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INFORME FINAL PROYECTO SIP-20080102

Dr. Orlando Susarrey Huerta SEPI-ESIME-Zacatenco

INTRODUCIÓN El arrugado aleatorio de materiales delgados es de gran imporancia, tanto para la industria como para la ciencia. Ejemplo de ello son los capsids y las membranas polimerizadas para materiales arrugados en ingeniería o hasta formaciones geológicas [1–5]. Ellos, usualmente consisten de hojas delgadas o barras restringidas a grandes deformaciones. Por consiguiente, el fenómeno de arrugado está asociado con una intensa clase de fenómeno de arrugado [3], el cual llega a ser una amplia clase de fenómeno de deformación intersticial [5]. Debido a la importancia biológica y tecnológica, las propiedades de los materiales arrugados aleatoriamente ahora son sujeto de atención [5–45]. Formalmente, el plegado de la materia auto-evitante es un continuo de incrustaciones isométricas de un colector d-dimensional en un espacio n-dimensional [46]. Una gran variedad de configuraciones auto-generadas en materiales plegados aleatoriamente son gobernados por su dimensionalidad, la naturaleza constitutiva de las deformaciones y la naturaleza de las fuerzas que causan las deformaciones [5,32,37]. Mientras los pliegues aleatorios de los materiales son ejemplos de sistemas mal definidos, debido a los procedimientos de pliegues que aparecen completamente desorganizados, los experimentos con pliegues de hojas delgadas son preferentemente reproducibles [37,42,43,47], debido a la topología y a las interacciones auto-evitantes, siendo los dos factores físicos mas importantes cuando se trata de plegado de materiales delgados [32,37,47]. De esta forma se encontró que a pesar de la apariencia complicada de las configuraciones de los pliegues, el fenómeno de os pliegues en sí es muy robusto, debido a que caso cualquier material delgado se arruga de tal forma que gran parte de la energía de plegado [<90%] está concentrado en la red de estrechas lineas de arrugas (filos), que se encuentran en puntos como vértices [5,6,48] . Las propiedades de los filos ya han sido estudiados minuciosamente. Leyes de escalamiento gobiernan la energía y el tamaño de los filos que han sido obtenidos analíticamente [5,49] y probados numéricamente [9,32,48,50 ] y experimentalmente [36,37,43]. Además, se mostró que el balance de la energía de flexión y elongación de las arrugas lo determina las propiedades del estado de plegado como una función de la fuerza de confinamiento, dimensiones de la hoja y propiedades mecánicas del material delgado [5,6,9,32]. Específicamente, simulaciones numéricas de plegados aleatorios con un modelo de grano grueso de superficies auto-evitantes trianguladas con flexión y elongación elástica [32] sugiere que el tamaño característico de la configuración del plegado, R, escala con la fuerza de confinamiento hidrostático P, como

(1) donde h y L son el espesor y el tamaño de la hoja (h<<L), E es el módulo de Young bidimensional de la hoja, δ3 es el exponente de escalado de la fuerza de plegado y D es la dimensión fractal del conjunto de hojas elásticas con diferentes tamaños plegados por la misma fuerza de confinamiento P=const. Es decir, de acuerdo al comportamiento de escalamiento (1), un juego de hojas delgadas plegadas aleatoriamente del mismo espesor pero de diferente tamaño L es previsto que obedezca la ley fractal

(2) cuando todas las hojas son plegadas por la misma fuerza hidrostática P=const. El comportamiento de escalado fractal (2) fue observado en varios experimentos con papeles plegados aleatoriamente [35,37,43,47,51–56], papel metálico [18,35,42,57,58] y capas de crema [38].

