el mercado de segundo uso luego del contrato de 2 años, en las

cantidades siguientes:

El modelo A en $60 000

El modelo B en $114 000

¿Cuál sería la opción aceptable?

Suponemos los TMAR de la empresa en 20%

SOLUCIÓN:

PROYECCIÓN DE LOS FLUJOS EFECTIVO

MODELO A MODELO B

PERIODO FLUJO DE SALIDA

FLUJO DE ENTRADA

FLUJO DE SALIDA

FLUJO DE ENTRADA

0 $200 000

$60 000

$380 000

114 000

1 55 000 40 000

2 55 000 40 000

3 55 000 20 000

40 000

50 000

4 40 000

5 40 000

6 40 000

Periodo de

estudio= 2

años

Diagramas de Efectivo

Valor residual estimado al final del periodo de servicio

Cuando el periodo de estudio o análisis es menor a la vida útil de los activos, la ecuación

financiera queda con la ecuación de costos siguientes:

Ecuación de costos del modelo A

VPA = $200 000+55 000(P/A, 20%,2) - $60 000 (P/F, 20%,2)

= $200 000 + 55 000 (1.5278) - $60 000 (0.6944)

= $200 000 + 84 029 – 41 664

VPA = $ 242 365

Valor actual de los cotos totales que implica adquirida al modelo A. El valor de

rescate o residual de los activos resta a los flujos de costos.

Ecuación de costos del modelo B

VPB = $380 000 + 40 000(P/A, 20%,2) – 114 000(P/F,20%,2)

= $380 000 + 40 000(1.5278) – 114 0000(0,6944)

Modelo B Modelo A

0 1 2 3 años

IA=$200 000

C0=$55 000

$60 000 VRA =$20 000

0 1 2

0

3 4 5

IB=$380 000

C0 = $40 000

VRB =$50 000 $114 000

= $380 000 + 61 112 – 79 161,60

VPB = $361 950,40

CONCLUSIÓN: El modelo A representa para la constructora la menor inversión total en

término de costos. Es preferible este modelo.

IMPORTANTE: Para la valoración y comparación de proyectos por el método de valor

presente la decisión correcta es que ambos proyectos deben ser iguales en sus vidas

útiles o periodo de estudio. Se requiere comparación homogénea.

EJEMPLO. 2

COMPARACIÓN DE VALOR ACTUAL: VIDA DESIGUAL, MÉTODO DE MÍNIMO

COMÚN MÚLTIPLO

Siguiendo con los datos del ejemplo anterior, supongamos que la empresa constructora

continuará con las excavaciones de la Mina en término indefinido. También supondremos

que los modelos de retroexcavadora estarán disponibles en el futuro sin cambios en los

precios ni los costos operativos. Con una TMAR =20% ¿Qué modelo debe seleccionar la

empresa?

SOLUCIÓN:

Para comparar dos alternativas con vidas

desiguales, se procede a igualar las vidas de los

proyectos M.C.M. =6años con el valor presente

“El modelo “A” se repite en 2 ciclos

DIAGRAMA EFECTICO - MODELO A

DIAGRAMA DE EFECTIVO - MODELO “B”

Ecuación financiera de costos totales

MODELO “A”

IB=$380 000

$40 000

VR = $50 000

0 1 2 3 4 5 6

Años

$55 000

$200 000

1º ciclo

$200 000

$55 000

2do. Ciclo

VR = $20 000

0 1 2 3 4 5 6

VR = $20 000

Valor actual del primer ciclo de inversión es:

VPA1 = $200 000 + 55 000(P/A,20%,3) - $20 000(P/F,20%,3)

= $200 000 + 55 000(2.1065) - $20 000 (0.5787)

= $200 000 + 115 857,50 - 11,574

VPA1 = $304 283,50

Con dos ciclos de reemplazo el valor actitudes totales.

VPA2 = 304 283,50 [1 + (P/F,20%,3)]

= $304 283,50 + 304 283,50 (P/F,20%,3)

VPA2 = 304 283,50 + 304 283,50 (0,5787)

= $304 283,50 + 176 088,86

VPA2 = $ 480 372,36

MODELO “B”

El modelo “B” solo tiene un ciclo de inversiones. Su valor presente de costos

totales es:

VPB = $380 000 + 40 000(P/A, 20%,6) – 50 000 (P/F,20%,6)

VPB = $380 000 + 40 000 (3,3255) – 50 000(0,3349)

VPB = $380 000 + 133 020 – 16 745

VPB = $ 496 275

El valor de los costos totales de las inversiones resulta.

VPA < VPB , entonces preferible adquirir el modelo A.

4.1.2 Método de recuperación de la inversión (Pay back)

Evalúa los proyectos en base al tiempo necesario para recuperar la inversión.

EJEMPLO 3:

El departamento de Ingeniería Industrial de una empresa textil recibe la consulta

de la gerencia general, que quiere saber si el proyecto de automatización que les

permitirá incrementar su productividad es también una opción que genere

liquidez; es decir, recuperar la inversión en menos de 2 años.

La información disponible para calcular este indicador de Pay back (periodo de

recuperación) es la siguiente:

FLUJOS DE CAJA PROYECTADOS

(Después de impuestos)

Periodo

Flujos de efectivo

entrada (ahorros

por productividad)

Flujo de efectivo

salida Flujo neto

0 $25 000

(Inversión inicial) $25 000

1 $30 000 $5 000 $25 000

2 $30 000 $5 000 $25 000

3 $30 000 $5 000 $25 000

4 $30 000 $5 000 $25 000

5 $33 000 $5 000 $28 000

La empresa obtiene el capital a través de un préstamo bancario con una tasa de interés

del 15% después de impuestos, que es igual a la inversión inicial por $25 000. Calcular el

periodo de recuperación actualizado del proyecto.

Periodo Flujo de caja neto Gasto de los fondos

(15%)

Flujo de caja

acumulado

0

-$25 000 ----- -$25 000

1 $25 000 -$25 000(0,15)

-$3750 -$3750

2 $25 000 -$3750(0,15)

-$562,50 +$20 688

3 $25 000 $20 688(0,15)

$3103,20 +$48 791

4 $25 000 $48 791(0,15)

$7318,65 +$81 109

5 $28 000 $81 109(0,15)

$12 166,35 +$121 276

Observamos en el cuadro que al final del año 1 se tiene un saldo negativo de -$3750,

para el año 2 se espera recibir $25 000 y pagar las formas del préstamo por $562,50. Por

tanto, la recuperación está en 1 año y fracción.

El periodo de recuperación de la inversión de 1.17 años.

CUADRO BALANCE DEL PROYECTO

Periodo 0 1 2 3 4 5

Saldo Inicial 0 -25 000 -3750 20 688 48 791 81 109

Costo de los fondos (interés)

0 -3750 -562 3103 7319 12 166

Flujo de Caja -25 000 25 000 25 000 25 000 25 000 28 000

Balance del proyecto

-25 000 -3 750 20 688 48 791 81 109 121 276

4.2 COSTO CAPITALIZADO

El costo capitalizado es el método de evaluación para proyectos con vida perpetua

o con horizonte de planificación muy largo. Ejemplos de proyectos con vida

perpetua:

Proyectos públicos como puentes, carreteras, construcciones hidráulicas, sistemas

de riego y presas hidráulica.

Proyectos educativos con dotaciones universitarias.

Valor actual de los dividendos de una empresa.

Diagrama de efectivo: Proyectos con una serie infinita de flujos de efectivo

Ecuación financiera:

La ecuación financiera que permite calcular el valor actual de una serie uniforme

infinita (o casi infinita) de flujos de efectivo o un ciclo repetitivo de flujos de efectivo

queda definida como:

iii

iNiAP

N

N

NN

1

)1(

1)1(lim),,/(lim

De esto se obtiene:

i

ANiAPAVP i ),,/()(

Ec. 4.2

Ecuación del costo capitalizado

EJEMPLO 4:

Vida de serie

perpetua

P=?

∞ 0 1 2 3 4 5 N-1 N

La empresa española “Asturias S.A.” está valorando las decisiones de invertir en

un proyecto de energía hidroeléctrica en Chimbote, cuyas proyecciones de flujos

de efectivo se presenta en el siguiente diagrama:

Diagrama de efectivo: Proyecto de energía hidroeléctrica

La empresa española necesita invertir durante 5 años en gastos pre-operativos,

antes de iniciar la explotación de la central hidroeléctrica. Los flujos de efectivo de

ingresos se estiman en $140 000 anuales en los próximos 50 años, netos

después de impuesto y de pagar los gastos de operaciones. El costo de

oportunidad de la empresa es variable.

i1 = 10% durante la pre – operación, y de i2 = 15% en la fase de explotación.

SOLUCIÓN

La valoración del proyecto lo realizamos con el método del costo capitalizado y

valor presente del pago único.

i1=10%

$100 000 $100 000

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 49 50 años

$50 000

$90 000

$70 000

$140 000

i2=15%

Inversiones pre operaciones

Ingreso anual

después de

impuestos

$60 000

Valor de los flujos de efectivo en la fase de pre-operación

000,60)1%,10,/(000,1002%,10,/(000,100

)3%,10,/(000,70)4%,10,/(000,90)5%,10,/(000,50$1

PFPF

PFPFPFP

000,60)1000.1(000,100)2100.1(000,100

)3310.1(000,70)4641.1(000,90)6105.1(000,50$1P

000,60000,110000,121170,93769,131525,80

464,596$

VALOR PRESENTE DE LOS FLUJOS DE EFECTIVO DE LA SERIE PERPETUA

33.333,933$15,0

000,140$2P

Valor Neto equivalente del Proyecto

464,59633.333,933$12 PP

33.869,336$

El proyecto es rentable, el valor actual de los flujos de explotación de la energía

superan a los gastos de pre inversión.

Ejemplo 5:

Alquilar o comprar

Actualmente renta una casa en $10 000 dólares al año y tiene la opción de comprarla en

$200 000. El impuesto predial es deducible y usted paga un impuesto personal del 30%.

Se estima que el mantenimiento y el impuesto predial son:

Mantenimiento $1 200

Impuesto predial $2 400

Total $3 600

Los costos anteriores están incluidos en el alquiler.

Supongamos que su objetivo es conseguir un valor presente más bajo que el costo.

¿Debe comprar o seguir rentando?

La tasa de descuento real (libre de inflaciones) antes de impuestos es del 3% anual.

Solución:

Valoramos la opción de comprar la casa

Inversión Inicial : $200 000

Costos de mantenimiento : $1 200/año

Impuesto predial : $2400 x (1 - 0,30) = $1680

deducible del impuesto a la renta

Tasa de descuento

Después del impuesto : 3% (1 - 0,30) = 2,1% anual

La ecuación del costo capitalizado de la opción de compra: (los costos de operación y

mantenimiento se mantienen constantes y son perpetuas)

021.0

)680,1$200,1($000200$compraVP

85.142137$000200$

85.142337$compraVP

Valoramos La Opción De Alquilar

Por tanto, le convendrá más comprar la casa.

IMPORTANTE: La tasa de interés después de impuestos se define como: tasa de

interés después de impuestos = (1- tasa final) x tasa de interés antes de impuestos.

190476$021.0

00010$alquilarVP

La decisión de invertir $200 000 en la compra significa un abono en valor presente neto

de:

$139 047.50 = ($476 190 – $337 142.85)

El alquiler de “equilibrio” (los cálculos anuales de la renta ante los cuales será indiferente

comprar o alquilar) se obtiene:

021.0

880,2$000200$

021.0

x

0807$X

Será conveniente su alquiler si su costo es menor a $7 080 al año.

4.2. ANÁLISIS DE VALOR ANUAL EQUIVALENTE

El análisis de valor anual equivalente es el método con el cual valoramos los

proyectos desde la perspectiva de los costos unitarios. El análisis del valor anual

equivalente (VAE) es un método que determina una cantidad equivalente anual en

lugar de un valor presente global de un proyecto. El VAE resulta una técnica

importante después del VAN para comparar y valorar proyectos mutuamente

excluyentes. En esta valoración no se requiere igualar la vida de los proyectos

para su comparación.

Ecuación Financiera del VAE

I0

N

0

0 1

0

2

0

3

0

4

0

0 1

0

2

0

3

0

4

0

N

0

FC3 FCn

FC1

FC2 FC4

i%

DIAGRAMA DE EFECTIVO DEL VAN

i%

DIAGRAMA DE EFECTIVO DEL VAE

A

4.3.

La regla para aceptar o rechazar un proyecto de inversión con flujos de ingresos

es:

Si VAE(i) > 0, se acepta la inversión

Si VAE(i) = 0, es indiferente

Si VAE (i) < 0, se rechaza la inversión

4.3.1 Costo anual uniforme equivalente

El costo anual uniforme equivalente (CAUE) es un método del VAE que es utilizado para

valorar y comprar un proyecto de inversión desde la perspectiva de costos operativos y

costos de recuperación de capital.

