informe amplificadores
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OP1P
R1
3.61k
C226.67nF
C110nF
R3
1.8k
R23.61k
R
10k
OP1P
R10k
OUT
IN
Universidad del Magdalena, Narváez Jorge, Diseño de controles
Diseño, Modelamiento e Implementación de controles mediante amplificadores operacionales usando
SISOTOOL, SIMULINK y PROTEUS
Jorge Narváez Cavadía2008219051
Resumen:
A continuación se presenta un informe sobre el diseño de controles por el método
de LGR (Lugar geométrico de las raíces) utilizando el toolbox “sisotool” de
MATLAB. Los controles serán implementados utilizando amplificadores
operacionales y se realiza su simulación en PROTEUS y modelación en
SIMULINK. El diseño de todos los controles presentados a continuación tiene
como objetivo mejorar la respuesta transitoria de una planta, la cual también se
modela mediante amplificadores operacionales.
Palabras clave: Sisotool, Simulink, LGR, controlador, compensador, Proteus.
PROCEDIMIENTO:
1. Definición y moldeamiento de la Planta: La planta que se quiere controlar no
es más que un filtro pasa bajos de segundo orden implementado con
amplificadores operacionales. En la Figura 1.1 se muestra un esquema en
PROTEUS de la planta.
Figura 1.1. Planta.
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La función de transferencia de la planta a controlar está definida a continuación y
de ahora en adelante la llamará G(s).
G (s )= R2/R11+sC 1 (R2+R3+R2 R3/R1 )+s2R2 R3C 1C2
Para diseñar un controlador con SISOTOOL se debe definir primero G(s) en
MATLAB. El código utilizado para tal fin se muestra a continuación, donde se
utiliza la función tf para definir a G(s) a partir de su numerador y su denominador.
% PLANTA.m
% Definicion de G(s)
%
%Definicion de resistencias y condensadores
R1=3.61e3;
R2=3.61e3;
R3=1.8e3;
C1=10e-9;
C2=26.67e-9;
%numerador de G(s)
num= R2/R1;
%denominador de G(s)
den=[R2*R3*C1*C2 C1*(R2+R3+R2*R3/R1) 1];
%se genera la función de transferencia
G=tf(num,den);
%**************************************************
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Este script llamado PLANTA.m debe ejecutarse antes de iniciar con los pasos
posteriores, pues estos de basan en él.
Ahora que ya se ha definido G(s) podemos obtener una grafica de su respuesta
transitoria mediante el comando step (G); La grafica obtenida se muestra en la
Figura 1.2.
Figura 1.2. Respuesta transitoria de G(s).
Para modelar G(s) en SIMULINK se crea un subsistema que está definido por la
función de transferencia de G(s) y recibe el nombre de G. el diagrama del
subsistema se muestra en la Figura 1.3.
Figura 1.3. Modelado de G(s) en simulink.
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2. Definición de la arquitectura de control y de los objetivos del control: se
usará una arquitectura de control lo más simple posible con el fin de simplificar el
diseño y el análisis. La figura 2.1 muestra la arquitectura utilizada, G es la planta y
C el compensador que se diseñará.
Figura 2.1. Arquitectura de control.
La función de transferencia del sistema en lazo cerrado sería:
H (s )=Y (s)R(s)
=C ( s )G(s)1+C (s )G (s)
Y la función de transferencia de la salida del compensador sería:
F ( s )=U (s )R (s )
=C(s)
1+C ( s)G(s)
EL objetivo del control a diseñar es mejorar la respuesta transitoria de G(s). Lo
cual consiste en hacer que el tiempo de establecimiento de la salida del sistema a
lazo cerrado, cuando la entrada del sistema es un escalón unitario, sea menor que
el tiempo de establecimiento de la salida del sistema a lazo abierto, pero sin
generar un sobre pico demasiado alto.
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Con el fin de saber con qué tipo de control se obtiene una mejor respuesta, se
diseñaran cuatro tipos de control diferentes para comparar los resultados
obtenidos con cada uno. Los tipos de control a diseñar son: Control P, control
PD, Control PI y Control PID.
3. Procedimiento general para el diseño de los compensadores utilizando
sisotool: sisotool es una poderosa herramienta de MATLAB que facilita en gran
medida el diseño de controles. En sisotool se trabaja de forma grafica usando el
método LGR (lugar geométrico de las raíces), y puede mostrar en tiempo real las
variaciones producidas en la respuesta del sistema generadas por los cambio que
el usuario realice en el LGR. Para ejecutar sisotool basta con llamarlo desde la
línea de comandos de MATLAB escribiendo “sisotool”.