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Las simulaciones numéricas sugieren que para las hojas elásticas aleatoriamente plegadas auto-evitantes, el exponente de escalado δ3=1/4 y la dimensión fractal D=2.3 es universal [32]. Experimentalmente, se encontró para el caso de las deformaciones predominantemente plásticas de hojas plegadas , tal como el papel aluminio y capas de crema, la dimensión fractal D=2.3±0.1 es independiente del espesor de la hoja y la fuerza de plegado y consistente con el valor universal encontrado en las simulaciones numéricas. [38,42]. Sin embargo, en experimentos con diferentes clases de papel elastoplástico, la Dimensión Fractal se encontró que depende del material [37, 51–56]. Lo último se atribuye a la relajación de deformación en hojas elastoplásticas plegadas aleatoriamente, después de que la fuerza es retirada [37]. , Más recientemente, se encontró que la estructura interna de las configuraciones del plegado también poseen invarianza de escalado dentro de un amplio rango de longitudes de escala [43]. La diemensión fractal de las configuraciones del plegado, se encontró que es universal, Dl =2.64±0.05 -esto es independiente del espesor de la hoja y de las propiedades del material [43] y se acerca a la dimensión fractal D =8/3 esperada para una hoja fantasma plegada aleatoriamente con rigidez a flexión finita [32]. Este descubrimiento implica que la auto-evitación afecta las propiedades de escalamiento de la estructura interna de material delgado plegado aleatoriamente (ver [43]). El comportamiento de escalado con D<Dl fue denominado como “auto-similar intrínsecamente anómalo” [43] Además, se ha sugerido que una red de arrugas gobierna el comportamiento mecánico de materiales aleatoriamente plegados [9,32,48], el cual exhibe una baja compresibilidad anómala bajo presión hidrostática [17,32,36,37]. Generalmente, la respuesta mecánica de cualquier red es determinada por el volumen y forma que dependen de su energía libre [59]. Sin embargo, simulaciones numéricas [32] y experimentales [17,36] sugieren que el comportamiento mecánico de hojas plegadas aleatoriamente en un estado de esfuerzos tri-dimensional (k =3) es dominado por la dependencia del volumen de la entalpía de la red arrugada U, llevando a una relación fuerza-compresión de ley de potencia

(3) donde λ=r/R es la relación de compresión, R y r(F3) es el tamaño característico de la hoja arrugada aleatoriamente antes y después de la deformación, respectivamente, y

(4) es la rigidez mecánica de una hoja plegada bajo la compresión k-axial, en un estado de esfuerzos tri-dimensional. Además, simulaciones numéricas, sugieren que el exponente de escalado de la fuerza de plegado δk≤1/2 toma solo el valor universal determinado por la clase universal correspondiente [32]. Específicamente, simulaciones numéricas hojas plegadas auto-evitadas con un modelo de grano grueso de superficies trianguladas con flexión y resistencia elástica, sugiere la siguiente relación para el exponente de escalado de fuerza de plegado [32]

δk=1/(k+1), (5) mientras que en experimentos con hojas de papel aluminio plegadas aleatoriamente, se encontró que δ3 =0.21±0.02 [36]. Además se encontró que bajo compresión uniaxial y radial de hojas delgadas plegadas aleatoriamente, exhiben una dilatación de Poisson que obedece a un comportamiento de ley de potencia, con un índice de Poisson de ν=0.17±0.01 [60]. Sin embargo, el comportamiento mecánico de materiales delgados plegados aleatoriamente bajo fuerzas no hidrostáticas resta pobremente entendible. Aunque en un estado de esfuerzos tri-dimensional la contribución entrópica al comportamiento fuerza-

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deformación de una red arrugada es insignificante, en un estado de esfuerzos uni-dimensional, la forma depende de la entropía de la red arrugada, que puede jugar una mayor rol, como si hiciera la elasticidad de proteínas plegadas [61]. Sin embargo, mientras la elasticidad entrópica de redes flexibles es por ahora bien entendible [59,61–65], la contribución entrópica a la rigidez de red arrugada no ha sido estudiada todavía. Por consiguiente, para ganar una revelación del comportamiento de redes arrugadas en el estado de esfuerzos uni-dimensional, en este trabajo se estudia el comportamiento mecánico de hojas delgadas aleatoriamente plegadas bajo compresión uni-axial.

