OBJETIVOS

OBJETIVOS.

1. Determinar la relacin funcional entre la altura (Y) de un proyectil y el alcance horizontal (X) que ha recorrido (ecuacin de la trayectoria).

2. Ajustar la curva a un conjunto de daros experimentales usando el mtodo de diferencias finitas y el mtodo de mnimos cuadrados.

3. Analizar los datos del experimentos.

FUNDAMENTOS TERICOS.

El movimiento realizado por un objeto lanzado desde el aire con un cierto ngulo respecto a la superficie de la tierra es una trayectoria curva conocida como movimientos de proyectiles el cual es un movimiento bajo aceleracin constantes.

Al saber esto, encontramos que la curva que describe un proyectil, que llamaremos trayectoria no es ms que una parbola siempre.

En la figura n 1 el sistema de referencia escogido determina que la direccin (Y) sea vertical y la direccin (x) sea horizontal positiva hacia la derecha, entonces ay = -g y ax = 0 . Supongamos que para un t = 0; el proyectil parte de un punto a una distancia Xo y a una altura Yo del origen del sistema de referencia.

Tomando en cuenta las componentes de la ecuaciones que rigen el movimiento se puede escribir como.

vx = vox = ctte(1)

vy = voy -gt(2)x = xo + voxt (3)

Y = Yo + voyt (gt2)/2 (4)

Donde vox = vocosvoy = vosen , vo es la velocidad inicial del lanzamiento y es el ngulo que forma vo con el eje positivo.

Si tomamos la ecuacin (3) y despejamos tiempo nos queda

t = x- xo (5)

vocos

Sustituyendo (5) en (4) nos queda

Y = yo + tgx-xo) g(x-xo)2 (6)

vo2cos2

la ecuacin (6) es tambin conocida como la ecuacin de la trayectoria de un proyectil y por lo general xo = 0.

Dicha ecuacin es de la forma Y = a + bx+ cx2 la cual corresponde a la ecuacin de una parbola que es precisamente la trayectoria que sigue una partcula que describe un movimiento de proyectil.

MATERIALES Y EQUIPOS.

1. Lanzador de proyectiles ( Marca: Pasco ME-6831)

2. Tablero de blanco vertical mvil.

3. Papel carbn.

4. Papel milimetrado.

5. Baln de plstico.

6. Cinta mtrica (Marca: Stanley)

6.1 Apreciacin = 0.1cm

6.2 Rango = ( 0- 300 )cm

6.3 Alcance = 300cm

7. Transportador

7.1 Apreciacin = 0.1

7.2 Rango = ( 0 - 180 )

7.3 Alcance = 180

ESQUEMA DEL MONTAJE.

PROCEDIMIENTO.

1) Asegurar Firmemente el lanzador de proyectiles a unos de los bordes de la mesa de tal forma que el baln choqu con el tablero.

2) Ajustar el ngulo de disparo a 30

3) Hacer un disparo de prueba colocando el baln en el can y montndolo en una posicin intermedia para as determinar la posicin inicial del tablero.

4) Recubrir el tablero con papel blanco y pegar encima el papel carbn.

5) Medir la altura desde la superficie de la mesa hasta el extremo del can.

6) Medir la distancia horizontal desde el extremo del can hasta al tablero. Utilizar una plomada para determinar el punto del piso que se encuentra directamente bajo el punto en el cual el baln abandona el can del lanzador.(boca del can).

7) Disparar el baln.

8) Mover el tablero 10cm alejndose del can.

9) Repetir los pasos 6,7 y 8 hasta completar 12 pares de datos y anotarlos en la tabla n 2.

DATOS Y MEDIDAS EXPERIMENTALES.

AnguloAltura InicialApreciacin de la cinta mtricaApreciacin del transportador

3025.3cm0.1cm0.1

Tabla N 1 Datos del experimento.

NAltura (y)cm Distancia Horizontal (x)cm

143.540

246.150

34960

451.270

552.780

653.390

753.3100

852.1110

950.5120

1048.8130

1146.8140

1243.8150

Tabla N 2 Medidas de alturas y Distancia Horizontal.

CALCULOS.

A travs de los datos de la tabla N 2 se elabora la grfica altura-distancia horizontal donde se puede observar que la variable dependiente es la altura y la independiente es la distancia horizontal.

Luego de graficar adecuadamente dichos valores ( las grficas sern anexadas al final) se observa que la expresin analtica de la curva es y(x) = ao + a1x + a2x2 + .....+ anxn

Distancia horizontal (cm)Altura (cm)YYY

4043.5

5046.12.6

60492.90.3

7051.22.2-0.7-1

8052.71.5-0.7-0.2

9053.30.6-0.9-0.2

10053.30-0.60.3

11052.1-1.2-1.2-0.6

12050.5-1.6-0.40.8

13048.8-1.7-0.10.3

14046.8-2-0.3-0.2

15043.8-3-1-0.7

Tabla N 3 Procesamiento de la Medidas Directas.

