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Indice general

Prologo XI

I El infinito 1

1. Trabajando con el infinito: aciertos y errores 111.1. La serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.1. Razonamientos geometricos de casos particulares . . 121.1.2. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.3. La serie geometrica como serie de funciones . . . . . 211.1.4. Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.1.5. Su importancia para el analisis de otras series . . . . 30

1.2. La serie armonica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.1. Las primeras pruebas . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.2.2. Algunas propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.2.3. La serie armonica y la hiperbola y = 1

x . . . . . . . . 411.2.4. La constante de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.2.5. La armonica alternante . . . . . . . . . . . . . . . . 461.2.6. Las series p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521.2.7. La trompeta de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.3. Algunas otras series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.4. Donde no parecıa estar . . . pero estaba el infinito. . . . . . 64

1.4.1. El area bajo la grafica de una funcion . . . y la integral. 65La funcion logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

1.4.2. La tangente a la grafica de una funcion . . . y la derivada. 79Hacia el Teorema Fundamental del Calculo. . . . . . 85

v

vi INDICE GENERAL

1.5. La importancia de formalizar las pruebas. . . . . . . . . . . 89

1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2. Conjuntos infinitos 103

2.1. Aparentes contradicciones logicas . . . . . . . . . . . . . . . . 103

2.2. Los hoteles de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

2.3. Primeras definiciones y propiedades. . . . . . . . . . . . . . 115

2.4. Mas conjuntos numerables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

2.5. Un primer acercamiento a los racionales . . . . . . . . . . . 122

2.6. Numerar, una forma de ordenar . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2.7. Un primer acercamiento a los irracionales . . . . . . . . . . 130

2.7.1. Pruebas no constructivas: tres ejemplos elegantes . . 137

2.8. Inconmensurabilidad, pitagoricos y Eudoxo . . . . . . . . . 139

2.9. Un primer acercamiento a los reales . . . . . . . . . . . . . 146

2.9.1. Las expansiones decimales. . . . . . . . . . . . . . . 148

2.9.2. Los intervalos y la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.9.3. La cardinalidad de los reales. . . . . . . . . . . . . . 155

2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3. Tres preguntas importantes 165

3.1. El infinito mas pequeno, el Axioma de Eleccion y el Principiodel Buen Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

3.2. Infinitos mas grandes que el continuo. . . . . . . . . . . . . 173

3.2.1. Operaciones entre numeros cardinales. . . . . . . . . 174

3.2.2. Cardinalidad del conjunto potencia. . . . . . . . . . 178

3.3. Las paradojas en la definicion de conjunto . . . . . . . . . 183

3.4. Otros resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

3.4.1. Para facilitar la comparacion entre cardinalidades: elTeorema de Cantor-Bernstein-Schroder . . . . . . . . 190

3.4.2. Dimension y cardinalidad. . . . . . . . . . . . . . . . 199

3.4.3. Dimension infinita y aritmetica cardinal. . . . . . . . 203

3.4.4. Numeros algebraicos y trascendentes:un primer acercamiento. . . . . . . . . . . . . . . . . 209

3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

INDICE GENERAL vii

4. La hipotesis del continuo y los numeros ordinales 219

4.1. Hilbert: Parıs, 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

4.2. Los numeros ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

4.2.1. El origen de los numeros ordinales . . . . . . . . . . 228

4.2.2. Los tres principios de Cantor para generar nuevosnumeros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

4.2.3. Tipos de orden y numeros ordinales . . . . . . . . . 242

4.2.4. Suma y producto de numeros ordinales . . . . . . . 247

4.2.5. Conjuntos numerables: una sola cardinalidad, una in-finidad de tipos de orden . . . . . . . . . . . . . . . . 251

4.2.6. Lımite, exponenciacion e induccion transfinita . . . . 255

4.2.7. El desenlace: la escalera de ordinales arriba al siguien-te infinito cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.2.8. Algunos agregados y comentarios finales sobre losnumeros ordinales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4.3. Tres breves comentarios finales sobre la HC . . . . . . . . . 278

4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

5. Los reales, lo cuantico y el continuo 283

5.1. Los reales en el c alculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

5.2. Lo cuantico en la fisica y el continuo en la matematica 292

6. Las expansiones decimales como modelo del continuo 299

6.1. Algo mas sobre conjuntos y logica . . . . . . . . . . . . . . 300

Volviendo a la definicion . . . . . . . . . . . . . . . . 300

Diagramas, propiedades y demostraciones . . . . . . 301

Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Representacion grafica de conjuntos . . . . . . . . . 312

Uniones e intersecciones no numerables . . . . . . . 317

6.2. Mas sobre las expansiones decimales . . . . . . . . . . . . . 319

6.3. Otras bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

6.3.1. Numeros enteros positivos . . . . . . . . . . . . . . . 330

6.3.2. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

6.3.3. Las expansiones base b como modelo de la recta . . 336

6.3.4. Operando en otras bases . . . . . . . . . . . . . . . . 341

6.4. Desventaja del modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

viii INDICE GENERAL

6.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

7. El modelo axiomatico 359

7.1. Las operaciones y el orden en la recta . . . . . . . . . . . . 360

7.2. Deduccion geometrica de las propiedades basicas . . . . . . 364

7.3. Propiedades que se desprenden de las basicas . . . . . . . . 375

7.4. La importancia del teorema de Pappus . . . . . . . . . . . . 381

7.5. La propiedad arquimedeana y la divisibilidad infinita . . . . 389

7.6. Principios de completez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

7.6.1. Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . 397

7.6.2. Encajes de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

7.6.3. Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

7.6.4. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

7.6.5. Sucesiones crecientes y acotadas . . . . . . . . . . . 411

7.6.6. Conjuntos infinitos y acotados . . . . . . . . . . . . 412

7.7. Los naturales, los enteros y los racionales . . . . . . . . . . 415

7.8. Reflexiones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419

7.9. El diablo esta en los detalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

7.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429

8. Expansiones Factoriales 435

8.1. Los numeros reales del intervalo [0,1) . . . . . . . . . . . . . 435

8.2. Las colas infinitas de 9′s y (ℵ0)! . . . . . . . . . . . . . . . . 437

8.3. Todos los racionales tienen expansion factorial finita . . . . 440

8.4. La expansion factorial de los numeros reales en general . . . 442

8.5. Algunos numeros especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

8.5.1. El numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

8.5.2. e−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

8.5.3. senh (1) y cosh (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

8.5.4. sen (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

8.5.5. cos (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447

8.5.6. ei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

8.6. Criterios de divisibilidad en base factorial . . . . . . . . . . 448

8.7. Algunas formas generales de numeros trascendentes . . . . . 449

8.7.1. Las expansiones (ΦM .XN , a, a, a, a, a, . . . )b!, a ∈ N . 452

INDICE GENERAL ix

8.7.2. Las expansiones (ΦM .XN , k, k + 1, k + 2, k + 3, k +4, . . . )b!, 0 < k < N + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 455

8.7.3. ae, con a ∈ QrN. Los casos a = 12 , a = 1

3 . . . . . . . 4578.7.4. Las expansiones periodicas de perıodo 2. . . . . . . . 459

8.8. Conjuntos de Cantor Factoriales . . . . . . . . . . . . . . . 4638.9. Otras bases para representar a los numeros reales. . . . . . 4708.10. Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474

A. Definiciones preliminares. 481A.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481A.2. Algunos casos particulares de uso frecuente. . . . . . . . . . 484A.3. Cuestiones basicas de logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487A.4. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491A.5. Sucesiones y Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494A.6. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 498

Bibliografıa 511

Indice alfabetico 526

Capıtulo 2

Conjuntos infinitos

Hay dos sentidos en los que podemos pensar en el infinito: como un“valor” al cual tienden los valores reales de una variable (o de una funcion,una sucesion o una serie). Y como el numero de elementos de un conjunto(o de terminos de una sucesion, o de sumandos de una serie).

Cuando hablamos del infinito en el primer sentido, nos referimos a quepodemos rebasar cualquier valor real dado de antemano con valores realesde la variable, o de la funcion, o de la serie. No hablamos de una magni-tud infinita como tal: las magnitudes o distancias infinitamente grandes oinfinitamente pequenas no existen en el calculo usual.

Lo que sı existe son los conjuntos infinitos. El infinito actual surge alhablar de cardinalidad, no de distancias.

2.1. Las aparentes contradicciones logicas en lacomparacion entre conjuntos infinitos

Los esfuerzos por comprender la naturaleza del espacio y el tiempo hanacompanado a la ciencia y la filosofıa desde sus orıgenes. La polemica entrelos griegos sobre este tema fue suficientemente algida e incluyo a varias desus figuras mas prominentes.

Uno de los puntos a discusion era si la materia era infinitamente divisibleo no. Anaxagoras (500-428 a.n.e.), por ejemplo, era partidario de la primeraopinion39. Para el: “No hay la menor entre las cosas pequenas, siempre

103

Capítulo 2 sin formato ni correcciones finales

104 2.1 Aparentes contradicciones logicas . . .

hay algo mas pequeno. Lo que existe no deja de exitir como resultado dedividirlo, independientemente de que tanto continuemos dividiendolo”. Encambio, Leucipo (460-370 a.n.e.) y Democrito (460-370 a.n.e.), creadores dela escuela que fue conocida como “atomista” (que derivo de los pitagoricos),sostenıan que existen pequenas partıculas cuya dureza las hace indivisibles(atomos, cuyo significado en griego es precisamente indivisible). Zenon (490-430 a.n.e.) atizo la discusion con sus famosas paradojas, que mostraban lasconsecuencias de utilizar en forma descuidada la premisa de la divisibilidadinfinita del espacio (ver ejercicio 9 en la seccion § 1.6).

Aristoteles (384-322 a.n.e.) sostenıa que el espacio (y el tiempo) forma-ba un continuo que debıa ser concebido como algo “divisible en divisiblesque son siempre divisibles”, rechazando que la recta estuviera compuestapor puntos (o el tiempo por instantes). Si bien aceptaba que habıa puntosen ella, nunca podrıa llegarse a uno por un proceso de division de la mis-ma, ni estos podrıan generarla, pues de ser ası tendrıan que colocarse unoa continuacion de otro, bien dejando un espacio entre ellos (y entonces yano habrıa continuidad), bien entrelazandose entre sı a traves de “extremi-dades externas” (outer extremities) (que no podıan tener los puntos, puessi ası fuera dejarıan de ser indivisibles) o bien tendrıan que estar comple-tamente superpuestos uno con otro (en cuyo caso no podrıan abarcar masespacio que el de un solo punto).40

Cuando la Edad Media se acercaba a su fin, la Iglesia catolica, dominan-te en Europa, establecio cual debıa ser la forma de entender este problema:en 1415, el Concilio de Constanza decreto que las cosas eran como habıadicho Aristoteles casi 1,750 anos antes, y que incurrirıa en herejıa quienconsiderase que una lınea estaba compuesta por indivisibles (puntos).41

Sin embargo, poco a poco se iba extendiendo la practica de generarsolidos a partir de planos, planos a partir de rectas, rectas a partir depuntos. Practica inspirada en la tradicion de Arquımedes, quizas el masoriginal de los cientıficos griegos (lista que tambien incluye a personajes dela talla de Eudoxo y Apolonio). A final de cuentas, eso era generar continuosde diversas dimensiones a partir de los indivisibles que corresponden a cadauna de ellas (los indivisibles en la recta son los puntos, en el plano son lasrectas y en el espacio son los planos).

El problema era que surgıan dudas (utilizadas en la polemica por losdefensores de la vision aristotelica) que no se sabıa bien como responder: si


partes de que el continuo de una circunferencia esta compuesto por puntos,imagina dos circunferencias concentricas, y traza radios desde el centrohasta cada punto de la exterior de ellas, de manera que atraviesen tambiena la interior. A cada punto de una le puedes asociar uno y solo uno de laotra a traves del radio correspondiente. Pero entonces eso querrıa decir quelas dos tienen la misma cantidad de puntos, lo cual no era posible, porqueuna es mas grande que la otra. (Ver figura 2.1a). O toma un cuadrado

(a) (b)

Figura 2.1

con su diagonal, y atraviesa cada punto de uno de sus lados con una lıneaortogonal a el, que prolongada hasta la diagonal, asocia un punto de ella(y solo uno) a cada punto del lado (y viceversa); ası que tienen la mismacantidad de puntos el lado y la diagonal. Mas la diagonal es mas grande queel lado, de modo que tu vision de la recta compuesta por puntos conducea una paradoja. (Ver figura 2.1b).

En el fondo, el problema partıa de aceptar, de no cuestionar algo quedesde los griegos era considerado casi de sentido comun, que era que eltodo siempre es mas grande que cualquiera de sus partes (la quinta de lasNociones Comunes de Los Elementos de Euclides).

Galileo, por supuesto, se incorporo a la discusion de la vision aristotelica,con el debido cuidado dado el acoso que sufrıa por parte de la Inquisicion.Vale la pena citar, ası sea brevemente, tres aspectos de su argumentacion:

. . . Una de las primeras objeciones que se suelen adelantar con-tra aquellos que componen las magnitudes continuas de par-tes indivisibles suele ser la de que un indivisible anadido aotro indivisible no produce otra cosa divisible . . . En esta

106 2.1 Aparentes contradicciones logicas . . .

y en otras objeciones parecidas se puede dar satisfaccion alos que las ponen diciendoles que no solo dos indivisibles,sino ni siquiera diez, cien o mil podrıan componer jamasuna magnitud divisible y extensa, sino que se necesitarıaninfinitos.

Esto tiene una gran relevancia, no solo porque de pasada discute conla idea inicial de los pitagoricos de que el numero de puntos en un seg-mento acotado era finito, sino porque la idea de Aristoteles partıa en elfondo de imaginar que para generar la recta los puntos debıan unirse unoa continuacion del otro, por parejas; y ası, efectivamente, no era posiblehacerlo. Esta idea no se corresponde con una propiedad de la recta sobrela que hablaremos mas adelante (la densidad), que consiste en que entredos puntos cualesquiera de ella hay siempre una infinidad de otros mas, deforma que no puede hablarse de un punto de la recta y “el que le sigue” .Y el argumento de Galileo abre la mente en esa direccion.

Mas adelante en el mismo texto, por medio de Simplicio (personajeficticio que utiliza en sus escritos para poner a discusion las objeciones massimples -y comunes- a los descubrimientos y razonamientos por los que seiba abriendo paso la ciencia), Galileo plantea la siguiente objecion (a la cualresponde el mismo, a traves de Salviati, personaje que utiliza para expresarsus propios puntos de vista):

Simplicio: Aquı surge inmediatamente una duda que me pareceinsoluble; y es que, estando nosotros seguros de que puedendarse lıneas, una de las cuales es mayor que la otra, tenien-do ambas infinitos puntos, hay que confesar que existe, enmagnitudes de la misma especie, una cosa mas grande queel infinito, puesto que la infinitud de los puntos de la lıneamayor excedera a la infinitud de los puntos de la menor.Ahora bien, que se de un infinito mas grande que el infinito,me parece algo totalmente absurdo.

Salviati: Este tipo de dificultades proviene de los razonamientosque nosotros hacemos con nuestro entendimiento finito altratar con los infinitos, otorgandoles los mismos atributosque damos a las cosas finitas y limitadas, lo cual pienso quees improcedente . . .


