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POSCOSECHA DE GRANOS Y SEMILLAS Practica de laboratorio N°4 – COEFICIENTE DE FRICCIÓN

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería Civil y Agrícola

PRACTICA DE LABORATORIO N°4

COEFICIENTE DE FRICCIÓN

Santiago Guevara Ocaña, [email protected], Carolina Duarte,

[email protected], Angélica Torres A, [email protected], Julián Amado,

[email protected].

17 de Septiembre del 2015

1. OBJETIVOS

Determinar el coeficiente de fricción para granos de lenteja sobre diferentes

superficies.

Comparar el coeficiente de fricción para diferentes tipos de superficie.

Determinar el coeficiente de fricción interno del grano.

2. MARCO TEÓRICO

Coeficiente de fricción

La fuerza de fricción se conoce como la fuerza necesaria para vencer la inercia. Existen

dos tipos de fuerza de fricción, la estática que es la necesaria para iniciar el movimiento, y

la dinámica, la cual es necesaria para mantener el cuerpo en movimiento (Ospina 2001).

1


Se han realizado varias investigaciones relacionadas con calcular el coeficiente de fricción

de granos mediante la siguiente ecuación:

f= FW

[1]

Donde f es el coeficiente de fricción, F (Kg) es la fuerza de fricción y W equivale a la

fuerza normal en N (Kg) (Altuntas & Yildiz, 2007). Dichas investigaciones se han basado

en determinar el coeficiente de fricción bajo diferentes superficies y en algunos casos

variando el contenido de humedad.

En un estudio realizado por Firouzi et al en el año 2012, se determinó que el coeficiente

de fricción estático de la semilla de frijol (Phaseolus vulgaris L.) contra superficies de

goma, acero, aluminio y hierro galvanizado aumenta directamente proporcional al

contenido de humedad, el estudio fue realizado en rangos de contenido de humedad

entre 12,1% y 32,1%, el coeficiente de fricción más alto registrado fue obtenido en el

ensayo realizado con la superficie de goma, el cual oscilo entre 0,287 y 0,449.

Para el caso específico de la lenteja, el coeficiente de fricción estático aumenta contra

superficies de vidrio ( 31% ) , acero galvanizado( 33% ) , y madera contrachapada ( 17% )

proporcional al aumento del contenido de humedad en el grano, el coeficiente de fricción

estática de las semillas de lenteja varió entre un rango de 6% a 21% de contenido de

humedad, de 0,247 a 0,326 , 0,288 a 0,337 y de 0,269 a 0,360 , para el vidrio , la madera

contrachapada y el acero galvanizado , respectivamente, (Bagherpour,2010).

La relación entre el contenido de humedad, la superficie ensayada y el coeficiente de

fricción, para las tres superficies mencionadas anteriormente, se evidencia en la gráfica a

continuación:

2


Gráfica 1. Efecto del contenido de humedad en el coeficiente de fricción estático de la

semilla de lenteja contra diversas superficies. (Bagherpour, 2010).

Adicionalmente, Mujumdar (2015), es su libro “Hanbook of industrial drying”, muestra el

resultado de pruebas realizadas en diferentes granos, entre los cuales se encuentra la

lenteja, contra cuatro diferentes superficies, entre las cuales se encuentran el acero

galvanizado, concreto con llana de acero, madera para terminación de concreto y madera

contrachapada, a continuación se muestra la tabla obtenida en tales estudios:

Tabla 1. Coeficientes de fricción para varios granos contra cuatro superficies diferentes

(Mujumdar, 2015).

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Kaliniewicz et al. (2015) determinó tanto el ángulo de fricción interna como la fricción

externa. En el caso de fricción externa, se evaluaron dos tipos de superficies, acero y

caucho con diferentes especies de granos como trigo, habas y guisantes, indicando que

durante el proceso las semillas fueron previamente limpiadas y tamizadas. En el caso del

ángulo de fricción, se empleó la ecuación 2,

μ=tanα [2]

Siendo α el ángulo de fricción interna. En relación con el coeficiente de fricción, los

resultados para haba fueron de 0,187 sobre el acero y para trigo de 0,582 sobre caucho.

