UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTAFACULTAD DE INGENIERA E. A. P. INGENIERA CIVIL

CLCULO DE VOLUMEN DE TIERRA A MOVER EN UNA NIVELACIN GEOMTRICA PARA LA CONSTRUCCIN DE UN MDULO DE VIVIENDA FAMILIAR (A travs de una aproximacin numrica)

ALUMNOS Esteban Korafi Aponte Richard Miranda Diestra

ASESOR Kenne Reyna Rojas

Chimbote, Per 2011

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Tabla de contenidoI. II. INTRODUCCIN .............................................................................................................. 4 MARCO TERICO ............................................................................................................ 4 2.1. NIVELACIN GEOMTRICA ........................................................................................ 4 2.2. PERFIL LONGITUDINAL Y SECCIONES TRANSVERSALES ............................................... 4 2.3. MOVIMIENTO DE TIERRAS ......................................................................................... 5 2.4. INTERPOLACIN POLINMICA .................................................................................. 5 III. MATERIALES ................................................................................................................... 6 3.1. DESCRIPCIN TOPOGRFICA DEL TERRENO ............................................................... 6 3.2. TABULACIN DE LOS DATOS RECOLECTADOS ............................................................ 7 IV. MTODOS ....................................................................................................................... 7 4.1. INTERPOLACIN POLINOMIAL PARA UNA SUPERFICIE ............................................... 7 4.2. MTODO DE LA SUMATORIA DE PRISMAS PARA EL CLCULO DE VOLUMENES ......... 8 V. RESULTADOS................................................................................................................... 9 5.1. CLCULO DE LAS CONSTANTES DE INTERPOLACIN .................................................. 9 5.2. FUNCIN DE LA APROXIMACIN NUMRICA Y SU COMPROBACIN ......................... 9 5.3. PROGRAMACIN VISUAL BASIC EN EXCEL PARA EL CLCULO DE VOLUMENES ........ 10 VI. VII. VIII. DISCUSIN .................................................................................................................... 12 CONCLUSIONES ............................................................................................................. 12 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ..................................................................................... 12

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I.

INTRODUCCIN Para el corte de terreno a un nivel deseado o nivel de rasante, tiene que conocerse el volumen de corte para los clculos posteriores de presupuesto. Topogrficamente se puede obtener el volumen, hallando las cotas o niveles de altura del terreno a travs de una nivelacin geomtrica y llevando estas cotas a representar el perfil longitudinal ylas secciones transversales del terreno (se representara tambin el nivel de la rasante), al tener estose promedia el rea de 2 secciones continuas ( el rea de una seccin esta comprendida entre el nivel del terreno y en nivel de la rasante) y se multiplica por la distancia de separacin entre estas, sumando todos los volmenes obtenidos a lo largo del perfil longitudinal, se obtiene el volumen aproximado de terreno a cortar. Lo que hemos tratado de hacer es aproximar la superficie del terreno a una funcin bidimensional, por medio de una interpolacin a partir de las cotas halladas en la nivelacin geomtrica. Despus de encontrar la funcin que pasa aproximadamente por las cotas, se procede a calcular el volumen, por medio de un mtodo de aproximacin de prismas, casi como el mtodo aplicado para la definicin de la integral doble. Po ultimo restamos el volumen que hay desde los 0.000 msnm hasta la cota de nivelacin deseada o nivel de rasante. Y al final verificar las diferencias de resultados con el mtodo de las secciones transversales para el clculo de volmenes de tierra, sea determinar si es ms provechoso emplear este mtodo que el de secciones transversales.

II.

MARCO TERICO Para tener un conocimiento general del proyecto se necesita considerar algunos conceptos bsicos como: 2.1. NIVELACIN GEOMTRICA La nivelacin geomtrica esta definida como la medicin directa de elevaciones o altura de un punto en el espacio. 2.2. PERFIL LONGITUDINAL Y SECCIONES TRANVERSALES Si representamos las alturas o cotas de diversos puntos que describirn el relieve de un terreno en un plano horizontal de referencia definiendo los puntos en un sistema de coordenadas xyz y si aun hallamoslas cotas de un conjunto de puntos alineados dentro del mismo terreno trabajado y hacemos que un plano vertical imaginario pase por esos puntos cortando al terreno, tendremos en el plano vertical un perfil topogrfico del terreno, que lleva por nombre perfil longitudinal.