El costo de recuperación de capital se entiende como aquel costo que representa la

depreciación de los activos y que se debe recuperar en el tiempo de planificación del

proyecto para efectos de generar fondos intangibles o de autofinanciación para renovar

los activos; por ejemplo: en un centro de cabinas de internet los dueños tienen que

agregar como parte del costo del servicio de alquiler por hora el costo proporcional

correspondiente a la depreciación de los ordenadores (este es un concepto de

recuperación del capital).

Cálculo del CAUE mediante el método del fondo de amortización de salvamento.

)%,,/()%,,/( niFAVRniPAPCAUE Ec. 4.4

Cálculo del CAUE mediante el método del valor de salvamento

)%,,/()%,,/( niPAniFPVRPCAUE Ec. 4.5

VAE(i) =VAN (A/P,i%,N)

Cálculo del CAUE mediante el método de recuperación del capital más intereses

)()%,,/)(( iVRniPAVRPCAUE Ec. 4.6

4.4 ANÁLISIS DE LA TASA DE RENDIMIENTO

El método de la tasa de rendimiento valora los proyectos de inversión desde la

perspectiva de su rentabilidad interna y ofrece resultados en términos porcentuales.

La tasa interna de rendimiento es una tasa de interés de equilibrio, i*, que es igual al valor

actual de los flujos de efectivo de un proyecto con el valor actual de los flujos de entrada

de efectivo:

0*)( salida) de (flujoentrada) de (flujo VAVAiVA Ec. 4.7

La ecuación del valor actual neto queda:

0)1(

...*)1(*)1(

*)(2

2

1

10 n

n

i

FC

i

FC

i

FCIiVAN

Ec. 4.8

Donde:

I0 = Inversión Inicial (Valor conocido)

FCn = Flujo de Caja del proyecto al final de cada año “n” (Valores conocidos)

i* = tasa interna de rendimiento (variables a calcular)

La tasa de rendimiento interna

Está basada en la rentabilidad del capital invertido. Este rendimiento del proyecto se

conoce como la tasa de rendimiento interno (TIR) o el interés del rendimiento real que

permite generar un proyecto de inversión durante su vida útil.

4.4.1 Cálculo de la tasa de retorno utilizando una ecuación de valor anual

equivalente (VAE)

Utilizando el método VAE podemos calcular el valor de i* (TIR), este método se prefiere

cuando hay flujos de efectivo anuales uniformes involucrados. El procedimiento es el

siguiente:

Dibujar el diagrama de efectivo

Definir la ecuación financiera del VAE (desembolsos) y VAE (entradas) con la i* como

variable desconocida

Definir la relación de la tasa de retorno en la forma de la ecuación:

Ec. 4.9

4.4.2 Reglas de decisión de aceptación o rechazo para inversiones simples

Si:

TIR > TMAR, se acepta el proyecto

TIR = TMAR, es indiferente

TIR < TMAR, se rechaza el proyecto

4.5 COMPARACIÓN DE LOS CRITERIOS DEL VAN Y TIR (FLUJOS NO

CONVENCIONALES)

Caso de una inversión simple

Una inversión simple es cuando todos los rendimientos netos o flujos de caja son

positivos. Uno ellos puede ser nulo.

0. sFCsimpleI Para todos

Se comprueba, analítica y gráficamente, que ambos criterios, VAN y la TIR,

conducen a la misma decisión.

Caso de una inversión no simple

Una ecuación no simple es cuando existe algún rendimiento neto negativo.

0R . sExistesimplenoI

En este caso hay que comprobar si la inversión es pura o mixta.

Inversión pura

Una inversión es pura para un tanto de valoración r cuando los n -1, primeros

saldos financieros, son negativos o nulos. En este caso el saldo final de la

inversión es cero.

Para este analisis asumiremos que:

0)(Sy 1-n ... 1,con t 0)(Spura I. nt rr

Siendo:

St (r) el saldo en el momento t y Sn (r) el saldo al final de la inversión.

En las inversiones puras hay, a lo más, una única solución para el TIR (una

solución real y positiva para r), y ambos criterios, VAN y TIR, conducen a la

misma decisión.

Inversión mixta

Una inversión es mixta para un tanto r cuando alguno de los n-1, primeros

saldos financieros, es positivo. En este caso, el último saldo es nulo.

0)(S siendo 0S . nt rExisteMixtaI

En esta situación puede haber más de una solución para el TIR, lo que

contradice el propio concepto de tanto interno, e impide aplicar lógicamente el

criterio de decisión. Ambos criterios, VAN y TIR, se muestran inconsistentes.

Toda inversión simple es pura y toda inversión mixta ha de ser no simple.

- Regla de decisión ante inversiones no simples

Hay que comprobar si la inversión es pura o mixta, ya que las inversiones puras

se resuelven igual que las simples. Sin embargo, las mixtas son una mezcla de

inversión y financiación, por lo que requieren interpretación y tratamientos

específicos.

Deben darse los siguientes pasos:

1. Obtener el tipo de interés más pequeño que hace a los n-1 primeros saldos

negativos o nulos.

Hallar:

1-n ..., 2, 1, t,0)(S mintmin iquetali

En la práctica se empieza con el hallazgo del i que anula el primer saldo:

10)1()(0

1min1min0min1

C

RiRiCiS

Como el imin así calculado se halla el saldo del año 2:

2min1min2 )1()( RiSiS

Si el S2 (imin) ≤ el imin calculado anteriormente cumple la condición, por lo

que no ha de modificarse.

Si S2 (imin) > 0, hay que conseguir que S2 (imin) = 0 por lo que ha de operarse

con un i más alto, el cual pasará a ser el nuevo imin.

Así se continuará hasta hacer Sn-1(imin) ≤ 0

2. Con el imin que se acaba de obtener se halla el saldo del momento n:

Hallar Sn (imin) y observar su signo.

Si Sn(imin) > 0, existe un tanto r > imin que consigue hacer Sn(r)=0. Como los

n – 1 primeros saldos eran negativos o nulos para el imin, con mayor razón se

mantendrán negativos al operar con un tipo de interés (r) más alto. Por lo tanto,

la inversión es pura y se resuelve igual que las simples.

Si Sn(imin) < 0, existe un tanto r< imin que consigue hacer Sn(r)=0. Ahora, al

bajar el tipo de interés, alguno de los saldos nulos o negativos, pasarán a ser

positivos. Así tenemos: la inversión (saldos negativos) y la inversión que

financia a la empresa (saldos positivos).

3. Forma de proceder ante inversiones mixtas.

Cuando la empresa financia a la inversión, se ha de operar con el tanto r, que

ahora tiene el significado de rentabilidad del capital invertido (RCI); y cuando la

inversión financia a la empresa, se ha de operar con el tanto i, de coste de

capital para esta última. El saldo al final de la inversión permite establecer la

relación entre r e i.

Por ejemplo, para calcular el saldo del momento s en función del saldo en el

momento s-1 se hará (método recurrente):

SSS RiirSirSirSi )1)(,(),(0),(S : 11-S

Ya que en el período s la inversión financia a la empresa.

SSS RrirSirSir )1)(,(),(0),(S :Si 11-S

Ya que en el período s es la empresa quién financia a la inversión.

Al obtener el saldo del momento n, por recurrencia, y tras situaciones sucesivas

de los saldos anteriores, se obtiene la función.

)(0),( irrirSn

Según sea i, tanto de coste de capital para la empresa, se decide:

r(i) > i Aceptar el proyecto

r(i) < i Rechazar el proyecto

EJEMPLO 6: CLASIFICACIÓN DE INVERSIONES

Un proyecto de inversión exige un desembolso inicial de S/.4´600 000 y se

espera que produzca unos rendimientos netos de un millón de soles durante

cada uno de los próximos 7 años. Determinar:

a) Si debe aceptarse, en el supuesto de que se aplica el criterio del VAN. El

tanto del coste del capital es el 10%.

b) Si debe aceptarse, en el supuesto de que se aplique el criterio del VAN. El

tanto del coste de capital es el 15%.

c) La variación del VAN al variar i del 8 al 15%.

d) Representar gráficamente el VAN en función de i.

e) El Tanto de Rendimiento Interno (TIR) del proyecto.

f) Los saldos financieros del proyecto para el TIR.

g) Clasificar la inversión.

SOLUCIÓN:

El esquema gráfico del proyecto es:

Los rendimientos netos representan una renta de cuantía constante temporal y

post pagable.

a. Valor Actual Neto del proyecto, para un tanto de coste del 10% RESULTA:

Van (10%)=106 (P/A,10%,7)-4‟600 000 = S/. 268 418,82

Como VAN (10%) > 0, el proyecto debe aceptarse.

b. Ahora, el tanto de coste de capital para la empresa es el 15%, por lo que resulta:

VAN (15%)=106(P/A,15%,7) – 4‟600 000 = -S/.439 580,27

Como VAN (15%) < 0, el proyecto debe rechazarse.

Al ser, ahora, más elevado el coste de capital para la empresa, el valor

actualizado de los rendimientos netos no llega cubrir el desembolso inicial

exigido por la inversión.

-4´600 000

0 1 2 3

106 106 106

c. Obteniendo los valores del VAN para distintos valores de i, entre el 8 y el 15%

y variando de uno en uno por ciento, resulta:

i = 8% VAN(8%) = S/. 606 370,06

i = 9% VAN(9%) = S/. 432 952,84

i = 10% VAN(10%) = S/.268 418,82

i = 11% VAN(11%) = S/. 112 196,26

i = 12% VAN(12%) = S/. -36 243,46

i = 13% VAN(13%) = S/. -177 389,57

i = 14% VAN(14%) = S/. -311 695,16

i = 15% VAN(15%) = S/. -439 580,37

d. La función a representar es 000,600'4)7%,,/(106 iAPVAN , siendo i la

variable independiente y VAN la variable dependiente. Se debe tener en cuenta

que desde la perspectiva financiera únicamente interesa la parte en que i ≥ 0,

ya que el tanto de coste de capital para la empresa es siempre positivo, o como

extremo nulo.

Para i = 0 VAN (0%) = 7, 106 – 4‟600 000 = S/.2‟400 000

Para i , VAN ( )= -4‟600 000

Como la inversión es simple por ser los rendimientos netos positivos, se verifica

que:

Es decreciente

Es cóncava hacia el eje positivo de

ordenadas

Por tanto, para i > 0, la función VAN (i) es monótona decreciente. La

representación gráfica es:

e. El tanto de rendimiento interno (TIR) es aquel tanto r que anula el beneficio total actualizado del proyecto.

f. Los saldos financieros del proyecto para el tanto r=0.1175112 son:

S0(r) = S/. - 4‟600 000

S1(r) = - 4‟600 000 (1 + r) +1‟000 000 = S/. – 4‟140 551,5

S2(r)= - 4‟140 551,5 (1 + r) +1‟000 000 = – 3‟627 112,7

S3(r)= - 3‟627 112,7 (1 + r) +1‟000 000 = – 3‟053 339,1

S4(r)= - 3‟053 339,1 (1 + r) +1‟000 000 = – 2‟412 140,6

S5(r)= - 2‟412 140,3 (1 + r) +1‟000 000 = – 1‟695 559,4

S6(r)= - 1‟695 559,4 (1 + r) +1‟000 000 = – 894 845,4

S7(r)= - 894 845,4 (1 + r) +1‟000 000 = 0

VAN

2.4

0

-4.6

11.75

1%

g. Se trata de una inversión simple, por ser todos los rendimientos netos positivos.

Es una inversión pura, por ser los seis primeros saldos financieros

obtenidos con el tanto interno r negativos.

Es una inversión a largo plazo, por tener una duración de siete años.

Es una inversión que se considera dentro de un ambiente de certeza.

No puede clasificarse desde otros puntos de vista al no especificarse el

objeto en que se invierte, ni el objetivo que se persigue, ni su relación con

otras inversiones.

4.6 TÉCNICAS DE VALORACIÓN Y COMPARACIÓN DE ALTERNATIVAS

ECONÓMICAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Las técnicas o métodos estudiados en los capítulos anteriores para la valoración

de los flujos de caja (VP, VAN, VAE, CAUE), constituyen la base para la

comparación y resolución de proyectos económicos mutuamente excluyentes.

Proyecto mutuamente excluyentes:

Se define como proyectos mutuamente excluyentes a aquellas unidades

económicas que constituyen alternativas para generar valor agregados a la

empresa. Solo una de ellas puede ejecutarse:

Ejemplo:

Proyecto para incrementar la productividad en base a tecnología:

Proyecto A: Invertir en una planta de ensamblado de automóviles con tecnología

de automatización flexible.

Proyecto B: Invertir en una planta de ensamblado de automóviles con tecnología

convencional.

