“influencias de las corrientes de segunda clase en

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICA Y MATEMÁTICAS

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE FÍSICA

“INFLUENCIAS DE LAS CORRIENTES DE

SEGUNDA CLASE EN INTERACCIÓNES DE

NEUTRINOS CON NUCLEONES”

INFORME FINAL DE PRACTICA PRE PROFESIONAL

PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE

LICENCIADO EN FÍSICA

AUTOR :

Br. Jaime Ulices Romero Menacho

ASESOR :

Dr. Antonio I. Rivasplata Mendoza

TRUJILLO-PERÚ

2014

Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT

Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-CompartirIgual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/

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JURADO CALIFICADOR

Mg. Oscar Morillo Alva

Presidente

Mg. Ricardo Gil Ramírez

Secretario

Dr. Antonio Rivasplata Mendoza

Vocal



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A mis queridos padres Hilda y Ulices



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AGRADECIMIENTOS

A Dios primero que nada.

Al asesor Dr. Antonio I. Rivasplata Mendoza del laboratorio de Física Teórica – UNT

por las valiosas discusiones que llevaron a la culminación de esta tesis.

A todos los profesores de la Escuela de Física de la Facultad de Ciencias Físicas y

Matemáticas.

A mis compañeros: Denis Manuel Abanto Gonzales, Oswaldo Juver Acosta Rebaza,

José Carlos Albán Palacios, Jorge Alejandro Alfaro Pinedo, Silvino Altamirano

Saldaña, Marino Johony Angulo García, Javier Alfonso Angulo Vega, Tito Milton

Armas Quezada, Wilson Aníbal Arqueros Sánchez, Pedro Paul Avalos Lázaro, Gilmer

Rafael Avalos Sigüenza, Jorge Luis Benites Rengifo, Víctor Manuel Bobadilla Lamg,

Ramos Alberto Bocanegra Ramos, José Luis Cárcamo Silva, Ezaine Ramiro Carranza

Rengifo, Julia Rosa Carranza Vargas, Noé Artemio Carrera Trujillo, Francisco Alcides

Casahuaman Crispín, Enrique Criste Castañeda Sebastián, Asunción Yonel Castillo

Namoc, José Alberto Castillo Sánchez, Robert Edwin Castro Medina, Purificación

Cerna Flores, Segundo Manuel Chávez Pinedo, Manuel Avelino Condormango Solano,

Aladino Cubas Tinoco, Jorge Hernán Dávalos Alvarado, Marcial Fernando Díaz

Figueroa, Samuel Alfonso Díaz Jara, Roberto Javier Diego Zavaleta, Jorge Enrique

Domínguez Morillo, Aldo Estrada Posada, José Oswaldo Goicochea Ledesma, Luis

Sánchez Goicochea Saldaña, Oswaldo Efraín Guarniz Chávez, Jorge Luis Hernández

Caro, Andrés Elías Horna Abril, Reenaty Amanda Huatay Enriquez, Arístides Martin

Ibáñez Ulloa, Rider Jaimes Reátegui, Vladimiro Darío Jara Hidalgo, Juan Javier

Lizárraga Gutiérrez, Tomas Temistocles López Bautista, Elsi Violeta Mejía Uriarte,



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Agustín Roberto Mendoza Alfaro, Nancy Dora Neyra Olguín, Percy Enry Paredes

Guevara, Wilder Teófilo Peláez López, José Martin Peña Vinces, Adela Aurora Pérez

Carreño, Yvone Esther Pérez Sanjinez, Carlos Plascencia Medina, Sixto Ricardo Prado

Gardini, José Fernando Rabanal Muñoz, Arístides Reyes Vásquez, Víctor Manuel Rojas

Avalos, Edmer Hohny Rojas Moreno, Denis Roldan Chafloque, Jaime Raúl Romero

Cruz, Antonio William Rosas Obeso, Juan Carlos Ruiz Aredo, Walter Ismael

Sagastegui Lescano, Edmundo Sánchez Quito, Luis Enrique Sánchez Romero, Roberto

Ysacc Sato Berru, Jorge Luis Seminario Quezada, Alfonso Hernán Siccha Reyna,

Willmans Nolberto Ticlla Mostacero, Ausberto Wilson Urquiaga Vásquez, Augusto

Vásquez Navarro, Guillermo Verastegui Peña, Ronald Iván Vereau Álvarez, José Luis

Vilcamango Medina, Carlos Alberto Zavaleta Caballero, Carlos Agustín Zavaleta

Salvatierra, Luis Alfredo Zelada Abanto, Jorge Luis Zúñiga Fernández, Yoni Walter

Milla Gonzales, por los gratos momentos en nuestra vida universitaria.



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RESUMEN

En el presente trabajo se ha estudiado procesos semileptónicos, en particular de aquellos

que describen el decaimiento de nucleones mediante la emisión de leptones. Se ha

hecho una reseña histórica del problema hasta llegar a las Corrientes de Segunda Clase

(CSC).

Asimismo, se ha calculado la amplitud del decaimiento de neutrones en protones y

leptones, y su cuadrado, del que depende la sección eficaz diferencial y total del

proceso. Las magnitudes calculadas han sido expresadas en función de la polarización

de los nucleones iniciales y finales.



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ABSTRACT

The present work studies semileptónicos processes, particularly those describing the

nucleon decay by emitting leptons. It has become a historical overview of the problem

up to the Second Class Currents (CSC).

Furthermore, we calculated the amplitude of the decay of neutrons into protons and

leptons, and its square, to which the differential and total cross section of the process.

The calculated values have been expressed in terms of the polarization of the initial and

final nucleons.



