ingenier ia de telecomunicaciones...la siguienta tabla resume algunas de las funciones m as...

INGENIERÍA de TELECOMUNICACIONES

ESTADÍSTICA

2016-2017

PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD

OBJETIVOS: Introducción a modelos de probabilidad discretos y cont́ınuos más comunes.Caracterización, representación gráfica. Resolución mediante simulación con MATLAB/Octave deejercicios propuestos.

1. Introducción

En general, para generar variables aleatorias cont́ınuas utilizaremos el método de la trans-formación inversa de la función de distribución (siempre que exista inversa). Para el caso de v.a.’sdiscretas utilizaremos una condición booleana. No obstante, MATLAB/Octave dispone de funcionespropias para generar variables aleatorias de modelos de probabilidad conocidos.

La siguienta tabla resume algunas de las funciones más importantes para la generación de núme-ros aleatorios de modelos de probabilidad para variables cont́ınuas y discretas en MATLAB/Octave:

Función Descripción Sintaxis

normrnd no aleatorios N(µ, σ) normrnd(MU,SIGMA,m,n)randn no aleatorios N(0, 1) randn(m,n)exprnd no aleatorios Exp(λ) exprnd(1/lambda,m,n)binornd no aleatorios Bin(n, p) binornd(N,P,m,n)poissrnd no aleatorios Poiss(λ) poissrnd(lambda,m,n)

donde m y n son el no de filas y columnas a generar, respectivamente.

2. Caso cont́ınuo

Distribución normal

Recordemos que la distribución Normal tiene como función de densidad:

X ∼ N (µ, σ) : f(x) = 1σ√

2πexp−

12σ2

(x−µ)2 , donde x ∈ R, σ > 0 y µ ∈ R.

1. Crea una función en MATLAB/Octave que proporcione los valores de la función de densidadde una variable aleatoria con distribución normal N (µ, σ).

Ingenieŕıa de Telecomunicaciones - Estad́ıstica (2016-2017) - PRÁCTICA 3. MODELOS DE PROBABILIDAD 1

%% creamos la función fd_normal.m

function y = fd_normal(x, mu, sigma)

for i = 1:length(x)

y(i) = exp(-0.5*((x(i)-mu)/sigma)^2) / (sigma*sqrt(2*pi));

end

end

%%

2. Utilizando la función creada en el apartado anterior, representa gráficamente la función dedensidad de la v.a. normal para distintos valores de los parámetros de la distribución:

a) Manteniendo σ y variando µ ⇒ Considera 3 distribuciones Normales con desvia-ción t́ıpica constante (σ = 1) y con diferentes medias (µ =-1,0,1). ¿Cómo afectan losparámetros a la forma de la distribución? ¿y a su posición en los ejes?

b) Mantiendo µ y variando σ ⇒ Considera 3 distribuciones Normales con media cons-tante (µ = 0) y variando la desviación t́ıpica (σ =0.3,0.5,1.2). Analizar cómo afecta a laforma de la distribución y cómo afecta a su posición en los ejes.

% a)

>> x = -5:0.01:5;

>> y1 = fd_normal(x,-1,1); % y1 es Normal con media -1 y desv. 1

>> y2 = fd_normal(x, 0,1); % y2 es Normal con media 0 y desv. 1

>> y3 = fd_normal(x, 1,1); % y2 es Normal con media +1 y desv. 1

% b)

>> y4 = fd_normal(x, 0, 0.3); % y4 es Normal con media 0 y desv. 0.3



Una vez generadas las 6 variables aleatorias normales, vamos a compararlas gráficamenteusando los comandos subplot1, plot, hold on y hold off.

1Mediante la función subplot podemos crear varios gráficos a la vez. En el ejemplo, subplot(1,2,i), significaque dibujamos en 1 fila y 2 columnas el gráfico i, con i = 1, 2.


