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Ingenieria de los Materiales Ingenieria de los Materiales 3ª- PARTE3ª- PARTE MC. Daniel Ramírez Villarreal MC. Daniel Ramírez Villarreal

Unidad temática 3Unidad temática 3 Análisis de esfuerzos en un puntoAnálisis de esfuerzos en un punto

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Método Grafico. Circulo de Mohr

3a.Parte

Tutorial interactivo


3.5 Método grafico. Circulo de Mohr

Existe una interpretación grafica de las ecuaciones anteriores hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr Otto Mohr (1882)(1882) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Circulo de MohrCirculo de Mohr. .

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Pag 11


3.5 Método grafico. Circulo de Mohr

Las ecuaciones (3.1) y (3.2) son las ecuaciones paramétricas de una circunferencia. Rearreglando la ecuación 3.1:

3

2cos22

22cos22

xy

yx

xy

yxyx

sen

sen

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(3.1 y 3.2)


4

Elevando al cuadrado, sumando y simplificando,

22

22

22 xyyxyx

(3.11)

xx, , yy,,xyxy son valores conocidos que definen el son valores conocidos que definen el estado estado

plano de esfuerzoplano de esfuerzo,, mientras que mientras que yy son variablesson variables. .


5

Por lo tanto Por lo tanto ((xx + +yy)/2)/2 es una constante es una constante CC,, y el y el

segundo miembro de la ecuación (3.11) lo consideramos segundo miembro de la ecuación (3.11) lo consideramos como otra constantecomo otra constante RR. . sustituyendo, la ecuación (3.11) se sustituyendo, la ecuación (3.11) se transforma en: transforma en:

222 RC (3.12)

Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia: Esta ecuación es análoga a la de una circunferencia:

(x-c)(x-c)22 + y + y 22= R= R22


6

2

22

2

yx

xyyx

C

R

(3.13)(3.13)

Por lo que la circunferencia será de radio y centro:

11Construcción del circulo de Mohr


La figura 3.5 representa el círculo de Mohr para el estado plano de esfuerzos que se ha estudiado.

El centro C esta a una distancia OC del origen que es la media aritmética de los esfuerzos normales, y el radio R es la hipotenusa del triangulo rectángulo CDA.

Se puede comprobar fácilmente que las coordenadas de los puntos E, F, G corresponden a las expresiones deducidas en las ecuaciones (3.5) y (3.6), por lo que el circulo de Mohr representa gráficamente la variación de los esfuerzos dada por las ecuaciones (3.1) y (3.2).

7


8

Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional Figura 3.5 Circulo de Mohr estado plano de esfuerzo bidimensional


Método Gráfico. Circulo de Mohr

1. Para el estado de esfuerzos biaxial en el punto, Determinar :

a) Los esfuerzos componentes x’, xy’ para x’= -30o

b) Los esfuerzos principales normales 1, 2 .

c) Su dirección y orientación

d) Los esfuerzos principales cortantes 1, 2 y n

e) Su dirección y orientación 9

xx= 500 MPa= 500 MPa

y y = 300 MPa= 300 MPa

xyxy= 100 MPa= 100 MPa

Caso 1

x’= -30o


Método Gráfico: Circulo de Mohr (Solución)

1. Identificar el estado de esfuerzos

Considerando el signo de acuerdo a la convención.

x = + 500MPa (T)y = - 300MPa (c)

xy = - 100MPayx = 100MPa 2. Representar los puntos a y b en el

elemento, el a estará en la cara derecha y el b en la superior, como se indica en el dibujo.

3. El punto a y b tendrán comocoordenadas:

a (x,xy) y b (y, yx)

10


y y = 300 MPa= 300 MPa


ab

yxyx



4. Estado de esfuerzos conocidos

x = + 500MPa (T)y = - 300MPa (c)

xy = - 100MPayx = 100MPa

5. Hacer una escala; dividiendo el valor mayor de todos entre 10 cm, resultando en este caso :

500MPa/10cm= escala: 50 Mpa= 1cm.

6. Pasar los puntos a y b a centímetrosdividendo c/u entre la escala;

Mpa = cm a (500, -100) = (10,-2)

b (-300, 100) = (-6, 2).

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y y = 300 MPa= 300 MPa


ab



7. Trazar los ejes vsen el papel milimétrico.

8. Marcar los puntos a y b y unirlos con una línea.

9. Marcar el origen O y elcentro C.

10.Indicar el eje X de Ca y el Y de Cb.

11. Con radio ca o cb y centro C trazar el circulo de

Mohr.

12

aa

bb

XX

YYCC

oo


12. A partir del centro en C identificar los ejes principales.

13. Obtener el estado de los esfuerzos principales y sus magnitudes midiendo en el papel milimétrico cada punto indicado en la figura a partir del origen O, activar siguiente diapositiva :

Verifique estos resultados en su papel milimétrico o ensu hoja cad.

Max =10.3cmx50=515MPa(+) Min = -6.3cm x50=-315MPa

Max = 8.3cm x50= 415MPaMin = -8.3cm x50= -415MPan = 2cm x50 = 100MPa

13

Método grafico. Circulo de Mohr


14

aa

bb

XX

YY

CCOO

((1 1 ,0),0)

((nnmax ,max ,))

(( n ,n ,minmin,),)

((2 2 ,0),0)

maxmax

minmin

maxmax

1’1’

nn

22

minmin

11

2’2’



y y = 300 MPa= 300 MPa


ab

Pag 13


14. Obtención de la dirección de los esfuerzos principales normales y cortantes

Los ángulos en el circulo son el doble del valorReal y se miden a partir del eje X, considere angulos positivos en contra de las manecillas del reloj.Hágalo en su papel milimétrico o cad y Verifique estosresultados:

Max = +15o 1 =+ 7.5o

Min = - 165º 2 = - 82.5o

2’Max = + 105o 1’ =+52.5o

’Min = - 75o 2’ = - 37.5o

15



16

aa

bb

XX

YY

OO

((1 1 ,0),0)

((nnmax ,max ,))

(( n ,n ,minmin,),)

((2 2 ,0),0)

1’1’

22

11

2’2’

Medición de los angulos en el Circulo de Mohr

xx= 500 = 500

y y = 300 = 300

xyxy= 100 = 100

ab X

Y

22 11

22 22

CC

22 1’1’

22 2’2’

+2+2

-2-2 XX


15. Obtención de las componentes de esfuerzos x’, xy’ para x’ y sus correspondientes componentes a 90o ; y’, yx’ .

16. Se marca en el circulo a partir del eje X el ángulo 2 trazándose el nuevo eje X’ desde el centro del circulo C y la intersección con el circulo será el punto cuyas coordenadas son: x’, xy’ y a 90

o del eje X’ se encuentra el eje Y’ en cuya intersección con el circulo representa el punto con coordenadas y’, yx’ .

Activar el procedimiento en la siguiente diapositiva.

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y y = 300 MPa= 300 MPa


= - 30= - 30X


Calculo de: x’ ,x’ , xy’ xy’ para = - 30= - 30º º en el circulo es el doble 2= - 60= - 60º º

y para y’ y’ , , xy’xy’

es ’ = -30 + 90 ’ = -30 + 90

’ ’ =60=60ºº, 2’ =120’ =120ºº

18

XX

YY bb

aa

cc

x’x’

yx’yx’

y’y’

xy’xy’

22

22’’

x’x’

a’a’

y’y’b’

x’ =+2.4cmx50=120MPa

xy’ =-6cmx50=-300 MPa

Resultado

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