AL abrir sisotool se muestran dos ventanas, “Control and Estimation Tool
Manager” y “SISO Desing for SISO Desing Task”. En “Control and Estimation Tool
Manager” se escoge la arquitectura de control a utilizar. En la pestaña
“Architecture”, al dar clic en el botón “Control Achitecture” se despliega una
ventana que muestra una lista de las arquitecturas disponibles. Pero ninguna
coincide con la arquitectura que se desea utilizar (figura 2.1). Sin embargo
También se puede usar la arquitectura que se encuentra al principio de la lista y
que se muestra en la figura 3.1.
Figura 3.1. Ventana desplegada por el botón “Control Achitecture”.
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Haciendo F=1 y H=1 esta arquitectura se reduce a la que se desea utilizar.
Después de seleccionar la arquitectura, se importa la función de transferencia de
G(s) desde la ventana “SISO Desing for SISO Desing Task”, con la opción
“importar” del menú “File”. AL dar clic en “importar” Se despliega una ventana
(Figura 3.2) en donde se muestra una lista de los sistemas de la arquitectura
seleccionada: G, H, C y F que por defecto tienen el valor de “1”, el cual es el valor
que deben tener “F” y “H”. Se selecciona “G” y se presiona “Browser” y aparece
otra ventana (Figura 3.3) que muestra una lista de las funciones de transferencia
que se encuentran en el WorkSpace y en donde debe estar la función “G” definida
en el script “PLANTA.m” que se describió anteriormente. Entonces se selecciona
“G” se presiona “import”, se cierra esta ventana y por último se presiona “OK” en la
ventana anterior.
Para visualizar la grafica de la respuesta del sistema en lazo cerrado se
selecciona la opción “Response to step command” del menú “Analysis”. Con esto
se abre la ventana que se muestra en la Figura 3.4.
Figura 3.2. Ventana de Import.
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Figura 3.3. Ventana Browser de Import.
Para visualizar la respuesta del sistema en lazo abierto y compararla con la
respuesta del sistema en lazo cerrado, se da un clic derecho en la grafica de la
ventana “LTI Viewer for SISO Desing Task” (figura 3.4) luego se selecciona la
opción “systems” y luego la opción “Plant G”. Esto da como resultado la grafica
mostrada en la figura 3.5.
Figura 3.4. Ventana que muestra la respuesta transitoria del sistema
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Figura 3.5. Grafica que muestra la respuesta transitoria del sistema a lazo abierto y a lazo cerrado.
En esta ventana (Figura 3.5) ahora se muestran tres graficas. La grafica de color
azul continua es la respuesta transitoria del sistema a lazo cerrado, la grafica de
color azul discontinua es la respuesta transitoria del sistema a lazo abierto y la
grafica de color verde es la salida del compensador. Si La opción “Real-Time
Update” en la parte inferior derecha de la ventana (Figura 3.5) está activada
entonces la grafica de la respuesta se actualiza automáticamente cuando se
cambia algún parámetro del LGR.
La ventana de trabajo, en donde se realiza el diseño del compensador es la
ventana “SISO Desing for SISO Desing Task” que es una de las ventanas que de
abren al ejecutar sisotool. Esta ventana se muestra en la Figura 3.6. La grafica en
la parte superior izquierda en la grafica del LGR y es la que se utilizará para el
diseño. Después de importar la función de transferencia “G” la ventana de trabajo
se ve tal cual está en la figura 3.6.
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Figura 3.6. Ventana de trabajo de sisotool.
El proceso de diseño del compensador mediante el método LGR consiste en
agregar polos o ceros al compensador para modificar el LGR de tal forma que
pase por los puntos determinados en donde deben estar los polos dominantes
para obtener la respuesta deseada. Después de que esto de consigue, se
arrastran los polos hasta estos puntos, y entonces la grafica de la respuesta del
sistema debe coincidir con la respuesta deseada. Pero puede que esto no ocurra,
y seguramente se debe a que los polos ubicados en estos puntos no son los
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dominantes. Para determinar en qué puntos se deben ubicar los polos
dominantes para obtener la respuesta deseada se deben ingresar los
requerimientos de diseño. Para este caso los requerimientos de diseño son dos, el
tiempo de establecimiento y el sobrepaso. Para agregar un requerimiento de
diseño se da clic derecho se escoge la opción “Desing Requirements” y luego la
opción “New”.