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ÍNDICE

Pág

JURADO CALIFICADOR

DEDICATORIA ......................................................................................................... i

ARADECIMIENTO .................................................................................................. ii

RESUMEN ............................................................................................................... iv

ABSTRACT ............................................................................................................... v

CAPÍTULO I: INTRODUCCIÓN.............................................................................. 1

CAPÍTULO II: HAMILTONIANO DE PROCESOS ................................................ 2

SEMILEPTÓNICOS .................................................................................................. 3

2.1. HAMILTONIANO DE LA INTERACCIÓN DÉBIL ...................................... 3

2.2. FÓRMULA GENERAL PARA LAS CORRIENTES HADRÓNICAS

CARGADAS DÉBILES ................................................................................... 9

2.3. EL PROBLEMA DE LAS CORRIENTES DE SEGUNDA CLASE .......... 13

CAPÍTULO III: SECCIÓN EFICAZ DIFERENCIAL DE LA DISPERSIÓN DE

NEUTRINOS EN NUCLEONES ............................................................................ 19

3.1. ELEMENTOS DE MATRIZ DE LA DISPERSIÓN CUASIELÁSTICA

DE NEUTRINOS EN NUCLEONES .......................................................... 19

3.1.1. CÁLCULO DEL TENSOR LEPTÓNICO ................................................... 21

3.1.2. CÁLCULO DEL TENSOR HADRÓNICO ................................................. 22

3.1.3. CÁLCULO DEL CUADRADO DEL ELEMENTO DE MATRIZ ............. 25

3.2. CINEMÁTICA DE LOS PROCESOS DE CAPTURA DE

NEUTRINOS POR NUCLEONES A BAJAS ENERGÍAS ...................... 28

CAPÍTULO IV: CONCLUSIONES ..................................................... 33

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................... 34



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CAPÍTULO I:

INTRODUCCIÓN

El diseño de un modelo que permita entender las interacciones electromagnética y débil

como dos distintas manifestaciones de una interacción más fundamental, la electrodébil,

constituyó un gran paso en el camino de la unificación de todas las interacciones entre

partículas elementales, conocidas hasta la fecha.

Partiendo de tres principios fundamentales: la invariancia local de calibre, la ruptura

espontánea de la simetría y la condición de renormalización Weinberg [1, 2, 3], Salam

[4, 5] y Glashow [6, 7, 8] lograron crear una hermosa teoría, conocida actualmente bajo

el nombre de “modelo estándar” o “modelo de WSG”, con ayuda de la cual no sólo

fueron explicados muchos de los resultados experimentales existentes, sino también se

hicieron muchas importantes predicciones físicas.

Muchas de estas predicciones han sido brillantemente verificadas en los experimentos.

En 1973 se observaron por primera vez interacciones débiles de las corrientes neutras, y

en 1983 se descubrieron los bosones débiles W y Z , que intervienen en la teoría

(conjuntamente con el fotón) como portadores de la interacción. Pero, al mismo

tiempo, algunas consecuencias de la teoría aún no han sido verificadas

experimentalmente. Hasta el momento no se ha verificado la existencia real, en la

naturaleza, de las partículas de Higgs. Además, queda por verificar los valores

predichos de los momentos anómalos de los fermiones [9].

Adicionalmente, la teoría estándar ha dejado sin respuesta un conjunto de importantes

cuestiones, entre las cuales ocupan un lugar importante problemas como la masa del

neutrino y las denominadas corrientes de segunda clase (CSC), según la clasificación de



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Weinberg [10]. En el primer caso la teoría permite la participación de neutrinos sin

masa, como neutrinos masivos en las interacciones, aunque en la versión mínima la

masa de esta partícula se toma como nula [11].

En lo referente a las corrientes de segunda clases, en el modelo de WSG usualmente se

las considera iguales a cero sobre la base de diferentes hipótesis (tales como las

hipótesis de la conservación de la corriente vectorial, de la invariancia isotópica y de la

invariancia T). Es indispensable subrayar que ninguno de los experimentos realizados

hasta el momento ha dado una respuesta completa al problema de la existencia de las

CSC en la naturaleza.

Por eso es de actualidad la búsqueda teórica de efectos provocados tanto por la masa no

nula del neutrino, cuanto por la existencia de las CSC en la naturaleza, que puedan ser

observados en el experimento.

El problema de las CSC y su posible influencia en la evolución de procesos

semileptónicos constituye el tema de la presente tesis. Las CSC se introducen en la

teoría fenomenológicamente (Con ayuda de los denominados “factores de forma”) y se

estudia su aporte en las distintas características de los mencionados procesos. Se verá

que en algunos casos el aporte de las CSC es considerable.

La actual teoría de partículas elementales no prohíbe ni confirma la existencia de las

CSC. Sin embargo, la mayoría de los cálculos teóricos referentes a procesos en los que

participan hadrones se hacen considerando que tales corrientes no existen (Para lo cual

se recurre a diversas hipótesis, no todas ellas verificadas experimentalmente). Y si bien

es cierto que hasta ahora su coincidencia con los resultados experimentales es aceptable,

el mejoramiento de la precisión de las mediciones puede mostrar en el futuro

considerable divergencia entre la teoría y el experimento.

Por tal razón, en el presente trabajo se ha hecho un estudio del proceso

( ) ( ) ( ) ( )

para deducir de las particularidades de los procesos semileptónicos.



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CAPÍTULO II

HAMILTONIANO DE PROCESOS SEMILEPTÓNICOS

2.1. HAMILTONIANO DE LA INTERACCIÓN DÉBIL

El primer hamiltoniano de la interacción débil fue propuesto por Fermi [20], en

1934, como parte fundamental de la teoría del decaimiento . Por analogía con la

electrodinámica, se lo escribió como un producto de dos expresiones vectoriales

tetradimensionales, denominadas corrientes (nucleónica y leptónica). Este

hamiltoniano tiene la forma

c.h.2

enp

FW

GH (2.1)

donde 0 , “c. h.” representa la conjugada hermítica del primer término y

FG es la constante de interacción, denominada con el nombre de Enrico Fermi.

En el sistema natural de unidades ( 11 c, ) la constante de Fermi

2510031 pF Mx,G , con la masa del protón GeV,M p 9380 .

Por su construcción el hamiltoniano de Fermi WH es invariante con respecto de las

transformaciones del grupo propio de Lorentz y de la inversión del espacio. Con

su ayuda se logró explicar las propiedades generales de todos los procesos débiles

conocidos hasta ese momento (el decaimiento de electrones y positrones, la

captura electrónica y otros).



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En 1936 Gamow y Tellier desarrollaron la idea de Fermi y propusieron un método

más general para construir el hamiltoniano del decaimiento , lineal sobre todos

los campos y sus adjuntos y que no contiene las derivadas de dichos campos

h.c.ˆˆ2

j

jenjpjF

W OOCG

H (2.2)

donde jO representa las cinco posibles combinaciones de matrices : escalar (

S ), vectorial (V ), tensorial (T ), seudovectorial ( A) y seudoescalar ( P ). En

consecuencia jO es igual a 55 ,,,,I . En lo referente a las constantes

jC se puede decir que, en general (si no se exige la invariancia con respecto a la

inversión del tiempo), pueden ser magnitudes complejas que se definen en el

experimento.

