REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITCNICO SANTIAGO MARIO SEDE BARCELONA INGENIERIA EN MANTENIMIENTO MECANICO

Velocidad instantnea y aceleracion.

Integrante : Bodis J Molina G Yismeli Marcano Geraldo Salado C.I: 17.732.641 CI: 19.675.452 CI:20.361.057 Seccin: Z-N

Barcelona 07 2011

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Introduccin.

Es bastante conocido que todos los objetos, cuando se sueltan, caen hacia la tierra con aceleracin casi constante. Hay una leyenda segn la cual fue Galileo quien descubri este hecho al observar que dos diferentes pesas dejadas caer simultneamente desde la inclinada Torre de Pisa golpeaban el suelo casi al mismo tiempo. Si bien hay cierta duda de que este particular experimento se llev a cabo, est perfectamente establecido que Galileo efectu muchos experimentos sistemticos en objetos que se movan sobre planos inclinados. Con cuidadosas mediciones de distancias e intervalos de tiempo, fue capaz de mostrar que el desplazamiento de un objeto que parte del reposo es proporcional al cuadrado del tiempo en que el objeto est en movimiento. Para analizar las hiptesis propuestas este tipo de variable reposaremos la investigacin experimentar mediante el proceso de recopilacin y anlisis bibliogrfico, junto con los datos experimentales que se recopilaran, para dar una definicin ms amplia que sus definiciones bsicas ya aprendidas, y de esa forma tener en claro como es el comportamiento de la velocidad instantnea y la aceleracin en un momento he instante determinado para unas condiciones generales y evidentemente constantes.

MARCO TERICO.3

La mecnica trata las relaciones entre fuerza, materia y movimiento; nos disponemos a analizar los mtodos matemticos que describen el movimiento. Esta parte de la mecnica recibe el nombre de cinemtica. Las siguientes son consideraciones que fundamentan dicho estudio: El movimiento puede definirse como un cambio continuo de posicin. En el movimiento real de un cuerpo extenso, los distintos puntos del mismo se mueven siguiendo trayectorias diferentes, pero consideraremos en principio una descripcin del movimiento en funcin de un punto simple. Tal modelo es adecuado siempre y cuando no exista rotacin ni complicaciones similares, o cuando el cuerpo es suficientemente pequeo como para poder ser considerado como un punto respecto al sistema de referencia. El movimiento ms sencillo que puede describirse es el de un punto en lnea recta, la cual haremos coincidir con un eje de coordenadas. Desplazamiento, velocidad y aceleracin Para comprender como se mueven los objetos cuando actan en ellos fuerzas y momentos de rotacin externos no equilibrados, es importante configurar exactas imgenes fsicas y matemticas del desplazamiento, la velocidad y la aceleracin, comprender las relaciones entre estas tres cantidades. En el proceso se imaginar un sistema que comprende tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares y un pequeo cuerpo en movimiento, que en el curso del tiempo, describe alguna clase de trayectoria en el espacio de coordenadas. El principio, no se tendr inters en las fuerzas que provoca este movimiento, ni en la relacin entre estas causas fsicas y la trayectoria resultante. En vez de ello, se supondr que se conoce una ecuacin de movimiento que puede resolverse para dar informacin explcita en todo momento acerca de la posicin, la velocidad y la aceleracin. El desplazamiento de un objeto que se mueve sobre el eje x graficado en funcin del tiempo. La cantidad x/t representa la velocidad media en el intervalo

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de tiempo t, mientras que el lmite de esta cantidad cuando t tiende a cero, que es la derivada dx/dt, representa la velocidad instantnea en el tiempo t.

La velocidad media durante un intervalo de tiempo pude obtenerse determinado la distancia que recorre la partcula en ese intervalo, y observando que

Es claro que es la tangente del ngulo , por lo que representa tambin la pendiente de la secante PQ que une los dos puntos de la curva que corresponde al tiempo t y al desplazamiento x + . Ahora podr definirse la velocidad instantnea vx asociada a un instante t y el desplazamiento correspondiente x, como el lmite de cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Pero esto es precisamente la definicin de la derivada de x con respecto a t; entonces,

La velocidad instantnea puede considerarse como la pendiente de la tangente en P. Es claro que conforme t y x tienden a cero en el lmite, la pendiente de la secante PQ se aproxima a la pendiente de la tangente a la curva en P. Fcilmente se demuestra que si la velocidad instantnea es constante, entonces la velocidad media un intervalo de tiempo es igual a la velocidad instantnea. Si la velocidad instantnea no fuese constante, entonces la velocidad depender del intervalo tiempo escogido y, en general, no ser igual a la velocidad instantnea al principio o al final del intervalo. Tambin se puede hablar de la aceleracin media x durante cierto intervalo, como el cambio en la velocidad instantnea que experimenta la partcula durante aqul, dividido entre la duracin del mismo, entonces,

Como antes, la aceleracin instantnea ax asociada al tiempo t se considera como el lmite de ax conforme el intervalo tiende a cero, es decir, como la derivada de vx con respecto a t, o bien en vista de (2.1.2), como la segunda derivada de x con respecto a t:5

En consecuencia, se puede decir que la aceleracin instantnea es la rapidez de variacin de la velocidad instantnea.

