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FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

ASIGNATURA: INGENIERÍA MATEMÁTICA II

GUÍA DE LABORATORIO

AUTOR: Dr. LUIS PAIHUA MONTES

SEMESTRE ACADÉMICO 2015-II

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Este material de enseñanza se hace en concordancia con lo dispuesto por la legislación sobre derechos de autor:

Ley 13714 Art 69.- Pueden ser reproducidos y difundidos breves fragmentos de obras literarias, científicas y artísticas, y aún la obra entera, si su breve extensión y naturaleza lo justifican siempre que la reproducción se haga con fines culturales y no comerciales, y que ella no entrañe competencia desleal para el autor en cuanto a aprovechamiento pecuniario de la obra, debiendo indicarse, en todo caso, el nombre del autor, el título de la obra y la fuente de donde se hubieren tomado.

El trabajo en laboratorio tiene la siguiente organización: En las dos primeras semanas el estudiante se familiarizará con el asistente

MATHCAD aprendiendo los comandos básicos que le permita editar y planificar el trabajo de cada unidad desarrollada en teoría.

Es responsabilidad de los estudiantes en practicar con el asistente antes de la clase de laboratorio, los puntos tratados en cada semana están explicados para que avancen, de esta manera el laboratorio es más ágil y provechoso.

Las tareas de cada semana deberán ser entregadas al inicio de clase del siguiente laboratorio.

Las evaluaciones están programadas en las semanas 4, 6, 10, 12 y el control final la semana 14, el temario no es cancelatorio.

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INGENIERÍA MATEMÁTICA II Laboratorio N° 1

Introducción OBJETIVO GENERAL: Familiarizarse con la forma de trabajo en el Mathcad. Verificar la facilidad de trabajo y potencia del asistente. Trabajar en el plano complejo con el Mathcad.

COMPETENCIAS: Edita textos, ecuaciones. Comprende y desarrolla el cálculo aritmético y formal. Define objetos en el Mathcad y opera con ellos. Edita números complejos y los opera.

INTRODUCCIÓN: Con frecuencia se hará mención de las herramientas de trabajo que están agrupadas en:

CALCULADORA, GRÁFICO, MATRIZ, EVALUACIÓN, CÁLCULO, BOOLEANO, PROGRAMACIÓN, GRIEGO, SIMBÓLICO. Inspeccionar estas barras de herramienta.

1. Para escribir un texto: Posicione el cursor en cualquier lugar de la pantalla, luego haga

MAYÚSCULA + 2 ([ “ ] doble comilla), enseguida escriba la frase: Ingeniería Matemática II con Mathcad Ciclo 2015-II Luego subraye y resalte para que obtener:

Ingeniería Matemática II con Mathcad Ciclo 2015-II

Después desplace arrastrando el ratón de manera que esté centrado en la parte superior.

2. Posicionar el cursor en forma adecuada y escriba lo indicado sin dejar espacio libre (de corrido), observe el resultado.

a. 3

1

11

3 (resultado aritmético, en decimal)

b. 34

1

11

3 (resultado formal, exacto)

c.

11

1cosh

1

13

11

)2cos(

2

12 3

x

x

xx

x

x

xe x

(una expresión algebraica)

d. 3223 3 yxyxzx = 2 (una ecuación, el signo igual es el lógico)

4

3. Para definir los objetos en el Mathcad: variables, funciones, matrices, constantes, etc se emplea la siguiente sintaxis:

Objeto:=valor

Como aplicación defina las matrices y las funciones dadas:

a. Para crear matrices emplear las herramientas en el grupo MATRIZ, no olvidar que la enumeración de la filas y columnas por defecto empiezan en cero para modificar haga ORIGIN:=1

1 2 3 4

5 6 7 8:

9 0 1 2

3 4 5 6

A

1 3 5 7

9 0 2 4:

6 8 1 2

3 4 5 6

B

. Haga las operaciones básicas, y visualizar

el elemento de la fila 2, columna 3 haciendo A2,3 .