Esta observacion de Galileo sera palpable en la seccion §2.2, pues senalala dificultad que se presenta una y otra vez cuando para resolver un pro-blema nuevo que involucra al infinito, se intenta aplicar el procedimientoque habıa funcionado bien para el caso finito y se arriba a un callejon sinsalida.

Finalmente, comparando la cantidad de numeros de la forma n2: 1, 4,9, 16, 25, . . . (numeros cuadrados), con el total de los naturales, Galileopone a discutir a sus personajes para sacar algunas conclusiones (en estedialogo interviene tambien el tercero de ellos, Sagredo, “el hombre imparcial,instruido y agudo (que) sin ser especialista en la materia, tiene como misionplantear dudas inteligentes -que dan ocasion al mas pleno desarrollo delpensamiento de Galileo”. Observese en esta cita la claridad con que planteala forma de comparar la cardinalidad (es decir, el numero de elementos) dedos conjuntos infinitos:

Salviati: . . . si yo digo que todos los numeros, incluyendo cua-drados y no cuadrados, son mas que los cuadrados solos,enunciare una proposicion verdadera, ¿no es ası?

Simplicio: Evidentemente.Salviati: Si continuo preguntando cuantos son los numeros cua-

drados, se puede responder con certeza que son tantos cuan-tas raıces tengan, teniendo presente que todo cuadrado tienesu raız y toda raız su cuadrado; no hay, por otro lado, cua-drado que tenga mas de una raız ni raız con mas de uncuadrado.

Simplicio: Ası es.Salviati: Pero si pregunto cuantas raıces hay, no se puede negar

que haya tantas como numeros, ya que no hay ningun nume-ro que no sea raız de algun cuadrado. Estando ası las cosas,habra que decir que hay tantos numeros cuadrados comonumeros, ya que son tantos como sus raıces, y raıces sontodos los numeros. Decıamos al principio, sin embargo, quetodos los numeros son muchos mas que todos los cuadrados,puesto que la mayorıa de ellos no son cuadrados.

Sagredo: En este caso, ¿que es lo que se deduce?Salviati: Yo no veo otra cosa que haya que decir si no es que infi-

108 2.2 Los hoteles de Hilbert

nitos son todos los numeros, infinitos los cuadrados, infinitossus raıces; la multitud de los cuadrados no es menor que lade todos los numeros, ni esta mayor que aquella; y finalmen-te, los atributos de mayor, menor e igual, no se aplican a losinfinitos, sino solo a las cantidades finitas. . . 42

Debieron pasar 236 anos para que Georg Cantor, para su propia sorpresa,pudiera demostrar que la afirmacion contenida en los dos ultimos renglonesno era verdadera. Pero habrıa sido imposible descubrir eso sin el desarrolloprevio de todo el calculo, y en particular, sin la comprension a fondo de losnumeros reales.

2.2. Los hoteles de Hilbert

Se dice que Hilbert, para hacer mas comprensibles algunas de las pro-piedades del infinito en sus clases43, solıa plantear problemas del estilo delos que planteamos a continuacion, todos ellos basados en la idea imagi-naria de un hotel con una infinidad de cuartos numerados y otros tantoshuespedes:

Ejemplo 2.1. Si un hotel de tales caracterısticas estuviese lleno con unapersona en cada cuarto, y llegara un nuevo huesped, ¿habrıa forma de reaco-modarlos a todos, de suerte que pudiera asignarsele un cuarto al recienllegado?

Hay dos reglas basicas a respetar en este y los subsiguientes ejemplos:Regla 1. Cada huesped puede ser cambiado de cuarto a lo mas una

vez.Regla 2. Con los reacomodos, no puede quedar mas de un huesped en

un cuarto, ni algun cuarto vacıo.

Solucion. Si el hotel fuera finito, la respuesta serıa no. Pero la infinitudde los cuartos modifica las cosas. ¿Podrıa por ejemplo pedırsele al nuevohuesped simplemente que “se vaya al que sigue del ultimo cuarto” ? Puesno, porque no hay un ultimo cuarto. En cambio, puede darse la instruccionde que cada huesped se recorra al cuarto siguiente, y el nuevo huesped queingrese al primer cuarto, que habrıa quedado vacıo. Que con ese reacomodo


ningun cuarto queda con mas de un huesped es claro, pero ¿no se quedarıafuera el huesped del ultimo cuarto? No, de nuevo, porque no hay tal ultimocuarto. Esta idea surge en realidad de que cuando se habla de una infinidadde cuartos nos imaginamos algo del estilo de la figura 2.2a. Pero ası no esel asunto. La infinidad de cuartos numerados se expresa mas bien en unesquema como el de la figura 2.2b.

(a) (b)

Figura 2.2

De modo que, como para todo numero natural n, el numero n + 1 estambien un natural, todo huesped queda entonces dentro de un cuarto,nadie queda fuera del hotel. (Ver figura 2.3). �

Figura 2.3: Un nuevo huesped.

Ejemplo 2.2. Supongamos que llegan 1000 nuevos huespedes: ¿Caben?

Solucion. ¿Podrıa ser la solucion que se repita 1000 veces el procedi-miento del ejemplo anterior? No, porque se estarıa violando la regla 1.


Pero sı en cambio dar la instruccion al huesped del cuarto n, de que sepase al n + 1000, sea cual sea la n ∈ N. Numerar del 1 al 1000 a los re-cien llegados, y darles la instruccion de que el k-esimo ingrese al cuarto k,∀ k = 1, 2, . . . 1000. (Ver figura 2.4). �

Figura 2.4: 1000 nuevos huespedes.

Ejemplo 2.3. Supongamos ahora que llega una infinidad de nuevos huespe-des, cada uno con un lugar numerado conforme a los numeros naturales.¿Caben?

Solucion. ¿Podrıamos proponer aplicar una infinidad de veces el mo-vimiento del primer ejemplo? No, pues otra vez, estarıamos violando laRegla 1. Mejor en tal caso adecuar el procedimiento seguido en el segundoejemplo: si cuando eran 1000 solicitantes la solucion era que cada huespedse recorriera 1000 lugares, ¡podrıamos aquı pedirle a todos los huespedesque se recorran una infinidad de lugares y ya esta! Solo que tendrıamosque hacernos una pregunta: ¿donde quedarıa reacomodado el huesped queestaba en el cuarto n? En el n+∞. Pequeno detalle: ese no es un numero


natural, no existe ningun cuarto “numerado” de esa manera. Decirle a unhuesped que se vaya al cuarto n +∞, es tanto como decirle que se vaya avolar.

Estamos frente a algo que nos recuerda lo que decıa Galileo: si calcamospara el caso infinito el procedimiento que funcionaba bien para el caso finito(de solicitantes, en este ejemplo), muy probablemente toparemos con pared.Necesitamos pensar de otra manera el problema.

Y una alternativa de ello es la siguiente: ¿Que pasa si a quien esta ubi-cado en el cuarto n del hotel, le pedimos que se pase al cuarto 2n? Comotodo numero tiene su doble, ningun huesped se quedarıa sin cuarto. Y co-mo el doble de numeros distintos nos da siempre como resultado numerosdistintos a su vez, en ningun cuarto quedarıa alojado mas de un huesped.¿Y como queda el hotel al aplicarse este reacomodo? Con los cuartos paresllenos, y los impares vacıos. De modo que entonces acomodamos a quientiene el lugar k entre los recien llegados en el cuarto 2k − 1, ası para todak ∈ N, y todos quedan felizmente ubicados en un unico cuarto, quedando elhotel con todos sus cuartos ocupados, un huesped por cuarto. (Ver figura2.5). �

Figura 2.5: Una infinidad de nuevos huespedes.


Ejemplo 2.4. Y si llegan despues 1968 filas infinitas de nuevos huespedes,con lugares numerados fila for fila de acuerdo con los naturales, ¿cabrıan?

Solucion. La idea serıa reacomodar a los huespedes que estaban ini-cialmente en el hotel, de manera que entre cada uno queden 1968 lugareslibres. La regla de reacomodo para ellos podrıa ser la siguiente: que el queesta en el cuarto n, se pase al cuarto 1969n. ¿Como queda el hotel con estereacomodo? 1968 lugares libres y uno ocupado; otros 1968 lugares libres, yotro ocupado; y ası sucesivamente. Entonces, a quien esta en el lugar k dela primera fila, lo ubicamos en el cuarto 1969k− 1. (Tomen lapiz y papel yhagan cuentas y dibujos, para entender bien el mecanismo). A quien esta enel lugar k de la segunda fila, que ingrese al cuarto 1969k − 2. En general,a quien este en el lugar k de la fila m, ∀ k ∈ N y m = 1, 2, . . . 1968, queingrese al cuarto 1969k −m. (Ver figura 2.6). �

Figura 2.6: 1968 filas infinitas de nuevos huespedes.

Y despues de este, llegamos al caso mas sorprendente:

Ejemplo 2.5. ¿Que pasa si llegaran ahora una infinidad de filas numera-das como los naturales, cada una con una infinidad de nuevos huespedes,igualmente numerados dentro de cada fila como los numeros naturales?¿Cabrıan?


Solucion. ¿Que hicimos cuando era un numero finito de filas con infini-dad de huespedes cada una? Saltear los lugares en los cuales ubicar a loshuespedes iniciales, dejando entre cada uno de ellos tantos lugares vacıoscomo numero de nuevas filas llegaron. ¿Podrıamos copiar el procedimientopara la nueva situacion, en que el numero de filas es infinito? Pues no, por-que querrıa decir ubicar al primero de los viejos huespedes digamos en elcuarto a, dejar una infinidad de lugares vacıos y colocar “a continuacion”al siguiente huesped inicial; pero eso querrıa decir que estarıamos mandan-do apenas al segundo huesped al cuarto a +∞, o sea, a ningun lado. Denuevo, la calca del caso finito no tiene posibilidades.

Como hemos venido viendo, decir que la respuesta a la pregunta hechaen el ejemplo es afirmativa, presupone exhibir una forma de reacomodara los huespedes, viejos y nuevos, de manera que queden todos ubicadosde a uno por cuarto y el hotel quede lleno. Digamos en este caso que loshuespedes del hotel se encuentran en la fila 1, y los demas en las filas 2, 3,. . . Es decir, hablaremos de la fila m, con m = 1, 2, . . . , quedando incluidoscomo la primera fila los huespedes originales. El problema es entonces veren que cuarto quedarıa ubicado quien se encuentra en la fila m, lugar n, conm,n ∈ N. Podemos representar lo anterior con la pareja ordenada (m,n).(Ver figura 2.7). Bastarıa con ilustrar graficamente una forma de enumerara todas las entradas de un arreglo con infinidad de filas, cada una a su vezcon infinidad de lugares:

Si nos propusiesemos numerar, por ejemplo, primero toda la primerafila, y “al terminar” empezar con la segunda fila, el resultado real es quenunca pasarıamos a la segunda fila, de forma que ası no funcionarıan lascosas. El resultado es el mismo si emprendemos la numeracion de toda laprimera columna, con la intencion de “al terminar” pasar a la segunda.

El procedimiento debe ser diferente. Y una opcion es la siguiente: quevayamos numerando mas bien diagonalmente. De acuerdo a nuestro esque-ma, comenzando en la esquina superior izquierda, y recorriendo las diago-nales de izquierda a derecha, de abajo hacia arriba (digamos, en direccionSuroeste→Noreste), regresando al terminar cada diagonal al siguiente lugarhacia abajo en la primer columna para recorrer una nueva diagonal (quevan resultando cada vez mas largas, pero siempre finitas). (Ver figura 2.8).En la primer diagonal solo cae el (1,1). En la segunda diagonal, caen el(1,2) y el (2,1). En la tercer diagonal, caen, en orden, el (1,3), (2,2) y (3,1).


Figura 2.7

Notese que la suma de las coordenadas de las parejas de una misma diago-nal, suman siempre una cantidad constante e igual al numero de diagonalque se trate mas 1. Es decir, en la p-esima diagonal, caen en total p parejas,que en orden serıan las (1, p), (2, p− 1), (3, p− 2), . . . (k+ 1, p−k), . . . (p, 1).

¿Que podemos decir del huesped ubicado en el lugar (m,n) de nuestrodiagrama? Pertenece a la diagonal numero m+ n− 1; y su lugar dentro deella es el m-esimo. ¿Cuantos lugares suman todos los anteriores al inicio deesa diagonal? 1+2+3+ · · ·+(m+n−2) = (m+n−2)(m+n−1)

2 , de acuerdo con(1.24). Entonces, ¿que lugar le correponde al huesped del cuarto (m,n)? El(m+n−2)(m+n−1)

2 +m.

Que no quedan dos o mas huespedes en un mismo cuarto, y que todoslos cuartos quedan ocupados, se desprende de la forma en que vamos reco-rriendo las diagonales: sin saltarnos nunca ninguna pareja y sin saltarnostampoco ningun natural cuando los asignamos a cada pareja. Estrictamen-te hablando, habrıa que probar que la formula obtenida, definida como unafuncion : N× N → N es inyectiva y sobreyectiva. Es decir, en mostrar que


Figura 2.8

para toda k ∈ N, la ecuacion (m+n−2)(m+n−1)2 +m = k, tiene una unica so-

lucion (m,n), con m,n ∈ N. Se trata de lo que se conoce como una ecuaciondiofantina (ecuaciones con soluciones enteras). �

2.3. Primeras definiciones y propiedades.

Sin darnos cuenta, al resolver los problemas de los hoteles hemos demos-trado propiedades que resultan sumamente utiles en el estudio de las reglasdel juego para el manejo de los conjuntos infinitos. Le pondremos nombrea algunas cosas y enunciaremos los resultados probados, en los terminosformales que corresponden.

En primer lugar: analicemos la regla para establecer cuando dos con-juntos infinitos tienen la misma cardinalidad. ¿Como podemos comparar eltamano de dos conjuntos? Una forma es contar los elementos de uno, los delotro y ver cual de los dos numeros que resultan es mas grande. El problema

116 2.3 Primeras definiciones y propiedades.

es que esto sirve cuando los conjuntos son finitos, pero no cuando son infini-tos, pues nunca terminamos de contar sus elementos. Por lo demas, cuandolos conjuntos son finitos, pero muy grandes, resulta muy engorroso hacerlas cosas de esa manera. Supongamos por ejemplo que entramos a un cinecon mucha gente y queremos saber si hay lugar, es decir, si el numero deasientos es mayor que el numero de personas. ¿Que hacemos? ¿Contamoslo uno y lo otro? ¿O miramos a ver si hay algun asiento vacıo? ¿Que es enel fondo hacer lo segundo? “Aparear” los asientos con las personas y ver sisobra algun asiento (o alguna persona). Esa es otra manera de compararel tamano de dos conjuntos. Y esa forma tiene la virtud de que sirve tan-to para el caso en que los conjuntos son finitos como para el caso en queson infinitos. Se trata precisamente del razonamiento seguido por Galileocuando comparaba el numero de cuadrados con el numero de naturales. Deaquı en adelante, esa sera la regla que seguiremos:

Definicion 1. Decimos que dos conjuntos A y B tienen la misma cardi-nalidad (Notacion. |A| = |B|) ⇔ Existe una forma de aparear (= formarparejas de) los elementos de A y los de B para la cual no sobre ningunelemento ni en A ni en B, en el entendido de que elementos diferentes deuno de los conjuntos no pueden aparearse con un mismo elemento del otro.Es decir, si existe una funcion biyectiva f : A ↔ B. Cuando dos conjun-tos A y B tienen la misma cardinalidad se dice que son equivalentes, y lodenotamos con el sımbolo A ∼ B.

