6/11/2015 Infinitesimal ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal 1/6

InfinitesimalDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Un infinitesimal o infinitésimo se puede definir como una cantidad infinitamente pequeña, originalmente fundamentó ciertos razonamientosdel cálculo infinitesimal. En la crisis de los fundamentos matemáticos de principios del siglo XIX los infinitésimos fueron abandonados por losmatemáticos, aunque siguieron siendo tratados informalmente en las ciencias aplicadas, y se suelen considerar como números en la práctica.Sólo después de la segunda mitad del siglo XX apareció un enfoque totalmente riguroso de los números infinitesimales.

El análisis no estándar introducido en los años 1960 por Abraham Robinson es un enfoque axiomático y riguroso que permite introducirinfinitesimales (números hiperreales no nulos cuyo valor absoluto es más pequeño que cualquier número real estándar). Si bien los resultadosque pueden lograrse mediante el análisis no estándar pueden ser alcanzados por la teoría estándar de los números reales, existen muchasdemostraciones matemáticas y deducciones que son más simples y breves cuando se usan el análisis no estándar. El inverso multiplicativo deun infinitesimal es un número real no estándar ilimitado.

Índice

1 Introducción

2 Análisis estándar

2.1 Definición

2.2 Propiedades de los infinitésimos

2.3 Comparación de infinitésimos

2.4 Algunos Infinitésimos equivalentes

3 Análisis no estándar

4 Véase también

5 Referencias

5.1 Bibliografía

6/11/2015 Infinitesimal ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal 2/6

5.1 Bibliografía

Introducción

El cálculo infinitesimal fue propuesto inicialmente por Arquímedes. Luego fue utilizado por Isaac Newton y Gottfried Leibniz, en los alboresdel surgimiento del Análisis matemático moderno, pero posteriormente fue desacreditado por George Berkeley y finalmente olvidado. Duranteel siglo XIX Karl Weierstrass y Cauchy comenzaron a utilizar la definición formal de límite matemático, por lo que el cálculo infinitesimal yano era necesario. Sin embargo durante el siglo XX los infinitesimales fueron rescatados como una herramienta que ayuda a calcular límites deforma simple. Es bastante popular el uso de infinitésimos en la bibliografía rusa.

Otra manera de trabajar con los infinitésimos es considerarlos como números, y no como límites, es decir trabajar en un conjunto quecontenga más números que los usuales. Se les llaman números hiperreales, y son una creación del análisis no estándar.

Análisis estándar

Definición

Un infinitesimal o infinitésimo es una cantidad infinitamente pequeña. Se puede definir matemáticamente como:

se dice que f es un infinitésimo en x=a

Algunas funciones son infinitésimos en determinados puntos, por ejemplo:

f(x) = x­1 es un infinitésimo en x=1.g(x) = sen(x) es un infinitésimo en con .

Por lo tanto, toda función cuando tiende a 0 en un punto se denomina infinitésima.

Propiedades de los infinitésimos

1. La suma finita de infinitésimos es un infinitésimo.2. El producto de dos infinitésimos es un infinitésimo.3. El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo.4. El producto de una constante por un infinitésimo es un infinitésimo.5. La división de un infinitésimo por un escalar no nulo es un infinitésimo

6/11/2015 Infinitesimal ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal 3/6

Comparación de infinitésimos

Dadas y

1. Si f y g son infinitésimos comparables en x=a y f es un infinitésimo de orden inferior a g en x=a.

2. Si f y g son infinitésimos comparables en x=a y f es un infinitésimo de orden superior a g en x=a.

3. Si con l perteneciente a f y g son infinitésimos del mismo orden en x=a.

4. En particular, si f es un infinitésimo equivalente a g en x=a

Si dos infinitésimos son equivalentes entonces se puede aproximar uno a otro. Es decir si f(x) y g(x) son infinitésimos equivalentes cuando entonces se puede decir que cuando . Si se presentan como factor o divisor pueden sustituirse uno por otro

para el cálculo de límites cuando .

Algunos Infinitésimos equivalentes

es un infinitésimo cuando .

1. 2.

3.

4. 5. 6. 7.

es un infinitésimo cuando .

6/11/2015 Infinitesimal ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal 4/6

1.