b. 72.3:)( 2 xxxf (función real de variables real) Para evaluar la función definida en un valor determinado por ejemplo x=1 es suficiente hacer f(1)= (y visualizará el valor respectivo)

c. 32 23:),( yyxxyxf (función real de dos variables Para evaluar de manera similar al caso anterior, escribir el valor correspondiente a cada variable, por ejemplo hacer f(3,2)= (verificar el valor hallado)

4. Escriba lo siguiente: z1:=4-3i z2:= -3+2i, (emplear el i que se encuentra en la calculadora) luego

realice la operaciones.

a. Suma z1+z2 b. Multiplicación z1.z2

c. División 1

2

z

z

d. Conjugado 1z (emplear MAY+2) e. |z2| (módulo en forma formal)

TAREA 1 1. Con las matrices creadas haga las operaciones básicas,

A+B, AB , A-1 , |A| (determinante) , tr(A) (traza de A) , A<1> (columna 1 de A) BTA (producto de la transpueta de B con A)

2. Con los siguientes complejos z1=2-2i , z2=1-3i haga las siguientes operaciones: |z1| , arg(z1), (argumento de z2), Re(z2), Im(z2) (parte real e imaginaria de z2 (z1+z2)3 , (z1/z2)2

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INGENIERÍA MATEMÁTICA II

Laboratorio N° 2 Gráficos en 2D y 3D

OBJETIVO GENERAL: Presentación en 2D. Presentación en 3D

COMPETENCIAS: Grafica en 2D. Grafica curvas parametrizadas con dominio predeterminado. Grafica en 3D, de las curvas de contorno.

1. , 2. Para graficar una curva, 1ro determine su ecuación paramétrica, es decir escribir

0 0

( )

( ) , [ , ]

x f t

y g t t a b

luego hacer (Plantilla 1)

A continuación graficar el par kk yx 1,1 escribiendo x1k en el dominio, y1k en el rango.

Aplicación: Parte de la elipse 2 24 9 36x y que se encuentra en el 2do y 3er cuadrantes. 3. Para graficar las curvas de contorno (nivel) buscar el ícono correspondiente en GRAFICO, aplicar

a la función 32 2),( yyxxyxf .

a:=a0 b:=b0 n:=200 :b a

hn

k:=0 .. n :kt a k h

)(:1

)(:1

kk

kk

tgy

tfx

33 2:),( yyxxyxf

f

Con las indicaciones del profesor lograr el gráfico adjunto.

32

3

3182

14

)(

2

2

2

xsix

x

xsix

xsix

xf , 438

)(3

xx

xg

Para graficar una función real de variable real emplear el

ícono que se encuentra en GRAFICO, Como aplicación graficar en el intervalo [-3 , 7] la función:

6

4. Descompones en parte real e imaginaria la función compleja 2),( zwwzf , donde w representa el conjugado de z, las herramientas se encuentran en SIMBOLICO y la unidad imaginaria está en CALCULADORA. (Plantilla 2)

5. Descompones en parte real e imaginaria la función compleja izzzf 2)(

(Plantilla 3)

TAREA 2 6. Graficar en el mismo sistema las curvas correspondiente:

40,422 xxy

5342 xsiyx

7. Dada la función 49

)36ln(),(22

22

yx

yxayxyxf graficar las curvas de contorno para

los valores de a=-5, -1 , 1, 5

f z w( ) w z2

g x y( ) f z w( )

reemplazar w x y i

reemplazar z x y i

complejos

x2

x y2

2 x y y( ) i

Parte real y parte imaginaria

u x y( )g x y( ) g x y( )

2complejos x

2x y

2

v x y( )g x y( ) g x y( )

2 icomplejos 2 x y y

izzzf 2:)(

g x y( ) f z( )reemplazar z x y i

complejosx2

y2

y x 2 x y( ) i

Parte real y parte imaginaria

u x y( )g x y( ) g x y( )

2complejos x

2y

2 y

v x y( )g x y( ) g x y( )

2 icomplejos x 2 x y

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Laboratorio N° 3 Mapeo

OBJETIVO GENERAL: Mapeo en forma gráfica.

COMPETENCIAS: Determina la imagen de curvas. Determina la imagen de regiones limitadas por curvas. Descompone una función compleja en parte real e imaginaria.