Este tipo de decisiones representa para KYUSHU de NISSAN una inversión de

803,9 millones de dólares, casi el doble de lo que cuesta una planta convencional.

Al parecer, la decisión representó problemas financieros en los últimos diez años

por una valor de 37 000 millones de dólares para NISSAN (Wall Street Journal).

4.6.1 REGLAS DE ORO PARA VALORACIÓN Y SELECCIÓN DE

ALTERNATIVAS MUTUAMENTES EXCLUYENTES

1. Las alternativas económicas deben tener como objetivo la inversión de

capital (tangible o intangible) y obtener con rendimiento al menos la

TMAR por cada dólar invertido.

2. Las alternativas a considerar deben ser factibles para su capacidad de

endeudamiento y consistente con una estrategia de mercado.

3. Se elegirá la alternativa que requiere la mínima inversión de capital y que

produzca resultados rentables, a menos que el “retador”, una alternativa

que tenga un interés mayor, se pueda justificar con respecto a sus

ahorros (o beneficios) incrementales.

4. La alternativa que requiere la inversión mínima de capital se constituye la

alternativa base.

5. La alternativa requiere una inversión de capital adicional sobre las

alternativas base. Debe ofrecer una mejora en los flujos de caja a futuro a

través de una reducción de costos, aumento de los ingresos, aumento de

la capacidad, etc.

6. Si los flujos de caja a futuro producidos por una mayor inversión de

capital retornan un rendimiento igual o mayor a la TMAR, debe hacerse la

inversión, caso contrario debemos invertir el monto mínimo de capital.

EJEMPLO. 7

Se tiene tres proyectos mutuamente excluyentes con vida útil iguales:

IMPORTANTE: La correcta aplicación de esta técnica permite valorar y seleccionar

el conjunto de alternativas económicas mutuamente excluyentes viables para la

empresa, aprovechando al máximo el presupuesto de capital disponible para la

adquisición de activos tecnológicos.

ALTERNATIVAS

A B C

Inversión de capital - $ 160

000 $ 173 000 $ 350 000

Ingreso neto después de los impuestos

$ 75 000 $ 87 000 $ 120 000

Vida útil 4 4 4

TMAR = 15%

Decidir la mejor opción de inversión por el método de inversión incremental:

Valor presente incremental

TIR incremental

SOLUCIÓN:

Primero debemos demostrar que cada alternativa es viable económicamente.

Alternativa “A”

Flujo de efectivo


VAN (15%) = -$160 000 + 75 000 (P/A, 15%,4)

VAN (15%) = -$160 000 + 75 000 (2,8550)

TMAR =151

A=$75 000

VR=ɸ

0 1 2 3 4

$160 000

VAN (15%) = -$160 000 + 214 125

VAN (15%) = $ 54 125 > 0 Proyecto viable económicamente

Ecuación de la TIR:

-160 000 + 75 000 (P/A, i%, 4) = 0

i = 30,9%

Solución:

Como la TIR = 30,90% > TMAR , entonces aceptamos el proyecto “A”

Alternativa “B”

Flujo de efectivo

VAN (15%) = - 173 000 + 87 000 (P/A, 15%, 4)

= - 173 000 + 87 000 (2,8550)

= -$173 000 + 248 385

VAN(15%) = $75 385 > o Proyecto viable económicamente.

Ecuación de la TIR

- 173 000 + 87 000 (P/A, i%, 4) = ɸ

i = 35,27%

Decimos:

Como la TIR > TMAR Aceptamos el proyecto “B”

A=$87 000

VR=ɸ

0 1 2 3 4

$173 000

Alternativa “C”

Flujo de efectivo

VAN(15%) = -350 000 + 120 000 (P/A,15%,4)

VAN(15%) = -$350 000 + 120 000 (2,8550)

VAN(15%) = -$350 000 + 342 000

VAN(15%) = $7400 < 0 Proyecto no viable económicamente.

Ecuación de la TIR

-350 000 + 120 000 (P/A, 15%, 4) = 0

i = 13.95% < TMAR. No se acepta el proyecto C.

Resumen

A B C

VAN $54 125 75 385 7 400

TIR 30,90% 35,27% 13,95%

DECISIÓN Aceptar Aceptar Rechazar

En este caso el VAN y la TIR son consistentes; es decir, si elegimos por el

criterio del mayor VAN, el proyecto “B” gana.

Si elegimos por el criterio del mayor TIR, el proyecto “B” nuevamente gana.

NOTA IMPORTANTE: En algunos casos nos encontramos con proyectos

mutuamente excluyentes que son inconsistentes con los criterios del VAN y la

TIR. Esto quiere decir que un proyecto puede tener un mayor VAN con respecto

al retador, pero puede tener una menor TIR.

0 1 2 3 4

A=$120 000

$350,000

MÉTODO INVERSIÓN INCREMENTAL

Los pasos para desarrollar la inversión incremental.

1º Arreglar (ordenar) las alternativas factibles en base a la inversión de

capital creciente.

2º Establecer una alternativa base. La primera alternativa (menor inversión

de capital) es la base.

3º Destacar los proyectos que no pasaron la prueba del VAN y la TIR.

4º Utilizar la intención para evaluar diferencias.

Flujos de efectivo alternos Análisis incremental

de alternativas

Final del periodo A B A` Δ(B - A)

0 -S/. 160,000.00 -S/. 173,000.00 S/. 160,000.00 -S/. 13,000.00

1 S/. 75,000.00 S/. 87,000.00 S/. 75,000.00 S/. 12,000.00

2 S/. 75,000.00 S/. 87,000.00 S/. 75,000.00 S/. 12,000.00

3 S/. 75,000.00 S/. 87,000.00 S/. 75,000.00 S/. 12,000.00

4 S/. 75,000.00 S/. 87,000.00 S/. 75,000.00 S/. 12,000.00

A‟: Flujo neto de la alternativa A, que es el flujo de efectivo incremental

con la alternativa de no hacer nada.

Diagrama de efectivo de la inversión incremental Δ (B – A)

Calculamos el valor presente neto incremental:

Δ VAN (B-A) = -13 000 + 12 000 (P/A, 15%, 4)

Δ VAN (B-A) = -13 000 + 12 000 (2,8550)

A=$12 000

0 1 2 3 4

$130 000 TMAR = 15%

Δ VAN (B-A) = -13 000 + 34 260

Δ VAN (B-A) = $ 21 260 > 0 Se justifica el capital adicional invertido

en B

Método TIR (incremental)

0 = -13 000 + 12 000 (P/A, i%, 4)

i = 84.31%

TIR Δ = 84,31% es mayor a la TMAR = 15% y VAN Δ(15%)= $21 260 > 0.

Se justifica la reelección de la alternativa “B” de mayor inversión de capital. Se

confirma la decisión al comparar las alternativas individualmente.

PROBLEMAS DE EVALUACIÓN

4.1 Considere los siguientes flujos de efectivo y el perfil de valor actual de la figura siguiente.

FLUJO NETOS DE EFECTIVO

(a) Determine los valores de X y Y

(b) ¿Cuál es el saldo terminal del proyecto 1 con TRMA=24%?

Considere los saldos de un proyecto de inversión típico con vida de servicio de cinco

años.

Año Proyecto 1 Proyecto 2

0 -$100 -$100

1 40 30

2 80 Y

3 X 80

(a) Elabore los flujos de efectivo originales del proyecto y el saldo Terminal. Complete

los vacíos de la tabla.

(b) ¿Cuál es el saldo terminal del proyecto 1 con TRMA=24%?

(c) Encuentre los valores de (a), (b) y (c) en la siguiente figura:

ALTA CORREGIR

a) Utilizando la fórmula del VAN (Valor Actualmente Neto) resolvemos los valores X,Y.

0)3%,24,/()2%,24,/(80)1%,24,/(40100$%)24(1 FPXFPFPVAN

)5245.0()6504.0(80)8065.0(401000 X

X5245.0032.5226.321000

708.155245.0 X

5245.0

708.15X

95.29$X

0

VA

N (

i)

10 20

30

©

24%

23%

ic=? i(%)

Proyecto 1

Proyecto 2

)3%,23,/(80)2%,23,/(4)1%,23,/(30100$%)23(2 FPFPFPVAN

)537.0(80)661.0(4)813.0(30100$0

96.42661.039.24100$0 y

65.32661.0 y

661.0

65.32y

39.49$y

b) El saldo terminal del proyecto 1 con una tasa de descuento de 24% es cero: VAN (24%) = 0

Queda demostrado con el cuadro de balance de proyecto.

Periodo 0 1 2 3

Saldo inicial -100 -84 -24,16

Intereses -24 -20,16 -5,80

Ingreso de flujo -100 40 80 29,96

Balance del proyecto -100 -84 -24,16 0

IMPORTANTE: Para aplicar la fórmula del VAN se ha tomado como tasa de

descuento 24% para el proyecto 1, y 23% para el proyecto 2.

Estas tasas representan los rendimientos que hacen cero el VAN. Observe la

gráfica, la curva del VAN está en estos dos puntos. Esto constituye el concepto de

la TI, que se estudiará más adelante.

c) Para calcular el valor de “a” en la gráfica, planteamos la ecuación del valor presente en una tasa de interés igual a cero (corresponde al proyecto 2).

)3%,0,/(80)2%,0,/(39.49)1%,0,/(30100%)0(2 FPFPFPVP

39.59$%)0(2VP

Para calcular el valor del punto “b” en la gráfica calculamos el valor del proyecto 2,

con i =0%).

95.49$95.29$)2%,0,/(80)1%,0,/(40100$%)0(1 FPfpVP

VALOR ACTUAL

4.2 Considere lo saldos de un proyecto de inversión típico con vida de

servicio de cinco años.

(a) Elabore los flujos de efectivo originales del proyecto de saldo Terminal. Llene los

vacíos de la tabla.

N An Saldo de proyectos

0 -$1000 -$1000

1 () -900

2 490 -500

3 () 0

4 () -100

5 200 ()

(b) Determine la tasa de interés de acuerdo con la cual se calculó el saldo del proyecto y calcule el valor actual de este proyecto con la tasa de interés que obtenga.

SOLUCIÓN:

a)

Cuadro de balance de proyecto

n Flujos de caja Balance del Proyecto

0

1

2

3

4

5

-$1000

(200)

490

(550)

(-100)

200

-$1000

-$900

-500

0

-100

(90)

b) Ecuación financiera con los datos del año, para calcular la tasa de interés.

Luego el valor actual neto del proyecto:

88.55$)5%,10,/(200...)2%,10,/(490)1%,10,/(200000,1$%)10( FPFPFPVAN

4.3. Considere los saldos de un proyecto de inversión típico con vida de servicio de 4

años.

(a) Elabore los flujos de efectivo originales del proyecto.

(b) ¿Cuál es la tasa de interés que se usa para calcular el saldo de proyecto?

(c) Con i = 15%, ¿sería aceptable este proyecto?

N An

Saldo de

proyectos

0 -$1000 -$1000

1 () -1100

2 () -800

3 460 -500

4 () ()

SOLUCIÓN:

a)

Cuadro de Balance de Proyecto

n Flujo de Caja Balance del Proyecto

0

1

2

3

4

-$1000

(100)

(520)

460

(600)

-$1000

-1100

-800

-500

0

b) Tome como referencia el año 3 para establecer la ecuación financiera de Valor

Presente y luego calcule el valor de la tasa de descuento “i”.

c) Valoremos el proyecto con una tasa de interés del 15%

Proyecto aceptable

4.4. Considere el diagrama de saldo de proyecto de la figura correspondiente a un

proyecto de inversión típico. Los números en la figura indican los saldos iniciales del

proyecto.

(a) A partir del diagrama de saldo de proyecto, elaborar los flujos de efectivo originales del proyecto.

(b) ¿Cuál es el periodo de recuperación convencional (sin interés) de este proyecto?

N An SP(i)n

0

1

-$10 000

( )

-$10 000

-11 000

SP(i

)n

-$10 000

-$11 000

-$8200

-$1840

Año

$3 792

$7 550

0 1 2 3 4 5 6

n

2

3

4

5

( )

8000

( )

( )

-8200

-1840

3792

7550

SOLUCIÓN:

a. Para calcular la tasa de descuentos del proyecto estableceremos la ecuación de

valor presente en los cuales esté el balance del proyecto:

000,11$)1(000,10$)( 11 AiiVP

200,8$)1(000,11$)( 22 AiiVP

840,1$000,8)1(200,8$)(3 iiVP

792,3)1(840,1$)( 44 AiiVP

750,7)1(792,3$)( 5)5( AiiVP

De la ecuación de valor presente del año 3 VP3(i): tenemos:

1840$8000)1(8200$ i

%20i

Reemplazando valores en el cuadro de balance del proyecto.

n Flujo de Caja Balance del Proyecto

0

1

2

3

4

5

-$1000

(1000)

(5000)

8000

(6000)

(3000)

-$10 000

-11 000

-8 200

-1840

3792

7550

4.3. Minera “Libertad” necesita un edificio de oficinas temporal con dos tipos de

calefacción. El primer método consiste en usar “gas embotellado” para hornos de

piso. El segundo, en instalar paneles radiantes eléctricos en las paredes y el

techo. Este edificio temporal se usará durante cinco años para luego

desmantelarse.

