informe juegos bipersonales

Inteligencia Artificial - Juegos Bipersonales U.A.G.R. M

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Universidad Autónoma Gabriel René Moreno

Facultad: CS. Exactas y tecnología - Ingeniería Informática

Inteligencia Artificial “Juegos bipersonales”

Gestión. I-2009

Integrantes Días

Trabajados

Horas

Grupo

Horas

Individuales Auto evaluación

WILLY BALDIVIESO LOPEZ 7 5 9 5

LUIS ANTONIO KAWAIDA V. 7 5 9 5

LUIS ALBERTO BAIGORRIA R. 7 5 8 5

Santa Cruz – Bolivia


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Contenido

INTRODUCCIÓN…………………………………………………………….. 3

1.1 Teoría de juegos………………………………………………………... 3

ANTECEDENTES……………………………………………………………. 4

2.1 Inteligencia Artificial…………………………………………………… 4

CONTENIDO DEL TRABAJO………………………………………………. 5

3.1 Juegos bipersonales…………………………………………………… 5

Reversi, Othello, o Yang…………………………………………………. 5

Neutron……………………………………………………………………… 7

Freeze……………………………………………………………………….. 9

Nim…………………………………………………………………………... 11

Epaminondas……………………………………………………………… 13

Tres en línea……………………………………………………………….. 15

Ataxx……….………………………………………………………………… 17

Damas...……………………………………………………………………… 19

CONCLUSIÓN………………………………………………………………… 11

BIBLIOGRAFÍA……………………………………………………………….. 12


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INTRODUCCIÓN

1.1 Teoría de juegos

Teoría de juegos (matemáticas), análisis matemático de cualquier situación

en la que aparezca un conflicto de intereses, con la intención de encontrar

las opciones óptimas para que, en las circunstancias dadas, se consiga el

resultado deseado. Aunque la teoría de juegos tiene sus orígenes en el

estudio de conocidos pasatiempos como tres en raya, el ajedrez y el póquer

- de ahí su nombre - también incluye conflictos más serios que pueden

aparecer en los campos de la sociología, la economía y la ciencia política y

militar.

Ciertos aspectos de la teoría de juegos fueron estudiados por primera vez

por el matemático francés Émile Borel. Sin embargo, el matemático

estadounidense de origen húngaro John von Neumann es considerado como

el padre de la teoría de juegos. En una serie de artículos entre 1920 y 1930,

estableció la estructura matemática de todos los desarrollos teóricos

posteriores. Durante la II Guerra Mundial, los estrategas militares en los

campos de la logística, la guerra submarina y la defensa aérea recurrieron a

conceptos directamente relacionados con la teoría de juegos. A partir de

entonces esta teoría evolucionó dentro del campo de las ciencias sociales. A

pesar de sus aplicaciones empíricas, la teoría de juegos es esencialmente un

producto de las matemáticas.


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ANTECEDENTES

2.1 Inteligencia Artificial

Con el avance de la ciencia moderna la búsqueda de la Inteligencia Artificial

- IA - ha tomado dos caminos fundamentales: la investigación psicológica y

fisiológica de la naturaleza del pensamiento humano, y el desarrollo

tecnológico de sistemas informáticos cada vez más complejos.

En este sentido, el término IA se ha aplicado a sistemas y programas

informáticos capaces de realizar tareas complejas, simulando el

funcionamiento del pensamiento humano, aunque todavía muy lejos de éste.

En esta esfera los campos de investigación más importantes son el

procesamiento de la información, el reconocimiento de modelos, los juegos

y las áreas aplicadas, como el diagnóstico médico. Un ejemplo de los logros

alcanzados fue la partida de ajedrez que el superordenador de IBM

denominado Deep Blue ganó, en mayo de 1997, al campeón del mundo Gari

Kaspárov.

La investigación ha demostrado que mientras que la lógica de la estructura

del lenguaje, su sintaxis, está relacionada con la programación, el problema

del significado, o semántica, es mucho más profundo, y va en la dirección de

una auténtica inteligencia artificial.

Actualmente existen dos tendencias en cuanto al desarrollo de sistemas de

IA: los sistemas expertos y las redes neuronales. Los sistemas expertos

intentan reproducir el razonamiento humano de forma simbólica. Las redes

neuronales lo hacen desde una perspectiva más biológica (recrean la

estructura de un cerebro humano mediante algoritmos genéticos). A pesar de

la complejidad de ambos sistemas los resultados distan mucho de un

auténtico pensamiento inteligente.