Pasos a seguir para el mapeo de una curva: 1. Descompones en parte real e imaginaria la función f(z) propuesta por el profesor, emplear.

Plantilla 2 ó 3, según el caso. 2. Parametrizar la curva propuesta por el profesor y hacer la plantilla 1. 3. Para graficar la curva escriba x1k en el dominio, y1k en el rango, y para graficar la imagen de la

curva (el mapeo) escriba )1,1( kk yxu en el eje del dominio, )1,1( kk yxv en el eje del rango.

Observaciones: Las gráficas mencionadas pueden realizarse en el mismo sistema, tener cuidado la escala, por

eso se prefiere separado. No se debe olvidar en la presentación adecuada del gráfico (Formatear)

Si hay más curvas, con cada una de ellas haga el paso 2 y 3 los nuevos pares denotar

sucesivamente 2( ) :

2( ) :

x t

y t

, 3( ) :

3( ) :

x t

y t

etc

Para dibujar la imagen de varias curvas, poner en el eje del dominio las evaluaciones de la función u y en el eje del rango las evaluaciones de la función v, Por ejemplo si fueran tres curvas escriba:

En el dominio ( 1 , 1 ), ( 2 , 2 ), ( 3 , 3 )k k k k k ku x y u x y u x y

En el rango ( 1 , 1 ), ( 2 , 2 ), ( 3 , 3 )k k k k k kv x y v x y v x y

TAREA 3

Determine la imagen de la región del gráfico al aplicar la función z

zf1

)(

422 yx222 xy

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Flujo OBJETIVO GENERAL: Considerando la función compleja f(z) como el campo de velocidad de un flujo de fluido,

explicar el comportamiento de dicho flujo. Considerando a la función analítica F(z) como el potencial complejo de flujo de fluido, explicar

el comportamiento de dicho flujo.

COMPETENCIAS: Plantea la EDO de las líneas de corriente, las determina y grafica Plantea la EDO de las curvas equipotenciales, las determina y grafica. Interpreta el comportamiento del flujo respectivo. Identifica la función corriente y equipotencial. Explica el comportamiento del flujo correspondiente.

Caso: Función compleja el campo de velocidad.

1. Descomponer la función compleja (Plantilla 2 ó 3) 2. Plantear la ecuación diferencial de las líneas de corriente y curvas equipotenciales,

empleando el archivo EDO puede resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales. 3. Graficar las líneas de corriente y comentar su orientación teniendo en cuenta el campo de

velocidad.

Caso: Función compleja el potencial complejo de flujo de fluido. 1. Descomponer la función compleja (Plantilla 2 ó 3) e identificar la función corriente y

función potencial. 2. Determinar el vector velocidad. 3. Graficar las curvas de contorno de la función corriente y comentar su orientación tendiendo

presente el vector velocidad. Aplicación

2. La función compleja zizzf )( explica el comportamiento de cierto flujo de fluido, explicar dicho comportamiento.

La función compleja 2( )F z z iz representa el potencial complejo de flujo de fluido, explicar el comportamiento del flujo de fluido.

Práctica LAB1

Temario 1: Gráfica de funciones reales. Gráfica de curvas. Gráfica de contornos de funciones reales de dos variables. Mapeo de curvas y regiones limitada por curvas.

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Proceso estable inestable y Propagación de error

OBJETIVO GENERAL: Identificar si el proceso es estable o inestable Estimar la propagación de error en cierta situación. Identifica que variable influye más en el error.

COMPETENCIAS: Distingue cuando hay estabilidad o inestabilidad. Modela ciertas situaciones y analiza la propagación de error. Localiza cada solución de una ecuación. Distingue si el proceso iterativo es convergente o no.

PROCESO ESTABLE-INESTABLE

1. Considere la siguiente sucesión:

1

0

1 dxexv xnn , aplicando la integración por partes se obtiene: 11 nn vnv

a) Empleando la expresión recurrente hallada tabule para n=1, 2, …20 sabiendo que

0 1 1/v e (valor con 17 decimales que da Mathcad). ¿Podemos confiar en esta tabla?

Justifique su respuesta y analizar el motivo.

b) Empleando la expresión recurrente 1

120,19, ..., 0n

n

vv n

n

, tabular dichos

elementos haciendo 20 0v (valor con error). ¿Hay confianza en estos valores?