Es necesario tener en cuenta que, en caso de decaimiento de un nucleón no

relativista, cuando el momento transferido q es pequeño, el término con PO ,

que responde al producto de las corrientes seudoescalares, puede ser despreciado.

Después de que Wu y su grupo [21] verificó y corroboró la hipótesis de Lee y

Yang de la violación de la paridad espacial en los procesos de decaimiento los

físicos llegaron a la conclusión de que el hamiltoniano WH debe ser invariante

con respecto a la inversión del espacio. En consecuencia, el hamiltoniano también

debe contener una parte seudoescalar, en otras palabras, debe tener la forma

h.c.ˆˆ2

5'

jjjjenjp

FW CCOO

GH (2.3)

como jC , las constantes 'jC pueden ser complejas, en el caso general, y se

determinan en el experimento.



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Al estudiar la polarización de los electrones emitidos en el decaimiento y otras

características que se miden en los experimentos se estableció que las constantes

de los términos tensorial y escalar del hamiltoniano son muy pequeñas (Es verdad

que en ningún experimento se ha demostrado que sean iguales a cero [24]). Por

eso, como regla general, estos términos se desechan del hamiltoniano y éste se

escribe en la forma:

h.c.2

55 j

enpF

W IIG

H (2.4)

Aquí el parámetro caracteriza la relación entre las intensidades de la parte

vectorial y seudovectorial de la corriente hadrónica y representa lo mismo para

la corriente leptónica. Para los neutrinos y antineutrinos sin masa toma los

valores 1 y 1 , y sus helicidades son iguales a 1 y 1 .

La teoría V–A de la interacción débil fue generalizada independientemente por

Feynman y Gell Mann, por un lado, y por Sudarshan y Marshak, por otro.

Después del aporte de Cabbibo todos los procesos débiles cargados pueden ser

descritos sólo con la ayuda de un hamiltoniano efectivo en forma de un producto

corriente por corriente:

JJ*

2F

W

GH

en el cual cc cossenJ J lJ ( c es el ángulo de Cabbibo).

En la expresión para la corriente total, el término l representa la corriente

leptónica, J es la corriente hadrónica que conserva la extrañeza y J , la corriente

hadrónica que no la conserva. Todas tienen una estructura V–A:

...11 55

eel

., AVAVJ JJJ



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Las corrientes hadrónicas pueden ser expresadas a través de los campos de los

quarks s,d,c,u (Vea [25 – 27]). Este esquema fue propuesto en 1970 por

Glashow, Illiopulos y Maiani (Se le conoce como modelo GIM). Los campos de

los quarks sd y entran en las corrientes de Cabbibo en forma de las siguientes

combinaciones [7]:

cc

cc

sendss

sensdd

cos'

cos'

En consecuencia, la corriente hadrónica cargada adopta la forma:

'.1'1 55 scdu lJ

A medida que la teoría se desarrollaba se difundía más la opinión de que el

hamiltoniano del tipo “corriente por corriente” constituye una aproximación del

verdadero hamiltoniano a bajas energías [28]. Además, como se hace notar en

[29], el modelo aproximado conduce a la irrenormalizabilidad, las correcciones

radiativas infinitas y las divergencias. Pero también, con este hamiltoniano se

obtienen buenos resultados sólo en la primera aproximación de la teoría de

perturbaciones sobre la constante de enlace débil [26].

La culminación del desarrollo de la teoría de la interacciones débiles lo constituye

el modelo propuesto algo más de cuarenta años atrás por Weinberg, Salam y

Glashow (Vea [1 – 8]). Este modelo se basa en los principios de invariancia local

de calibre y de ruptura espontánea de la simetría. El primero nos conduce a la

aparición de las partículas intermediarias, los bosones ZW,W y, los que

desempeñan el papel de portadores de la interacción débil. Y el segundo es el

responsable de que, en un principio sin masa, las partículas adquieran masa (Con

excepción del neutrino y antineutrino).

Como grupo de calibre del modelo WSG interviene el producto directo de los

grupos 2SU y 1U ( 12 USU ), en correspondencia con el cual en la



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teoría se introducen campos de calibre: el isotriplete de campos de Yang Mills sin

masa A y el campo isosinglete de Maxwell B . En lo referente a su masa, las

partículas vectoriales la adquieren por la interacción con el campo escalar de

Higgs como resultado de la ruptura espontánea de la simetría.

Los campos de las partículas verdaderas (físicas) se expresan como

combinaciones de los campos introducidos anteriormente. A los bosones cargados

les corresponde una combinación de los campos 21 y AA , mientras que el campo

3A se combina con el campo B para obtener los campos del fotón y del bosón

neutro 0Z . Es decir,

,2/

,2/

21

21

iAAW

iAAW

.cos

,cos3

30

WW

WW

senAB

AsenBZ

donde W es el denominado ángulo de Weinberg.

El hamiltoniano de interacción de las corrientes cargadas tiene la forma:

,112

552/3 eWeW

gWH

y los hamiltonianos que responden a las corrientes neutras y electromagnéticas

son descritos por la fórmulas:

,114'2

155

222 eseneZgg WZH

Aeeseng WH



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El modelo WSG reúne la interacción débil con la electromagnética, a pesar de las

considerables diferencias entre sus magnitudes observables. El modelo las

considera como dos manifestaciones de la más general interacción electrodébil.

Es natural que, de acuerdo con el principio de correspondencia, el modelo de

WSG debe reproducir los resultados experimentales tanto de la electrodinámica,

como del esquema de las interacciones débiles de Feynman – Gell Mann

(Esquema V – A). Por eso, además de los principios que constituyen el

fundamento, se postula la hipótesis de que los leptones se unen en isodobletes de

mano izquierda e isosingletes de mano derecha:

., R

e

LeR

eL

Sobre la base del modelo de WSG se han hecho muchas predicciones (Los

bosones intermediarios, las corrientes débiles neutras y otros), que después fueron

brillantemente ratificadas en el experimento. Las corrientes débiles neutras fueron

descubiertas en 1973 y una década después (En 1983) los experimentadores

descubrieron los bosones intermediarios ZW y , después de lo cual el modelo fue

reconocido por todos.