Muchos científicos se muestran escépticos acerca de la posibilidad de que

alguna vez se pueda desarrollar una verdadera IA. El funcionamiento de la

mente humana todavía no ha llegado a conocerse en profundidad y, en

consecuencia, el diseño informático seguirá siendo esencialmente incapaz de

reproducir esos procesos desconocidos y complejos.


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CONTENIDO DEL TRABAJO

3.1 Juegos bipersonales

Los juegos de dos jugadores, bipersonales, o duales, incluyen la mayor parte

de los juegos más conocidos, como el ajedrez, las damas, tres en rayas o

juegos con dos parejas como el bridge y el dominó. La mayor dificultad para

extender los resultados de la teoría con dos jugadores a n jugadores es

predecir las relaciones entre los diversos jugadores. En casi todos los juegos

para dos personas, las decisiones y posibles resultados son bastante bien

conocidos. Sin embargo, cuando hay tres o más jugadores, aparecen

interesantes, aunque complicadas, oportunidades de coalición, cooperación y

confabulación.

A continuación, se presenta ejemplos de juegos bipersonales con sus

respectivas descripciones, reglas, variantes y heurísticas de solución.

Reversi, Othello, o Yang

Descripción

El reversi, Othello, o Yang es un juego entre dos personas, que comparten

64 fichas iguales, de caras distintas, que se van colocando por turnos en un

tablero dividido en 64 escaques. Las caras de las fichas se distinguen por su

color y cada jugador tiene asignado uno de esos colores, ganando quien

tenga más fichas sobre el tablero al finalizar la partida. Se clasifica como

juego de tablero, abstracto y territorial.


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Reglas

Se emplea un tablero de 8 filas por 8 columnas y 64 fichas idénticas,

redondas, blancas por una cara y negras por la otra (u otros colores). Las

casillas se denotan numerando las columnas, comenzando por la esquina

superior izquierda del tablero, con letras de la A a la H, e igual con las filas,

pero con números del uno al ocho. A un jugador se le asigna un color y se

dice que lleva las fichas de ese color, lo mismo para el adversario con el otro

color.

Se colocan cuatro fichas tal como se ve en el diagrama de la izquierda: dos

fichas blancas en D4 y E5, y dos negras en E4 y D5.

Empezando por quien lleva las fichas negras los jugadores deben hacer un

movimiento por turnos, a menos que no puedan hacer ninguno, pasando en

ese caso el turno al jugador contrario. El movimiento consiste en colocar una

ficha de forma que flanquee una o varias fichas del color contrario y voltear

esas fichas para que pasen a mostrar el propio color.

Se voltean todas las fichas que se han flanqueado en ese turno al colocar la

ficha del color contrario. Esas fichas, para que estén flanqueadas, deben

formar una línea continua recta (diagonal u octogonal) de fichas del mismo

color entre dos fichas del color contrario (una de ellas la recién colocada y la

otra ya presente). En el siguiente ejemplo juegan las blancas donde indica la

flecha y se puede ver qué fichas se voltean.


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La partida finaliza cuando ningún jugador puede mover (normalmente cuando

el tablero está lleno, o casi, de fichas) y gana quien en ese momento tenga

sobre el tablero más fichas mostrando su color.

Variantes

Se han propuesto bastantes variantes, pero pocas son jugadas

habitualmente. Las variantes que suponen cambiar el tamaño del tablero son

las más conocidas; así, la variante 10x10 (diez filas por diez columnas)

también se juega en las Mind Sports Olympiads. También en Hungría se

juega sobre tableros irregulares (6x7 y 7x8).

Otra variante también practicada es el reversi inverso o antirreversi, en la

cual sólo cambia el objetivo: para ganar hay que acabar la partida con menos

fichas que el adversario. Lo peculiar de esta variante es que, a pesar de

tener el objetivo contrario que el reversi clásico, la estrategia no es en

principio tan diferente a como se pudiera pensar.

Neutron

Descripción

Es un juego abstracto de dos personas. Requiere un tablero de 5x5, y 5

fichas para cada jugador, llamadas Electrones, blancas y negras. Además

hay una ficha roja, el Neutrón, compartida por ambos jugadores.

Véase la figura de abajo que muestra la posición inicial con el Neutrón en el

medio.


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Reglas

Blanco mueve primero, y siguen jugando alternadamente. En su turno el

jugador debe mover siempre dos fichas, en este orden estricto:

- Primero el Neutrón

- Luego una ficha de su color.

