PRUEBA POR INDUCCIÓN:

INTRODUCCIÓN

Inducción es una técnica usada para probar sentencias acerca de un número natural n. La técnica general es probar que una sentencia es válida para n=1 (llamado caso base), y que si la sentencia se verifica para n=k-1, entonces eso implica su validez para n=k (llamado paso inductivo).

Formalmente, si una proposición P(n) satisface las siguientes propiedades: (i) P (1) es verdad(ii) P (n-1) implica P(n) para todo n>1

Entonces P(n) es verdadera para todo número natural n. Esto es llamado inducción (débil) sobren.

Ejemplos:

1. Sn=1-22+32-42+…+ (-1)n-1n2= (-1)n-1n(n+1)/2.2. 12+32+52+…+(2n-1)2=n(2n-1)(2n+1)/33. 1.2+2.3+3.4+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/34. 1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+n.(n+1).(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4

VARIANTES DE INDUCCION

Hay muchas variantes al aplicar inducción, entre las mas notables están la “inducción fuerte” y “doble inducción”. La “Inducción Fuerte” es usada cuando P(n-1) no implica P(n): Sí P(1) es verdadera y P(1), P(2),…, P(n-1) juntas implican P(n) para todo n, entonces P(n) es verdadera para todo n.La “Inducción doble” es usada cuando deseamos probar sentencias de la forma P(m,n) acerca de dos variables m, n: Sí P(1,1) es verdadera y P(m,n) implica P(m+1,n) y P(m,n+1) para todo m,n, entonces P(m,n) es verdadera para todo m, n.

Tips

Algunos aspectos a tener en cuenta al momento de usar Inducción:1. Siempre tener en mente inducción cuando un problema involucre un entero positivo n. Lo que esencialmente significa que debemos asumir que P(n-1) es verdadera y buscar probar P(n).

2. Algunas veces no podrás aplicar inducción directamente al problema. Tal vez P(n) no es probable por inducción, pero hay otra sentencia Q(n), que si es probable por inducción y que además implica P(n).

3. De la misma manera, algunas veces un problema te preguntara por un caso específico P (k) de una sentencia general P(n). Entonces se debe querer probar P(n) para todo n por inducción. Sin embargo, debes primero verificar que P(n) es verdadera para toda n mediante pruebas en pequeños casos.

4. Cuando escribas la prueba por inducción, asegúrate de ser claro en cual variable se está aplicando la inducción.

5. Hay muchas, demasiadas (de hecho, infinitas) variantes de inducción que posiblemente sean útiles. Por ejemplo, tal vez P (1) y P (2) son verdaderas y P(n-2) implica P(n) para todo n>2. No necesitas saber todas las variantes de antemano para ser capaz de aplicarlas.

PROBLEMAS

1. Sea n un entero positivo. Demuestre que 1 + 4 + 9 + · · · + n2 = n(n+1)(2n+1)

6

2. Sea Fn una secuencia definida por F0 = 0, F1 = 1, y Fn+2 = Fn+1 +Fn para todo n ≥ 0. Demuestre que: Fm+n+1 = Fm+1Fn+1 + FmFn para todos los enteros no negativos m, n.

3. Sean a1, a2, a3, a4, a5 números reales con 0 < a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < 1. Demuestre que:

a1a2a3a4a5 ≥ a1 + a2 + a3 + a4 + a5 − 4.

4. Pruebe que para todo entero positivo n, los números 1, 2, · · ·, n pueden ser reordenados en algún orden, de manera que para cualquier a, b con 1 ≤ a, b ≤ n, el número (a+b)/2 no aparece entre a y b.

5. Sean a0, a1, a2, · · una secuencia de números reales tales que am+n + am−n = (a2m + a2n)/2 y a1 = 1. Hallar a100.

6. Considere un torneo de ajedrez con n jugadores. Ellos tienen que jugar un número de partidas unos contra otros, de manera que no exista una secuencia P1, P2, · · ·, Pk de jugadores tal que P1 vence a P2, P2 vence a P3, · · ·, Pk−1 vence a Pk, y Pk vence a P1. Demuestre que es posible ranquear a los jugadores de manera que cada jugador únicamente ha vencido a jugadores de menor rango.

7. Sea n un entero positivo. Pruebe que 12.34….2n−12n

≤1

√3n .

8. Pruebe que todo entero positivo puede ser expresado como ±12 ±22 ±32 ±...±n2 para algún entero positivo n y alguna elección de signos.

9. Hay n puntos en el interior de un triángulo. El triángulo es dividido en triángulos menores usando esos puntos como vértices. Pruebe que siempre se termina con 2n+1 triángulos.

10. Hay n estudiantes de pie en un círculo, uno detrás de otro. Los estudiantes tienen alturas h1<h2<…<hn (pero no necesariamente en ese orden). Si un estudiante con altura hk está de pie directamente detrás de un estudiante con altura hk-2 o menos, los dos estudiantes intercambian

lugares. Pruebe que no es posible hacer más de (n3) de tales cambios antes de lograr una posición

en la que no es posible hacer más cambios.