Análisis no estándar

El análisis no estándar es una generalización del análisis real. El análisis no estándar permite definir además de los objetos definibles en lateoría ordinaria de los números reales nuevos objetos denomiandos "externos" o "no estándar". Cualquier objeto (número, conjunto o función)definible en la teoría convencional de los números reales es un objeto "estándar" dentro del análisis no estándar. Junto con los objetos"estándar" el análisis no estándar de Robinson permite introducir "objetos no estándar" como número inifinitesimales o números ilimitados(infinitos) y manejarlos de manera totalmente coherente dentro de la teoría.

La teoría no estándar parte de introducir un nuevo predicado , ese predicado permite construir un lenguaje formal que incluye a la teoríaordinaria de los números reales pero permite definir nuevos números (concretamente la noción de número "i­pequeño" e "i­grande" permitenconstruir números infinitesimales y números ilimitados más grandes que cualquier número real estándar u ordinario). El predicado "estándar"se caracteriza por tres axiomas adicionales que no posee la teoría ordinaria de los números reales, y que por tanto crean un lenguaje formal quepermite formalizar números adicionales. El análisis no estándar hace un uso crucial de números infinitesimales e ilimitados:

Un número ε es infinitesimal si para cualquier número entero estándar n se cumple que |ε| < 1/n. El único número real estándar con esapropiedad es el cero, pero existe una infinidad r de números reales no estándar tales que: r < 1/n, para cualquier número entero estándar.El predicado inf(·) formaliza la noción de infinitesimal, a partir de la relación primitiva de estándar:

Análogamente puede definirse un número ilimitado (o infinito) como cualquier número real r tal que r > n para todo número enteroestándar. La clave en esa definición es el término estándar, en la teoría ordinaria de los números reales al no existir la noción de estándarno puede formalizarse el concepto de infinito. El predicado Inf(·) formaliza la noción de número ilimitado, a partir de la relaciónprimitiva de estándar:

6/11/2015 Infinitesimal ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal 5/6

El análisis no estándar por tanto permite construir un conjunto de números que extiende al de los números reales, este conjunto es de losnúmeros hiperreales y se representa como y en él se pueden definirse reglas aritméticas para los números infinitesimales (inf(·)), ilimitados(Inf(·)), limitados (complemento del anterior: ¬Inf(·)) y apreciables (ni infinitesimos, ni ilimitados: ¬inf(·)∧¬Inf(·)), a partir de estos cuatroconjuntos se tienen las siguientes reglas de Leibniz para las operaciones aritméticas de estos conjuntos:

+/­ infinitesimal limitado apreciable ilimitadoinfinitesimal infinitesimal limitado apreciable ilimitadolimitado limitado limitado limitado ilimitadoapreciable apreciable limitado limitado ilimitadoilimitado ilimitado ilimitado ilimitado ?

Para la multiplicación las reglas de Leibniz son las siguientes:

x infinitesimal limitado apreciable ilimitadoinfinitesimal infinitesimal infinitesimal infinitesimal ?limitado infinitesimal limitado limitado ?apreciable infinitesimal limitado apreciable ilimitadoilimitado ? ? ilimitado ilimitado

Véase también

Números hiperrealesRegla de L'HôpitalLímite de una funciónDerivadaIntegral

Referencias

Bibliografía

Diner & Diener, ed. (1995). Nonstandard Analysis in Practice (http://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978­3­540­60297­2) (en inglés). Springer­Verlag. ISBN 978­3­540­60297­2. Consultado el 11 de junio de 2012.

6/11/2015 Infinitesimal ­ Wikipedia, la enciclopedia libre

https://es.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal 6/6

Robinson, Abraham (1996) [1966], Non­standard analysis (http://books.google.com/books?id=OkONWa4ToH4C), PrincetonLandmarks in Mathematics (2nd edición), Princeton University Press, ISBN 978­0­691­04490­3, http://books.google.com/books?id=OkONWa4ToH4C

Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Infinitesimal&oldid=85862621»

Categorías: Análisis matemático Fracciones

Esta página fue modificada por última vez el 16 oct 2015 a las 09:32.El texto está disponible bajo la Licencia Creative Commons Atribución Compartir Igual 3.0; podrían ser aplicables cláusulasadicionales. Léanse los términos de uso para más información.Wikipedia® es una marca registrada de la Fundación Wikimedia, Inc., una organización sin ánimo de lucro.