1. EXPERIMENTOS En este trabajo se estudia el efecto de las redes arrugadas en el comportamiento mecánico de hojas delgadas plegadas aleatoriamente. Para este propósito se probaron hojas plegadas a mano de papeles elastoplásticos de diferentes espesores y hule latex hiper-elástico. En ambos casos, se espera que a respuesta mecánica del material plegado sea gobernado por la red de arrugas. Sin embargo, si la hoja arrugada de caucho es completamente reversible, la concentración de esfuerzos en los filos de las arrugas, lleva a deformaciones plásticas del papel. Como un resultado, las grandes deformaciones de papel aleatoriamente plegado es esencialmente irreversible (ver Fig. 1). Esto limita la aplicabilidad del equilibrio termodinámico para describir el comportamiento mecánico del papel plegado aleatoriamente. Por otra parte, el desarrugado incontrolado de hojas de caucho hace difícil el estudio del caucho plegado aleatoriamente bajo compresión axial. (ver Fig. 2). Además, no hay forma de estudiar las propiedades estadísticas de la red arrugada en hojas de caucho plegadas aleatoriamente. Por lo tanto, para estudiar el efecto de una red arrugada en el comportamiento mecánico de hojas plegadas aleatoriamente, se usaron diferentes clases de papel. Los experimentos con hojas de caucho fueron realizados para confirmar que la relajación esfuerzo-deformación en el papel elasto-plástico (ver Ref [37]) no afecta la naturaleza esencial del comportamiento fuerza-compresión de la materia plegada bajo compresión uni-axial con rapidez de carga usadas en este trabajo.

1.1 Materiales probados Para estudiar las propiedades de redes arrugadas y su efecto en el comportamiento mecánico de hojas delgadas plegadas aleatoriamente, se usaron hojas cuadradas de tres papeles comerciales, de diferentes espesores h=0.024±0.004, 0.039±0.003 y 0.068±0.005 mm antes usadas en Refs [37,43]. El tamaño del borde de las hojas de papel cuadradas L, fue variado desde Lo=4 hasta 66 cm, con relación L=qLo, para el factor de escala q=1, 2, 2.5, 4, 5, 7.5, 8.75, 9, 10, 15, y 16.5. Las hojas de papel fueron plegadas a mano en aproximadamente bolas esféricas. Al menos 30 bolas con diferente relación de confinamiento K=L/R fueron plegados de hojas de cada tamaño y de cada clase de papel. Una vez que la fuerza de plegado es retirada, el diámetro de la bola incrementa con el tiempo, durante aproximadamente 6-9 días, debido a la relajación de deformación (ver los detalles, Ref [37]). Así todos los experimentos reportados arriba fueron efectuados al menos 10 días después de que la hoja fue plegada

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Figura 1. Arreglo de una prueba de compresión axial de un papel aleatoriamente arrugado: (a)-(c) carga y (d), (e) descarga.

Figura 2 Arreglo de una prueba de compresión de una hoja de caucho latex arrugada: (a)-(c) carga y (d), (e) descarga.

El diámetro de cada bola R, fue determinado de mediciones a lo largo de 15 direcciones, tomadas aleatoriamente. Anteriormente, se encontró que las configuraciones de los papeles plegados aleatoriamente eran caracterizados por la dimensión fractal universal local Dl=2.64±0.05 [43], considerando que la dimensión

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fractal D del conjunto de bolas plegadas de hojas con diferente tamaño L depende del espesor (ver Ref. [37]).Antes, se había reportado que el conjunto de bolas de papel plegadas de espesores h =0.024±0.004, 0.039±0.003, y 0.068±0.005 mm obedecen a un comportamiento fractal (2) con dimensión fractal D =2.13±0.05, 2.30±0.05, y 2.54±0.06, respectivamente [37]. En este trabajo se obtuvieron los mismos resultados. En contraste al papel, las deformaciones de caucho latex son completamente reversibles. Se usaron dos hojas cuadradas de caucho latex de espesor 0.1 mm con tamaño de borde de 150 y 250 mm. Una hoja de caucho fue plegada a mano y colocada entre mordazas para evitar se despliegue [ver Fig. 2(a) ], justo antes de la prueba mecánica. De esta forma cinco pruebas de compresión uniaxial fueron efectuadas con cada tamaño de hoja.