Para cada caso escriba: a) b)

n 1 20

v0

11

e 0.6321205588285577

vn

1 n vn 1

v

0012345

0.63212055882855770.367879441171442330.26424111765711533

0.2072766470286540.17089341188538398

...

n 20 19 1 v

200

vn 1

1 vn

n

v

0012345

0.63212055882855770.367879441171442330.264241117657115330.207276647028653950.17089341188538426

...

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PROPAGACIÓN DE ERROR

2. .

TAREA 4

La fórmula de Manning para un canal rectangular se escribe como 2/13/2

3/5

)2(

)(1S

HB

BH

nQ

,

donde Q=flujo (m3/s), n=coeficiente de rugosidad, B=ancho (m), H=profundidad (m) y S=pendiente. Estimar Q si tenemos un arroyo con B=35 m H=0.55 m , n=0.03 10% , S=0.0003 10%. ¿Cuál de estos valores con error recomienda sea medido con más cuidado?

Si las medidas lineales pueden tener un error no superior al 0.1% , determinar el rango en que se encuentra el área de la figura.

120 m 60° 95 m

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INGENIERÍA MATEMÁTICA II Semana 6

Solución numérica de una EDO de orden 1 OBJETIVO GENERAL: Resolver numéricamente un EDO de orden 1. Numéricamente ver su estabilidad

COMPETENCIAS: Aplica el método de Euler y resuelve una EDO. Emplea el método de RK4 y resuelve una EDO. Plantea una EDO de orden n>1 como un sistema de EDO de orden 1. Resuelve un sistema de EDO. Plantea el sistema discreto correspondiente a una EDO con condiciones de frontera.

Solución de una ecuación diferencial S

1. Prepara la siguiente plantilla que corresponde al método de Euler (Plantilla 4)

Resuelva el mismo ejercicio con Runge-Kutta de orden 4, archivo del aula virtual, estime el error según las indicaciones del profesor.

Práctica LAB2

Temario 2: Mapeo. Flujo. Errores .

f x y( )

a b n k 0 n

hb a

n x

ka k h y

0

yk

yk 1 h f x

k 1 yk 1

S augment x y( )

S

El profesor indicará la EDO a resolver, tener en cuenta que ax 0

)(0 ayy

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Solución numérica de una EDO de orden superior con condición inicial y con condición de frontera

OBJETIVO GENERAL: Resolver numéricamente un EDO de un sistema de orden 1. Resolver numéricamente un EDO de orden superior a 1. Numéricamente ver su estabilidad

COMPETENCIAS: Adapta el método de Euler a un sistema de EDO. Emplea el método de RK4 y resuelve un sistema. Plantea el sistema discreto correspondiente a una EDO con condiciones de frontera.

1. La ecuación diferencial que explica el movimiento de un resorte rígido está dado por la ecuación

3''y ky py , donde k y p son constantes. Resuelva la ED para k=3 p=1, teniendo las

condiciones iniciales (0) 0 , '(0) 1y y 5.0)0(',1)0( yy 2. Resolver la EDO dada en [1 , 5] para x=1+0.05*k k=1, 2, …99 siendo:

1)5(,2)1(/''' 1.0 yyeyxyy x

TAREA 5

Resolver la siguiente EDO

1)0(',1)0(

0''' 2

yy

xyyxy, en el intervalo [0 , 3], presentar el gráfico de la

función y(x), y’(x) y también el par (y ‘ , y ‘’)

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Resolución de una ecuación no lineal OBJETIVO GENERAL:

Localiza la solución. Plantear procesos iterativos convergentes. Aplicar correctamente los métodos que resuelvan una ecuación no lineal. Resolver numéricamente una ecuación no lineal por los diferentes métodos

COMPETENCIAS: Distingue si el proceso iterativo es convergente o no. Verifica las condiciones favorables de cada método al aplicarla. Calcula la solución de una ecuación no lineal con cierta exigencia.

El desplazamiento de una estructura está definido por la ecuación 0.58 cos(3 ) , 0ty e t t .