Se ver que esta relacin sirve para encontrar el desplazamiento en trminos de la velocidad, o viceversa. Velocidad promedio, instantnea y rapidez. La velocidad promedio de una partcula se define como el cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo total que lleva viajar esa distancia. Distancia total, velocidad promedio y tiempo total de la rapidez promedio, igual que la velocidad, tambin es metros por segundo, sin embargo, a diferencia de la velocidad promedio, la rapidez promedio no tiene direccin, por lo tanto no lleva signo algebraico. Conocer la velocidad promedio de una partcula no brinda ninguna informacin acerca de los detalles del viaje. Aceleracin instantnea Cuando La velocidad de un objeto cambia con el tiempo, se dice que la partcula est acelerando. Por ejemplo: La velocidad de un automvil aumentar cuando usted "le pise el acelerador" y disminuir cuando aplique los frenos. Sin embargo, es necesaria una definicin ms precisa de aceleracin: La aceleracin promedio de la partcula en el intervalo de tiempo t = tf ti se define como el cociente v/ t, donde v = vf-vi es el cambio de la velocidad en este intervalo de tiempo:

La aceleracin tiene dimensiones de longitud dividida por (tiempo)2, o L/T2. Algunas de las unidades comunes de aceleracin son metros por segundo por segundo (m/s2) y pies por segundo por segundo (pies/s2). En algunas situaciones el valor de la aceleracin promedio puede ser diferente sobre intervalos de tiempo distintos. Por ese motivo, es til definir la aceleracin instantnea como el lmite de6

la aceleracin promedio cuando t se acerca a cero. Este concepto es similar a la definicin de velocidad instantnea estudiado, la aceleracin instantnea ser:

Es decir, la aceleracin instantnea es igual a la derivada de la velocidad respecto del tiempo, la cual por definicin. Se puede interpretar la derivada de la velocidad respecto del tiempo como la tasa de cambio de la velocidad. Si a es positiva, la aceleracin est en la direccin x positiva, pero, si a es negativa indica que la aceleracin est en la direccin x negativa. Puesto que v = dx/dt, la aceleracin tambin puede escribirse:

Es decir, en un momento unidimensional, la aceleracin es igual a la segunda derivada de la coordenada x en relacin con el tiempo. VELOCIDAD INSTANTNEA Y RAPIDEZ Poder definir la velocidad de una partcula en un instante particular del tiempo, en lugar de slo un intervalo de tiempo, la velocidad de una partcula en cualquier instante de tiempo - en otras palabras, en algn punto sobre una grfica espacio - tiempo - recibe el nombre de velocidad instantnea. Este concepto tiene una importancia especial cuando la velocidad promedio en diferentes intervalos de tiempo no es constante. Movimiento unidimensional con aceleracin constante Si la aceleracin de un objeto vara con el tiempo, el movimiento puede ser muy difcil de analizar. Sin embargo, un tipo muy comn y simple de movimiento unidimensional ocurre cuando la aceleracin es constante o uniforme. Cuando la aceleracin es constante, la aceleracin promedio es igual a la aceleracin instantnea, en consecuencia, la velocidad aumenta o disminuye a la misma tasa durante todo el movimiento. Si en la ecuacin se reemplaza por a, se obtiene:

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Por conveniencia se deja ti = 0 y t

sea cualquier tiempo arbitrario t. Adems, se

deja que vi = v0 (, (la velocidad inicial en t = 0) y v = v (la velocidad en cualquier tiempo arbitrario t). Con esta notacin, se puede expresar la aceleracin como:

o v = vo + at (para a constante).

METODOLOGIA

Materiales y equipos utilizados.8

Rueda de Maxwell. Regla graduada en milmetro. Cronometro. Soporte con dos varilla en paralelo de 70 cm de longitud.

