ii

iii

PRESENTACIÓN

Razonamiento Matemático, es un curso que nos permite desarrollar muchas

capacidades, así como también otras habilidades inherentes al ser humano, es una

herramienta muy importante y útil para futuros técnicos y profesionales.

El contenido de este trabajo sirva también al estudiante para encontrar la

referencia necesaria y adecuada a todas sus espectativas en su preparación

integral, asimismo también enfocar y resolver cualquiera de los problemas

propuestos con éxito.

.

Braulio Gutiérrez Pari

iv

A toda la juventud estudiosa

v

CONTENIDO Razonamiento Lógico…………….………………..……………………………..…….

Razonamiento Inductivo Deductivo………………….………………..…….…..…..

Planteo de Ecuaciones ……………………………..…………………..…...….……..

Problemas sobre Edades........……… ………………………………………..……..…

Problemas sobre Móviles …………………………………………………….……....

Problemas sobre Cronometría..…………………………….…………………... ..….

Problemas sobre Fracciones ……………………………………………….…………

Porcentajes ……………………………………………………….…………….……..

Operaciones Matemáticas…….…………………… …………………..…….……..

Operaciones Matemáticas (Tablas)………………...…………………..….…......

Problemas sobre Sucesiones………………………………………….…….……....

Problemas sobre Series……………………………………….……….…………...….

Conteo de Figuras ………..……………………… …………………..…….…..…..

Área de Regiones Sombreadas ……………………………….………………… …

Problemas sobre Perímetros………………………..…………………….……...…..

Análisis Combinatorio. ……………………………..…………………..……….. ..

Probabilidades………………………….…………..…………………..……….….. ..

Distribuciones Gráficas I…….………………………….………………………..…….

Distribuciones Gráficas II…….……………………………………………….……….

Logaritmos……………..……………….…………..…………………..………...….

Test I…………………..……………………………..…………………..……….…..

Test II………………………………………………..…………………..……….…..

Test III………………………………………………..…………………..……….…..

Recorridos Eulerianos ……………..……………….…………..…………………..…

Operaciones Inversas……………..……………….…………..……….…….….…..

Matemática recreativa……………..……………….…………..……….……………

Ejercicios de Repaso……………..……………….…………..……….…….….…

Claves…………………..………………..…………..…………………..………..….…..

1

10

16

25

30

34

40

47

53

57

61

67

73

79

87

92

98

102

104

106

111

113

115

117

121

123

125

144

vi

vii

ax2 + bx + c = 0

x2 - ( " + $ ) x + "$ = 0

21; xxa

>∀Δ

⎭⎬⎫−−

⎩⎨⎧ +−

251;2

51

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIÓN CUADRÁTICA. Una Ecuación cuadrática es de la forma: ; a … 0 Métodos de solución I. Mediante aspa simple Halle el valor de X en: Resolver: 2 x2 + x – 3 = 0 Sol.: Factorizando por aspa simple

2x2 + x - 3 = 0

2x 3 x -1

⇒ ( 2x + 3)(x – 1) = 0

2x + 3 = 0 w x – 1= 0

⇒ x = -23 w x = 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−=∴ 1;

2

3..SC

II. Mediante formula general.

2a4acbb 2

2;1−±−=x

donde b2 -4ac =Î (discriminante) Halle el valor de X en: Resolver: x2 + x -1 = 0

Sol.:

)1(2

)1)(1(411 2

2;1

−−±−=x

∴ C.S. =

Naturaleza de las raíces

Î> 0 ] raíces reales diferentes

Î= 0 ] raíces reales iguales (Una única solución)

Î< 0 ] raíces imaginarias conjugadas Reconstrucción de una raíz cuadrática Si " y $ son las raíces de una ecuación cuadrática; entonces la ecuación es: Propiedades Si x1 , x2 las raíces de: ax2 +bx + c = 0;

a≠ 0

I. Suma de raíces (S):

S = x1 + x2 = -ab

II. Producto de raíces(P):

P = x1x2 = ac

III. Diferencia de raíces (D): Sea: D = x1 –x2 =

Repaso de Conceptos fundamentales

viii

PRODUCTOS NOTABLES 1. Binomio al Cuadrado (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Identidad de Legendre I1: (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2) I2: (a + b)2 - (a - b)2 = 4ab 2. Diferencia de cuadrados (a + b) (a - b) = a2 - b2 3. Binomio al cubo (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Identidades de Cauchy I3: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) I4: (a - b)3 = a3 - b3 - 3ab (a - b) 4. Suma y diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2) a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2) 5. Trinomio al cuadrado (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca 6. Trinomio al cubo (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a+b) + 3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc (a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b) (b + c) (c + a)