Deseamos hallar el tiempo requerido para que el desplazamiento disminuya a 4, localizar la solución. 1. Localizar.

Para ello hacer. Plantilla 5

2. Para la solución localizada calcule aplicando el método de Bisección y el método de la secante.

f x( ) a 0 h 1 b a h

f x( )

ba x

f

Observar que la gráfica se realiza en el intervalo [a , b] de amplitud h=1. Cambiando el valor de a para distintos valores se realiza una exploración que nos permite localizar cada solución. Seguir las recomendaciones que el profesor dará.

Plantilla 6

14

TAREA 6

1. La ecuación que permite determinar la frecuencia de la viga empotrada en un extremo y libre en el

otro extremo, está dada por cos( )cosh( ) 1 0ul ul , donde: 2 pu

a , 2 EIg

aA

p= Frecuencia circular natural de la viga, radianes /s. l=300cm (longitud de la viga)

I=7000cm4 (momento de inercia del área del material de la viga) E=2 (10)5 kg/cm2 (módulo de elasticidad del material de la viga)

0.002 kg/cm3 (densidad del material de la viga) A=200 cm2 (área de la sección transversal de la viga) g= aceleración de la gravedad, cm/s2 .

Localizar las tres primeras soluciones positivas

2. Un cable catenario tiene la forma dada por la gráfica de la ecuación 0coshA A

A

T Ty x y

T

siendo el peso (N/m) , TA la tensión en el punto A. Localizar el valor de TA , para 10 , y0=5, siendo y=15 m, para x=50 m

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Laboratorio N° 10 Solución de una Ecuación no Lineal (continuación)

.Para resolver empleando el método de Newton y aproximación sucesiva (vago) preparar la plantilla. Plantila 7 Plantilla 8 Calcular el desplazamiento del ejemplo semana 9 con el 0.1% de error, empleando Newton y aproximación sucesiva.

Práctica LAB3

Temario 3: Resolución de una EDO. Localización de soluciones de una ecuación no lineal. Método de la secante .

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Aproximación (Interpolación)

OBJETIVO GENERAL: Aproximar el comportamiento de un fenómeno mediante un polinomio

COMPETENCIAS: Calcula la tabla de diferencia dividida. Construye el polinomio de interpolación. Traza curvas mediante la Spline cúbica.

Emplear los archivos del aula virtual preparados para esta unidad. Importante:

Cada estudiante debe traer en una hoja cuadriculada A4, donde traza el sistema de coordenadas rectangulares en el centro de la página, en la parte superior izquierda pones su Apellido paterno, materno y nombres, luego traza una curva que corte a cada eje coordenado al menos dos veces y esté en los cuatro cuadrantes (puede ser curva cerrada)

1. Dada la siguiente información: (Emplear Programa DIF_DIV)

x 1 2 2.5 3 4 5 f(x) 1 5 7 8 2 1

Halle el polinomio cúbico de interpolación que permita estimar f(3.4), y estime el error.

2. Empleando el trazador Spline cúbico dibujar la curva que el profesor asignará a cada estudiante, y

orientará en la actividad de esta unidad. (Programa Trazador Spline) TAREA 7

Reproducir la curva dada empleando el trazador Spline con el menor número de puntos. Presentar las coordenadas de los puntos empleados y el archivo respectivo.

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

Curva

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Aproximación (Ajuste)

OBJETIVO GENERAL: Aproximar el comportamiento de un fenómeno mediante un función adecuada

COMPETENCIAS: Planifica y construye el ajuste lineal mediante un polinomio. Planifica y construye el ajuste lineal y no lineal.

El esfuerzo cortante, en kips por pie cuadrado (kpc) de nueve muestras tomadas a distintas profundidades en un estrato de arcilla son:

Prof.(m) 1.9 3.1 4.2 5.1 5.8 6.9 8.1 9.3 10.0 Esf.(kpc) 0.3 0.6 0.4 0.9 0.7 1.1 1.5 1.3 1.6

Haga un ajuste razonable y estime el esfuerzo cortante a una profundidad de 4.5 m. Emplear Programa Ajuste)

Práctica LAB4

Temario 4: Resolución de una ecuación no lineal: Método de Newton, Aproximación sucesiva Diferencia dividida. Interpolación polinomial. .