Sin embargo, el modelo WSG no esta libre de defectos. En primer lugar, algunas

de sus predicciones hasta ahora no han tenido una ratificación experimental [29,

31]. En segundo lugar, no es unívoco el mecanismo de aparición de las masas

(Mecanismo de Higgs). Es que en su forma más sencilla (Cuando en la teoría se

introduce sólo un campo isodoblete de campos escalares), después de aplicar el

procedimiento de ruptura espontánea de la simetría queda un bosón de Higgs.

Pero si se emplea más de un isodoblete (Que no está prohibido por el esquema

estándar 12 USU L ) se obtiene como resultado toda una serie de partículas

de Higgs, cuyas masas es imposible predecir por la teoría.



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Otros problemas no resueltos lo constituyen la cuestión de la masa del neutrino, la

posibilidad de que existan las oscilaciones del neutrino, las corrientes de segunda

clase y otros.

2.2. FÓRMULA GENERAL PARA LAS CORRIENTES HADRÓNICAS

CARGADAS DÉBILES

De acuerdo con la hipótesis vectorial–axial, la corriente hadrónica cargada débil

)( J puede ser expresada como la suma de una parte vectorial V y otra axial

A , cuyas fórmulas pueden ser fácilmente obtenidas sobre la base de hipótesis

generales, en particular, la invariancia de la teoría con respecto del grupo de

Lorentz (Vea, por ejemplo, 17 ).

La corriente vectorial puede ser expresada de la forma siguiente:

,,''' 'α pupppuNNppV pp VV

donde la matriz p,'pV es un cuadruvector y sólo depende de los momentos

lineales y las proyecciones del espín de las partículas.

Para definir la forma explícita de la matriz p,'pV hay que desarrollarla sobre

el sistema completo de las dieciséis matrices del álgebra de Dirac, lo cual nos da

55α ,' EDCBA IppV

Todos los coeficientes del desarrollo anterior depende del momento lineal de los

hadrones 'pp y y de todos sus posibles productos escalares. Además, A debe

ser un cuadruvector, B y C , tensores de segundo y tercer rango,

respectivamente, D , un seudotensor de segundo rango y E , un seudovector.

Todos pueden ser definidos empleando un raciocinio general.



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El coeficiente E , obviamente, debe ser igual a cero ya que es imposible

construir un seudovector no nulo empleando sólo los vectores p y 'p . A su vez,

el coeficiente A puede tener sólo la forma:

'21 papa A

Los coeficientes1a y

2a son cuadruescalares. En consecuencia, en el caso general

deben depender sólo de cuadruescalares obtenidos de los cuadruvectores p y 'p

. Por otra parte, con estos vectores se puede obtener solamente una magnitud

escalar 'pp , ya que los otros dos escalares 2p y

2'p son constantes

2222 '; fi MpMp . Por eso, los coeficientes 1a y

2a sólo pueden ser

funciones de 'pp .

La dependencia de 'pp puede ser expresada a través del cuadrado del impulso

transferido q . En efecto, de la definición de ppqq ' se infiere que

'2222 ppMMq if . Llegamos pues finalmente a deducir que los

coeficientes 1a y

2a son funciones sólo del impulso transferido.

Por su parte, el tensor B debe tener la siguiente forma:

'''' 54321 ppbppbppbppbgb B (2.5)

Donde, debido a los mismos fundamentos que en el caso del vector A , las

magnitudes ib son funciones sólo del cuadrado del impulso transferido 2q .

No es difícil mostrar que todos los términos del desarrollo (2.5), con excepción

del primero, se expresan sea a través de p , sea a través de 'p . Esto lo

podemos probar, por ejemplo, con el tercer sumando, el cual, en forma completa,

debe ser escrito como:

pupppu ''



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Como los espinores 'pu y pu satisfacen la ecuación de Dirac, en lugar de la

expresión anterior se puede escribir:

puppuM f '

En consecuencia, el tercer miembro del desarrollo (2.5) y, con él, los términos

análogos se pueden incluir en el vector A .

El tensor C lo expresaremos en la forma:

'''''''

''''

''

1098

765

4321

pppcpppcpppc

pppcpppcpppc

pppcpppcpgcpgc

C

(2.6)

Como en el caso precedente, se puede mostrar que todos los términos del

desarrollo (2.6), con excepción de los dos primeros, pueden ser incluidos en los

términos proporcionales a , p y 'p . Efectivamente, después de la

contracción con la matriz y de reagrupar los términos obtenidos, en el

desarrollo quedarán sólo las siguientes magnitudes:

,''y'',',',', pppppppppppppp

los cuales, con ayuda de la ecuación de Dirac, se pueden transformar así:

puMMppppupuppppu

puppuMMpuppppu

puMMppppupuppppu

puppuMMpuppppu

puMppupuppu

pupuMpuppu

fi

fi

fi

fi

f

i

''''''

,'''''

,''''

,'''

,'2'''

,''



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Está claro que el seudotensor D puede ser expresado mediante la forma:

.' ppdD

y, si se emplea la identidad ggg5 , se puede

demostrar que:

pppppppp ''''5 D .

En consecuencia, contiene sólo magnitudes proporcionales a , p y 'p .

En conclusión, en su forma más general la corriente vectorial tiene la forma:

,'' 23

22

21 puqfpqfpqfpuV

(2.7)

que puede ser reescrita en la forma equivalente:

,'''' 23

22

21 puqfqqfnqfpuV (2.8)

donde 'ppn .

Usualmente, la corriente hadrónica cargada V es expresada en una forma algo

diferente, a la cual se puede llegar con ayuda de la ecuación de Dirac. En efecto:

,''' pupppppupuqpu

lo cual, después de emplear la ecuación de Dirac, nos da:

.'' puMMngpupuqpu if (2.9)



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Por eso, el término de la fórmula (2.8), proporcional a punpu ' , puede ser

escrito como una combinación lineal de los términos puqpu ' y

pupu ' , y la corriente cargada adopta su forma final

.' 222

21 puqqFiqqFqFpuV S (2.10)

Con ayuda de un raciocinio análogo para la corriente axial se puede obtener la

siguiente expresión:

.' 5222 puqqiFqqFqFpuA PTA (2.11)

En conclusión, la corriente cargada de los hadrones J que intervienen en los

procesos semileptónicos, es definida por seis funciones del cuadrado del impulso

transferido. Con su ayuda se incluye la interacción fuerte de los nucleones de la

cual depende su estructura. Por eso estas funciones reciben el nombre de

factores de forma.