Tanto el Neutrón como las demás fichas, llamadas Electrones, pueden ser

movidos, en cualquier dirección (horizontal, vertical o diagonal), y es

obligatorio desplazarlas lo más posible en la dirección elegida, pero sin ir a

ocupar ni saltar por encima de una casilla ya ocupada. Es decir, que después

de elegida una dirección de desplazamiento, la ficha debe ser movida todo lo

posible en tal dirección, hasta quedar su paso bloqueado por otra ficha

cualquiera o por el borde del tablero.

En su turno, el jugador puede elegir una dirección de desplazamiento para el

Neutrón y otra dirección para su ficha. Tanto el Neutrón como la ficha propia

deben moverse al menos una casilla. No hay capturas.

Final

Gana el primero que consigue llevar el Neutrón a cualquier casilla libre de su

línea de partida.

Un jugador pierde si se ve forzado a llevar el Neutrón hacia una casilla de la

línea de partida adversaria. También pierde si la situación está bloqueada y

en su turno no puede mover el Neutrón o, si después de mover el Neutrón,

no puede mover ninguna de sus fichas.

El Neutrón desde la casilla del ejemplo, sólo

puede acceder a una de las 5 casillas señaladas

por las flechas. No puede llegar al punto “a” por

impedírselo la ficha blanca.


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Comienza el turno de las Blancas. Ganan

llevando el Neutrón a su línea de partida

Si las Blancas optan por mover la ficha de

esquina inferior derecha, sólo podrán hacerlo a

una de las 2 casillas señaladas con las flechas.

Freeze

Descripción

Es un juego de mesa abstracto para dos jugadores sobre un tablero de 8x8

casillas similar al utilizado en ajedrez o damas. Fue diseñado en el año 2001

por Gregory Van Patten.

Tablero

La particularidad del tablero es su comportamiento toroidal, así, a1 es

contigua a a8; b1 lo es con b8, etc. Además a1 es contigua a h1; a2 lo es con

h2, etc. Los 2 pares de casillas vacías en la disposición inicial de las fichas

se han elegido para ser exactamente opuestas la una de la otra sobre el

toroidal resultante. Cada jugador dispone de 30 fichas de su color

(normalmente negro para el jugador 1 y rojo para el jugador 2). La posición

de salida es la que indica el dibujo.


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Reglas

Las fichas negras mueven primero y desde ese momento los jugadores

alternarán sus turnos. No es obligatorio mover en el turno propio, pero

siempre es una ventaja el hacerlo.

Cada jugador en su turno coge una de sus propias fichas y la hace saltar

sobre una serie de fichas enemigas. Estos saltos se harán ortogonalmente,

no en diagonal. Sólo se puede saltar a una ficha enemiga cada vez y la

casilla inmediatamente detrás debe estar vacía. La ficha saltada se captura y

se retira del tablero. Se puede, aunque no es obligatorio, seguir saltando con

la misma pieza sobre otras, las cuales serán igualmente capturadas. En su

primera jugada, por ejemplo, Las Negras pueden saltar b1:b7 capturando la

ficha blanco en b8.

Una vez que se terminó la serie de saltos, el jugador que movió debe ahora

devolver las piezas capturadas al tablero. Cada una de estas fichas

enemigas se colocará sobre otra ficha enemiga que ya estuviera sobre el

tablero formando así una columna de 2 piezas, llamada Rey. Un Rey nunca

puede moverse, pero puede ser capturado. Un Rey capturado suministra 2

piezas que podrán ser usadas para transformar 2 fichas sencillas en 2

nuevos Reyes. A medida que la partida avanza, irá creciendo el número de

Reyes inmóviles de ambos colores sobre el tablero.

Pierde el primero que no sea capaz de mover en su turno: estará congelado

(freeze).


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Nim

Descripción

En este juego, dos jugadores a los que llamaremos A y B, colocan un número

arbitrario de fichas (cerillas, palillos, guijarros) sobre una superficie,

separados en filas o grupos. Tanto el número de filas como el número de

fichas en cada fila son también arbitrarios.

Reglas

El primer jugador, supongamos que es A, toma cualquier número de fichas

de un fila, entre uno y el total de la fila, pero sólo de una fila. El jugador B

hace su jugada de manera similar, retirando algunos de las fichas que

quedan, y los jugadores van alternándose en sus jugadas. Se puede jugar de

modo que gane el que retire la última ficha, que es el modo más facíl o el

modo miseria en el que perdería el que retire la última ficha.