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Cuadratura OBJETIVO GENERAL: Determinar el área de regiones y cubicar

COMPETENCIAS: Calcula la integral definida en forma aproximada cuando se conoce la función empleando

diferentes métodos con la ayuda del asistente, estimando el error. Calcula la integral empleando información discreta y estima el error. Cúbica empleando datos en una malla rectangular.

1. Para desarrollar los ejercicios haga las siguientes plantillas 9, 10, 11 y 12

Para los datos discretos adaptar la plantilla con la recomendación del profesor.

TAREA 8 Aproximar e , π con 7 decimales exactos empleando el método de Simpson.

Trapecio Cerrado

f x( )1

1 x3

a 0 b 2 n 10 k 0 n

hb a

n

xk

a k h

TCh

21

n

k

f xk 1 f x

k

Valor TC 1.089495609733241

Trapecio Abierto

f x( )1

1 x3

a 0 b 2 n 10 k 0 n

hb a

n

xk

a k h

TAh

21

n

k

f xk 1

h

3

f xk

h

3

Valor TA 1.090172258335061

Simpson Cerrado

f x( )1

1 x3

a 0 b 2 n 4 k 0 n

hb a

n

xk

a k h

SCh

61

n

k

f xk 1 4f x

k 1h

2

f xk

Valor SC 1.090097506764173

Simpson Abierto

f x( )1

1 x3

a 0 b 2 n 4 k 0 n

hb a

n

xk

a k h

SAh

31

n

k

2f xk 1

h

4

f xk 1

h

2

2f xk

h

4

Valor SA 1.089920959442364

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INGENIERÍA MATEMÁTICA II Semana 14 Cubicación

OBJETIVO GENERAL: Determinar el volumen de regiones del espacio

COMPETENCIAS: Calcula la integral doble definida de en forma aproximada cuando se conoce la función

empleando diferentes métodos con la ayuda del asistente. Cúbica empleando datos en una malla rectangular.

Aproximar la integral 3

0

4

1

1.0 3

dydxxye yx , haciendo 10x8 tramos.

CONTROL FINAL DE LABORATORIO

Temario Mapeo Flujo. Resolución de una EDO. Resolución de una ecuación no lineal Interpolación y ajuste Cuadratura: Trapecio, Simpson, Romberg. .

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Vectores y Valores propios, Sistema lineal

OBJETIVO GENERAL: Calcular los valores y vectores propios. Plantear procesos iterativos lineales. Aplicar correctamente los métodos que resuelvan una ecuación lineal. Resolver numéricamente una ecuación lineal.

COMPETENCIAS: Calcula directamente con el Mathcad los valores y vectores propios. Calcula en forma aproximada el valor propio más grande en módulo por proceso iterativo. Plantea la situación favorable para emplear el proceso iterativo de Jacobi. Plantea la situación favorable para emplear el proceso iterativo de Gauss-Seidel.

1. Para calcular directamente los valores y vectores propios debe emplear las funciones: eigenvals y eigenvec ó eigenvecs. Como aplicación proceda de la forma siguiente:

Editamos la matriz A

3.556

1.778

0

1.778

3.556

1.778

0

1.778

3.556

L eigenvals A( ) L

1.042

3.556

6.07

Para hallar todos los valores propios

V eigenvecs A( ) V

0.5

0.707

0.5

0.707

0

0.707

0.5

0.707

0.5

Para hallar todos los vectores propios

eigenvec A L2

0.5

0.707

0.5

Para hallar cierto vector propio

21

Plantear el SEL correspondiente, determine los valores y vectores propios, luego resolver empleando los algoritmos de Jacobi, Gauss_Seidel y discutir su convergencia.. Ejercicio para el estudiante En la figura determinar las fuerzas que participan (tensión, compresión) sobre las componentes al igual que las reacciones externas, las unidades son lb.

ENTREGA DE LOS ARCHIVOS TRABAJADOS POR EL ESTUDIANTE EN LABORATORIO

60º 60º 45º 45º 4500

400 300 45º 45º 60º 30º

imii guia lab_15_2

Engineering