Pereira (2007) determinó que el contenido de humedad tiene gran influencia en el

coeficiente de fricción, indicando que cuando el contenido de humedad es alto, los granos

tienden a pegarse a la superficie debido a un aumento de la rugosidad, generando mayor

fricción. Así mismo, Altuntas et al. (2007) estudió el coeficiente de fricción tanto estático

como dinámico en fríjol faba bajo distintos contenidos de humedad y superficies, como

acero dulce, acero galvanizado, madera aglomerada y madera contrachapada,

obteniendo como resultado coeficientes de fricción estáticos mayores que los dinámicos y

siendo mayor en la superficie de caucho, seguido de madera contrachapada, acero

dulce, madera aglomerada y acero galvanizado respectivamente. Experimentos similares

fueron realizados por Rojas Barahona et al. (2011) arrojando resultados similares para

materiales que generalmente se emplean en superficies de transporte en una planta de

procesamiento agroindustrial (acero inoxidable, aglomerado de madera, lona, hierro

galvanizado, caucho y PVC).

En base a lo anterior, la ecuación 3 se emplea para determinar el coeficiente de fricción

ya sea estático o dinámico, teniendo en cuenta coeficientes que varían de acuerdo al

material.

μ=A+BMc [3]

Siendo A y B coeficientes de regresión (tabla 2) y Mc el contenido de humedad.

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Tabla 2. Coeficientes de regresión en función del material (Altuntas & Yildiz, 2007).

En la Ingeniería Agrícola, el coeficiente de fricción tiene gran importancia debido a que

ayuda a determinar el material a emplearse al momento de elaborar máquinas

transportadoras o equipos de almacenamiento (Lucaioli, 2005). Rojas Barahona et al.

(2011) indica que debido a que la humedad ejerce una fuerza en la superficie, se puede

seleccionar el material más adecuado para transportar los granos es decir:

“El coeficiente de fricción estático es necesario para el diseño de sistemas de transporte

y para determinar la eficiencia y desgaste de equipos […] En un sistema de trasporte

neumático o un sistema de transporte por gravedad, se utilizan materiales con

coeficientes de fricción bajos y en un sistema por bandas transportadoras se utiliza

coeficientes de fricción altos”.

En cuartos de almacenamiento como silos, se analiza el rozamiento por la interacción

entre los granos y la pared. Ercoli et al. (2007) realizó un estudio al respecto basado en

modelos numérico-computacionales que recrearan la fuerza de fricción en base al

material con el que se realizarían las paredes del silo para almacenamiento de trigo.

Los granos generalmente se mueven o se deslizan en contacto directo con la carcasa y

otros componentes de las máquinas. Varios parámetros influyen en la demanda de

5


potencia para impulsar la máquina. Las pérdidas por fricción son uno de los factores que

deben ser superadas al proveer energía adicional a la máquina (Ahamed, 2007).

El coeficiente de fricción estático de granos frescos de lenteja tipo Laird, aumentó sus

valores con diferentes superficies, en un estudio realizado por Isik (2008), al incrementar

el contenido de humedad 11.36 – 25.08%, se observó un cambio significativo en los

coeficientes de fricción: caucho (0,51-,58), aluminio (0,48-0,57), acero inoxidable (0,38-

0,44), hierro galvanizado (0,42-0,50), vidrio (0,35-0,40) y MDF (fibra de densidad media)

(0,31-0,36).

Szot et al (2003) llevaron a cabo un estudio sobre las propiedades físicas de granos de

lenteja variedad Canadiense y variedad Polaca, empleando contenidos de humedad en

base húmeda del 9, 12, 15, 18 y del 21 +/- 0.2%. Para aumentar los contenidos de

humedad siguieron la norma del Instituto de Agrofísica de Lublín (Szot y Wozniak, 1980).

El coeficiente de fricción contra las paredes de un silo fue determinado para tres

materiales; acero galvanizado, acero inoxidable y concreto B30. Las pruebas fueron

realizadas bajo presiones normales de 20, 30, 40, 50 y 60 KPa, correspondientes a la

presión horizontal promedio en el silo.