% Gráfico caso a)

>> subplot(1,2,1) % 1 fila, 2 columnas, gráfico no 1

>> hold on % esta opción permite superponer gráficos

>> plot(x,y1,’b’) % gráfico x/y1 en color azul (‘blue’)

>> plot(x,y2,’g’) % gráfico x/y2 en color verde (‘green’)

>> plot(x,y3,’r’) % gráfico x/y2 en color rojo (‘red’)

>> hold off % deshabilitamos la opción para superponer gráficos

% Gráfico caso b)

>> subplot(1,2,2) % 1 fila, 2 columnas, gráfico no 2

>> hold on

>> plot(x,y4,’b’)

>> plot(x,y5,’g’)

>> plot(x,y6,’r’)

>> hold off

% Otra fotma de hacerlo es:

>> subplot(1,2,1)

>> plot(x,y1,’b’,x,y2,’g’,x,y3,’r’)

>> subplot(1,2,2)

>> plot(x,y4,’b’,x,y5,’g’,x,y6,’r’)

-5 0 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

mu = -1 , sigma = 1mu = 0 , sigma = 1mu = 1 , sigma = 1

mu = 0 ,sigma = 0.3mu = 0 , sigma = 0.5mu = 0 ,sigma = 1.2

NOTA: Otra manera de representar un gráfico de una distribución normal (µ = 0 y σ = 2,5)para x ∈ (−10, 10) seŕıa:

>> fplot(’fd_normal(x, 0, 2.5)’, [-10 10], ’g’)

Con la sentencia disttool de MATLAB sobre el Command Window, podemos ver gráficamentela densidad de diferentes distribuciones, seleccionando en Function Type/PDF.


3. Genera en MATLAB/Octave números aleatorios de la distribución normal.

En MATLAB/Octave es posible generar números aleatorios de una distribución normal(µ, σ), a través de funciones propias de la libreŕıa estad́ıstica stats. Aśı, podemos creardatos normales (n filas y m columnas) de la siguiente manera:

>> x = normrnd(MU,SIGMA,m,n);

El comando randn permite generar números aleatorios de una distribución normal estándar(es decir, de media µ = 0 y σ = 1). A partir de randn, es posible generar números aleatorios∼ N (µ, σ) del siguiente modo: sea Z ∼ N (0, 1), podemos obtener X ∼ N (µ, σ), dada lasiguiente relación:

X = Z · σ + µ

>> z = randn(m,n);

>> x = z*sigma + mu;

Podemos comprobar que los números generados son N (µ, σ) representando el histograma:

>> m = 1000; n = 1;

>> sigma = 0.75; mu = 1;

>> z = randn(m,n); x = z*sigma + mu;

>> hist(x)

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

50

100

150

200

250

300

4. Función de distribución acumulada. En MATLAB/Octave, el comando normcdf(x,mu,sigma)devuelve la probabilidad p = P (X ≤ x) de una distribución normal de parámetros µ y σ.Representa la función de distribución acumulada, para los valores de x ∈ [−3, 3], siendo Xuna normal estándar.


>> x = [-3:0.01:3];

>> mu = 0; sigma = 1;

>> p = normcdf(x,mu,sigma); % p = normcdf(x) proporciona la

% f. distr. acum. de una N(0,1).

% Su inversa es x = norminv(p,mu,sigma)

>> plot(x,p)

>> grid on

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

3. Caso discreto

Distribución binomial

La función de probabilidad p(x) de la distribución binomial Bin(n, p) es:

X ∼ Bin(n, p) : p(x) =(n

x

)px(1− p)n−x donde x = 0, 1, ..., n y 0 ≤ p < 1.

Siendo n el número de intentos o de ensayos y el parámetro p la probabilidad de que el sucesoéxito ocurra.

1. Crea una función en MATLAB/Octave que permita representar funciones de probabilidad deuna distribución binomial.

%% creamos la función fp_binomial.m

function y = fp_binomial(x,n,p)

for i = 1:length(x)

y(i) = (nchoosek(n,x(i)))*(p^x(i))*((1-p)^(n-x(i)));

end

end

%%

NOTA: La función nchoosek(n,x) permite calcular(nx

). Sin embargo, para un tamaño de

n grande, el resultado puede no ser exacto. Por ello, para un tamaño n grande, emplearemos


la función Gamma Γ:

Γ(p) =

∫ +∞0

e−xxp−1dx, donde p > 0

Propiedades de la función Gamma (Γ):

a) Γ(1) = 0! = 1

b) Γ(p) = (p− 1)Γ(p− 1), ∀p > 0 y entonces Γ(p) = (p− 1)!, ∀p ∈ N.

c)(nx

)= Γ(n+1)Γ(x+1)·Γ(n−x+1)

d) Γ(12) =√π.

