eIMÁGENES SOBRE LAS MATEMÁTICAS, SU ENSEÑANZA YAPRENDIZAJE EN ESTUDIANTES PARA PROFESORES DE

SECUNDARIA Y TAREAS MATEMÁTICAS ESCOLARES

VICTORIA SÁNCHEZ GARCÍA Y SALVADOR LLINARES (e)

RE.surtim Este estudio tiene por objetivo indagar sobre los orígenes y el contenido delas imágenes de estudiantes para profesores de Secundaria sobre las Matemáticas yla enseñanza/aprendizaje de las mismas, y su influencia en la forma en la que estosestudiantes interpretan las tareas matemáticas escolares. Los participantes fueron cin-co licenciados universitarios matriculados en un Curso de Adaptación Pedagógica(área de Matemáticas). A través del análisis de una serie de entrevistas clínicassemiestructuradas, diseñadas de modo que permitiesen realizar una descripción delas imágenes de cada estudiante para profesor sobre las Matemáticas y su enseñan-za/aprendizaje, fueron emergiendo una serie de imágenes que se describen comoestudios de casos. La comparación de los datos de cada caso nos ha permitido apre-ciar los diferentes papeles desempeñados por las imágenes de la enseñanza y elaprendizaje, aportando ideas sobre los referentes cognitivos con los que los estu-diantes para profesor de Matemáticas de Secundaria pueden interpretar la informa-ción proporcionada en los programas de formación.

ABsTRAcr. The objective of this stucly is to research on the origins and contents ofstudents to be secondary school teachers images on maths, maths' teaching/lear-ning, and its influence in the way these students interpret school inathematicaltasks. The participants were five universitary graduates who were registered for aPedagogical Adaptation Course (maths' area). A series of images that we describeas studies of cases arose from our analysis of semistructural clinical interviews, de-signed in a way to allow us doing a description of each student's images on mathsand mathsleaching/learning. The comparison between each cases data has allo-wed us to observe the different functions of teaching and leaming images, and hasadded ideas on studentS cognitive referents to interpret the information given intraining syllabuses.

LAS IMÁGENES COMO UNA FORMADE INDAGAR SOBRE EL CONOCIMIENTODE LOS ESTUDIANTESPARA PROFESORES

Las concepciones e imágenes previas delos estudiantes para profesores y la influen-cia que pueden ejercer sobre sus procesos

(*) Universidad de Sevilla.

de aprender a enseñar son temas de granimportancia en la formación de profesoresde Matemáticas (Ball, 1988, 1991; Ball &McDiarmind, 1990; Llinares & Sánchez,1996; Sánchez & Llinares, 1996). Estaimportancia ha sido destacada por nume-rosos autores (Wilson, Shulman & Richert,1987; Calderhead & Robson, 1991), quehan proporcionado información sobre las

Revista de Educación, núm. 329 (2002), pp. 443-461 443

Fecha de entrada: 30-05-2001

Fecha de aceptación: 27-08-2002

concepciones e imágenes que los estudian-tes para profesores llevan a los programasde formación y las dificultades que puedeplantear cuando se enfrentan a la compleji-dad de la enseñanza (Calderhead, 1991).

En las investigaciones sobre las creen-cias y concepciones de los profesores, lanoción de »imagen» se ha empleado tantopara la caracterización de los constructosteóricos como en las investigaciones empíri-cas. Para Calderhead y Robson (1991), estetérmino ha sido utilizado en formas muydiferentes para describir el conocimiento delos profesores: para referirse a metáforasgenerales sobre el pensamiento acerca de laenseñanza (Clandinin, 1986), para describirel concepto global que los profesores tienende una lección (Morine-Dershimer, 1979) ocomo instantáneas de incidentes o alumnosconcretos (Eraut, 1985).

Calderhead y Robson (1991) señalan que:Las imágenes... representan un conoci-miento sobre la enseñanza pero puedenactuar también como modelos para laacción, y además contienen frecuentemen-te una componente afectiva, estando aso-ciadas con sentimientos y actitudes particu-lares (Calderhead & Robson, 1991, p. 3).

Aunque estos autores utilizan el térmi-no •conocimiento» en la caracterización delas imágenes, incluyen también compo-nentes afectivas y actitudes. Por lo tanto,podemos pensar que »imagen» esta siendoempleado como un término englobante enel sentido de »cognición». Para otros inves-tigadores, las imágenes establecen, dealguna forma, conexiones entre pasado,presente y futuro, como se pone de mani-fiesto en la siguiente definición:

Imagen se conceptualiza aquí como unaclase de conocimiento encarnado en unapersona y conectado con el pasado, pre-sente y futuro individual. La imagen dibujael presente y el futuro en un nexo de expe-riencias personalmente significativo enfo-cado en la situación inmediata que le recla-ma. Penetra en el pasado recogiendo hilosexperienciales conectados significativa-mente con el presente. Y penetra intencio-nalmente en el futuro, y crea nuevos hilossignificativamente conectados a las situa-ciones que se experimentaron, y a las nue-

vas situaciones anticipadas desde la pers-pectiva de la imagen (Clandinin & Con-nelly, 1985 b, p. 198).

Por otra parte, Elbaz (1983) utiliza eltérmino »imágenes» para referirse a brevescomentarios metafóricos o descriptivos dealgunos aspectos de la situación que inten-tan recoger las »opiniones básicas» de losprofesores (la filosofia de su enseñanza);son las construcciones globales del profe-sor que orientan su conducta, expresan suspropósitos y median entre el pensamientoy la acción. Para Elbaz las imágenesmedian entre el pensamiento y la acción aun nivel más general que las reglas y losprincipios y muestran cómo distintas clasesde conocimiento y valores se articulan enlas situaciones de enseñanza.

En otros casos, las imágenes sonmodos de representar cómo los profesoresindividuales se ven a sí mismos en sus con-textos de enseñanza, tratando de entenderla resistencia de los profesores a aceptarnuevas direcciones curriculares (Roulet,1996), los procesos de cambio (Hannay,1996). Otros estudios han considerado lasimágenes de la enseñanza/aprendizaje enestudiantes para profesores (Calderheacl yRobson, 1991), indicando que este cons-tructo puede ser útil para representar elconocimiento que puede ser trasladado enacción en la clase, o para identificar la for-ma en la que los estudiantes para profeso-res piensan sobre sí mismos como profeso-res y cómo se relaciona esto con sus prác-ticas de enseñanza (Johnston, 1992).

EL 'TÉRMINO «IMAGEN » EN LAS INVESDGACIONESEN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

En relación con las Matemáticas, el términoimagen también ha sido considerado comoparte integrante de las concepciones de losprofesores. En ese sentido, para Thompson(1992):

Una concepción de los profesores de lanaturaleza de las Matemáticas puede servista como las creencias, conceptos, signifi-cados, reglas, imágenes mentales y prefe-rencias conscientes o subconscientes de losprofesores acerca de la disciplina de lasMatemáticas (Thompson, 1992, p. 132).