Prctica I: Velocidad Instantnea.L A20 cm

C B1

40 cm

B B2 B3

A 1 A2 A3 1/3 L

2/3 L

1. Se considero el esquema anterior dividindose en tramo en AC y en BC en cuatro parte iguales cada uno.2. Se midi los espacios AC, A1C, A2C, A3C, CB, CB3, CB2, CB1.

3. Se dejo soltar la rueda del punto A en todas las mediciones y se midi el tiempo en que tardo en recorrer los espacios medidos. Vase tabla de resultados N 01 comportamiento de velocidad instantnea. (pag #10).

Practica II. Aceleracin.1. Usando el esquema de la practica anterior se dividi el espacio a recorre en puntos similares a 10, 20, 30 y 40 cm del punto A.

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2. Se dejo soltar la rueda siempre desde el punto A midiendo el tiempo que

demora en recorrer los espacios AA1, AA2, AA3, AA4. Vea la tabla de resultados N 02 aceleracin. (pag# 11).

Resultados.

Tabla de de resultados # 01. Velocidad instantnea.10

Tramo AC A1C A2C A3C CB CB3 CB2 CB1

X (Cm) 21,3 21,3 14,2 7,1 42,6 31,8 21,2 10,6

1 11,24 5,9 2,58 1 9,84 8,56 6,33 3,79

Tiempo (seg) 2 3 11,7 11,77 5,4 5,34 2,35 2,47 0,87 1,13 10,01 10,16 8,39 8,49 6,22 6,28 3,81 3,91

Tp 11,57 5,55 2,47 1,00 10,00 8,48 6,28 3,84

X/T Cm/seg 1,841 3,840 5,757 7,100 4,259 3,750 3,378 2,763

Grafica relacin tiempo - velocidad para el tramo AC.

Utilizando la formula de velocidad instantnea podemos determinar que el valor de dicha velocidad para el punto C en la relacin AC de t=0 es de 1.84 cm/seg. Grafica relacin tiempo - velocidad para el tramo CB.

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Utilizando la formula de velocidad instantnea podemos determinar que el valor de dicha velocidad para el punto C en la relacin CB para t=0 es de 4.25 cm/seg. Tabla de de resultados # 02. Aceleracin (a). X (Cm) 10 20 30 40 Tiempo (seg) 2 3 4,81 5,5 8,31 9,84 12,34 10,83 13,59 14,44 a-mov Cm/seg 1,282 0,988 0,886 0,780

Tramo AA1 AA2 AA3 AA4

1 6,45 8,84 11,75 14,94

Tp 5,59 9,00 11,64 14,32

Ti (seg) 2,793 4,498 5,820 7,162

Vi Cm/seg 3,580 4,446 5,155 5,585

Grafica relacin tiempo - velocidad en determinacin de la aceleracin.

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Cada instante, o sea en cada punto de la trayectoria, queda definido un vector velocidad que, en general, cambia tanto en mdulo como en direccin al pasar de un punto a otro de la trayectoria. La direccin de la velocidad cambiar debido a que la velocidad es tangente a la trayectoria y sta, En la grfica se representan los vectores velocidad correspondientes a los instantes t y t+t, cuando la rueda pasa por los puntos 1 y 2, respectivamente. El cambio vectorial en la velocidad del objeto (rueda) durante ese intervalo de tiempo est indicado por v, Se definiendo a la aceleracin media del objeto, en el intervalo de tiempo t, como el cociente: Que es un vector paralelo a v y depender de la duracin del intervalo de tiempo t considerado. La aceleracin instantnea se la define como el lmite al que tiende el cociente incremental v/t cuando t0. Puesto que la velocidad instantnea v a su vez es la derivada del vector posicin r respecto al tiempo, la aceleracin es la derivada segunda de la posicin con respecto del tiempo.

Conclusiones.13

Inicialmente se supone que el objeto del estudio est limitado a moverse slo a lo largo del eje x, entonces se puede describir su posicin en cualquier instante t por medio de la distancia x entre el origen y la rueda, como hay un valor bien definido de x asociado a cada valor t del tiempo, x es una funcin de t. Se puede considerar que la velocidad instantnea Vx es la rapidez de variacin del desplazamiento. Para considerarse o escriben expresiones para la posicin de cada rueda en cada parte del tramo como una funcin del tiempo. Es conveniente elegir el origen en la posicin del anuncio y tomar t = 0 como el tiempo en el que la rueda empieza a moverse. En ese instante se puede considerar que la rueda ya ha recorrido una distancia de 60 cm (longitud total del tramo) debido a que viaja una rapidez aparentemente constante gracias a la inclinacin del tramo en cuestin en cm/s. De tal modo, la posicin inicial de la rueda nos indica que es de 0=60 cm

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