Notese que dice “existe”, no dice “para toda”. ¿Pues que no si existeuna forma de aparear los elementos de dos conjuntos para la cual no sobrenelementos de ninguno, para todas las demas debera ocurrir lo mismo? Enel caso de los conjuntos finitos, sı; pero en el de los infinitos, no. Tomemospor ejemplo los numeros naturales (N) y los numeros pares (P). Exhibi-remos tres apareamientos entre ambos conjuntos a traves de los esquemascorrespondientes:


N : 1 2 3 4 5 6 7 8 . . . 2n− 1 2n . . .l l l l l

P : 2 4 6 8 . . . 2n . . .

N : 1 2 3 4 5 6 7 8 . . . n . . .l l l l l l l l l

P : 2 4 6 8 10 12 14 16 . . . 2n . . .

N : 1 2 3 4 . . . n . . .l l l l l

P : 2 4 6 8 10 12 14 16 . . . 4n− 2 4n . . .

En el primer apareamiento, sobran numeros en N (todos los impares);en el segundo, no sobra ningun elemento en ninguno de los conjuntos; enel tercero, sobra una infinidad de elementos en los pares (¡en el conjuntoque parecerıa el menor de los dos, pues esta propiamente contenido enN!). ¿Que podemos decir entonces de la cardinalidad de ambos conjuntos?Que es igual, pues se cumple la definicion 1, gracias al segundo de losapareamientos.

De lo anterior salen varias conclusiones respecto a los conjuntos infinitos:

o El hecho de que un conjunto A este contenido propiamente en otroconjunto B, es decir, que sea solo una parte de el, no implica que el segun-do tenga mayor cardinalidad que el primero. A diferencia de los conjuntosfinitos, para los conjuntos infinitos no aplica aquello de que “siempre eltodo es mayor que cualquiera de sus partes”. Por eso no representaba nin-guna paradoja el que dadas dos circunferencias, una con radio mayor quela otra, ambas tuvieran el mismo numero de puntos; o que la diagonal deun cuadrado tenga el mismo numero de puntos que cualquiera de sus lados,teniendo mayor longitud que el.

Este fue durante mucho tiempo el meollo de la dificultad para aceptar alinfinito, a los conjuntos infinitos. Pero Bolzano, a contrapelo de la tendenciageneral, planteo que no solo no se trataba de un defecto de los conjuntos

118 2.3 Primeras definiciones y propiedades.

infinitos, sino que era precisamente su propiedad distintiva. Idea que dio piepara que Dedekind anos despues incluso definiera el concepto de conjuntoinfinito en terminos de esa propiedad.

Porque observen ustedes que hemos venido hablando de los conjuntosinfinitos, y nunca hemos definido que se entiende formalmente por un con-junto infinito. Implıcitamente asumıamos una definicion: que un conjuntoes infinito si no es finito. Y es valido. Pero siempre que antes definamosque significa que un conjunto sea finito. Y podemos hacerlo bien: un con-junto es finito si es posible aparearlo (1 a 1) sin que le sobre ningun elementocon los primeros n numeros naturales, para alguna n ∈ N (es decir, si exis-te una funcion biyectiva entre el y el conjunto {1, 2, . . . , n} para algunan ∈ N).

Ese es un camino. El otro es definir primero un conjunto infinito comoaquel que puede ponerse en correspondencia biunıvoca con un subconjuntopropio de sı mismo. Y a partir de eso definir un conjunto finito como el queno es infinito.

Puede demostrarse que ambas alternativas son equivalentes.

o De los tres apareamientos vistos entre los naturales y los pares, sedesprende entonces que el hecho de que exista un apareamiento entre loselementos de dos conjuntos A y B con el cual no sobren elementos ni enuno ni en otro, no impide que pueda haber otros apareamientos en dondele sobren a uno o al otro. Entonces, si dados dos conjuntos A y B, encon-tramos un apareamiento con el que le sobran elementos a A por ejemplo,eso no nos dice que |A| > |B|, pues puede existir otro apareamiento con elque no le sobren a ninguno de los dos.

o En el ejemplo de los pares y los naturales, y en los ejemplos de loshoteles, hemos trabajado todo el tiempo con conjuntos que tienen la mismacardinalidad de los naturales. Esos conjuntos reciben un nombre especial:

Definicion 2. Decimos que un conjunto A es numerable si y solo si |A| =|N|. Es decir, existe una forma de aparear (1 a 1) sus elementos con losnumeros naturales con la cual no sobre ninguno a ninguno de los dos.

o Ahora reflexionemos sobre lo que en el fondo demostramos con losproblemas de los hoteles de Hilbert. Los dos primeros ejemplos son un caso


particular de un resultado mas general cuya prueba quedo practicamentedesarrollada en ellos: si a un conjunto numerable (los huespedes del hotel)le agregamos un conjunto finito (los 1 o 1000 nuevos huespedes) vuelvea resultarnos un conjunto numerable (pues todos quedaron debidamenteacomodados en el hotel, que tiene tantos cuartos como naturales). El ter-cer ejemplo nos muestra que la union de dos conjuntos numerables (loshuespedes iniciales del hotel y la fila infinita de los que llegan), nos vuelvea resultar un conjunto numerable (pues pudieron acomodarse en el hotelunos y otros). El cuarto ejemplo es un caso particular tambien de uno masgeneral, cuya prueba es similar a la realizada: si unimos una familia finitade conjuntos numerables (las filas de huespedes, incluyendo la de los queestaban de antemano en el hotel), nos vuelve a resultar un conjunto nume-rable (cupieron bien todos en el hotel). Finalmente, en el quinto ejemplo,lo que hicimos de hecho fue probar que si unimos una familia numerable deconjuntos numerables, nos vuelve a resultar un conjunto numerable.

De modo que casi sin sentirlo, con algo que parecıa casi un juego, hemosde hecho probado varios teoremas generales que van perfilando la forma deoperar con ciertos conjuntos infinitos. Procedamos a enunciarlos explıcita-mente:

Teorema 2.6. La union de un conjunto numerable y un conjunto finito,resulta un conjunto numerable.

Teorema 2.7. La union de dos conjuntos numerables resulta un conjuntonumerable.

Teorema 2.8. La union de una familia finita de conjuntos numerables,resulta un conjunto numerable. Con sımbolos: si A1, A2, . . . An son todosconjuntos numerables, entonces

⋃nk=1Ak es un conjunto numerable.

Teorema 2.9. La union de una familia numerable de conjuntos numera-bles, resulta un conjunto numerable. Con sımbolos: si A1, A2, . . . son todosconjuntos numerables, entonces

⋃∞k=1Ak es un conjunto numerable.

Como decıamos antes, las demostraciones estan esencialmente dadas enlas soluciones de los ejemplos de los hoteles. Hay un detalle que cambia,que es que en el caso de los hoteles todos los conjuntos que unıamos eranajenos (pues las personas en una u otra fila, o en el hotel mismo, son todas

120 2.4 Mas conjuntos numerables.

diferentes personas). Y al hablar de conjuntos en general, no necesariamentees ası. Sin embargo, esto no representa un problema, pues a la hora deenumerar los elementos de los conjuntos que unimos, si alguno se repite,simplemente nos lo saltamos; y si no repitiendose ninguno no rebasabamosla cardinalidad de los naturales, menos aun quitando los que se repiten. Porotro lado, como al menos uno de los conjuntos es de por sı numerable, alunirle otros no nos puede quedar mas pequeno. Es decir: lo que resulta delas uniones consideradas no es ni menor, ni mayor que los naturales.

2.4. Mas conjuntos numerables.

Ejemplo 2.10. ¿Que hay mas: naturales o multiplos de 10? Argumentensu respuesta.

Solucion. Se podrıa antojar responder: igual, porque los dos son infi-nitos. Sin embargo, ese argumento no es valido (independientemente de sifuera acertada o no la respuesta). Nuestro criterio para argumentar en es-tos casos debe apegarse a la definicion que dimos de que significa que dosconjuntos tengan la misma cardinalidad (o a su negacion, en caso de queno la tuvieran: de ello hablaremos mas adelante). Aquı debemos separarnosde los dos ultimos renglones de nuestra ultima cita de Galileo.

Entonces, si sospechamos que los multiplos de 10 y los naturales todosson la misma cantidad, lo que debemos hacer es exhibir una correspondenciabiunıvoca entre unos y otros. Si llamamos D al conjunto de los multiplosde diez, el esquema siguiente ilustra bien la solucion:

N : 1 2 3 4 5 6 7 8 . . . n . . .l l l l l l l l l

D : 10 20 30 40 50 60 70 80 . . . 10n . . .

¿Cual es la regla de apareamiento? La que se ilustra en la columna ge-neral: f : N→ D, f(n) = 10n. �

Ejemplo 2.11. ¿Que hay mas, numeros naturales o numeros enteros?


Figura 2.9

Solucion. Podemos numerar los enteros siguiendo la regla que ilustra lafigura 2.9. O bien, podemos aplicar los teoremas discutidos. Los enteros,son el resultado de la union de tres conjuntos: los naturales (numerable porantonomasia), los enteros negativos (obviamente equivalentes a los natura-les) y el conjunto que solo contiene el cero (finito). Ası que Z es la unionde dos conjuntos numerables y uno finito ∴ es numerable. �

Ejemplo 2.12. ¿Que hay mas, naturales o puntos en el plano con ambascoordenadas enteras? Es decir, ¿quien tiene mayor cardinalidad, N o Z×Z?

Solucion.

La regla de numeracion ilustrada en la figura 2.10 responde la pregunta.Por otro lado, si aplicamos los teoremas que hemos visto:

Podemos ver a Z× Z como la union “por renglones” de los puntos delplano con coordenadas enteras, es decir, como la union de conjuntos de laforma {(z, k) : z ∈ Z}, con k fija recorriendo todos los enteros. ¿Cuantoselementos tiene cada renglon? Tantos como elementos tiene Z, que ya vimosque es numerable. ¿Y cuantos renglones son? Tantos como elementos tieneZ otra vez. Es decir, que Z × Z es la union de una familia numerable deconjuntos numerables ∴ es numerable. �

Ejemplo 2.13. ¿Es numerable el conjunto S de los numeros entre 0 y 1con expansion decimal finita?

S = {0.a1a2 . . . aN : ai = 0, 1, . . . 9 ∀ i = 1, 2, . . . N, N ∈ N}.

122 2.5 Un primer acercamiento a los racionales

Figura 2.10

Solucion. Observemos el orden que sugiere el siguiente listado:

0.1, 0.2, . . . 0.9, 0.11, . . . 0.19, 0.21, . . . . . . 0.99,0.101, 0.102, . . . 0.109, 0.111, . . . 0.119, 0.121, . . . . . . 0.199,0.201, 0.202, . . . 0.209, 0.211, . . . 0.219, 0.221, . . . . . . 0.299,

......

...0.901, 0.902, . . . 0.909, 0.911, . . . 0.919, 0.921, . . . . . . 0.999,0.1001, . . .

¿Cual es la idea? Tenemos dos elementos de S, digamos x = 0.a1a2 . . . aMy y = 0.b1b2 . . . bN , cuidando que aM 6= 0, bN 6= 0. (Es decir, empezamospor quitar a ambos numeros los ceros que pudieran tener de balde al finalde su expansion decimal finita).

(a) Si M < N =⇒ x < y. Analogamente, si M > N =⇒ x > y.

(b) Y si N = M , las ordenamos en su orden natural.

De modo que S es numerable. �

2.5. Un primer acercamiento a los racionales

o ¿Como se distribuyen los numeros racionales en la recta?


Tomemos dos numeros racionales diferentes, digamos pq ,

mn , p,m ∈

Z, q, n ∈ N tales quep

q<m

n.

(Siempre que hablemos de dos racionales, sera implıcito que son diferentesentre sı).

El punto medio ξ entre los dos, esta dado por (ver Ejercicio 8b en 2.10)

ξ =

mn + p

q

2=mq + np

2nq.

Y como el producto y la suma de enteros es entero, y el producto denaturales es natural,1 tenemos que el numerador es entero y el denominadores natural. Es decir, ξ ∈ Q. Por lo tanto

Teorema 2.14. El punto medio entre dos racionales siempre es racional.

De aquı se desprenden varias conclusiones relevantes:

Corolario 2.15. Entre dos racionales cualesquiera, por cercanos que seencuentren entre sı, siempre hay otro.

Corolario 2.16. Dado un racional cualquiera no puede hablarse de “elsiguiente” ni “el anterior” a el de acuerdo a su magnitud.

La razon es inmediata: si un racional fuera “el siguiente” de otro, entreellos dos ya no habrıa ninguno mas, lo cual niega lo recien probado. Lomismo aplica para “el anterior” .

Y si esto es ası, entonces entre dos racionales a y b, digamos a < b,existe no solo uno, sino toda una infinidad de racionales diferentes. Puessi solo hubiese una cantidad finita, podrıamos escoger el mayor de ellos,2 yentonces entre el y b no habrıa ningun otro racional, lo cual contradirıa lodemostrado. Ası que hemos probado tambien que:

1Que la suma y el producto de naturales resulta siempre un natural es algo quecorresponde a nuestra ancestral utilizacion de estos numeros, y que mucho despues deque surgieron, cuando se considero necesario precisar en una definicion las caracterısticasbasicas de este conjunto, quedo como una consecuencia de la definicion adoptada.

2Aquı estamos utilizando el hecho de que todo conjunto finito (en donde este definidauna relacion de orden) tiene un mayor y un menor elemento. Esto, que es intuitivamenteclaro, es algo que en realidad se demuestra. La prueba es sencilla, pero para hacerladebe utilizarse el Principio de Induccion y otras propiedades basicas del orden entre los


Teorema 2.17. Entre dos racionales cualesquiera siempre hay una infini-dad de racionales.

¿Como estan distribuidos entonces los racionales en la recta? Imagi-nemos a los enteros –que son racionales– localizados en ella y tomemoscualesquiera dos sucesivos, digamos n y n+1. El punto medio entre ellos esracional, y nos genera 2 intervalos de longitud 1

2 con extremos racionales.Tomamos el punto medio de cada uno de estos intervalos y obtenemos 22

nuevos intervalos de longitud 122

con extremos racionales. Otra vez tomamospuntos medios y obtenemos 23 intervalos de longitud 1

23con extremos racio-

nales. Y ası sucesivamente. El intervalo [n, n+ 1] considerado inicialmentese puede partir entonces en 2k intervalos de longitud 1

2k, todos ellos con

extremos racionales, colocados uno a continuacion de otro. Y esto podemoshacerlo para toda k ∈ N. Y como 1

2kse puede hacer tan pequeno como que-

ramos, resulta entonces que cualquier pedacito del intervalo [n, n+ 1] tienetantos racionales como se desee. Dado que esto sucede para toda n ∈ Z,tenemos que cualquier pedacito de la recta incluye entre sus puntos a unainfinidad de racionales. Es decir, que la recta esta “tapizada” de racionales.3

Y los naturales, ¿como lucen en comparacion dentro de la recta? Avan-zando a grandes pasos, uno despues de otro, dejando grandes espacios entreellos . . .

numeros naturales (ver Beaumont, R. y Pierce, R., 1963, p. 130). No nos detendremosen ello.