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Entre diferentes investigaciones quehan utilizado dicho término, Roulet (1996)identificó imágenes con concepciones alconsiderar las imágenes sobre las Matemá-ticas como «ideas sobre las Matemáticas..Mura (1995) asoció «imágenes de las Mate-máticas. con «visiones de las Matemáticas.reunidas a través de una encuesta nacional,para posteriormente referirse en el mismoartículo a -concepciones. como un términosinónimo. Por otra parte, otros autores(Branco & Oliveira, 1996) han estudiado lainfluencia de las imágenes de los profeso-res sobre el aprendizaje de las Matemáticasen su desarrollo profesional. La noción deimagen también ha sido utilizada en losintentos de describir y comprender refe-rentes cognitivos en el proceso de apren-der a enseñar Matemáticas. Así, Gates(1996) la utiliza en el sentido de Calderhe-ad antes descrito para analizar los procesosde aprendizaje de estudiantes para profe-sores de Matemáticas de Secundaria.

En este estudio, utilizamos el términoimagen según la caracterización de Elbaz(1983) reelaborada por Johnston (1992)considerándolas como parte de las concep-ciones (siguiendo a Thompson, 1992) quesobre las Matemáticas, su enseñanza yaprendizaje llevan a los programas de for-mación los estudiantes para profesor. Nosplanteamos las siguientes cuestiones deinvestigación:

• ¿En qué medida las experienciasprevias y la formación previa especí-fica de los estudiantes para profeso-res de Secundaria condicionan laexistencia de unas determinadasimágenes?

• ¿Cuál es el contenido de las imáge-nes de estudiantes para profesoresde Secundaria sobre las Matemáti-cas y la enseñanza/aprendizaje delas Matemáticas?

• ¿Cómo determinan estas imágenes laforma en que interpretan las tareasmatemáticas escolares?

Nuestra investigación se apoya en lahipótesis de que el contenido de las imá-genes de los estudiantes para profesor y la

forma en que se relacionan tienen impli-caciones en los procesos de aprendizajeque se pueden generar en el programa deformación. En este sentido, se conjeturaque el contenido y la organización de lasimágenes de los estudiantes para profesorinfluye en -lo que se aprende- y -cómo seaprende. en esos programas. Por lo tanto,las descripciones detalladas del contenidoy relaciones de las imágenes de los estu-diantes para profesor y la influencia queejercen en su forma de considerar las tare-as escolares, consideradas como uno de losinstrumentos a través de los que el profesordesarrolla su trabajo con los alumnos,deben permitir obtener información para eldiseño de programas de formación y paracomprender los procesos de aprendizajeen ellos generados.

METODOLOGÍA

PARriciPANTEs

Los participantes fueron cinco licenciadosuniversitarios (4 hombres y 1 mujer), quese prestaron a colaborar voluntariamenteen el estudio, de edades comprendidasentre 22 y 25 años (a los que denominare-mos CAP1, CAP2, CAP3, CAP4 y CAP5).Cuando se desarrolló la investigación, esta-ban matriculados en el Curso de Adapta-ción Pedagógica (Área de Matemáticas),por lo que les consideraremos estudiantespara profesores de Secundaria. No huboningún criterio especial de selección deestos estudiantes, a los que exclusivamentecaracterizaba su deseo de cooperar enestudios que pudieran incidir en la mejorade su formación. Aunque el proyectocomenzó con cinco estudiantes, sólo cua-tro de ellos (CAP1, CAP3, CAP4 y CAP5)completaron todos los instrumentos derecogida de datos. En ese año, el curso enla Universidad de Sevilla contemplaba dosfases (teórica y práctica), que incluían apar-tados correspondientes a teoría de la edu-cación, psicología de la educación, didácti-ca general y didáctica de las Matemáticas yprácticas de enseñanza. Estas últimas se

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realizaban con un profesor tutor (de Mate-máticas en este caso) en un centro deSecundaria.

INSTRUMENTOS

Se elaboraron una serie de entrevistas clíni-cas semiestructuradas (ver Llinares, 1996,para una descripción detallada de los dife-rentes instrumentos empleados), diseñadasde modo que permitiesen realizar una des-cripción de las imágenes de cada estudian-te para profesor sobre las Matemáticas y suenseñanza/aprendizaje:

—Una entrevista centrada en los ante-cedentes biográficos del estudiantepara profesor de Secundaria. En ella,se planteaban una serie de pregun-tas generales encaminadas a indagarsobre el porqué de la elección deestudiar Matemáticas y de ser profe-sor de esa materia, lo que pensabanque era necesario para poder empe-zar a enseñar, etc. Se intentaba asíconstruir lo que podríamos denomi-nar «biografía matemática» del parti-cipante.

—Una entrevista centrada en la clasifi-cación y el análisis de una serie detareas sobre funciones, extraídas delibros de texto escolares. En amboscasos, los problemas procedían deun análisis previo de diferenteslibros de texto, utilizando como cri-terio el modo de representaciónempleado en el problema y la activi-dad hipotética que éste demandabaal alumno (García & Llinares, 1995).

Esta entrevista constaba de dos partes:

• En la primera, el estudiante paraprofesor de Secundaria tenía queclasificar 20 problemas proporciona-dos por los investigadores y justifi-car los criterios de clasificación utili-zados.

• Posteriormente, se le planteaba que

analizasen en profundidad diez deestos mismos problemas desde dife-rentes perspectivas: descripción dela tarea, actividad demandada alestudiante, objetivo que se preten-de, lo que se aprendería haciendocada una de ellas, cómo las podríaresolver un alumno hipotético ycómo el estudiante para profesorpensaba que podría plantear suenseñanza. En la figura I, se inclu-yen algunos de los problemasempleados.

—Análisis de casos: se presentabancuatro casos y se pedía realizar unanálisis de las situaciones hipotéticasplanteadas en ellos. Estas se centra-ban en dificultades de los alumnoscon alguna noción relativa al con-cepto función. La estructura del casoconsistía en la descripción de unarespuesta de un alumno a una tareacon funciones y cuestiones que elcaso planteaba al profesor. Unascuestiones eran de diagnosis, centra-das en identificar posibles causaspara la respuesta descrita, mientrasque otras tenían carácter de inter-vención, planteándose en ellas dequé forma podía el profesor ayudaral alumno. En la figura II, se presen-ta un ejemplo de los casos utilizados.

Las entrevistas semiestructu radas serealizaron aproximadamente a las cuatrosemanas del comienzo del CAP, antes derealizar sus prácticas de enseñanza. Lasgrabaciones obtenidas fueron posterior-mente transcritas en su totalidad.

ANÁLISIS DE LOS DATOS

En primer lugar, se realizó un análisis decarácter descriptivo de los procedimientos yargumentos empleados por los estudiantespara profesores, que permitió la reducciónde la información obtenida de las diferentestranscripciones, identificando aquellos

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FIGURA IEjemplos de problemas utilizados en el análisis y clasificación

Problema A

Leyendo una gráfica: dada la grafica de la función f(x) •- 1 / + 1), responde a tu

manera las siguientes cuestiones:

1. Cuál es el máximo y en caso contrario su extremo superior?

2. ¿Cuál es el mínimo y en caso contrario su extremo inferior?

3. ¿En qué intervalo es creciente y en qué intervalo es decreciente?

4. ¿Está acotada?

5. ¡Es simétrica? Si lo es, ¿respecto de quién?

Y

o

Problema C

Se quieren construir cajas de cartón sin tapa a partir de piezas cuadradas de 1 ro de

lado, cortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando. Expresa el volumen en

función del lado x del cuadrilátero cortado en la esquina.

Problema D

Dibuja las graficas de las parábolas siguientes localizando, previamente, el vértice:

a) y - 2b) y - - 8x + 16c) y - - 4x

d) y -x2 - 5e) y -x2 + 4x + 50 y 2x2 + 2

Problema E

Dos motoristas parten, simultáneamente, de A y B. El primero se dirige a B con una

velocidad de 100 km/h y el segundo se dirige a A con una velocidad de 150 km/h. Si A

y B distan entre sí 300 km, ¿a qué distancia de A se encuentran? ¿Cuánto tardan en

encontrarse?