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Una seccin transversal es el rea deseada de un perfil topogrfico producida por un plano vertical perpendicular al plano que gener el perfil longitudinal. 2.3. MOVIMIENTO DE TIERRAS La obra que tiene por objeto la modificacin de la geometra del un terreno se denomina movimiento de tierras; la determinacin del volumen de tierras necesario para llevar a cabo la obra sedenomina cubicacin. En el movimiento de tierras se producen dos tipos de movimientos uno dedesmonte cuando la tierra se excava y se quita del sitio donde estaba; y otro de terrapln cuandoaportamos tierra sobre el terreno natural. Al nivel de modificacin geomtrica deseado se le lama rasante. Para hallar el volumen de tierras es necesario conocer las secciones transversales del terreno a lo largo del perfil longitudinal de este, al encontrar el rea de seccin transversal generado por las cotas del terreno y el nivel de rasante y al promediar este con el rea de una seccin continua y multiplicar este promedio de reas con la distancia horizontal que los separa tenemos un primer volumen del terreno, al sumar todos los volmenes generados a lo largo del perfil longitudinal tendramos el volumen a cortar o a rellenar segn se requiera.

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2.4. INTERPOLACIN POLINMICA Un problema muy comn en la Matemtica aplicada consiste en hallar una funcin a partir de una tabla de valores y evaluar dicha funcin para valores de variable que no figuran en la tabla. Por supuesto esto significa que o bien no conocemos la expresin analtica o bien la conocemos pero nos interesa sustituirla por otra ms sencilla, tal problema se llama interpolacin. Supongamos que conocemos los valores de una funcin f en los n+1 puntos x0, x1, , xn. Es decir conocemos y0=f(x0), y1=(x1), , yn= (xn). Podemos hallar alguna funcin polinmica que coincida con f en dichos puntos? Ser nica o habr ms de una? La respuesta a estas interrogantes nos da la siguiente proposicin. Teorema: Sean (x0, y0), (x1, y1), , (xn, yn)n+1 puntos del plano con abscisas xi diferentes. Existe un nico polinomio Pn de grado n que pasa por dichos puntos. Esto verifica Pn (xi)=yipara i=0, 1, , n. Prueba: Sea el polinomio interpolador. En tal caso, las condiciones impuestas implican que . Tales n+1 relaciones forman un sistema lineal se n+1 ecuaciones con n+1 incgnitas: a0, a1, , an. Al calcular las incgnitas del sistema de ecuaciones, obtenemos las constantes de la funcin de interpolacin.

III.

MATERIALES Se puede decir que como materiales necesitamos la descripcin topogrfica del terreno y a partir de all hacer una tabla de las cotas o puntos encontrados. 3.1. DESCRIPCIN TOPOGRFICA DEL TERRENO Tomaremos un nivel de rasante de 43.500 msnm. El terreno a estudiar tiene las siguientes caractersticas topogrficas en un plano levantamiento topogrfico a curvas de nivel:

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3.2. TABULACIN DE LOS DATOS RECOLECTADOS A partir de las cotas ubicadas en el sistema de coordenadas xyz, podemos hacer la siguiente tabla:

x0 0 0 0 0 0 0

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

43.958 44.062 44.27 44.304 44.185 44.381 44.273

z

10 10 10 10 10 10 10

x

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

44.274 44.184 44.157 44.273 44.293 44.381 44.476

z

20 20 20 20 20 20 20

x

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

44.201 44.419 44.669 44.696 44.357 44.43 44.442

z

x30 30 30 30 30 30 30

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

44.262 44.307 44.528 44.548 44.467 44.527 44.793

z

IV.

MTODOS Lo que tratamos de hacer en si es simular como es el terreno en el espacio, y a partir de all calcular el volumen de corte de tierra por medio de la definicin de la integral doble, y ver si este mtodo de clculo es ms provechoso que el mtodo de clculo de volumen de tierra por secciones transversales. 4.1. INTERPOLACIN POLINOMIAL PARA UNA SUPERFICIE De la misma manera que hacemos una interpolacin polinomial para una curva o sea aproximamos los datos a una funcin de la forma , tambin podemos hacer una interpolacin polinomial para una superficie de la forma Sabemos que la funcin de aproximacin tiene la forma

Entonces, la funcin de aproximacin

tiene la forma

Si remplazamos las variables por los datos existentes tendramos:

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Luego a partir del sistema de ecuaciones, podemos calcular las constantes

Entonces por medio de un clculo matricial tenemos:

Luego aplicamos la siguiente propiedad:

Y as obtenemos los valores de

y podemos determinar

4.2. MTODO DE LA SUMATORIA DE PRISMAS PARA EL CLCULO DE VOLUMENES A la verdad este mtodo es la definicin de la integral doble. Primero definimos una regin R desde donde se quiere hallar el volumen La regin R esta definida por , luego particionados la regin con respecto a x en n partes y a y en m partes. Se tendr que cada particin en x e y es igual a un respectivamente, luego un rea de la particin es , donde y , al multiplicar A por un y de la misma manera , tendramos el volumen de un prisma con rea A y altura ,

a sumar todos los volmenes obtenidos en toda la regin, tendramos el volumen aproximado que genera la superficie en la regin R. Por supuesto que si las particiones n y m son ms grandes se obtendr el volumen exacto que genera la superficie .