Variantes

Por supuesto, existen variantes más simples de jugar o de entender, que

incluso niños pequeños pueden jugar:

Variante 1:

Los dos jugadores colocan en la superficie de juego 16 fichas. Cada jugador

retira, en su turno, una o dos fichas del montón. Gana el juego el que consiga

llevarse la última ficha.

Estrategia ganadora: Lo que se debe hacer para ganar es dejar siempre al

otro jugador un número de fichas que sea múltiplo de 3. Como el número de

fichas que hay disponibles inicialmente (16) no es múltiplo de 3, el jugador A

al comenzar debe dejar 15 fichas (15=3·5). A partir de este momento, A

A B


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recogerá un número de fichas contrarias a las que tome el jugador B (si B

toma 1, A debe tomar 2, y viceversa).

Heurística

Situación inicial: una pila con N fichas.

Jugadas: tomar 1, 2 ´o 3 fichas de la pila.

Objetivo: obligar al adversario a coger la ´ultima ficha.

Ejemplo de jugada en el Nim, comenzando con 9 fichas

Jugador 1 coge 3 fichas (quedan 6)

Jugador 2 coge 1 ficha (quedan 5)

Jugador 1 coge 2 fichas (quedan 3)

Jugador 2 coge 2 fichas (queda 1)

Jugador 1 coge 1 ficha (no quedan fichas)

Por tanto, jugador 2 gana

Jugadores:

Máquina (al que llamaremos MAX)

Humano (al que llamaremos MIN)

Estados: situaciones por las que puede pasar el juego

Estado inicial (comienzo del juego)

Estados finales (final del juego)

En los estados finales, especificaremos qué jugador gana.

Movimientos: operadores que se aplican a los estados, cambiando las

situaciones del juego.

Función de utilidad: valoración (respecto de MAX) basada en las reglas del

juego, que se asigna a un estado final y a un turno.

Estados: número fichas que quedan en la mesa.

Estado inicial: número de fichas al comienzo


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Un único estado final: 0. El estado final es ganador para un jugador si es su

turno.

Movimientos: tomar 1, 2 ´o 3 fichas

Función de utilidad (para el estado final): 1 si le toca a MAX y -1 si le toca a

MIN.

Epaminondas

Descripción

Epaminondas es un juego abstracto creado por Robert Abbott en 1975. Es

jugado por dos jugadores en un tablero de 12x14 cm. Cada jugador dispone

de 28 piezas de color diferente a las del contrario.

El concepto de claridad aplicado a un juego abstracto significa la facilidad

con que los jugadores pueden ver cómo va la partida, cuáles son las

posiciones fuertes, dónde existen debilidades, qué piezas están amenazadas

y, en general, la transparencia con que se manifiesta la estructura del propio

juego.

La siguiente figura muestra la colocación inicial de las fichas.


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Reglas

Los jugadores alternan sus turnos para jugar.

Hay dos posibilidades básicas de movimiento: o mover una ficha sola como

el rey en el ajedrez (es decir, a una cualquiera de las ocho casillas

adyacentes que esté desocupada), o mover dos o más fichas a la vez,

siempre que constituyan una falange.

Una falange es un alineamiento de fichas del mismo bando, contiguas,

situadas en una misma línea horizontal, vertical o diagonal; puede

desplazarse en esa misma línea de formación (hacia adelante o hacia atrás)

tantas casillas como fichas contiene, como máximo. Cuando una falange se

mueve, las fichas que la forman deben desplazarse manteniendo sus

posiciones relativas, una tras otra, siempre en la dirección original de la

falange y sin poder pasar sobre ninguna casilla ocupada. Puede moverse

sólo parte de una falange, pero nunca más casillas que fichas de la misma se

desplazan.

Si en su movimiento la primera ficha de una falange llega a una casilla

ocupada por una pieza enemiga, se detiene en ella inmediatamente y la ficha

enemiga es capturada y retirada del tablero. Si esta ficha contraria fuera la

primera de una falange enemiga de menor longitud que la atacante y situada

en la misma línea de movimiento, sería capturada la falange completa.

Una falange no puede capturar falanges enemigas de longitud igual o mayor

a ella misma; por tanto, una ficha sola (que puede ser considerada como una

falange mínima) no puede en ningún caso capturar.

Una misma ficha puede pertenecer a la vez a varias falanges.