2.3. EL PROBLEMA DE LAS CORRIENTES DE SEGUNDA CLASE

En una transformación:

),exp( 2TiCG

constituida por el producto de una rotación en radianes alrededor del segundo

eje del espacio isoespinorial por una conjugación de la carga C , los términos de

la corriente hadrónica J se comportan de manera distinta. En la corriente

vectorial V los términos con los factores de forma1F y

2F no cambian de

signo (Tienen una paridad G positiva), mientras que el término con el factor SF

sí lo hace (Su paridadG es negativa). A su vez, en la corriente axial A los

términos con los coeficientesAF y

PF cambian de signo (Poseen paridadG

negativa) y el que tiene el coeficienteTF no lo cambia (EsG positivo).



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Por eso, siguiendo a Weinberg 10 , las corrientes hadrónicas son clasificadas en

Corrientes de Primera Clase (CPC) y Corrientes de Segunda Clase (CSC). Entre

las primeras se consideran los términos con1F ,

2F ,AF y

PF , y entre las últimas,

los términos con SF yTF .

La existencia real de las CSC crearía grandes dificultades a la teoría, en especial

al modelo de Weinberg – Salam (Sobre este aspecto se puede ver 4735 ). La

cuestión es que los factores de forma aparecen cuando las corrientes puntuales

son “moduladas” por la interacción fuerte que son invariantes con relación a las

rotaciones isotópicas y conservan la paridad de carga, es decir, garantizan una

paridad G definida. Por eso, la presencia de CSC en la teoría significaría, sea que

las corrientes puntuales de inicio no son invariantes con relación a la

transformaciónG , sea una ruptura de la invariancia isotópica de la interacción

fuerte 39 .

No es posible introducir corrientes puntuales de inicio sin determinada paridad

G empleando sólo un isodoblete de campos fermiónicos. En efecto, con la

ayuda del isodoblete npN , se puede expresar sólo las siguientes corrientes

puntuales

npv y .5npa

Éstas se obtienen como la suma de los dos primeros términos del isovector

,,, 321 vvvv

y tienen la forma:

.

22

2221

215

2121

iaaNiNa

ivvNiNv

No es difícil demostrar que en una transformación G estas corrientes se

comportan de la siguiente forma:

,' vv es decir, vGvG 1

y

,' aa o sea, aGaG 1



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Esto demuestra que las mencionadas corrientes poseen una determinada paridad

G : la corriente vectorial, positiva y la axial, negativa.

En consecuencia, para introducir corrientes puntuales de inicio que no tengan

una determinada paridad G es imprescindible contar, por lo menos, con dos

diferentes isomultipletes de campos fermiónicos, con los mismos números

cuánticos, excepto el espín. Por ejemplo 39 , en las teorías de calibre

12 USU se puede emplear los siguientes isodobletes:

sincos 21

1

1

nn

pN

y

.cossin 21

2

2

nn

pN

En este caso las corrientes vectoriales de inicio van a tener la forma:

i

ii NiNv ,21

que de manera desplegada se escribe así:

12212211 sencos npnpnpnpv .

En una transformación G , el primer sumando mantiene la paridad G y el

segundo, no.

De manera usual se actúa de otra manera: Recurriendo a diferentes hipótesis

generales, entre las cuales están la conservación de las corrientes vectoriales

(CCV), la invariancia isotópica y otras, las CSC se asumen iguales a cero.



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16

Por ejemplo, la hipótesis de que la corriente vectorial se conserva (CCV) lleva a

igualar a cero el coeficiente SF . Es que en el enfoque usual la parte vectorial de

la corriente débil V , su conjugada herméticaV y la corriente electromagnética

EV constituyen un único isotriplete. Y el aspecto central de la hipótesis es que

los factores de forma de cada uno de los miembros del isotriplete deben ser

idénticos. Por eso, partiendo de que el coeficiente SF para la corriente

electromagnética es igual a cero, se concluye que también para la corriente débil

el mencionado coeficiente se hace cero 29 .

No es difícil demostrar que el factor de forma SF en la corriente electromagnética

es igual a cero. En efecto, de la forma de la corriente para dos estados protónicos

p y 'p

,''exp 21 pqiFqFFpxppiV Se

se deduce que:

,0'' '21 pqqiFppqFppFpV S

e

o

.0' 2'

1 pqqiFqqFMMFpV Sppe

El primer sumando es igual a cero porque la masa de los estados inicial y final es

la misma, el segunda también es cero porque la matriz es antisimétrica. Por

eso, del hecho de que la cuadrudivergencia es cero se deduce que el coeficiente

SF también es cero.

Lamentablemente, los resultados de los experimentos ejecutados para verificar la

hipótesis de la CCV no responden de manera clara si el término escalar de la

corriente de segunda clase está presente o no. La precisión de las mediciones es



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17

insuficiente y, en el mejor de los casos, por ejemplo, en los experimentos de

decaimientoy de captura del muón 5048 , permite fijar límites como

1 pS MF ( pM , masa del protón).

La igualdad a cero del términoTF se logra sobre la base de las hipótesis de

invariancia isotópica e invariancia T de la corriente axial. La invarianciaT el

carácter real del mencionado factor de forma, al tiempo que la invariancia

isotópica implica queTT FF 17 .

El interés por las CSC ha crecido considerablemente en el último decenio en

relación con el descubrimiento de nuevos canales de decaimiento del leptón

(Vea, en particular, 5451 ). Sucede que en los experimentos de decaimiento

de esta partícula se ha logrado registrar que sólo el 93,5( 2,4) % va por los

canales exclusivos, mientras que el 6% restante queda sin registrar. Por eso

apareció la suposición de que el porcentaje que falta son decaimientos no

previstos en el enfoque usual. Entre estos procesos se ha indicado los

decaimientos provocados por corrientes de segunda clase: (Que va

por acción de la parte vectorial de la CSC) y (Causado tanto por la

parte axial, como por la parte vectorial de la CSC) 54 .