Gas embotellado Paneles eléctricos

Costo de Inversión $6000 $ 8500

Vida de servicio 5 años 5 años

Vida residual 0 $1000

Costo anual de operación y

mantenimiento $ 2000 $ 1000

Gastos adicionales esperados de

impuestos sobre la renta $220

a) Compare las alternativas con base al criterio del valor actual con i=10%. b) Compare las alternativas con base en el criterio de valor futuro con i=10%

SOLUCIÓN:

Calefacción gas embotellado

Flujos de efectivo

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo Neto -6000 -2000 -2000 -2000 -2000 -2000

Valor Actual = - 6000 – 2000 (P/A,10%,5) = -13 581,57

Valor Futuro = -6000(F/P,10%, 5) – 2000(F/A,10%,5) = -21 873,26

Calefacción Paneles Eléctricos

Año 0 1 2 3 4 5

Flujo Neto -8500 -1220 -1220 -1220 -1220 -220

Año 5 = -1000 + 1000 – 220 = -220

Valor Actual = -8500-1220(P/A,10%,5)+1000(P/F,10%,5)= -12 503,84

Valor Futuro= -8500(F/P,10%,5) – 1220(F/A,10%,5)+1000= -20 137,56

Seleccionamos los paneles eléctricos.

4.6 Problemas con flujos no convencionales. Una inversión que requiere un

desembolso inicial de S/.10 250 000 va a generar unos rendimientos netos de S/.

2,5 millones durante cada uno de los tres primeros años, un rendimiento negativo

de esa misma cuantía durante el cuarto año, y finalmente uno positivo de S/.7

850 000 durante el quinto año. Obtener:

c) El VAN de la inversión para un tanto de coste del 11%.

d) El TIR de la inversión.

e) Los saldos financieros para el TIR.

f) Clasificar la inversión.

Solución:

El esquema gráfico de la inversión que incluye las cuantías en millones de

soles es:

a. El beneficio total actualizado para el tanto i=11% resulta:

VAN (11%) = 2,5, 106. (P/A,11%,3) – 2,5, 10

6.(1,11)

-4+ +7,85 10

6.(1,11)

-5-10,25,10

-6

= S/. -1 128 948

Como es negativo, la decisión, sería en este caso, rechazar, es decir, no llevar

a cabo el proyecto por VAN negativo.

-10.25 2.5 2.5 2.5 2.5 7.85

0 1 2 3 4 5

b. Esta inversión no es simple, por ser el rendimiento neto del cuarto año negativo.

El tanto de rendimiento interno, se obtiene, operando en unidades de millón:

54 )1(85.7)1(5.2)3%,,/(5.225.10 rrrAP

Utilizando el método de prueba y error, se obtiene r = 0,070016

El tanto de rendimiento interno es r = 7% .

Al ser la inversión no simple, podría haberse obtenido el imin, que consigue que

los n-1 primeros saldos sean negativos o nulos, y deducir, a partir de ello, si la

inversión es pura o mixta. Pero esto también puede deducirse más fácilmente,

al resolver el siguiente apartado.

c. Los saldos financieros para el tanto interno r =7,0016% son:

S0(r) = S/.- 10 250 000

S1(r) = -10 250 000 (1 + r) +2 500 000 = – 8 467 664

S2(r)= - 8 467 664 (1 + r) +2 500 000 = – 6 560 536

S3(r)= - 6 560 536 (1 + r) +2 500 000 = – 4 519 878

S4(r)= - 4 519 878 (1 + r) +2 500 000 = – 7 336 342

S5(r)= - 7 336, 342 (1 + r) +7 850 000 = 0

d. Clasificación de la inversión:

Es una inversión no simple porque el cuarto rendimiento neto negativo.

Es una inversión pura porque los cuatro primeros saldos financieros

negativos para el tanto interno.

Es una inversión a largo plazo porque tiene una duración de cinco años.

Es una inversión que se desarrolla en un ambiente de certeza.

4.7 Una inversión presenta los siguientes resultados en millones de soles:

(-4,0); (25,1); (-25,2). Se desea conocer:

a. El VAN para unos tantos de coste i=15%, e i=30%.

b. El TIR de la inversión y los saldos financieros correspondientes.

c. Comentar los resultados obtenido en a) y b) y clasificar la inversión.

d. La representación gráfica del VAN de la inversión en función de i.

e. La relación entre la Rentabilidad del Capital Invertido (RCI) y el tanto de

coste i para la empresa, así como su representación gráfica.

f. Criterio de decisión a emplear.

SOLUCIÓN:

El esquema gráfico de esta inversión es (en millones).

a. El VAN total actualizado al 15% y al 30%

VAN(15%) = -4 + 25(1,15)-1

– 25(1,15)-2

= -1 164 461,24 millones de soles

VAN(30%) = -4 + 25(1,30)-1

- 25(1,30)2

= 0,437869 millones de soles.

Por lo tanto, aplicando el criterio VAN indicaría que el proyecto debe

rechazarse si el tanto de coste para la empresa es el 15%, sin embargo si el

tanto de coste es más alto -el 30% -, el criterio indicará aceptar, lo cual es una

inconsistencia.

b. El tanto de rendimiento interno (TIR) del proyecto es:

-4 + 25 (1+r)-1 – 25(1+r)-2 = 0

Haciendo 1+ r = x y sustituyendo es:

4x2 – 25x + 25 = 0

4/5;58

1525

8

4006252521 xxx

Por lo tanto, como r = x -1, se obtiene dos soluciones para r:

r1 = 4 (400%) r2 = 0.25(25%)

Los saldos para r1 = 4 son:

0 1 2

-4 25 25

S0 = (r) = - 4

S1 = (r) = - 4(1+ r1)+25 = 5

S2 = (r) = 5(1+ r1)-25 = 0

Los saldos para r2=0.25 son:

S0 = (r) = - 4

S1 = (r) = - 4(1+ r2)+25 = 20

S2 = (r) = 20(1+ r2)-25 = 0

c. El criterio del VAN indica que si el coste de capital para la empresa es del 15%, el proyecto de inversión debe rechazarse; y si el coste de capital es mayor -30%-, el proyecto resulta muy poco atractivo. El criterio del TIR proporciona dos resultados distintos, lo cual también es un

contrasentido respecto al concepto mismo de tanto interno y a la aplicación de

este criterio de decisión. Esta inversión es no simple por ser R2 < 0; es mixta

por ser S1 (r) >0, y se desarrolla en ambiente de certeza.

d. Se trata de representar la función:

VAN(i) = -4+25 (1+i)-1 – 25 (1+i)-2, siendo i > 0

Para I = 0, VAN (0) =- 4

Para 4)(lim iVANii

B(i) = -25 (1+i)-2 + 50(1+i)-3 =25(1+i) -2 [2(1+i) -1 - 1]

B(i) = 0 i = 1 (100%)

Si i < 1, B(i) es creciente

Si i > 1, B(i) es decreciente

B’’(i) = 50(1+i)-3 – 150(1+i)-4 = 50(1+i)-3 [1 – 3(1 + i)-1]

B‟‟ (i) = 0 i = 2 Punto de inflexión, cambiando la concavidad de la función

en dicho punto.

La función se representa en la figura siguiente:

e. Obtengamos, en primer lugar, el tanto más pequeño (imin) que hace negativos o

nulos los dos primeros saldos.

S0 = -4

S1(imin) = -4 (1+ imin) + 25 =0; imin=5,25 (525%)

S2(imin) = -25, luego la inversión es mixta.

La relación entre r e i, siendo ahora r la rentabilidad del capital invertido (RCI),

se obtiene:

S0 = -4

S1 (r,i) = -4 (1 + r) + 25 = 21 – 4r

Por ser la inversión mixta, ha de ser r< imin resultando S1 > 0 y por lo tanto:

S2 = (r,i) = (21-4r) (1 + i) – 25 = 0

Despejando r, resulta:

i

i

ir

1

1.25,5

1

25,625,5

La representación gráfica es de la forma:

Para i = 0, r = -1

VAN

-4

0 4 i 0.25

ir

1

25.625.5

Para i ∞, r = 5,25

0)1(

25,6)('

2iir Para todo i > 0, luego es creciente:

Para r = 0, i

ii

i 1

1.25,5

1

25,625,5

La representación gráfica es de la forma:

Para i = 0, r = -1

Para i → ∞, r = 5,25

0)1(

25.6)('

2iir , para todo i > 0, luego es creciente:

Para r =0, 19.025.5

1

1

25.625.5 i

i

Trazando la bisectriz r = i, ambas líneas se cortan para r1 =0,25 y r2=4, que son

las soluciones obtenidas para el tanto interno.

f. El criterio de decisión es:

Aceptar para valores del tanto de coste entre 0,25 y 4: i ε (0,25;4).

r =1

0.25 i

Rechazar para los restantes valores de i.

4.8 Estudiar la inversión que se caracteriza por un desembolso inicial de cuatro

millones de soles y unos rendimientos netos de (12 000 000,1) y (-9 000 000,2).

Se obtiene:

a) El TIR de la inversión y los saldos financieros para el TIR.

b) La relación entre la Rentabilidad del Capital Invertido (RCI), el tanto de

coste i para la empresa y su representación gráfica.

c) La representación gráfica del VAN de la inversión en función de i.

d) Clasificar la inversión e indicar la aceptación o rechazo por parte de la

empresa.

SOLUCIÓN:

El esquema gráfico del proyecto es (en millones de soles):

a.1. El tanto de rendimiento interno que se debe verificar:

-4 + 12 (1 + r)-1 – 9 (1 + r)-2 = 0

Haciendo (1+r)-1 = x, se tiene:

3

204129 21

2 xxxx (raíz doble)

Y sustituyendo resulta:

%)50(5.0;2

31;

3

2)1( 1 rrr

Aunque se obtiene una sola solución para r, debe observarse que ésta proviene de

una raíz doble.

a.2. Los saldos financieros para el TIR son:

0 1 2

-4 12 -9

S(0,r) = -4

S(1,r) = -4 . 1,5 + 12 = 6 > 0

S (2,r) = 6 . 1,5 – 9 = 0

Por ser S1 (r) > 0, se trata de una inversión mixta.

b.1. La relación entre la RCI y el tanto de coste de capital i se obtiene:

S (0, r, i) = -4

S (1, r, i) = -4 (1 + r) + 12 = 8,4 r

S (2, r, i) = (8 – 4 r) (1 + i) – 9 = 0

Despejando r se obtiene:

)1(4

1.8)(

i

iir

b.2. Para efectuar la representación gráfica:

i = 0 ⇒ 4

1r

i →∞ 0 ⇒ r = 2

r = 0 ⇒ 8i – 1 = 0 ⇒ 8

1i

,0)1(16

36)('

2iir luego r(i) es creciente

4 0,125

-0,25

r = i r

i

c. La representación gráfica del VAN en función de i:

VAN (i) = -4+12(1+i)-1 – 9 (1 + i)-2

Para i = 0 VAN (0) = -1

Para i = →∞ VAN (∞) = -4

VAN(i) = -12 (1+i)-2 + 18(1+i)-3 = 6(1+i)-3 (1-2.i)

Para máximoVANVANi ,0)2/1(2

1

Porque VAN‟‟ (i) = 6(1+i)-4(4,i – 5) < 0 para i = ½

Para i = 4

5 existe un punto de inflexión ya que VAN „‟ (5/4)=0 cambiando el sentido

de la concavidad de la función.

Para i < 2

1, VAN es creciente y para i >

2

1 VAN es decreciente.

d.1. Se trata de una inversión no simple, por ser R2< 0. Es una inversión mixta tal como se

ha comprobado en a.2. Es una inversión a largo plazo, puesto que su duración es

mayor a un año (puede considerarse también como a medio plazo).l

-1

VAN

0,5

i

d.2. Teniendo en cuenta que r (i) < i para los distintos valores de i salvo para i=0,5 en que

r(i)=i, la decisión es rechazar el proyecto, salvo para i=0,5, en que es indiferente la

aceptación o el rechazo desde la perspectiva financiera.