Por otro lado, observemos que si un conjunto es infinito, puede o no tener tantomaximo como mınimo. Consideren por ejemplo los conjuntos A = { 1

n: n ∈ N}, B =

{3 − 1n

: n ∈ N}, C = A ∪ B. El conjunto A tiene maximo, pero no mınimo; el conjuntoB tiene mınimo pero no maximo; y el conjunto C no tiene ni maximo ni mınimo.

3El concepto formal que recoge esta idea es el de densidad de un conjunto en otro:dados dos conjuntos A ⊂ B, decimos que A es denso en B si entre cualesquiera doselementos de B siempre existe al menos un elemento de A. Lo que hemos argumentadomas arriba es que el teorema 2.14 aunado al hecho de que los racionales incluyen a losenteros (que son un conjunto que se extiende tanto como se quiera en ambas direccionesen la recta), garantiza que los racionales son densos en la recta.

Observemos que esta propiedad no podrıamos haberla obtenido del teorema 2.17. Puessi dada n ∈ Z tomamos los conjuntos An = {x ∈ (Q ∩ [n, n + 1]) : 0 ≤ x − n < 1

10} y

Bn = {x ∈ (Q ∩ [n, n + 1]) : 0 ≤ n + 1 − x < 110}, entonces An ∪ Bn es un conjunto

sumergido en el intervalo [n, n+1] que cumple que entre cualesquiera dos elementos suyostiene una infinidad de elementos mas, y sin embargo no cumple que entre cualesquierados elementos del intervalo [n, n+ 1] siempre van a existir elementos de An ∪Bn (bastacon tomar el subintervalo [n + 1

10, (n + 1) − 1

10] ⊂ [n, n + 1] y notar que en el no hay


Ejemplo 2.18. ¿Que hay mas, numeros racionales o numeros naturales?

Solucion. Aquı sı que parece desproporcionada la comparacion, y notanto porque, como sabemos, Q ⊃ Z ⊃ N, pues tambien sabemos que entrelos conjuntos infinitos tales contenciones no impiden la igualdad de cardina-lidades. Sino porque realmente parece extraordinariamente mas abundantela cantidad de racionales que la de naturales.

Sin embargo, encontrar una forma adecuada de presentar ordenada-mente a todos los racionales nos hara pensar en esquemas ya conocidos.Empezando con los positivos, podemos enlistarlos por renglones, colocandoen el primer renglon, en orden creciente del numerador, a los que tienendenominador 1. En el siguiente, a los que tienen el denominador 2. Y ası su-cesivamente. Luego reflejar todo hacia el lado izquierdo, para enlistar a losnegativos. Y por ahı en medio al cero. La imagen inferior ilustra comoquedarıan acomodados.

Antes que nada, observemos que aunque ahı estan todos los racionales,muchos estan repetidos (a la hora de simplificar su expresion, resultan el

ningun elemento de An ∪Bn). Entonces, si tomamos

X =

∞⋃n=−∞

(An ∪Bn). (2.1)

tenemos que X se extiende a lo largo de toda la recta (incluye a todos los enteros) yentre cualesquiera dos elementos de X existe siempre una infinidad de elementos de Xmismo. Sin embargo, no es denso en la recta, pues esta tiene una infinidad de intervalosde longitud 4

5distribuidos tambien a todo lo largo de sı misma en donde no hay ningun

elemento de X. Ası que el hecho de que los racionales cumplan el teorema 2.17 no garantizaque sean densos en la recta, mientras que el que cumplan el teorema 2.14 sı lo hace.Aunque parezca una sutileza la diferencia entre los teoremas 2.14 y 2.17, esto no es ası:el primero es mas fuerte que el segundo.

Otra forma de decir lo anterior es la siguiente: los conjuntos que cumplen que dadoscualesquiera dos elementos suyos siempre tienen al menos otro que esta entre ellos, se diceque son densos en sı mismos. El corolario 2.15 lo que establece es que los racionales sondensos en sı mismos. Y lo que hemos visto antes es que aunque un conjunto A se extiendaa lo largo de otro conjunto B (a lo que nos referimos con esto es a que ∀ b ∈ B ∃ a, a′ ∈ Atales que a ≤ b ≤ a′), el hecho de que A sea denso en sı mismo no garantiza que A esdenso en B. Mientras que si lo que cumple A -ademas de extenderse sobre todo B enel sentido dicho antes- es que dados cualesquiera dos elementos a, a′ ∈ A, a < a′ y dadacualquier magnitud r > 0 por pequena que esta sea, siempre existen a1, a2, . . . , an ∈ Acon a = a0 < a1 < a2 < · · · < an = a′ y (ak+1 − ak) < r ∀ k = 1, 2, . . . , n, entoncessı queda garantizado que A es denso en B.


. . . −4

1−3

1−2

1−1

10

1

1

2

1

3

1

4

1. . .

. . . −4

2−3

2−2

2−1

2

1

2

2

2

3

2

4

2. . .

. . . −4

3−3

3−2

3−1

3

1

3

2

3

3

3

4

3. . .

. . . −4

4−3

4−2

4−1

4

1

4

2

4

3

4

4

4. . .

......

......

......

......

mismo valor). Pero eso no representa mayor problema, pues al irlos nume-rando nos saltamos aquellos cuyo valor ya haya sido considerado previa-mente.

Esta imagen nos recuerda el ejemplo 2.5 (ver Figura 2.8). Tenemos va-rias opciones. Una, aplicar a la parte derecha del diagrama (es decir, alos racionales positivos) el mismo proceso de numeracion por diagonalesSuroeste→Noreste (SO → NE) que seguimos en aquel ejemplo. De mo-do que los racionales positivos serıan numerables; caso identico el de losracionales negativos; y entonces su union (junto con el cero) resultarıa nu-merable.

Otra es ir alternando entre los positivos y los negativos cada vez que ter-minemos una diagonal, que podrıan ser SO→NE en los positivos y SE→NOen los negativos.

Otra mas, ver a los racionales por renglones (como hicimos antes conZ×Z): el primer renglon, de todos los que tienen denominador 1 (son tantoscomo los enteros, y por tanto es numerable). El segundo renglon, de todoslos que tienen denominador 2 (numerable tambien por la misma razon). Eltercer renglon, los de denominador 3, y ası sucesivamente. ¿Cuantos ren-glones son? Tantos como numeros naturales. De modo que Q es igual ala union de una familia numerable de conjuntos numerables. Es entoncesnumerable. �


Ası que hemos visto distintos caminos que demuestran que:

Teorema 2.19. El conjunto Q de los numeros racionales es un conjuntonumerable.

Antes de pasar a lo siguiente mencionaremos tres detalles que utilizare-mos en lo sucesivo.

o Dos numeros enteros m y n se dice que son primos relativos si notienen ningun divisor comun (salvo el 1, claro). Esto es equivalente a decirque el maximo comun divisor de ambos numeros es 1. Y la notacion paraindicar esto es que (m,n) = 1.

o Si (m,n) = 1, donde m ∈ Z, n ∈ N, todos los racionales de la formakmkn con k ∈ N, que son una infinidad, tienen exactamente el mismo valor(son el mismo numero racional) que m

n . Diremos entonces que mn esta ex-

presado en su forma irreducible.

o Dado cualquier racional, si expresamos su numerador y su denomina-dor en terminos de sus correspondientes factores primos (cosa que siemprepodemos hacer gracias al Teorema Fundamental de la Aritmetica), y sim-plificamos los factores comunes de ambos, obtenemos la forma irreducibledel racional inicial. De modo que Q = {mn : m ∈ Z, n ∈ N, (m,n) = 1}. Esdecir, para trabajar con los racionales basta con hacerlo con las expresionesirreducibles de los mismos, todos estan representados ahı.

2.6. Numerar, una forma de ordenar

Numerar los racionales (y de hecho, cualquier conjunto numerable) sig-nifica decir “primero este, despues este, luego este, . . . ” Es como si esta-blecieramos un orden distinto al usual entre ellos.

¿Cual es el orden usual entre los racionales? Es ese al que se refie-ren implıcitamente el Teorema 2.17 y el Corolario 2.16, es decir, el desu magnitud, el que determina cual de dos racionales esta a la izquier-da del otro en su ubicacion en la recta. m

n < m′

n′ en el sentido usual

⇔ m′

n′ −mn > 0⇔ m′n−mn′

nn′ > 0⇔ m′n−mn′ > 0⇔ mn′ < m′n.

128 2.6 Numerar, una forma de ordenar

¿Cual es el orden que estarıamos estableciendo entre ellos al numerarloscon el procedimiento de las diagonales SO → NE?

Si pensamos en los racionales irreducibles mn como parejas (m,n), y apli-

camos la regla a la que llegamos en la solucion del ejemplo 2.5, obtenemoslo siguiente:

Supongamos primero que solo tenemos que ordenar los racionales posi-tivos: como los que caen en una misma diagonal (digamos, la p-esima) sonaquellos con la suma de su numerador y su denominador constante (igual ap+1), tenemos en primer lugar que si a = m

n cae en una diagonal menor que

b = m′

n′ , entonces a ≺ b (usaremos esa notacion para distinguir este nuevo

orden del usual). Es decir, si m + n < m′ + n′ ⇒ mn ≺

m′

n′ . ¿Y que pasasi caen en la misma diagonal? Ahı la numeracion respeta el orden de losnumeradores. Es decir que si m + n = m′ + n′, entonces m

n ≺m′

n′ cuandom < m′.

En las dos reglas anteriores se resume como funciona este orden. Nosfaltarıa solo determinar como incluir a los racionales negativos y al ce-ro. Podrıamos hacerlo estableciendo que el 0 sea el primer racional en sernumerado, y de ahı en adelante ir introduciendo cada racional negativoinmediatamente antes de su positivo correspondiente.

Ası las cosas, los racionales quedarıan ordenados de la siguiente manera:

0

1,− 1

1,1

1,−1

2,1

2,−2

1,2

1,−1

3,1

3,−3

1,3

1,−1

4,1

4,−2

3,2

3,−3

2,3

2,−4

1,4

1,

− 1

5,1

5,−5

1,5

1,−1

6,1

6,−2

5,2

5,−3

4,3

4,−4

3,4

3,−5

2,5

2,−6

1,6

1, . . .

Siguiendo este nuevo orden, pasamos por todos los racionales una solavez (eso nos permite decir que la relacion de orden≺ que recien introdujimoscumple que dados en su forma irreducible a, b ∈ Q, a 6= b, siempre ocurreque a ≺ b, o bien b ≺ a). Por otro lado, si un racional es numerado antesque otro (es decir, es ≺ que el), y este a su vez antes que otro, podemosdecir que el primero fue numerado antes que el tercero.

Las propiedades anteriores (llamadas respectivamente tricotomıa y tran-sitividad) tambien las cumple el orden usual deQ. Ellas definen basicamentelo que se entiende por un conjunto ordenado:


Definicion 3. Decimos que un conjunto X es ordenado (o simplementeordenado, o linealmente ordenado) si se puede definir una relacion ≺ entresus elementos tal que:(1) ∀ x, y ∈ X una –y solo una– de las tres siguientes cosas ocurre: x ≺ y,y ≺ x o x = y.(2) Si x ≺ y y y ≺ z entonces x ≺ z.

Un conjunto X con sus elementos ordenados a traves de la relacion deorden ≺ lo denotamos con el sımbolo X≺.

Pedir la condicion (1) es equivalente a pedir que se cumplan las dossiguientes condiciones:

(1’) Si x 6= y =⇒ x ≺ y o y ≺ x. (1”) x ⊀ x.

o Q es un conjunto ordenado tanto con el orden usual como con elnuevo orden ≺ definido mas arriba. Sin embargo, hay una propiedad quevimos que no cumple Q con el orden usual y que es inmediato que sı lacumple con el orden ≺: y es que dado cualquier elemento de Q, siempreexiste el siguiente. Y otra mas: con el orden usual, si tomamos por ejemplo{x ∈ Q : x > 1}, este subconjunto de Q (y muchos otros) no tiene unprimer elemento; mientras que con el orden ≺, sı lo tiene: es el −1

2 . Y esoocurre con cualquier subconjunto no vacıo de Q.

Tenemos entonces dos propiedades que cumple ≺ pero no cumple <.Planteadas en general, ¿son equivalentes entre sı esas dos propiedades? No:un orden puede cumplir la primera sin que cumpla la segunda. El ordenusual en los enteros es un ejemplo de ello: sı cumple que dado cualquierentero hay uno que le sigue; pero no cumple que dado cualquier subcon-junto de Z este siempre tiene un primer elemento: por ejemplo, Z−. En losejercicios viene otro ejemplo mas interesante (ver relacion de orden (2.18)del ejercicio 13 en 2.10).

No obstante, si se cumple la segunda, por fuerza se cumple la primeracon una pequena modificacion. Es decir: si A es un conjunto ordenado conun orden ≺ que cumple que dado cualquier subconjunto suyo no vacıo B,este tiene siempre un primer elemento, entonces A tambien cumple que dadocualquier elemento suyo que no sea el ultimo en caso de existir, siempre hayotro que le sigue con el orden establecido. Para ver esto, tomemos cualquierx ∈ A. Y pensemos en B = {w ∈ A : x ≺ w}. Si B = φ, eso quiere decirque x era el ultimo elemento de A, y entonces no habrıa nada que probar.

130 2.7 Un primer acercamiento a los irracionales

Si B 6= φ, de acuerdo a nuestra hipotesis, ∃ x′ ∈ B tal que x′ � w ∀ w ∈ B.Entonces x′ es el siguiente elemento de A despues de x, pues si hubiera otromenor que el debio pertenecer a B, y en ese caso no habrıa podido estarantes de x′, pues x′ era el primero de B.

Los conjuntos ordenados que cumplen la segunda propiedad que hemoscomentado reciben el nombre de conjuntos bien-ordenados.

Definicion 4. Decimos que un conjunto X≺ esta bien-ordenado, si cual-quier subconjunto suyo distinto del vacıo tiene siempre un primer elemento(de acuerdo a la relacion ≺). Cuando esto sucede, se dice que la relacion≺ bien-ordena al conjunto X.

Vimos entonces que Q con el orden usual no es un conjunto bien-ordenado. Pero numerandolo como lo hicimos (a traves del orden ≺), acualquier racional irreducible le asignamos un natural; si tomamos entoncesel numero que corresponde al natural siguiente con la numeracion conside-rada, ese sera el numero que le sigue de acuerdo al orden ≺. Entonces, alhaber un primero de todo Q e ir de uno en uno recorriendolos todos, cual-quier subconjunto de Q ordenado de esa manera siempre tiene un primerelemento. Es decir, con ese otro orden, sı es un conjunto bien-ordenado.

En general, si un conjunto es numerable eso significa que es biyectablecon los naturales. Y esto nos permite reproducir tal cual los razonamientoshechos con la biyeccion que discutimos de Q. Es decir, que en realidad todoconjunto ordenado numerable puede ser bien-ordenado. Y entonces surge lasiguiente pregunta: lo anterior, ¿solo lo cumplen los conjuntos numerables,o todos en general? Es decir, ¿cualquier conjunto ordenado puede ser bien-ordenado? Aquı tocamos un punto hipersensible de la Teorıa de Conjuntos. . . del que hablaremos mas adelante (ver pag. 167).

2.7. Un primer acercamiento a los irracionales

Y ahora hagamonos otra pregunta: vimos que los racionales “tapizan”la recta, pero ¿la llenan?

