Ejercicios

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS

1. A una muestra aleatoria de 400 votantes seleccionados de un registro electoral se les

entrevista para conocer su opinión acerca del uso de parques en su comuna. Se les

pregunta si está a favor de pedir un aumento del presupuesto municipal para financiar

la expansión de ellos. 240 estuvieron a favor de la solicitud. Construya un IC de 95%

para la prop. A FAvor. { 240 /400 = 0.6 = )

a)

IC = z1-/2 con z1-/2 = 1.96

= 0.6 1.96 * 0.02449 = 0.6 0.048

= 0.05 == > 1- = 0.95 , z1-/2 = 1.96

b) La Junta Municipal de Parques necesita una estimación más acuciosa para dar pie a esta solicitud, algo así como 0.6 0.01, a cuántos votantes habría que entrevistar para obtener un IC de 95% con la precisión deseada?

E = 0.01 = z1-/2 == > = z1-/2 donde P0 es la

proporción desconocida, se usará el valor 0.5 que hace Máxima la función P(1-P).

Entonces, n = 1.962 * 0.25/0.012 = 9604.

2. Se sabe que una población tiene forma de V con = 6. Una m.a.s. de 9 obs. de esta

población produjo Halle el IC de 95% parala media PObl.

Desig de Chebychev *100 es la confianza

mínima que tiene el intervalo

Reemplazando por los valores dados, se tiene = 15 y con K = 2 [ 11, 19 ] es el

Intervalo de 75% de Confianza ( = 0.25 = ); si queremos aumentar la confianza,

hay que aumentar el K.

3. El jefe de capacitación de agentes de seguros afirma que su curso consigue contratar

más pólizas que un agente promedio. Este promedio mensual es de US$ 100.000.

Una muestra de 10 agentes que se entrenaron con el jefe han logrado en los meses de

trabajo las siguientes contrataciones mensuales ( en miles de US$)

100, 120, 130, 120, 125, 90, 85, 130, 110, 135.

a) Si Ud. fuera el asesor del jefe de capacitación, ¿avalaría su afirmación? Use =

0.05

X = contratación mensual lograda por un agente de seguros ( en miles de US$)

Ho: Contratación promedio mensual = US$100

H1: Contratación promedio mensual > US$100

Prueba unilateral para la media poblacional con desconocido, n = 10.

Zona de rechazo es { t / t > t(n-1) 1- } Valor crítico es > t(9) .95 = 1.8331

= 114.5

Desviación muestral = 3.16227766 3.16 t = [(114.5 – 100)* 10] / 3.16 = 2.6125 el valor muestral de t es mayor que el valor crítico, por lo cual t cae dentro de la zona de rechazo.

Se rechaza Ho y se acepta Contratación promedio mensual > US$100

4.- En un Instituto Superior el examen a 12 alumnos de secretariado arroja un promedio de 79.3 palabras `por minuto. Suponiendo que el número de palabras por minuto se distribuye aproximadamente normala) Encuentre un intervalo de 90% confianza para el número de palabras por

minuto, suponiendo que la desviación es de 9 palabras por minuto.

P( - z2 / ≤ ≤ - z1 / ) = 1- donde

1- = 0.90 == > = 0.10 == > /2 = 0.05 == > z1-/2 = 1.65 = 9 , = 12 == > / 12 = 2.598 y z1-/2 * / 12 = 4.2868.

De aquí, - z1-/2 / = 75.0132 y + z1-/2 / = 83.5868

El int intervalo de 90% confianza para el número de palabras por minuto es [75.01,

83.59].

b) El Instituto tiene varias sedes y la directora sospecha que en la sede 2 hay

mejor rendimiento que en la sede 1. Para asegurarse de la real situación, pide una

muestra aleatoria de 16 alumnos en cada sede y compara el nivel de rapidez: en la sede

1 79.3 ppm y en la sede 2 , 84.2 ppm. Si la desviación es de 5 ppm en todo el Instituto,

pruebe la igualdad de rendimiento de los alumnos de ambas sedes a un nivel de 5% de

significación. 1.5 pto

= 9 , = 3, = 0.05 H0 : 1 = 2

H1 : 1 < 2

Es una prueba unilateral, por lo tanto , z = -1.645 y la zona de rechazo es

R = { < 1 - 2 + z } = { < - 1.645 * 3.182}

R = { < -5.23 }

Como la diferencia de medias muestrales es = 79.3 – 84.2 = -4.9, no se puede

rechazar la hipótesis nula y se concluye que en ambas sedes los alumnos tienen el

mismo rendimiento.