4.9 Problema de TIR Incremental

“Limpia” tiene una máquina para la limpieza del suelo, la cual tiene un valor actual de

inversión que se calcula en $ 3500. Utiliza todo el tiempo un operario y $2000 en

materiales de limpieza al año. Otra máquina es ofrecida por distribuidor. Se trata de

un modelo perfeccionado que cuesta $ 4500. Dicha máquina necesita la misma mano

de obra, pero solo requiere $1700 anuales de sustancias de limpieza. La vida

económica que le queda a la máquina vieja es 4 años; a la nueva: 7 años. Ambas

tendrán un valor de recuperación nulo. Compárense las alternativas por el método de

la tasa de rendimiento.

Explique el significado de la respuesta. TMAR 56% .

SOLUCIÓN:

Igualando costos: (por método de la inversión incremental)

3500 (A/P,i%,4) + 2000 = 4500 (A/P, i%, 7) + 1700

-1000 (A/P,i%, 7) + 300 = 0

i% = 57,75 %

0 4

C0 = $ 2000

+ M0 $3500

VR = 0

0 5

C0 = $ 1700

+ M0

$4500

VR = 0

1 2 3 4 6 7

Conclusión: Se justifica la inversión extra para una máquina de $4500 por

obtenerse una TIR (incremental) = 57,75 % que supera a la TMAR = 56%

4.10 Problema del valor anual equivalente

Una máquina instalada actualmente tiene un valor realizable neto de 3000

dólares. En 5 años, de acuerdo con las predicciones, será necesaria una revisión

extensa que hará oneroso mantener la unidad en servicio. El valor de

recuperación en ese momento será de cero. Sus gastos anuales de operación

son 4000 dólares; sin embargo, su producción es solo la mitad de las

necesidades futuras calculadas de producción.

Puede adquirirse por 10 000 dólares una máquina nueva y perfeccionada de la

misma capacidad que la existente. Se espera que sus gastos operativos sean de

3750 dólares y que su vida económica sea de 10 años, con un valor de

recuperación de 1250 dólares en ese momento.

Una máquina grande se encuentra disponible por 18 000 dólares, que a plena

capacidad proporciona el 120 % de la capacidad requerida. Sus gastos por esta

razón ascienden 8400 dólares. La curva de la eficiencia de ingeniería de la

máquina es esencialmente plana, a una capacidad proporcional entre 800% y

120%. Se predice que su vida económica será de 10 años, con un valor de

recuperación de 2250 dólares en ese momento. Se espera que dentro de 10

años el proceso actual y el equipo instalado sean obsoletos y deban remplazarse.

Se predice también que el valor de recuperación del equipo nuevo, después de 5

años de servicio, será el 45% del costo inicial. La tasa mínima requerida de

rendimiento es de 10%. Proponga 5 alternativas económicas y seleccione la más

conveniente por el método del Valor Anual Equivalente.

SOLUCIÓN:

Instalación de la máquina grande, en reemplazo de la actual:

ALTERNATIVA Nº 01

DIAGRAMA DE EFECTIVO

120

100= 0,83

Capacidad a que debe trabajar para cubrir la necesidad de la empresa:


VAE1 = 18 000(A/P, 10%,10) – 2250(A/F,10%,10) + 6972

= 18 000(0.16275) – 2250(0.06275) + 6972 = $ 9,760.31

ALTERNATIVA Nº 02

Comprar una máquina de $ 10 000 con una vida económica de 10 años.

La máquina actual se utilizará por cinco años y luego comprar con la máquina de $

10 000.

DIAGRAMA

COMPRAR MÁQUINA $10,000

0 8

C0 = 8,400 X 0.83 $18,000

VR = $2250

1 2 3 7 9 10 años

0 8

C0 = 3750 $10,000

VR = $1250

1 2 3 7 9 10 años

0 8

CO2 = 3750 $3000

VR = $4500

1 2 3 7 9 10 años 4 5 6

$10,000

CO1 = $4000

VAE21 = 10, 000 (A/P,10%,10) – 1250 (A/F,10%,10) + 3750

= 10 000 (0,16275) – 1250 (0,06275) + 3750

= $5299,07

Repotenciar la máquina actual después de cinco años

VAE22 = 3000(A/P,10%,10) + 10000(P/F,10%,5)(A/P,10%,10)+4000(P/A,10%,5)(A/P,10%,10)

+3750(P/A,10%,5)(P/F,10%,10)–4500(P/F,1%,10)

= 3000(0,16275) + 10 000(0,6209)(0,16275) +4000(3,7908)(0,16275) +3750 (3,7908)(0,6209)

(0,16275) – 4500 (0,06275)

= 488,25 + 1010,5 + 2467,81 +1436,49 – 282,37 = $5120.68

VAET = VAE21 + VAE22 = $10,419.75

ALTERNATIVA Nº 03

Comprar la máquina de $10 000 y completar la capacidad de producción requerida con la

máquina actual. Se utilizará 5 años y luego será reemplazada por una máquina más

grande.

+

VR = 0,5 (18 000)

5 10 9 8 7 6

0 8

C0 = 7500 $20 000

VR = $2500

1 2 3 7 9 10 años

VA =13 000 + 7750(P/A, 10%,5) + 13500 (P/F, 10%,5) + 6972 (P/A,10%,5)(P/F,10%,5) –

8100 (P/F,10%,10)

= $ 64 047,63

VAE3 = 64 047,63 X (A/P, 10%,10)

= 64 047,63 (0,16275)

= $10 423,75

ALTERNATIVA Nº 04

Comprar dos máquinas de $10 000 y reemplazar con una de ellas a la usada.

0 5

C0 = $ 4 000 $3 000

VR = 0

4 3 2 1

0 5

C0 = $ 3750 $10 000

VR = 4500

4 3 2 1

8400 x 0.83 $18 000

VAE4 = 20 000(A/P, 10%,10) + 7500 – 2500 (A/F,10%,10)

= $ 10 598

ALTERNATIVA Nº 05

Completar la máquina actual por una usada igual y reemplazarlo por la máquina grande al

de 5 años.

VA = $ 6000 + 18 000 (P/F, 10%,5) – 8100 (P/F,10%,10) + 8000(P/A,10%,5) + 6972

(P/A,10%,5)(P/F,10%,5)

= 60 790,28

VAE5 = $ 60 790,28 (A/P, 10%,10)

= $60 790,28 (0.16275)

= $9 893,57

DECISIÓN FINAL

La alternativa de adquirir una máquina con una inversión de $ 18 000 es más económica

para la empresa ya que tiene un VAE de $ 9 760,31.

0 8

8400 x 0,83 $6000

VR = 18 000 x 0.45

1 2 3 7 9 10 años 4 5 6

$18 000

8000

VR = 0

Problema del valor anual equivalente de gastos capitalizados

El Municipio de Trujillo quiere aplicar un proyecto de suministro de agua efectivo.

Tiene dos planes o alternativas que debe adquirir o adoptar.

El plan A. Satisfará las necesidades durante los próximos 15 años, periodo a partir

del cual será necesario duplicar el costo inicial de 400 000 dólares para cumplir

con los requisitos de los años subsecuentes. Las instalaciones establecidas en las

fechas 0 y 15 pueden considerarse como permanentes; sin embargo, será

necesario reemplazar (a partir de las fechas de instalación) cierto equipo de apoyo

cada 30 años con un costo de 75 000 dólares. Los costos operativos son de 31

000 dólares anuales los 15 primeros años y 62 000 dólares en los años siguientes,

aunque se anticipa un incremento anual de 1000 dólares a partir del año 21.

El plan B. Satisfará todos los requisitos de agua indefinidamente, aunque solo

operará a la mitad de su capacidad durante los primeros 15 años. Los costos

anuales en este periodo serán de 35 000 dólares y luego aumentaran a 55 000

dólares a partir del año 16. El costo inicial del plan B es de 550 000 dólares; las

instalaciones se consideran permanentes, aunque será necesario reemplazar 150

000 dólares de equipo cada 30 años a partir de la instalación inicial.

La ciudad cobraró el uso del agua a la subdivisión con base en el costo anual

equivalente. Si la tasa de interés es el 10%, determine el costo anual equivalente

para cada plan y haga una recomendación al municipio de la ciudad.

SOLUCION:

PLAN A

Análisis de costo capitalizado

VAE (10%) = [$400 000 + 400 000 (P/F, 10%,15)] (A/P, 10%, )

= 49 576 A1= $49 576 (costo anual equivalente de capital)

Equipo de apoyo

VAE (10%) = [$75 000 + 75 000/3.1772)(P/F,10%,30)] (A/P, 10%, )

= $ 565 A2 = 565 (costo general equivalente equipo de apoyo)

Tasa efectiva para 15 años

(1 + 0,10)15 – 1 = 3,1772

Costo de Operación:

VAE (10%)3 = [$31000(P/A,10%,15) + $ 62000(P/A,10%,5)(P/F,10%,15) +

[63000(P/A,10%, ) + 1000 (P/G,10%, )] x (P/F,10%,21)](A/P,10%, )

= $ 40 056 A3 = $40 056 (Costo anual de operación)

VAE (10%) A = 49 576 + 565 + 40 056 = $ 90 197

AT = $90 197 (costo anual total del plan A)

PLAN B

Inversión de capital (una sola vez)

VAE (10%)1 = $550 000 (A/P, 10%, )

= $55 000

Soporte de equipamiento

VAE (10%)2 = %,10,/4494,16

000,150$AP

= $912

Tasa de Interés efectiva para 30 años

(1 + 0,1)30 – 1 = 16,4494

Costo de Operación:

VAE (10%)3 = [$35 000 (P/A,10%,15) + 55 000(P/A,10%, )(P/F,10%,15)] X (A/P,10%, )

= $39 788

AT = A1 + A2 + A3

VAE (10%)B = $55 000 + 912 + 39 788 = $ 95 700

RECOMENDACIÓN

El VAE del plan encontrado es de $90 197 menos que el VAE del plan B. Entonces, lo

recomendado es adquirir o adoptar el plan A.

Calcular el periodo de recuperación por el de valor anual equivalente

Se estima que un generador de 40 Kilowatts costará 30 000 dólares, totalmente

instalado y listo para funcionar. El costo de mantenimiento anual del generador es

de 500 dólares y la energía anual generada es de 100 000 Kilowatts-hora. Si el

valor de la energía generada es de 0,08 dólares por kilowatt, ¿cuánto tiempo

llevará generar la energía suficiente para igualar el precio de compra? Considera

una TEMAR del 9% y que el valor residual de la máquina al término de su vida

estimada de 15 años sea de 2000 dólares. ¿Cuál es el valor anual del generador?

¿Cuánto tiempo se requiera para que sea rentable?

SOLUCIÓN

Costos del generador

Costo de adquisición´ : $30 000 (totalmente instalado)

Valor residual : $2000

Vida útil : 15 años

Costo anual de mantenimiento: $500

Tasa de interés : 9% (TMAR)

Ingresos por venta de energía por el generador

Capacidad de generación (al 100 %) : 100 000 Kwatts – hora

Valor de energía generada : $0,08/ kilowatt

Calculemos el valor del costo anual de la compra del generador, incluyendo el

mantenimiento:

VAEG = 30 000 (A/P, 9 %, 15) – 2000 (A/F, 9 %, 15) + $500

= 3721,77 – 68.117 +50

= $4153.,65

Calculamos el número de horas de operación anual para lograr igualar al precio de

compra con la siguiente relación:

0,08 x 40 Kilowatts x T = $4153,65

donde:

T : Número de horas de operación

La energía generada se vende a $0,08/ Kilowatt

0,08 x 40 x T = $4153,65

T = 1298 horas

El valor anual del generador se obtiene calculando en función a su capacidad

máxima de ganancias.

VAE = Ingresos anuales totales – Costo total Anual

VAE = (0,08)(100 000) = $4153,65

= $8000 - $4153,65

= $3846,35

CALCULAMOS EL PERIODO DE RECUPERACIÓN DE LA INVERSIÓN:

Periodo Inversión Ingreso Costo de

mantenimiento Flujo de caja

neto

0 $30 000 - $30 000

1 $8000 500 7500

2 $8000 500 7500

3 $8000 500 7500

. . . .

. . . .

. . . .

15 2000 8000 500 -$9500

30 000 = 7500 (P/A, 9%, n)

Resolviendo para n =5 185 años

4.13 Hidrandina S.A. ha recibido cotizaciones de dos fabricantes sobre un transformador

de 2000 KVA (Kilovolts-Amperes). Una de ellas cotiza $ 15 000 por un transformador que

tiene 98% de eficiencia a plena carga, 97 % a tres cuartas partes de la carga y 93% a

media carga. Otra compañía pide $13 750 por otro transformador que tienen 96% de

eficiencia a plena carga, 95% a tres cuartas partes de la carga y 90% a media carga. La

compañía espera mantener el transformador en servicio durante 15 años, en cuyo

momento los valores de recuperación serán de $300 a $275 respectivamente. Estas

diferencias de precio y rendimiento son las únicas; en lo demás, los transformadores son

idénticos.

