ing economica y mat financiera

Ingeniera Econmica

Prof. Alejandro Concha A. Depto.de Ingeniera Industrial

Proyectos, Recursos y Decisiones Econmicas Las mediciones en unidades monetarias

El Concepto de Valor de Dinero en el Tiempo Factores de equivalencia

Prof. Alejandro Concha A. - Depto. Ingeniera Industrial - Universidad de Concepcin


Orgenes de la Ingeniera Econmica

Pionero: Arthur M. Wellington, ingeniero civil norteamericano de finales del siglo diecinueve;

incorpor el rol del anlisis econmico en proyectos de ingeniera;

area de inters: construccin de ferrocarriles. Escribi el texto:

" Economic Theory of the Location of Railways" (1878; enlarged ed., 1887)

Seguido por otras contribuciones que enfatizaron en tcnicas relacionadas con las finanzas y las matemticas.

Pasos del proceso de toma de decisiones

1. Reconocimiento de Problema. 2. Desarrollo de las alternativas factibles. 3. Desarrollo de los flujos de caja de cada alternativa. 4. Seleccin de un criterio ( o criterios). 5. Analisis y comparacin de las alternativas Evaluacin

ex-ante). 6. Seleccin de la alternativa preferida. 7. Seguimiento del desempeo y resultados post-

evaluacin.


Principios de la Ingeniera Econmica

1. Desarrollar Alternativas; 2. Centrar atencin en las Diferencias; 3. Usar un Punto de Vista Consistente; 4. Usar una Unidad de Medida Comn; 5. Considerar Todos los Criterios Relevantes; 6. Hacer Explcita la Incertidumbre; 7. Reconsiderar las Decisiones


La diversidad de elementos utilizados en un proyectos, lleva necesariamente a medirlos en una unidad de medida comn, la unidad monetaria. Debido al fenmeno inflacionario, debemos utilizar dos tipos de denominaciones de los flujos y cantidades de dinero: - Flujos o Cantidades Nominales - Flujos o Cantidades Reales.

LAS MEDICIONES EN UNIDADES MONETARIAS


Para relacionar un flujo o cantidad nominal con real, se utilizan los ndices de precio. Un ndice de precio es un nmero cuya magnitud vara proporcionalmente al precio de los bienes que representa. Ejemplo: Indice de Precios al Consumidor (IPC) Qu bienes representa?. Aquellos que consume un consumidor representativo de la poblacin. Otros ejemplos: IPPetroleo, IPArtista, IPVivienda, IPAcciones, IPProductos orgnicos, IPTransporte Aereo, IPAcero, IP al Productor. Prof. Alejandro Concha A. - Depto. Ingeniera Industrial - Universidad de Concepcin


Para realizar conversiones de precio, se tiene la siguiente expresin: Precio ($t) = ( Precio($0) / IP0 )* IPt donde: Precio($0): Cifra en moneda del tiempo 0 de referencia. Precio ($t): Cifra en moneda del tiempo t



Ejercicio: Convierta los siguientes montos de dinero expresados en pesos de cada poca, en una misma unidad monetaria. La tabla muestra las remuneraciones medias (nominales) a Diciembre de cada ao, del sector Transporte y Telecomunicaciones. Fuente: Anuarios de INE.



Ao Profesionales Tecnicos 1993 $ 642.714 $ 406.225 1994 $ 727.024 $ 459.142 1995 $ 753.087 $ 503.431 1996 $ 829.233 $ 539.440 1997 $ 875.774 $ 580.697 1998 $ 1.062.651 $ 642.194 1999 $ 1.138.109 $ 685.351 2000 $ 1.189.344 $ 761.410 2001 $ 1.260.644 $ 822.086 2002 $ 1.327.284 $ 783.445 2003 $ 1.342.989 $ 809.209 2004 $ 1.366.751 $ 802.918



Ao Octubre Noviembre Diciembre

1990 47,0967119 47,5121574 47,76013661991 55,4700332 55,982094 56,67128271992 62,9222891 63,8208109 63,8658981993 71,4759589 71,5371486 71,67885091994 77,40491450 77,8718882 78,09088271995 84,1905253 84,2517149 84,4932531996 89,4174101 89,771666 90,096937301997 95,2819555 95,4107758 95,54281671998 99,397765 99,4943802 1001999 101,87 102,04 102,312000 106,46 106,82 106,942001 110,11 110,10 109,762002 113,46 113,36 112,862003 114,79 114,44 114,072004 116,98 117,28 116,842005 121,82 121,53 121,12



Qu ha pasado con las variaciones reales de las remuneraciones a travs del tiempo? Calcule la variacin mensual de IPC para un mes cualquiera. Calcule la variacin anual a partir de las variaciones mensuales.