1.2 Pruebas Mecánicas Al menos, 10 bolas plegadas de cada tamaño de hoja y de cada papel fueron probadas bajo cmresión uniaxial con rapidez de compresión de 0.1 mm/s usando una máquina universal de ensaye (ver Fig. 1). Adicionalmente, el conjunto de bolas de papel plegadas de las hojas de tamaños 30x30 y 60x60 cm2 fueron ensayados a una rapidez de compresión de 1 mm/s. Además, 10 experimentos fueron efectuados con bolas plegadas de caucho latex (ver Fig. 2). La figura 3 muestra un comportamiento típico fuerza-compresión de una bola de papel plegada aleatoriamente bajo compresión uniaxial. Mientras las deformaciones del papel plegado son esencialmente irreversibles, se encontró que la parte de la carga de la curva de fuerza de compresión F1(λ=H/R), no depende de la rapidez de compresión, al menos en el rengo usado en este trabajo. Al mismo tiempo, se noto que el comportamiento fuerza-compresión no obedece al escalado de ley de potencia (3) (ver inserto en Fig.3). Además, se encontró que en todos los casos la parte de carga de la curva experimental fuerza-compresión, F1(λ), puede ajustarse precisamente (ver Figs. 3 y 4)por la simple relación

(6)

Figura 3 Curva fuerza (F) vs compresión (λ=H/R) de una bola de papel (R=400 mm) bajo compresión uniaxial con rapidez de desplazamiento constante u=0.1 mm/s. Círculos son datos experimentales. El ajuste de la curva es con la ecuación (6). El inserto superior muestra el arreglo del experimento (bola arrugada de papel de espeor 0.039 mm). El inserto inferior muestra la curva fuerza-compresión en coordenadas log-log

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para λ >c, donde el parámetro de ajuste (c<<1) y la Rigidez (4) de la bola plegada bajo compresión uniaxial (Y1<<Y3) es independiente de la rapidez de compresión. Específicamente, se encontró que el parámetro de ajuste escala con el tamaño de la bola plegada como

(7) [ver Fig. 5(a)] mientras el módulo de rigidez

(8) escala con la densidad de masa de la bola plegada

(9) como

(10) donde ρ0=900±50 kg/m3 es la densidad de masa de los papeles (ver [37]) y E0 es una constante dependiente del material [ver Fig. 5(b)]. Al mismo tiempo, se encontró que los datos para los diferentes papeles presentados en Fig. 5(b) son ajustados con una función de ley de potencia (10) con un exponente de escalamiento φ=2.1±0.1 [66].

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Figura 4. Parte de la carga de la curva fuerza-compresión en coordenadas F vs parámetro adimensional Λ=(1−c) / (λ−c) para (a) bolas diferente diámetro arrugadas de hojas de papel con espesores 0.039 mm y (b) bolas arrugadas de hojas de tamaño 300 x 300 mm2 de papel de diferentes espesores. Los símbolos son datos experimentales, las líneas rectas son ajuste con Ec. (6).

Ademas, se encontró que la ecuación (6) también provee el mejor ajuste del comportamiento esfuerzo-compresión de las hojas de caucho plegadas aleatoriamente bajo carga axial. (ver Fig. 6). Desafortunadamente, no fue posible realizar estudios sistemáticos del parámetro de ajuste con respecto a las condiciones de plegado, debido a problemas con el desplegado no controlado de las hojas de caucho. No obstante la conclusión principal de la Fig.6 es que las hojas hiperelásticas plegadas aleatoriamente obedecen a la misma relación fuerza-compresión (6) bajo carga uniaxial como fue encontrado para el papel elastoplástico plegado aleatoriamente. Así se puede asumir que la naturaleza de la respuesta mecánica de las hojas delgadas plegadas aleatoriamente bajo carga uniaxial es independiente de la naturaleza de las deformaciones a flexión de las hojas.