La energía cuesta $0.02 por Kilowatt - hora. La tasa mínima requerida de rendimiento de

la compañía es de 15%. La utilización anual del transformador se espera que sea de 600

horas a plena carga, 1800 horas a tres cuartas partes de la carga y 600 horas a media

carga. Supongamos que la carga de la compañía es a factor de unidad de potencia, de

modo que la carga completa sobre el transformador sea de 2,000 KW. Haga usted una

recomendación a la empresa a partir de una comparación del costo anual.

SOLUCIÓN:

Transformador: $15 000 (TIPO A) Transformador: $13 750 (TIPO B)

98% Eficiencia a plena carga

93% Eficiencia a ½ carga

97% Eficiencia a ¾ carga

Vida de servicio: 15 años

Valor de recuperación: $300

Costo de energía: $0.02 Kw - hora

TMAR: 15%

96% Eficiencia a plena carga

95% Eficiencia a ½ carga

90% Eficiencia a ¾ carga

Vida de servicio: 15 años

Valor de recuperación: $275

Utilización anual del transformador:

Plena Carga: 600 horas

¾ de carga: 1800 horas

½ carga: 600 horas

Potencia requerida: 2000 KVA.

Realizar una comparación económica en base al costo anual (CAUE):

CALCULAMOS LAS HORAS ANUALES DE OPERACIÓN (TIPO A):

CARGA EFICIENCIA RENDIMIENTO REAL HORAS AL AÑO

PLENA 98% 2000 0.98 = 1 960 1960 600 = 1 176 000

3/4 97% 2000 0.97 = 1 940 1940 1800 = 3 492 000

1/2 93% 2000 0.93 = 1 860 1860 600 = 1 116 000

TOTAL: 5 784 000

Calculamos los costos anuales de operación para El Transformador (Tipo A):

Calculamos el costo de recuperación de capital para El Transformador (Tipo A):

Calculamos el costo anual equivalente total para El Transformador (Tipo A):

CALCULAMOS LAS HORAS ANUALES DE OPERACIÓN (TIPO B):

CARGA EFICIENCIA RENDIMIENTO REAL HORAS AL AÑO

PLENA 96% 2000 0.96 = 1 920 1920 600 = 1 152 000

3/4 95% 2000 0.95 = 1 900 1900 1800 = 3 420 000

1/2 90% 2000 0.90 = 1 800 1800 600 = 1 080 000

TOTAL: 5 652 000

Calculamos los costos anuales de operación para El Transformador (Tipo B):

Calculamos el costo de recuperación de capital para El Transformador (Tipo B):

Calculamos el costo anual equivalente total para El Transformador (Tipo B):

Como el: CAUEB < CAUEA

Seleccionamos el Transformador tipo “B”

4.14 Una compañía de productos químicos estudia dos tipos de incineradores para

quemar los desperdicios sólidos que generan una operación química compleja. Ambos

incineradores tienen capacidad para quemar 20 toneladas diarias. Para la comparación se

han recopilado los siguientes datos:

Incinerador A Incinerador B

Costo ya instalado $1 000 000 $650 000

Costos anuales de operación y mantenimiento $40 000 $75 000

Vida de servicio 20 años 10 años

Valor residual $50 000 $30 000

Impuestos sobre la renta $30 000 $20 000

Si la TMAR de la empresa es del 13%, determine el costo de procesamiento por tonelada

de desperdicio en cada incinerador. Suponga que el incinerador B estará disponible en el

futuro al mismo costo.

SOLUCIÓN:

Calculamos para cada incinerador, el COSTO TOTAL ANUAL, que incluye el costo de

reposición de capital y el costo anual de operación.

INCINERADOR “A”:

Calculo del costo de reposición de capital:

CAUEA : El costo anual total del uso del incinerador tipo “A” incluye costo de reposición de

capital (CRA) y costo de operación y mantenimiento (CO), así como impuesto a la renta

anual.

INCINERADOR “B”:

Calculo del costo de reposición de capital:

CALCULAMOS EL COSTO DE PROCESAMIENTO POR TONELADA:

INCINERADOR A:

INCINERADOR B:

Mejor es el INCINERADOR “A”

Valor presente incremental

4.15 Una empresa pequeña, identificada por el posible comprador como proyecto A,

puede ser adquirida por 65 000 dólares, que rendirán 33 190 dólares anuales durante los

próximos 20 años, con gastos anuales de 25 550 dólares. Alternativamente una empresa

similar, identificada como proyecto B, cuesta 80 000 dólares, con un rendimiento anual de

35 990 dólares, con un rendimiento anual de 35 990 dólares durante 20 años y con gastos

de 23 210 dólares al año. Se supone que los valores de recuperación al cabo de los 20

años de vida son nulos. El comprador desea adquirir sólo una de esas empresas. Si su

tasa mínima requerida de rendimiento es 10%, ¿qué empresa deberá adquirir? Explique

por qué.

SOLUCIÓN:

Diagrama de efectivo:

Proyecto “A”: Alternativa 1

0 1 2 3 4 5 19 20

VR =

A1 = ($33190 - $25550) = $7640

IA = $65 000

Años

Proyecto “B”: Alternativa 2

Diagrama efectivo de inversión incremental:

Resolvemos con el Excel: = tasa (nper, pago, VP, VF, tipo, valores)

0 1 2 3 4 5 19 20

VR =

A2 = ($33990 - $23210)= $12780

IB = $80 000

Años

0 1 2 3 4 5 19 20

VR =

ΔA2-1 = $12780 - $7640 = $5 140

ΔI2-1 = $15 000

Años

Así tenemos que, el resultado es una ΔTIR (TIR incremental de 34.14%) sobre la

inversión extra de $15 000; por lo tanto, se elige el proyecto de mejor inversión inicial:

Proyecto “B” (alternativa 2).

IMPORTANTE: En la comparación de proyectos mutuamente excluyentes debe tenerse

en cuenta que las vidas de ambos proyectos deben ser iguales, si aplicamos la ecuación

del valor presente.

Cálculo de la TIR

4.16 Una compañía de granito estima que puede aumentar las ventas si tuviera capacidad

para cortar más piedra. Una cortadora nueva cuesta 30 000 dólares, instalada en la

cantera. Si incrementa su capacidad puede vender hasta 22 000 dólares anuales, pero el

aumento del costo anual de operación, incluyendo mano de obra, energía, mantenimiento

y reparaciones, impuestos y seguro, materias primas, transporte y costos

complementarios de ventas y administración serían de 17 500 dólares. Se espera que la

vida de operación sea de 12 años con un valor de recuperación de 4 000 dólares en esa

fecha. ¿Cuál es la tasa de rendimiento sobre la inversión?

SOLUCIÓN:

Datos:

Inversión inicial = $ 30 000

Ingresos anuales = $22 000

Costo anual = $17 500

VR = $4 000

Para el cálculo de i (TIR) en las ecuaciones se procede por interpolación o con la

función TIR del Excel:

Cálculo de la TIR usando función Excel

4.17 Un pagaré exige que se hagan 20 pagos de 750 dólares cada uno, dos veces al año.

El primer pago se hará dentro de 6 meses. El pagaré puede adquirirse por 11 000 dólares.

¿Cuál será la tasa nominal de interés sobre la inversión?

SOLUCIÓN:

0 1 2 3 4 5 11 12

VR = $4 000

A = ($22 000 – $17 5000)

I0 = $30 000

Años

Diagrama de Inversión en un pagaré:

Resolveremos con la función tasa de Excel: = tasa (nper, pago, VP, VF, tipo, valores)

El rendimiento normal anual es:

I0 = $11 000

A = $ 750

1 2 3 4 5 6 19 20 semestr. 0

Final de mes i %

Cálculo de la TIR usando la función tasa de Excel

4.18 Un pagaré exige 24 pagos mensuales a 60 dólares. El primer pago se hará dentro de

un mes. El pagaré se vende por 1,2000 dólares. ¿Cuáles serán las tarifas nominal y

efectiva de interés anual?

SOLUCIÓN:

Diagrama de efectivo de inversión en pagaré:

Con la función tasa de Excel: = tasa (nper, pago, VP, VF, tipo, valores)

Para calcular la tasa efectiva anual:

I0 = $1 200

A = $ 60

1 2 3 4 5 6 23 24 meses 0

Final de mes i %

Rendimiento de inmobiliarias

4.19 Una empresa inmobiliaria planea invertir 70 000 dólares en un edificio que contiene

almacenes y oficinas. Los ingresos anuales por concepto de rentas se calcula que serán

del orden mínimo de 34 000 dólares. Los gastos anuales por impuestos, seguro,

mantenimiento y reparaciones, calefacción, luz y todos los servicios del inmueble se

espera que no sean mayores a los 29 900 dólares. La compañía confía además que los

valores de las propiedades vecinas alcancen un máximo en 10 años, en cuyo momento

podrá venderse la propiedad en 100 000 dólares. Suponiendo ingresos y gastos anuales,

calcule la tasa mínima requerida de rendimiento que se espera sobre la inversión de la

propiedad.

SOLUCIÓN:

Diagrama de efectivo:

P = $70 000

0 1 2 3 4 9 10

2

Años

A = ($34 000 – $29 900)

VR = $100 000

Evaluación de proyectos mutuamente exclusivos

4.20 Considere los dos proyectos mutuamente exclusivos que se presentan a

continuación:

Flujo de efectivo neto

n Proyecto A Proyecto B

0

1

2

3

TIR

-$100

$60

$50

$0

28,89%

-$200

$120

$150

21,65%

¿Qué proyecto sería el elegido con base en el criterio TIR si el horizonte de planificación

es infinito y la repetición del proyecto es probable? (TMAR=15%)

SOLUCIÓN:

En este caso, son dos proyectos de vida útiles diferentes; por tanto para aplicar la técnica

de valor presente incremental procedemos a igualar las vidas por el M.C.M. = 6 años.

Flujo de efectivo básico Flujo de caja

incremental

n Proyecto A Proyecto B B – A

0

1

2

3

4

5

6

-$100

$60

$50

$50-$100

$60

$50

$50

-$200

$120

$150 – $200

$120

$150 –$200

$120

$150

-$100

$60

-$100

$170

-$110

$70

$100

El flujo de caja incremental (B-A) resulta un tipo de inversión no simple y se puede

encontrar varias soluciones con la TIR, por lo tanto es recomendable evaluar por el

método del valor presente.

)100(0.432370(0.4972))110(0.5718-)170(0.6571)100(0.7561-60(0.8696)-100%)15(VA

43.2334.8062.89-111.7875.61-52.18-100%)15(VA

Selección de proyectos mutuamente exclusivos por la ΔTIR

4.21 Considere las dos alternativas de inversión siguientes:

FLUJO DE EFECTIVO NETO

n Proyecto A Proyecto B

0

1

2

3

TIR

VA (15%)

-$10 000

$5 500

$5 500

$5 500

30%

¿J?

-$20 000

0

0

$40 000

¿J?

$6 300

La TMAR de la empresa es el 15%.

a. Calcule la TIR del proyecto B.

b. Calcule el VAN del proyecto A.

c. Suponga que los proyectos A y B son mutuamente exclusivos. Use la TIR para

determinar cuál de ellos seleccionaría.

SOLUCIÓN:

a. Calcular la TIR del proyecto “B”:

b. Calcular el VANA:

c. Método de la TIRΔ para decidir qué proyecto es mejor.

n Proyecto

A

Proyecto

B Flujo Incremental

0

1

2

3

-$10 000

$5 500

$5 500

$5 500

-$20 000

0

0

$40 000

-$10 000

-$5 500

-$5 500

+$34 500

Ecuación de la TIRΔ (B – A):

Entonces, seleccionamos el Proyecto B

4.22 Un fabricante de circuitos impresos electrónicos considera seis proyectos

mutuamente exclusivos de reducción de costos para su planta de manufactura de

circuitos para computadoras personales. Todos los proyectos tienen vida de 10 años y

valor residual cero; incluyen también la inversión requerida y la reducción estimada

(después de impuestos) en los gastos anuales de cada proyecto. Además de estas tasas

= TIR (Valores, estimar)

de rendimiento brutas, el proyecto considera las tasas de rendimiento de las inversiones

incrementales.

Propuesta

Aj

Inversión

requerida

Ahorro después de

impuestos

A1

A2

A3

A4

A5

A6

$ 60 000

$100 000

$110 000

$120 000

$140 000

$150 000

$22 000

$28 200

$32 600

$33 600

$38 400

$42 200

Tasa de rendimiento incremental, Y – X:

Y A0 A1 A2 A3 A4 A5

A1 35%

A2 25,2 9%

A3 27 42,8%

A4 25 0%

A5 24 20,2%

A6 25.1 36,3%

¿Qué proyecto seleccionaría con base en la tasa de rendimiento de la inversión

incremental si la TRMA es el 15%? En la tabla anterior, A0 representa la alternativa “no

hacer nada”.