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a) y b)Y

c)

e) y= x+1

FIGURA IIhjemplo de casos utilizados

Caso 1

Al introducir las funciones y las gráficas en una clase de 1 g de BUP (14-15 años), sehan estado utilizando tareas que consisten en dibujar gráficas a partir de conjuntosde pares de números contextualizados en una situación y a partir de ecuaciones. Undía, al empezar la clase, se dibujó la siguiente gráfica en la pizarra

\y se pidió a los alumnos que encontraran una situación con la que se pudieracorresponder.

Un alumno dijo:"Puede ser el camino de una excursión en la que tuvimos que subir auna colina, luego caminar un trozo llano para luego bajar por unapendiente y recorrer finalmente un trozo llano antes de terminar."

¡Cómo podrías responder al comentario de este alumno?¡Cuál crees que puede ser la causa de este comentario?

Caso 2

A un estudiante de 22 de BUP (15-16 años) se le pidió que dijera cuál de lassiguientes expresiones/gráficas eran funciones:

x + 1 si x > 2Y - si x <2

A

El estudiante dijo entonces que• a) y e) son funciones, pero c) no lo es porque está «partida., d)tampoco porque no se puede encontrar una ecuación para esa gráfica,y además la gráfica tiene una forma -extraña., y b) tampoco es unafunción porque la imagen siempre es la misma."

¡Cuál crees que puede ser la causa de estas respuestas?¡Cómo podrías responder al comentario de este alumno?

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párrafos que proporcionaban informaciónrelativa a sus imágenes. Posteriormente, secategorizó el contenido de la informaciónobtenida desde cada instrumento en rela-ción con la naturaleza de las Matemáticas,su enseñanza/aprendizaje y aquellosaspectos que se consideraron de interés.En ambos casos, se identificaron aquellosprotocolos que proporcionaban informa-ción con respecto al origen de las imáge-nes, su contenido y sus características. Através de todos estos análisis, fueron emer-giendo una serie de imágenes sobre lasMatemáticas y su enseñanza/aprendizajeque a continuación pasamos a detallar. Enprimer lugar, describiremos las imágenesde los cuatro estudiantes para profesorescomo estudios de casos. Posteriormente, secompararán los datos de cada caso.DESCRIPCION DE LOS CASOS

EL CASO DE CAP1: INFLUENCIA

DE LAS EXPERIENCIAS PREVIAS COMO APRENDIZ

EN EL CONTENIDO DE SUS IMÁGENES

SOBRE LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

DE LAS MATEMÁTICAS

Las imágenes de CAP1 sobre la enseñanza yel aprendizaje proceden de su experienciaprevia con situaciones de enseñanza/ apren-dizaje de las Matemáticas, y están conecta-das a una concepción de las Matemáticasescolares que sigue una perspectiva estruc-tural, con énfasis en aspectos sintácticos.

— Las imágenes de la enseñanza de lasMatemáticas. Qué y cómo se mani-fiestan

La única forma que conoce de enseñarMatemáticas es la del profesor que llega, dala clase, manda problemas, y el alumnohace los deberes en casa, señalando su difi-cultad en pensar que las Matemáticas sepuedan enseñar de otra forma.

Entonces, como yo lo he visto así, lo he vis-to tantos años, durante el BUP, COU, la Uni-versidad, y el método que siguen siemprees el mismo... (CAP1, 464-66) [Entrevistageneral].

Por otra parte, reconoce la necesidadde saber cómo estructurar la clase y cómointentar conseguir que los niños entiendanlas cosas (objetivo), pero duda de que esose pueda aprender de manera reglada,indicando que cada uno se da cuenta por símismo (la experiencia como fuente delconocimiento necesario para enseñar). Sinembargo, «sabe» cuál es el contenido mate-mático que se debe enseñar:

no creo que nadie venga a decir: Venga,para enseñar funciones tienes que haceresto, esto y esto, porque si no... ademássiempre hay que seguir unos pasos. Prime-ro intentar darle la idea intuitiva de lo quees una función ... Luego ir ya formalizan-do.., pero son pasos que a todos nos hantenido que enseñar (CAP1, 134-140) [Entre-vista general].

Desde la forma en la que hace referen-cia al contenido matemático, se puedeinferir una visión estructuralista de los con-ceptos matemáticos con un énfasis enaspectos sintácticos. CAP1 necesita situarlos problemas siguiendo una ordenacióndel contenido. Esta idea de la organizaciónde la enseñanza desde el punto de vista de«qué viene antes y qué viene después» enla organización del contenido matemáticosubyace en todos los protocolos. ParaCAP1 el contenido matemático escolarsobre las funciones está organizado jerár-quicamente, siguiendo un orden dentrodel cuerpo organizado de conocimientomatemático (se introduce A porque senecesita para B). Esta aproximación deenseñanza de las Matemáticas, basada enla propia estructura del conocimientomatemático organizado, conlleva un énfa-sis en la secuencia jerárquica del conteni-do y tiene su reflejo en las imágenes sobreel aprendizaje.

— Las imágenes sobre el aprendizaje delas Matemáticas. Qué y cómo semanifiestan

Para CAPI, el conocimiento sobre laforma en que los alumnos aprenden nocio-nes matemáticas concretas «puede apren-derse sobre la marcha», siendo un examen

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el procedimiento para darse cuenta de sihan aprendido. Además, para CAP1 apren-der está muy ligado al esfuerzo personal:

... llega un momento que si tú quieres deverdad aprender y saber las cosas tienesque machacarte tú en buscarte los razona-mientos (CAPI, 479-482) [Entrevista gene-ral].

El contenido de las imágenes sobre elaprendizaje se coloca en el manejo de des-trezas y en ser «competentes» en «manejar»cierto aspectos del contenido. Por otrolado, tiene dificultades en conjeturar posi-bles procesos que deben emplear los estu-diantes en la forma de resolver las tareas,por lo que se manifiesta cierto desconoci-miento de las características del aprendiza-je de la noción de función en los alumnosde estas edades. Ante la cuestión de cómolo harían los alumnos en el apartado delanálisis individual de las tareas, suele res-ponder diciendo »no sé», «les cuesta mucho,ni idea», «mecánicamente». Los comentariosen los casos sobre las causas de las res-puestas de los alumnos también son consi-derados de una forma genérica, como «nosaben lo que es una función», «no saben loque es una gráfica», o «que no tienen lasideas muy claras».

— Influencia de estas imágenes en lainterpretación de las tareas escolares

Estas imágenes manifiestan su influen-cia a la hora de interpretar las tareas esco-lares. Con una imagen de la enseñanza delas Matemáticas fuertemente vinculada a ladel «profesor tradicional», para CAP1 lastareas escolares son siempre vistas comoalgo que hay que hacer desde el punto devista de «lo que te dan» y «lo que te piden».Lo que te piden se matiza en el sentido deque especifica lo que hay que hacer (susti-tuir valores, representar gráficamente...).Esta idea está presente en los dos criteriosde clasificación de los problemas sobrefunciones utilizados por CAP1 de formaespontánea. Así, en la primera clasifica-ción, el criterio seguido es «lo que se pide»(apareciendo la expresión «tengo que» de

manera mayoritaria). En la segunda clasifi-cación, el criterio escogido es «lo que tienesque usar» (usar las funciones —expresiónalgebraica— para resolver un problema).Para CAP1, las tareas se ven como aplica-ción de un contenido matemático explica-do previamente. Este contenido matemáti-co debe ser conocido, y los problemas sonvistos como un medio para «ejercitar» (prac-ticar). Por ejemplo, al preguntarle cuálsería el conocimiento previo necesariopara resolver una determinada tarea,comenta:

Por supuesto, saber representar la funcióngráficamente 1...] Imagino que tendría quesaber todo lo que es una parábola, el vérti-ce de una parábola... (CAPI, 1954-1960)[Análisis de tareas, problema DI.