En los años 1986 – 1987 apareció una información de que la probabilidad

relativa del segundo de los mencionados procesos, establecida

experimentalmente, se encuentra entre 1,5 y 5,1 % 53,51 . Mas, los resultados

de los nuevos experimentos ejecutados en el dispositivo CELLO (Colisionador

ee de PETRA) indican que el límite superior de los decaimientos anómalos no

es mayor de 1% 56 .

Limitaciones parecidas dan los resultados preliminares del análisis del

decaimiento del leptón efectuado en el dispositivo ALEPH (Colisionador ee

de LEP) 57 , mientras que del estudios de los experimentos en ARGUS se



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18

deduce que la probabilidad relativa del canal es igual a

% 05,033,0 47 .

Concluyendo se puede decir que el estudio del decaimiento anómalo del leptón

no ha respondido de manera definida a la pregunta de si existen o no las CSC.

En lo concerniente al estudio teórico de estos decaimientos, prohibidos por el

modelo usual, se puede citar los trabajos 5847 .

Resultan de interés en la búsqueda de las CSC los procesos que van a altas

energías y elevados impulsos transferidos. Los términos condicionados por las

CSC son proporcionales al 4-impulso transferido, de modo que en caso de altos

valores de q , aquéllos podrían desempeñar un apreciable papel. Estas

investigaciones han sido llevadas a cabo. Por ejemplo, en el trabajo 61 se ha

analizado los efectos de las CSC en la dispersión cuasi elástica de neutrinos en

neutrones, y en 62 , en la escisión neutrínica del neutrón. Es más, en 64 se ha

establecido que el valor del factor de forma axial de las CSC no sobrepasa el

valor de 16,2

pM .

En la actualidad continúa la preparación de investigaciones experimentales de la

interacción de leptones con nucleones y núcleos polarizados 7569 . Estos

experimentos se llevarán a cabo en dispositivos más precisos, con etodologías

mejoradas, debido a lo cual aparece un estímulo adicional para la búsqueda

teórica de probables efectos de las CSC.



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19

CAPÍTULO III

SECCIÓN EFICAZ DIFERENCIAL DE LA DISPERSIÓN DE

NEUTRINOS EN NUCLEONES

3.1. ELEMENTOS DE MATRIZ DE LA DISPERSIÓN CUASIELÁSTICA DE

NEUTRINOS EN NUCLEONES

A los procesos de dispersión cuasi-elástica de neutrinos (antineutrinos) en

neutrones (protones) en la teoría cuántica de campos les corresponde el diagrama

de la figura 1.

p

n

Figura 1. Procesos de dispersión cuasi-elástica de neutrinos (antineutrinos) en

neutrones (protones)

Según las reglas de Feynman, los elementos de matriz de tales procesos se

expresan de la siguiente manera

./

222

22

JMq

MqqMGM

W

WWFfi

(3.1)

tiempo



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20

Aquí, FG es la constante de Fermi, WM representa la masa del bosón

intermediarioW y q , el impulso transferido en el proceso. A través de y J se

han representado las corrientes hadrónica y leptónica, las que tienen la forma:

)()1()'( 5 kuku y , AVJ

donde, V y A son las corrientes vectorial y axial, cuya fórmula se ha escrito en

el tercer parágrafo del capítulo precedente.

El parámetro η, presente en las corrientes leptónica y hadrónica, es igual a

)1(1 en caso de una dispersión de neutrinos (antineutrinos) en neutrones

(protones). Además, )'(kk es el 4-impulso de los leptones iniciales (finales),

razón por la cual

' kkq .

Debido a que la masa del bosón intermediario W es relativamente grande, el

segundo sumando del paréntesis de la fórmula (1) resulta despreciable para

energías de hasta cientos de GeV. Por eso, para calcular la sección eficaz

diferencial de los procesos de dispersión cuasi-elástica es suficiente emplear la

siguiente fórmula aproximada:

.2

22

2

J

Mq

MGM

W

WFfi

(3.2)

Por su parte, el cuadrado del elemento de matriz debe ser igual a

.2

JLCM fi (3.3)



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21

Aquí ,)/()2/( 22242WWF MqMGC mientras que L y J se denominan

tensores leptónico y hadrónico, respectivamente. Estas magnitudes se calculan

por separado.

3.1.1. CÁLCULO DEL TENSOR LEPTÓNICO

A través de L (el tensor leptónico) se ha representado el producto de la

corriente leptónica por su hermítica , la cual se expresa mediante la

fórmula:

)'()1()( 5 kuku

, (3.4)

con 1 , para 3,2,1 ; y 1 para 4 .

En consecuencia, el tensor leptónico va a tener la forma:

)()1()'()'()1()( 55 kukukukuL

, (3.5)

ó

)1()'()'()1()()( 55

kukukukuTrL (3.6)

Las expresiones subrayadas dentro del signo de la traza se denominan

operadores de proyección sobre un estado con impulso definido (operadores de

polarización). Para los fermiones tienen la forma [17]:

imkiE

ikuku

)(

2

)(1)()( 5

,

en la cual mes la masa de la partícula, k representa su 4-impulso y es el

seudovector de polarización.



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22

Para los neutrinos y antineutrinos sin masa sus operadores de proyección tienen

una forma más sencilla [17]

)(2

)(1)()( 5

kiE

kuku

,

mientras que para los operadores de polarización de los leptones resultantes,

cuyo espín no se tiene en cuenta, se expresan por la fórmula:

)(2

1)()( '

kiE

kuku .

Después de reemplazar en la fórmula (3.6) las expresiones para los operadores

de proyección de los neutrinos (antineutrinos) incidentes y de los electrones

(positrones) finales, y calcular las trazas, para el tensor leptónico se obtiene la

siguiente fórmula:

''' )'('

2

kkkkgkkkkEE

L . (3.7)

Aquí es el seudotensor totalmente antisimétrico de cuarto rango, cuyo

primer elemento ( 1234 ) es igual a 1 y los demás 1 ó -1, dependiendo del número

de transposiciones que hay que ejecutar para pasar de dicho elemento hasta el

primero.