11. Sean a1, a2, …, an distintos entero positivos y sea M un conjunto de n-1 enteros positivos que no contienen s=a1+a2+…+an. Un saltamontes está saltando a lo largo de la recta real, empezando en el punto 0 y haciendo n saltos a la derecha con longitudes a1, a2,…, an en algún orden. Pruebe que se puede elegir el orden de tal manera que el saltamontes nunca pisa algún punto de M.

NIVEL I

1. Una secuencia es definida por a1=1, y para n ≥1, an+1=2an+1. ¿Cuál es el valor de a300?2. Pruebe que para todo entero n≥4, se verifica n!>2n

3. Pruebe que para todo entero positivo n, 8n-1 es divisible por 74. Sea x>-1. Demuestre la desigualdad de Bernoulli.

(1+x)n≥1+nx

NIVEL II

5. Pruebe que para todo entero positivo n: 12.34….2n−12n

≤1

√2n+16. Teorema de De Moivre: Para todo n∈Z

(cosx+isenx )n=cos (nx )+isen (nx ) , n∈Z7. Una secuencia es definida por a1=1, a2=2, y para todo n≥2, an+1=an+2an-1. ¿Cuál es el valor de a300?8. Bob entra a una bodega y quiere comprar una calculadora de n soles. Él tiene un número infinito

de monedas de 2 soles y un número infinito de billetes de 5 soles. Pruebe que para todo entero n≥4, él es capaz de pagar por la calculadora sin necesidad de cambio.

9. Pruebe que para todo entero positivo n, 3(2n)-1 es divisible por 2n+2 pero no por 2n+3.

10. Sea x un número real, tal que x+1x

es un entero. Pruebe que para todo entero positivo n, xn+1

xn es

un entero.NIVEL III

11. Considere la sucesión de Fibonacci {fn} definida por f0=0, f1=1, fn+1=fn+fn-1, n≥1. Pruebe que cada uno de los incisos es verdadero para todos los enteros n≥1.

(a) F1+f3+f5+…+f2n-1=f2n

(b) F2+f4+f6+…+f2n=f2n+1-1(c) Fn<2n

(d) Fn=1

√5 [( 1+√52 )

n

−( 1−√52 )

n](e) Fn+1fn-1-(fn)2=(-1)n

(f) (fn+1)2+fn2=f2n+1

12. (Teorema de Zeckendorf): (a) Todo entero positivo puede ser representado como la suma de uno o más números de Fibonacci no consecutivos.(b) Solo existe una única manera de representar cada entero positivo con las restricciones de la parte (a).

13. Alfonso y Bianca juegan el siguiente juego. Dos enteros positivos m y n están escritos en la pizarra. En cada turno, un jugador selecciona uno de los números en la pizarra, lo borra, y lo remplaza por cualquier divisor (positivo) de este número, siempre que sea diferente de cualquier número previamente escrito en la pizarra. Por ejemplo, si 10 y 17 están escritos en la pizarra, un jugador puede borrar el 10 y escribir el 2 en su lugar (pues el 2 no ha aparecido antes). El jugador que no puede mover, pierde. Alfonso empieza.(a) Suponga m=240 y n=351. ¿Quién tiene estrategia ganadora, y porque?(b) Suponga m=240 y n=251. ¿Quién tiene estrategia ganadora, y porque?

14. Sea p un número primo. Pruebe que si n es un entero positivo no divisible por p, entonces np-1 deja un residuo de 1 al ser dividido por p. (este resultado es conocido como el pequeño teorema de Fermat)Ayuda: Trate de probar que no deja un residuo de n cuando se divide por p.15. Sea n≥4 un entero positivo. Pruebe que para cualquier números reales positivos x1,…,xn la

siguiente desigualdad se verifica:x1xn+x2

+x2x1+x3

+…+xn

xn−1+ x1≥2

MÁS EJERCICIOS

16. Considere la secuencia definida por a1=1 y an=√2an−1. Demuestre que an<2 para todos los enteros n≥1

17. Pruebe que la ecuación x2+y2=zn tiene una solución en enteros positivos x, y, z para todos los enteros n≥1.

18. Pruebe que para todo entero n.

(1+ 113 )(1+ 123 )…(1+ 1n3 )<319. Demuestre que

1n+1

+ 1n+2

+…+ 13n+1

>1 para todo entero n≥1.

20. Pruebe que:4n

n+1<

(2n ) !(n !)2

para todos los enteros n≥1.

21. El plano es dividido en regiones por líneas rectas. Pruebe que siempre es posible colorear las regiones con 2 colores de manera que regiones adyacentes nunca tienen el mismo color.