5. Una empresa fabrica neumáticos mediante un proceso A. Se sospecha que un segundo proceso B, de reciente descubrimiento, puede dar lugar a un menor consumo de caucho. Para contrastar esta hipótesis se hace uso de una muestra formada por 10 neumáticos fabricados según el proceso A y 15 fabricados según el proceso B, midiéndose en ambos casos la cantidad de caucho utilizado por neumático.Los resultados fueron: XA = 5000 gr y SA

2 = 121 gr2 (media y varianza muestrales del proceso A) yXB = 4980 gr y SB

2 = 144 gr2 (media y varianza muestrales del proceso B).Bajo el supuesto de normalidad en la distribución de los consumos de caucho según ambos procesos, responder a las siguientes preguntas:

a) Al 1% de significación, ¿habrá realmente una diferencia entre estos procesos respecto al consumo de caucho?

b) Si efectivamente hubiera una diferencia de consumo de 50 grs entre ambos procesos, calcule el error de tipo II, en forma aproximada.

a) X = contenido de caucho en neumáticos tipo A ( en grs)Y = contenido de caucho en neumáticos tipo B ( en grs)Supuesto: X N( A, A

2); Y N( B, B2);

Del enunciado, se obtiene las hipótesisH0 : A, = B,H1 : A, >B,

Dado que ambas mediciones son independientes, se tiene

- N( A - B , ); por lo tanto, las hipótesis son

H0 : A, - B 0H1 : A, - B > 0;

Bajo H0, - N( 0 , )

Pero, dado que las varianzas son desconocidas, debemos probar la hipótesis de igualdad de varianzas antes de continuar: Se probará al nivel 5% de significaciónH0 : A, = B,H1 : A, B

con = 0.05, la región de rechazo es

R = { W < F1 } { W > F2 } donde W =

Bajo H0, W se distribuye F con (9,14) grados de libertad, por lo tanto

F1 = 1/ F0.975, 14,9 y F2 = F0.975,9, 14. Así, F1 = 1 / F0.975, 14,9 = 1/ 3.7976 = 0.2633 y F2 = 3.2093. Siendo Wobs = 0.8403, se acepta la igualdad de varianzas

Pero siendo las varianzas desconocidas, la desviación estándar de - se estima como promedio ponderado de las varianzas muestrales.

= sP= 11.6189

Por lo tanto, la región de rechazo es

R = { - > r2 } donde r2 = t(1-) sP

siendo = = 0.4082 y t(23).99 = 2.4999, entonces r2 = 11.858

Como - = 20 > r2, se rechaza la hipótesis nula y se concluye que hay diferencia entre los dos procesos de fabricación de neumáticos.

b) Error Tipo II = Aceptar H0 cuando H1 es cierta es P( - 11.858) =?

Si H1 : A, - B = 50, entonces bajo H1 t(23)

y la probabilidad pedida P( t(23) ) = P (t(23) -8.045) = 0

Si la diferencia promedio de consumo de caucho entre ambos procesos es de 50 grs, entonces el error tipo II al aceptar la hipótesis nula es cero.

6.- Una tienda se interesa en estimar su volumen de ventas diarias. Supóngase que elvalor de la desviación estándar es de 50 euros. Si el volumen de ventas se puede modelizar por una distribución normal, ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra para que con una confianza del 95% la media muestral se encuentre a no más de 20 euros del verdadero volumen medio de ventas?

Se aplica la fórmula del tamaño mínimo de muestra para obtener la media de una distribución normal con desviación estándar = 50

con E = 20 € y z = 1.96, obteniéndose n 24.01 n = 25.