EL CONCEPTO DE VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Si el dinero se utiliza en un uso productivo (se invierte), puede generar ms dinero o riqueza. Lo anterior significa que una misma cantidad de dinero no tiene la misma utilidad para un inversionista si no se encuentra en el mismo momento. Qu prefiere? $0 1.000.000 ahora o $0 1.000.000 dentro de 2 aos ms? Porqu?


El inters es la manifestacin del valor del dinero en el tiempo. El inters es la diferencia entre una cantidad final de dinero y la cantidad original. Esta diferencia puede ser ganada o pagada, dependiendo si la persona ahorra o pide prestado. inters acumulado por u de tiempo Tasa de inters (%) = ----------------------------------------- x100 monto original


EL CONCEPTO DE VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Tasa de inters


Tasas de Inters Factores de equivalencia


Inters Simple e Inters Compuesto

Para varios perodos de tiempo, las definiciones de inters simple e inters compuesto se tornan importantes. El inters simple se calcula utilizando exclusivamente el principal e ignorando cualquier inters generado en los perodos de inters precedentes. Se calcula de la siguiente forma: Inters=(Principal)(n de perodos)(tasa de inters s) donde la tasa de inters s se expresa en forma decimal.


Inters Simple e Inters Compuesto

En el caso del inters compuesto, el inters generado durante cada perodo de inters se calcula sobre el principal ms el monto total del inters acumulado en todos los perodos anteriores. El inters para un perodo se calcula: Inters=(Principal+intereses acumulados)(tasa de inters)


Prstamo con 5% anual de inters simple


Prstamo con 5% anual de inters compuesto


Inters Compuesto e Inters Simple


Inters Efectivo e Inters Corriente

El inters efectivo es la ganancia o pago que efectivamente corresponde al perodo de tiempo sobre el cual est expresada la tasa. Ej.: Cuando expresamos i = 5% anual, es lo efectivo que ocurrir cada ao. En el mbito financiero, en muchas ocasiones la capitalizacin (la agregacin o pago de intereses al principal) ocurre en perodos que son menores al ao, y como se acostumbra a tomar el perodo elemental de 1 ao para la definicin de tasas, entonces existe la definicin de inters corriente.



La tasa de inters corriente se define como: ic = ippc x Npc donde: ippc : tasa de inters efectiva por perodo de capitalizacin. Npc : Nmero de perodos de capitalizacin en 1 ao Ej.: ippc = 1% , Npc = 4 (trimestres) entonces: ic = 4% al ao.



En el ejemplo, si calculamos la tasa efectiva en el ao, tendremos: 1+ i = (1 + ic / Npc ) Npc i = (1 + ic / Npc ) Npc - 1 Si calculamos: i = (1+ 0,04/4)4 - 1 i = 0,0406 o i = 4,06% anual En este caso, la definicin de la tasa corriente sera: i = 4% al ao capitalizable trimestralmente



En general, la relacin entre una tasa de inters efectiva anual i y una tasa corriente anual ic es: i = (1 + ic / Npc ) Npc - 1 Mientras mayor sea el nmero de perodos de capitalizacin en 1 ao, mayor ser la diferencia entre la tasa efectiva y la tasa corriente. Es importante, entonces, que cuando trabajemos con tasa de inters estar con la certeza que es la tasa efectiva y no otra que induzca a errores.



En sntesis, las distintas tasa de inters que distinguiremos en nuestro caso son: - Tasa de inters simple (s) - Tasa de inters compuesto (i) - Tasa de inters corriente (ic ) - Tasa de inters efectivo (i) Pero, adems, debe tenerse presente que cada una de estas tasas puede corresponder a casos reales y casos nominales. Eso depende de la naturaleza de los flujos que se estn considerando.


Factores de equivalencia

En primer lugar, es necesario considerar la forma cmo se representan los proyectos de inversin para su anlisis.