Para determinar el grado del polinomio se calcula I (intervalo de dispersin) a partir de los valores de la tabla N 3.

I1 = 2.9 (-3) = 5.9cm

I2 = 0.3 (-1.2) = 1.5cm

I3 = 0.8 (-1.8) = 1.8cm

Como I2 es el menor de los datos de los intervalos de dispersin se asume que el grado del polinomio es 2 y por lo tanto se busca los coeficientes del mismo utilizando el mtodo analtico de los mnimos cuadrados.

XyX2X3X4XyX2y

4043.51600640002560000174069600

5046.1250012500062500002305115250

60493600216000129600002940176400

7051.24900343000240100003584250880

8052.76400512000409600004216337280

9053.38100729000656100004797431730

10053.31000010000001000000005330533000

11052.11210013310001464100005731630410

12050.51440017280002073600006060727200

13048.81690021970002856100006344824720

14046.81960027440003841600006552917280

15043.82250033750005062500006570985500

xiyix2x3x4xyx2y

1140591.1122600143640001782140000561695999250

Tabla N 4 procesamientos de medidas por medio de los mnimos cuadrados.

Con los valores obtenidos anteriormente se procede a resolver el sistema de ecuaciones de la forma:

m x x2aox

x x2 x3a1= xy

x2 x3 x4 a2 x2y

Sustituyendo los valores de inters nos queda:

12 1140 122600ao 591.1

1140 122600 14364000a1 = 56169

122600 14364000 1782140000a25999250

aoa1 (adimensional)F a2 ( 1/cm)

24.170.61 -3.19x10-3

Tabla N 5 Coeficientes del Polinomio

ANLISIS DE RESULTADOS.

1. Al elaborar la grfica altura-distancia horizontal usando el polinomio obtenido por los mnimos cuadrados y compararla con la curva experimental. Se puede decir que la curva obtenida a travs del mtodo de los mnimos cuadrados posee un porcentaje de exactitud bastante elevado ya que la curva obtenida por el mtodo se asemeja en gran proporcin a la curva experimental.

2. Comparando la ecuacin terica de la trayectoria de un proyectil con la obtenida experimentalmente tenemos:

y = y + tgx - gx2 2vo2cos2

y = 24.17 + 0.61x 3.19x10-3 x2

El termino independiente (ao) de la ecuacin emprica representa la altura inicial (yo) con que fue lanzado el proyectil.

El termino a1 de la ecuacin emprica representa la tangente del ngulo() de tiro.

El termino a2 de la ecuacin emprica representa al coeficiente que acompaa a la expresin cuadrtica de la ecuacin terica por lo que:

a2 = -g

2vo2cos2

3. En funcin de la relacin emprica obtenida tenemos que para el baln:

Yo = 24.17cm

vo = 459.31 cm/s

= 31.38

tv = 0.38spor lo tanto los resultados obtenidos de yo y a partir de la ecuacin obtenida aplicando el mtodo son muy similares a los valores tomados al principio del montaje ( yo = 26.2cm 30) adems a partir dichos valores y utilizados ambos ecuaciones se puede conocer aproximadamente la velocidad de lanzamiento y el tiempo de vuelo para el mismo, lo que ratifica la exactitud del resultado obtenido.

4. En cuanto a la precisin se puede notar que la medida de la distancia horizontal se obtuvo con mayor precisin que la medida de la altura puesto que esta posee menor error relativo porcentual debido a que el error relativo disminuye a medida mucho ms grandes y por lo tanto el valor de la distancia es mas precisa que el de la altura.

5. Si el ngulo de disparo es de = 0 la curva obtenida tambin seria una parbola lo que cambiaria es que el termino a1 de la ecuacin emprica es cero por lo que la ecuacin terica de la trayectoria de un proyectil tg0

CONCLUSIONES.

1. La expresiones de la relacin obtenida entre la altura (y) y la distancia horizontal (x) de un proyectil con determinado ngulo de disparo coincide con la ecuacin y = a + bx + cx2 que corresponde a la ecuacin de una parbola.

2. La ecuacin obtenida experimentalmente coincide con la ecuacin terica de la trayectoria de un proyectil

3. Por lo tanto los resultados obtenidos se puede concluir que la tcnica seleccionada y las condiciones en que fueron tomadas las medidas fueron adecuadas y aceptables.

(y) vox

vo

voy

vox

( x )

(x)