7.-Las compañías de auditoría generalmente seleccionan una muestra aleatoria de losclientes de un banco y verifican los balances contables reportados por el banco. Si unacompañía de este tipo se encuentra interesada en estimar la proporción de cuentas para lascuales existe una discrepancia entre el cliente y el banco, ¿cuántas cuentas deberánseleccionarse de manera tal que con una confianza del 99% la proporción muestral seencuentre a no más de 0.02 unidades de la proporción real?

Se aplica la fórmula del tamaño mínimo de muestra para obtener la estimación de la proporción señalada con un 99% de confianza

Con P = 0.5*, z = 2.58 y E = 0.02,

este valor es n 83.205 por lo tanto n = 84.(*): Se usa el criterio de maximimizar el valor de la función f(P) = P(1-P)

Problemas Enunciados

1.- Para probar la hipótesis nula de que la resistencia media de determinado plástico es µ0 =10 lb./pulg2 contra la posibilidad de que sea µ1 = 10, 3 lb./pulg2 (hipótesis alternativa) se realizaronlas siguientes mediciones:9.8, 10.4, 10.6, 9.6, 9.7, 9.9, 10.9, 11.1, 9.6, 9.9, 11.2, 10.6, 9.8, 10.5, 10.1, 9.7,de la resistencia. Las mediciones son independientes, con distribución normal de varianza 0,36. a) Plantee hipótesis nula e hipótesis alternativa de acuerdo al enunciado. b) A qué nivel de significación rechazaría la hipótesis nula: 1 = 0, 05 o 2 = 0,01c) PAra la prueba planteada en a) se decide según el siguiente criterio: si el promedio de las mediciones es menor que 10.15 consideramos que la resistencia es 10, y de lo contrario, consideramos que la resistencia es 10.3 ¿Qué decisión tomaría para los datos anteriores?

2. Se toma una muestra aleatoria de n habitantes de una ciudad muy grande, en la que una proporción p de personas prefieren una cierta revista mensual. La muestra es de n = 400 y se encuentran 165 personas que compran esta revista. Para concluir sobre el valor de p:a) Construir un intervalo de confianza al 95% para la proporción.b) Realizar una prueba, al nivel 0, 05, para los datos anteriores: H0 : p = 35%H1 : p > 35%

b1. Calcular el valor P.b2. Establecer la región crítica para esta prueba.b3.¿Cuál es la decisión en este caso?

3.- La International Rectifier Corporation está estudiando el proceso de producción demicroprocesadores. ¿Cuántos microprocesadores tendrán que considerar para asegurar con un95% de confianza que la proporción muestral de defectuosos no difiere de la proporciónpoblacional en más del 4% ? (Se espera obtener una proporción poblacional del 20%).4.- Una empresa produce pilas alcalinas cuyo tiempo de vida es aleatorio y sedistribuye según una exponencial de media 100 horas. Una linterna funciona con una solapila y cuando se agota su carga ponemos otra en funcionamiento.¿Cuántas pilas debemos tener disponibles para asegurar con una confianza del 95% que lalinterna funciona más de 10000 horas?

Tamaño de Muestra

5.-Suponga que se desea precisar el tamaño que ha de tener una muestra tomada sinreemplazamiento para determinar el porcentaje de piezas defectuosas de una población (entotal 10.000 unidades), supuesta esta proporción no superior al 5% y operando con unaconfianza del 95%. Calcular el tamaño muestral necesario si queremos que la proporción nodifiera en más del 2% del porcentaje real.

6.- Las ventas diarias del periódico "A" en un determinado kiosco se pueden modelizarmediante una v. a. de varianza σ2 = 25.a) Si se quiere estimar el número medio de periódicos "A", que se venden diariamentecon un error de ± 2 periódicos, y una confianza del 92%, cálcula el número mínimo de días

que se debe analizar dicha variable.b) Suponiendo que el número medio de periódicos "A" vendidos al día en ese kiosco esde 100 y que el precio del periódico es de 1.2 euros. ¿Cuál es la probabilidad de que en dosmeses las ventas por el diario"A" superen los 7100 euros? (1mes = 30 días).