EL tiempo de establecimiento o “Settling time” se escoge de manera que sea
menor que el tiempo de establecimiento del sistema a lazo abierto. Pues lo que se
quiere es mejorar la respuesta transitoria del sistema. Pero no puede ser
exageradamente pequeño porque será imposible de cumplir. EL porcentaje de
sobrepaso o “Percent overshoot” determina en que porcentaje el valor pico de la
respuesta del sistema sobrepasa el valor de establecimiento o valor final del
sistema ante una entrada escalón. Para algunos tipos de control, entre más rápida
se hace la respuesta del sistema mas es el porcentaje de sobrepaso, y Un valor
muy grande de sobrepaso no es deseable.
Ejemplo: Al diseño se le agregaron los siguientes requerimientos:
Settling time = 80u segundos
Percent overshoot = 1
La grafica obtenida al agregar los requerimientos de diseño se muestra en la
Figura 3.7
Figura 3.7. Grafica del LGR con requerimientos del diseño.
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Al agregar el “Settling time” se dibuja una línea vertical que indica que los polos
dominantes deben estar sobre esa línea para cumplir el requerimiento impuesto.
Al agregar el “Percent overshoot” se dibujan dos líneas simétricas sobre el eje real
que parten desde el origen con un determinado Angulo y que interceptan la línea
dibujada por el “Settling time”. Entonces para que se cumplan los requerimientos
del diseño los polos dominantes del sistema se deben encontrar en estos puntos
de intersección o muy cerca de ellos.
Los polos dominantes son aquellos que más intervienen en la respuesta de un
sistema. Aunque la respuesta de un sistema no está completamente determinada
por los polos dominantes, puede hallarse una muy buena aproximación de esta
hallando la respuesta solo a partir de la contribución de estos polos. Como regla
general se toman como polos dominantes aquellos que están más cerca al origen,
pues son los que más influyen en la respuesta.
Para agregar polos o ceros, se seleccionan alguna de las opciones de la parte
superior izquierda de la ventana de trabajo donde se encuentran X ,O ,XX,OO
que
corresponden respectivamente a: adicionar un polo en el eje real, adicionar un
cero en el eje real, adicionar un par de polos complejos conjugados y adicionar un
par de ceros complejos conjugados. Todo el proceso de diseño se realiza
gráficamente, agregando polos o ceros y moviendo la posición de los polos sobre
el lugar geométrico de las raíces. Por lo que es imprescindible tener conocimiento
acerca de cómo se dibuja el LGR porque esto brinda la capacidad de predecir los
cambios producidos en el LGR por la adición de polos o ceros.
Cuando finalmente se consigue un diseño satisfactorio se puede ver la función de
transferencia del compensador “C” con la opción “Edit Conpensador” del menú
“Designs”.
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4. Diseño de controles P, PD, PI y PID con sisotool:
4.1. Control P: Para el control P el compensador “C(s)” es solo una constante,
por lo tanto no hay que agregar ningún polo ni cero. Es por esto el tipo de control
más sencillo de implementar. Entonces “C(s)” puede escribirse de la forma:
C ( s )=Kp
Para determinar la respuesta del sistema solo hay que variar el valor de la
constante Kp hasta encontrar una respuesta satisfactoria. Aunque es bastante
probable que no se encuentre.
Variar las constante Kp equivale a mover los polos sobre el LGR, moviendo los
polos y observando la respuesta del sistema a laso cerrado en la grafica que
proporciona sisotool.
Después de realizar varias pruebas con la posición de los polos se determinó que
la respuesta del control P que más se ajusta a los objetivos propuestos es la que
se muestra en la figura 4.1 ya que es una respuesta más rápida que la respuesta
del sistema a laso abierto, no tiene un sobrepaso demasiado alto y no introduce un
error de estado estacionario muy grande.
Figura 4.1. Grafica de la respuesta obtenida con el control P (Azul continuo) y de la respuesta a lazo abierto (Azul discontinuo).
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Esta respuesta (Figura 3.8) se obtiene con el compensador: C=14.48.