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Figura 5 (a) Parámetro de ajuste c (adimensional) como una función de R para papeles de diferentes espesores. Símbolos son datos experimentales. Línea recta, comportamiento de escalado (7), (b) Módulo relativo de rigidez E/E0 como función de densidad de masa relativa ρ/ρ0 de bolas arrugadas de papel de diferentes espesores. Símbolos son datos experimentales línea recta , escalado dado por la Ec. (10) con φ=2.1 Símbolos abiertos y cerrados corresponden a experimentos con rapidez de compresión de 0.1 y 1.0 mm/s respectivamente.

Anteriormente se indicó que el comportamiento de la fuerza de compresión (6) difiere drásticamente del comportamiento fuerza de compresión de ley de potencia (3) asociado con el volumen dependiente de la entalpía de la red. Además se notó que la rigidez mecánica del material plegado bajo compresión uniaxial es mucho menos que bajo que la compresión hidrostática; es decir Y1<<Y3 , y el exponente de escalado del módulo elástico φ =2.1±0.1 [67] esta cerca del valor universal φ=2.2 esperado para el exponente de escalado del módulo de rigidez antrópico (ver Ref [61]). Así tomando en cuenta la baja rigidez de flexión de las hojas delgadas, uno puede esperar que la respueta mecánica del material plegado aleatoriamente en compresión uniaxial es primariamente determinado por la forma dependiente de la entropía de la red de arrugado, en lugar de la dependencia del volumen de la energía de la hoja.

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Figura 6. Parte de carga de la curva fuerza-compresión en coordenadas –F vs parámetro adimensional Λ=(1−c)/(λ−c) para una bola de latex arrugada aleatoriamente bajo compresión axial. Círculos, datos experimentales. Línea recta ajuste de datos con Ec. (6).

2. DISCUSIÓN Las hojas plegadas aleatoriamente muestran un comportamiento mecánico muy general reproducible por algunos parámetros de control. Antes, se mostró que el balance de energía entre la flexión elástica y la energía elástica en una arruga es responsable por la rigidez de placas cilíndricas y cascos esféricos [5] y en base a esto es básico para un entendimiento fundamental de la deformación como en plegado de hojas y membranas. Específicamente la red arrugada determina el comportamiento mecánico de hojas delgadas plegadas aleatoriamente bajo fuerzas externas [32]. La termodinámica de las redes evoluciona a un equilibrio bien descrito por mecánica estadística [61–63]. Sin embargo la “configuración congelada” de las redes arrugadas en materiales plegados aleatoriamente no evolucionan en la ausencia de algunos conductores externos [32]. En la naturaleza, existen muchos sistemas en “estado congelado”. Ejemplos desde líquidos supercongelados enfriados a temperatura estado “cero”, llamados “estados inherentes” [70,71] hasta materiales granulares en el cual los granos son congelados debido a que la energía térmica cinética es despreciable comparado con la energía gravitacional y así la temperatura de baño externo puede ser considerado igual a cero [72]. Por analogía con materiales granulares y líquidos superenfriados, pueden tratarse mecánicamente estables las configuraciones de plegado “congelado” como estado inherente. Así se puede dar seguimiento a la idea original por Edwards para materiales granulares [73–75] y anteponer al desarrollo desde un punto de vista de mecánica estadística para estados inherentes de redes arrugadas a lo largo de la línea de referencia [76,77]. Como en muchos sistemas de mecánica estadística básica cada estado macroscópico de una red de arrugas corresponde a un gran número de micro estados. Así el primer paso es individualizar la distribución de estados: nombrado ¿cuál es la probabilidad para encontrar la red arrugada en un estado inherente? se puede definir la configuración de espacio como un conjunto de todas las configuraciones o estados de redes arrugados, permitido por las restricciones de plegado, con trayectorias en el espacio correspondientes a movimientos (plegados) de las hojas. Además, se pude esperar que bajo condiciones estacionarias la red de arrugas sea suficientemente “aleatorizada” y además siguiendo la idea original de Edwards se puede asumir que tal distribución es dada por la maximización de la entropía bajo la condición que la energía promedio sea ajustada. Específicamente se puede considerar un ensamble estadístico de hojas plegadas equivalentes, todas preparadas bajo la misma forma. Así se indica por{Ui} la energía del estado microscópico inherente accesible de cada red de arrugas y por ni el número de redes con energía igual a Ui..