El objetivo del juego es llegar a tener en la última fila del tablero (que es la

primera del enemigo) más fichas propias que las que el contrario tenga en

nuestra primera fila al comienzo de un turno propio.


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Tres en línea

Descripción

El tres en línea, también conocido como tres en raya, juego del gato, tatetí,

triqui, tres en gallo, michi o la vieja, es un juego de lápiz y papel entre dos

jugadores: O y X, que marcan los espacios de un tablero de 3×3

alternadamente. Un jugador gana si consigue tener una línea de tres de sus

símbolos: la línea puede ser horizontal, vertical o diagonal.

Esta partida la gana el primer jugador, X:

Los jugadores no tardan en descubrir que el juego perfecto termina en

empate sin importar con qué juega el primer jugador. Normalmente son los

niños pequeños los que juegan al tres en raya: cuando ya han descubierto

una estrategia imbatible se pasan a juegos más sofisticados, como el de

puntos y cajas.

La misma simplicidad del juego de tres en raya lo hacen ideal como

herramienta pedagógica para enseñar los conceptos de teoría de juegos y la

rama de inteligencia artificial que se encarga de la búsqueda de árboles de

juego. No es difícil escribir un programa informático que juegue

perfectamente al tres en raya y que enumere las 765 posiciones

esencialmente distintas o las 26.830 partidas posibles (complejidad del árbol

de juego).

Esta partida termina en empate:


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Variantes

Entre las variantes del tres en raya se encuentran:

Juegos m,n,k: juego generalizado en que se juega en un tablero de m×n y el

objetivo es conseguir k en raya.

K en raya tridimensional en un tablero de k×k×k. El tres en raya en un

tablero de 3×3×3 no tiene mucho sentido: es fácil que el primer jugador gane,

pues sólo tiene que empezar a poner su primera ficha en el centro del

tablero. El cuatro en raya en un tablero de 4×4×4 es más interesante, aunque

Patashnik demostró en 1980 y Victor Allis en 1994 que el primer jugador

puede forzar la victoria. Se puede generalizar a dimensiones superiores, pero

el juego puede hacerse muy largo y se tiene el riesgo de no visualizar bien el

tablero.

Anti-k en raya: El jugador que hace k en raya pierde. Si k = 3, el juego

termina en empate si los dos jugadores juegan bien.

Cinco en línea, un caso particular de juego m,n,k en el que m=n=10 y k=5.

Este juego adquiere cierta complejidad ya que deben formarse líneas de

cinco en un tablero que usualmente es de 10x10.

Gato Polar, el tablero cambia por una distribución polar formada por cinco

círculos concéntricos, subdivididos por 4 diámetros, formando un total de 40

casillas. Con la misma mecánica del juego tradicional, los jugadores deben

colocar, alternadamente, círculos y cruces en las casillas. Gana el primero

que consiga una "línea" de 5. Las líneas pueden ser radiales, axiales o

diagonales (unidas por un vértice).

Multijugador: se puede jugar entre varios jugadores (de preferencia un

número par), en que alternadamente van colocando círculos y cruces.

Gato con Gravedad: se juega en un tablero "vertical" y los círculos y cruces

sólo se pueden colocar sobre otros, de tal forma que van apareciendo

columnas de círculos y cruces. Se gana cuando un jugador completa cuatro

en línea.


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Ataxx

Descripción

La jugabilidad es similar al Othello o Reversi.

Dos jugadores toman turnos poniendo piezas en un tablero 7x7. En la

posición inicial, cada jugador tiene dos piezas de su color en esquinas

opuestas diagonalmente.

Comienza uno cualquiera de los jugadores. A partir de entonces se turnarán

para jugar. En su turno un jugador debe escoger entre:

Añadir una ficha nueva al tablero. Debe hacerlo sobre una casilla vacía

contigua ortogonal o diagonalmente a otra propia que ya esté sobre el

tablero.

Desplazar una ficha propia ya puesta anteriormente sobre el tablero a otra

casilla vacía que esté exactamente a una distancia de 2 casillas del origen,

en cualquier dirección.

Captura

Si la casilla recién ocupada (añadiendo o saltando) estuviera adyacente

ortogonal o diagonalmente a una o varias fichas enemigas, éstas serán

volteadas sobre el tablero. Al ser ya del mismo color que las fichas del

jugador que las capturó, este podrá usarlas como propias.