4.2. Control PD: la función de transferencia del compensador de un control PD
puede escribirse como C (s )=Kp(1+Td s) y se puede obtener solo agregando un
cero. EL LGR de este control para la PLANTA en cuestión se muestra en la figura
4.2 y se obtuvo agregando un cero y moviéndolo hasta conseguir que el LGR
pasara por los puntos señalados por los requerimientos del diseño.
Figura 4.2. Grafica del LGR del control PD.
Figura 4.3. Grafica de la respuesta obtenida con el control PD (Azul continuo) y de la respuesta a lazo abierto (Azul discontinuo).
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En la figura 4.3 se muestra la respuesta obtenida con el control PD. En
comparación con la respuesta a lazo abierto del sistema, se puede apreciar que
con este control PD se obtiene una respuesta más rápida y sin demasiado
sobrepaso pero se introduce un considerable error en estado estacionario. El
compensador para este control es:
C ( s )=3.5523 (1+2.9∗10−5 s )
Y la función de transferencia de la salida del compensador seria:
F ( s )=U (s )R (s )
=C(s)
1+C ( s)G(s)
Como G(s) es una función con dos polos y ningún cero, la función de transferencia
de la salida del compensador tendrá un mayor número de ceros que de polos.
Entonces si se desea visualizar la grafica de la salida del compensador en sisotool
no se podrá hacer, porque MATLAB solo puede generar graficas de las respuestas
de sistemas con número de polos mayor o igual que el número de ceros.
4.3. Control PI: La función de transferencia del compensador de un control PI se
escribe como C ( s )=Kp(1+ 1Ti s ) y puede reescribirse como C ( s )=K ( s+a )
s. Es decir
que para construir el control PI se debe agregar un cero en el eje real y un polo en
el origen. EL LGR del control PI para la PLANTA en cuestión se muestra en la
figura 4.4 y la respuesta obtenida en la figura 4.5. Este control PI no mejora la
respuesta considerablemente en comparación con el control P pero al contrario de
los controles P y PD este no genera error en estado estacionario. Inclusive es
posible corregir el error de estado estacionario del sistema a lazo abierto si es que
lo hubiere.
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Figura 4.4. Grafica del LGR del control PI.
Figura 4.5. Grafica de la respuesta obtenida con el control PI (Azul continuo) y de la respuesta a lazo abierto (Azul discontinuo).
El compensador para este control es:
C ( s )=31536(1+2.5∗10−5 s)
s
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4.4. Control PID: La función de transferencia del compensador de un control PID
se escribe como C ( s )=Kp(1+ 1Ti s
+Td s) y puede reescribirse como:
C ( s )=K ( s+a ) (s+b )s
O como:
C ( s )=K( s2+as+b )
s
Es decir que hay dos formas de realizar el control PID, la primera es adicionando
dos ceros en el eje real y un polo en el origen y la segunda es adicionando un par
de ceros complejos conjugados y un polo en el origen.
PID Forma 1:
Adicionando dos ceros en el eje real y un polo en el origen se obtuvo un control
PID con el LGR mostrado en la figura 4.6, obteniendo la respuesta que se muestra
en la figura 4.7.
Para este caso el polo dominante es el que se agregó en el origen y que se
desplaza sobre el eje real, en consecuencia la respuesta no se puede determinar
agregando los requerimientos del diseño y haciendo coincidir los dos polos
conjugados que se muestran en el LGR (figura 4.6) con los puntos indicados por
las intersecciones de las líneas trazadas por los requerimientos del diseño. Por lo
que no se añadieron criterios de diseño y se procedió a elegir el compensador
visualmente según las graficas de la respuesta del sistema que proporciona
sisotool.
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Figura 4.6. Grafica del LGR del control PID 1.
Figura 4.7. Grafica de la respuesta obtenida con el control PID 1 (Azul continuo) y de la respuesta a lazo abierto (Azul discontinuo).
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El compensador para este controlador PID es:
C ( s )=1.1307∗105(1+5.1∗10−5 s ) (1+2.8∗10−5 s )
s
PID Forma 2: Adicionando un par de ceros complejos conjugados y un polo en el
origen se obtuvo un control PID con el LGR mostrado en la figura 4.8, obteniendo
la respuesta que se muestra en la figura 4.9. Para este caso si se utilizaron las
graficas de los requerimientos de diseño.
Figura 4.8. Grafica del LGR del control PID 2.
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Figura 4.9. Grafica de la respuesta obtenida con el control PID 2 (Azul continuo) y de la respuesta a lazo abierto (Azul discontinuo).