Szot (2003) encontró que la testa de la semilla de lenteja de la variedad Polaca es más

áspera que la de la variedad Canadiense. La diferencia es más notoria a bajos contenidos

de humedad. La razón es la diferencia en el espesor de la testa de la semilla y la

estructura anatómica diferente. Las fotografías obtenidas con un microscopio de barrido,

de las secciones transversales de las semillas, indican que la testa de la semilla de

variedad Canadiense es aproximadamente el doble de delgada que la de la variedad

Polaca (Figura 1a y 1b). La concentración de células papilares en la superficie de la testa

de la semilla variedad Canadiense es más alta que en la variedad Polaca, produciendo

una superficie más lisa (Figuras 2a y 2b). Dobrzanski y Szot (2001) indicaron que la

concentración de células papilares en la testa de las semillas de lenteja influencia en la

habilidad para absorber humedad, basados en las fotografías del microscopio.

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Figura 1. Fotografías de microscopio de la sección transversal de la testa de los granos

de lenteja variedad Polaca (a) y Canadiense (b) (Szot, 2003).

Figura 2. Fotografías de microscopio de la testa de los granos de lenteja variedad Polaca

(a) y Canadiense (b) (Szot, 2003).

El coeficiente de fricción contra las paredes de un silo obtenido por Szot (2003)

empleando el probador Jenike fue influenciado por el material de la pared y la presión

aplicada. Los valores contra el concreto estuvieron entre (0.26-0.28) y fueron

aproximadamente un 25% más grandes que los encontrados contra el acero galvanizado

y el inoxidable. El valor del coeficiente de fricción contra las paredes en el caso del acero

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galvanizado y el inoxidable, disminuyó con el aumento de la presión ejercida, mientras

que en el caso del concreto, aumentó su valor (Figura 3). El coeficiente de fricción contra

el acero galvanizado y el inoxidable fue mayor para la variedad Canadiense que para la

Polaca.

Grafica 2. Coeficiente de fricción contra las paredes de los granos de lenteja de la

variedad Polaca (P) y Canadiense (C) contra concreto B30, acero galvanizado y acero

inoxidable bajo la influencia de la presión normal (Szot, 2003).

Teniendo en cuenta que los materiales granulares son la forma de solidos más usual hoy

en día en el ámbito industrial y que su tratamiento envuelve el 10% de los recursos

energéticos alrededor del mundo, Guatemala G.M. et al en el 2012, propusieron un

modelo fenomenológico para predecir la descarga de sólidos granulares a través de una

válvula conocida como la válvula S (o válvula escupidora) que controla el flujo de sólidos

con la inyección de un gas (Figura 4). El modelo predice el flujo de sólidos como una

función de la densidad de los sólidos, el coeficiente de fricción, la porosidad, el caudal del

gas, el diámetro de la válvula y la presión. El coeficiente de fricción fue determinado

estimando la velocidad superficial del gas usando relaciones empíricas.

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Figura 3. Válvula en S accionada por un solenoide (superior) y diagrama de los equipos

usados en el estudio (inferior). (Guatemala, 2012)

De esta manera, determinaron ecuaciones como la siguiente:

[5]

Donde el coeficiente de fricción estático (fs) se determina a partir de la porosidad (ε), el

diámetro de la válvula (Dv), la velocidad superficial de la partícula (us) y la aceleración de

la gravedad (g). Empleando estos análisis y ecuaciones, desarrollaron gráficas (grafica 3)

en las que se aprecia la variación del coeficiente de fricción en función del caudal de aire

(Q) y la presión (P) para diferentes diámetros de partícula (dp).

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Grafica 3. Variación del coeficiente de fricción basado en el caudal de aire, la presión del

sistema y el diámetro de las partículas para una válvula en S de diámetro de 0.050 m.

(Guatemala, 2012)

Angulo de fricción interno

Las propiedades de fricción de los materiales granulares como las semillas y granos son

importantes en el diseño de equipos de transporte y en estructuras para el

almacenamiento de estos materiales. El coeficiente de fricción entre los materiales

granulares es igual a la tangente del ángulo de fricción interno para ese material

(Mohsenin, 1986).

Según Ospina (2001), el coeficiente de fricción grano- grano es de gran ayuda para

encontrar el ángulo de fricción interno, partiendo de la siguiente expresión:

α=arc . tan . ( f )[6]

Donde:

α: ángulo de fricción interno

f: Coeficiente de fricción grano-grano

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En un ensayo triaxial conducido por Moya et al (2013), se determinaron los ángulos de

fricción interna para algunos granos, en donde se obtuvo, que para la lenteja con un

contenido de humedad del 10,46% , para una tasa de deformación axial del 10% al 20% y

una velocidad de ensayo de 0,51 mm por minuto, se encontró un ángulo de fricción

interna de 20,9 ° y para una velocidad de ensayo de 1,02 mm por minuto y una misma

tasa de deformación axial, se encontró un ángulo de fricción interno de 26 a 27°.