SOLUCIÓN:

Partiendo de los resultados del análisis de la tabla de inversión incremental:

TIRΔ (A2-A1) = 9% < 15% (TMAR) seleccionaremos Proyecto A1

TIRΔ (A3-A2) = 42.8% >15% seleccionaremos Proyecto A3

TIRΔ (A4-A3) = 0 < 15% seleccionaremos Proyecto A3

TIRΔ (A5-A4) = 20.2% > 15% seleccionaremos Proyecto A5

TIRΔ (A6-A5) = 36.3% > 15% seleccionaremos Proyecto A6

Para decidir con la mejor opción, necesitamos calcular las siguientes relaciones:

TIRΔ (A3 – A1):

TIRΔ (A3-A1) = 16,63% Seleccionamos proyecto A3

Función de Excel:

TIRΔ (A6 – A3):

TIRΔ (A6 – A3) = 20,18% Seleccionamos el proyecto A6

Función Excel:

TIRΔ (A6 – A1):

TIRΔ (A6 – A1) = 18,24% Seleccionaremos proyecto A6

Función Excel:

4.23 El Hospital Nacional estudia formas alternativas de reducir los costos de

almacenamiento de suministros médicos. Se consideran dos tipos de sistemas sin

existencias para reducir los costos de almacenamiento y manejo del hospital. El ingeniero

industrial del Hospital ha recabado los siguientes datos financieros para cada sistema.

= tasa (10,10600, -50 000, , 0, 5%)

= tasa (10,9600, -40 000, , 0, 30%)

= tasa (10,20200, -90000, , 0, 25%)

Práctica actual

Sistema

“Justo a

tiempo”

Sistema de

abastecimiento

sin existencias

Costo inicial 0 $2,5 millones $5 millones

Costo anual de

almacenamiento de existencias $3 millones $1,4 millones $0,2 millones

Costo operativo anual $2 millones $1,5 millones $1,2 millones

Vida del sistema 8 años 8 años 8 años

La vida de 8 años del sistema representa la vigencia del contrato con los proveedores

médicos. Si la TMAR del hospital es el 10%, ¿qué sistema es más económico?

SOLUCIÓN:

En este caso, se trata de seleccionar el mejor sistema de abastecimiento desde una

perspectiva de costos:

A0 = Sistema de abastecimiento actual.

A1 = Sistema justo a tiempo.

A2 = Sistema de abastecimiento sin existencias.

Flujo de efectivo (millones de dólares)

A1 con A0:

N A0 A1 Δ (A1 – A0)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

$0

-$5

-$5

-$5

-$5

-$5

-$5

-$5

-$5

-$2,5

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,5

+$2,10

+$2,10

+$2,10

+$2,10

+$2,10

+$2,10

+$2,10

+$2,10

-

Ecuación de la TIRΔ (A1 – A0):

nper = 8

pago = 2.10

VP = -2.5

VF = 0

Tipo = 0 (Final del periodo)

AHORA COMPARAMOS:

A1 con A2:

N A1 A2 Δ(A2 – A1)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-$2,5

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$2,9

-$5,0

-$1,4

-$1,4

-$1,4

-$1,4

-$1,4

-$1,4

-$1,4

-$1,4

-$2,5

$1,5

$1,5

$1,5

$1,5

$1,5

$1,5

$1,5

$1,5

Ecuación de la TIR Δ (A2 – A1):

IMPORTANTE: Para calcular la TIR, usamos la función TASA del Excel. Este es

aplicable para series uniformes.

= tasa (nper, pago, VP, VF, tipo, estimar)

= tasa (8,2.10, - 2.5,, 0, 90%)

La definición final sería MANTENER UN SISTEMA DE ABASTECIMIENTO SIN

EXISTENCIA.

Problemas de costo capitalizado

4.24 La empresa SEDALIB tiene planes para instalar una torre de agua y un sistema de

bombeo en la ciudad de Trujillo. El primer plan que cuesta 350 000 dólares satisfará las

necesidades de la ciudad durante 10 años. La ciudad planea instalar una torre y un

sistema de bombeo adicionales, idénticas a las anteriores, para proveer las necesidades

extras de capacidad. Esta adición costará 26 000 dólares anuales y los costos totales de

bombeo se elevarán a 52 000 dólares anuales. Se considera que las torres serán

permanentes, pero cada 20 años, a partir de la fecha de instalación, será preciso

reemplazar cierto equipo que cuesta 125 000 dólares.

La posición alternativa consiste en la instalación de un depósito y un equipo de bombeo y

hacerlo funcionar a la mitad de su capacidad durante los próximos 10 años. La instalación

cuesta 500 000 dólares. Los costos anuales de bombeo son ahora de 28 000 dólares y

más adelante de 50 000 dólares. Se considera que el depósito será permanente, pero, 20

años después de la fecha de su instalación, será necesario reemplazar cierto equipo por

un valor de 200 000 dólares.

Si la tasa mínima requerida de rendimiento es 15%, ¿qué plan debería de recomendarse?

Utilice el método de análisis del valor actual.

SOLUCIÓN:

PLAN A:

0 20 10

$350 000

40 años

$125 000 $125 000

A1 = $26 000 A2 = $52 000

i = 15%

$350 000

PLAN B:

DECISIÓN:

Debe recomendarse el PLAN “A” por tener un menor costo capitalizado de $654 704.13

I0 = $500 000

40

$200 000 $200 000

$28 000 $50 000 20 10

4.25 Dos diseños de fachadas han sido propuestos por una tienda de departamentos de

la avenida Argentina. El diseño G cuesta 25 000 dólares, será reemplazado cada dos

años y tiene un valor de recuperación de 8 000 dólares. El mantenimiento costará 3 000

dólares anuales. El diseño O cuesta 50 000 dólares y durará 6 años, con un valor de

recuperación de 10 000 dólares. El mantenimiento costará 4 000 dólares anuales. La tasa

mínima requerida de rendimiento es 17%. Mediante el método del valor actual, ¿qué

diseño es recomendable, suponiendo que ambos sean iguales desde el punto de vista de

mercado?

SOLUCIÓN:

MÉTODO DEL COSTO CAPITALIZADO:

DISEÑO “G”:

DISEÑO “O”:

VPG < VP0

Entonces, seleccionamos el DISEÑO G.

Años

i = 17%

VR=$10 000

C0 = $4000 I0 = $50 000 I0 = $50 000

3 4 0 1 2 5 6

I0 = $25 000 I0 = $25 000 C0 = $3000

VR=$8 000

C0 = $3000

5 6 3 4 0 1 2

I0 = $25 000

Años

i = 17% VR=$8 000 VR=$8 000

C0 = $3000

4.26 Una compañía posee maquinaria usada, y está tomando en consideración comprar

una maquinaria nueva para realizar trabajos intermitentes de un departamento de

fabricación. Los datos comparativos de la tabla muestran que se espera que la máquina

usada tenga una vida más corta. La tasa mínima requerida de rendimiento de la compañía

es 30%.

USADA NUEVA

Costo inicial

Vida estimada

Valor estimado de recuperación

Desembolsos anuales

$3000

6años

$500

$2000

$6000

9 años

$1500

$1000

Utilice el método de comparación del valor actual, empleando diversas formas de abordar

el problema del análisis cuando las vidas son diferentes: periodo de estudio, reemplazo de

la maquinaria vieja por la máquina que necesita de inversión extra y el método del mínimo

común múltiplo. Discuta el significado de cada uno de ellos y compare los resultados.

SOLUCIÓN:

Método del costo capitalizado

Máquina “A”:

Máquina “B”:

Método Mínimo Común Múltiplo

M.C.M (6 Y 9) = 18

MAQ. “A”:

MAQ. “B”:

Ventaja para la MÁQUINA B.

4.27 Una compañía puede disponer de dos fuentes de minerales, cualquiera de las cuales

puede abastecer sus necesidades futuras. El yacimiento A es suficiente para que dure 10

años y tendrá un valor de terreno (recuperación) de $15 000 dólares durante este tiempo.

El precio de compra es de 120 000 dólares y los costos de extracción $20 000 anuales. El

yacimiento B durará 20 años, en cuyo momento el valor del terreno será cero, porque el

costo de restauración es equivalente al precio de venta. El costo de administración y

extracción será de $10 000. El costo del yacimiento B es de 180 000 dólares. Si la tasa

0 6

0

12 18 años CO = $2000 CO = $2000 CO = $2000

I0 = $3000 I0 = $3000

I0 = $3000

VR = $500 VR = $500 VR = $500

18 años 9

VR = $1 500

I0 = $6 000

0

VR = $1 500

CO = $1 000 CO = $1 000

I0 = $6 000

I0 = $6 000

mínima requerida de rendimiento es 15%. Compare ambos yacimientos por el método de

valor actual. Se supone que en el futuro existirán yacimientos similares en otros lugares.

SOLUCIÓN:

YACIMIENTO A:

YACIMIENTO B:

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

VALOR PRESENTE “A”:

0 1 2

I0 = $120 000 C0 = $20 000

10 años

i = 15% VR=$15 000

3 4 5 6 7 8 9

0 1 2

I0 = $180 000 C0 = $10 000

20 años

i = 15% VR = $0

3 4 5 6 7

0 1 2

I0 = $180 000 C0 = $10 000

20 años

i = 15% VR=$15 000

3

0 1

I0 = $120 000

20 años

i = 15% VR=$15 000

C0 = $20 000

VR=$15 000

10

I0 = $120 000 C0 = $20 000

VALOR PRESENTE “B”:

Ventaja para el YACIMIENTO “B”

CONTENIDO DEL CAPÍTULO:

5.1 Introducción.

5.2 Terminología para analizar proyectos

públicos.

5.3 Tasa de descuento para valorar proyectos

públicos.

5.4 Comparación de proyectos mutuamente

excluyentes (B/C).

5.5 Análisis de proyectos públicos con base en

el costo – eficacia.

EVALUACIÓN DE LA RAZÓN

BENEFICIO / COSTO

CAPÍTULO

OBJETIVO DE APRENDIZAJE

Cuando haya completado este

capítulo debe ser capaz de:

Aprender cómo utilizar el

método de la razón beneficio/

costo (B/C) como criterio para

seleccionar los proyectos

independientes y excluyentes.

Diferenciar los resultados

favorables y desfavorables para

el usuario.

Identificar proyectos que se

valoren por el método del costo

eficacia.

5.1 EVALUACIÓN BENEFICIO / COSTO

Es el método de la razón beneficio/costo, que utilizando los principios de la Ingeniería

Económica permite la solución y comparación de proyectos públicos fundamentales.

Compara los beneficios de los costos adecuados en la realización de proyectos y

analiza el valor del dinero en el tiempo.

Para su correcta aplicación es importante que se interprete adecuadamente la

naturaleza de los beneficios y costos que se derivan de los proyectos públicos.

La evaluación de proyectos públicos con este método implica administrar un conjunto

de objetivos sociales y públicos.

5.2 TERMINOLOGÍA PARA ANALIZAR PROYECTOS PÚBLICOS

El proyecto Chavimochic ejecuta una obra de electrificación de algunos caseríos de

Chao. Con este motivo, monta una línea de transmisión de 20 Kv. en un tramo de 50

Km. La línea cruza una zona agrícola altamente productiva.

En este caso es importante identificar:

Beneficios: Dotar de luz a las familias de Chao, suministrar energía a las

industrias de la zona y contribuir al desarrollo local.

Costos: Construcción de la línea de transmisión, costo de operación y

mantenimiento de las instalaciones.

Contrabeneficios: Pérdida de cultivos en algunas zonas; la subestación crearía

alto riesgo de radiaciones eléctricas a los agricultores y sus familias.

5.3 TASA DE DESCUENTO PARA VALORAR PROYECTOS PÚBLICOS

En el sector público, los proyectos se desarrollan con el objetivo de maximizar los

beneficios sociales.

La tasa de descuento que se aplica a los flujos de caja de los proyectos públicos tiene

el propósito de determinar cómo se deben asignar los fondos del tesoro público o los

tributos de los contribuyentes para el logro de metas y del bienestar social.

En definitiva, el fundamento para determinar el costo de capital o tasa de descuento

en la valoración de proyectos públicos se sustenta en:

La tasa de interés sobre fondos que financian las obras públicas.

El costo de oportunidad del capital para la institución pública.

El costo de oportunidad del capital para los contribuyentes.

El costo de capital para proyectos públicos debe medir las expectativas de rentabilidad

de los contribuyentes, cuando ellos pueden invertir libremente su capital en opciones

públicas, como por ejemplo bases del terreno.