3.1.2. CÁLCULO DEL TENSOR HADRÓNICO

El tensor hadrónico J está constituido por el producto de la corriente

hadrónica J por la hermítica J . Gracias a que la corriente J (lo mismo que la

hermítica J ) se expresa como la suma de la corriente vectorial ( V ) y la

corriente axial ( A ), el tensor hadrónico tendrá la forma:

AAAVVAVVJ



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23

Las corrientes V y A tienen una estructura análoga, en consecuencia todos los

sumandos de la fórmula precedente se calculan de la misma manera. Por eso, en

el presente parágrafo se incluye el cálculo completo del primero de ellos, al cual

lo representaremos por 1J .

Con ayuda de la ecuación de Dirac y de las propiedades de las matrices γ, la

corriente hadrónica V puede ser expresada en la forma:

)()'( 3'

21 pupfipfifpuV ,

y su hermítica

)()'( 3'

21 pupfipfifpuV .

En ambas expresiones, a través de )3,2,1( ifi se han expresado las siguientes

combinaciones de los factores de forma iF :

SS FFfFFfFMFf 2322211 ,,2 .

En consecuencia, 1J puede ser escrito en la forma:

)()'(

)'()(

3'

21

3'

211

pupfipfifpu

pupfipfifpuJ

lo que, a su vez, es igual a:

pfipfifpu

pupfipfifpupuTrJ

3'

21

3'

211

)'(

)'()()(.



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24

Por definición, los operadores de polarización de los nucleones iniciales y finales

tienen la siguiente forma (Vea, por ejemplo, [17]):

,2

)(1)()( 5 Mip

Ei

ipupu

i

MipEi

ipupu

f

'5

2

)(1)'()'( .

En consecuencia, el tensor 1J adoptará la forma:

pfipfifiMpi

pfipfifiMpiTrDJ

3'

21''

5

3'

2151

)()(1

)()(1

.

con 1)'4(

EED .

La multiplicación de todos los términos que se encuentran dentro de la traza se

ejecuta considerando las propiedades de anticonmutación de las matrices de γ.

Los términos obtenidos están constituidos por el producto de diferente número

de matrices γ, y su traza se calcula considerablemente fácil. Después de ejecutar

todas las operaciones llegaremos al siguiente resultado:

31

''

21''''

21

21

'

232321

21

''

22221

''

22331

221

1

)'()()(

)'(2

)'(2

)'(

ffpppppp

ffpppppp

fMpfMp

MppfffffMfpppp

MppffMfpp

MppffMfpp

MppfgEE

Jfi

El tensor hadrónico total tiene una expresión muy complicada por lo que no lo

incluimos en el texto. Subrayaremos solamente que en su expresión los factores

de forma de las CPC y CSC aparecen en forma de las siguientes combinaciones:



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25

PPTA

SS

FFgFFgFMFg

FFfFFfFMFf

23221

2322211

,,2

,,,2

3.1.3. CÁLCULO DEL CUADRADO DEL ELEMENTO DE MATRIZ

Después de multiplicar los tensores leptónico y hadrónico, para el cuadrado del

elemento de matriz se obtiene la siguiente fórmula:

.)'()'()'()'()()''()'(

)()''()'()''()'()(~

9876

543210

2

FFFFFFFFFF

kkkkkk

kkkkkkCM fi

donde 122242 ')/(2~

fiWWF EEEEMqMGC y las expresiones )9,,1i(i Fson funciones de los factores de forma y los productos escalares de los 4-

impulsos de las cuatro partículas. Estos coeficientes son iguales a

gf

Mggggg

Mfffffgf

MgggffMf

M

MgggffMf

M

MgMf

pkkppkkp

ppM

ppM

kkpppkkppkkp

ppMpp

kkpkkp

ppMpp

kkpkkp

ppppkk

11

2

32321

2

32321

2

1

2

1

22

22121

22

2

2

22

33131

22

3

2

22

1

22

10

)'')(()')('(

)'(

)'(.

.'')'')(()')('(2

)'(2)'(.

.')'')('(2

)'(2)'(.

.')')((2

)'()'()'(2

F



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26

;1

')'()'(2

11.')'()(')''(2

.

.'')'')(()')('(2

')'')('(22

')'')((22

)'(

)'(2)''(2

)'()'()'(2

)'()'()'(2

313

2

22

2

21213232

22

2

333131

2

2

1

2

1

2

21

2

2111

2

1

2

1

2

31

2

31

2

21

2

211

ggffM

ggffM

gffggffg

gfM

gfgffgM

gfMMgf

Mfggf

gfMMfgMgf

MfgMgf

pppkkp

kppkkppppk

MM

kkpppkkppkkp

Mkkpkkp

Mkkpkkp

pp

ppMpk

pppppk

ppppkk

F

;1

')()'(2

11.'')()(')'(2

.

.'')'')(()')('(2

')'')('(22

')')((22

)'(

)'(2)'(2

)'()'()(2

)'()'()'(2

313

2

22

2

21213232

22

2

333131

2

2

1

2

1

2

21

2

2111

2

1

2

1

2

31

2

31

2

21

2

212

ggffM

ggffM

gffggffg

gfM

gfgffgM

gfMMgf

Mfggf

gfMMfgMgf

MfgMgf

ppkpkp

pkkpkpppkp

MM

kkpppkkppkkp

Mkkpkkp

Mkkpkkp

pp

ppMkp

ppppkp

ppppkk

F



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27

;1

')()'(2

11.'')()(')'(2

.

.'')'')(()')('(2

')'')('(22

')')((22

)'(

)'(2)(2

)'()'()'(2

)'()'()'(2

212

2

33

2

31312323

33

2

222121

2

2

1

2

1

2

31

2

3111

2

1

2

1

2

21

2

21

2

31

2

313

ggffM

ggffM

gffggffg

gfM

gfgffgM

gfMMgf

Mfggf

gfMMgfMfg

MfgMgf

ppkpkp

pkkpkpppkp

MM

kkpppkkppkkp

Mkkpkkp

Mkkpkkp

pp

ppMkp

ppppkp

ppppkk

F

ggffM

ggffM

gffggffg

gfM

gfgffgM

gfMMgf

Mfggf

gfMMfgMgf

MfgMgf

pppkpk

pkkpkpppkp

MM

kkpppkkppkkp

Mkkpkkp

Mkkpkkp

pp

ppMkp

pppppk

ppppkk

313

2

22

2

31312323

33

2

222121

2

2

1

2

1

2

13

2

1311

2

1

2

1

2

12

2

12

2

13

2

134

1')''()'(2

11.'')()(')'(2

.