La respuesta es negativa, y su descubrimiento se atribuye a Hipaso deMetaponto, destacado miembro de la escuela de los pitagoricos44. Aunqueno se sabe bien a bien si la primera magnitud irracional descubierta fue√

2, es sin duda la mas emblematica.


Teorema 2.20.√

2 no es un numero racional.

Dada la trascendencia que tuvo el descubrimiento de los irracionales(hablaremos de ello mas adelante), vamos a festejar el acontecimiento ha-ciendo cinco pruebas distintas de la irracionalidad de

√2.4 Todas seran por

reduccion al absurdo, de manera que para no repetir el mismo “arranque”cinco veces, lo pondremos por separado:

Supongamos que√

2 es racional, es decir, que existen

m,n ∈ N, (m,n) = 1 tales que

√2 =

m

n=⇒ 2 =

m2

n2=⇒ m2 = 2n2. (2.2)

La mas clasica de las demostraciones, utiliza una propiedad de los nume-ros pares que demostraremos primero:

Lema 2.21. Sea p ∈ N. p es par ⇐⇒ p2 es par.

Demostracion. ⇒) Si p es par⇒ p = 2k para alguna k ∈ N⇒ p2 = (2k)2 =4k2 = 2(m), con m = 2k2 ∈ N ∴ p2 es par.⇐) Lo haremos probando la contrapositiva. Sea p impar ⇒ p = 2k − 1

para alguna k ∈ N ⇒ p2 = (2k − 1)2 = 4k2 − 4k + 1 = 2m + 1, dondem = (2k2 − 2k) ∈ N⇒ p2 es impar.

Pasemos entonces a las demostraciones del Teorema:

Demostracion. (Primera)(2.2) =⇒ m2 es par =⇒ por el Lema 2.21, m es par =⇒ m = 2k para

alguna k ∈ N =⇒ m2 = 4k2 =⇒ 2n2 = 4k2 =⇒ n2 = 2k2 =⇒ n2es par=⇒ por el mismo Lema 2.21, n es par. Pero siendo tanto m como n pares,eso significa que ambos tienen como factor al 2. De modo que m y n nohabrıan sido primos relativos, lo cual es una contradiccion, pues ası fuerontomados desde el comienzo.

4En 2009 fue publicada por el Consejo Nacional para la Cultura y las Artes la primeraedicion en espanol del libro Que irracional. El fabuloso destino de

√2, de Benoit Rittaud.

Entre muchas otras cosas, incluye 24 demostraciones de la irracionalidad de√

2.


Nuestra segunda demostracion, utiliza otra propiedad de los enteros queformularemos primero:

Lema 2.22. Sea k ∈ N. Entonces:

(a) En la descomposicion de k2 en potencias de sus factores primos,aparecen todas las potencias de los factores de k repetidas dos veces cadauna.

(b) Mas en general: Sea N ∈ N arbitraria. En la descomposicion de kN

en potencias de sus factores primos, aparecen las mismas potencias de losfactores de k pero repetidas exactamente N veces cada una.

Demostracion. La prueba es inmediata. Si la descomposicion de k en po-tencias de sus factores primos es k = p1

n1 · p2n2 · · · pKnK , entonces

kN = (p1n1 · p2

n2 · · · pKnK )N = (p1n1)N (p2

n2)N · · · (pKnK )N ,

de donde se desprende lo que se afirma en el inciso (b) del Teorema. Elinciso (a) es un caso particular (cuando N=2).

Pasemos entonces a la nueva prueba del Teorema 2.20:

Demostracion. (Segunda)45

Simplemente reflexionemos sobre la igualdad (2.2). Por lo visto en elinciso (a) del lema previo, del lado izquierdo tenemos un numero par defactores primos (considerando las repeticiones) . Y del derecho, la presenciadel 2 plantea que tenemos un numero impar de factores primos (tambienconsiderando las repeticiones). Uno y otro numero no pueden entonces seriguales entre sı ∴ es falso que

√2 sea racional.

Antes de ver la tercera demostracion, probaremos otra propiedad de losenteros que requeriremos en ella:

Lema 2.23. Si mn = m′

n′ y (m,n) = 1, entonces:

(a) Todo factor primo de m es un factor primo de m′ y

(b) Todo factor primo de n es un factor primo de n′.

Demostracion. (a) Supongamos que existe p primo tal que p | m perop - m′. Como (m,n) = 1 =⇒ p - n. Ası que p - m′n. Sin embargo, como


p | m =⇒ p | mn′. Pero mn = m′

n′ =⇒ mn′ = m′n ∴ p | m′n, llegando a unacontradiccion.5

La demostracion del inciso (b) es analoga.

Corolario 2.24. Si mn = m′

n′ y (m,n) = 1, entonces m ≤ m′, n ≤ n′.

Demostracion. Por el lema tenemos que todo factor primo de m es factorprimo de m′. Entonces, m | m′ y ∴ m ≤ m′. Lo mismo ocurre con n yn′.

Veamos ahora la tercera prueba de la irracionalidad de√

2.

Demostracion. (Tercera)Partiendo de (2.2), observemos que como m

n es ya una expresion irredu-cible, el ultimo corolario implica que no existen 0 < m′ < m y 0 < n′ < n

tales que√

2 = m′

n′ . Ahora bien, como√

2 = 2−√

2√2−1

(basta multiplicar y

dividir por el conjugado del denominador para verificar esta igualdad), sus-tituyendo en el lado derecho

√2 = m

n , obtenemos que

√2 =

2− mn

mn − 1

=2n−mn

m−nn

=2n−mm− n

=m′

n′.

Pero como 1 <√

2 < 2 =⇒ 1 < mn < 2 =⇒ n < m < 2n.

Si en esta desigualdad restamos n a ambos lados, tenemos que 0 <m − n < n. Por otro lado, si en la misma desigualdad hubiesemos restadom, tendrıamos del lado derecho que 0 < 2n−m. Y de haberla multiplicadopor 2, tendrıamos del lado izquierdo que 2n < 2m =⇒ 2n−m < m.Juntando todo llegamos a que 0 < n′ = m − n < n y 0 < m′ = 2n −m < m. Y m

n = m′

n′ , con (m,n) = 1, lo cual representa una contradiccioncontemplando lo que decıamos al principio.

¿Puede existir una sucesion (infinita) decreciente de numeros naturales?No, pues empecemos en el valor m que empecemos, tan solo existe unacantidad finita de naturales menores que el. Este simple hecho nos sera utilen las siguientes demostraciones, que seran geometricas las dos.

5Aquı presupusimos dos propiedades de divisibilidad entre los enteros: que si a | b =⇒a | bc ; y que si p es primo y p | ab =⇒ p | a o p | b.


Demostracion. (Cuarta)

La igualdad final de (2.2), conduce a que existe un triangulo rectanguloisosceles con catetos de longitud n e hipotenusa de longitud m, con m,n ∈N, n < m. Dibujemos un triangulo ABC ası, con angulo recto en B,AB =BC = n,AC = m. Colocamos la punta del compas en A, y giramos haciala hipotenusa con la abertura del cateto, obteniendo un punto D en ella talque DC = m − n ∈ N. Trazamos un segmento ortogonal a AC que pasepor C, con la misma longitud m− n, y nombramos E al extremo. Unimosentonces D con E, y lo que hemos obtenido es otro triangulo rectanguloisosceles DCE, obviamente semejante al inicial ABC. Llamemos x a suhipotenusa. (Ver figura 2.11).

Figura 2.11

¿Que ocurrirıa si x ∈ N? Que estarıamos como al principio, con untriangulo rectangulo isosceles con catetos e hipotenusa enteros, pero me-nores que los del triangulo inicial. Y entonces podrıamos aplicar el mismoprocedimiento al nuevo triangulo, y obtener otro. Y hacerlo entonces a eseotro y obtener otro mas. Y ası indefinidamente. ¿Que ocurrirıa, por ejemplo,con las hipotenusas (lo mismo es valido con los catetos)? Que formarıan unasucesion infinita de numeros naturales y decreciente, lo cual es imposible,como vimos antes de comenzar esta demostracion.

De modo que si x resulta natural, ya terminamos. Por la semejanzaentre los dos triangulos, tenemos que

DC

AB=DE

AC=⇒ m− n

n=

x

m=⇒ x = m

(mn− 1)

=m2

n−m


Y como m2 = 2n2, tenemos finalmente que

x =2n2

n−m = 2n−m ∈ N.

Demostracion. (Quinta)46

Partamos del mismo triangulo inicial de la figura anterior, pero ahoraconstruyamos otro semejante a el cuya hipotenusa coincida con AB. Paraello basta con tomar el punto medio D de AC (al hacerlo ası, el segmentoBD resulta ortogonal a AC, pues en realidad se trata de la diagonal yla semidiagonal del cuadrado que se forma reflejando el triangulo ABCrespecto a AC, y las diagonales de un cuadrado son ortogonales entre sı y secruzan en el centro del mismo, que serıa el punto D). Entonces, el trianguloABC es semejante al triangulo BDA. Por (2.2) sabemos que m2 es par,y por el Lema 2.21, tenemos que entonces m es par. Pero si esto es ası,m2 = k ∈ N. Por otro lado, repitiendo el razonamiento hecho en la primerademostracion, llegamos a que tambien n es par. (Ver figura 2.12).

Figura 2.12

Ahora analicemos que ocurrio: la suposicion de que√

2 es racional,conduce a que podemos construir un triangulo rectangulo isosceles con hi-potenusa par (entero) y catetos enteros. Pero si esto es ası, podemos conbase en el generar otro triangulo rectangulo isosceles menor con hipote-nusa par (entero) y catetos enteros (que miden la mitad de la hipotenusadel triangulo original). Repetimos el procedimiento y generamos otro. Yluego otro mas . . . y ası indefinidamente. (Ver figura 2.13). Serıa tanto co-mo decir que existen enteros m,n tales que los dividamos cuantas veces los


dividamos a la mitad, nos vuelven a resultar siempre cantidades enteras.Lo cual no es posible.

Figura 2.13

¿Y que otros numeros irracionales conocemos? Cuando hago esta pre-gunta en clase, llevo lista una hoja doblada con algo escrito en su interior,que no muestro a los alumnos sino hasta despues de haber dado lugar a queellos mismos respondieran la pregunta. Casi infaliblemente, la respuesta esla que aparece escrita en el papel:

√2, π, e. La prueba sobre la irracionali-

dad de e y π, requiere mas herramienta que la desarrollada por ahora (enel capıtulo 8 haremos una prueba no comun para e). Pero con lo hechohasta ahora, podemos sı probar la irracionalidad de muchos otros numeros.Veamos algunos ejemplos.

En la segunda demostracion del Teorema 2.20 (quizas la mas transpa-rente de todas), se sigue un razonamiento que es facilmente generalizable,como podremos apreciar a continuacion:

Teorema 2.25. Sea p 6= 1 un numero primo. Entonces√p no es un numero

racional.

Demostracion. Supongamos que√p es racional, es decir, que existen m,n ∈

N, (m,n) = 1 tales que√p = m

n =⇒ p = m2

n2 . Entonces,

m2 = p · n2.


Del lado izquierdo, tenemos un numero par de factores primos (consi-derando las repeticiones) y del derecho un numero impar de ellos (tambienconsiderando las repeticiones). Dicha igualdad es una contradiccion.

Pero podemos ir mas lejos aun, siguiendo esta misma idea, a la luz delinciso (b) del Lema 2.22:

Teorema 2.26. Sea p 6= 1 un numero primo. Entonces N√p no es un

numero racional, ∀N ∈ N, N > 1.

Demostracion. Supongamos que N√p es racional, es decir, que existenm,n ∈

N, (m,n) = 1 tales que

N√p =

m

n=⇒ p =

mN

nN=⇒ mN = p · nN .

Pero entonces, el numero de primos del lado izquierdo de la ultimaigualdad es un multiplo de N , y del lado derecho es uno mas que un multiplode N , lo cual es una contradiccion siendo N > 1 (aN + 1 no es multiplo deN , si N > 1).

De modo que√

3,√

5, 3√

7, 6√

29, 10√

101, . . . son todos ellos numeros irra-cionales. En los ejercicios veremos que utilizando argumentos similares alos que hemos utilizado, se puede probar la irracionalidad de mas numeros.

2.7.1. Pruebas no constructivas: tres ejemplos elegantes

En el ejercicio 10 se plantea una alternativa para probar la irracionalidadde determinado tipo de numeros. Veremos en esta seccion tres resultadosparticulares que no son propiamente criterios de irracionalidad en general,pero senalan otro tipo de procedimiento para resolver las cosas.

En abril de 1973 los matematicos J. P. Jones y S. Toporowski, publicaronun artıculo en la revista norteamericana American Mathematical Monthly51

al que dieron por nombre Irrational Numbers y en el que ponen en practicade forma elegante lo que se conoce como pruebas no-constructivas parademostrar algunos resultados. Veamos estos y las pruebas en cuestion.

Teorema 2.27. Un numero irracional elevado a una potencia irracionalpuede ser racional.


(a) Espiral de Teodoro.48

(b) Extension de la Espiral deTeodoro hasta

√54.50

Figura 2.14

Demostracion. Como

(√2√

2)√2

= (√

2)2

= 2, tenemos lo siguiente: si

(√

2)√

2fuese racional, ya habrıamos terminado. Si no, el anterior serıa

nuestro ejemplo.

Teorema 2.28. Un numero irracional elevado a una potencia irracionalpuede ser irracional.

Demostracion. Partamos ahora de la identidad (√

2)√

2+1=

((√

2)√

2)√

2.

Si (√

2)√

2es irracional ya acabamos. Si no, entonces (

√2)√

2+1es el numero

que buscamos, pues el producto de un irracional por un racional distintode cero siempre resulta un irracional.

Teorema 2.29. Un numero racional elevado a una potencia irracionalpuede ser irracional.

Demostracion. Como(

2√

2)√2

4= 2

12 =

√2, tenemos lo siguiente: si 2

√2

es irracional, ya acabamos. Si es racional,(

2√

2)√2

4serıa el numero que


buscamos.

Notese que a final de cuentas no hay un numero concreto propuesto que

cumpla lo que se pide. Y no sabrıamos al terminar si (√

2)√

2fue racional

o irracional.

o En realidad, sı se sabe que (√

2)√

2es un numero irracional. Se trata

de un ejemplo particular del 7o de los 23 problemas que fueron planteadospor Hilbert a los matematicos del mundo en el Congreso de 1900 (ver pag.219), y que decıa lo siguiente:

Demostrar que αβ es un numero irracional trascendente cuando α esalgebraico y distinto de 0 y 1 y β es irracional y algebraico.6

En 1929 el matematico sovietico A. O. Gelfond lo demostro para el casoen que β es un irracional cuadratico (lo cual ya resuelve el caso especıfico

de√

2√

2) y en 1934 lo demostro en general.

Pero es importante subrayar que la demostracion hecha mas arriba norequiere de estos resultados que desde luego son mucho mas potentes, peromucho mas difıciles de probar. Requiere simplemente de la aplicacion, in-geniosa y elegante, del principio del tercero excluido (. . . y de que se nosocurran los ejemplos adecuados (!)).

2.8. Inconmensurabilidad, pitagoricos y Eudoxo

Se dice que dos magnitudes a, b (> 0) son conmensurables entre sı , siexiste una cierta magnitud u∗ (> 0) que cabe un numero exacto de vecestanto en a como en b. O sea, si existen m,n ∈ N tales que a = mu∗, b = nu∗.De modo que, en el lenguaje de las proporciones,

a : b :: m : n, es decir,a

b=m

n.