5.4 MÉTODO DE LA RAZÓN BENEFICIO/COSTO

Razón B/C convencional con Valor Presente (VP):

)(

)(

propuesto) proyecto del totales(Costos VP

propuesto) proyecto del (beneficio VPB/C

OyMVPI

BVP Ec. 5.1

Donde:

VP (B) = Valor presente de beneficios

I = Inversión inicial del proyecto propuesto

O y M = Costos de operación y mantenimiento del proyecto

Razón B/C’ modificado con Valor Presente (VP):

I

OyMVPBVPCB

)()('/ Ec 5.2

Reglas de decisión:

Si:

B/C ≥ 1.0 El proyecto es aceptable

B/C < 1.0 El proyecto es rechazado

Razón B/C convencional con VAE (Valor anual equivalente)

M)y (O VAE CR

(B) VAE

proyecto) del totales(Costos VAE

proyecto) del (beneficio VAEB/C Ec. 5.3

Donde:

VAE (B): Valor anual equivalente de beneficios

CR: [I - VR (P/F, i%, N)] (A/P, i%, N) Valor anual del costo de reposición

el capital

Razón B/C Convencional en Valor Presente (VP), incluyendo valor de

recuperación o rescate.

M)y VP(OVP(VR) - I

)(

propuesto) proyecto del totales(costos VP

propuesto) proyecto del s(Beneficio VPB/C

BVP Ec. 5.4

Donde:

VP (B) : Valor presente de beneficios

I : Inversión inicial en el proyecto

VR : Valor presente de la recuperación del proyecto

VP (O y M) : Valor presente de costos de operaciones y mantenimiento

COMPARACIÓN DE PROYECTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES POR (B/C)

La comparación de proyectos mutuamente excluyentes sigue las mismas reglas

del valor presente:

Las vidas de los proyectos tienen que ser iguales.

La alternativa de no hacer nada debe considerarse.

Cada alternativa tiene que ser viable, es decir el ratio B/C > 1.0. Descartar las

que no pasen la prueba.

La regla de decisión es seleccionar aquel proyecto que tiene el mayor ratio B/C.

EJEMPLO 1. Evaluación de un proyecto único por el método B/C.

La Municipalidad de Lima está evaluando un proyecto de mejora urbana. Hasta ahora

tiene la siguiente proyección de beneficios, costos e inversiones:

Miles de dólares $

n Beneficios Inversiones Costo de operaciones y

mantenimiento

0

1

2

3

4

5

-

-

$400

$600

$600

$400

$200 -

-

$100

$100

$160

$160

$200

-

-

-

-

Si la tasa de descuento para evaluar el proyecto es de 8%, calcule el B/C y qué decisión

debe tomar el Municipio de Lima.

SOLUCIÓN:

Valor presente de beneficios:

VP (B) = $400(P/F, 8%, 2) + $600(P/F, 8%, 3) + $600(P/F, 8%, 4) + $400(P/F, 8%, 5)

VP (B) = 400(0,8573)+600(0,7938)+600(0,7350)+400(0,6806)

VP (B) = $342,92 + $476,28 + $441 + $272,24

VP (B) = $1532,44

Valor presente de los costos totales:

Inversiones:

VP (I) = $200 + $200(P/F, 8%, 1)

VP (I) = $200 + $200(0,9259)

VP (I) = $385,18

Costos de operación y mantenimiento:

VP(O y M) = $100(P/F,8%,2) + $100(P/F, 8%,3)+ $160(P/F, 8%,4)+ $160(P/F, 8%,5)

VP(O y M) = 100(0.8573)+100(0,7983)+160(0,7350)+160(0,6806)

VP(O y M) = $85,73 + $79,38 + $117.60 + $108,89

VP(O y M) = $391,60

Calcular los indicadores de B/C:

La razón B/C es mayor que 1.0, lo que demuestra que los beneficios que genera el

proyecto público para los vecinos superan a los costos del Municipio. El proyecto es

aceptable.

EJEMPLO 2: Comparación de proyectos mutuamente excluyentes

Un gobierno municipal considera dos tipos de sistemas de procesamiento de desperdicios

para basureros locales. El diseño A requiere un gasto inicial de 400 000 dólares y sus

costos anuales de operación y mantenimiento serán de 50 000 dólares durante 15 años.

El diseño B, requiere una inversión de 300 000 dólares, con costos anuales de operación

y mantenimiento de 80 000 dólares durante 15 años. Las cuotas que se cobrarán a los

residentes de las localidades ascenderán a 85 000 dólares anuales. La tasa de interés es

el 8% y no hay valor residual relacionado con ninguno de los sistemas.

(a) Si usa la razón costo – beneficio (B/C‟ (i)), ¿Cuál es el sistema que debe seleccionar?

(b) Si se propone una tercera opción (diseño C) que requiere un gasto inicial de 350 000

dólares cuyos costos anuales de operaciones y mantenimiento son de 65 000 dólares

¿Cambiaría su respuesta en (a)?

SOLUCIÓN:

(a) Utilizando razón beneficio – costo: (B/C‟) modificado:

DISEÑO A:

I = $400 000

VP(O y M) = $50 000 (P/A, 8%, 15)

VP(O y M) = $50 000 (8.5595)

= $427 975

B = $85 000

DISEÑO B:

I = $300 000

VP(O y M) = $80 000 (P/A, 8%, 15)

VP(O y M) = $80 000 (8.5595)

VP(O y M) = $684 760

B = $85 000

Para la selección del mejor diseño aplicaremos la regla de la INVERSIÓN

INCREMENTAL:

El beneficio incremental de ambos diseños es 0.

Por tanto seleccionaremos el DISEÑO A, el de mayor inversión.

(b) Procedemos a comparar con el DISEÑO “C”

Análisis incremental (A – C):

DISEÑO C:

I = $350 000

VP(O y M) = $65 000 (P/A, 8%, 15)

VP(O y M) = $65 000 (8.55947)

VP(O y M) = $556 366

B = $85 000

Por tanto seleccionaremos el DISEÑO A.

5.5 ANÁLISIS DE PROYECTOS PÚBLICOS CON BASE EN EL COSTO - EFICACIA

En algunos casos de proyectos públicos, las alternativas tienen los mismos objetivos,

pero la eficacia con la cual se pueden cumplir sus objetivos no puede medirse en

términos monetarios. En este caso, es recomendable comparar las alternativas con

base en su costo – eficacia.

La alternativa preferida será aquella que produzca la eficacia máxima con cierto nivel

de costo o el costo mínimo para nivel de eficacia fijo.

PROBLEMAS DE EVALUACIÓN

Aplicación del beneficio costo incremental

1) El Gobierno de Estados Unidos considera la construcción de apartamentos para

empleados gubernamentales que trabajan en otros países y que actualmente

viven en casas locales. Una comparación de dos edificios propuestos nos indica lo

siguiente:

Edificio X Edificio Y

Inversión original de la agencias de gobierno. $8 000 000 $12 000 000

Costos anuales de mantenimiento previstos. $240 000 $180 000

Ahorros anuales en el alquiler que se paga actualmente. $1 960 000 $1 320 000

Suponga que el valor residual o de reventa de los apartamentos será el 60% de la

inversión inicial. Use el 10% de interés y un periodo de estudio de 20 años para

calcular la razón B/C de la inversión incremental y formular una recomendación (no

existe la alternativa “no hacer nada”)

SOLUCIÓN:

Antes de realizar el análisis de la inversión incremental comprobamos la viabilidad

económica de cada proyecto.

EDIFICIO “X”:

VP (B) = $1 960 000 (P/A, 10%, 20)

VP (B) = $16 686 585

VP (costos) = $8 000 000 + $240 000(P/A, 10%,20) - 4 800 000(P/F, 10%,20)

VP (costos) = $9 329 766

Entonces, la construcción del EDIFICIO “X” es viable.

EDIFICIO “Y”:

VP (B) = $1 320 000 (P/A, 10%, 20)

VP (B) = $11 327 904

VP (costos) = $12 000 000 + $180 000(P/A, 10%,20) - $7 200 000(P/F, 10%,20)

VP (costos) = $12 462 207

La construcción del edificio “Y” no es viable. Por lo tanto, no es necesario el

análisis incremental.

Comparación de alternativas múltiples por Beneficio – Costo

2) Hay tres alternativas de inversión pública, A1, A2 y A3. Sus respectivos beneficios,

costos y costos iniciales totales se expresan en valor actual. Estas alternativas

tienen la misma vida de servicio.

PROPUESTAS:

Valor Actual A1 A2 A3

I

B

C

100

400

100

300

700

200

200

500

150

Suponga que no existe la alternativa “no hacer nada”. ¿Cuál proyecto se

seleccionará en base a la razón Beneficio – Costo. (B/C(i)) de la inversión

incremental?

SOLUCIÓN:

Valor Presente A1 A2 A3 A3 - A1 A2 - A1

I

B

C

100

400

100

300

700

200

200

500

150

100

100

50

200

300

100

B/C(i) 2 1,4 1,43 0,67 1

Análisis incremental (A3 – A1):

Análisis incremental (A2 – A1):

Entonces seleccionamos el proyecto A1 o A2.

Análisis de proyectos hidroeléctricos

3) El gobierno central planea un proyecto hidroeléctrico para la cuenca de un río.

Además de producir energía eléctrica, este proyecto ofrecerá beneficios como

control de inundaciones, irrigación y zona recreativa. A continuación se listan los

beneficios y costos esperados de las tres alternativas.

La tasa de interés es el 10% y se calcula que la vida de los proyectos será de 50

años.

(a) Encuentre la razón Beneficio - Costo de cada alternativa.

(b) Seleccione la mejor alternativa en base a B/C (i).

(c) Seleccione la mejor alternativa en base a B/C‟ (i).

SOLUCIÓN:

a) El ratio Beneficio - Costo para las siguientes alternativas:

ALTERNATIVAS DE DECISIÓN

A B C

Costo inicial $8 000 000 $10 000 000 $15 000 000

Costo o beneficios anuales

Ventas de energía $1 000 000 $1 200 000 $1 800 000

Ahorros en control de inundaciones $250 000 $350 000 $500 000

Beneficios de irrigación $350 000 $450 000 $600 000

Beneficios recreativos $100 000 $200 000 $350 000

Costos de operación y mantenimiento $200 000 $200 000 $350 000

Alternativa A:

B = ($1 000 000 + $250 000 + $350 000 + $100 000) (P/A, 10%, 50)

B = $ 16‟ 855 185

C = $8 000 000+$200 000(P/A, 10%,50)

C = $ 9‟ 982 963

Alternativa B:

B = ($1 200 000 + $350 000 + $450 000 + $200 000) (P/A, 10%,50)

B = $21 812 592

C = $10 000 000 + $250 000(P/A, 10%, 50)

C = $12 478 704

Alternativa C:

B = ($1 800 000 + $500 000 + $600 000 + $350 000) (P/A, 10%, 50)

B = $32 223 147

C = $15 000 000 + $350 000(P/A, 10%, 50)

C = $18 470 185

b) Seleccionamos en base al B/C incremental:

Análisis incremental (B – A):

Seleccionamos el Proyecto B.

Análisis incremental (C – B):

Seleccionamos el Proyecto C.

c) Seleccionamos en base al criterio B/C‟(i):

A B C

B

I

C’ = (C – I)

B/C’ (10%) = (B-C’)/I

$16 855 185

$8 000 000

$1 982 963

1,86

$21 812 592

$10 000 000

$2 478 704

1,93

$32 223 147

$15 000 000

$3 470 185

1,92

(Seleccionamos B)

(Seleccionamos C)

Análisis del proyecto mutuo exclusivo por beneficio costo

4) El gobierno piensa llevar a cabo los cuatro proyectos listados a continuación.

Estos proyectos son mutuamente exclusivos, y el valor actual estimado de sus

costos y beneficios se expresan en millones de dólares. Todos los proyectos

tienen la misma duración.

Proyectos Valor actual de los

beneficios

Valor actual de los

costos

A1

A2

A3

A4

40

150

70

120

85

110

25

73

Suponiendo que no hay alternativa “no hacer nada”, ¿cuál de ellas seleccionaría?

Justifique su elección aplicando el criterio de Beneficio – Costo (B/C(i)) a la

inversión incremental.

SOLUCIÓN:

Proyecto

Valor actual

de los

beneficios

Valor actual

de los costos

Valor

presente neto

B/C

Ratio

A1

A2

A3

A4

$40

150

70

120

$85

110

25

73

-$45

40

45

47

0,47

1,36

2,80

1,64

Para iniciar el análisis de la inversión incremental descartamos el proyecto “A”, que por

tener un B/C (i) < 0 no es viable económicamente.

Luego procedemos a ordenar los proyectos viables (A3, A4, A2).

A4 VS A3:

Seleccionaremos el PROYECTO A4

A2 VS A4:

Seleccionaremos el PROYECTO A4

ingenieria economica y gestion financiera (ii parte)

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