Conceptualmente, un índice o genotipo agregado estaría formado por los valores de cría de las características de interés u objetivos de selección ponderados por su valor económico. Este es expresado en una ecuación única que sería:Índice de selección

I = b1X1 + b2X2 +... + bnXn ⟹ ∑biXi

Donde:I = Índice de selección.b = bi (i=1,…, n) son factores de ponderación de cada observación fenotípica. X = Xi (i=1,…, n) observaciones fenotípicas consideradas para el índice de

selección de un animal candidato a ser seleccionado.Valor genético agregado

H = A1G1 + A2G2 +...+ AnGn ⟹ ∑AiGi

Donde:H = Valor genético agregado.A = Ai (i=1,…, n) son valores económico relativo correspondiente a la i-ésima

característica. G = Gi (i=1,…, n) Valor genético aditivo del i-ésimo animal.Para encontrar los estimadores de los (bs) involucrados en el índice es necesario:

1. Maximizar la correlación entre el valor genético agregado y el índice.

∂∂b1 log ҐHI = 0

2. Minimizar la suma de cuadrados de las desviaciones entre H e I.

∂∂b1 ∑ (H – I)2 = 0

Para la construcción de un índice de selección se debe buscar en determinar los valores de los coeficientes (b1), teniendo como valores constantes las varianzas y covarianzas genéticas y fenotípicas, así como los valores económicos relativos (A1). Propiedades de las Ecuaciones Normales:

1. Las ecuaciones son simétricas para las varianzas y covarianzas genéticas y fenotípicas.

2. Los valores del valor económico relativo puede tomar cualquier valor, incluido el cero.

3. Los valores fenotípicos pueden ser del individuo, familiares, etc.4. La correlación ҐHI = ҐPA, donde σ2A = σ2G

Considerando un índice con dos características se tiene:H = A1G1 + A2G2

I = b1X1 + b2X2

Tomando las derivadas parciales:∂∂b1 ∑ (H – I)2 = 0 donde i = 1,2.

∑ (H – b1X1 –b2X2) (-X1) = 0

∑ (H – b1X1 –b2X2) (-X2) = 0

-∑ HX1 – b1∑X21 + b2 ∑X1X2 = 0

-∑ HX2 – b1∑X1X2 + b2 ∑X22 = 0

∑ HX1 = b1∑X21 + b2 ∑X1X2 = 0

∑ HX2 = b1∑X1X2 + b2 ∑X22 = 0

Teniendo en cuenta que cada variable está desviada de su media al ser dividida por los grados de libertad correspondiente (n – 1), se tiene las ecuaciones equivalentes:

∑ HX1 = b1∑X21 + b2 ∑X1X2 = 0

⟹ CovHX1 = b1 VarX1 + b2 CovX1X2

∑ HX2 = b1∑X1X2 + b2 ∑X22 = 0

⟹ CovHX2 = b1 CovX1X2 + VarX2

Al considerar:CovHX1 = A1 CovX1G1 + A2 CovX1G2

CovHX2 = A1 CovX2G1 + A2 CovX1G2 Y que la relación existente entre estos valores:

CovX1G1 = CovGiGi = σ2Gi (a)

CovX1G2 = CovXiGj (b)Si:

E = [Xi ,Gj ] = E {[Gi+ei ] [Gj ]}

⟹ i = j ⟹ G2 = σ2Gi

⟹ i ≠ j ⟹ GiGj = CovGiGj

Se tiene:

b1 σ2X1 + b2 σX1X2 = A1 σ2

G1 + A2 σG1G2

(1)

b2 σX1X2 + b2 σ2X2 = A1 σG1G2 + A2 σ2G2

Considerando minimizar la suma de cuadrados de las desviaciones entre H e I, se tendría:

∑ (H – I)2 = A⦋ 1G1 + A2G2 – b1X1 – b2X2⦌2⟹ (A21G21 + A22G22 + b21X2 1 + b22X22 + 2 A1A2G1G2 + 2 b1b2X1X2 – 2 A1b1G1X1 – 2 A1b2G1X2 – 2 A2b1G2X1 – 2 A2b2G2X2)∂(H – I) ²∂b1

= 2 b1 σ2X1 + 2b2 σX1X2 – 2A1 σX1G1 - 2A2 σX1G2

∂(H – I) ²∂b2

= 2 b2 σ2X1 + 2b1 σX1X2 – 2A1 σX2G1 - 2A2 σX2G2

Al igualar a cero las primeras derivadas y ordenándolas se tiene:

b1 σ2X1 + b2 σX1X2 = A1 σX1G1 + A2 σX1G2

b2 σX1X2 + b2 σ2X2= A1 σX2G1 + A2 σ X2G2

Considerando las relaciones (a) y (b):

b1 σ2X1 + b2 σX1X2 = A1 σ2G1 + A2 σG1G2

(2)

b2 σX1X2 + b2 σ2X2 = A1 σG1G2 + A2 σ2G2

Se observa que las ecuaciones 1 y 2 son iguales. De este sistema de ecuaciones se resuelve para determinar los valores respectivos de los coeficientes.Cuando se considera un solo carácter para la confección del índice de selección, las ecuaciones normales del valor genético agregado y el índice seránH = A1 G1

I = b1 X1

Se asume que el valor económico relativo, al ser un único carácter como objetivo de selección, tiene un valor de 1, convirtiendo al valor genético agregado al valor genético del individuo para dicho carácter.H = G1

La ecuación normal

b1=σ2G 1σ2 X

b1 = h2 del carácter considerado en la selección.Por lo tanto el índice será:I = h2 X1

Determinando la precisión o la correlación del valor genético agregado y el índice será:

ҐHI = ҐGI = σ2 Iσ2H

=