Para los dos controles PID se obtuvieron respuestas con mejoras considerables
en comparación con la respuesta a lazo abierto. Las respuestas de los dos
controles PID son considerablemente más rápidas que la respuesta del sistema a
lazo abierto, genera un sobrepaso muy bajo y no generan error de estado
estacionario. En definitiva este control es mejor que los otros 3.
El compensador para este controlador PID es:
C ( s )=3.2757∗105(1+4.9∗10−5 s+(2.6∗10−5 s )2 )
s
AL igual que para el control PD, con los controles PID para la planta que se está
controlando, la función de transferencia de la salida del compensador tendrá un
mayor número de ceros que de polos y no se podrá visualizar una grafica de la
salida del compensador con sisotool.
5. Moldeamiento de los controles en SIMULINK e implementación en
PROTEUS.
Como base Para el moldeamiento de los controles en simulink se utilizo el
diagrama de bloques de la figura 5.1 donde se modela el sistema a lazo cerrado
con una entrada escalón. EL subsistema G1 mostrado en la figura 5.1 es el
modelo de la planta que se creó en la sección 1 (Definición y moldeamiento de la
Planta) y el subsistema C es el modelo del compensador.
Figura 5.1. Base para el modelamiento de los controles.
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Para tener la posibilidad de comparar las respuestas del sistema a lazo cerrado y
a lazo abierto y además poder observar la señal a la salida del compensador se
modifico el diagrama de bloques de la figura 5.1 dando como resultado el
diagrama mostrado en la figura 5.2.
Figura 5.2. Diagrama utilizado para el modelamiento de los controles.
La función de transferencia del compensador de un control PID se escribe como
C ( s )=Kp(1+ 1Ti s
+Td s) . Esta función encierra las funciones de los otros tres filtros
tratados.
Para anular la acción integral de debe hacer la constante Ti igual a infinito y para
anular la acción derivativa se debe hacer la constante Td igual a cero. Así para un
control “P” Ti=inf y Td =0, para el control “PD” Ti=inf y para el control “PI”
Td=0.
Por lo tanto se pueden modelar los cuatro tipos de controles vistos, P, PD, PI y
PID con el mismo modelo de compensador. El diagrama del modelo utilizado para
el compensador se muestra en la figura 5.3 y es simplemente un Control PID
definido por la constantes Kp, Ti y Td y cuya función de transferencia es la
mencionada anteriormente. El modelo del subsistema “Ctrl PID” que se muestra
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en la figura 5.3 puede verse en la figura 5.4 y es simplemente la suma de las tres
acciones, proporcional, integral y derivativa.
Figura 5.3. Diagrama del Compensador.
Figura 5.4. Diagrama del subsistema “Ctrl PID” del Compensador.
Para la implementación de los controles con amplificadores operacionales en
PROTEUS de los controles P, PD, PI y PID se utilizaron los esquemas de
compensadores mostrados en las figuras 5.5, 5.6, 5.7 y 5.8 respectivamente.
OP1P
Rp1
Rp2
OP1P
CD
RD
R1
OP1P
R2
R1
OP1P
R
R
OP1P
RIR1
OP1P
R2
R1
OP1P
R
R
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Figura 5.5. Diagrama del Compensador del control P.
Figura 5.6. Diagrama del Compensador del control PD.
Figura 5.7. Diagrama del Compensador del control PI.
OP1P
CD
RD
R1
OP1P
R2
R1
OP1P
R
R
OP1P
R1
CI
RI
R
R
R
R
OP1P
B
A
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Figura 5.8. Diagrama del Compensador del control PID.
El circuito que realiza la funcion de restar la entrada y la salida para generar la
realimentación no es más que un amplificador diferencial con ganancia unitaria.
Este se muestra en la figura 5.9.
Figura 5.9. Diagrama del Circuito de resta.
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Un ejemplo de cómo queda el esquema completo de un control con amplificadores
operacionales se muestra en la figura 5.10 en donde se encuentra una imagen del
control PID completo. En la imagen se puede ver la planta, el compensador y el
lazo de realimentación.
Figura 5.10. Diagrama de un control PID.
5.1. Control P: En la sección 4.1 se encontró que el compensador para el control
P debe ser C=14.18. Para modelar este control en simulink hacemos Kp=14.18,
Ti=inf y Td=0. Y se obtiene la grafica de la figura 5.11.