El esfuerzo personal», que para CAP1va vinculado al aprendizaje, sería una partefundamental en la relación individuo/ tarea.De esta manera, «aprender» se identifica con«ser capaz de manejar, aplicar la 'teoría' pre-viamente explicada por el profesor».

Las imágenes sobre la enseñanza semanifiestan en la organización de las tareasproporcionadas «para enseñar funciones»:

más que una clasificación es un orden decomo yo haría (colocaría en una secuencia)los problemas... como yo lo iría dando(CAP1, 1252-53, 1417) [Clasificación detareas].

lo que le conduce a una ordenación detareas en la que se manifiesta la influenciade la forma en que se concibe el contenidomatemático (énfasis en aspectos estructura-les), como se mencionó en el contenido delas imágenes sobre la enseñanza. Estasecuencia enfatiza la necesidad de «relacio-nar funciones y gráficas», que consideracomo ideas separadas.

Además, son tareas con funciones «fáci-les» aquéllas en las que se ve la funcióndirectamente. Y verse la función directa-mente implica expresiones algebraicas. Laidea de dificultad aparece vinculada aexpresiones superficiales como «fáciles o

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difíciles» sin mención explícita a aspectosparticulares del contenido. Los problemasque piden encontrar dominios, intervalosde crecimiento/decrecimiento, etc. sonpara CAP1 fáciles en cuanto a la «mecáni-ca», pero difíciles en relación con la dificul-tad que presentan esas ideas.

EL CASO DE CAP3: EL PROFESOR COMOTRANSMISOR DE CONTENIDO MATEMÁTICOESCOLAR

Para CAP3, las imágenes sobre la enseñan-za y el aprendizaje de las Matemáticasestán entrelazadas, siendo sus orígenesepisodios concretos.

— Las imágenes de la enseñanza de lasmatemáticas. Qué y cómo se mani-fiestan

Al tratar de describir las característicasde la enseñanza que más le ha gustado,recuerda un profesor particular de la Uni-versidad:

Esa forma de enseñar las Matemáticas... fueun profesor que tuve en mecánica.., estehombre nos enseñó a... yo por lo menosfue allí donde lo aprendí, a ser mucho máspícaro con las Matemáticas E...] quizás seaunos de los casos más bonitos y que másme han agradado que me enseñaran y hasido la cosa más original que yo he conoci-do en Matemáticas (CAP3, 579-83, 591-594)[Entrevista general].

mientras que, para referirse a la forma deenseñar Matemáticas que menos le ha gus-tado, hace referencia a unas característicasglobales relacionadas con «las personas queintentan darle rimbombancia a las Mate-máticas...» (CAP3, 687-695) [Entrevistageneral], abstraídas de una variedad deexperiencias. Todos estas experienciasconfiguran el contenido de sus imágenessobre la enseñanza de las Matemáticas, quese articulan sobre dos aspectos y sus rela-ciones: la naturaleza del contenido mate-mático y cómo transmitirlo (la enseñanza

como transmisión), como indica el siguien-te protocolo:

Primero tener algo que enseñar. Saber porqué es importante que yo enseñe eso. Y...después... saber transmitir al alumno todasesas cosas que yo entiendo que es necesa-rio para aprenderlas, y sabérselo decir bienpara que las asimilen adecuadamente(CAP3, 59-62) [Entrevista general].

derivando no sólo una idea de transmisiónde conocimientos sino de transmisión deactitudes. En esa transmisión, la actitudpersonal del que enseña juega para CAP3un papel fundamental.

Por otro lado, «transmitir adecuada-mente» a los alumnos el contenido conllevapara CAP3 la necesidad de estructurarlo:

el problema es cómo esos contenidos sevan a estructurar para poder ser transmiti-dos a los alumnos (CAP3, 120-2) [Entrevistageneran,

Las relaciones entre la estructura delcontenido y la transmisión se manifiestanen la forma en que describe cómo puedeser la enseñanza de las funciones. Unacaracterística de esta relación es la parcela-ción del contenido, lo que le facilita, segúnla imagen de la enseñanza de CAP3, la orga-nización de la secuencia de enseñanza y elaprendizaje de los alumnos. Esta caracterís-tica es conforme con la visión que CAP3 tie-ne del contenido matemático, formado porun conjunto de «pedazos. que se puedenrelacionar y conectar. Esto le permiteenfrentarse a la enseñanza parcelando elcontenido y presentándolo en «pequeñosproblemas» relacionados entre sí. De estemodo, CAP3 dice que puede ayudar a mejo-rar la capacidad de razonamiento. Por con-siguiente, reconoce la necesidad de teneruna organización (secuencial) de la ense-ñanza dada a través del propio contenido:

Me haría falta tener un esquema general delproceso secuencia] de enseñanza (CAP3,97-8) [Entrevista general].

Este esquema secuencial se apoya enel contenido matemático según quedó

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reflejado en los criterios utilizados en laclasificación y análisis de las tareas como,por ejemplo, la separación de las relacio-nes funcionales en lineales y no lineales ycondiciona en gran medida la interpreta-ción de las tareas.

— Las imágenes sobre el aprendizaje delas Matemáticas. Qué y cómo semanifiestan

Coherente con su imagen de la ense-ñanza como transmisión, para CAP3, lasdificultades de los alumnos en el aprendi-zaje son entendidas como una explicacióndefectuosa:

la causa de que se produzca esto [errorcometido por el alumno ante una tarea] esun fallo que ha habido en la introduccióndel concepto de función. No se le ha expli-cado bien al alumno lo que es una función(CAP3, 2027-2029) [Caso 11.la razón es una falta al explicar las funcio-nes (CAP3, 2056-2057)[Caso 21.

Por otra parte, y de acuerdo con suidea de parcelación de contenido comofacilitadora de la organización de lasecuencia de enseñanza, el aprendizaje delas Matemáticas se ve como un proceso deescalonamiento en el que es necesarioaprender unas cosas para poder aprenderlas que siguen a continuación. Estableceuna distinción entre problema y ejercicio.En el problema, el alumno debe apoyarseen lo que sabe y utilizarlo en la resolucióny sirve de anclaje a unos conceptos que seacaban de dar, concretando la explicación.

Otro aspecto del contenido de lasimágenes sobre el aprendizaje nos lo pro-porciona el hecho de que para determi-nadas tareas CAP3 considera que hay que«acompañar» al alumno en su resolución yen otras, el alumno puede enfrentarse a latarea sin ayuda. También establece unadiferenciación entre fallos individuales,que implicarían que un tratamiento seríamuy específico de cada alumno o colecti-vos, que supondrían para el profesor vol-ver hacia atrás. Además, CAP3 vincula al

aprendizaje de las Matemáticas escolaresa la motivación, destacando su importan-cia como medio de enganchar al alum-no.