Lo que vemos, es una escala de tiempo, parte fundamental, pues todos los proyectos son una secuencia de hechos que ocurren a lo largo del tiempo. En esa escala se representan los perodos elementales (en general 1 ao) y se enumeran a partir del momento 0 o referencia.



En segundo lugar, los flujos de caja (o de efectivo) se representan en el momento en que ocurren.

Estos flujos pueden ser positivos (ingresos) o negativos (egresos). Se indican como un vector, teniendo una cierta longitud y sentido.



Primera situacin: Si hoy da pedimos un prstamo de $ 2.000, otorgado a una tasa efectiva (compuesta) de 10% anual, y la devolvemos en 5 aos ms, cuanto sera la cifra a devolver? P: Cantidad Presente. F: Cantidad Futura.



Si calculamos perodo a perodo lo que deberamos pagar al trmino de cada uno, tendremos: Para el primer ao: F1 = P + P i = P(1+i) F2= F1 (1+i) = P(1+i)(1+i) = P (1+i)2 F3 = F2 (1+i) = P (1+i)2 (1+i) = P (1+i)3 .............

F5 = P (1+i)5 F5 = 2.000 (1+0,1)5 = 3.221

Generalizando: Fn = P (1+i)n


As, hemos encontrado un primer factor de equivalencia, que se representa como: (F/P, i, n) cuya expresin es (1+i)n

donde se lee: Una cantidad futura F a partir de una cantidad presente P, dada una tasa efectiva por perodo i y para n perodos de tiempo Ahora, podemos decir, en el caso particular del ejemplo, que una cantidad P=$2.000 es equivalente a una cantidad futura de F= $ 3.221



En el ejemplo, P=$2.000 es equivalente a una cantidad futura de F= $3.221 Preguntas: Cuanto es el inters en los 5 aos? Es inters real o nominal?



El inters es $ 3.221 - $ 2.000 = $ 1.221 Es nominal o real?. Depende en qu moneda estamos expresando las cifras. Si nos dijeran que la tasa i= 10% anual es real, en qu moneda queda expresada la cantidad futura F=$3.221 ? En la misma moneda de la cantidad presente, es decir, $0 Entonces, F= $0 3.221 y el inters (real) es $0 1.221 que se est pagando al final del ao 5



Situacin inversa: Qu cantidad presente es equivalente a tener una cantidad de $3.221 al cabo de 5 aos? Queda claro que este clculo es inverso al anterior, es decir: P = F5 (1/(1+i)5) = F5(1+i)-5 En este caso, encontramos otro factor que se representa como: (P/F, i, n)



Las respuestas a las anteriores interrogantes, se pueden responder usando la nomenclatura ya conocida. En el caso de resolver qu cantidad futura F es equivalente a la cantidad P= $2.000, simplemente podemos expresar como: F = $2.000 (F/P, 10%, 5) F= $ 3.211



Relacin entre tasa de inters real y tasa de inters nominal.


Supongamos que tenemos un proyecto de 1 ao, que consiste en invertir $ 1.000 (de hoy) a una tasa de inters real ir y existiendo una tasa de inflacin en el ao de t.

1 ao 0

$0 1.000

F = ?



Si trabajamos en trminos nominales, los $0 1.000 corresponde en moneda de 1 ao ms a: $0 1.000 (1 + t) Si a este monto, le agregamos los intereses reales que se obtienen en 1 ao a contar de hoy, tenemos: F1 = $0 1.000 (1 + t) (1 + ir) Trabajando directamente con tasa de inters nominal, lo anterior equivaldra a escribir:



F1 = $0 1.000 (1 + in) Por lo tanto, tenemos que: (1 + in) = (1 + t) (1 + ir) De lo cual despejamos in in = (1 + t) (1 + ir) - 1 o bien in = t + ir + irt (expresados en decimales)


Supongamos ahora que queremos conocer, al solicitar un Prstamo ahora de P = $2.000, otorgado a un 10% real anual y a devolver en 10 cuotas iguales a pagar al trmino de cada ao. Cual sera el monto de cada cuota?


P

0 1 2 3 9 10 aos A? A? A? A? A?