Tabla 3. Ángulos de fricción interna para varios granos (Moya ,2013).

El conocimiento de este parámetro es útil para la predicción de la presión lateral en una

pared que retenga granos o en el diseño de silos y tolvas, el ángulo de fricción interno es

requerido para el estudio del comportamiento de los flujos por gravedad (Mohsenin,

1986).

3. MATERIALES Y MÉTODOS

Materiales

Muestra representativa de lenteja.

Dispositivo para determinar el coeficiente de fricción con diferentes superficies

(acero galvanizado, concreto y grano – grano).

Balanza de precisión a 0,1 g.

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Recipiente de ¼” de pie de cabeza de grano.

Metodología

1. Pesar la muestra de grano de lenteja correspondiente a ¼” de pie de cabeza

utilizando el recipiente con dicha medida, multiplicar este peso por cuatro,

obteniendo el peso requerido de dos pies de cabeza de grano para la realización

del ensayo.

2. Determinar la carga vertical sobre la muestra de lenteja. Para esto se debe restar

al peso de los dos pies de cabeza, el peso de los aditamentos de carga y del

grano contenido en el anillo del equipo. Este peso resultante es el que se colocara

en la porta cargas del equipo con las pesas que sumen el valor más cercano al

requerido.

Imagen 1. Aditamentos del equipo y pesas.

3. Ubicar la superficie a ensayar (Acero galvanizado, concreto o grano) en el equipo

para la determinación del coeficiente de fricción.

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Imagen 1. Superficies de ensayo.

4. Verificar que la superficie a ensayar se encuentre nivelada con la horizontal, esto

evitara la descomposición de las fuerzas afectando la fuerza resultante.

Imagen 2. Verificación nivelación horizontal.

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5. Posteriormente ubicar el anillo con la lenteja adentro, teniendo en cuenta el

contenido de humedad determinado en los laboratorios anteriores y realizando

nuevamente la comprobación de la nivelación horizontal del conjunto anillo y tapa

con porta pesas.

Imagen 3. Ubicación anillo con lenteja en el equipo.

6. Colocar en el porta pesas , las pesas cuyo peso es el más aproximado al peso

requerido para la realización del ensayo con el peso de dos pies de cabeza de

grano.

Imagen 4. Ubicación de las pesas en el equipo.

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7. Levantar el anillo con lenteja a ensayar, utilizando los tornillos de sujeción, de tal

forma que se pueda evidenciar una separación entre el anillo y la superficie,

teniendo especial cuidado en no dejar salir el grano por la abertura.

8. Liberar los tornillos de sujeción y verificar que la posición de las agujas, tanto roja

como negra, de la balanza se encuentre en 0.

Imagen 5. Liberación tornillos y verificación de posición 0 en la balanza.

9. Aplicar la carga horizontal, haciendo girar constantemente la manivela del

dispositivo hasta que la aguja de la balanza trate de devolverse, salte o patine. En

ese momento tomar la lectura de la balanza.

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Imagen 6. Toma 1 lectura balanza.

10. Para la determinación del coeficiente de fricción grano – grano, es importante

tener en cuenta la reacomodación del mismo por lo que seguido al paso anterior

se deben devolver las agujas de la balanza a cero y aplicar de nuevo la carga

horizontal hasta que la aguja trate de devolverse o salte. Tomar de nuevo la

lectura de la balanza (lectura de reacomodación).

Imagen 7. Lectura de reacomodación en la balanza.

11. Retirar el grano, limpiar la superficie y con otra muestra y superficie repetir todo el

procedimiento anterior.

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Imagen 8. Limpieza de la lenteja usada y cambio de superficie.

12. Realizar 3 repeticiones para cada superficie.

4. CÁLCULOS Y RESULTADOS

A continuación se presentan los pesos tomados en el laboratorio de todos los

aditamentos y pesas a usar en el equipo para la determinación del coeficiente de

fricción.