— Influencia de las imágenes en lainterpretación de las tareas escolares

A través de la clasificación y análisis delas tareas, se pone de manifiesto el papelpredominante que para CAP3 desempeñael contenido matemático para articular laenseñanza. Le parece fundamental lo rela-tivo al diseño de tareas y actividades, yaque es el paso del «conocimiento que tieneel profesor» a «transmitirlo a otros», señalan-do que:

la clave fundamental es ... el paso que vadesde el profesor que tiene un conocimien-to del contenido, y lo tiene él, y ahora dice:«Este contenido tengo que... transmitirlo aotros individuos.., entonces el saber plante-ar ejercicios, el saber plantear cosas quevayan ayudando al alumno a entender lascosas, asimilarlas, a hacerlas suyas, a hacer-las propias... eso es fundamental (CAP3,473-476) [Entrevista general].

Así, las tareas son vistas como algo queayuda al alumno a entender y asimilar con-ceptos, y los fallos (las dificultades deaprendizaje) serían defectos en la transmi-sión (explicaciones defectuosas).

La organización del contenido matemá-tico es el criterio utilizado en la clasificaciónde las tareas independientemente de que laperspectiva fuese la enseñanza o el apren-dizaje. Las tareas se ven con relación a si lasfunciones que aparecen son lineales o nolineales. Es el contenido matemático de latarea el que le sirve también para establecerlas dificultades de aprendizaje: las tareasfáciles son las que contienen funcioneslineales y tareas difíciles son las que contie-nen funciones no lineales. Al plantearle sihubiera salido una clasificación parecida siel criterio hubiera sido dificultad de apren-dizaje, señala en su respuesta:

... primero irían las funciones lineales, den-tro de las funciones lineales parecería las

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que tienen una formulación estrictamentematemática, aplicarían esos conocimientos[...1 y creo que los que más grado de difi-cultad requieren son en este caso los nolineales (CAP3, 998-1000; 1003-4) [Clasifica-ción de tareas].

Y también para la secuencia de ense-ñanza: primero las lineales y luego las nolineales, con la salvedad de la introduc-ción de lo que es función, como se hapuesto de manifiesto en el protocolo de lasección anterior. Además, el proceso deescalonamiento que es para CAP3 elaprendizaje influencia la forma de consi-derar la necesidad del uso de determina-das tareas para organizar la secuencia deenseñanza

Éstos son los aspectos a través de losque CAP3 -ve» las tareas con funciones. Eneste sentido, esos aspectos forman partede las diferentes perspectivas a través delas que CAP3 hace operativas sus imáge-nes de la enseñanza y aprendizaje en lainterpretación de las tareas. Por otro lado,la vinculación que establece entre apren-dizaje y motivación le lleva a considerar lanecesidad de utilizar tareas que permitanmotivar (enganchar) al alumno, aunqueno establece características concretas quedeben cumplir las tareas para lograr moti-var.

EL CASO DE CAP4. LAS CONCEPCIONES SOBRELA NATURALEZA DE LAS MATEMÁTICAS Y SU

INFLUENCIA EN LAS IMÁGENES SOBRE LAENSEÑANZA/APRENDIZAJE DE LAS MATEMÁTICASESCOLARES

— Las imágenes de la enseñanza de lasMatemáticas: Qué y cómo se mani-fiestan

Las imágenes sobre la enseñanza de lasMatemáticas de CAP4 derivan, tanto en suaspecto negativo como en el positivo, dememorias concretas relacionadas con dife-rentes profesores y de sus concepcionessobre las Matemáticas. Otros contenidos de

sus imágenes de la enseñanza de las Mate-máticas proceden de su forma de concebirlas Matemáticas. Para CAP4, las Matemáti-cas son -un conjunto de instrumentos quese utilizan mucho». Una consecuencia parala enseñanza es -tener que explicar la utili-dad de las Matemáticas». La motivación esel vínculo de unión entre este objetivo dela enseñanza y el aprendizaje:

Es lo que me gustaría intentar, que tuviesenun mínimo de motivación. No lo voy a con-seguir con toda la clase. A lo mejor, inclusoel primer año no lo consigo con nadie, ¿no?Pero pienso que eso es fundamental a lahora de... ser un profesor. Intentar captar elinterés y explicarles, saber explicarles lautilidad de la asignatura (CAP4, 120-125)[Entrevista general].Las Matemáticas son útiles, y si se puededar a un alumno, se les puede ver la utili-dad antes de que ellos se den cuenta,mejor, porque así lo aprenden con másganas (CAP4, 646-648) [Entrevista general].

Por otro lado, considera necesariotener unos objetivos relacionados con undeterminado contenido matemático queguíen la enseñanza. Al preguntarle sobrelas tareas o los ejercicios que se puedenproponer a los alumnos, indica:

yo pienso que ... siempre que tienes unosobjetivos y quieres que los alumnosaprendan, que te lo profundicen un deter-minado conocimiento. Pues tú debessaber como hacer las cosas, como diseñarlas actividades para lograr eso que quie-res. Por supuesto que tienes que teneruna idea... (CAP4, 413-417) [Entrevistageneral].

Este -cómo hacer las cosas» quedareflejado en su secuencia hipotética delcontenido en el tema funciones, en la queel énfasis se coloca sobre aspectos mera-mente sintácticos, con poca atención a lanoción de relación entre variables y coya-nación. Lo »intuitivo» es entendido comotablas, posiblemente por el carácter discre-to de los valores frente a la idea de -gráfi-ca».

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— Las imágenes sobre el aprendizaje:Qué y cómo se manifiestan

Con respecto a la forma de aprenderMatemáticas, CAP4 vincula los aspectospositivos de su aprendizaje a la satisfacciónque produce ver que los instrumentos queproporcionan las Matemáticas «funcionan».Para CAP4, el comprender los aspectos teó-ricos y disfrutar cuando salen las cosas serelaciona con un pasatiempo» gratificante.Los aspectos negativos de su aprendizajepermanecen ligados a una enseñanza «des-ordenada»:

... te explicaban límites, te explicaban teo-ría, te explicaban lo que era la integral defi-nida... tú te ibas a los boletines y al finalsabías que no te iban a salir y sabías que noera cosa tuya... y ya te resignabas, pero alprincipio... Esa ha sido la peor manera queyo he tenido de aprender Matemáticas(CAP4, 617-622) [Entrevista general].

Con relación a las dificultades deaprendizaje del contenido matemático delos alumnos del Secundaria, CAP4 usaexpresiones como «mal aprendizaje», quetiene distintos orígenes: «falta de asimila-ción clel concepto», un «procedimientoalgorrítmico muy mal cogido» o una «con-fusión o no tener claro qué es lo que tieneque variar en una función», que vincula aun desconocimiento de los instrumentos yconceptos que se necesitan para resolver elproblema. Coherente con este punto de vis-ta, ve como soluciones el volver a enseñar-los. De este modo, las imágenes sobre elaprendizaje de CAP4 parecen relacionadascon el manejo de los aspectos sintácticosque caracterizan su secuencia hipótetica decontenido. Para CAP4, aprender es unacuestión de asimilar la información propor-cionada previamente por el profesor.

— Influencia de estas imágenes en lainterpretación de las tareas matemá-ticas escolares.