2. Crea una función en MATLAB/Octave que permita representar funciones de probabilidad deuna distribución binomial para tamaños de n grandes.

%% creamos la función fp_binomialN.m

%% utilizando la propiedad c) de la función Gamma

function y = fp_binomialN(x,n,p)

for i = 1:length(x)

y(i) = (gamma(n+1)*(p^x(i))*((1-p)^(n-x(i))))/

(gamma(x(i)+1)*gamma(n-x(i)+1));

end

end

%%

3. Utilizando la función creada anteriormente, representa gráficamente la función de probabilidadde una variable aleatoria binomial, para los siguientes casos:

a) Dejando constante p y variando n ⇒ creamos 3 distribuciones binomiales:Bin(5,0.2), Bin(10,0.2), Bin(20,0.2)

b) Dejar n constante y variar p ⇒ creamos otras 3 distribuciones binomiales:Bin(100,0.1), Bin(100,0.5), Bin(100,0.8)


% Caso a):

>> x5 = 0:5 % creamos una secuencia de 0 a 5

>> y5 = fp_binomial(x5,5,0.2) % llamamos a la función fp_binomial.m

>> sum(y5) % comprobamos que la suma de las probabilidades es 1

>> x10 = 0:10;

>> y10 = fp_binomial(x10,10,0.2);

>> x20 = 0:20;

>> y20 = fp_binomial(x20,20,0.2);

% Caso b):

>> x100 = 0:100;

>> y1 = fp_binomialN(x100, 100, 0.1); % llamamos a la función

>> y2 = fp_binomialN(x100, 100, 0.5); % fp_binomialN.m

>> y3 = fp_binomialN(x100, 100, 0.8);

Podemos comparar ambos gráficos, como vimos en el caso de la distribución Normal.

>> subplot(1,2,1)

>> plot(x5,y5,’.’, x10,y10, ’+’, x20, y20, ’*’);

>> legend(’n=5, p=0.2’, ’n=10, p=0.2’, ’n=20, p=0.2’)

>> subplot(1,2,2)

>> plot(x100, y1, ’.’, x100, y2, ’+’, x100, y3, ’*’);

>> legend(’n = 100, p = 0.1’, ’n = 100, p = 0.5’, ’n = 100, p = 0.8’);

0 5 10 15 200

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

n=5, p=0.2n=10, p=0.2n=20, p=0.2

0 20 40 60 80 1000

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

n = 100 , p = 0.1n = 100 , p = 0.5n = 100 , p = 0.8


4. Sabiendo que la distribución Bin(n, p) es la suma de n variables aleatorias Bernouilli inde-pendientes:

Binom(n, p) = Bern(p) + ...+ Bern(p)︸︷︷︸n veces

Crea una función en MATLAB/Octave para generar números aleatorios de la distribuciónbinomial.

%% creamos la función na_binomial.m

function y= na_binomial(n_dat, n, p) % ‘n_dat’ es el

% no de datos binomiales

% que se van a generar

prob = rand(n_dat,n); % realizamos ‘n’ experimentos

exitos = prob < p; % si se cumple, entonces se ha producido un exito

y = sum(exitos); % sumamos todos los éxitos producidos

end

%%

En el Command Window:

% Obtenemos 10 números binomiales obtenidos de sumar el no

% de éxitos de n intentos con una probabilidad de éxito p

>> y = na_binomial(10,n,p)

Numéricamente, podemos verificar las propiedades de la media y la varianza de la distri-bución binomial:

E[X] = n× pVar[X] = n× p× q

>> n = 10000; p = 0.1;

>> y = na_binomial(10,n,p);

>> mean(y) % aprox. 1

>> var(y) % aprox. 0.9


4. Generación de variables aleatorias

Como se indicó en la práctica anterior, el método de la inversa nos permite generar variablesaleatorias cont́ınuas a partir de la función de distribución siempre que ésta admita inversa.

1. Caso Exponencial: Sea X una variable aleatoria exponencial de parámetro λ, X ∼ Exp(λ)con λ > 0. Genera X mediante el método de la inversa, donde λ = 2.