Tabla 4. Peso de los aditamentos y las pesas a usar en el equipo

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Para la determinación del peso requerido en el equipo, con el fin de realizar el

ensayo con el peso correspondiente a dos pies de cabeza de grano, se obtuvieron

los siguientes valores:

Tabla 5. Peso de los pies de grano, peso de grano en el anillo y selección de las

pesas a usar en el equipo.

Una vez determinadas las pesas a colocar en cada uno de los ensayos, para cada

superficie se obtuvieron los siguientes resultados (tabla 6 -7 -8), siendo F, la

lectura de fuerza aplicada leída en la balanza, W el peso total de la carga vertical

impuesta sobre el grano (aditamentos + pesas + grano en el anillo) y f el

coeficiente de fricción obtenido con la ecuación [1].

Tabla 6. Coeficiente de fricción obtenido para el grano de lenteja sometido contra

una superficie de acero galvanizado.

En los resultados obtenidos se observa que los valores promedio de la fuerza

horizontal aplicada y el coeficiente de fricción de la lenteja contra una superficie de

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acero galvanizado fueron respectivamente de 2323 g y 0,2375, se observa un

valor bajo en la desviación estándar, lo que indica que los resultados obtenidos

para cada ensayo no se alejaron de forma significativa de la media, indicando

también uniformidad en el mismo.

Tabla 7. Coeficiente de fricción obtenido para el grano de lenteja sometido contra

una superficie de concreto.


horizontal aplicada y el coeficiente de fricción de la lenteja contra una superficie de

concreto fueron respectivamente de 4408 g y 0,4508, se observa un valor bajo en

la desviación estándar, lo que indica que los resultados obtenidos para cada

ensayo no se alejaron de forma significativa de la media, indicando también

uniformidad en el mismo.

Tabla 8. Coeficiente de fricción y ángulo de fricción interna obtenido para el grano

de lenteja sometido al ensayo grano-grano.

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horizontal aplicada, el coeficiente de fricción y el ángulo de fricción interna de la

lenteja (calculado con la ecuación [6]) en el ensayo grano-grano fueron

respectivamente de 4083 g y 0,4177, se observa un valor bajo en la desviación

estándar, lo que indica que los resultados obtenidos para cada ensayo no se

alejaron de forma significativa de la media, indicando también uniformidad en el

ensayo; se debe tener en cuenta que los valores registrados en esta tabla,

correspondientes a la fuerza horizontal aplicada, son los obtenidos con la lectura

de reacomodamiento del grano, tal y como lo indica la metodología de la práctica.

Los resultados obtenidos se representan gráficamente de la siguiente manera:

Gráfica 4. Coeficiente de fricción de la lenteja para las superficies ensayadas.

5. ANÁLISIS DE RESULTADOS

El coeficiente de fricción es una propiedad de los granos, fundamental para el diseño

de máquinas agrícolas y agroindustriales y estructuras de almacenamiento, así como

en las operaciones de acondicionamiento y beneficio de granos (Ospina, 2001), de allí

se evidencia la importancia de su cálculo, en el ensayo realizado en el laboratorio de

poscosecha de productos agrícolas, fue posible determinar el coeficiente de fricción de

la lenteja con un contenido de humedad del 11,81% (determinado en la práctica de

laboratorio N° 2) para superficies como acero galvanizado, concreto y grano, para el

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cual se obtuvieron los siguientes resultados: 0,2375, 0,4508 y 0,4177

respectivamente; teniendo en cuenta los resultados obtenidos por Bagherpour en el

año 2010, los cuales asocian un valor aproximado de coeficiente de fricción de 0,28

para un valor de contenido de humedad del 12% (Gráfica 1), se registra una diferencia

porcentual del 15,17%, en el caso de la superficie de concreto, el valor del coeficiente

de fricción reportado por Ospina en el año 2011, corresponde a 0,33 para el caso de

una lenteja con un contenido de humedad del 13,5, esto arrojaría una diferencia

porcentual del 26,79% con respecto al valor obtenido en la práctica, por último, los

autores usualmente no reportan valores de coeficiente de fricción grano-grano, sino el