La idea del trabajo en grupo, que seidentifica en la parte positiva de sus imáge-

nes sobre la enseñanza, se manifiesta cuan-do se le plantea cómo enseñaría él unadeterminada tarea:

Pero si veo que el problema es fácil y partede la experiencia, por ejemplo, yo los pon-dría a hacerlo en grupo directamente, por-que no es... no parece un problema dema-siado difícil, según... (CAP4, 1572-1575)[Análisis de tareas, Tarea Dl.

En estos comentarios parece apreciarseque las tareas consideradas como fácilesson las que permiten un trabajo en grupo,asociándose el aumento de dificultad a lanecesidad de trabajo individual. Por otrolado, aunque en sus planteamientos gene-rales sobre la enseñanza, la motivación y elcaptar el interés ocupan un papel relevan-te, considerándose los vínculos con elaprendizaje, no se mencionan apenas enlas tareas. Parece que se vinculan más a lapropia actuación del profesor, ya que,cuando menciona qué le parecería necesa-rio saber para desempeñar su futuro traba-jo como profesor, destaca aspectos relacio-nados con motivar a los alumnos, hacerlesla asignatura interesante, saber captar suinterés, etc., que son planteamientos gene-rales no específicos de la enseñanza de lasMatemáticas

Su forma de concebir las Matemáticasse pone de manifiesto en su interpretaciónde las tareas escolares. Los problemas queobedecen a lo que CAP4 considera contex-tos reales ayudan a darse cuenta de queuna herramienta como es la Matemáticaspuede servir para resolver esas situacionesreales, y eso es precisamente lo que apren-de el alumno cuando se le plantean estetipo de problemas:

Pues este tipo de problemas... obedecen aun caso real... Entonces, el alumno puededarse cuenta de que... una herramientacomo es las Matemáticas le puede servir alo mejor para resolver un caso real (CAP4,1206-1208) [Análisis de tareas, Tarea Cl.

CAP4 ve las tareas escolares como unmedio de profundizar en el conocimiento

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matemático, siendo los ítems de conoci-miento matemático la «guía en la organi-zación de tareas para la enseñanza. Susimágenes de la enseñanza, en las que sevinculan los objetivos con el contenidomatemático, se ponen de manifiesto alcomentar qué tareas de las planteadasconsidera necesarias que las hagan losalumnos. Éstas se identifican con un obje-tivo concreto (interesan para luego, mane-ra sencilla de introducir la función, etc.),siendo también un contenido matemáticoespecífico todo lo que se puede aprendercon esas tareas. Al comparar la secuenciade contenido que proporciona al sugerirleel investigador cómo enseñaría las funcio-nes (indicada en apartados anteriores), yla clasificación espontánea que realizasegún un criterio de dificultad se apreciaque los problemas que considera comofáciles son los situados al principio de lasecuencia, y los difíciles, al final. Las imá-genes sobre la enseñanza muestran unadoble cara. Por una parte, organizadas através de un índice de contenido matemá-tico y solapado con este índice una «valo-ración» de fácil o difícil desde el principioal final del tema. Sin embargo, las valora-ciones realizadas son siempre vagas y sinninguna justificación (lo fácil es lo queviene delante en el tema y lo difícil lo queviene después).

EL CASO DE CAP5. LA MOTIVACIÓN

— Las imágenes de la enseñanza de lasMatemáticas. Qué y cómo se mani-fiestan

Una parte positiva de sus imágenessobre la enseñanza de las Matemáticas estávinculada a experiencias previas. ParaCAP5, enseñar se considera gratificante y laenseñanza es vista como comunicación yestá vinculada a la motivación:

Siempre que he estado estudiando me heimaginado, cuando no podía estudiar por-que no me gustaba mucho.., que lo que yo

estaba aprendiendo se lo estaba enseñandoa la gente. Y entonces me resultaba muyatractivo.., y enseñar me resultaba gratifi-cante y... esa comunicación es algo que noes cerrado, que no se queda en ti mismo(CAP5, 39-44) [Entrevista general].

Cuando se plantea que indique unaforma de enseñar Matemáticas que ha vistoy que no le haya gustado, menciona comocaracterística la falta de comunicación.Todo esto va configurando el contenido desus imágenes de la enseñanza, en las quepodemos destacar tres características: laenseñanza como comunicación, motiva-ción (necesidad de punto de enganche) ysecuencia de enseñanza vinculada a unorden. Estas tres características de la ima-gen de la enseñanza se articulan en «suestructura de una clase.:

... a mí me gusta mucho la siguiente estruc-tura, la forma de dar clase. Primero motivar,dando a conocer al alumno que ese proble-ma que tú vas a explicar.., o esa teoríamatemática proviene a lo mejor de unoshechos reales de la naturaleza. Una vez quehas motivado, dar la idea de... la idea mate-mática general, la idea superficial, geomé-trica, del desarrollo que vas a hacer. Luegoenunciar el teorema o lo que vas.., las defi-niciones correspondientes, y una vez queya tienes que demostrar, pues dar una ideade la demostración. [...] y al final concluyes,y haces a lo mejor las observaciones quetengas que hacer (CAP5, 350-358, 359-365)[Entrevista general].

La búsqueda de una buena comunica-ción se pone de manifiesto en que siemprebusca un diálogo directo con el hipotéticoalumno al que van dirigidos sus comenta-rios:

Plantearía el problema lo más real posible,¿no? Acercándolo lo más posible a la reali-dad del alumno. Y luego, pues lo haría enla pizarra... dibujaría la ciudad: -ja ves?, elsegmento que las une, ¿no?» ... un par deflechas indicando un poco [...] y luego,depende ¿no?, si es el primero que le fueraa hacer.., pues se lo haría (CAP5, 1461-1469) [Análisis de tareas, tarea E ].

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Esta aproximación a la enseñanza sevincula a una determinada «filosofía» conrelación a las Matemáticas reflejada en elsiguiente comentario:

Yo creo que lo primero que hace falta esque el alumno reconozca la matemáticacomo un juego, como un mecanismo quees divertido y que funciona siempre bien(CAP5, 112-114) [Entrevista general].

La visión de las Matemáticas como unjuego permite concebir algunos aspectosde la enseñanza. Así, ésta se consideracomo algo en lo que se participa y que pro-duce satisfacción. Para fomentar esa parti-cipación, es fundamental una buena comu-nicación entre profesor y alumno.

— Las imágenes del aprendizaje: Qué ycómo se manifiestan

Las ideas de «diversión» (en el sentido,mencionado en protocolos anteriores, deque cualquier cosa que aprendas tiene queser divertida) y «satisfacción» permanecenvinculadas a lo que CAP5 considera suaprendizaje más positivo.

Con respecto a los alumnos, aparecenescasas referencias al aprendizaje. El análi-sis de las situaciones hipotéticas hace refe-rencia a ideas previas erróneas, sin másmatizaciones, tal y como se manifiesta en elsiguiente protocolo:

Pues simplemente, que tiene una idea apriori de lo que es una función errónea, taly como se ha dado en clase, ¿no. No tienebien asimilado el concepto de función(CAP5, 1870-1873) [Caso 2].

Podríamos decir que sus imágenessobre el aprendizaje no le permiten esta-blecer diferencias entre los distintos tiposde dificultades de los alumnos puestas demanifiesto en las respuestas a las situacio-nes hipotéticas, viendo todas esas dificulta-des desde una perspectiva general como«falta» de conocimientos adecuados.