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V.

RESULTADOS Al aplicar los mtodos mencionados anteriormente encontramos los siguientes resultados: 5.1. CLCULO DE LAS CONSTANTES DE INTERPOLACIN Debido a que la matriz para hallar las constantes de la funcin de aproximacin es de 28 x 28 hemos hecho el clculo en la siguiente hoja de Excel: Matriz para calcular los coeficientes.xlsx 5.2. FUNCIN DE APROXIMACIN NUMRICA Y SU COMPROBACIN Despus de haber calculado las constantes de la funcin de aproximacin, esta toma la forma:

Pasando la funcin a un graficador de funciones bidimensionales, tendramos una simulacin del relieve del terreno de la siguiente forma:

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Si programamos la funcin en el Visual Basic para Excel y construimos una tabla de comprobacin tendramos los siguientes resultados: x0 0 0 0 0 0 0

y-6 -4 -2 0 2 4 6

z(x, y)43.9580033 44.0620003 44.27 44.304 44.185 44.3809998 44.2729995

x10 10 10 10 10 10 10

y-6 -4 -2 0 2 4 6

z(x, y)44.2740182 44.1840042 44.1570008 44.2730003 44.2929999 44.3809971 44.47599

x20 20 20 20 20 20 20

y-6 -4 -2 0 2 4 6

z(x, y)44.2010642 44.419017 44.6690048 44.6960027 44.3570012 44.429987 44.4419386

x30 30 30 30 30 30 30

y-6 -4 -2 0 2 4 6

z(x, y)44.2621473 44.3070427 44.5280149 44.548009 44.4670066 44.5269699 44.7928305

5.3. PROGRAMACIN VISUAL BASIC EN EXCEL PARA CLCULO DE VOLUMENES Siguiendo el mtodo explicado anteriormente para el clculo de volmenes, hicimos la siguiente programacin en el Visual Basic para Excel, primero para hallar el volumen especificado del terreno desde los 0.000 msnm y tambin para hallar el volumen hasta el nivel de rasante, restando los dos volmenes encontrados obtendremos el volumen de corte deseado.

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Tomando: 0 30 100 -6 6 100 De hecho si tomamos una particin n y m ms grandes, el volumen hallado al final sera mucho ms prximo al volumen exacto que describe la funcin . Hallamos los siguientes resultados: Volumen Terreno Volumen Razante Volumen Corte 15979.1541 15660 319.154117

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VI.

DISCUSIN Si hallamos el volumen de tierra a cortar a traves de secciones transversales, tomando como eje de perfil longitudinal el eje x y como secciones transversales las proyecciones de las abscisas que cortan el eje (ya que las cotas del terreno estn igualmente espaciadas) del plano de planta del terreno, encontramos que el volumen a cortar es 313.33. Nos podemos dar cuenta que las cotas a lo largo del eje x y las secciones transversales estn espaciadas a 10m, lo que representa que el volumen hallado por medio de las secciones transversales es aproximado a niveles de error no muy pequeos al volumen verdadero yen el caso ms posible el volumen real es mayor que el volumen por secciones transversales, lo que mostrara que el volumen por mtodos numricos posiblemente sea ms prximo al volumen real. Por otro lado es prudente dejar un margen sobrante de volumen, ya que si el volumen hallado por mtodos numricos exede al volumen real, esto se puede nivelar a la cota de rasante manualmente. CONCLUSIONES Podemos determinar que el volumen por mtodos numricos tiene mayor grado de probabilidad de aproximacin al volumen real que el volumen por secciones transversales. Podemos tambin decir que es mejor que halla un pequeo excedente de volumen a que falta volumen, ya que si uno se exede al cortar puede nivelar el terreno manualmente, ya que las partes desniveladas sern mnimas.

VII.

VIII.

REFERENCIAS BIBLIOGFICAS Notas sobre interpolacin, frmula de Taylor y resolucin aproximada de ecuaciones. Antonio Luis Martnez Rico. 25 de Junio de 1998. Apuntes tomados durante la clase de computacin II del Prof. Kenne Reyna. Perfil topogrfico. Microsoft Encarta 2009 Conceptos generales sobre movimientos de tierra. Rafael Esteve Pardal Altimetra de obras. Grupo de ingeniera grfica y simulacin. Escuela Tcnica superior de ingenieros industriales. Universidad politcnica de Madrid.

IX.

ANEXOS Clculo de volumen.xlsm Presupuesto cliente resumen.xls Gastos Generales.xls

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