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Fin de la partida

La partida terminará cuando uno de los dos jugadores no pueda hacer un

movimiento válido. En ese momento se cuentan las fichas de cada jugador

sobre el tablero. El que más tenga, gana.


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Damas

Descripción

Las damas es un juego de mesa para dos contrincantes. El juego consiste en

mover las piezas en diagonal a través de los cuadros negros de un tablero de

ajedrez con la intención de capturar (comer) las piezas del contrario saltando

por encima de ellas. El juego fue matemáticamente resuelto por un software

informático llamado Chinook que concluyó que un juego perfecto de damas

acaba siempre en tablas.

Damas

Tablero de damas convencional.

Las damas son jugadas por dos personas en un tablero de 8 × 8 celdas. La

casilla a la derecha de cada jugador es blanca o negra dependiendo del

estilo de damas disputado.

Cada jugador dispone de 12 piezas de un mismo color (el uno rojas, el otro

negras) que a primeros de la partida se encuentran en las casillas negras de

las tres filas más próximas a él.

Se juega por turnos alternos. Empieza a jugar quien tiene las rojas (claras).

En su turno cada jugador mueve una pieza propia.

Las piezas se mueven (cuando no comen) una posición adelante (nunca

hacia atrás) en diagonal a la derecha o a la izquierda, a una posición

adyacente vacía.


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Reglas

Comer

Para comer una pieza contraria debe estar justo delante de una de tus

piezas. Se realiza siempre en dirección de ataque y en diagonal saltando

sobre la pieza que queremos «comer», y cayendo en la casilla

inmediatamente detrás de ella siguiendo la dirección del movimiento de

nuestra pieza. Este movimiento se puede realizar siempre y cuando la casilla

final esté libre (no se puede comer hacia atrás). Las capturas se pueden

encadenar. Esto es, si saltamos una pieza y desde esa posición podemos

saltar una y otra, lo hacemos. Si podemos, estamos obligados a comer

(todas las piezas posibles). Delante de varias opciones, estamos obligados a

comer el máximo de piezas posibles. Delante de varias opciones en que

comemos la misma cantidad de piezas, tenemos que elegir el movimiento en

que comemos el máximo de reinas.

En el juego más familiar, en este caso, el otro jugador lo deja hacer y cuando

ha acabado de hacer el movimiento erróneo el otro le sopla la pieza con qué

podía comer (más). Esto es, lo coge y la saca del juego. El retirar una pieza

por no haber comido no constituye movimiento.

La reina

Cuando una pieza acaba un movimiento en alguna casilla de la última

renglera, se convierte en reina. Esto se suele indicar poniendo otra pieza

encima (normalmente, las piezas de jugar a damas son planas).

Las reinas se mueven siguiendo las diagonales, hacia adelante o hacia atrás,

uno por uno. Cuando la reina come otra pieza esta cae inmediatamente en la

casilla siguiente.

Final de partida

Pierde quien se queda sin piezas sobre el tablero. Si cuando llega el turno de

un jugador no puede mover, puesto que todas las piezas que le restan en

juego están bloqueadas, ante esto se distinguen dos reglas dependiendo el

estilo practicado: 1. Pierde a quien le corresponde el próximo movimiento; ó

2. Gana quien más piezas tenga, a igual número de piezas gana quién más

reinas tenga, y si en esto también se empata la partida termina en tablas.

La partida también puede terminar en tablas si ambos jugadores quedan con

un número igual y muy reducido de piezas, tal que por muchos movimientos

que se hagan no se resolvería la partida.


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CONCLUSIÓN

A través de la lectura, análisis y estudio realizados en los distintos juegos

propuestos, se puede constatar las variadas soluciones existentes, eligiendo

de cada una de ellas la mejor solución (heurística), obviamente cada solución

presenta un nivel de razonamiento diferente.

BIBLIOGRAFÍA

Web:

http://es.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_juego

http://es.wikipedia.org/wiki/Reversi

http://es.wikipedia.org/wiki/Juego_de_mesa

http://es.wikipedia.org/wiki/Juego_abstracto

Encyclopedia Encarta 2009

Wikipedia: Othello - Brief and Basic, An introduction to strategy and

tactics for the game of Othello, Ted Landau, 1987.

Wikipedia: Othello - A Minute to Learn - A Lifetime to Master, Brian

Rose, 2006.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teoria_de_juego

http://es.wikipedia.org/wiki/Reversi

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http://es.wikipedia.org/wiki/Juego_abstracto

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