7. Identidades de Stevin (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab 9. Identidad de Lagrange (a2+b2)(x2+y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2 10. Igualdades condicionales Si: a + b + c = 0, se verifican * a2 + b2 + c2 = -2(ab + bc + ca) * a3 + b3 + c3 = 3abc * a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

NOTABLES

8. Identidad trinómica de Argand (x2m + xmyn + y2n) (x2m - xmyn + y2n) = x4m + x2my2n + y4n

o30

o60

3K

2K K

2Ko45

o45

K

K

o37

o535K 3K

4K

o8

o82

7K

K

/253o

K

2K /237o

K

3K

o75 o15

h

4h

ix

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ===

41

412

1

21

22

21

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=−−− ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

c1

b1

a1

X1

cbax

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=−

21

21

212

2

EXPONENTES Y RADICALES

definimos

tenemos

b.b.b.b. .......b = bn ; n IN∈

exponente natural"n" veces

Exponente nulo

a = ;

-n

Exponente negativo

n > 0a° = 1 ; a 0≠

Exponente fraccionario

a =mn amn

Multiplicación debases iguales

a . a = am+nm n

Potencia de un productoRaíz de raíz

(ab) = a bn n n

= an

bn ; b 0≠ab

n

= amnp

am n p

División de basesiguales

=am

an a ; a 0m-n ≠

Raíz de un producto

=abn

an

bn

a > 0 b > 0∧

a > 0 b > 0∧

=n

an

babn

Consecuencia

= aam n p

a qar s

(np+q)r+smpr

Potencia de potencia

(a ) = am n mnpp

Potencia de exponente

a = a m mn n

p p

Además:

= |a|a2

en general:

= |a|a2n2n

Nota:

= a ; a > 0ann

an1

.

a ≠ 0

x

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Definición Son los distintos cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un

triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos. Las razones trigonométricas de un ángulo "θ" se definen como sigue:

seno de : sen =θ θcateto opuesto

hipotenusa

tangente de : tan =θ θcateto opuesto

cateto adyacente

secante de : sec =θ θhipotenusa

cateto adyacente

coseno de : cos =θ θcateto adyacente

hipotenusa

cotangente de : cot =θ θcateto adyacente

cateto opuesto

cosecante de : csc =θ θhipotenusa

cateto opuesto

A

C

B

b

c

a

θ

entonces:

b = a + c22 2

sen =θab

cos =θcb

tan =θac

cot =θca

sec =θbc

csc =θba

(Teorema de Pitágoras)θ α + = 90º

α

30°

60°k

k 3

45°

45°

k

k

k 2

37°

53°3k

4k

5k

sen

cos

tan

cot

sec

csc

37°

35

45

34

43

54

53

53°

45

35

43

34

53

54

45°

1

1

2

2

22

22

30°

2

12

32

33

3

332

60°

12

2

332

3

33

32

xi

Bibliografía 1. ASOCIACIÓN ADUNI. 2000-2010. Boletines diversos. Lima: Lumbreras

editores 2. CEPRE-UNI, Recopilación de seminarios; Prácticas calificadas y Exámenes

parciales 3. LARSON R. 2011. Precálculo. Ed. Cengage. México 4. MILLER C. 2006. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Ed. Pearson.

México 5. POVIS A. 2006. Razonamiento Matemático. Ed. Moshera. lima 6. RIVERA W. 2002. Razonamiento Matemática. Master editores. Lima.

xii

La lucha es ardua y dificultosa, pero cuando nuestros objetivos son claros y nobles, al final del camino siempre nos

espera el triunfo

Encomienda a Jehová tu camino, y confía en él; y él hará (Sal. 37:5)

“Educar no es dar carrera para vivir, si no templar el alma para las

dificultades de la vida”