Este clculo se hara haciendo la siguiente igualdad: P = A(1/(1+i)1) + A(1/(1+i)2) + A(1/(1+i)3) ....... + A(1/(1+i)10) Es decir, estamos sumando todos los equivalentes presentes de cada una de las cuotas anuales. P/(1+i) = A ( 1/(1+i)2 + 1/(1+i)3 + 1/(1+i)4 + ..... + 1/(1+i)9 )



Restando la segunda igualdad a la primera, y acomodando los trminos, queda lo siguiente:


P = A (1+i)10 -1

i(1+i)10

Lo que permite entonces calcular A despejando:

A = P i(1+i)10

(1+i)10 -1


Lo que, generalizando esta expresin, se llega a:


Este factor (entre parntesis) se representa por el smbolo:

i(1+i)n A = P (1+i)n -1

(A/P, i, n) es i(1+i)n (1+i)n -1


La situacin inversa, es decir, conocida una serie de cuotas iguales futuras, cual es la cantidad presente equivalente? Se resuelve mediante el factor siguiente:


0 1 2 3 9 10 aos A A A A A

P?

(P/A, i, n) es (1+i)n -1

i(1+i)n



En este caso, se trata de encontrar la equivalencia entre una serie de pagos iguales conocida y una cantidad futura. El factor correspondiente sera:

0 1 2 3 9 10 aos A A A A A

F?

(1+i)n -1

i (F/A, i, n) es


La situacin inversa a lo anterior, es decir encontrar la equivalencia entre una cantidad futura conocida y una serie de pagos iguales, se resuelve con el uso del factor siguiente:


i

(1+i)n -1 (A/F, i, n) es


COMPARACION CON VIDAS DISTINTAS

Ejemplo: Ud. maneja su vehculo 15.000 km al ao. Qu tipo

de neumtico le convendra comprar a su vehculo? Existen dos modelos:

El neumtico A que cuesta $65.000 y puede recorrer hasta 60.000 kms.

El neumtico B que cuesta $85.000 y puede recorrer hasta 90.000 kms.

Su tasa de descuento es de 20% anual. Fundamente su respuesta mediante clculos, utilice distintos mtodos de comparacin.

Prof. Alejandro Concha A.- Depto. Ing. Industrial

Existen 2 situaciones que se dan con cierta frecuencia y para las cuales se ha desarrollado los factores adecuados para facilitar su clculo Gradiente Aritmtico: Corresponde a aquella situacin en que un flujo futuro vara por un monto constante respecto al flujo del perodo anterior. Por lo que podemos tener una serie de flujos que va incrementando o disminuyendo en forma proporcional al nmero de perodos de tiempo que transcurre.



Gradiente Geomtrico: Corresponde a aquella situacin en que un flujo futuro vara en una proporcin constante respecto al flujo del perodo anterior. Por lo que podemos tener una serie de flujos que va incrementando o disminuyendo a una tasa constante.




0 1 2 3 9 10 aos

A A+G A+2G

A+(n-2)G A+(n-1)G

Esta serie se puede descomponer en dos series parciales: - Una serie de flujos uniformes A. - Una serie de gradientes, cuyo primer flujo se encuentra al final del ao 2.



0 1 2 3 9 10 aos

G 2G (n-2)G

(n-1)G

0 1 2 3 9 10 aos

A A A A A



La serie de gradientes puede transformarse a una serie de flujos uniforme A1 mediante el siguiente factor:

(A/G, i, n) = 1 n

i (1+i)n-1 -

La serie original se transforma finalmente en una serie de flujos uniforme, sumando ambas componentes A+A1



En cuanto a la serie con gradiente geomtrico, se tiene las siguientes expresiones para el clculo de un monto presente equivalente, cuando g=i

Donde i es la tasa de inters efectiva y g es la tasa de variacin anual de los flujos (tasa de gradiente).


111( / , , , )

ngiP A g i n

i g

+ + =+


Cuando i y g son iguales, esta expresin se reduce a:

P = A n

1 + i g=i


Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Nmero de diapositiva 31Nmero de diapositiva 32Nmero de diapositiva 33Nmero de diapositiva 34Nmero de diapositiva 35Nmero de diapositiva 36Nmero de diapositiva 37Nmero de diapositiva 38Nmero de diapositiva 39Nmero de diapositiva 40Nmero de diapositiva 41Nmero de diapositiva 42Nmero de diapositiva 43Nmero de diapositiva 44COMPARACION CON VIDAS DISTINTASNmero de diapositiva 46Nmero de diapositiva 47Nmero de diapositiva 48Nmero de diapositiva 49Nmero de diapositiva 50Nmero de diapositiva 51Nmero de diapositiva 52

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