ángulo de fricción interna derivado del mismo, como se observa en la tabla 3, en el

ensayo realizado por Moya et al en el año 2013, se observa que para la lenteja los

valores de ángulo de fricción interna dependiendo de la velocidad del ensayo oscilan

de 20,9° a 27°, si se realiza una comparación entre el valor obtenido en el laboratorio

y el registrado por Moya et al (2013) en la tabla 3, se aprecia una diferencia porcentual

del 16,03% para el valor de 27° y del 7,8% para el valor de 20,9°, es de anotar, que en

el ensayo del autor, el contenido de humedad de la lenteja ensayada fue de 10,46 %,

las diferencias porcentuales obtenidas entre los valores registrados en la práctica de

laboratorio, y aquellos registrados por los autores en la literatura consultada se

pueden deber al error en la medición de la fuerza horizontal aplicada, y el grado de

precisión de la misma, así como el tipo de equipo utilizado, ya que se evidencia que

en lo ensayos reportados por los autores, se hizo uso de equipo especializado de alta

tecnología y mecánico, mientras que en la práctica realizada se hizo uso de un equipo

accionado de forma manual y con poca precisión en la medida, las diferencias

porcentuales también pueden ser atribuidas al contenido de humedad del producto, y

a la diferencia de fuerza vertical imprimida sobre el grano; por otro lado, se evidencia

que mientras más rugosa sea la superficie, mayor será la fuerza horizontal a imprimir

sobre el grano para provocar el movimiento, esto se ve claramente en los resultados

obtenidos en las tablas 6,7 y 8, en donde se registra un valor tanto de fuerza

horizontal aplicada, como por consiguiente de coeficiente de fricción mayor para el

concreto, seguido del ensayo grano-grano y finalmente el acero galvanizado, que en

este caso, fue la superficie más lisa ensayada.

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Finalmente, es de vital importancia, identificar la relación que existe entre el contenido

de humedad y el coeficiente de fricción, la cual es directamente proporcional, ya que

se evidencia, en base a los ensayos realizados por los autores citados en el marco

teórico, que cuando el contenido de humedad aumenta, también aumenta el

coeficiente de fricción, debido a que cuanto más sea el contenido de humedad en el

grano, mayores serán las fuerzas de cohesión y adhesión en las paredes del mismo,

lo que conllevara a una aplicación de fuerza mayor para romper tales fuerzas e

imprimir movimiento al grano, la relación se evidencia con mayor claridad en la gráfica

1, obtenida a través de los ensayos realizados por Bagherpour en el año 2010.

6. CONCLUSIONES

Se determinó que los coeficientes de fricción para el grano de lenteja con un

contenido de humedad del 11,81%, en las superficies de acero galvanizado,

concreto y grano-grano, fueron de 0,2375, 0,4508 y 0,4177 respectivamente; el

ángulo de fricción interno determinado para el grano fue de 22,67°.

El coeficiente de fricción depende del contenido de humedad del grano a ensayar,

a mayor contenido de humedad en el grano, mayor coeficiente de fricción será

registrado.

La superficie de contacto ensayada incide sobre el valor del coeficiente de fricción,

cuanto más rugosa sea la superficie, mayor será el valor del coeficiente de fricción,

y entre más lisa sea, menor será el valor del coeficiente de fricción.

La diferencia porcentual encontrada entre los valores reportados por la literatura y

los obtenidos en el ensayo de laboratorio, pueden deberse a la diferencia de

precisión en los equipos utilizados, así como el contenido de humedad de las

muestras ensayadas y la variedad de grano sometido a estudio.

Existe una gran diferencia de coeficientes de fricción dependiendo de la variedad

del grano y del país en el que es producido.

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7. RECOMENDACIONES

Se recomienda no manipular constantemente el grano, con el fin de no alterar el

contenido de humedad determinado previamente, y por lo tanto influenciar los

resultados del coeficiente de fricción en diferentes superficies.

Se recomienda girar la manivela de aplicación de la fuerza horizontal a una

velocidad constante, con el fin de no alterar los resultados de la prueba.

Se recomienda tener en cuenta que en el ensayo grano-grano, se debe realizar

una lectura de reacomodación del grano, y es este valor el que se utilizara para

determinar el coeficiente de fricción grano-grano y el ángulo de fricción interna del

grano.

Se recomienda utilizar un equipo de mayor precisión y confiabilidad para la

determinación de estos coeficientes, ya que el equipo utilizado actualmente,

debido a su naturaleza manual y poca precisión de las lecturas conlleva a errores

en los valores de dichos coeficientes.

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