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La dinámica desde un estado plegado a otro puede ser inducido por fuerzas externas Fk. . Se asume que la energía cinética conducida en la hoja plegada es rápidamente disipada en los filos del arrugado, y así la hoja es casi instantáneamente congelada en uno de los estados plegados inherentes. Se puede tratar estos estados como cuasiestacionarios, debido a que las propiedades macroscópicas cambian muy lento (ver [17,37]). De aquí que la distribución estacionaria es dada por la máxima entropía bajo la restricción de plegado el cual se ajusta a la energía promedio. Este requerimiento lleva a la función de la distribución de Gibbs pi=exp (−βUi)/Z , donde la función partición Z=Σiexp (−βUi) es el factor de normalización y β es un multiplicador de Lagrange determinado por la restricción sobre la energía (ver [76,77]). Para determinar la respuesta entrópica de la red de arrugas bajo compresión uniaxial, aquí se analiza la dependencia de la forma de la entropía de la red de arrugadas. Tomando en cuenta que la rigidez de flexión de una hoja delgada es mucho menos que su rigidez elástica y que la rigidez de masa del material de la hoja [32].

3. CONCLUSIONES La conclusión principal obtenida de estos estudios es que en un estado de esfuerzo unidimensional, la respuesta de una red de arrugadas a carga uniaxial es predominantemente de una naturaleza entrópica. Por consiguiente, la parte de carga de la curva fuerza-compresión de hojas plegadas aleatoriamente muestra un comportamiento mecánico muy reproducible (6) caracterizado por unos pocos parámetros de control. Sin embargo, en contraste a la elasticidad entrópica de redes moleculares [61–63], la (baja) relajación de esfuerzos debido a las deformaciones plásticas en arrugas lleva a la irreversibilidad del comportamiento fuerza-compresión de bolas de papel plegadas (ver Figs 1 y 3) El material plegado aleatoriamente es solo un ejemplo de una amplia categoría de materiales que se pueden encontrar en “estado congelado”. Las configuraciones estables de redes de arrugas son mínimas o puntos asignados de la energía potencial o, más generalmente, todos los estados plegados los cuales son mecánicamente estables. Aquí uno puede esperar que la rigidez entrópica de red de arrugas juega un rol importante en diversos procesos de plegado. Así estos hallazgos proveen una amplia mirada al fenómeno de arrugado desde plegado de membranas polimerizadas hasta pliegues terrestres.

4. IMPACTO El mayor impacto es principalente para el área de materiales y las ingenierías, ya que es posible conocer el comportamiento de un sistema caótico, si bien es muy facil saber el comportamiento a compresión de los materiales por medio de la mecánica del estado sólido, no lo es para aquellos que presentan una estructura porosa y además una sección transversal variable. Este comportamiento es de naturaleza entrópica y muy reproducible, con sólo algunos parámetros de control, por lo que lo hace viable para varias aplicaciones, tales como amortiguadores mecáncos, soportes para grandes estructuras de obras civiles, mecanismos de disipación de energía, etc.