Las magnitudes conmensurables entre sı son aquellas cuya razon corres-ponde a un racional.

6El significado de los conceptos de numero algebraico y numero trascendente los ve-remos en la seccion § 3.4.4.

140 2.8 Inconmensurabilidad, pitagoricos y Eudoxo

Los pitagoricos pensaban que todas las magnitudes eran conmensura-bles entre sı. El origen de la idea parece encontrarse en su conviccion de queel espacio estaba compuesto de puntos (indivisibles) y cualquier magnitudfinita contenıa tan solo un numero finito de ellos. Esto, en correspondenciacon su teorıa de que toda la materia estaba compuesta por atomos -partıcu-las indivisibles- y cualquier objeto solo podıa contener un numero finito delos mismos; de modo que era posible representar cada objeto con el numerode atomos que contenıa: los numeros son la esencia de todas las cosas 52.

Y sobre esa base desarrollaron sus primeras pruebas geometricas. Vea-mos un ejemplo (por supuesto, utilizando la notacion actual).

Proposicion 1. Dados dos triangulos con la misma altura, la razon entresus areas es la misma que la razon entre sus bases.

Se trata de la Proposicion 1 del Libro VI de Los Elementos de Euclides,pero allı se demuestra de manera diferente (la haremos mas adelante), puesno presupone que las bases sean conmensurables entre sı.

En la demostracion se utiliza otra propiedad discutida previamente (quetambien se demuestra en Los Elementos (Libro I, Proposicion 38)), que diceque si dos triangulos tienen la misma altura y la misma base, sus areas soniguales.

Demostracion. (∼ 1. Suponiendo conmensurabilidad)

Tomemos dos triangulos ABC y DEF con la misma altura. Si supone-mos la conmensurabilidad entre las bases, sabemos que existe u∗ tal que

BC = n · u∗, EF = m · u∗, n,m ∈ N.

Dividimos entonces BC y EF en n y m partes iguales, respectivamente.(Ver figura 2.15). Esto genera n subtriangulos ABi−1Bi del ABC, y msubtriangulos DEj−1Ej del DEF , unos y otros con bases de igual longitudu∗ = Bi−1Bi = Ej−1Ej y la misma altura considerada inicialmente ∴Area(ABi−1Bi) = Area(DEj−1Ej) = ∆, y entonces

Area(ABC) = n ·∆, Area(DEF ) = m ·∆


Figura 2.15

De modo que

Area(DEF )

Area(ABC)=m

n=EF

BC.

El descubrimiento de los inconmensurables planteaba entonces un serioproblema: las demostraciones hechas suponiendo la conmensurabilidad ge-neral de las magnitudes -como la anterior-, habıa que volverlas a hacer; yeso, despues de entender bien como comparar a las magnitudes inconmen-surables, cosa que no resultaba nada facil.

Pero no solo eso, la filosofıa pitagorica misma estaba en un aprieto: elnumero se suponıa que era la esencia de todas las cosas, y sin embargo nohabıa dos numeros que pudieran representar ni siquiera la razon entre ladiagonal y el lado de un cuadrado cualquiera.

Hay diversas apreciaciones sobre la dimension del golpe sufrido por lospitagoricos por el descubrimiento de los inconmensurables.

Unos historiadores consideran que el hecho causo una verdadera crisisentre ellos. Es conocida la version de que los pitagoricos decidieron man-tener en estricto secreto el descubrimiento, que serıa revelado tan solo aunos cuantos miembros de la direccion de su secta (no olvidar que a la vezque una escuela de matematicas formaban una secta religiosa). Y que fue el


propio descubridor (Hipaso de Metaponto) quien se encargo de hacer publi-co su hallazgo, lo cual le valio la condena de sus correligionarios. Se dicedesde que le fue erigida en vida una tumba con su nombre, para manifestarque para sus companeros estaba muerto, hasta que fue ahogado en el marcomo castigo.

Otros historiadores piensan que si bien se vieron obligados a repensartodas las cosas, es exagerado decir que se trato de una profunda crisis en suseno (objetan la validez historica de los registros mas antiguos con los quese cuenta sobre este hecho, dado que fueron escritos 700 anos despues deocurrido (Pappus de Alejandrıa (290-350), Jamblico de Apamea (331-363)).Incluso hay polemica sobre la fecha exacta del descubrimiento, aunque pa-rece haber consenso en que tuvo que ser entre el ano 500 y el ano 430 a.n.e.53

Lo cierto es que fue un descubrimiento que tuvo una enorme relevanciaen el desarrollo de toda la matematica posterior. Es significativa la evalua-cion al respecto de B. Russell54:

El problema surgido con el descubrimiento de los inconmensu-rables probo al paso del tiempo ser uno de los mas severos y a lavez de mas largo alcance que ha enfrentado el intelecto humanoen su esfuerzo por comprender el mundo.

Todo parece indicar que la imposibilidad de representar con numeroscualquier magnitud fue determinante en el desarrollo de la matematica grie-ga de la epoca clasica, habiendo permanecido inmersa fundamentalmenteen el terreno de la geometrıa. La creacion de numeros para representarcualquier punto de la recta requerıa de una aritmetica mas avanzada quetardarıa mas de 2,300 anos en madurar (aunque ya desde alrededor del ano1,000 de nuestra era, los arabes dieron un paso decisivo en esa direccion).

Recordemos que las construcciones con regla y compas caracterısticasde la geometrıa de la epoca se hacıan considerando una regla sin medi-das marcadas en ella (sin numeros). Las magnitudes se comparaban, nose medıan. En Los Elementos, por ejemplo, por numero se entendıa a losenteros positivos del 2 en adelante. Las fracciones p

q eran consideradas nocomo numeros en sı, sino como relaciones entre numeros. Eso trajo consigoel lenguaje de las proporciones: lo que hoy consideramos una igualdad entredos representaciones numericas de una misma magnitud, como 1

2 y 24 , era


entendido como una proporcion entre dos razones: 1 es a 2 como 2 es a 4.Proporciones entre magnitudes conmensurables.

Pero las proporciones incluso eran formuladas entre magnitudes incon-mensurables (areas, volumenes, longitudes), independientemente de que es-tas no fueran representadas por razones entre numeros. De manera que lasdemostraciones debıan ser validas tambien en ese caso.

o Quien vino a resolver este problema, varias decadas mas adelante,fue Eudoxo de Cnido (406-355 a.n.e.), uno de los matematicos griegos masbrillantes de la epoca clasica (anterior a la llamada epoca dorada, quetardo otro siglo en florecer, con Arquımedes a la cabeza). A partir de lostrabajos de Teodoro y Teeteto, Eudoxo (amigo de Platon) resolvio variosproblemas que marcarıan la historia del calculo y el analisis hasta nuestrosdıas. Tres de particular importancia fueron:

(1) El metodo de exhaucion (mencionado de pasada en la lista de ejer-cicios del capıtulo 1), que prefigurarıa lo que luego serıa la integral (y en elfondo, el concepto mismo de lımite).

(2) La propiedad arquimedeana (ver seccion §7.5), de la que el mismoArquımedes dio el credito a Eudoxo, y cuya inclusion en los considerandosteoricos resulta esencial para la teorıa de convergencia, a la vez que suexclusion representa el punto de partida de lo que se conoce como el analisisno estandar.

(3) Una teorıa de proporciones valida tanto para magnitudes conmen-surables como inconmensurables (a diferencia de la teorıa de proporcionesde los pitagoricos), que serıa la clave para una de las soluciones que final-mente tuvo la representacion numerica de los puntos de la recta, es decir,la construccion de los numeros reales (nos referimos a la solucion propuestapor R. Dedekind en la segunda mitad del siglo XIX).

¿Que hizo Eudoxo para comparar dos razones de magnitudes geometri-cas, fueran conmensurables o inconmensurables entre sı? Sean a, b dos mag-nitudes del mismo tipo (longitudes, areas, volumenes); sean c, d tambien dosmagnitudes del mismo tipo, aunque no necesariamente del de a y b. Con losconceptos y la herramienta actual, dirıamos que la idea consiste en decirque

a

b=c

d⇐⇒


(1) Todos los racionales a la derecha de ab , estan a la derecha de c

d .(2) Todos los racionales a la izquierda de a

b , estan a la izquierda de cd .

(3) Si un racional es igual a ab , entonces es igual a c

d .

Pero lo anterior presupone que ya se sabıa comparar razones conmen-surables con otras eventualmente inconmensurables (mn > a

b ,mn > c

d , etc.),cuando en realidad eso era parte de lo que se querıa definir. Esto se evitaplanteando las cosas de la siguiente manera:

Definicion 5. a : b = c : d⇐⇒ Dadas cualesquiera m,n ∈ N :

(1) Si mb > na =⇒ md > nc.

(2) Si mb < na =⇒ md < nc.

(3) Si mb = na =⇒ md = nc.

Cuando se trata de magnitudes conmensurables, la tercera condicion essuficiente. Cuando no, las otras dos en mancuerna resuelven la situacion.

¿Y cuando diremos quea

b<c

d?

Cuando existe un racional que es mayor que el izquierdo y menor queel derecho. O dicho de otra manera:

Definicion 6. a : b < c : d ⇐⇒ ∃ m,n ∈ N tales que na < mb ymd < nc.

Esto, como decıamos antes, en el fondo corresponde a identificar cadairracional en terminos de los racionales que se encuentran a su derecha y asu izquierda. Es lo que hizo R. Dedekind en 1872 para definir los numerosirracionales (basandose en los racionales).

Euclides retoma la solucion dada por Eudoxo en el Libro V de LosElementos (de hecho, las definiciones discutidas mas arriba corresponden ala Definicion 5 y 7 de ese volumen), y abre el Libro VI con una demostracionde la misma propiedad que vimos mas arriba, pero realizada a traves delas nuevas definiciones. Con ello lograba extender su validez al caso en quelas magnitudes consideradas fueran inconmensurables. Seguiremos la ideade aquella demostracion, con cambios en las figuras, notaciones y otrosdetalles.


Demostracion. (∼ 2. Sin suponer conmensurabilidad)

La demostracion utiliza algo que Euclides probo antes (Libro I, Pro-posicion 38) que ya habıamos mencionado: si dos triangulos con la mismaaltura tienen la misma base, sus areas son iguales. Pero en esa prueba que-da claro que si teniendo la misma altura, la base de uno es menor (mayor)que la del otro, la misma relacion guardaran entre sı las areas. Llamaremos(∗) a esta propiedad en lo que haremos a continuacion.

Sean ABC y DEF dos triangulos de igual altura, con bases BC y EFque ubicaremos en una misma lınea horizontal. Sean m,n ∈ N. De acuerdocon la Definicion 5, lo que tendrıamos que demostrar es:

(1) Si m · EF > n ·BC =⇒ m · Area(DEF ) > n · Area(ABC).(2) Si m · EF < n ·BC =⇒ m · Area(DEF ) < n · Area(ABC).(3) Si m · EF = n ·BC =⇒ m · Area(DEF ) = n · Area(ABC).

Coloquemos el segmento BC a continuacion de sı mismo hasta obtenern segmentos contiguos de longitud total n ·BC; bauticemos a los extremosde estos segmentos como B0 = B,B1 = C,B2, . . . Bn y unamos cada unode estos puntos con A. De esta forma, hemos generado n triangulos que enconjunto forman un nuevo triangulo ABBn cuya area es n veces el area deltriangulo ABC inicial.

Hacemos lo mismo m veces con el segmento EF (Ver figura 2.16), yobtenemos que:

EEm = m · EF, BBn = n ·BC (2.3)

Area(DEEm) = m · Area(DEF ), Area(ABBn) = n · Area(ABC) (2.4)

Demostracion de (1):

146 2.9 Un primer acercamiento a los reales

Figura 2.16

Si m · EF > n ·BC (2.3)=⇒

EEm > BBn(∗)

=⇒

Area(DEEm) > Area(ABBn)(2.4)=⇒

m · Area(DEF ) > n · Area(ABC).

La demostracion de los incisos (2) y (3) es analoga.

2.9. Un primer acercamiento a los reales

Imaginen que deben explicarle a alguien que no ha aprendido a hacerlo,como medir distancias rectas utilizando una regla de un metro de largo,con decımetros, centımetros y milımetros marcados en ella. ¿Que le dirıan?Probablemente algo del siguiente estilo (hagan ustedes su propia redaccion):

Supon que debes medir la distancia desde un punto O hasta un puntoP . Piensa que trazas una recta desde O hasta P . Como empezaras a medir


desde O, ese es tu 0. Coloca el metro (tu unidad de medida) a continuacionde sı mismo a partir de O tantas veces como sea necesario hasta alcanzar elpunto P ; si no cabe un numero exacto de veces, recien lo rebases, te regresasa la vez inmediata anterior. Anota cuantas unidades cupieron completas.¿Que numero pudo ser el que anotaste? O un natural, o cero (si la distanciatotal hubiese sido menor que un metro). Llamale A a ese numero.

Si llegaste exactamente al punto, ya acabaste. Si no, toma la primeradivision de tu unidad de medida, los decımetros (la decima parte de tu uni-dad). Ahora anota cuantas veces cabe completa esa subunidad sin rebasaral punto P . ¿Que numero pudo ser el que recien anotaste? Uno entre 0 y9. ¿Pudo ser 0? Sı, si ocurrio que no cupiera ni un decımetro completo.¿Por que no puede ser 10 o mas? Porque si ası fuera, eso querrıa decir quehabrıa cabido al menos una unidad completa mas (un metro mas) en elprimer paso del procedimiento (y estamos suponiendo que las instruccionesse siguen al pie de la letra). Llamale entonces a1 al numero de veces quecupo tu primera subunidad completa.

Si en el paso anterior ya llegaste a P exactamente, tu distancia fue:A metros, a1 decımetros. O A.a1 metros, donde A ∈ N ∪ {0} y a1 ∈{0, 1, 2, . . . , 9}. Si aun no llegas, toma la siguiente subunidad de tu re-gla, los centımetros, que caben 10 veces cada uno en la subunidad anterior(los decımetros). Y anota cuantos de ellos caben completos antes de P .¿Cual pudo ser este valor? Otra vez, cualquier entero entre 0 y 9, pues cadacentımetro cabe 10 veces en un decımetro, que es la subunidad anterior.

Luego haces lo propio con los milımetros. Tu resultado, aproximadocon un margen de error de menos de un milımetro, serıa que OP ≈ Am+a1 dm + a2 cm + a3mm = A.a1a2a3m, donde A ∈ N ∪ {0} y a1, a2, a3 ∈{0, 1, 2, . . . , 9}.

Por lo general, una aproximacion de milımetros a una distancia delorden de metros, puede ser bastante buena. Pero si lo que nos interesa ahoraes representar cada punto de la recta con un numero distinto, lo anterior aunno resuelve el problema. Tendrıamos que seguir adelante con diezmilesimosde la unidad original, y cienmilesimos, y millonesimos, y . . . puede sucederque se requiera un proceso infinito para representar unıvocamente al punto,como ocurre por ejemplo con el 1

3 , que como sabemos, a cada nueva divisionen diez de la subunidad en turno necesitamos tomar tres ejemplares y volvera dividir para acercarnos mas, en un proceso que nunca termina.