22. Dado un tablero de ajedrez de (2m+1) x (2n+1) en el cual las 4 esquinas son de color negro, demuestre que uno puede remover cualquier casilla blanca y cualquier 2 casillas negras, el tablero restante puede ser cubierto con dominós (rectángulos de 1x2).NIVEL OLIMPIADAS:

23. (USAMO 2003, #1) Pruebe que para todo entero positivo n existe un número divisible por 5n cuyos dígitos son todos impares.

24. (USAMO 2009, #1) Sea n un entero positivo y sean a1,…,ak (k≥2) distintos enteros del conjunto {1,…,n} tal que n divide a ai(ai+1-1) para i=1,…,k-1.Pruebe que n no divide a ak(a1-1).

25. (IMO 1997) Una matriz de n x n cuyas entradas vienen del conjunto S={1,2,…,2n-1} es llamada una matriz plateada sí, para cada i=1,2,…,n la fila i y la columna i juntas contienen todos los elementos de S. Pruebe que:(a) No existe una matriz plateada para 1997 (un prodigio que se haya conseguido un problema con el año vigente)(b) Existen matrices plateadas para infinitos valores de n.Ayuda: (tal vez no haya sido tan maravilloso que hayan conseguido un problema con 1997)(c) Pruebe que para todo entero positivo es una suma de uno o más números de la forma 2r3s donde r y s son enteros no negativos, y ningún sumando divide a otro.(Por ejemplo, 23=9+8+6)

26. (IMO shortlist A3) Sean x1 , x2 ,…, xn arbitrarios números reales. Pruebe la desigualdad:x11+ x1

2+x2

1+x12+ x2

2+…+xn

1+ x12+…+xn

2<√n

27. Sea k un entero positivo fijo. Una compañía tiene un método especial para vender sombreros. Cada consumidor puede convencer 2 personas de comprar un sombrero después que él/ella compra un sombrero; convencer alguien ya convencido no cuenta. Cada uno de estos nuevos clientes puede convencer otros 2 y repetir el proceso. Si cada uno de los dos consumidores convencidos por alguien logra convencer al menos k personas que compren sombreros (directa o indirectamente), entonces ese alguien gana un video instructivo gratuito. Pruebe que si n

personas compran sombreros, entonces a lo mas n

(k+2) de ellos obtienen videos.

28. (IMO 1987) Pruebe que para todo número natural k (k≥2) existe un número irracional r tal que para todo número natural m: ⟦rm ⟧≡−1(modk). ( ⟦x ⟧denota máximo entero de x)

29. Demostrar que:

⟦x ⟧+⟦x+ 1n ⟧+…+⟦x+ n−1n ⟧=⟦n x ⟧ , ∀ x∈R

30. Sea n∈Z+¿¿ y X un conjunto de n+2 enteros donde el valor absoluto de cada elemento es a lo más n. Demostrar que existen tres números distintos a, b, c en X tal que a+b=c.

31. Sea la sucesión de enteros no negativos a1 , a2 ,…,a2001 que satisface:a i+a j≤ai+ j≤ai+a j+1; ∀ i , j ≥1; i+ j ≤2001Demostrar que existe un número real x, tal que an=⟦nx ⟧ ;∀n1≤n≤2001

32. Sea x1 , x2 ,…, xn∈Z+¿ ¿ tales que ninguno de ellos es fragmento de ningún otro (por

ejemplo 12 es un fragmento de 12,, de 125, de 12405, pero no de 3125 ni de 3512). Probar que:

1x1

+ 1x2

+…+ 1xn

<3

33. Sea t ≥1/2 un real y n∈Z+¿¿

Probar que:t 2n≥ ( t−1 )2n+(2 t−1)n

34. Sea n un entero de la forma 2k, k entero positivo. Probar que en todo subconjunto A de 2n-1 enteros estrictamente positivos, existe un sub-conjunto de n elementos donde su suma es divisible por n.

35. En cada planeta de un sistema hay un astrónomo observando al planeta más cercano. Las distancias entre los planetas son distintas dos a dos.Demuestre que si la cantidad de planetas es impar, entonces hay por lo menos un planeta al que nadie observa.

36. En una ciudad, en la que hay por lo menos tres cruces de calles, para cualesquiera tres cruces de calles A, B, C existe un camino desde el cruce A hasta el cruce B sin pasar por C. Demuestre que desde cualquier cruce de calles a cualquier otro cruce de calles hay por lo menos dos caminos que no se cortan.

37. Todos los números naturales de no más de n cifras, se dividen en dos grupos. En el primer grupo están los números tales que la suma de sus cifras es impar, y en el segundo grupo están aquellos que tienen la suma de sus cifras par. Demuestre que si 1≤k<n, entonces la suma de las k-ésimas potencias de todos los números del primer grupo, es igual a la suma de las k-ésimas potencias de todos los números del segundo grupo.

38. Hay N personas que no se conocen entre sí. Se quiere que algunas de ellas sean presentadas de manera que no haya 3 personas que tengan la misma cantidad de conocidos. Demuetsre que esto es posible para cualquier valor de N.