Figura 5.11. Respuesta del control P en simulink.
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La grafica color purpura de la imagen 5.11 es la respuesta del sistema en lazo
cerrado, la grafica de color azul es la respuesta del sistema a laso abierto. La
grafica de color amarillo de la parte superior es la entrada del sistema y la grafica
de color amarillo inferior es la salida del compensador. Es importante que antes
de ejecutar SIMULINK se ejecute el script PLANTA.m que se mostró en la sección
1 y que define los valores de las resistencias y condensadores.
La funcion de transferencia del compensador P con amplificadores operacionales
es:
C (S )=1+Rp2Rp1
=14.18
Escogiendo Rp1=5,1K tenemos que Rp2= 68.748k. Las graficas generadas por
Proteus se muestran en la figura 5.12 y coinciden con las graficas generadas por
simulink y sisotool.
Figura 5.12. Respuesta del control P en Proteus.
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5.2. Control PD: En la sección 4.2 se encontró que el compensador para el
control PD debe ser C (s )=3.5523(1+2.9∗10−5 s). Entonces en simulink hacemos:
Kp=3.5523, Ti=inf, y Td=2.9*10 -5. LA respuesta obtenida se muestra en la figura
5.13.
Figura 5.13. Respuesta del control PD en simulink.
La función de transferencia del compensador PD con amplificadores operacionales
es:
C (S )=R2R1
(1+RdCd s)=3.5523(1+2.9∗10−5 s )
SI R1=10K entonces R2 será de 35.523K, si Cd=1nF entonces Rd será de 29K.
La respuesta obtenida se muestra en la figura 5.12 y coincide con la respuesta
obtenida en simulink y sisotool. Aun cuando los amplificadores operacionales se
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saturan, tal como se muestra en la grafica inferior de la figura 5.14. Que
corresponde a la salida del compensador.
Figura 5.14. Respuesta del control PD en Proteus.
5.3. Control PI: En la sección 4.3 se encontró que el compensador para el control
PI debe ser C ( s )=31536(1+2.5∗10−5 s)
s. Lo cual se simplifica a:
C=0.7884 (1+1/(2.53e-5 s )) y en simulink se tiene que Kp=0.7884, Ti=2.53*10 -5 y
Td=0. La respuesta obtenida se encuentra en la figura 5.15.
Figura 5.15. Respuesta del control PI en simulink.
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En Proteus se hace RiCi=Ti. Se calculan las resistencias y condensadores y se
obtiene la grafica de la respuesta del sistema que se muestra en la figura 5.16.
Figura 5.16. Respuesta del control PI en proteus.
La respuesta de Proteus coincide con la de simulink y sisotool para el control PI.
5.4 Control PID: Al simplificar las ecuaciones de los compensadores de los dos
controles PID se obtiene la funcion
C (s )=8.9325(1+1 /(7.9e-5 s)+1.8076e-5 s) Para el control PID 1 y la funcion
C (s )=16.051(1+1/(4.9e-5 s)+1.3796e-5 s) para el control PID 2.
Las graficas de las respuestas de los controles PID 1 y PID 2 obtenidas con
simulink se muestran en las figuras 5.17 y 5.18 respectivamente.
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Figura 5.17. Respuesta del control PID 1 en Simulink.
Figura 5.18. Respuesta del control PID 2 en Simulink.
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Y Las graficas de las respuestas obtenidas con Proteus se muestran en las figuras
5.19 y 5.20 respectivamente.
Figura 5.19. Respuesta del control PID 1 en Proteus.
Figura 5.20. Respuesta del control PID 2 en Proteus.
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Estas graficas de las respuestas de los controles PID en Proteus también
coinciden con las graficas de los diseños en sisotool y del modelo en simulink.
CONCLUSIONES
El método de diseño de controles con el LGR es un método grafico fácil y rápido
de aplicar. Lo cual hace que este método sea uno de los más usados en el diseño
de controladores análogos. Sisotool combina el método del LGR con un entorno
grafico que brinda diversas herramientas de diseño por lo que se convierte en una
poderosa herramienta que facilita en gran medida el diseño de diferentes tipos de
controles en diversas arquitecturas. En cuanto a la implementación de los
controles diseñados mediante amplificadores operacionales. La respuesta final de
estos controles dependerá en gran medida del rendimiento de los amplificadores
operacionales.