2.9.1. Las expansiones decimales.

¿Como podrıamos formular en general lo que acabamos de decir masarriba?

Sea P un punto en la recta, por ahora a la derecha del origen O. To-memos una unidad u = u0 cualquiera, y dividamosla una y otra vez ensubunidades u1, u2, . . . uk, . . . , tales que cada nueva subunidad quepa diezveces en la anterior.7 Es decir, uk = 10uk+1 ∀ k = 0, 1, 2, . . . Entonces

OP =Au+ a1u1 + a2u2 + · · ·+ akuk + . . . (2.5)

o bien

OP =A.a1a2 . . . ak . . . (2.6)

donde A ∈ N ∪ {0}, ak ∈ {0, 1, 2, . . . 9} ∀ k ∈ N.

Si el punto P hubiese estado a la izquierda del origen, todo lo anteriorserıa igual, solo que afectado globalmente por un signo negativo. Esto nospermite asociar a cada punto P en la recta un numero de nuevo tipo, queserıa lo que se conoce como una expansion decimal infinita:

P →± (A.a1a2 . . . ), (2.7)

donde A ∈ N ∪ {0}, ak ∈ {0, 1, 2, . . . 9} ∀ k ∈ N.

El algoritmo de construccion que seguimos (las instrucciones de masarriba) nos permite decir que a puntos distintos de la recta le asociamosexpansiones infinitas diferentes, pero ¿es valido lo inverso? Es decir, ¿sucedeque a expansiones decimales diferentes les corresponden a su vez distintospuntos?

Para responder esto, debemos precisar primero: ¿como serıa el algorit-mo inverso, que nos permitirıa identificar que punto de la recta asociarle auna expansion dada? Parece mas o menos inmediato: si tiene signo mas laexpansion, nos movemos hacia la derecha; si tiene signo menos, hacia la iz-quierda. Tomamos las unidades enteras de nuestro numero y avanzamos esadistancia en la direccion correspondiente. Luego hacemos lo propio con el

7En realidad, la division no tiene por que ser en diez partes; si lo hacemos siempreen dos, por ejemplo, obtenemos la representacion binaria del punto, teniendo para elloque expresar tambien en base dos el numero entero de veces que cabe la unidad antesdel punto. Mas adelante nos detendremos en esto (ver pag.176 y seccion §6.3).


numero de decimas partes de la unidad, las centesimas, y ası sucesivamente.Si todo marcha bien nos iremos acercando paulatinamente a un unico puntode la recta, y es ese el punto que asociamos a nuestra expansion decimaldada.

Si solo trabajaramos con las expansiones finitas, no habrıa ambiguedadposible. El problema es cuando se combinan estas con las expansiones infi-nitas. Pensemos por ejemplo en el 1. Siguiendo el procedimiento anterior,le corresponderıa el punto ubicado exactamente a una unidad a la derechadel origen. Llamemos U a ese punto en la recta.

Y ahora consideremos la expansion 0.999 . . . De acuerdo al procedi-miento descrito, para saber que punto en la recta le corresponde, debe-remos avanzar 9 decimos a la derecha, luego 9 centesimos, 9 milesimos, ysiempre 9 subunidades (el maximo posible de cada nueva division), sea cualsea la subunidad considerada. ¿Que punto le corresponderıa? ¿Podrıa seruno ubicado a la derecha de U? No, porque en ese caso nuestra expansionno habrıa podido tener un 0 en la parte entera. ¿Podrıa ser uno a la iz-quierda de U? ¿Que tan a la izquierda? Porque si esta a la izquierda, esoimplica que es diferente de el, en este caso menor. Pero eso querrıa decirque hay una distancia positiva entre el y U . Sin embargo, con la expansion0.999 . . . a cada paso que damos, vamos quedando a la decima parte de loque nos faltaba en el paso anterior para llegar al 1, y eso se puede hacertan pequeno como queramos. Sucede algo similar a cuando analizamos laserie geometrica 1

2 + 122

+ 123

+ . . . (ver ejemplo 1.2, pag. 12), en que a cadapaso avanzabamos la mitad de la distancia que nos separaba del 1 en elpaso previo, solo que ahora en cada paso avanzamos las 9

10 partes de lo quenos faltaba en el paso anterior.

Y es que aquı en realidad estamos trabajando con otra serie geometrica,que es

∞∑k=1

9

10k= 9 ·

∞∑k=1

1

10k(1.5)= 9

(110

1− 110

)= 9

(110910

)= 9

(1

9

)= 1.

Esto que sucede con el punto ubicado a una unidad a la derecha delorigen, ocurre en realidad con cualquier punto P de la recta que corres-ponda a una expansion finita, pues si a A.a1a2 . . . aN−1aN le asociamos elpunto P , siendo aN el ultimo dıgito distinto de cero, a la expansion infinitaA.a1a2 . . . aN−1(aN − 1)999 · · · le correspondera el mismo punto P.


Las expresiones anteriores quizas resultan mas claras si separamos concomas los dıgitos de cada posicion:

Si aN > 0 :

A.a1, a2, . . . aN−1, aN −→ P

⇐⇒ A.a1, a2, . . . aN−1, (aN − 1), 9, 9, · · · −→ P (2.8)

En otras palabras: las colas infinitas de 9’s y los numeros con expansiondecimal finita se duplican; corresponden, por parejas, a un mismo puntode la recta. Es decir, la relacion (2.7) no es biunıvoca. Para serlo, debemosretirar de las expansiones, o bien las finitas, o bien las colas infinitas de 9’s(es decir, las que constan solo de 9’s a partir de algun momento).

De lo que acabamos de discutir se desprende adicionalmente la siguienteconclusion:

Las expansiones decimales finitas tienen la misma cardinalidad (2.9)

que las colas infinitas de 9’s.

¿Como podemos representar con sımbolos a las colas infinitas de 9’s?Intentenlo describir ustedes mismos. Deberan llegar a una formulacion equi-valente a la siguiente:

Si llamamos T = {Colas infinitas de 9’s}

T = {±(A.a1a2 . . . ) : ∃ N ∈ N tal que ak = 9 ∀ k > N}

Y entonces, si denotamos con R a la recta, tendremos ahora sı que:

R ←→ {±(A.a1a2 . . . ) : A ∈ N ∪ {0}, ak ∈ {0, 1, 2, . . . 9} ∀ k ∈ N} \ T . (2.10)

Los numeros reales (universalmente denotados con la letra R) son pre-cisamente los numeros que se introducen para representar los puntos de larecta. De modo que tenemos ya una primera definicion de ellos, que sera desuma utilidad:

Definicion 7. R = {±(A.a1a2 . . . ) : A ∈ N ∪{0}, ak ∈ {0, 1, 2, . . . 9} ∀ k ∈N} \ T .


Sobre lo que implıcitamente se fue considerando hasta llegar aquı, –y lasdiscusiones correspondientes a las implicaciones de ello– hablaremos en loscapıtulos 6 y 7. Por ahora el objetivo es tener un primer acercamiento a losnumeros reales que nos permita simplemente trabajar con su cardinalidad.

2.9.2. Los intervalos y la recta.

Visto que hablar de los reales y hablar de la recta en el fondo sera lomismo, empezaremos por comparar cardinalidades de ciertos conjuntos in-mersos en la recta: los intervalos.

Ejemplo 2.30. ¿Que hay mas: puntos en el [0, 1] o en el [0, 2]?

Solucion. Lo comentado en la pagina 105 sobre circunferencias de radiodistinto y lado-diagonal de un cuadrado, nos plantea ya que la respuesta esque uno y otro intervalo tienen la misma cardinalidad. Para probarlo tene-mos que exhibir una forma de aparear los puntos de uno y otro intervalo.

La idea en realidad es muy simple: geometricamente lo que hacemos escolocar un intervalo debajo de otro y trazar una recta que una sus extremosizquierdos y otra que una sus extremos derechos; dada la diferencia delongitudes de ambos intervalos, estas rectas no podran ser paralelas, sinoque se intersecaran en un punto P . Ese es el punto clave: cualquier rectaque tracemos desde ahı a un punto arbitrario de uno de los dos intervalos,prolongada hasta el otro lo interseca en un unico punto. Y puntos distintosgeneran rectas con pendientes diferentes que no tienen mas punto en comunque P . Esa correspondencia es biunıvoca. (Ver figura 2.17).

Si queremos una biyeccion explıcita, esta podrıa ser f : [0, 1] → [0, 2],f(x) = 2x. (En la seccion §A.4 vimos que cualquier recta no horizontal -nivertical, obviamente- es una funcion biyectiva). De hecho, la grafica de lafuncion nos ofrece otra manera de aparear los elementos de dos conjuntos(dominio e imagen). (Ver figura 2.18). �

De modo que ambos intervalos tienen exactamente la misma cantidad depuntos. La cardinalidad y la longitud son dos conceptos diferentes. Noteseque nuestro argumento no fue que tenıan la misma cardinalidad “porqueambos son infinitos” . Nuestro unico criterio por ahora para comparar lacardinalidad de dos conjuntos es la definicion 1 (pag. 116), y es el queutilizamos.


Figura 2.17

Figura 2.18

Una demostracion practicamente identica nos permite probar que

Proposicion 2. Dados cualesquiera dos intervalos [a, b] y [c, d], estos tie-nen la misma cardinalidad.

(El resultado y los argumentos dados a continuacion son igualmentevalidos si ambos intervalos fuesen abiertos).

Recordemos que la definicion de un intervalo [a, b] cualquiera presuponeque a < b.

Demostracion. Tenemos las mismas dos alternativas vistas en el ejemploanterior. La funcion biyeccion en este caso serıa f : [a, b] → [c, d], f(x) =


(a) Distinta longitud. (b) Igual longitud. (c) Otra alternativa: Atraves de la grafica dela recta que une lospuntos (a, c) y (b, d).

Figura 2.19

d−cb−a (x−a)+c, que es simplemente la ecuacion de la recta que pasa por (a, c)y (b, d). Como a < b se trata de una recta no vertical, y como c < d, conpendiente distinta de cero. Entonces es una funcion biyectiva. (Ver figura2.19).

Ası las cosas, tenemos que, por ejemplo, el intervalo [0, 0.000000000001]y el intervalo [0, 1000000000000] tienen exactamente la misma cantidad depuntos. Pero ¿sucedera lo mismo si uno de los dos no solo es “muy grande” ,sino de longitud infinita?

Ejemplo 2.31. ¿Que hay mas: puntos en el (0, 1) o en el (−∞,∞)?

Solucion. La respuesta es que los dos conjuntos tienen otra vez exacta-mente la misma cantidad de puntos. Exhibiremos dos alternativas geometri-cas posibles para establecer el apareamiento. La segunda de ellas requieremas herramienta para ser formalizada, pero la idea es bastante transparen-te.

Representamos al intervalo (−∞,∞) como el eje X, y ubicamos al inter-valo (0, 1) en el eje Y . Trazamos dos segmentos de recta L y L′, el primerodel punto (0, 1

2) al punto (12 , 1), el segundo del punto (0, 0) al punto (−1

2 ,12).

(Ver figura 2.20). Nuestro objetivo es asociar a cada punto del eje X ununico punto del (0, 1) en el eje Y . La regla de apareamiento es la siguiente:


Figura 2.20

1) Dado cualquier punto P de (0,∞), trazamos el segmento de rectaque une a P con el punto A(0, 1). Es facil probar que este segmento seinterseca con L en un punto P ′ (basta operar con las ecuaciones de lasrectas correspondientes). La proyeccion de P ′ sobre el eje Y (es decir, lasegunda componente de la pareja ordenada que describe a P ′), nos resultaun punto P ′′ en el intervalo (1

2 , 1), que es el que apareamos con P .

Para puntos diferentes en (0,∞), la recta que los une con el puntoA (fijo) tiene diferentes pendientes, y por lo tanto su interseccion con L(fija) ocurre en puntos distintos, que siendo L creciente, al proyectarlossobre el eje Y nos da como resultado puntos a su vez distintos. Es decir, siP1 6= P2 =⇒ P ′1 6= P ′2 =⇒ P ′′1 6= P ′′2 . O sea que la funcion de apareamientoque construimos del (0,∞) al (0, 1) resulta inyectiva.

El proceso es valido tambien de regreso, de manera que se estableceuna correspondencia biunıvoca entre el intervalo (0,∞) en el eje X y elintervalo (1

2 , 1) en el eje Y .

2) El procedimiento para el intervalo (−∞, 0) es completamente analo-go, solo que uniendo sus puntos ahora con el punto B(0, 1

2) e intersecandolos segmentos con L′.

3) Finalmente, el 0 ∈ (−∞,∞) lo apareamos con el 12 , del eje Y y con

eso terminamos.

Una segunda posibilidad es formar las parejas tomando los puntos dela grafica de una funcion continua e inyectiva (creciente, por ejemplo), que


mapee todo el eje X en el intervalo (0, 1) del eje Y . Una curva creciente yasintotica a la recta y = 1 cuando x → ∞, y al eje X cuando x → −∞,resuelve las cosas. La figura 2.21 nos muestra un ejemplo de ello.

Figura 2.21

Un analisis practicamente identico, nos lleva a que, en general:

∀ a, b ∈ R, |(a, b)| = |R|. (2.11)

2.9.3. La cardinalidad de los reales.

Y ahora, nos haremos una pregunta que se hizo Cantor, y cuya respuestavino a revolucionar toda la matematica:

¿Que hay mas: puntos en la recta o numeros racionales?

Sabemos ya que el numero de racionales es identico al numero de naturales;que la recta la representamos con los numeros reales; y que preguntarnos siun conjunto tiene la cardinalidad de los naturales equivale a preguntarnossi es numerable. De modo que la pregunta podrıa plantearse ası:

¿Es numerable el conjunto de los numeros reales?

Como la cardinalidad de toda la recta es identica a la del intervalo (0, 1),la pregunta se reduce a lo siguiente:

¿Es numerable el conjunto de los numeros reales en el (0, 1)?


Empecemos por ver quienes serıan los reales del (0, 1). De acuerdo con laDefinicion 7, serıan los numeros de la forma

0.a1a2 . . . : ak = 0, 1, . . . 9 ∀ k ∈ N (2.12)

y que ni sean todos iguales a cero (pues el 0 /∈ (0, 1)), ni sean todos iguales a9 a partir de algun momento (pues hay que retirar las colas infinitas de 9’s).

o Supongamos que los reales del (0, 1) forman un conjunto numerable.Eso significa que existe una forma de aparearlos con los naturales, con lacual no sobra ni un elemento en ninguno de los dos conjuntos. Llamemos:

α1 = 0.a1a2a3a4 . . . al elemento que asociemos al 1 ∈ N.α2 = 0.b1b2b3b4 . . . al elemento que asociemos al 2 ∈ N.α3 = 0.c1c2c3c4 . . . al elemento que asociemos al 3 ∈ N.α4 = 0.d1d2d3d4 . . . al elemento que asociemos al 4 ∈ N.

......

Notese que la descripcion de los numeros que hacemos corresponder acada natural, permite que haya sido cualquiera de los reales del (0, 1) elque ocupe uno u otro lugar en el apareamiento. No hemos particularizadola regla de correspondencia: de existir una, serıa necesariamente como esta.

¿Que pasarıa si pudieramos exhibir un real del (0, 1) que no esta enla lista? Eso querrıa decir que a cualquier apareamiento le faltarıan realespor incluir. Es decir, que los reales no pueden ser numerados, no existecorrespondencia biunıvoca alguna capaz de incluirlos a todos.