.'')'')(()')('(2

')'')('(22

')')((22

)'(

)'(2)'(2

)'()'()''(2

)'()'()'(2

F



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28

FggM

FffM

FFM

FgFf

gggfff

FgFf

gggfffgf

gggfffgfgfM

Mpp

Mpp

kkkppk

MMkp

MMpk

MM

MMkp

MMkk

P

T

P

P

21

2

1

2

1

2

1

2

22

2

2

211

321321

211

321321

2

1

2

1

321321

2

1

2

111

2

5

.)'(2

)'(2

')')(''(24

)'(2

)()()'(2

)()(22)(2

)()()'(22

F

FFM

FgFfgggf

FgFfgggf

gggfffgf

T

T

T

kkkppk

MMMkp

MMMkp

MMkk

22

2

2

21121

2

1

2

1

21131

2

1

2

1

321321

2

1

2

16

')')(''(24

2)'(2

2)(2

)()('2

F

FFM

FgFfgggf

gggfFgFf

gggfffgf

T

T

T

kkkppk

MMMpk

MpkMMkp

MMkk

222

2

21131

2

1

2

1

21

2

1

2

1211

321321

2

1

2

17

')')(''(24

2)'(2

2)''(2)(2

)()('2

F

FggM

FffM

FFM

FfFg

gggfffgf

FgFfgggfff

gggfffgfgfM

Mpp

Mpp

kkkppk

MMkp

MMpk

MMMMkp

MMkk

P

T

P

P

21

2

1

2

1

2

1

2

22

2

2

121

321321

2

1

2

1

211321321

321321

2

1

2

111

2

8

.)'(2

)'(2

')')(''(24

)'(2

)()(22)'(2

)()()(2

)()()'(22

F

gFFfMFMF

MMppppx

xkkkppk

T

2

1211

22

2

22

2

9

2)'(2)'(2

')')(''(22

F



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29

3.2. CINEMÁTICA DE LOS PROCESOS DE CAPTURA DE NEUTRINOS

POR NUCLEONES A BAJAS ENERGÍAS

Para calcular el cuadrado de los elementos de matriz y las secciones eficaces

diferenciales es imprescindible definir la cinemática de los probables

experimentos. En el caso de los procesos que están siendo estudiados en el

presente trabajo es más sencillo elegir el sistema de laboratorio, en el cual las

partículas del blanco se encuentran en reposo. Además, para simplificar los

cálculos es más cómodo tomar como eje z el sentido del impulso de las partículas

incidentes (Vea el dibujo 1).

En este sistema los impulsos de las partículas que intervienen en los procesos

analizados se expresan de la siguiente manera:

fiE,piE,k

iM,piE,k

pk

k

','''

,0, (3.8)

Para calcular los productos escalares, de los cuales dependen los elementos de

matriz y sus cuadrados, se emplea la ley de conservación del 4-momento

'' pkpk (3.9)

que puede ser escrito por separado para el impulso tridimensional y la energía:

fEEME

'

,'ppk

(3.10)

De la primera ecuación (3) se puede obtener la relación entre los ángulos θ y α,

que definen el sentido del movimiento de las partículas después de la

interacción. Estos ángulos ( '.arccos,'.arccos pkkk

se relacionan

entre si de la siguiente manera (Vea el dibujo 1):



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30

.'

cos'cos,sin

'

'sin

p

kk

p

k

Con ayuda de la ecuación (3) también se puede obtener la fórmula para la

energía de las partículas finales como funciones de la energía E de los neutrinos

incidentes y del ángulo de salida del leptón final.

Para altas energías ( GeV1E ) los leptones finales pueden, con un alto grado de

precisión, ser considerados sin masa ( 'Eme ). En tal caso 2'E' k

y las

energías de las partículas finales serán iguales a

,1

'

E

E para el leptón saliente

y

,1

1

ME f para el nucleón final.

Aquí M/E y 2/sin2 2 .

El cuadrado del impulso transferido 2q también se expresa a través de la energía

E y del ángulo y es igual a

12 22

Mq

Asimismo, los productos escalares entre los 4-impulsos de las partículas que

intervienen en la interacción pueden ser expresados como funciones de 2q y de

. Sus fórmulas son las siguientes:



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31

'.2/'.

'.'2/2/.

,2/'.,2/'.

2

22

222

kppk

pkpk

ppkk

q

qq

qMq

Después de reemplazar estos productos escalares en las fórmulas para los

coeficientes iF , se puede extraer de todos ellos el factor común 2/cosM4 22

y el elemento de matriz tomará la forma:

'''

''''''

''''~~2

98

765

43210

AAAAA

AAAAA

kk

kkkkkk

kkkkCM fi

Aquí 1

f2222

W22

F EE2/cos2MqMMG8C~~

.

Los coeficientes A sólo dependen, además de los factores de forma iF , del

ángulo de dispersión θ y de la energía de los neutrinos incidentes, y se expresan

mediante las fórmulas:

;2/tan/42

2 211

2112

22

1

2

1

2

1

22

1

2

1

MEgfgfMq

FFFg

g

q0

A

;

2/sec

2

2/tan/2

2

211

2

111

2

121

2

11

2112

EFgFf

M

qgFg

MFgFffEMgf

FgFF

T

Tr

T

1

A



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32

r

T

T

T

fEFgFf

M

qgFg

MFgFfEMgf

FgFF

/

2/sec

2

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21 TFFqgF

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CAPÍTULO IV

CONCLUSIONES

En el presente trabajo se ha formulado el hamiltoniano de los procesos semileptónicos,

en particular de aquellos que describen el decaimiento de nucleones mediante la emisión

de leptones. Para eso se ha hecho una reseña histórica del problema, la que ha incluido

las propuestas hechas en el desarrollo de esta área de la Ciencia, hasta llegar a las que

incluyen las Corrientes de Segunda Clase (CSC).

Asimismo, se ha calculado la amplitud de proceso de decaimiento de nucleones, en

particular, los neutrones, en otros nucleones, por ejemplo, protones, y leptones. Después

de ello se ha calculado el cuadrado de la mencionada amplitud, de la que depende la

sección eficaz diferencial y total del proceso.

Las magnitudes calculadas han sido expresadas en función de la polarización de los

nucleones iniciales y finales.



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“influencias de las corrientes de segunda clase en

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