— Influencia de estas imágenes en lainterpretación de las tareas matemá-ticas escolares

Una característica relevante en la formaen que se contemplan las tareas es la pers-pectiva general adoptada poco específicadel contenido matemático. Las ideas princi-pales que se manifiestan son el lenguajecon el que se redacta el problema, la posi-bilidad de motivación, vinculada al contex-to real del problema, y aspectos relativos alas Matemáticas como modelación. Sólo sehace mención del contenido matemáticocuando intenta justificar el uso de -tareastécnicas» (sin contexto real) como unamanera de mostrar aspectos de la estructu-ra matemática de una situación (se reflejaasí su visión de las Matemáticas comomodelación de la realidad). La importanciaque CAP5 da a la comunicación en el pro-ceso de enseñanza de las Matemáticas,ligada a la parte positiva de sus imágenessobre la enseñanza, se pone de manifiestoen algunas de las clasificaciones que esta-blece en las tareas propuestas.

Ese papel destacado de la comunica-ción se aprecia cuando establece criteriosde clasificación como el de «problemassencillos y aparatosos» (considerados comoproblemas largos como mucho enuncia-do), vinculados a la idea de que la comuni-cación no debe ser sólo de carácter verbal,sino que el propio texto del problema pue-de facilitarla:

Los problemas que son largos... que se vemucho enunciado, ¿no?, que resultan apa-ratosos.., echan un poco para atrás y cle unpoco de pereza abordarlos. Entonces esbueno cautivar al alumno con el enuncia-do... porque si no lo cautivas desde el prin-cipio... te cuesta trabajo conseguirlo (CAP5,650-655) [Clasificación de tareas].

Otro de los aspectos del contenido desus imágenes sobre la enseñanza está rela-cionado con la motivación, que aparecevinculada a las tareas «relacionadas con larealidad» (lo que le permite establecer unaseparación entre los problemas que sonreales frente a los problemas puramentematemáticos). Así, considera criterios comoproblemas que son reales «que atraen más

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al individuo», frente a problemas que sonpuramente matemáticos o »problemas quete inducen a pensar» frente a problemasque »si no te salen a la primera los abando-nas». Los problemas no vinculados a situa-ciones reales se considera que muestran el«esqueleto» de una situación real.

Por ejemplo, éste. «Se sabe que la funcióny= x2+bx+c pasa por el punto (1,1), por elpunto (1,0) y por el punto (-1.1). Calcula by c». Bueno, estoy utilizando, no sé, elejemplo más típico, ¿no? Pero este proble-ma es más bien matemático, y al individuono le relaciona ese problema con su vida,¿no? Lo importante es que el problema ten-ga algo que ver con su vida, con sus pro-blemas, con sus... ilusiones. Entonces, no,este problema no lo produce (CAP5, 582-587) [Clasificación de tareas].

La imagen del aprendizaje como algosatisfactorio se refleja en el énfasis quecoloca en la satisfacción que produce en elindividuo la realización de la tarea conec-tando la motivación y vinculación al mun-do real con la necesidad del contenidomatemático:

Yo comenzaría motivando al alumno a lanecesidad del estudio de las funciones,¿no?, y de su representación gráfica,mediante problemas reales. Y luego, unavez ya los hubiere motivado, aunque fueraun poco, empezaría con este tipo de pro-blemas que son tan técnicos (CAP5, 1091-1094) [Análisis de tareas, tarea A ] .

Su consideración de las Matemáticascomo algo atrayente, un «juego» en el quehay que participar, se vincula en las tareasa la idea del interés que puede suponerinvolucrarse en la resolución de las mis-mas. Este aspecto de sus imágenes de lanaturaleza de las Matemáticas (Matemáticascomo un juego) influencia en alguna medi-da su forma de considerar lo que suponeresolver las tareas para el resolutor: el par-ticipar en un juego es algo grato (vinculadoa la idea de aprendizaje positivo) y los jue-gos son algo que despiertan curiosidad enel que participa. En la justificación que da a

la necesidad de plantear tareas sin contex-to (técnicas) es que son el »esqueleto deuna situación real». Esto puede interpretar-se como que, aunque no son situacionesreales (que para él eran las más idóneaspor atrayentes y motivadoras), bajo el pun-to de vista matemático le parecen adecua-das y necesarias:

Aunque puede ser aburrido en principio, esnecesario que el alumno tome manejo delmecanismo este del cálculo de máximos ymínimos, de puntos de inflexión [...). Por-que luego en la práctica cuando le aparez-ca un problema real tendrá que pasarlo amodelo matemático y ver matemáticamenteel comportamiento de la función máximosy mínimos. Entonces, sí que le hará faltarecurrir a este tipo de problemas. O sea,éste es quizás el esqueleto de un problemareal, ¿no? El problema real no aparece, peroes el esqueleto de un posible problema real(CAP5, 997-1000) [Análisis de tareas, tareaAl.

DISCUSIÓN

Esta sección está dividida en dos aparta-dos: el primero de ellos se centra en lasreflexiones sobre el origen y contenido delas imágenes de los estudiantes para profe-sores de Secundaria sobre la enseñanza, lasMatemáticas y el aprendizaje. En el segun-do, se tiene en cuenta cómo determinanestas imágenes la forma en que se conside-raron las tareas con funciones (cómo seconciben las tareas en la enseñanza y cuáles su papel).

ORIGEN Y CONTENIDO DE LAS IMÁGENES:LA INFLUENCIA DE LAS IMÁGENES DE IAS

MATEMÁTICAS SOBRE LAS IMÁGENES DE IA

ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE

Desde la caracterización teórica del térmi-no «imagen» para referirnos a ciertos aspec-tos de las concepciones de los estudiantespara profesor que la literatura ha estado

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utilizando hasta estos momentos, cabereseñar la importancia que tiene la expe-riencia previa en determinar algunosaspectos del contenido de las imágenes,apreciándose la gran vinculación entre lasexperiencias pasadas y la formación de lasimágenes. El análisis realizado ha puestode manifiesto la diversidad en el contenido(general y específico de las Matemáticas)de las imágenes de la enseñanza/aprendi-zaje de los estudiantes para profesores deMatemáticas de Secundaria participantesen el estudio. Estos aspectos están bastanteentrelazados pero es necesario separar susfuentes (la experiencia: memorias episódi-cas) del contenido (de qué van las imáge-nes: perspectiva general o disciplinar) paraintentar extraer mejores implicaciones paralos programas de formación. En la primeradimensión, desde una perspectiva general,la enseñanza es vista como sucesión depasos, transmisión, manejo de instrumen-tos útiles, como comunicación, y el apren-dizaje está vinculado al esfuerzo personal,a una buena transmisión por parte del pro-fesor o a la satisfacción personal (desde unpunto de vista utilitario o simplemente dediversión).