Pues bien, sea β = 0.x1x2x3x4 . . . cualquier elemento del (0, 1) quecumpla la siguiente regla:

x1 6= a1, x2 6= b2, x3 6= c3, x4 6= d4, . . . (2.13)

La primera condicion garantiza que β 6= α1; la segunda, que β 6= α2; latercera, que β 6= α3; la cuarta, que β 6= α4; . . . Es decir, que β es distintode todos los de la lista.

Si se quisiera, podrıa especificarse que valor asignarle a cada xi. Porejemplo, si llamamos aii a la i-esima cifra decimal de αi, podrıamos dar la


regla, valida ∀ i ∈ N :

xi =

{aii + 1, si aii = 0, 1, . . . 7aii − 1, si aii = 8, 9.

(2.14)

Para nuestra demostracion, con haber exhibido un numero real queno esta en la lista es suficiente. Aun ası, nos haremos una pregunta mas:¿Cuantos numeros como β pueden ser construidos apegandose a la regla(2.13)? Como contamos con diez dıgitos distintos, al pedir que x1 6= a1

tenemos 9 opciones para escoger x1. Por cada una de ellas, hay otras 9para x2. Y a su vez por cada una de estas, hay 9 posibilidades para x3; yası sucesivamente. ¿Cuantos numeros del (0, 1) hay entonces como β, queno estan en la lista? 9 · 9 · 9 · 9 · · · Con un detalle: que como β es un realdel (0, 1), no puede tener una cola infinita de 9’s, y entonces de vez en vezhabrıa que garantizar que el numero que escojamos no sea 9; es decir, quede vez en vez contarıamos con 8 opciones, no con 9 (en realidad dependede las cifras de los numeros de la lista).

Pero ni siquiera esos casi 9 · 9 · 9 · 9 · · · son todos los que no estan. Tam-bien faltan aquellos que aunque tienen su primer dıgito igual al del primernumero listado, su segundo dıgito es diferente al segundo del primer nume-ro, su tercero diferente del tercero del segundo dıgito, . . . . Los recorridospueden bajar por las diagonales desfasados un lugar, o dos, o tres, etc. Loque queremos subrayar, es que es verdaderamente gigantesca la cantidadde numeros que no caben en un listado que pretenda numerarlos, sea comosea que se intente hacerlo, contrastados con los que sı entraron en ella, pormas que estos sean una infinidad.

La demostracion que hicimos a traves de (2.13) o (2.14), se conoce comola prueba diagonal de Cantor (en razon a que el elemento que es diferente atodos se construye siguiendo la diagonal del listado).8 Y se ha tomado comomodelo para otras pruebas, tanto en el terreno de la matematica como enel de la logica. Es el caso de un teorema de Godel del que hablaremos mas

8Aunque debe senalarse que la idea de utilizar este metodo de demostracion parecehaber surgido del matematico aleman Paul du Bois-Reymond, que en 1875 (16 anos antesque Cantor) lo empleo para probar que dada cualquier sucesion de funciones divergen-tes monotonamente a infinito, cada una mas lenta que la anterior, siempre es posibleconstruir otra que diverja mas despacio que todas las de la sucesion. Su prueba apareceen la pag. 365 de Uber Asymptotische Werte, Infinitare Approximationen und InfinitareAuflosungen von Gleichungen, Mathematische Annalen, 8 (1875): 363-414. 55


adelante (ver pag. 223).

o Hay otra forma de ver el resultado anterior. Si los reales del (0, 1) (odel [0, 1], como se quiera) tuviesen la misma cardinalidad que los naturales,sus elementos podrıan ser numerados: α1, α2, α3, α4, . . . αk, . . . Y entoncespodrıamos construir los siguientes intervalos:

I1 =

[α1 −

1

23, α1 +

1

23

], α1 ∈ I1, `(I1) =

1

22.

I2 =

[α2 −

1

24, α2 +

1

24

], α2 ∈ I2, `(I2) =

1

23.

......

Ik =

[αk −

1

2k+2, αk +

1

2k+2

], αk ∈ Ik, `(Ik) =

1

2k+1.

......

Es decir, cada real de (0, 1) lo podrıamos cubrir con un intervalo comoesos. Y entonces el (0, 1) completo quedarıa cubierto por la familia de todosellos, cuya suma de longitudes es igual a

1

22+

1

23+ · · ·+ 1

2k+ · · · =

∞∑k=2

1

2k=

∞∑k=1

1

2k− 1

2

(1.5)= 1− 1

2=

1

2.

Pero si con esos intervalos cubrimos todo el (0, 1), la suma de sus lon-gitudes deberıa ser mayor que 1, y en cambio resulto igual a 1

2 . Tenemosuna contradiccion.

¿Cual es el origen de la contradiccion? La suposicion de que el (0, 1) esnumerable, pues si es numerable podemos taparlo con una familia de inter-valos cuya suma de longitudes es 1

2 (o 14 , si las longitudes de los intervalos

hubieran sido `(I1) = 123, `(I2) = 1

24, `(I3) = 1

24, . . . ; o 1

8 , si las longitudeshubieran empezado a disminuir desde 1

24; . . . de hecho, siendo numerable

el conjunto, se puede cubrir por una familia numerable de intervalos consuma de longitudes tan pequena como se quiera). Esto es lo que lleva a la


contradiccion, pues si cubrimos el (0, 1) con intervalos, necesariamente lasuma de sus longitudes debera ser mayor o igual que 1, que es la longituddel (0, 1). (Ver figura 2.22).

Figura 2.22

o Detengamonos a analizar ahora que ocurrio: que probamos de dos ma-neras diferentes que los numeros reales forman un conjunto infinito mayorque el de los numeros naturales. Apareemos como apareemos sus elementos,siempre nos sobran infinidades de infinidades de reales. Tenemos entoncesque hay unos infinitos mas grandes que otros. En eso se equivoco Galileo(aunque en lo principal que le interesaba establecer, que era que no tenıaporque verse como contradictorio que un conjunto infinito pudiera poner-se en correspondencia biunıvoca con una parte de sı mismo, tenıa toda larazon –ver pagina 105–).

Este descubrimiento de Cantor abrio un verdadero cofre de ideas a cualmas audaz y desafiante al “sentido comun” de no pocos matematicos desu tiempo. Rompio esquemas al por mayor. Algunos, como Kronecker (unmatematico con mucho peso en el stablishment aleman de aquella epoca)llegaron a acusarlo de “renegado” , “cientıfico charlatan” y “corruptor dela juventud” 56 por insistir en sus ideas y llevarlas cada vez mas lejos,como veremos mas adelante. Treinta y cuatro anos despues de este primerdescubrimiento, en una carta a la matematica britanica Grace ChisholmYoung, Cantor escribıa:57

“Mi teorıa se mantiene tan firme como una roca; cada flechadirigida contra ella, regresara rapidamente a su arquero”.

160 2.10 Ejercicios

o Las demostraciones que vimos mas arriba de que los reales no son nu-merables, se deben, respectivamente, a Georg Cantor (1891) y Axel Harnack(1885). Fue Cantor quien descubrio y probo por primera vez el resultadoen 1873-4, pero con una demostracion diferente que veremos en el teorema7.14 (pag. 402). Si hubiera que describir casi con una frase la idea basicade cada una de las tres pruebas, dirıamos lo siguiente:

La de 1873-4 prueba que todo conjunto numerable deja hoyos sin relle-nar en la recta. Mientras que los reales no.

La de 1885 muestra que si un conjunto es numerable, no ocupa espacioesencialmente: se puede cubrir con una familia numerable de intervalos consuma de longitudes tan pequena como se quiera (cuando esto le pasa a unconjunto, se dice que tiene medida cero). Por su parte, los reales de unintervalo [a, b], ocupan un espacio de longitud fija b− a > 0.

La de 1891 muestra que no hay regla posible que permita incluir a todoslos reales en una lista.

2.10. Ejercicios

1.- Obtengan una expresion algebraica para la biyeccion ilustrada con undiagrama en el ejemplo 2.11.

2.- Construyan una familia numerable de subconjuntos numerables de Najenos dos a dos, cuya union nos resulte N.

3.- Supongan que quieren ordenar los racionales en el [0,1] recorriendotodos los irreducibles que tienen un mismo denominador en orden cre-ciente, y esto para cada valor natural del denominador, tambien con-siderados en orden creciente. Definan con precision esta relacion deorden. ¿Es un buen orden?

4.- Demuestren que Q × Q es un conjunto numerable, exhibiendo una bi-yeccion entre N y Q × Q. (Basta con que muestren con un diagramacomo van siendo numerados los elementos).

5.- (a) La recta, como sabemos, tiene una cantidad infinita no numerable(con cardinalidad c) de puntos. ¿Cuantos intervalos abiertos ajenoscaben en la recta? Por ejemplo, si tomamos todos los intervalos de


la forma (n, n + 1) con n ∈ Z, nos cabra una infinidad numerablede intervalos en ella. Supongan que los pueden ir construyendotan pequenitos como quieran. ¿Puede llegar a ser necesaria unacantidad de intervalos que tenga la cardinalidad c? ¿O siempreresulta numerable (o finita)?

Hint: Utilicen el hecho de que cualquier intervalo en la recta tieneal menos un racional.

(b) ¿Cuantos cırculos ajenos caben en el plano?

Hint: Utilicen el hecho de que Q × Q es numerable, y den pordemostrada la propiedad de que cualquier cırculo en el plano tieneal menos un elemento de Q×Q (en realidad, una infinidad).

6.- Supongan que un conjunto X de numeros reales cumple la propiedadde que cada uno de sus elementos puede ser encerrado en un intervaloabierto, aunque sea muy pequenito, en donde no hay ningun otro ele-mento de X mas que el. Demuestren que entonces X debe ser finito onumerable. (Los puntos de un conjunto que cumplen la propiedad men-cionada son llamados puntos aislados del conjunto. En este ejercicio loque estaran probando es que si un conjunto solo tiene puntos aislados,no puede tener la cardinalidad del continuo. O lo que es lo mismo:que todo conjunto con la cardinalidad del continuo, tiene al menos unelemento en torno al cual se acumulan una infinidad de elementos delconjunto –tiene al menos un elemento que no es punto aislado suyo–).

7.- Prueben que el plano R2 no es la union de una familia numerable delıneas rectas.

Hint: Tomen una familia arbitraria de lıneas que sea numerable, y ar-gumenten que por lo menos hay una lınea vertical no incluida en lafamilia. A partir de ahı muestren la existencia de un punto de R2 queno pertenece a la familia de rectas considerada.

8.- Demuestren que:

(a) Si a, b ∈ Q =⇒ a± b, a · b, ab ∈ Q (lo ultimo, si b 6= 0).

(b) Si a, b ∈ Q =⇒ a+b2 equidista de a y b (es decir, es el punto medio).

162 2.10 Ejercicios

9.- Demuestren que si la diagonal y el lado de un pentagono regular cual-quiera fueran conmensurables entre sı, podrıa construirse una familiainfinita de pentagonos inscritos cada uno en el anterior, cuyos ladosformaran una sucesion decreciente de numeros enteros positivos. Enotras palabras: obtengan una demostracion de la inconmensurabilidadentre la diagonal y el lado de un pentagono regular, similar a la cuartay quinta de las desarrolladas para mostrar la irracionalidad de

√2.

10.- Hay un criterio para probar la irracionalidad de un numero que resultade gran utilidad en muchos casos. Se trata de un teorema que dice losiguiente:

Si x = pq es un numero racional expresado en su froma irreducible, que

es solucion de una ecuacion de la forma

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0, con ak ∈ Z ∀ k = 0, 1, . . . n (2.15)

entonces q|an y p|a0.

De aquı se desprende como un corolario que si un racional es solucionde una ecuacion como (2.15), en el que an = 1, entonces ese racionaltuvo que ser un entero que divide a a0. O en otras palabras, que enese caso las soluciones solo pueden ser enteros (que dividan a a0) oirracionales.

Supongan que quieren probar que√

2 es irracional. Hacemos lo siguien-te:

(i) Obtenemos una ecuacion del tipo de (2.15), de la cual√

2 seasolucion:

Como x =√

2 =⇒ x2 = 2 =⇒ x2−2 = 0. Ahı tenemos la ecuacion.

Nos resulto con el coeficiente an = 1. Entonces:

(ii) Vemos cuales son los divisores enteros de a0 = −2. Estos son: -2,2, -1 y 1.

(iii) Checamos si alguno de ellos es solucion: como

(±2)2 − 2 = 4− 2 = 2 6= 0 y (±1)2 − 2 = 1− 2 = −1 6= 0

ninguno de ellos es solucion.


Por lo tanto, la ecuacion no tiene ninguna solucion racional, de mo-do que todas son irracionales. Como

√2 es solucion, entonces

√2 es

irracional.

Una demostracion completamente analoga nos permite obtener facil-mente un resultado mucho mas general:

n√a es irracional ∀ a ∈ N tal que a 6= kn ∀ k ∈ N.

(a) Pues bien: el ejercicio consiste en que demuestren el teorema men-cionado mas arriba. Pueden utilizar la propiedad de divisibilidadentre numeros enteros, que dice lo siguiente:

Si a, b, c ∈ N, a|bc y a, b no tienen ningun factor comun =⇒ a|c.

Y la que es una generalizacion de la anterior:

Si a, b, c ∈ N, a|bnc y a, b no tienen ningun factor comun =⇒ a|c.

Una vez demostrado el teorema, utilıcenlo para demostrar que:

(b)√

2 + 3√

3 es irracional.58

11.- (a) Definan un orden en R2.

Hint: Piensen la forma en que se ordenan las palabras en un dic-cionario (supongan que todas las palabras constan de dos letras).

(b) Extiendan el orden propuesto a Rn.

12.- Definan la siguiente relacion de orden en los naturales:

x ≺ y si x es impar y y es par. En caso de que ambos sean pares oimpares, x ≺ y si x < y.

(a) Enlisten en orden creciente como quedarıan ordenados los naturalescon esta relacion.

(b) ¿Es un buen orden?

(c) Tomen dos elementos a < b en N con su orden usual, y vean dondequedaron ubicados con el reordenamiento que se definio. ¿Siemprequeda a a la izquierda de b?

164 2.10 Ejercicios

13.- Sea x ∈ R. Definamos

[x] = Parte entera de x. (2.16)

{x} = x− [x] = Parte fraccionaria de x. (2.17)

Sea ≺ la relacion de orden definida por

x ≺ y si {x} < {y} o si {x} = {y} y [x] < [y]. (2.18)

(a) Definan la relacion anterior en

X = {Numeros reales con dos cifras decimales}

(i) Enlisten los elementos de X en la forma en que son ordenadospor ≺ .

(ii) ¿Quien es el siguiente y el anterior de 1.27? ¿Quien es mayor:1.2 o 0.3?

(iii) ¿Cumple las condiciones para ser un buen orden sobre X?

(b) Ahora definan esa misma relacion de orden sobre Q.

(i) ¿Es un orden lineal?

(ii) Dada cualquier x ∈ Q, ¿existen siempre el siguiente y el an-terior?

(iii) ¿Es un buen orden en Q?

(c) Propongan un orden en R, con el que se cumpla que dado cualquiernumero real, siempre exista su sucesor y su antecesor.

14.- Demuestren que las dos definiciones de conjunto infinito mencionadasen la pag. 118 son equivalentes.

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