X Recordemos que la función de distribución de una v.a. Exp(λ), viene dada por

FX(x) =

{0 x < 0

1− e−λx x ≥ 0

Por el método de la inversa, tenemos que considerando la igualdad u = FX(x), para x ≥ 0, severifica que:

1− e−λx = u1− u = e−λx

− 1λ

log(1− u) = x

Y por tanto, podemos generar v.a.’s exponenciales generando u y después calculando:

x = − 1λ

log(1− u)

NOTA: Observa que 1 − u es también una v.a. uniforme cont́ınua entre (0, 1) y por tantotambién podemos generar v.a.’s exponenciales mediante x = − 1λ log(u).

>> n = 1000; lambda = 2;

>> u = rand(n,1);

>> x = -(1/lambda)*log(1-u);

% Gráficamente:

>> hist(x);

Numéricamente, podemos verificar que:

E[X] = 1λVar[X] = 1

λ2

>> mean(x) % aprox. 1/lambda

>> var(x) % aprox. 1/lambda^2

2. Caso Weibull: Sea X una variable aleatoria Weibull2, X ∼ Weibull(α, β), con función dedistribución:

FX(x) =

{0 x < 0

1− e−(x/β)α x ≥ 02NOTA: Esta distribución se aplica en los análisis de fiabilidad de sistemas para establecer, por ejemplo, el tiempo

de vida de un componente hasta que se produce un fallo.


donde α y β son parámetros dados. Indica cómo generaŕıas en MATLAB/Octave variablesaleatorias Weibull.

X Mediante el método de la inversa, tenemos que considerando u = FX(x),

1− e(x/β)α = ue(x/β)

α= 1− u

(x/β)α = − ln(1− u)

x/β = [− ln(1− u)]1α

x = β[− ln(1− u)]1α

Por tanto:

>> n = 1000; % Por ejemplo

>> u = rand(n,1);

>> x = beta*(-log(1-u)).^(1/alpha);

5. Función Q

La función Q se define como la complementaria a la función de distribución de la N (0, 1), esdecir como

Q(x) = P (X > x) siendo X ∼ N (0, 1)

Supongamos una función Q tiene por cotas superiores (cs1) y (cs2) y cota inferior (ci) dadas por

Q(x) ≤ 12e−

x2

2 para todo x ≥ 0 (cs1)

Q(x) <1√2πx

e−x2

2 para todo x > 0 (cs2)

Q(x) >1√2πx

(1− 1

x2

)e−

x2

2 para todo x > 1 (ci)

a) La función de MATLAB normcdf(x,MU,SIGMA) devuelve la función de distribución acumu-lada de una N (µ, σ). ¿Cómo representaŕıas en MATLAB la función Q?

>> Q = 1 - normcdf(x,0,1)


b) Escribe el código en MATLAB para representar gráficamente la función Q en el intervalo(0, 5] junto con las cotas superiores cs1 y cs2 y la cota inferior ci. El resultado que se ha deobtener será similar al de la figura 1.

NOTA:

Representa x ∈ (0, 5] como x=[0.01:0.01:5].Para la cota inferior ci, observa que existe una aśıntota vertical en x = 1, por tanto,define xi=[1.01:0.01:5] tan sólo para esta cota.

Utiliza una escala logaŕıtmica para representar gráficamente las cotas.

>>x1 = [1.01:0.01:5];

>>for i = 1:length(x1)

ci(i) = (1/x1(i)*sqrt(2*pi))*(1- (1/x1(i)^2))*exp(-0.5*x1(i)^2);

end

>> x = [0.01:0.01:5];

>>for i = 1:length(x)

cs1(i) = 0.5*exp(-0.5*x(i)^2);

cs2(i) = (1/(x(i)*sqrt(2*pi))) * exp(-0.5*x(i)^2);

end

>>q = 1- normcdf(x,0,1);

>> plot(x, log(q), ‘black’)

>> hold on

>> plot(x, log(cs1), ‘r’)

>> plot(x, log(cs2), ‘g’)

>> plot(x1, log(ci), ‘m’)

>> hold off

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20

-15

-10

-5

0

5

10log(q)log(cs1)log(cs2)log(ci)

Figura 1: Representación gráfica de la función Q con las cotas en escala logaŕıtmica log(cs1),log(cs2) y log(ci). La ĺınea vertical representa la aśıntota en x = 1.