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[43] A. S. Balankin, R. C. Montes de Oca, and D. Samayoa, Phys. Rev. E 76, 032101 (2007). [44] Ch. A. Andresen, A. Hansen, and J. Schmittbuhl, Phys. Rev. E 76, 026108 (2007). [45] L. Boué and E. Katzav, Europhys. Lett. 80, 54002 (2007). [46] M. El-Ghoul, Chaos Solitons Fractals 12, 1019 (2001). [47] M. A. F. Gomes and V. M. Oliveira, Philos. Mag. Lett. 78, 325 (1998). [48]A. Lobkovsky, Sh. Gentges, H. Li, D. Morse, and T. A. Witten, Science 270, 1482 (1995). [49] T. A. Witten and H. Li, Europhys. Lett. 23, 51 (1993). [50] A. Lobkovsky, Phys. Rev. E 53, 3750 (1996). [51] M. A. F. Gomes, Am. J. Phys. 55, 649 (1987). [52] M. A. F. Gomes, G. L. Vasconcelos, and C. C. Nascimento, J. Phys. A 20, L1167 (1987). [53] M. A. F. Gomes, J. Phys. A 20, L283 (1987). [54] M. A. F. Gomes, I. J. C. Braga, and C. A. F. Castro, J. Phys. A 22, 1463 (1989). [55] M. A. F. Gomes, T. I. Lyh, and T. I. Ren, J. Phys. A 23, L1281 (1990). [56] J. B. C. Garcia, M. A. F. Gomes, T. I. Lyh, and T. I. Ren, J. Phys. A 25, L353 (1992). [57] M. A. F. Gomes and J. H. P. Soares, J. Phys. D 22, 989 (1989). [58] M. A. F. Gomes, T. I. Lyh, T. I. Ren, I. M. Rodrigues, and C. B. S. Furtado, J. Phys. D 22, 1217 (1989). [59] J. Weiner, Statistical Mechanics of Elasticity �Wiley, New York, (1983). [60] A. S. Balankin, D. Samayoa, E. Pineda, R. C. Montes de Oca, A. Horta, and M. A. Martínez, Phys. Rev. B 77, 125421 (2008). [61] M. L. Gardel, J. H. Shin, F. C. MacKintosh, L. Mahadevan, P. Matsudaira, and D. A. Weitz, Science 304, 1301 (2004). [62] Y. Kantor, Phys. Rev. A 39, 6582 (1989); E. Duering and Y. Kantor, Phys. Rev. B 40, 7443 (1989); O. Farago and Y. Kantor, Phys. Rev. Lett. 85, 2533 (2000); Phys. Rev. E 62, 6094 (2000). [63] A. S. Balankin, Phys. Rev. B 53, 5438 (1996). [64] O. Plischke, D. C. Vernon, B. Joós, and Z. Zhou, Phys. Rev. E 60, 3129 (1999); D. J. Jacobs, S. Dallakyan, G. G. Wood, and A. Heckathorne, ibid. 68, 061109 (2003). [65] X. Xing, S. Mukhopadhyay, and P. M. Goldbart, Phys. Rev. Lett. 93, 225701 (2004). [66] Unfortunately, the relative density of balls, which we were able to test in this work, varies over only one decade (0.047≤ρ/ρo≤0.502), and so, strictly speaking, a more correct statement is that the experimental data are consistent with the power-law scaling (10) with the universal scaling exponent. [67] We were not able to visualize a crumpling network in the black carbon paper of thickness 0.024 mm (see [36]). [68] http://www.palisade.com [69] For the intermediate confinement ratios, the distribution of crumpling ridge lengths exhibits a crossover from a log-normal to a Γ distribution within a wide range K, as is suggested in [30]. [70] F. H. Stillinger and T. A. Weber, Phys. Rev. A 25, 978 (1982); S. Sastry, P. G. Debenedetti, and F. H. Stillinger, Nature (London) 393, 554 (1998). [71] F. Sciortino, W. Kob, and P. Tartaglia, Phys. Rev. Lett. 83, 3214 (1999); F. Sciortino and P. Tartaglia, ibid. 86, 107 (2001). [72] H. M. Jaeger, S. R. Nagel, and R. P. Behringer, Rev. Mod. Phys. 68, 1259 (1996). [73] S. F. Edwards and R. B. S. Oakeshott, Physica A 157, 1080 (1989); A. Mehta and S. F. Edwards, ibid. 157, 1091 (1989).

Dr. Orlando Susarrey Huerta 13

[74] A. Barrat, J. Kurchan, V. Loreto, and M. Sellitto, Phys. Rev. E 63, 051301 (2001); J. J. Brey and A. Prados, ibid. 68, 051302 (2003). [75] R. Blumenfeld and S. F. Edwards, Phys. Rev. Lett. 90, 114303 (2003). [76] R. Blumenfeld and S. F. Edwards, Phys. Rev. Lett. 90, 114303 (2003). [77] M. Pica Ciamarra, A. Coniglio, and M. Nicodemi, Phys. Rev. Lett. 97, 158001 (2006).