La segunda dimensión que es precisoconsiderar en el contenido de las imágenessobre la enseñanza y aprendizaje es laperspectiva disciplinar (enseñanza/apren-dizaje de las Matemáticas). Esta dimensiónes la que marca cierta diferencia. Aquí seconsidera la influencia de la imagen de lanaturaleza de las Matemáticas como disci-plina sobre las imágenes de la enseñanza ylas imágenes del aprendizaje. Mientras lasimágenes sobre las Matemáticas pareceninfluir en las imágenes sobre la enseñanza(las Matemáticas como un conjunto organi-zado de conocimiento, conjunto de instru-mentos, una visión más caleicloscópica queMatemáticas como juego, estructura ymodelación de la realidad), esta influenciano es tan clara para las imágenes del apren-dizaje de las Matemáticas. Se subraya asíque las imágenes sobre la naturaleza de las

Matemáticas parecen influir más sobre lasimágenes de la enseñanza que sobre lasdel aprendizaje. La influencia de las imáge-nes sobre las Matemáticas escolares en lasimágenes sobre la enseñanza de las Mate-máticas se manifiesta en:

—cuando las Matemáticas son vistascomo un cuerpo de conocimientoorganizado jerárquicamente (CAPI),la enseñanza es vista como unasecuencia de pasos donde el conte-nido matemático indica qué vieneantes y qué viene después;

—cuando las Matemáticas se ven orga-nizadas a través de grandes tenias,articulados a través de pequeños«pedazos» relacionados, la enseñan-za es vista como una transmisiónorganizada secuencialmente a travésdel contenido (CAP3);

—cuando las Matemáticas son vistascomo un conjunto de instrumentos,vinculada a la idea de que son útiles,la enseñanza tiene como objetivo elaprendizaje de estos instrumentos(CAP4);

—finalmente, cuando las imágenessobre la naturaleza de las Matemáti-cas son más «caleidoscópicas» (Mate-máticas como juego, estructura,énfasis en la unidad y la relación delas partes y como modelación de larealidad), la enseñanza está vincula-da a la motivación y una estructurade la clase apoyada en la secuencia:motivar, dar la idea matemática,enunciar teoremas/definiciones,demostrar, hacer tareas (CAP5).

Con relación al aprendizaje, lo másrelevante es que son planteamientos gene-rales, no específicos del aprendizaje de lasMatemáticas. Las referencias al aprendizajeestán vinculadas a su propia experienciade aprendizaje de las Matemáticas. Así, éstese corresponde a expresiones como «vincu-lado al esfuerzo personal», «el aprendizajedepende de la transmisión», «aprendizaje

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como satisfacción de ver cómo funcionanlos instrumentos o las herramientas útiles» y«el aprendizaje vinculado a la satisfacciónpersonal que produce (aprender es diverti-do)». En CAP1 y CAP5, el contenido de lasimágenes del aprendizaje se centra en elaprendiz, mientras que en CAP3 el ejesobre el que gira el contenido de estas imá-genes es el profesor, vinculándose en CAP4el contenido matemático y la satisfacciónpersonal.

PAPEL QUE DESEMPEÑAN LAS IMÁGENES EN LAINTERPRETACIÓN DE LAS TAREAS MATEMÁTICASESCOLARES

Considerando las tareas matemáticas esco-lares como uno de los medios a través delos que el profesor desarrolla su trabajocon los alumnos, se plantea entonces elpapel que desempeñan las imágenes sobrela enseñanza, el aprendizaje y la naturalezade las Matemáticas escolares al interpretardichas tareas. La influencia de las imágenessobre las tareas se manifiesta en la formaen que los estudiantes para profesor consi-deran el papel de las tareas en el procesode enseñanza/aprendizaje.

El contenido de sus imágenes sobre laenseñanza es precisamente el que mediati-za el papel que los estudiantes para profe-sor dan a las tareas en el proceso de ense-ñanza/aprendizaje. De esta manera, si en elapartado anterior veíamos la vinculaciónexistente entre las imágenes de la naturale-za de las Matemáticas con las imágenes dela enseñanza, aquí se muestra otro eslabónde estas relaciones. Ese papel que desem-peñarían las tareas en el proceso de ense-ñanza/aprendizaje nos permite profundi-zar en el contenido de las imágenes quemantenían los estudiantes para profesor.Para los tres primeros (CAP1, CAP3 yCAP4), las tareas desempeñan el papel deproporcionar práctica de un contenido pre-viamente dado por el profesor. Ahora bien,con los matices descritos en la sección

anterior, se deja entrever en ellos unas con-cepciones de las Matemáticas como cuerpode conocimiento, más o menos estructura-do. Sin embargo, en las imágenes de lanaturaleza de las Matemáticas y sus impli-caciones en la enseñanza estos matices sedifuminan al identificarse el mismo objeti-vo para las tareas en la secuencia de ense-ñanza. Para estos tres estudiantes, se desta-ca la idea de «aplicación» que desempeñanlas tareas. Se manifiesta la ausencia decualquier referencia a la idea de construc-ción del conocimiento y aspectos particula-res del aprendizaje de tópicos matemáticosconcretos. Por otra parte, en CAP5 no seidentifica claramente el papel que debendesempeñar las tareas en la secuencia deenseñanza.

Los diferentes papeles desempeñadospor las imágenes de la enseñanza y elaprendizaje, descritos en estos estudios decasos, aportan ideas sobre los referentescognitivos con los que los estudiantespara profesor de Matemáticas de Secunda-ria pueden interpretar la información pro-porcionada en los programas de forma-ción. Esto conduce a plantear cuestionesreferidas a un doble equilibrio entre laperspectiva general frente a la perspectivadisciplinar, y la enseñanza frente al apren-dizaje. En este sentido, programas de for-mación de profesores de Matemáticas conun cierto énfasis en el curriculum de Mate-máticas, organización de la enseñanza,diseño de tareas, etc. pueden estar tratan-do sólo ciertos aspectos del conocimientonecesario para enseñar Matemáticas. Deaquí surge la siguiente cuestión: ¿cuáldebería ser el equilibrio en los programasde formación entre la información relativaa la »enseñanza» y al «aprendizaje» de lasMatemáticas?

Nuestro análisis ha mostrado que lasimágenes con las que los estudiantes paraprofesor de Matemáticas de Secundaria lle-gan al programa no se »refieren» en la mis-ma medida a la enseñanza y al aprendizaje.Por otra parte, esta situación nos plantea

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cómo integrar en formación de profesoresplanteamientos generales sobre la ense-ñanza y el aprendizaje que sean compati-bles con unas determinadas filosofías delas Matemáticas (naturaleza del conoci-miento matemático), y nos lleva a añadiruna nueva cuestión: ¿hasta qué punto losprogramas de formación de profesores deMatemáticas de Secundaria pueden mante-ner la integración de perspectivas genera-les sobre la enseñanza y el aprendizaje conlas derivadas de la disciplina?

Todas estas preguntas inciden directa-mente en el diseño y organización de losprogramas de formación de profesores deMatemáticas de Secundaria. El contextoespecífico de la formación inicial de losprofesores de Secundaria en España plan-tea una particular reflexión. Los futurosprofesores reciben una amplia formaciónen Matemáticas (o en otras licenciaturascientíficas) cuando se matriculan en el pro-grama de formación de profesores (CAP oCCP). A través de esta formación previa,estos estudiantes pueden haber construidounas imágenes sobre las Matemáticas y suenseñanza-aprendizaje, que influyen en lamanera en que ellos llegan a caracterizarsus experiencias de aprender a enseñar ysu futuro papel como profesores. Conside-rar estas influencias junto con la búsquedade equilibrio en el contenido de esos pro-gramas entre información centrada encurriculum y la información procedente decómo los alumnos aprenden (informacióndesde las investigaciones sobre el aprendi-zaje de las nociones matemáticas) es unatarea que los formadores de profesoresdeben abordar. Por último, no podemosterminar estas páginas sin hacer referenciaa la colaboración prestada por los alumnosdel Curso de Aptitud Pedagógica queaceptaron participar en este estudio. Suinterés y esfuerzo en contribuir en todoaquello que pudiese mejorar su futuralabor como profesores de Matemáticas hansido para nosotros un estímulo en el des-arrollo de este trabajo.

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