6. Ejercicios de interés

1. Si se sabe que una v.a. Y del tipo Cauchy se puede obtener como Y = tg (X) con X unaU(−π2 ,

π2

), ¿cómo se puede aprovechar esta información para generar una Cauchy?

Si se sabe dicha información no hace falta recurrir al método de la inversa de la funciónde distribución. Simplemente podemos hacer:

>> x = unifrnd(-pi/2,pi/2, 100,1); % generar uniformes en intervalo

% (-pi/2,pi/2)

>> y = tan(x); % aplicar la tangente

2. Sea X ∼ N (0, σ = 3). Se construye un ćırculo con radio un valor |x| de la v.a. anterior.Calcular en términos de la función Q la probabilidad de que el ćırculo generado tenga un áreamayor o igual que π. Evaluar dicha probabilidad con MATLAB/Octave de forma exacta ypor simulación.

Sea C la v.a. “Área del ćırculo”, se trata de calcular

P (C ≥ π) = P(πX2 ≥ π

)= P

(X2 ≥ 1

)= P (X ≥ 1) + P (X ≤ −1)

= P

(X − 0

3≥ 1− 0

3

)+ P

(X − 0

3≤ −1− 0

3

)= 2Q

(1

3

)Para evaluarla con MATLAB/Octave de forma exacta:

>> x = 2*(1-normcdf(1/3))

0.7389

Para resolverlo con MATLAB/Octave de forma simulada:

>> x = normrnd(0,3,1000,1);

>> area = pi*x.^2;

>> c = (area>=pi);

>> prob = sum(c)/1000 % aprox. 0.7389

3. Sea X la v.a. “horas que se dedica a realizar una actividad”, cuya función de densidad es

f (x) =

{14 (x+ 1) 0 < x < 2

0 resto

Se pide:

a) Calcular, de forma anaĺıtica y con MATLAB/Octave, la probabilidad de que el tiempoempleado sea superior a una hora y media.


b) Si se realizan 10 actividades según la v.a.X, calcular, de forma anaĺıtica y con MATLAB/Octave,la probabilidad de que exactamente en tres de ellas, el tiempo que se emplee en realizarcada una sea superior a una hora y media.

a) De forma anaĺıtica, se tiene que:

P (X > 1,5) =

∫ +∞x=1,5

f (x) dx =

∫ 2x=1,5

1

4(x+ 1) dx =

1

4

1

2

[x2]21,5

+1

4[x]21,5

=1

8

(4− 9

4

)+

1

4

(2− 3

2

)=

7

32+

1

8=

11

32= 0,3438

Para resolverlo con MATLAB/Octave, hay que utilizar el método de la inversa, con loque hay que calcular previamente la función de distribución, que es

F (x) =

0 x < 0∫ x

014 (y + 1) dy =

18x

2 + 14x 0 ≤ x < 21 2 ≤ x

Y ahora hay que invertir la función de distribución:

1

8x2 +

1

4x = u

x2 + 2x− 8u = 0

x =−2±

√4 + 32u

2

Dada la definición de la v.a. X la solución negativa no es válida, con lo que el proce-dimiento para generarla es:

u ∼ U (0, 1)

x =−2 +

√4 + 32u

2

El código MATLAB/Octave para resolver este apartado es:

>> u = rand(1000,1);

>> x = (-2+sqrt(4+32*u))/2;

>> prob = sum(x>1.5)/1000 % aprox. 0.3438

b) De forma anaĺıtica, si se define Y como la v.a. “número de actividades entre las 10realizadas en las que el tiempo que se emplea es superior a una hora y media”, se tieneque Y ∼ Bin

(n = 10, p = 1132

)y hay que calcular

P (Y = 3) =

(10

3

)(11

32

)3(2132

)7= 0, 2555


El código MATLAB/Octave para resolver este apartado es:

>> u = rand(1000,10);

>> x = (-2+sqrt(4+32*u))/2;

>> conta = (x>1.5);

>> suma = sum(conta,2);

>> prob = sum(suma==3)/1000 % aprox. 0.2555


IntroducciónCaso contínuoCaso discretoGeneración de variables aleatoriasFunción QEjercicios de interés

ingenier ia de telecomunicaciones...la siguienta tabla resume algunas de las funciones m as...

Documents